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7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques
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UNIVERSITE ABDELMALEK ESSADI
FACULTE DES SCIENCES DE TETOUAN
MASTER MECATRONIQUE
Module MO1: Mthodes nu!"#ues et $!o%&%"l"ts
'(()*'((+
A%dell&t", Kh&l"-h"
0
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UNIVERSITE ABDELMALEK ESSADI
FACULTE DES SCIENCES DE TETOUAN
MASTER .ENIE ENER.ETIQUE ET
ENVIRONNEMENT
Module M/: Mthodes nu!"#ues et o$t""s&t"on
Elent : Mthodes nu!"#ues
'(()*'((+
A%dell&t", Kh&l"-h"
1
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So&"!e
Ch&$"t!e1:Les -on-e$ts !&tt&-hs &u -&l-ul nu!"#ue0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Ch&$"t!e ':
Rsolut"on nu!"#ue des #u&t"ons non l"n&"!es0000000000000000000000000000000000000000000000000000000001
Ch&$"t!e 2:
Inte!$ol&t"on et &$$!o3"&t"on0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000''
Ch&$"t!e :
Rsolut"on nu!"#ue des s4st5es d6#u&t"ons l"n&"!es000000000000000000000000000000000000000000002
Ch&$"t!e 7:
Mthodes de -&l-ul nu!"#ue des 8&leu!s $!o$!es et des 8e-teu!s $!o$!es0000000000000007
Ch&$"t!e 9:
!o;!&&t"on l"n&"!e00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007(
Ch&$"t!e /:
E#u&t"ons d",,!ent"elles &u3 d!"8es $&!t"elles00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007
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B"%l"o;!&$h"e
[ ]1 D0 M0 A su!8e4 o, nue!"-&l &the&t"-s>= Volue I=
Do8e! u%l"-&t"ons= Ne? = Volue II=
Do8e! u%l"-&t"ons= Ne? = Dunod= &!"s= 1++)0
[ ]4 0 .0 C"&!let= B0 M"&!&= 0 M0 Tho&s >E3e!-"-es d6&n&l4se nu!"#ue
&t!"-"elle et d6o$t""s&t"on &8e- solut"ons>= '"5e d"t"on= M&sson= &!"s= 1+)90
[ ]5 A0 M&;nus >An&l4se nu!"#ue 1& et '>= Cou!s Un"8e!s"t C&thol"#ue de
Lou8&"n= '((70
[6] M0 C!oue"3= A0L0 M";not >An&l4se nu!"#ue des #u&t"ons d",,!ent"elles>=
M&sson= &!"s= 1+)0
[7] M0 M"nou3 >!o;!&&t"on &th&t"#ue: tho!"e et &l;o!"thes * Toe 1>=
CNET*ENST= Colle-t"on Te-hn"#ue et S-"ent","#ue des Tl-oun"-&t"ons=
Dunod= $&!"s= 1+)20
[8] 0C0 St!"@?e!d& >F"n"te d",,e!en-e s-hees &nd $&!t"&l d",,e!ent"&l e#u&t"ons>=
&ds?o!th B!oo@s Cole= M&the&t"-s Se!"es= C&l",o!n"& 1+)+0
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CGAITRE 1:
Les -on-e$ts !&tt&-hs &u -&l-ul nu!"#ue
10 Int!odu-t"on
L'objet de l'analyse numrique est l'ali!ation des mat"matiques a#in de d$eloer des
al%orit"mes et des mt"odes !aables de !onstruire des solutions numriques au& di##rents
roblmes ren!ontrs dans la ratique(
)rs sou$ent les t"ormes d'e&isten!e ermettent d'tablir que !ertaines !lasses de roblmes
admettent des solutions mais ne donnent au!une in#ormation !on!ernant !omment !al!uler
e##e!ti$ement la solution(
*ans d'autres !as des solutions analytiques e&istent mais ne eu$ent as +tre utilises telles
qu'elles sont our obtenir des rsultats numriques(
,oi!i quelques e&emles-
.1/ !omment rsoudre le systme linaire
n
ij j i
j 1
a & b i 12 n=
= = L o les ija et ib sont des
rels donns
.2/ !omment $aluer 746e .atlab donne ar e&emle e&. 746/ 0 = et
324e&. 745/ 4(407 10 = /
.3/ !omment rsoudre automatiquement l'quation du se!ond de%r 2a& b& ! 0+ + =
'0 !-"s"on nu!"#ue d6un &l;o!"the
L'un des roblmes majeurs au&quels le numri!ien est !on#ront est le !ontrle de la
r!ision des rsultats des !al!uls e##e!tus( l !on$ient our !ela d'utiliser des al%orit"mes
numriques #iables et !onomiques(
Le numri!ien ne eut as i%norer l'ase!t mat"matique qui re!ou$re le !"oi& d'un
al%orit"me numrique a#in de rsoudre un roblme donn(
onsidrons 9 titre d'e&emle le roblme de l'$aluation de la #on!tion # .&/ tan & sin &=
en & 0(1250= ( :uosons que nous sou"aitions obtenir un rsultat 9 4 !"i##res si%ni#i!ati#s
!e qui si%ni#ie une r!ision relati$e de 1;10000 ( *eu& mt"odes au& moins eu$ent +tre
en$isa%es(
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Mthode 1:
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20 Inst&%"l"ts nu!"#ues et $!o%l5es &l -ond"t"onns
l #aut distin%uer entre les di##i!ults rores asso!ies 9 la rsolution d'un roblme donn et
les di##i!ults qui sont lies 9 l'al%orit"me numrique utilis our !al!uler numriquement une
solution de !e roblme(
onsidrons le roblme de rsolution du systme al%brique linaire sui$ant o 0 1< < n eut trou$er dans la ratique les quatre situations sui$antes-
roblme mal !onditionn et al%orit"me numrique stable= dans !ette situation tout !e qu'on
eut #aire !'est tudier la sensibilit du roblme ."aos ar e&emle/=
roblme mal !onditionn et al%orit"me numrique instable= dans !e !as l'outil numrique
ne eut ser$ir 9 rien=
roblme bien !onditionn et al%orit"me numrique stable= !'est la situation idale=
roblme bien !onditionn et al%orit"me numrique instable= !'est le !as o le numri!ien
doit tra$ailler da$anta%e(
0 !o%l5es t4$es #u" "nt!essent le nu!"-"en
)out d'abord un numri!ien est un mat"mati!ien qui d$eloe analyse et $alue des
al%orit"mes numriques destins 9 obtenir des solutions numriques aro!"es au&
roblmes mat"matiques( Feau!ou de !es roblmes aaraissent dans le domaine de la
"ysique et de l'in%nierie(
Le numri!ien est sou$ent !onduit 9 d$eloer de nou$eau& rsultats mat"matiques et les
adater a#in de les utiliser de manire e##e!ti$e dans le !adre de la ro%rammation sur
ordinateur( L'$aluation des al%orit"mes est !onduite ar des aro!"es mat"matiques et #ait
ael aussi 9 des essais numriques .ar e&emle $aluation de la dure de !al!ul/(
L'$aluation des al%orit"mes est sou$ent e##e!tue ar rsolution de roblmes tests sur
ordinateur(
Aarmi les roblmes tyes que re!ou$re le domaine de l'analyse numrique on eut !iter les
e&emles sui$ants-
.1/ $aluation des #on!tions3
tan & sin .&/
1 &
=
+=
.2/ rsolution d'quation ln & 2 & 0+ = =
.3/ interolation d'une #on!tion= #.&/ est d#inie ar e&emle our & 00(1 1= L trou$er une
aro&imation ar e&emle de # .0(175/ =
.4/ roblme de dri$ation numrique=
.5/ roblme d'int%ration numrique=
.6/ quation di##rentielle au& $aleurs initiales2dy & y
d&= + y.0/ 1= [ ]& 02 =
.7/ rsolution des systmes linaires ?G F= o ? et F sont donns=
.8/ roblme au& $aleurs rores ?G G= o ? est donn et est un s!alaire=
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./ quation di##rentielle au& dri$e artielles roblme au& limites tel que l'quation de
Lala!e2 2
2 2
u u0
& y
+ =
dans ] [ ] [11 12 = a$e! 3u.& y/ sin. &/ y= + sur la #rontire
= (
70 Mthodes "t!&t"8es
Aar oosition au& mt"odes dire!tes qui ermettent de !onstruire une aro&imation 9 la
solution en une seule tae les mt"odes dites itrati$es ermettent de !onstruire une suite
d'aro&imations qui tendent 9 s'amliorer au #ur et 9 mesure que l'on au%mente le nombre des
itrations( es mt"odes sont sou$ent simles et e##i!a!es( Hlles e&i%ent en rin!ie un
nombre in#ini d'taes a#in de !on$er%er mais elles ne sont utilises dans la ratique que
lorsqu'elles assurent une !on$er%en!e raide $ers la solution(
Les mt"odes itrati$es sont sou$ent utilises our rsoudre des quations de la #orme
# .&/ 0= o # est une #on!tion non linaire de &( >n initialise la solution en !"oisissant 0& et
on !al!ule les aro&imations su!!essi$es jusqu'9 l'ordre n- 1& ((( n& 9 l'aide d'un
al%orit"me dont la #orme %nrale est i 1 i& .& /+ = i 01(((=
Le rle du numri!ien qui tra$aille dans le domaine des mt"odes itrati$es est d'tudier la!on$er%en!e de dterminer le tau& de !on$er%en!e et d'tablir des !ritres a#in de dire quand
est!e qu'il #aut s'arr+ter d'itrer our obtenir une aro&imation su##isante de la solution(
Hn tant qu'e&emle !onsidrons le roblme de l'e&tra!tion de la ra!ine !arre d'un rel
< 0> ( L'al%orit"me ."abituel/ tant d!rit ar les deu& relations
0
i 1 i
i
1 n tablit our 1; 2 < 1< < que 6ii& < 2 ( ?insi our atteindre la r!ision sur le
rsultat il #aut au minimum un nombre total d'itration %al 9 6ln.1; / et on eut !onstater
que la !on$er%en!e est raide(
90 L6o!";"ne des &!!ond"s nu!"#ues
6.1 Arrondis dus au mode de reprsentation des nombres
Les ordinateurs utilisent la rersentation des rels sous #orme binaire dis!rte( Le mode le
lus utilis s'aelle rersentation en $ir%ule #lottante .floating-point/( l s'ensuit que le
nombre de rersentations ossibles est #ini .m+me s'il est en %nral %rand/( *on! tous les
rels ne sont as rersents et lorsqu'ils sont rersentables ils le sont a$e! des erreurs
d'arrondis .e&emle 1;3/( e %enre d'erreurs se trou$ent en bas de l'!"elle des erreurs qui
a!!oma%nent tout !al!ul numrique( Hlles sont lies dire!tement 9 la te!"nolo%ie de la
ma!"ine 9 sa !aa!it et au mode de rersentation ainsi qu'au nombre de di%its retenus dans
!ette rersentation(
Aour #i&er les ides nous !onsidrons la rersentation en base binaire des rels & non nuls
sous la #orme sui$ante b& a(2= o a et b sont des entiers !rits en base binaire( La
rersentation de 0 est obtenue a$e! a b 0= = ( ette rersentation est analo%ue 9 l'!riture
d'un rel a$e! des uissan!es de 10(
:i nous !onsidrons le !as de la ma!"ine .#i!ti$e/ aele muni de la rersentation en
$ir%ule #lottante our laquelle 48 di%its sont retenus our a 10 di%its our b et deu& autres
di%its our les si%nes de a et de b .nous utilisons don! au total 48 10 2 60+ + = di%its/ les
rersentations binaires de a et b sont-
1 47 1 0 1 1a s a (((((a a s 0 si a 0 et s 1 si a 0= = > = = = et 47& 0 a 0< = (
:i & 0> 47 482 a 2 1 et 1023 b 1023 . 101023 2 1= /( *on! le nombre ossible de
rersentations normalises en mode $ir%ule #lottante !orresond 9-1023 47 1023 482 (2 & 2 .2 1/ ( Le domaine !ou$ert en base d!imale ar !ette rersentation
imlante dans la ma!"ine est in!lut dans lKinter$alle24 322[10 10 ] et de manire
symtrique our les rels n%ati#s(
? titre d'e&emle e&li!itons les rersentations normalises en mode $ir%ule #lottante de 10
et 1;10 sur la ma!"ine (
?elons F .&/ la rersentation de & en base F( ?insi 1010 .10/= ( Aour trou$er 2 .10/ on
alique l'al%orit"me de !on$ersion qui !onsiste en de simles di$isions su!!essi$es ar 2 o
l'on s'arr+te lorsque le reste est soit 1 soit 0( La !olle!tion des restes rise 9 l'en$ers !onstitue
la rersentation en base binaire asso!ie 9 la rersentation d!imale( >n trou$e alors
2.10/ 1010 = ( La rersentation en $ir%ule #lottante s'en dduit et on obtient-
44
48 bits
& 101000(((02= 14 2 43 ( :a!"ant que 2 . 44/ 01111010011 = le mot qui rersente 10 s'!rit-
10 bits 48 bits
00111101001110100((((01 4 2 4 3 142 43 ( >n en dduit immdiatement la rersentation de .10/ en utilisant
la r%le du !omlmentaire sous la #orme-10 bits 48 bits
11000010110001011((((11 44 2 4 43 14 2 43 ( La rersentation
binaire de 2 .1;10/ est in#inie et riodique( Aour la trou$er il su##it de ratiquer la di$ision
en binaire de 1 ar 1010( >n trou$e alors- 2 .1;10/ 0(0001100110011001100((( = *es arrondis
numriques sont n!essaires a#in de se !ontenter de la rersentation de 2 .1;10/ et on !rit
10
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2
48 bits
.1;10/ 11001100((((12 1 44 2 4 43 ( omme 2 . 51/ 0111001100 = le mot qui rersente 1;10 est-
10 bits 48 bits
0011110011001100110011((((11 4 2 4 3 1 4 4 2 4 4 3 (
emarquons 9 rsent que les nombres que l'on eut rersenter de manire e&a!te ar des
mots de lon%ueur #i&e et que l'on eut sto!Ber don! dans la mmoire d'un ordinateur #orment
un sous ensemble #ini de l'ensemble des rationnels @ (
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1a qui est la! dans la moiti in#rieure uis additionn a$e! la moiti surieure our
#ormer :a =
le rsultat est normalis en r$ision de #utures utilisations=
Le rsultat ainsi obtenu est un mot double et il #aut l'arrondir !e qui sKa!!oma%ne dKerreurs
dKarrondis(
L'addition utilise une table binaire sto!Be dans la mmoire de l'ordinateur
N 0 1
0 0 1
1 1 10
Le rsultat de l'addition est sujet 9 un arrondi numrique systmatique( :i l'on note
1 2 ma!"ine.& & /+ l'oration d'addition e##e!tue ar la ma!"ine .rsultat de l'al%orit"me
r!dent/ on a- 1 2 ma!"ine 1 2 :.& & / .& & /.1 /+ = + + a$e!48
:2 < ( L'erreur absolue eut +tre
imortante !omme ar e&emle si47
1& 2= et 1 482& 2 .2 1/
= (
Hn tant qu'e&emle de l'e##et des arrondis sur le rsultat !onsidrons l'$aluation de
l'e&ression sui$ante2
0 1 2A.&/ a & a & a= + + ( La ro!dure de !al!ul otimale est !elle qui
!onsiste 9 ro!der de manire r!ursi$e-
0 0I a= 1 0 1I &I a= + 2 1 2I &I a= +
La borne surieure des arrondis est donne dans !e !as ar-2
0 1 2.4 a & 3 a & a /+ + a$e!
482 < (
6.3 Les arrondis dus aux tronatures des fontions lmentaires
,u les arrondis r!dents il !on$ient toujours dKessayer dKobtenir les #on!tions lmentaires
a$e! un minimum d'orations( >n !"er!"era 9 aro!"er sou$ent la #on!tion ar un
olynme ou une #ra!tion rationnelle(
?insi our $aluer la #on!tion ar!t an & on eut utiliser la srie de )aylora!laurin-
3 5 7& & &atan & & (((
3 5 7
= + + l #audra 9 eu rs une diIaine de termes our arri$er 9 une
12
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erreur 810 sur [ ]11 ( *'autres #ormules lus !onomiques e&istent- on se ramne d'abord 9
l'inter$alle [ ]tan. ;12/ tan. ;12/ a$e! tan. ;12/ 2 3 = ( Auis on !onsidre
l'aro&imation2
20(551370atan & & 0(603157 0(05160454&
& 1(4087812 + +
( Le rsultat obtenu
rsente une erreur 810 mais n!essite moins de termes qu'a$e! )aylor(
/0 E3e!-"-es
H101:oient 10 .&/ 75 = et 10 .y/ 0(8 = trou$er 2 .&/ et 2 .y/ ( Hn dduire 2 .75(8/ (
H10':oient 2 .&/ 1110(101 = et 2 .y/ 1001011(1100110 = !al!uler 10 .&/ et 10 .y/ (
H102@uels sont armi les nombres sui$ants !eu& qui sont rersentables sur la ma!"ine -
400 300 300 40010 10 10 10 (
H10)rou$er dans le !as de la ma!"ine les rersentations normalises de- 2 10 1
10 0
40 1722 1722 (
H107 H!rire un ro%ramme ermettant de !al!uler de manire r!ursi$e-
n n 1
0 1 nA.&/ a & a & ((( a= + + +
13
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CGAITRE ':
Rsolut"on nu!"#ue des #u&t"ons non l"n&"!es
10 Int!odu-t"on
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a$e! [ ]t
1 2 nG & & &= L et [ ]
t
1 2 nC # # # = L (
on
a-
1& 0
2
#.&/lim 0
&
= et 1& 02
#.&/lim
& +
= + (
2.3 "hor#me
:i D& est un Iro de #.&/ et si our un entier m #.&/ est m #ois !ontinOment di##rentiable
en D& alors la multili!it de D& est au moins m si et seulement si
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D D D .m 1/ D# .& / # .& / # .& / (((( # .& / 0 = = = = = (
La dmonstration de !e rsultat s'auie sur le t"orme de )aylor(
Re&!#ues
*es solutions analytiques de .2(3/ ne sont disonibles que dans des !as trs arti!uliers
!omme ar e&emle our # .&/ a& b= + .# est linaire/ 2# .&/ a& b& != + + .# est quadratique/(
Hlles sont aussi disonibles lorsque #.&/ est un olynme de de%r 3 mais dans !e dernier
!as les #ormules sont !omliques et rarement utilises dans la ratique( Aour un olynme de
de%r stri!tement surieur 9 4 il n'e&iste as toujours des solutions analytiques( Les
solutions analytiques n'e&istent as non lus en %nral lorsque # #ait inter$enir des #on!tions
trans!endantes(
*es mt"odes numriques nous ermettront sou$ent de !al!uler des solutions arories
dans le !adre des limitations de r!ision e&i%es ar la rersentation dis!rte des rels et la
rersentation des #on!tions trans!endantes ar des sries tronques( Aarmi les mt"odes
itrati$es qui ont #ait leur reu$e nous tudions dans la suite-
la mt"ode de di!"otomie .aele bisetionen an%lais/=
la mt"ode de la osition #ausse .aelefalse position en an%lais/=
la mt"ode de
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1 0 1 0 0 0
1 0 1 0 0 0
r r s I si # .I /# .r / 0
r I s s si # .I /# .r / 0
= =
.2(5/
Hn %nral tant donns nr et ns tels que n n# .r /# .s / 0< on ose n n nI .r s / ; 2= + ( :i
n# .I / 0= le ro!essus s'arr+te et D n& I= ( :inon soit
n 1 n n 1 n n n
n 1 n n 1 n n n
r r s I si # .I /# .r / 0
r I s s si # .I /# .r / 0
+ +
+ +
= =
.2(6/
et le ro!essus !ontinue(
3.2 %onvergene de la mthode
Aour tablir la !on$er%en!e de la mt"ode de di!"otomie on utilise le t"orme des
M%endarmesM( >n $ri#ie alors que n n nr I s< < nr ns et n nnlim r s 0+ = ( Auisque ar
ailleurs on a-D n 1
nI & .b a/ ; 2 + = on eut estimer le nombre d'itrations n!essaires our
atteindre la r!ision 9 rs( >n obtient ainsi
b aln
n 1ln 2
.2(7/
Aour3# .&/ & 2= a 1= b 2= et 610 = on trou$e n 1 (
0 L& thode de l& $os"t"on ,&usse
ette mt"ode est similaire 9 la mt"ode de di!"otomie 9 l'e&!etion du #ait qu'9 !"aque
itration on ose
n n n nn
n n
r # .s / s # .r /I
# .s / # .r /
=
.2(8/
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La #ormule r!dente rsulte de la linarisation de # sur l'inter$alle [ ]n nr s qui #ournit
l'estimation de D& ar nI ( La linarisation ermet de d#inir la #on!tion n# .&/ sur [ ]n nr s ar
n n n n n nn
n n n n
# .s / # .r / s # .r / r # .s /# .&/ &s r s r
= + .2(/
?insi
n n n nn n n
n n
r # .s / s # .r /# .I / 0 I
# .s / # .r /
= =
.2(10/
>n dmontre que si # est !ontinue sur [ ]a b et # .a/# .b/ 0< la mt"ode de la osition #ausse
!on$er%e(
70 L& thode de Ne?ton
:uosons que D& soit une ra!ine de # .&/ 0= o # est une #on!tion s!alaire de !lasse 1
alors le t"orme de )aylor ermet d'!rire our 0& aartenant au $oisina%e deD&
D D
0 0 0# .& / # .& / .& & /# .& / (((= + + .2(11/
e qui donne l'aro&imation au remier ordre
D D D
0 0 0# .& / # .& / # .& / .& & /# .& / = + % .2(13/
Hn osant D# .& / 0=% et en suosant que 0# .& / 0 il $ient une estimation de D& d#inie ar
01 0
0
# .& /& &
# .& /=
.2(14/
*'o le s!"ma itrati# de
7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques
20/61
>n eut tablir raidement la !on$er%en!e lorsque # est de !lasse 2 au $oisina%e de la
solution D
& lorsqu'elle est unique( >n ose ainsi
#.&/.&/ &
# .&/
=
!e qui donne
[ ]2
# .&/# .&/.&/
# .&/
=
( >n eut trou$er alors un $oisina%e deD& tel que- # .&/
2# .&/# .&/ < ( *'o .&/ 1 < et la mt"ode !on$er%e our$u que l'initialisation s'e##e!tue
au $oisina%e de la solution D& (
90 S4st5e d6#u&t"ons non l"n&"!es
L'analyse des mt"odes numriques our rsoudre les systmes d'quations non linaires eut
+tre #aite dans le !adre d'un systme non linaire quel!onque de la #orme
1 1 2 n
2 1 2 n
n 1 2 n
# .& & ((( & / 0
# .& & ((( & / 0
# .& & ((( & / 0
= =
=
.2(16/
ais a#in de simli#ier la rsentation nous !onsidrons un systme de deu& quations 9 deu&
in!onnues
%.& y/ 0
".& y/ 0
= =
.2(17/
ette quation eut dans !e !as arti!ulier de dimension 2 +tre asso!ie 9 l'quation
d'in!onnue !omle&e # .I/ 0= o % e.# /= et " m.# /= (
Les mt"odes en$isa%es our rsoudre !e roblme sont-
la mt"ode de nePton %nralise=
la mt"ode de Qa!obi=
la mt"ode de Rauss:eidel=
les mt"odes de rela&ation(
1
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/0 L& thode de Ne?ton ;n!&l"se
Aour n& et ny donns on dtermine n 1& + et n 1y + de sorte qu'au remier ordre en
n n 1 n& & &+ = et n n 1 ny y y+ = on ait- n 1 n 1 n 1 n 1%.& y / ".& y / 0+ + + += = ( ?insi la #ormule de
)aylor ermet dK!rire
n 1 n 1 n n n & n n n y n n%.& y / %.& y / & % .& y / y % .& y / (((+ + = + + +
n 1 n 1 n n n & n n n y n n".& y / ".& y / & " .& y / y " .& y / (((+ + = + + + .2(18/
Hn n%li%eant les termes dKordre surieur n 1& + et n 1y + sKobtiennent sous la #orme
n n y n n n n y n n
n 1 n
n
%.& y /" .& y / ".& y /% .& y /& &Q
+ = .2(1/
n n & n n n n & n n
n 1 n
n
".& y /% .& y / %.& y /" .& y /y y
Q+
=
a$e!
& n n y n n
n & n n y n n & n n y n n
& n n y n n
% .& y / % .& y /Q det % .& y /" .& y / " .& y /% .& y /" .& y / " .& y /
= =
le ja!obien des #on!tions # et %(
Re&!#ues
Lorsque % ; y 0 = la #ormule %nralise de
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22/61
.B 1/ .B / .B / .B 1/
1 1 2 n 1
.B / .B 1/ .B / .B 1/
2 1 2 n 2
.B / .B / .B 1/ .B 1/
n 1 2 n n
# .& & ((( & / 0 &
# .& & ((( & / 0 &
# .& & ((( & / 0 &
+ +
+ +
+ +
=
= =
M.2(20/
>n montre que !ette mt"ode !on$er%e si l'initialisation.0/ .0/ .0/
1 2 n& & ((( & est !"oisie au
$oisina%e de la solution et si le rayon se!tral de la matri!e ja!obienne est in#rieur 9 l'unit(
+0 Mthode de .&uss Se"del
.B 1/ .B / .B / .B 1/
1 1 2 n 1
.B 1/ . B 1/ .B/ .B 1/2 1 2 n 2
.B 1/ . B 1/ .B 1/ .B 1/
n 1 2 n n
# .& & ((( & / 0 &
# .& & ((( & / 0 &
# .& & ((( & / 0 &
+ +
+ + +
+ + + +
=
= =
M.2(21/
1(0 Mthode de !el&3&t"on
>n ose.B 1/ .B / .B 1/ .B/
i i i i& & & & i 12((( n+ + = + = % a$e!
. n 1/
i& +% tel que
.B 1/ .B 1/ .B 1/ .B 1/ .B / .B /
i 1 2 i 1 i i 1 n# .& & ((( & & & ((( & / 0+ + + + + =% .2(22/
ette mt"ode ermet d'a!!lrer la !on$er%en!e ar un !"oi& !ommode de (
110 E3e!-"-es
H'01 H!rire un ro%ramme sous atlab ermettant de rsoudre a$e! la mt"ode de
di!"otomie l'quation # .&/ sin & 0(750 0= = ( >n rendra a 0(800= et b 0(00= (
H'0'H!rire un ro%ramme sous atlab ermettant de rsoudre a$e! la mt"ode de la osition
#ausse l'quation # .&/ sin & 0(750 0= = ( >n rendra a 0(800= et b 0(00= (
H'02*$eloer une mt"ode itrati$e 9 base de la mt"ode de
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H'0 ?liquer sous #orme d'un ro%ramme la mt"ode de n se raellera des deu& #ormules-
sin.& iy/ sin & !" y i !os & s" y
!os.& iy/ !os & !" y isin & s" y
+ = ++ =
H'0/)rou$er les ra!ines !omle&es de 3I 2I 2 0 + = en osant I & iy= + et en rsol$ant ar la
mt"ode de
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d'interolation on trou$e l'interolation linaire l'interolation de La%ran%e l'interolation
d'Termite(((
La deu&ime mt"ode s'aelle aro&imation( *ans !e ro!d on ne demande as 9 C.&/
de !oSn!ider a$e! #.&/ en un !ertain nombre de oints on imose 9 C.&/ d'+tre ro!"e de
#.&/ au sens d'une norme 9 !"oisir( >n !"er!"e ar e&emle 9 minimiser [ ]b 2
aC.&/ # .&/ d&
ou bien [ ] (
28
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30/61
?#in de !ontourner !es di##i!ults il est r#rable d'utiliser des interolations !onstruites 9
base de olynmes de lus #aible de%r mais sur une artition d'inter$alles de taille lus
rduite que !elle de l'inter$alle de dart( :i sur !"aque sous inter$alle une interolation
linaire est ar e&emle !onsidre .!as dj9 $u/ on obtient une #on!tion dKinterolation
!ontinue qu'on aelle interolation sline linaire( *ans le !as d'une interolation sline
!ubique on utilise une subdi$ision quel!onque de l'inter$alle de dart et on d#init sur
!"aque sous inter$alle une interolation !ubique de$ant de lus satis#aire les !onditions de
r%ularit sui$antes au& oints de la subdi$ision-
.3(2/
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1 2 2
2 32
n 2 n 1 n 1
n 1 n 1 n
" " "0 0
3 6
" ""
6 3
? 0 0" " "
3 6
" " "0 0
6 3
+
+
= +
+
L
O O M
O O O
M O O
L
L'interolation asso!ie 9 la sline !ubique est alors lus lisse que !elle du m+me ordre
asso!ie 9 La%ran%e(
/0 A$$!o3"&t"on $ol4no"&le &u sens des o"nd!es -&!!s
>n !onsidre les deu& roblmes sui$ants-
Aroblme 1-
Htant donn une #on!tion !ontinue #.&/ sur un inter$alle [ ]a b on minimise
[ ]( )1b 2 2
n n2 aA # A .&/ # .&/ = o nA .&/ est un olynme de de%r n (
Aroblme 2-
Htant donne une #on!tion d#inie sur un ensemble #ini de oints Q- 0 1 & & (((& !"er!"er 9
minimiser [ ]
1 22Q
n n i i2
i 1
A # A .& / # .& /
=
=
(
Le deu&ime roblme eut !orresondre 9 un ajustement de donnes e&rimentales ar
nA .&/ (
*#inissons le roduit s!alaire-b
a# % # .&/%.&/ d&= dans le !as du roblme !ontinu
.roblme 1/ ou bien
i i
i 1
# % # .& /%.& /=
= dans le !as du roblme dis!ret .roblme 2/(
30
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onsidrons le !as o # est un lment de [ ]( )2L ab ( [ ]( )2L ab muni du roduit s!alaire
# % est un esa!e de Tilbert( L'e&isten!e et l'uni!it des solutions des roblmes 1 et 2 sont
alors justi#ies ar le t"orme de roje!tion sur un !on$e&e #erm( L'ensemble des
olynmes de de%r n est en e##et un sous esa!e $e!toriel #erm de dimension #inie et le
t"orme de roje!tion s'non!e sous la #orme-
Aour tout n
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33/61
est une matri!e d#inie ositi$e don! non sin%ulire !e qui imlique qu'il e&iste une
unique solution our le systme .3(3/( al"eureusement sou$ent la matri!e est trs mal
!onditionne dans la mesure o si l'on !"er!"e 9 in$erser dire!tement !ette matri!e une trs
%rande erte de r!ision aaraEt( e!i eut s'e&liquer ar le #ait qu'en %nral est quasi
roortionnelle 9 la matri!e de Tilbert ijT 1;.i j 1/= + + (
?#in de !ontourner !ette di##i!ult numrique on !onstruit une base ort"o%onale ar le
ro!d de Rram :!"midt-
0
0 0
1 0
0 0
B 1 B B B B B 1
.&/ 1
& .&/ & .&/
.&/ & .&/ .&/ .&/ 1 B n 1+
=
=
=
a$e!
B B
B
B B
&
=
et
B B
B
B 1 B 1
=
La matri!e ainsi obtenue est dia%onale ou quasidia%onale .9 !ause des arrondis
numriques/( >n $ri#ie alors que les B sont roortionnels au& olynmes de Le%endre(
)0 A$$!o3"&t"on $&! une ,!&-t"on !&t"onnelle
:ou$ent dans la ratique l'aro&imation olynomiale n'est as satis#aisante( Vne meilleure
r!ision est obtenue lorsqu'on !onsidre l'aro&imation ar une #ra!tion rationnelle(
L'aro&imation de !e tye !onsiste 9 trou$er une #ra!tion
mm B
B
A .&/C.&/ C .&/
@ .&/= =
o mA .&/ et B@ .&/ sont des olynmes de de%r rese!ti$ement m et B et qui n'admettent as
de Iros !ommuns(
32
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34/61
*ans le !as de l'aro&imation de Aad on se donne un oint et on !"oisit mA .&/ et B@ .&/
tels que- C. / # . / = et . j/ . j/C . / # . / = a$e! j 1(((m B= + ( L'aro&imation de Aad est
une %nralisation du d$eloement en srie de )aylor au $oisina%e de &= (
:i l'on suose que # est d$eloable en sries entires au $oisina%e de on a-
. j/j
j 0
# . /# .&/ .& /
jU
+
=
=
>n montre alors que les !oe##i!ients des olynmes A et @ sont tels que le terme !onstant et
les monmes en .& / ((( m B.& / + s'annulent dans l'e&ression sui$ante-
. j/j
B m
j 0
# . /@ .&/ .& / A .&/
jU
+
=
o lKon aura os le terme !onstant de B@ .&/ %al 9 1(
Hn tant qu'e&emle !onsidrons .&/ e= 0 = et m B 1= = on trou$e alors-
1 0 1A .&/ a & a= + et 1 0@ .&/ b & 1= + ( *'o
11 &
2C.&/1
1 &2
+=
+0 E3e!-"-es
H201 )rou$er l'unique olynme A.&/ de de%r 3 tel que- A.0(5/ 2= A.0(6/ 8=
A.0(7/ 2= A.0(8/ 5= ( al!uler A.0(56/(
H20')rou$er ln.0(54/ en utilisant une interolation de La%ran%e 9 trois oints 9 l'aide de la
table-
& 0(4 0(5 0(6
#.&/ 0(162 0(6315 0(51083
33
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35/61
al!uler la $aleur e&a!te de l'erreur sa!"ant que ln.0(54/ 0(6161= et !omarer !ette $aleur
a$e! la borne de l'erreur(
H202:oit #.&/ une #on!tion telle que- # .0/ 1(25= # .0(5/ 1(75= # .1/ 2(10= ( :oit A.&/ unolynme de de%r 2 tel que- C.0/ # .0/= C.0(5/ #.0(5/= et C.1/ # .1/= ( *terminer C.&/
et !al!uler C.0(25/ -
ar la #ormule d'interolation de La%ran%e=
ar la #ormule d'interolation de Rr%ory
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36/61
CGAITRE :
Rsolut"on nu!"#ue des s4st5es d6#u&t"ons l"n&"!es
10 Int!odu-t"on
n s'intresse seulement au !as o la solution est unique( *ans !e !as [ ]r%.?/ r% ?F n= = et
det.?/ 0 = et la matri!e est r%ulire.non sin%ulire/(L'unique solution du systme est donne ar la r%le de ramer qui est un t"orme( ?insi si
l'on note
11 1 j 1 1 1 j 1 1n
21 2 j 1 2 2 j 1 2n
j
n1 n j 1 n n j 1 nn
a a b a a
a a b a adet j 12((( n
a a b a a
+
+
+
= =
L L
L L
M M M M M
L L
35
7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques
37/61
o la jme !olonne de ? a t remla!e ar F on obtient
j
j&
=
Vne autre #aJon qui ermet d'e&rimer imli!itement la solution !onsiste 9 !rire
1G ? F=
>n dit que le systme est "omo%ne si et seulement si F 0= ( *ans !e !as si ? est r%ulire
l'unique solution est G 0= (
'0 Mthodes $!&t"#ues $ou! !soud!e les s4st5es d6#u&t"ons l"n&"!es
>n s'intresse i!i au& mt"odes ratiques our rsoudre les systmes linaires( La solution qui
!orresond 9 l'ali!ation de la r%le de ramer n'est as ratique( *ans !ette r%le il #aut
!al!uler .n 1/+ dterminants d'ordre n( Le !al!ul d'un dterminant e&i%e en %nral un
nombre de multili!ations qui est %al 9
n
j 2
12.n 1/U
. j 1/U=+
Lorsque n est %rand
n
j 2
1e 1
. j 1/U=
on obtient don! 9 eu rs 2.e 1/.n 1/U +
multili!ations( :a!"ant qu'il #aut aussi autant d'additions on obtient un nombre total
d'orations qui est %al 9 4.e 1/.n 1/U + a#in de !al!uler la solution G du systme ?G F=
ar la mt"ode de ramer(
Hn tant qu'e&emle si n 20= il #aut 178(36 10 orations( Vn ordinateur qui est !aable
d'e##e!tuer 2 millions d'orations ar se!onde de$ra tourner durant au moins treiIe milles
annes( Fien sOr durant !ette riode l'ordinateur risque de tomber en anne et la ersonne
qui !onduit les !al!uls ourrait mourirU
L'e&emle r!dent justi#ie le re!ours au& mt"odes d'limination qui sont attribues 9
Rauss(
2.1 $rodure d&limination de 'auss dite aussi triangularisation du s(st#me
36
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38/61
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39/61
.r /.r 1/ .r / .r /iri i r.r /
rr
ab b b i r 1
a
+ = + .5(4/
? l'issue de !ette limination on se retrou$e a$e! le systme-
.r 1/ .r 1/
? G F
+ +
= ( >n eut $ri#ierar des multili!ations dire!tes que la matri!e
r 1
.r /
r 1r .r /
.r /
rr
.r /
n r
.r /
rr
0 0
0 1 0 0
a1
a
0 0
a0 0 0 1
a
+
=
M L
L L L L L
M L
M M O
M M O
M
est telle que- .r 1/ .r / . r /? ?+ = et .r 1/ .r / .r /F F+ = (
n eut se rendre !omte alors de l'a$anta%e ro!ur ar
!ette mt"ode si on la !omare a$e! la r%le de ramer(
Re&!#ue
38
7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques
40/61
La mise en mar!"e de lKal%orit"me de Rauss dans sa $ersion r!dente suose que les
i$ots ne sKannulent jamais( *ans la ralit il se eut quK9 une tae donne le i$ot soit
nulle( *ans !e !as il #aut ratiquer soit le i$ota%e artiel soit le i$ot !omlet( Le i$ota%e
ermet dans tous les !as dKamliorer le !onditionnement du systme lorsquKon remla!e le
i$ot initial ar un autre lus %rand en $aleur absolue(
20 Inst&%"l"t nu!"#ue
Lorsque l'al%orit"me de Rauss d!rit r!demment est aliqu dans la ratique il y a des
!onsidrations qui dassent !elles dj9 mentionnes !idessus( es !onsidrations
sulmentaires sont dues 9 la nature du !al!ul numrique a$e! la rersentation des nombres
sur ordinateur qui entraEne n!essairement des arrondis .l'arit"mtique or ar les
ordinateurs n'est as e&a!te elle est aro!"e/(
:ous l'"yot"se d'une rersentation idale des nombres .1;3 a une rersentation in#inie/ et
d'un !al!ul arit"mtique in#iniment r!is l'al%orit"me de Rauss ourrait !onduire 9 l'unique
solution du roblme et !e a$e! une r!ision in#inie .et eut +tre une dure de !al!ul in#inie/(
ais la ralit est trs di##rente( Hn rsen!e d'un i$ot qui est etit les tron!atures
numriques eu$ent olluer !onsidrablement la solution(
E3e$le:
2 2
1
2 2
2
3
7(080734182735712 10 4(54648713412840 10 0 & 1
4(54648713412840 10 2(126581726428 10 0 & 1
0 0 1 & 1
=
Lorsque le !al!ul est e##e!tu en double r!ision a$e! la #on!tion inv de atalb on trou$e
15
1
14
2
3
& 6(53158410751655 10
& 1(0172336721046 10
& 1
=
= =
ais en e##e!tuant le roduit de la matri!e ? a$e! la solution !al!ule G on trou$e
3
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41/61
2 1
?G 1(5 F 1
1 1
= =
La solution !al!ule est #ausse 9 !ause de l'instabilit numrique( L'ori%ine de !ette instabilit
est lie 9 la rsen!e d'un i$ot qui est #aible(
0 S4st5e &l -ond"t"onn
Le systme ?G F= est mal !onditionn lorsque la solution est trs sensible au& etites
erturbations qui eu$ent a##e!ter la matri!e au%mente [ ]? F (
*ans le !as d'un systme mal !onditionn l'instabilit de l'al%orit"me de Rauss est un sort qui
est in$itable(
:uosons que l'on erturbe le systme ?G F= de la #aJon sui$ante- ?? ? + =
FF F + alors la solution G est erturbe et de$ient GG + ( Le systme erturb s'!rit
alors
? G F.? /.G / F+ + = +
).1 *orme matriielle
*#inissons la norme sui$ante sur l'esa!e des matri!es !arres d'ordre n n
G 0
?G su
G
=
o
est une norme sur n
(
est dite norme matri!ielle subordonne de la norme
(
La norme matri!ielle $ri#ie les rorits sui$antes- A A
et our tout nG -
?G ? G
(
Les normes $e!torielles qui eu$ent +tre utilises our d#inir la norme matri!ielle sont-
n
i1i 1G &==
n2
i2i 1G &==
iiG ma& &
= (
40
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42/61
>n dmontre alors que-n
1
ij1 ji 1
? ma& a=
= uis 2 12? = .norme se!trale/ a$e! 1 la
ra!ine ositi$e de la lus %rande $aleur rore de la matri!e "ermitienne t ?? dite aussi lus
%rande $aleur sin%ulire de ?( Cinalementn
iji
j 1
? ma& a
=
= (
Re&!#ue
>n dmontre le t"orme sui$ant-
:i est $aleur rore de ? alors our toute norme matri!ielle on a- ?
le rayon
se!trale de ? :.?/ est don! born ar toute norme matri!ielle de ?(
).2 Anal(se des perturbations
>n dmontre le t"orme sui$ant-
:i1
? ? 1
< et 1
= alors
1
G F ?
1
?
? ?
G F ?1 ?
+
e t"orme montre que la erturbation qui a##e!te G est majore ar la quantit=
( )r rF ?r?
.?/
1
+
o1.?/ ? ?
= et l'e&osant r dans r? indique la norme relati$e de
la erturbation(
Le nombre .?/ joue un rle !onsidrable( :'il est etit la erturbation qui a##e!te la
solution reste etite( *ans le !as !ontraire uisqu'on dmontre dans le !as %nral qu'il
nKe&iste as de borne lus #ine que la r!dente on eut a$oir amli#i!ation de la
erturbation( Lorsque !e!i se roduit le systme est mal !onditionn( Le nombre .?/
s'aelle !onditionnement du systme linaire ?G F= (
:i
est la norme se!trale alors
2
2 1 n.?/ ; = qui est le raort de la lus %rande et de
la lus etite $aleur rore de t ?? dites aussi $aleurs sin%ulires de ?( >n a alors2
2.?/ 1 (
l ne #aut as !roire que ? est mal !onditionne si det.?/ est etit( Hn e##et2
2.?/ eut +tre
%rand dans le !as o la taille du systme est etite et det.?/ etit( Hn tant qu'e&emle on eut
!onsidrer le systme
41
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1
2
&1(00 0( 1(
&0( 0(8 1(7
=
70 D-o$os"t"on t!"&n;ul&"!e d6une &t!"-e
+.1 ,atorisation L
La ro!dure de Rauss sans modi#i!ation de i$ot !onduit au systme trian%ulaire surieur
.n / .n /? G F= ( La relation entre .n /? et ? est donne ar- .n /? ?= soit 1 .n /? ?= ( La
matri!e 1 est donne ar-1 1 1
1 .1/ .2/ .n 1/ ((( = (
l est ossible de montrer que
r 1
.r /1 r 1r.r /
.r /rr
.r /
n r
.r /
rr
0 0
0 1 0 0
a
1 a
0 0
a0 0 0 1
a
+
=
M L
L L L L L
M L
M M O
M M O
M
de sorte que
[ ]
.1/21
.1/
11
.2 /
321 .2 /
22
. n 1/.1/ . 2/n n 1n1 n 2
.1/ . 2/ .n 1/
11 22 n 1n 1
1 0 0 0
a1
a
a1
a
1 0
aa a1
a a a
=
O
M M O O
42
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Hn osant- 1 L = .lower/ et .n /? V= .upper/ le rsultat r!dent montre que ? LV=
a$e! L une matri!e trian%ulaire in#rieure et V une trian%ulaire surieure(
>n montre ar ailleurs que !ette d!omosition est unique si l'on #i&e la dia%onale de L ou
!elle de V(:i ? est relle symtrique et d#inie ositi$e alors tV L= et t? V V= !'est la d!omosition
de "olesBy(
Lorsque la d!omosition LV d'une matri!e ? est disonible on eut rsoudre le systme en
deu& taes- LW F= uis VG W= our trou$er en#in G(
Lorsqu'on ratique le i$ota%e artiel on montre que si l'on aelle A la matri!e de
ermutation on obtient la d!omosition- A? LV= (
Vne mt"ode $oisine de la mt"ode de Rauss est la mt"ode de Rauss Qordan qui ermet de
!al!uler l'in$erse d'une matri!e(
+.2 La fatorisation de %holes(
>n dmontre que si ? est symtrique d#inie ositi$e il e&iste au moins une matri!e
trian%ulaire surieure F telle que t? F F= .ar e&emle F V= d'ars la #a!torisation LV/(
*e lus on eut imoser que les lments dia%onau& de la matri!e F soient X0 et la
#a!torisation t? F F
=asso!ie est alors unique(
La !onstru!tion de F se #ait ar l'al%orit"me sui$ant qui se justi#ie ar le #ait que-
min.ij/nt
ij ij Bi Bj Bi Bj
B 1 B 1
a .F F/ b b b b 1 i j n= =
= = = ( *'o
!al!ul de la remire li%ne
11 11b a= 12 12 11b a ; b= ((( 1n 1n 11b a ; b= =
!al!ul de la ime li%ne
i 12
ii ii iB
B 1
b a b
=
= i 1
ii 1 Bi Bi 1
B 1ii 1
ii
a b b
bb
+ +=
+
=
(((
i 1
in Bi Bn
B 1in
ii
a b b
bb
=
=
Le d!omte des orations a$e! la mt"ode de "olesBy !onduit 9 3n ; 3 orations( e qui
rsente un a$anta%e ar raort 9 la mt"ode de Rauss(
43
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90 Mthodes "t!&t"8es
>n !onsidre de manire %nrale la d!omosition de la matri!e ? sous la #orme ? n a don! les qui$alen!es-
1 1?G F G 0 autrement ij ijC a= si i j< 0 autrement(
La matri!e de !ette mt"ode itrati$e1
B 1 BG QG * F+ = + est
1 1Q * .H C/ * ? = = + = et
s'aelle la matri!e de Qa!obi ar oints(
6.2 /thode de 'auss eidel
?$e! la d!omosition r!dente .Qa!obi/ de la matri!e ? la matri!e de la mt"ode itrati$e
de Rauss :eidel est-1R: .* H/ C= = ( * H est bien in$ersible !ar [ ]iia 0 i 1n ( Les
itrations s'!ri$ent-1
B 1 BG R:G .* H/ F+ = + ( La mise en oeu$re numrique de !ette
mt"ode n'e&i%e as le !al!ul de1.* H/ ( ette mt"ode o!!ue moins de la!es mmoires
que Qa!obi et rsente don! un a$anta%e !ertain dans le !as des %rands systmes(
6.3 /thode de relaxation
l s'a%it d'une %nralisation de Rauss :eidel o l'on introduit un aramtre de rela&ation
0 ( La matri!e itrati$e s'!rit dans !e !as- { }1 .* H/ .1 /* C= + !e qui est
44
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asso!i 9 la d!omosition1 1
? * H * C = + +
( )out se asse !omme si l'on #ait
asser une artie de la matri!e * dans la matri!e < .on a rela& */(
Les itrations s'!ri$ent-
1
B 1 B 1G G * H F
+ = + (
:i 1 = on retrou$e Rauss :eidel(
:i 1 < on arle de sous rela&ation(
:i 1 > on arle de sur rela&ation(
La mise en oeu$re numrique de !ette mt"ode n'e&i%e as le !al!ul de1*. H/
(
L'a$anta%e de !ette mt"ode !'est qu'elle ermet d'tudier la $itesse de !on$er%en!e en
#on!tion de et don! de !"oisir un aramtre otimal(
Vne itration !orresondant 9 la mt"ode de Rauss :eidel ou de rela&ation !orresond 9 la
rsolution du systme trian%ulaire in#rieur sui$ant-
( )
( )
( )
B 1 B B B B
11 1 11 1 11 1 12 2 1n n 1
B 1 B B 1 B B
22 2 22 2 21 1 22 2 2n n 2
B 1 B B 1 B 1 B
nn n nn n n1 1 nn 1 n 1 nn n n
a & a & a & a & ((( a & b
a & a & a & a & ((( a & b
a & a & a & ((( a & a & b
+
+ +
+ + +
= + + + = + + + = + + +
M
/0 E3e!-"-es
H01al!uler les solutions des systmes linaires
240 31(5 & 3
17(5 240 y 4 =
240 31 & & 3
17 240 y y 4 + = +
et #aire l'analyse numrique des rsultats(
H0'>n aelle matri!e de Tilbert d'ordre n la matri!e symtrique ijT ." /= o ij1
"i j 1
=+
1 i j n (
ontrer que !ette matri!e est d#inie ositi$e .don! in$ersible/(
45
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al!uler le !onditionnement2
2.T/ our n 234510= .il est r#rable d'utiliser 9 !e titre
atlab/ et !onstater que le !onditionnement est trs raidement !roissant en #on!tion de n(
H02Hn utilisant la !ommande hol de atlab e##e!tuer la #a!torisation de "olesBy de lamatri!e
1 2 3 4
2 5 1 10?
3 1 35 5
4 10 5 45
=
H0H!rire un ro%ramme sous atlab qui ermet de rsoudre un systme quel!onque ar la
mt"ode de Rauss sans !ontrle du i$ot(
46
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CGAITRE 7:Mthodes de -&l-ul nu!"#ue des 8&leu!s $!o$!es et des
8e-teu!s $!o$!es
10 Int!odu-t"on
Aour !al!uler des aro&imations du se!tre .ensemble des $aleurs rores/ d'une matri!e ?
une ide !ouramment e&loite !onsiste 9 !onstruire une suite de matri!es B B 1.A / telle que les
matri!es1
B BA ?A !on$er%ent dans un sens 9 r!iser $ers une matri!e de $aleurs rores
!onnues !'est9dire dia%onale ou trian%ulaire(
ette ide est 9 la base de la mt"ode de Qa!obi our les matri!es symtriques o les matri!es
BA sont des roduits de matri!es ort"o%onales lmentaires trs simles 9 !onstruire(
Aour les matri!es quel!onques des al%orit"mes dKe&tra!tion de $aleurs et $e!teurs rores
e&istent- les itrations in$erses la mt"ode @ la mt"ode de Lan!Ios(((
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ort"onormale de $e!teurs rores le ime $e!teur !olonne tant un $e!teur rore asso!i 9 la
$aleur rore i (
Aartant de 1? ?= la mt"ode de Qa!obi !onsiste 9 !onstruire une suite B B 1.A / de matri!es
ort"o%onales lmentaires en s'arran%eant our que la suite de matri!es .en!ore symtriques/
t t
B 1 B B B 1 2 B 1 2 B ? A ? A .A A (((A / ?.A A (((A / B 1+ = = !on$er%e $ers la matri!e dia%onale i*. / 9
une ermutation des indi!es rs(
Le rin!ie de !"aque trans#ormationt
B 1 B B B ? A ? A B 1+ = est d'annuler deu& lments "ors
dia%onau& en osition symtrique soit B q.? / et B q.? / de la matri!e B? ( Aosons B ij? .a /=
B 1 ij? .b /+ = et BA A= (
La mt"ode de Qa!obi s'auie sur le t"orme sui$ant-
soit et q deu& entiers $ri#iant 1 q n < et un nombre rel au&quels on asso!ie la
matri!e ort"o%onal
1 0 0
0
1
!os sin1
A
1
sin !os
1
0
0 0 1
=
L
O
M O M
O
L
48
q
q
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:i ij? .a /= est symtrique tF A ?A= est symtrique etn n
2 2
ij ij
i j 1 i j 1
b a= =
= ( :i de lus qa 0 il
e&iste un unique0 0
4 4
tel que- qb 0
= q
qq
2at an.2 /
a a = et
n n2 2 2
ii ii q
i 1 i 1
b a 2a= =
= + (
Re&!#ues:
:eules les me et qme li%nes et !olonnes de la matri!e ? sont modi#ies dans la
trans#ormation t? F A ?A = ( *e #aJon lus r!ise our toute $aleur de l'an%le
ij ijb a si i q et j q=
i i qib a !os a sin si i q=
i ib b si i q=
qi i qib a sin a !os si i q= +
iq qib b si i q=
2 2
qq qb a !os a sin a sin.2 /= +
2 2
qq qq qb a sin a !os a sin.2 /= + +
qq
q q q
a ab b a !os.2 / sin.2 /
2
= = +
?u $u du rsultat r!dent une tae de la mt"ode Qa!obi= !elle qui ermet de !onstruire
B 1? + 9 artir de
B
B ij? .a /= !onsiste 9 !"oisir un !oule .q/ q our lequel l'lment
B
qa 0 uis on !onstruit la matri!e BA a$e! l'an%le B qui est !"oisi dans 0 0
4 4
de telle #aJon que
B
q
B B B
qq
2at an.2 /
a a =
et l'on ose-
t .B 1/
B 1 B B B ij? A ? A a ++ = = (
>n distin%ue trois strat%ies our le !"oi& du !oule .q/ -
4
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.1/ t"ode de Qa!obi !lassique
>n !"oisit l'un des !oules our lesquelsB B
q iji j
a ma& a
= ( ? !ette oration est asso!i un !oOt
de !al!ul qui n'est as n%li%eable(
.2/ t"ode de Qa!obi !y!lique
>n balaye systmatiquement tous les !oules "ors dia%onau& .q/ dans l'ordre sui$ant-
.12/ = .13/ = (((= .1n/ = .23/ =(((= .2n/ =((( .n 1 n/ (
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H70'Hn utilisant la !ommande eigde atlab !al!uler les $aleurs et $e!teurs rores de la
matri!e
120 0(86 0 0
0(86 157(2 67(5 0
0 67(5 124(0 46(26
0 0 46(26 78(84
H702H!rire un ro%ramme sous atlab qui ermet de !al!uler les $aleurs et $e!teurs rores
de la matri!e de lKe&er!i!e .5(2/ ar la mt"ode de Qa!obi(
CGAITRE 9:
!o;!&&t"on l"n&"!e
10 Int!odu-t"on
>n aelle de manire %nrale ro%ramme mat"matique un roblme d'otimisation sous
!ontraintes dans un esa!e $e!toriel norm , ( >n !"oisira de manire systmatique dans la
suite n, = et le ro%ramme mat"matique s'!rit
{ }n i
$ V
)rou$er u tel que
.A/ u V $ = .$/ 0 1 i m
Q.u/ in# Q.$/
= =
51
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Le $e!teur nu admet our !omosantes 1 2 nu u ((( u qui rersentent les in!onnues du
roblme( La #on!tion Q est aele la #on!tion obje!ti# .on dit aussi ar#ois- #on!tion !oOt/ et
l'ensemble des !onditions { }i .$/ 0 i 12(((m = sont les !ontraintes du roblme(
n aelle solution de .A/ tout $e!teur $ $ri#iant les !ontraintes !'est9dire tel que-
{ }i .$/ 0 i 12(((m = (
>n aelle solution otimale de .A/ .ou en!ore otimum %lobal/ de .A/ une solution qui
minimise Q.$/ sur l'ensemble de toutes les solutions(
'0 !"n-"$&les -l&sses de $!o%l5es en $!o;!&&t"on &th&t"#ue
2(1 Aro%rammation linaire
Vn roblme de ro%rammation linaire !onsiste 9 minimiser une #on!tion linaire sous des
!ontraintes linaires= il s'a%it don! d'un ro%ramme mat"matique de la #orme
{ }n mm & nt n
$ V
)rou$er u tel que
.AL/ u V $ = $ d . / d
Q.u/ in# Q.$/ Q.$/ a $ a
=
= =
>n eut suoser sans restreindre la %nralit que r%./ m= !e qui imose m n ( >n eut
suoser aussi que tous les $e!teurs !olonnes j8 de la matri!e sont non nuls(
2(2 Aro%rammes !on$e&es
>n dit qu'un roblme de ro%rammation mat"matique est !on$e&e s'il !onsiste 9 minimiser
une #on!tion !on$e&e sur un domaine !on$e&e( e!i re$ient 9 suoser que Q et
{ }i i 1((( n = sont toutes des #on!tions !on$e&es(
>n dmontre dans !e !as en arti!ulier que tout otimum lo!al est un otimum %lobal(
52
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2(3 Aro%rammes non linaires
'est le !as %nral qui !omrend en arti!ulier le !as intressant o la #on!tionnelle Q est
quadratique(
20 !o;!&&t"on l"n&"!e
n dmontre que les trois #ormes sui$antes du roblme de ro%rammation linaire sont
qui$alentes(
nn
ij j i
j 1
n
i i$ V
i 1
)rou$er u tel que
.AL1/ u V $ = $ d 1 i m
Q.u/ in# Q.$/ Q.$/ a $
=
=
=
= =
nn
ij j i
j 1
n
i i$ V
i 1
)rou$er u tel que
.AL2/ u V $ = $ d 1 i m
Q .u / in# Q .$ / Q .$ / a $
+=
=
=
= =
53
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nn
ij j i
j 1
n
i i$ V
i 1
)rou$er u tel que
.AL3/ u V $ = $ d 1 i m
Q .u / in# Q .$ / Q .$ / a $
+=
=
= =
= =
L'qui$alen!e est !onsidre i!i au sens sui$ant- artant d'un roblme os sous l'une des
trois #ormes r!dentes on eut toujours lui #aire !orresondre un roblme os sous l'une
quel!onque des deu& autres #ormes de telle #aJon que la !onnaissan!e de l'ensemble des
solutions .m+me si il est $ide au !as o la solution n'e&iste as/ du roblme initial entraEne
!elle de l'ensemble des solutions du nou$eau roblme et in$ersement(
La #orme .AL2/ s'aelle #orme !anonique standard du roblme de ro%rammation linaire(
Le assa%e de .AL1/ 9 .AL2/ se #ait en introduisant des $ariables ositi$es de sorte que toute
$ariable ou$ant rendre des $aleurs n%ati$es uisse +tre remla!e ar la di##ren!e de deu&
$ariables ositi$es(
Le assa%e de .AL2/ 9 .AL3/ se #ait en introduisant de nou$elles $ariables ositi$es aeles
$ariables d'!art qui ermettent d'!rire les in%alits sous #orme d'%alits(
*ans la suite nous omettrons a#in d'all%er les notations les rimes et les se!ondes en se
r#rant 9 l'un des trois roblmes r!dents(
0 Rsolut"on nu!"#ue dun $!o;!&e &th&t"#ue
LKal%orit"me du simle& ermet de rsoudre les ro%rammes linaires(
La !ommande linprogde atlab ermet de rsoudre tout ro%ramme linaire(
La !ommandefminonde atlab ermet elle de rsoudre des ro%rammes non linaires(
70 E3e!-"-es
H901soudre en utilisant le simle&e le ro%ramme de ro%rammation linaire sui$ant-
{ }3 1 2 3 1 2 1 2 3
1 2 3$ V
)rou$er u tel que
u V $ = 3$ $ 2$ 7 2$ 4$ 12 4$ 3$ 8$ 10
Q.u/ in# Q.$/ Q.$/ $ 3$ 2$
+
= + + + + = = +
54
7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques
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CGAITRE /:
E#u&t"ons d",,!ent"elles &u3 d!"8es $&!t"ellesJ
s-h&s &u3 d",,!en-es ,"n"s
10 Int!odu-t"on
onsidrons les quations di##rentielles au& dri$es artielles linaires de la #orme
&& &y yy & yL.u/ au 2bu !u du eu #u %= + + + + + = .7(1/
55
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o l'indi!e rersente la di##rentiation ar raort 9 la $ariable !onsidre et ab!de# et %
sont des #on!tions donnes suoses !ontinues sur un domaine du lan .&y/ (
Le roblme au& limites tye qui eut +tre d#ini a$e! .7(1/ eut se #ormuler sous la #orme du
roblme de *iri!"let sui$ant
2
d
)rou$er u . / tel que
L.u/ % sur
u.& y/ u .& y/ sur
= =
.7(2/
o du est une #on!tion donne et la #rontire du domaine (
Les quations di##rentielles au& dri$es artielles linaires .7(1/ eu$ent +tre !lasses de
tye ellitique "yerbolique ou arabolique selon le !omortement des !oe##i!ients a b et !(
L'quation est dite-
ellitique si 2b a! 0 < dans
"yerbolique si 2b a! 0 > dans
arabolique si 2b a! 0 = dans
:i le dis!riminant 2b a! !"an%e de si%ne sur on dit que l'quation est mi&te( *es
e&emles simles d'quations de tye .7(1/ sont donns ar-
&& yyu u 0+ = quation de Lala!e .ellitique/
&& yyu u 0 = quation d'ondes ."yerbolique/
&& yu u 0 = quation de di##usion .arabolique/
Le !lassement r!dent des quations di##rentielles au& dri$es artielles de tye .7(1/
ermet dKen$isa%er des mt"odes de rsolution numrique qui sKadatent da$anta%e 9 la
!lasse !onsidre( ?insi si le roblme est "yerbolique on eut re!ourir 9 la $ieille mt"ode
des !ara!tristiques !"ose que lKon ne eut as #aire dans le !as dKune quation arabolique
ou ellitique( ?ussi si des s!"mas au& di##ren!es #inis e&li!ites sont en$isa%s our
int%rer les quations di##rentielles au& dri$es artielles les restri!tions sur le as de tems
qui sont dues 9 la !ondition de stabilit sont en %nral lus s$res our les roblmes
araboliques que our les roblmes "yerboliques qui sou#rent eu& da$anta%e de
lKamortissement numrique( *ans la suite seules les quations s!alaires de la di##usion et de
la !"aleur stationnaire sont tudies(
56
7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques
58/61
ertains roblmes qui sont d#inis ar la donne d'une quation de tye .7(1/ et des
!onditions au& limites eu$ent +tre bien oss dans la mesure o il e&iste une unique solution
qui $arie !ontinOment a$e! les $aleurs s!i#ies au& limites du domaine( ? titre d'e&emle si
l'on !onsidre l'quation .7(1/ a$e! # 0 le roblme de *iri!"let .7(2/ est bien os(
'0 E#u&t"on de d",,us"on
L'quation de di##usion la lus simle sK!rit
t &&u bu= .7(3/
o b est une !onstante ositi$e(
>n !onsidre le roblme de au!"y o 0u.0 &/ u .&/= et on dsire !al!uler u.t&/ our
t 0> ( *ans le !as arti!ulier de .7(3/ une solution unique e&iste( Hlle est donne sous #orme
analytique ar
2. & y /
4bt0
1u.t &/ e u .y/ dy
4 bt
+
=
.7(4/
La relation .7(4/ e&rime u.t&/ !omme une sorte moyenne ondre de 0u .&/ (
20 S-h&s &u3 d",,!en-es ,"n"s
>n !onsidre dans la suite le !as s!alaire d#ini ar l'quation .7(3/( >n se donne un rseau de
oint dans le lan esa!e tems .t&/ ( :oit t et & des nombres ositi#s le rseau d#ini
ar n m.t & / .n tm &/= our .nm/ entiers( Les $aleurs d'une #on!tion $ d#inie sur le
rseau seront notes nm n m$ $.t & /= ( L'ensemble des oints du rseau our n #i& est ael
ni$eau n( L'ide de base des s!"mas au& di##ren!es #inis !onsiste 9 remla!er les dri$es
artielles ar des di##ren!es #inies( >n eut ainsi oser
( ) ( )u .n 1/ tm & u n tm &u.n tm &/
t t
+
.7(5/
ou bien
57
7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques
59/61
( ) ( )u .n 1/ tm & u .n 1/ tm &u.n tm &/
t 2 t
+
.7(6/
La $alidit des #ormules .7(5/ et .7(6/ est justi#ie ar le #ait que
0 0
u u.t &/ u.t &/ u.t &/ u.t &/.t &/ lim lim
t 2
+ + = =
.7(7/
*ans le !as de lKquation de di##usion .7(3/ on eut d#inir lusieurs s!"mas au& di##ren!es
#inis( Vn e&emle de tels s!"mas est donn ar
n 1 n n n n
m m m 1 m m 1
2
$ $ $ 2$ $b
t &
++ +=
.7(8/
>n eut dmontrer que la stabilit de !e s!"ma e&i%e que 2t 1
b& 2
et que le s!"ma est
dKordre 2( l sKa%it l9 dKune !ondition s$re qui dans la ratique e&i%e dKutiliser des as de
tems e&tr+mement etits a#in dKassurer la !on$er%en!e( Hn tant quKalternati$e au s!"ma
.7(8/ on eut !onsidrer le s!"ma imli!ite
n 1 n n 1 n 1 n 1
m m m 1 m m 1
2
$ $ $ 2$ $b
t &
+ + + ++ +=
.7(/
qui est in!onditionnellement stable(
Le s!"ma saute Y mouton d#ini ar
n 1 n 1 n n n
m m m 1 m m 1
2
$ $ $ 2$ $b
2 t &
+ + +=
.7(10/
est quant 9 lui instable our toutes les $aleurs de2
t
&
(
Vn s!"ma intressant !onstruit ar modi#i!ation du s!"ma r!dent est le s!"ma de *u
Cort Y CranBel sui$ant
58
7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques
60/61
n 1 n 1 n n 1 n 1 n
m m m 1 m m m 1
2
$ $ $ .$ $ / $b
2 t &
+ + + + +=
.7(11/
e s!"ma dKordre 2 est in!onditionnellement stable(
70 E#u&t"on de l& -h&leu!
LKquation de la !"aleur stationnaire .quation qui modlise la distribution stationnaire de la
temrature/ sK!rit
&& yyu u u # .& y/ = + = .7(12/
o #.&y/ est le terme sour!e
Vn !as arti!ulier de !ette quation est lKquation de Lala!e
u 0 = .7(13/
?#in de rsoudre .7(12/ ou bien .7(13/ il #aut r!iser les !onditions au& limites qui eu$ent
+tre de deu& tyes
du u sur = *iri!"let .7(14/
n
uu sur
n
=
7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques
61/61
LKint%ration numrique de l'quation de la !"aleur stationnaire eut +tre en$isa%e %rZ!e au
s!"ma au& di##ren!es #inies d#ini ar
m 1 m m 1 m 1 m m 1 m2 2
u 2u u u 2u u#& y
+ +
+ ++ =
l l l l l l
l .7(17/
e s!"ma est de se!ond ordre(
:i de lus on !"oisit y & " = = sur un domaine re!tan%ulaire l'quation .7(17/ se r!rit
{ }" m 1 m 1 m 1 m 1 m m21
u u u u u 4u # "
+ + = + + + =l l l l l l .7(18/
0 E3e!-"-es
H/01*montrer que le s!"ma
n 1 n n n n
m m m 1 m m 1
2
$ $ $ 2$ $b
t &
++ +=
roos our rsoudre l'quation de di##usion t &&u bu= o b 0> est stable sous la !ondition
2
t 1b
& 2
(
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