PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI …matematika.fmipa.unand.ac.id/images/bahan-seminar/Pres-WS-Aljabar... · Grup merupakan suatu himpunan tak kosong yang ... operasi perkalian.
Post on 07-Mar-2019
248 Views
Preview:
Transcript
PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RINGMELALUI PENGAMATAN
Disampaikan dalamLecture Series on Algebra
Universitas AndalasPadang, 29 September 2017
Indah Emilia Wijayanti
Departemen Matematika FMIPAUniversitas Gadjah MadaYogyakarta Indonesia
October 24, 2017
I.E. Wijayanti
Latar Belakang
Hal-hal yang sudah diketahui mahasiswa sebelum mempelajari ring:
Grup merupakan suatu himpunan tak kosong yang dilengkapisuatu operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma.
Contoh-contoh grup adalah (Z,+), (Q,+), (R,+), dan(M2×2(R),+).
Perhatikan bahwa dalam Z dijumpai juga operasi lain, yaituoperasi perkalian bilangan-bilangan bulat.
I.E. Wijayanti
Sifat-sifat operasi perkalian dalam Z
operasi perkalian di Z bersifat assosiatif, yaitu
(n1 · n2) · n3 = n1 · (n2 · n3),
untuk setiap n1, n2, n3 ∈ Z;
operasi penjumlahan dan perkalian bersifat distributif kiri dandistributif kanan, yaitu
n1 · (n2 + n3) = (n1 · n2) + (n1 · n3)
dan(n1 + n2) · n3 = (n1 · n3) + (n2 · n3),
untuk setiap n1, n2, n3 ∈ Z.
I.E. Wijayanti
Apakah Z dengan operasi perkalian juga grup?
Beberapa fakta dalam Z:
Operasi perkalian dalam Z komutatif.
Ada bilangan 1 yang berperan sebagai elemen satuan untukoperasi perkalian.
Tetapi ada bilangan bulat yang tidak mempunyai invers,misalnya 2 dan 3.
Jadi (Z, ·) bukan grup, melainkan semigrup.
Definisi
Himpunan tak kosong (S , ∗) disebut semigrup jika operasi biner ∗bersifat asosiatif.
I.E. Wijayanti
Apakah Q dengan operasi perkalian juga grup?
Beberapa fakta dalam Q:
Operasi perkalian dalam Q komutatif.
Ada bilangan 1 yang berperan sebagai elemen satuan untukoperasi perkalian.
Bilangan rasional yang tidak mempunyai invers adalah 0.
Jadi (Q, ·) bukan grup.
I.E. Wijayanti
Apakah M2×2(R) dengan operasi perkalian juga grup?
Beberapa fakta dalam M2×2(R):
Operasi perkalian dalam M2×2(R) tidak komutatif.
Ada matriks identitas I yang berperan sebagai elemen satuanuntuk operasi perkalian.
Banyak matriks yang tidak mempunyai invers, yaitu matriksdengan determinan 0.
Jadi (M2×2(R), ·) bukan grup.
I.E. Wijayanti
Apakah 2Z dengan operasi perkalian juga grup?
Beberapa fakta dalam 2Z:
Operasi perkalian dalam 2Z komutatif.
Tidak ada bilangan genap yang berperan sebagai elemensatuan untuk operasi perkalian.
Jadi (2Z, ·) bukan grup.
I.E. Wijayanti
Pengertian Ring
Himpunan tak kosong R yang dilengkapi dua operasi biner ⊕ dan ∗disebut ring jika memenuhi sifat:
1. (R,⊕) merupakan grup komutatif;
2. operasi ∗ di R bersifat assosiatif, yaitu
∀r1, r2, r3 ∈ R, (r1 ∗ r2) ∗ r3 = r1 ∗ (r2 ∗ r3).
3. operasi penjumlahan dan perkalian di R bersifat:
a. distributif kiri:
∀r1, r2, r3 ∈ R, r1 ∗ (r2 ⊕ r3) = (r1 ∗ r2)⊕ (r1 ∗ r3),
b. distributif kanan:
∀r1, r2, r3 ∈ R, (r1 ⊕ r2) ∗ r3 = (r1 ∗ r3)⊕ (r2 ∗ r3).
I.E. Wijayanti
Gambaran proses abstraksi
(Z,+, ·) 99K99K99K (R,⊕, ∗)
Setelah proses abstraksi dicari contoh-contoh ring yang lain.Bagaimana cara mencari contoh yang lain?Bagaimana dengan contoh-contoh grup yang sudah diketahui, yaitu
(Q,+), (R,+), (M2×2(R),+).
Apakah mereka juga ring?
I.E. Wijayanti
Mengembangkan contoh (1)
1. Himpunan matriks berukuran 2× 2 yaitu (M2×2(R),+, ·),adalah ring.
2. Himpunan matriks berukuran 3× 3 yaitu (M3×3(R),+, ·),adalah ring.
3. Himpunan matriks berukuran n × n yaitu (Mn×n(R),+, ·),adalah ring.
I.E. Wijayanti
Mengembangkan contoh (2)
1. Himpunan semua bilangan bulat (Z,+, ·) adalah ring.
2. Himpunan hasil kali Cartes semua bilangan bulat(Z× Z,+, ·) adalah ring, dengan operasi sebagai berikut:
(a, b) + (c , d) = (a + c , b + d),
(a, b) · (c , d) = (a · c , b · d).
3. Bagaimana dengan Z× Z× Z× · · · × Z ?
I.E. Wijayanti
Contoh Ring
Perhatikan grup komutatif (R,+). Dibentuk himpunan semuafungsi dari R ke R, yaitu
Fun(R) = {f : R→ R | f homomorfisma grup}.
Dengan operasi penjumlahan berikut
(f + g)(x) = f (x) + g(x),
(Fun(R),+) merupakan grup komutatif. Lebih lanjut, dapatdidefinisikan operasi komposisi ◦ pada Fun(R) berikut:
(f ◦ g)(x) = f (g(x)),
untuk setiap x ∈ G .
I.E. Wijayanti
Sifat distributif
((f + g) ◦ h)(x) = (f + g)(h(x)) = (f ◦ h)(x) + (g ◦ h)(x)
(h ◦ (f + g))(x) = h(f (x) + g(x)) = (h ◦ f )(x) + (h ◦ g)(x).
Jadi (Fun(R),+, ◦) merupakan ring.
I.E. Wijayanti
Contoh Ring Melalui Absraksi
Diberikan grup komutatif (G ,+). Dibentuk himpunan semuaendomorfisma dari G ke G , yaitu
End(G ) = {f : G → G | f homomorfisma grup}.
Sudah diketahui bahwa (End(G ),+) merupakan grup komutatif.Lebih lanjut, dapat didefinisikan operasi komposisi ◦ pada End(G )berikut:
(f ◦ g)(x) = f (g(x)),
untuk setiap x ∈ G . Dapat ditunjukkan bahwa (End(G ),+, ◦)merupakan ring.
I.E. Wijayanti
Jenis-jenis Ring
1. Ring R disebut ring komutatif jika R komutatif terhadapperkalian, yaitu untuk setiap r , s ∈ R berlaku rs = sr .
2. Ring R disebut ring dengan elemen satuan jika Rmempunyai elemen satuan terhadap perkalian, yaitu terdapat1R ∈ R sehingga untuk setiap r ∈ R berlaku r1R = 1R r = r .
3. Ring R disebut ring pembagian (division ring) jika Rmempunyai elemen satuan dan setiap elemen tak nol di Rmempunyai invers terhadap perkalian, yaitu untuk setiapelemen tak nol r di R, terdapat r−1 di R sehinggarr−1 = r−1r = 1R .
4. Ring R disebut lapangan jika R ring pembagi yangkomutatif.
I.E. Wijayanti
Contoh Jenis-jenis Ring
1. Ring (2Z,+, ·) merupakan ring komutatif, namun tidakmempunyai elemen satuan.
2. Ring matriks (M2×2(R),+, ·) merupakan ring dengan elemensatuan berupa matriks identitas I2. Ring matriks M2×2(R)bukan ring komutatif.
3. Ring (Z,+, ·), (R,+, ·), (Q,+, ·), dan (C, ,+, ·)masing-masing merupakan ring komutatif dengan elemensatuan.
4. Ring (R,+, ·), (Q,+, ·), dan (C, ,+, ·) masing-masingmerupakan contoh lapangan.
I.E. Wijayanti
Bagaimana mengenalkan subring?
1. Apa motivasinya?
2. Bagaimana mengabstraksikan ide sehingga sampai padadefinisi?
3. Bagaimana menemukan contoh-contoh lain?
I.E. Wijayanti
Fakta : ada ring di dalam ring
2Z adalah ring di dalam Z.
M2(2Z) adalah ring di dalam M2(Z).
Himpunan semua bilangan ganjil
1 + 2Z = {1 + 2n | n ∈ Z},
merupakan himpunan bagian tak kosong dari Z tetapi bukanmerupakan ring.
I.E. Wijayanti
Pengertian subring
Definisi
Diberikan S himpunan bagian tak kosong dari ring (R,+,·).Himpunan S disebut subring R jika S juga merupakan ringterhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang sama pada ringR.
Apakah setiap kali akan membuktikan subring harus mengeceksemua aksiomanya?Bagaimana kita memanfaatkan fakta bahwa subring adalah ring didalam ring?
I.E. Wijayanti
Mengamati syarat subring di dalam ring
Diketahui S adalah himpunan bagian tak kosong di R.
Adakah sifat R yang diwariskan ke S? Asosiatif dan distributif.
Untuk menjadi ring, syarat apa yang harus dipenuhi S?(S ,+, ·) harus merupakan ring terhadap operasi yang samadengan operasi di R.
(S ,+) harus merupakan subgrup di R dan (S , ·) harusmerupakan subsemigrup di R.
I.E. Wijayanti
Syarat apa saja yang perlu dicek?Operasi + dan · harus tertutup di S .
Proposisi
Diberikan himpunan tak kosong S di dalam ring (R,+, ·).Himpunan S merupakan subring dari R jika dan hanya jika untuksetiap s1, s2 ∈ S berlaku sifat:
(i). s1 − s2 ∈ S ;(ii). s1 · s2 ∈ S .
I.E. Wijayanti
Contoh Subring
Himpunan matriks segitiga atas
T2×2(R) =
{A =
[a11 a120 a22
]| a11, a12, a22 ∈ R
}merupakan subring dalam (M2×2(R),+, ·).
I.E. Wijayanti
Pembentukan Ring Faktor
Diberikan R ring dan S subring. Dari teori grup sudah diketahuigrup faktor (R/S ,+
)juga merupakan grup komutatif, dengan
R/S = {r | r ∈ R} = {r + S | r ∈ R}.
Selanjutnya, muncul pertanyaan apakah dapat dibentuk operasiperkalian · pada R/S , yaitu:
· : R/S × R/S → R/S ,
sedemikian hingga (R/S ,+, ·)
juga merupakan ring.
I.E. Wijayanti
Latar Belakang Definisi Ideal
Akan dicek apakah operasi · tersebut well-defined atau tidak.
Misalkan r1, r2, r ′1, r ′2 ∈ R/S dengan r1 = r ′1, dan r2 = r ′2.
Akan dicek apakah r1 · r2 = r ′1 · r ′2, yang artinya r1r2 = r ′1r ′2.
Ekuivalen dengan mengecek
r1 − r ′1 ∈ S dan r2 − r ′2 ∈ S ⇒ r1r2 − r ′1r ′2 ∈ S .
Ekuivalen dengan menunjukkan apakah jika r1 − r ′1 = s1 danr2 − r ′2 = s2 untuk suatu s1, s2 ∈ S , maka akan berakibatr1r2 − r ′1r ′2 = s3 untuk suatu s3 ∈ S .
I.E. Wijayanti
Dengan demikian akan diperoleh
r1r2 − r ′1r ′2 = (s1 + r ′1)(s2 + r ′2)− r ′1r ′2
= (s1s2 + s1r ′2 + r ′1s2 + r ′1r ′2)− r ′1r ′2
= s1s2 + s1r ′2 + r ′1s2.
(1)
Jelas s1s2 ∈ S , tetapi s1r ′2 dan r ′1s2 belum tentu berada dalam S .Dapat disimpulkan bahwa operasi · pada R/S belum tentuwell-defined.
I.E. Wijayanti
Ideal Suatu Ring
Definisi
Misalkan R suatu ring tak nol dan I adalah himpunan bagian takkosong di R. Himpunan I disebut ideal dari R jika
1. untuk setiap s1, s2 ∈ I , berlaku s1 − s2 ∈ I ;
2. untuk setiap s1 ∈ I dan r ∈ R, berlaku s1r , rs1 ∈ I .
I.E. Wijayanti
Contoh Ideal
1. Himpunan 2Z merupakan ideal di ring Z.
2. Secara umum, untuk setiap k ∈ Z≥0, kZ = {kn | n ∈ Z}merupakan ideal di ring Z.
3. Himpunan M2×2(2Z) merupakan ideal di ring M2×2(Z).
4. Tetapi Z BUKAN ideal di Q, dan Q BUKAN ideal di R.
Kesimpulan : tidak setiap subring merupakan ideal.
I.E. Wijayanti
Ring Faktor
Definisi
Jika I merupakan ideal dalam ring R, maka R/I merupakan ringterhadap operasi:1. penjumlahan + dengan definisi
r1 + r2 = r1 + r2,
untuk setiap r1, r1 ∈ RI ; dan2. perkalian · dengan definisi
r1 · r2 = r1 · r2,
untuk setiap r1, r1 ∈ RI .
I.E. Wijayanti
Contoh Ring Faktor
Misal diambil ring bilangan bulat Z dan ideal 2Z di ring Z. Mudahdipahami bahwa hanya ada dua koset dari ideal 2Z, yaitu koset0 + 2Z dan 1 + 2Z. Dengan demikian, diperoleh ring faktor
Z/2Z = {0 + 2Z, 1 + 2Z}
dengan
(0 + 2Z) + (0 + 2Z) = (0 + 0) + 2Z = 0 + 2Z(1 + 2Z) + (1 + 2Z) = (1 + 1) + 2Z = 0 + 2Z(0 + 2Z) + (1 + 2Z) = (0 + 1) + 2Z = 1 + 2Z
(0 + 2Z) · (0 + 2Z) = (0 · 0) + 2Z = 0 + 2Z(1 + 2Z) · (1 + 2Z) = (1 · 1) + 2Z = 1 + 2Z(0 + 2Z) · (1 + 2Z) = (0 · 1) + 2Z = 0 + 2Z
I.E. Wijayanti
Ideal Kiri dan Ideal Kanan
Definisi
Misalkan R suatu ring tak nol dan I adalah himpunan bagian takkosong di R. Himpunan I disebut ideal kiri dari R jika
1. untuk setiap s1, s2 ∈ I , berlaku s1 − s2 ∈ I ;
2. untuk setiap s1 ∈ I dan r ∈ R, berlaku rs1 ∈ I .
Definisi
Misalkan R suatu ring tak nol dan I adalah himpunan bagian takkosong di R. Himpunan I disebut ideal kanan dari R jika
1. untuk setiap s1, s2 ∈ I , berlaku s1 − s2 ∈ I ;
2. untuk setiap s1 ∈ I dan r ∈ R, berlaku s1r ∈ I .
I.E. Wijayanti
Motivasi : Hubungan Z dan Q
Z adalah subring Q.
Struktur Z adalah daerah inegral, Q adalah lapangan.
Sebagai daerah integral, tidak setiap elemen Z mempunyaiinvers.
Sebagai bagian dari lapangan Q, setiap elemen Z mempunyaiinvers.
Peristiwa tersebut dinamakan penyisipan Z ke Q. Apakahsebarang daerah integral dapat disisipkan ke dalam suatulapangan?
I.E. Wijayanti
Hubungan Z dan Q (lanjutan)
Himpunan Q dapat dinyatakan sebagai:
Q = {a
b| a, b ∈ Z, b 6= 0}
Pandang anggota-anggota Q sebagai pasangan berurutananggota Z× Z dengan komponen kedua tak nol.
Bagaimana dengan (2, 3) yang merepresentasikan 23 dan (4, 6)
yang merepresentasikan 46? Dalam Z× Z keduanya berbeda,
tetapi dalam Q keduanya sama.
Dibuat relasi ekuivalensi di dalam Z× Z :
(a, b) ' (c , d)⇔ ad = bc.
I.E. Wijayanti
Penerapan ke Daerah Integral
Diberikan daerah intergral R.
Dibentuk himpunan S = R \ {0}.Dibentuk hasil kali Cartes R × S .
Dibuat relasi ekuivalensi di dalam R × S :
(a, b) ' (c , d)⇔ ad = bc.
Kelas yang memuat (a, b) dinyatakan dengan ab .
Himpunan kelas-kelas ekuivalensi yang terjadi di dalam R × Sdinyatakan sebagai RS .
I.E. Wijayanti
Struktur RS
Didefinisikan operasi berikut:
a
b+
c
d=
ad + bc
bda
b· c
d=
ac
bd
untuk setiap ab ,
cd ∈ RS .
Elemen netral di RS adalah 0b .
Elemen satuan di RS adalah bb , dengan b 6= 0.
Invers ab terhadap penjumlahan adalah − a
b .
Invers ab , a 6= 0, terhadap perkalian adalah b
a .
I.E. Wijayanti
Pengamatan selanjutnya
(RS ,+, ·) merupakan lapangan dan disebut lapangan fraksiyang memuat R.
Terdapat monomorfisma ϕ : R → RS dengan definisiϕ(r) = r
1 .
Apakah pembentukan ring fraksi dapat dilakukan untuksebarang ring komutatif?
I.E. Wijayanti
top related