PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI …matematika.fmipa.unand.ac.id/images/bahan-seminar/Pres-WS-Aljabar... · Grup merupakan suatu himpunan tak kosong yang ... operasi perkalian.

PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RINGMELALUI PENGAMATAN

Disampaikan dalamLecture Series on Algebra

Universitas AndalasPadang, 29 September 2017

Indah Emilia Wijayanti

Departemen Matematika FMIPAUniversitas Gadjah MadaYogyakarta Indonesia

October 24, 2017

I.E. Wijayanti

Latar Belakang

Hal-hal yang sudah diketahui mahasiswa sebelum mempelajari ring:

Grup merupakan suatu himpunan tak kosong yang dilengkapisuatu operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma.

Contoh-contoh grup adalah (Z,+), (Q,+), (R,+), dan(M2×2(R),+).

Perhatikan bahwa dalam Z dijumpai juga operasi lain, yaituoperasi perkalian bilangan-bilangan bulat.

I.E. Wijayanti

Sifat-sifat operasi perkalian dalam Z

operasi perkalian di Z bersifat assosiatif, yaitu

(n1 · n2) · n3 = n1 · (n2 · n3),

untuk setiap n1, n2, n3 ∈ Z;

operasi penjumlahan dan perkalian bersifat distributif kiri dandistributif kanan, yaitu

n1 · (n2 + n3) = (n1 · n2) + (n1 · n3)

dan(n1 + n2) · n3 = (n1 · n3) + (n2 · n3),

untuk setiap n1, n2, n3 ∈ Z.

I.E. Wijayanti

Apakah Z dengan operasi perkalian juga grup?

Beberapa fakta dalam Z:

Operasi perkalian dalam Z komutatif.

Ada bilangan 1 yang berperan sebagai elemen satuan untukoperasi perkalian.

Tetapi ada bilangan bulat yang tidak mempunyai invers,misalnya 2 dan 3.

Jadi (Z, ·) bukan grup, melainkan semigrup.

Definisi

Himpunan tak kosong (S , ∗) disebut semigrup jika operasi biner ∗bersifat asosiatif.

I.E. Wijayanti

Apakah Q dengan operasi perkalian juga grup?

Beberapa fakta dalam Q:

Operasi perkalian dalam Q komutatif.

Ada bilangan 1 yang berperan sebagai elemen satuan untukoperasi perkalian.

Bilangan rasional yang tidak mempunyai invers adalah 0.

Jadi (Q, ·) bukan grup.

I.E. Wijayanti

Apakah M2×2(R) dengan operasi perkalian juga grup?

Beberapa fakta dalam M2×2(R):

Operasi perkalian dalam M2×2(R) tidak komutatif.

Ada matriks identitas I yang berperan sebagai elemen satuanuntuk operasi perkalian.

Banyak matriks yang tidak mempunyai invers, yaitu matriksdengan determinan 0.

Jadi (M2×2(R), ·) bukan grup.

I.E. Wijayanti

Apakah 2Z dengan operasi perkalian juga grup?

Beberapa fakta dalam 2Z:

Operasi perkalian dalam 2Z komutatif.

Tidak ada bilangan genap yang berperan sebagai elemensatuan untuk operasi perkalian.

Jadi (2Z, ·) bukan grup.

I.E. Wijayanti

Pengertian Ring

Himpunan tak kosong R yang dilengkapi dua operasi biner ⊕ dan ∗disebut ring jika memenuhi sifat:

1. (R,⊕) merupakan grup komutatif;

2. operasi ∗ di R bersifat assosiatif, yaitu

∀r1, r2, r3 ∈ R, (r1 ∗ r2) ∗ r3 = r1 ∗ (r2 ∗ r3).

3. operasi penjumlahan dan perkalian di R bersifat:

a. distributif kiri:

∀r1, r2, r3 ∈ R, r1 ∗ (r2 ⊕ r3) = (r1 ∗ r2)⊕ (r1 ∗ r3),

b. distributif kanan:

∀r1, r2, r3 ∈ R, (r1 ⊕ r2) ∗ r3 = (r1 ∗ r3)⊕ (r2 ∗ r3).

I.E. Wijayanti

Gambaran proses abstraksi

(Z,+, ·) 99K99K99K (R,⊕, ∗)

Setelah proses abstraksi dicari contoh-contoh ring yang lain.Bagaimana cara mencari contoh yang lain?Bagaimana dengan contoh-contoh grup yang sudah diketahui, yaitu

(Q,+), (R,+), (M2×2(R),+).

Apakah mereka juga ring?

I.E. Wijayanti

Mengembangkan contoh (1)

1. Himpunan matriks berukuran 2× 2 yaitu (M2×2(R),+, ·),adalah ring.

2. Himpunan matriks berukuran 3× 3 yaitu (M3×3(R),+, ·),adalah ring.

3. Himpunan matriks berukuran n × n yaitu (Mn×n(R),+, ·),adalah ring.

I.E. Wijayanti

Mengembangkan contoh (2)

1. Himpunan semua bilangan bulat (Z,+, ·) adalah ring.

2. Himpunan hasil kali Cartes semua bilangan bulat(Z× Z,+, ·) adalah ring, dengan operasi sebagai berikut:

(a, b) + (c , d) = (a + c , b + d),

(a, b) · (c , d) = (a · c , b · d).

3. Bagaimana dengan Z× Z× Z× · · · × Z ?

I.E. Wijayanti

Contoh Ring

Perhatikan grup komutatif (R,+). Dibentuk himpunan semuafungsi dari R ke R, yaitu

Fun(R) = {f : R→ R | f homomorfisma grup}.

Dengan operasi penjumlahan berikut

(f + g)(x) = f (x) + g(x),

(Fun(R),+) merupakan grup komutatif. Lebih lanjut, dapatdidefinisikan operasi komposisi ◦ pada Fun(R) berikut:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)),

untuk setiap x ∈ G .

I.E. Wijayanti

Sifat distributif

((f + g) ◦ h)(x) = (f + g)(h(x)) = (f ◦ h)(x) + (g ◦ h)(x)

(h ◦ (f + g))(x) = h(f (x) + g(x)) = (h ◦ f )(x) + (h ◦ g)(x).

Jadi (Fun(R),+, ◦) merupakan ring.

I.E. Wijayanti

Contoh Ring Melalui Absraksi

Diberikan grup komutatif (G ,+). Dibentuk himpunan semuaendomorfisma dari G ke G , yaitu

End(G ) = {f : G → G | f homomorfisma grup}.

Sudah diketahui bahwa (End(G ),+) merupakan grup komutatif.Lebih lanjut, dapat didefinisikan operasi komposisi ◦ pada End(G )berikut:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)),

untuk setiap x ∈ G . Dapat ditunjukkan bahwa (End(G ),+, ◦)merupakan ring.

I.E. Wijayanti

Jenis-jenis Ring

1. Ring R disebut ring komutatif jika R komutatif terhadapperkalian, yaitu untuk setiap r , s ∈ R berlaku rs = sr .

2. Ring R disebut ring dengan elemen satuan jika Rmempunyai elemen satuan terhadap perkalian, yaitu terdapat1R ∈ R sehingga untuk setiap r ∈ R berlaku r1R = 1R r = r .

3. Ring R disebut ring pembagian (division ring) jika Rmempunyai elemen satuan dan setiap elemen tak nol di Rmempunyai invers terhadap perkalian, yaitu untuk setiapelemen tak nol r di R, terdapat r−1 di R sehinggarr−1 = r−1r = 1R .

4. Ring R disebut lapangan jika R ring pembagi yangkomutatif.

I.E. Wijayanti

Contoh Jenis-jenis Ring

1. Ring (2Z,+, ·) merupakan ring komutatif, namun tidakmempunyai elemen satuan.

2. Ring matriks (M2×2(R),+, ·) merupakan ring dengan elemensatuan berupa matriks identitas I2. Ring matriks M2×2(R)bukan ring komutatif.

3. Ring (Z,+, ·), (R,+, ·), (Q,+, ·), dan (C, ,+, ·)masing-masing merupakan ring komutatif dengan elemensatuan.

4. Ring (R,+, ·), (Q,+, ·), dan (C, ,+, ·) masing-masingmerupakan contoh lapangan.

I.E. Wijayanti

Bagaimana mengenalkan subring?

1. Apa motivasinya?

2. Bagaimana mengabstraksikan ide sehingga sampai padadefinisi?

3. Bagaimana menemukan contoh-contoh lain?

I.E. Wijayanti

Fakta : ada ring di dalam ring

2Z adalah ring di dalam Z.

M2(2Z) adalah ring di dalam M2(Z).

Himpunan semua bilangan ganjil

1 + 2Z = {1 + 2n | n ∈ Z},

merupakan himpunan bagian tak kosong dari Z tetapi bukanmerupakan ring.

I.E. Wijayanti

Pengertian subring

Definisi

Diberikan S himpunan bagian tak kosong dari ring (R,+,·).Himpunan S disebut subring R jika S juga merupakan ringterhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang sama pada ringR.

Apakah setiap kali akan membuktikan subring harus mengeceksemua aksiomanya?Bagaimana kita memanfaatkan fakta bahwa subring adalah ring didalam ring?

I.E. Wijayanti

Mengamati syarat subring di dalam ring

Diketahui S adalah himpunan bagian tak kosong di R.

Adakah sifat R yang diwariskan ke S? Asosiatif dan distributif.

Untuk menjadi ring, syarat apa yang harus dipenuhi S?(S ,+, ·) harus merupakan ring terhadap operasi yang samadengan operasi di R.

(S ,+) harus merupakan subgrup di R dan (S , ·) harusmerupakan subsemigrup di R.

I.E. Wijayanti

Syarat apa saja yang perlu dicek?Operasi + dan · harus tertutup di S .

Proposisi

Diberikan himpunan tak kosong S di dalam ring (R,+, ·).Himpunan S merupakan subring dari R jika dan hanya jika untuksetiap s1, s2 ∈ S berlaku sifat:

(i). s1 − s2 ∈ S ;(ii). s1 · s2 ∈ S .

I.E. Wijayanti

Contoh Subring

Himpunan matriks segitiga atas

T2×2(R) =

{A =

[a11 a120 a22

]| a11, a12, a22 ∈ R

}merupakan subring dalam (M2×2(R),+, ·).

I.E. Wijayanti

Contoh-contoh subring

Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

I.E. Wijayanti

Pembentukan Ring Faktor

Diberikan R ring dan S subring. Dari teori grup sudah diketahuigrup faktor (R/S ,+

)juga merupakan grup komutatif, dengan

R/S = {r | r ∈ R} = {r + S | r ∈ R}.

Selanjutnya, muncul pertanyaan apakah dapat dibentuk operasiperkalian · pada R/S , yaitu:

· : R/S × R/S → R/S ,

sedemikian hingga (R/S ,+, ·)

juga merupakan ring.

I.E. Wijayanti

Latar Belakang Definisi Ideal

Akan dicek apakah operasi · tersebut well-defined atau tidak.

Misalkan r1, r2, r ′1, r ′2 ∈ R/S dengan r1 = r ′1, dan r2 = r ′2.

Akan dicek apakah r1 · r2 = r ′1 · r ′2, yang artinya r1r2 = r ′1r ′2.

Ekuivalen dengan mengecek

r1 − r ′1 ∈ S dan r2 − r ′2 ∈ S ⇒ r1r2 − r ′1r ′2 ∈ S .

Ekuivalen dengan menunjukkan apakah jika r1 − r ′1 = s1 danr2 − r ′2 = s2 untuk suatu s1, s2 ∈ S , maka akan berakibatr1r2 − r ′1r ′2 = s3 untuk suatu s3 ∈ S .

I.E. Wijayanti

Dengan demikian akan diperoleh

r1r2 − r ′1r ′2 = (s1 + r ′1)(s2 + r ′2)− r ′1r ′2

= (s1s2 + s1r ′2 + r ′1s2 + r ′1r ′2)− r ′1r ′2

= s1s2 + s1r ′2 + r ′1s2.

(1)

Jelas s1s2 ∈ S , tetapi s1r ′2 dan r ′1s2 belum tentu berada dalam S .Dapat disimpulkan bahwa operasi · pada R/S belum tentuwell-defined.

I.E. Wijayanti

Ideal Suatu Ring

Definisi

Misalkan R suatu ring tak nol dan I adalah himpunan bagian takkosong di R. Himpunan I disebut ideal dari R jika

1. untuk setiap s1, s2 ∈ I , berlaku s1 − s2 ∈ I ;

2. untuk setiap s1 ∈ I dan r ∈ R, berlaku s1r , rs1 ∈ I .

I.E. Wijayanti

Contoh Ideal

1. Himpunan 2Z merupakan ideal di ring Z.

2. Secara umum, untuk setiap k ∈ Z≥0, kZ = {kn | n ∈ Z}merupakan ideal di ring Z.

3. Himpunan M2×2(2Z) merupakan ideal di ring M2×2(Z).

4. Tetapi Z BUKAN ideal di Q, dan Q BUKAN ideal di R.

Kesimpulan : tidak setiap subring merupakan ideal.

I.E. Wijayanti

Ring Faktor

Definisi

Jika I merupakan ideal dalam ring R, maka R/I merupakan ringterhadap operasi:1. penjumlahan + dengan definisi

r1 + r2 = r1 + r2,

untuk setiap r1, r1 ∈ RI ; dan2. perkalian · dengan definisi

r1 · r2 = r1 · r2,

untuk setiap r1, r1 ∈ RI .

I.E. Wijayanti

Contoh Ring Faktor

Misal diambil ring bilangan bulat Z dan ideal 2Z di ring Z. Mudahdipahami bahwa hanya ada dua koset dari ideal 2Z, yaitu koset0 + 2Z dan 1 + 2Z. Dengan demikian, diperoleh ring faktor

Z/2Z = {0 + 2Z, 1 + 2Z}

dengan

(0 + 2Z) + (0 + 2Z) = (0 + 0) + 2Z = 0 + 2Z(1 + 2Z) + (1 + 2Z) = (1 + 1) + 2Z = 0 + 2Z(0 + 2Z) + (1 + 2Z) = (0 + 1) + 2Z = 1 + 2Z

(0 + 2Z) · (0 + 2Z) = (0 · 0) + 2Z = 0 + 2Z(1 + 2Z) · (1 + 2Z) = (1 · 1) + 2Z = 1 + 2Z(0 + 2Z) · (1 + 2Z) = (0 · 1) + 2Z = 0 + 2Z

I.E. Wijayanti

Ideal Kiri dan Ideal Kanan

Definisi

Misalkan R suatu ring tak nol dan I adalah himpunan bagian takkosong di R. Himpunan I disebut ideal kiri dari R jika

1. untuk setiap s1, s2 ∈ I , berlaku s1 − s2 ∈ I ;

2. untuk setiap s1 ∈ I dan r ∈ R, berlaku rs1 ∈ I .

Definisi

Misalkan R suatu ring tak nol dan I adalah himpunan bagian takkosong di R. Himpunan I disebut ideal kanan dari R jika

1. untuk setiap s1, s2 ∈ I , berlaku s1 − s2 ∈ I ;

2. untuk setiap s1 ∈ I dan r ∈ R, berlaku s1r ∈ I .

I.E. Wijayanti

Motivasi : Hubungan Z dan Q

Z adalah subring Q.

Struktur Z adalah daerah inegral, Q adalah lapangan.

Sebagai daerah integral, tidak setiap elemen Z mempunyaiinvers.

Sebagai bagian dari lapangan Q, setiap elemen Z mempunyaiinvers.

Peristiwa tersebut dinamakan penyisipan Z ke Q. Apakahsebarang daerah integral dapat disisipkan ke dalam suatulapangan?

I.E. Wijayanti

Hubungan Z dan Q (lanjutan)

Himpunan Q dapat dinyatakan sebagai:

Q = {a

b| a, b ∈ Z, b 6= 0}

Pandang anggota-anggota Q sebagai pasangan berurutananggota Z× Z dengan komponen kedua tak nol.

Bagaimana dengan (2, 3) yang merepresentasikan 23 dan (4, 6)

yang merepresentasikan 46? Dalam Z× Z keduanya berbeda,

tetapi dalam Q keduanya sama.

Dibuat relasi ekuivalensi di dalam Z× Z :

(a, b) ' (c , d)⇔ ad = bc.

I.E. Wijayanti

Penerapan ke Daerah Integral

Diberikan daerah intergral R.

Dibentuk himpunan S = R \ {0}.Dibentuk hasil kali Cartes R × S .

Dibuat relasi ekuivalensi di dalam R × S :

(a, b) ' (c , d)⇔ ad = bc.

Kelas yang memuat (a, b) dinyatakan dengan ab .

Himpunan kelas-kelas ekuivalensi yang terjadi di dalam R × Sdinyatakan sebagai RS .

I.E. Wijayanti

Struktur RS

Didefinisikan operasi berikut:

a

b+

c

d=

ad + bc

bda

b· c

d=

ac

bd

untuk setiap ab ,

cd ∈ RS .

Elemen netral di RS adalah 0b .

Elemen satuan di RS adalah bb , dengan b 6= 0.

Invers ab terhadap penjumlahan adalah − a

b .

Invers ab , a 6= 0, terhadap perkalian adalah b

a .

I.E. Wijayanti

Pengamatan selanjutnya

(RS ,+, ·) merupakan lapangan dan disebut lapangan fraksiyang memuat R.

Terdapat monomorfisma ϕ : R → RS dengan definisiϕ(r) = r

1 .

Apakah pembentukan ring fraksi dapat dilakukan untuksebarang ring komutatif?

I.E. Wijayanti

TERIMA KASIH

I.E. Wijayanti