Penaksiran Titik dan Selang

PENAKSIRANPenaksiranTitikPenaksiran Selang

Selang Kepercayaan untuk RATAANSelang Kepercayaan untuk RATAANSelang Kepercayaan untukVARIANSI

MAMA2081 STATISTIKA DASARUtriweni Mukhaiyar

21 Maret 2012

Metode PenaksiranMetode Penaksiran

Penaksiran Titik1

Penaksiran Selang2

Penaksiran Titik Penaksiran Selang

Nilai tunggal dari suatu parameter l l i d k d

Nilai sesungguhnya dari suatub d di lmelalui pendekatan metode tertentu. parameter berada di selang tertentu.

Contoh 1. Seorang mahasiswa mengulang kuliah Statdas, ketika di

Contoh 2. Seiring berjalannya waktu, mahasiswa tersebut

awal perkuliahan, memiliki target nilai lulus matkul Statdas adalah B.

mengubah target nilai lulus matkul Statdas adalah minimal AB

Nilai : B = 3Nilai : B = 3 IP : AB = [3, 4]IP : AB = [3, 4]

2

[ , ][ , ]

Ilustrasi

P r m t r P pul siParameter Populasi

σ2µ

Populasi

Sampelσ2µ

menaksir

? ?titik?? selang??

Parameter Sampel

? ?

Parameter sampel menaksir parameter populasi

m mp

3

Penaksiran Titik

Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran titik

4

y g g pdisebut penaksir atau fungsi keputusan.

X22 s

X Apakah dan s2 merupakan penaksir yang baik dan paling efisien bagi dan 2?

Penaksir Takbias dan Paling Efisien

Definisi5

Statistik dikatakan penaksir takbias parameter bila,

]ˆ[ˆ E

Dari semua penaksir takbias yang mungkindibuat, penaksir yang memberikan variansiterkecil disebut penaksir yang paling efisienterkecil disebut penaksir yang paling efisien

2ˆ

2ˆ

21

Penaksir Tak Bias untuk dan 2

Misalkan peubah acak X ~ N(,2)

6

M sa a peuba aca N(, )

penaksir tak bias untuk .

n

iiX

nX

1

1

penaksir takbias untuk 2.

i 1

n

i XXs 22

11 p

iin 11

Bukti : dengan menunjukkan bahwa,

][XE22 ][ sE ][ sE

Penaksiran Selang7

Taksiran selang suatu parameter populasi :

2 2121

ˆˆ

1

g p p p

dan : nilai dari peubah acak dan dan dicari sehingga memenuhi :

1 2 1ˆˆP

2 211 p

121P

taraf/koefisien keberartiandengan 0 < < 1.

taraf/koefisien keberartian

21ˆˆ Selang kepercayaan : perhitungan selang

berdasarkan sampel acak berdasarkan sampel acak.

Skema PenaksiranPOPULASI

2μ σ2

1 POPULASI1 POPULASI 2 POPULASI BERPASANGAN

2 POPULASI BERPASANGAN

2 POPULASI2 POPULASI 1 POPULASI1 POPULASI 2 POPULASI BERPASANGAN

2 POPULASI BERPASANGAN

2 POPULASI2 POPULASI

b l 2

2 2 id k

D DTabel 21n Tabel

1 2,v vF

σ2

diketahuiσ2 tidak

diketahui σ12 , σ2

2

diketahuiσ1

2 = σ22

tidak diketahuiσ1

2 ≠ σ22

tidak diketahui

Tabel z Tabel t b l b l b l8Tabel z Tabel t Tabel z Tabel t Tabel t

Kurva Normal Baku (Z~N(0,1))menghitung tabel z

1 -

/2/2 P(-z1-/2 ≤ Z ≤ z1-/2)

= 0

1

z1-/2-z1-/2

(1-/2)

= 5% maka z1-/2 = z0,975 =1,96 P(Z ≤ z0,975) = 1 – 0,025 = 0,975

9

dan -z1-/2 = -z0,95= -1,96.

Kurva t-Student (T~tv)menghitung tabel t

/2/2

1 -

/2/2 P(-t/2 ≤ T ≤ t/2)

= 0

1

t/2-t/2

= 5% dan n =10 maka t/2;n-1 = t0,025;9 = 2,262 P(T ≤ t0,025) = 0,025

d t t 2 26210

dan -t/2;n-1 = -t0,025;9= -2,262

Selang Kepercayaan (1-) untuk

Kasus 1 populasi, 2 diketahui

11

1

21

21

zZzP

TLP : )1,0(~/

NZn

X

1

21

21 n

zXn

zXP

zXzX

SK (1-) untuk jika 2 diketahui :

nn

21

21

Selang Kepercayaan (1-) untuk

Kasus 1 populasi, 2 tidak diketahui

12

1

22

tTtP

1~/ n

X ts n

2 2

1s sP X t X tn n

s sX t X t

SK (1-) untuk jika 2 tidak diketahui :

2 2

X t X tn n

Contoh 1Contoh 1

Survey tentang waktu maksimum pemakaian Survey tentang waktu maksimum pemakaian komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi normal dengan simpangan baku 10 jam dan rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam.D k t f k b ti 2% Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya !

13

Contoh 2Contoh 2

Survey tentang waktu maksimum pemakaian Survey tentang waktu maksimum pemakaian komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi normal. Rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam dengan simpangan baku 10 jam. Dengan

k t f k b ti 2% il hmenggunakan taraf keberartian 2% carilahselang kepercayaannya !

Dapatkah Anda membedakan contoh 1 dengancontoh 2?

14

contoh 2?

Analisis Contoh15

Contoh 1 Contoh 2Diketahui : n = 50 , , σ = 10 n = 50 , , S = 10 55X 55X

Ditanya : SK 98% untuk ( = 0,02) SK 98% untuk ( = 0,02)

Jenis kasus : kasus menaksir dengan 2

diketahui,kasus menaksir dengan 2

tidak diketahui,

Jawab : z1 /2 = z0 99 = 2,33 t/2;n 1 = t0 01;49 = 2,326Jawab : z1-/2 z0,99 2,33 t/2;n-1 t0,01;49 2,326

nzX

nzX

11

nStX

nStX

22

nn 22 nn 22

Solusi Contoh 1 dan 2Selang Kepercayaan untuk g p y

1 Jika 2 diketah i 2 Jika 2 tidak diketah i

10 1055 2,33 55 2,33

1. Jika 2 diketahui. 2. Jika 2 tidak diketahui.

10 1055 2,326 55 2,32650 50

50 50

50 50

51,705 58,295 51,711 58,290

16

Selang Kepercayaan (1-) untuk 1- 2Kasus 2 populasi

17

X1 ~ N(µ1 , σ12) X2 ~ N(µ2 , σ2

2)

1. SK (1-) untuk (1-2) jika 12 dan 2

2 diketahui

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 / 2 1 2 1 2 1 / 21 2 1 2

( ) ( )X X Z X X Zn n n n

1 2 1 2n n n n

Selang Kepercayaan (1-) untuk 1- 2

Kasus 2 populasi18

2. SK (1-) untuk (1-2) jika 12 , 2

2 tidak diketahui dan 12 ≠ 2

2

2 2 2 21 2 1 2

1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /21 2 1 2

( ) ( ) s s s sX X t X X tn n n n

22 21 2s s

1 22 2 2 21 1 2 2

dimana ( / ) ( / )

1 1

n ns n s nn n

1 21 1n n

Selang Kepercayaan (1-) untuk 1- 2

Kasus 2 populasi

3 SK (1-) untuk (1 2) jika 12 2

2 tidak diketahui dan 12 = 2

2

19

3. SK (1-) untuk (1-2) jika 1 , 2 tidak diketahui dan 1 2

1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /21 1 1 1( ) ( )p pX X t s X X t s 1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /2

1 2 1 2

( ) ( )p pn n n n

2 22 1 1 2 2( 1) ( 1)dimana

n S n SS dan v = n1 + n2 - 21 2

dimana 2

pS

n n

1 1 2 22 2

2 21 1 1 2 2 2

n n n n

X X n X X n

dan v n1 n2 2

1 1 2 2

1 1 1 12

1 2

atau 2

p

X X X X

Sn n

JK JK

1 2 2

n n

Pengamatan BerpasanganPengamatan Berpasangan

Ciri ciri:Ciri-ciri: Setiap satuan percobaan mempunyai sepasang

pengamatanp g Data berasal dari satu populasi yang sama

hContoh Produksi minyak sumur A pada tahun 1980 dan 2000 Penentuan perbedaan kandungan besi (dalam ppm) Penentuan perbedaan kandungan besi (dalam ppm)

beberapa sampel zat, hasil analisis X-ray dan Kimia

20

Selang Kepercayaan (1 ) untukSelang Kepercayaan (1-) untuk d

SK untuk selisih pengamatan berpasangan dengan rataan dp g p g gdan simpangan baku Sd :

s s

d

1; 1;2 2

d dn D n

s sd t d tn n

21 ddimana dengan n : banyaknya pasangan.

d merupakan rata-rata dari selisih 2 kelompok data.

21

Kurva khi kuadrat (x~ )menghitung tabel

2v2g g

/2 /2

/2

1

12

2

22

21

XP

0 2

2

2

21

1 -

22

023,1929;025,0

2

1,2

n = 5% dan n =10 maka,

22

7,229;975,0

2

1,2

1

n

Kurva fisher (F~ )menghitung tabel F 21,vvF

g g

/2 /2

/2

1

1

2121 ,;2

,;2

1 vvvvfFfP

1,1;1,1;

21

12

21

1

nnnn f

f

0

2f

21

f

1 - 1,1;2 12 nn

22

36,48,9;025,01,1;2 21

ffnn = 5% , n1 = 10 dan n2 = 9 maka, dan

111

23

24,01,4

111

9,8;975,01,1;2

1,1;2

112

21

fff

nnnn

Selang Kepercayaan (1-) untuk σ2

Kasus 1 populasi24

12

2

22

21

XP

2 2( 1) ( 1)

22 2

12

( 1) ~ nn sX

2 22

2 2/2 1 /2

( 1) ( 1) 1n s n sP

2

2 22

2 2

( 1) ( 1)n s n s

SK (1 - ) 100% untuk 2 :

2 2

( 1); ( 1);12 2

n n

Selang Kepercayaan (1-) untuk 12 /2

2

Kasus 2 populasi25

2 22 1sF f

1

2121 ,;2

,;2

1 vvvvfFfP

1 2

2 12 2 , ,1 2 2

~v v

sF fs

2 2 21s s

SK (1 ) 100% t k 2 / 2

2 1

1 2

1 1 12 2 2 ; ,2 2 2 2; ,

2

1 1v v

v v

s sP fs f s

SK (1 - ) 100% untuk 12 /2

2 :2 2 21 1 12 2 2 ;

1v v

s s fs f s

2 1

1 2

; ,2 2 2 2; ,

2

v vv v

s f s

ReferensiReferensi Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and p

Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

Wild C J d S b G A F Ch E t A fi t Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.y

Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB 1995Penerbit ITB, 1995.

Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice

26

, g , J yHall, 2007.