Transcript
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
1/60
1
Numericke metode i simulacije
Numerika integracija
Ako je f : [a, b]R neprekidna funkcija, a G njena primitivna funkcija, onda se
Riemannov integral na intervalu [a, b] moe izraunati primjenom Newton-Leibnizove
formule:
U praksi se naje
e pojavljuju takve situacije, gdje nije mogu
e primijeniti ovu formulu
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
2/60
2
Numericke metode i simulacije
1. Newton Cotes formule
Trapezno pravilo
Simpsonovo pravilo
2. Gausova integracija
Metode numerike integracije
Newton Cotes formule su dobijene aproksimiranjem podintegralne funkcije
)()()()(22111
xLyxLyxLyxPnnn
+++= L
pomou Langrangeovih polinoma
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
3/60
3
Numericke metode i simulacije
)()()(22111
xLyxLyxP +=
Prisjetimo se: Za dvije intervalne toke (x1, y1) i (x2, y2) linearni intepolacijski polinom glasi:
Lagrange-ovi polinomi prvog stupnja :
21
2
1 )( xx
xx
xL
= 121
2
)(xx
xxxL
=
Trapezno pravilo
)()()(22111
xLfxLfxP +=
Aproksimacijom podintegralne funkcije f(x) Lagrange-ovim polinomom prvog stupnja:
)()()(22111
xLfxLfxP +=
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
4/60
4
Numericke metode i simulacije
dxxPdxxfIx
x
x
x
= 2
1
2
1
)()(1
slijedi:
( ) ( ) ( ) hffdxxxh
fdxxx
h
f
dxfxxxxf
xxxxdxxP
x
x
x
x
x
x
x
x
+=+=
+=
211
2
2
1
2
21
21
21
21
2
1
)(
2
1
2
1
2
1
2
1
12 xxh
( ) +=2
1
2121)(
x
x
hffdxxfI
gdje je:
Trapezno pravilo:
Trapezno pravilo koristi linearnu aproksimaciju poditengralne funkcije.
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
5/60
5
Numericke metode i simulacije
Trapezno pravilo primjenjeno na interval [a;b] podijeljen u (n-1) segmenata funkcije zadane sa n
ekvidistantnih toaka (vorova)
dxxfdxxfdxxfdxxfn
n
x
x
x
x
b
a
x
x
+++= 1
3
2
2
1
)()()()(
12 xxh ( 1) , 1,...,ix a i h i n= + =
++
=
b
a
n
ini
fffhdxxf1
21
2
1
2
1)(
Kompozitna trapezna formula
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
6/60
6
Numericke metode i simulacije
Tonost numeri
ke integracije ovisi o broju segmenata (panela):
=5
0
561 edxex xPrimjer:
++
=
b
a
n
ini
fffhdxxf1
21
2
1
2
1)(
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
7/60
7
Numericke metode i simulacije
Simpsonovo pravilo koristi kvadratnu aproksimaciju poditengralne funkcije.
Simpsonovo pravilo
)()()()(3322112
xLyxLyxLyxP ++=
Za tri toke (x1, y1), (x2, y2) i (x3, y3) kvadratni intepolacijski polinom glasi:
gdje su Lagrange-ovi polinomi:
31
3
21
2
1)(
xx
xx
xx
xxxL
=
32
3
12
1
2 )( xx
xx
xx
xxxL
=
23
2
13
1
2)(
xx
xx
xx
xxxL
=
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
8/60
8
Numericke metode i simulacije
2 2 3 1 1 3 2 1 2 32 2 21 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2P x x x x x f x x x x f x x x x f
h h h= + +
3 1( ) / 2h x x
3 3 3
1 1 1
3
1
2 2 3 1 1 3 22 2
1 2 3 1 2 32
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1 4 1( ) ( )
2 3 3 3
x x x
x x x
x
x
P x dx x x x x f dx x x x x f dx
h h
x x x x f dx h f f fh
= +
+ = + +
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
9/60
9
Numericke metode i simulacije
1
1 2 3 4 5
4 3 2 1
( ) ( 4 2 4 2 ...3
2 4 2 4 )
nx
x
n n n n n
hf x dx f f f f f
f f f f f
+ + + + +
+ + + + +
( ) /( 1)h b a n=
Kompozitna Simpsonova formula zahtijeva da (n-1) bude paran broj
1
1 2
1
2,4,... 3,5,...
( ) ( 4 2 )3
nx n n
i i n
i ix
hf x dx f f f f
= =
+ + +
Kompozitna (opa) Simpsonova formula
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
10/60
10
Numericke metode i simulacije
1
1 2
1
2,4,... 3,5,...
( ) ( 4 2 )3
nx n n
i i n
i ix
hf x dx f f f f
= =
+ + +
Tonost numeri
ke integracije ovisi o broju segmenata (panela):
=5
0
561 edxex x
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
11/60
11
Numericke metode i simulacije
[ ]1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1
( ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ... ( )
...
b b
n n n
a a
b b b
n n
a a a
n
n n j j
j
P x dx L x f L x f L x f dx
L x dx f L x dx f L x dx f
c f c f c f c f =
= + + + =
= + + + =
= + + + =
=b
a
jj dxxLc )(
=
=
n
jkk
kj
k
jxx
xxxL
1
)(gdje je
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
12/60
12
Numericke metode i simulacije
Zatvoreni i otvoreni intervali (dali su rubne toke intervala ukljuene u kao vorovi)kod numerike integracije:
)4(3
)(321
fffh
dxxfb
a
++ )22(3
4)(
321 fff
hdxxf
b
a
+
vorovi ekvidistantni !
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
13/60
13
Numericke metode i simulacije
Gausova integracija
+
=
1
1 1
)()( j
n
j
j xfwdxxf
Gausova integracija optimira tonost integracije koritenjem vorova koji su nultoke
Legendreovih polinomaj
x
Integracija na intervalu [-1;1]
)f(xw)f(xw
f(x)dx:n
2211
1
12
+=
=
x2x1-1 1
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
14/60
14
Numericke metode i simulacije
Parametri Gaussove integracije odreuju se tako da formula
bude egzaktna za polinome to je mogue vieg stupnja
+
=
1
1 1
)()( j
n
j
j xfwdxxf
Toni integral za f = x0, x1, x2, x3
)3
1()
3
1()(
1
1ffdxxfI +==
=
=
=
=
+===
+===
+===
+===
3
1
3
1
1
1
0
3
2
0
211
2
1
2
1
3
22
3
1
1
11
33
2
22
2
1
1
11
22
221
1
11
2
1
11
x
x
w
w
xwxwdxxxf
xwxwdxxxf
xwxwdxxxf
wwdxf
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
15/60
15
Numericke metode i simulacije
x3x1-1 1x2
)()()()(:3 3322111
1xfwxfwxfwdxxfn ++==
Toni integral za f = x0, x1, x2, x3, x4, x5
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
16/60
16
Numericke metode i simulacije
5
33
5
22
5
11
1
1
55
4
33
4
22
4
11
1
1
44
3
33
3
22
3
11
1
1
33
2
33
2
22
2
11
1
1
22
332211
1
1
321
1
1
0
5
2
0
3
2
0
21
xwxwxwdxxxf
xwxwxwdxxxf
xwxwxwdxxxf
xwxwxwdxxxf
xwxwxwxdxxf
wwwxdxf
++===
++===
++===
++===
++===
++===
=
==
=
==
5/3
0
5/3
9/5
9/89/5
3
2
1
3
2
1
x
x
x
w
ww
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
17/60
17
Numericke metode i simulacije
)5
3(
9
5)0(
9
8)
5
3(
9
5)(
1
1fffdxxfI ++==
Gaussova integracija na intervalu [a;b]
Transformacija koordinata od [a,b] na [-1,1]
b
a
dttf )(
t2t1a b
==
==
++
=
btx
atx
abx
abt
1
1
22
=
++
=
1
1
1
1
)()
2
)(
22
()( dxxgdxabab
xab
fdttfb
a
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
18/60
18
Numericke metode i simulacije
+
=
1
1 1
)()( j
n
j
j xfwdxxf
Apscise i teinske funkcije za Gauss-ovu (Gauss-Legrende-ovu integracije)
++ =b
a
j
n
j
j baxabfwabdxxf )22
(2
)(1
n - Polinom n-tog stupnja
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
19/60
19
Numericke metode i simulacije
926477.52164
0
2 == dtteI tPrimjer:
+
+
=+=+===
=+
+
=
=+=+
+
=
1
1
1
1
441
1
)22(24
0
4
0
2
1
1
1
1
)()44()22(2)(
)()
2
)(
22
()(
2dxdt;2222
dxxgdxexdxexdttfdtteI
dxxgdxabab
xab
fdttf
xab
xab
t
xxt
b
a
Transformacija koordinata od [a,b] na [-1,1]
33.34%)(543936.3477376279.3468167657324.9
)3
44()3
44()3
1()3
1()( 34
43
441
1
==+=
++=+== +
eeffdxxfI
Integracija sa dvije Gaussove toke:
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
20/60
20
Numericke metode i simulacije
4.79%)(106689.4967
)142689.8589(9
5)3926001.218(
9
8)221191545.2(
9
5
)6.044(95)4(
98)6.044(
95
)6.0(9
5)0(
9
8)6.0(
9
5)(
6.04446.044
1
1
==
++=
+++=
++==
+
eee
fffdxxfI
Integracija sa tri Gaussove toke:
[ ][ ]
%)37.0(54375.5197
)339981.0()339981.0(652145.0
)861136.0()861136.0(34785.0)(1
1
==
++
+==
ff
ffdxxfI
Integracija sa etiri Gaussove toke:
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
21/60
21
Numericke metode i simulacije
Primjer: Povrina ispod parabole na intervalu [0;4]
++
=
b
aj
n
j j
bax
abfw
abdxxf )
22(
2)(
1
3
16
3
42
3
42)
3
2(2)
3
2(2
)3
2(2)3
2(2))3
1(2(12))3
1(2(12
)22(2)22(2)22(2
)2
04
2
04(
2
04)(
22
2211
2
1
4
0
2
1
=+=++
=+=++
=+++=+=
++
=
=
ffff
xfwxfwxfw
xfwdxxf
j
j
j
j
j
j
Egzaktno rjeenje ako je f(x) polinom n-tog stupnja
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
22/60
22
Numericke metode i simulacije
Numeriko rjeavanje obi
nih diferencijalnih jednadbi (Cauchy-evi problemi)
Diferencijalnih jednadbe prvog stupnja
Aproksimativno rjeenje je
postignuto za diskretnu vrijednost t
gdje je h veliina koraka (stepsize)
Grafika interpretacija rjeavanja ODJ (ODE)
Diferencijalnih jednadbe s poetnim uvjetima (initial value problem)
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
23/60
23
Numericke metode i simulacije
Euler-ova metoda
Taylor-ov razvoj
Nagib funkcije (slope) u t=t0
Aproksimacija dif. Jednadbe sa dva lana Taylorovog reda:
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
24/60
24
Numericke metode i simulacije
Za i poetni uvjet 0 0( )y y t=1 0h t t=
Eulerova metoda (Eulerova explicitna metoda):
Originalna diferencijalna jednadba:
Diskretni oblik diferencijalne jednadbe:
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
25/60
25
Numericke metode i simulacije
Primjer:
Analitiko rjeenje:
2.0=h
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
26/60
26
Numericke metode i simulacije
Primjer:
1 1 1( , )
k k k k y y h f x y = +
Kod Eulerove metode sljedeu aproksimaciju funkcije uvijek izraunavamo samo
na bazi jedne prethodne aproksimacije. Zato kaemo da je to jednokorana
metoda.
Eulerova metoda:
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
27/60
27
Numericke metode i simulacije
x
y
h h
Analitiko rjeenje:
Primjer
xi xi+1
yi
x
yyi+1
y(xi+1)
greka
h
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5
x
y
Egzaktno rjeenje
Eulerova metoda h=0,25
Eulerova metoda h=0,1
Eulerova metoda h=0,05
Smanjenjem koraka integracije
poboljavamo tonost prorauna
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
28/60
28
Numericke metode i simulacije
lokalna greka
Numerika greka se dijeli u dva dijela: greka zaokruivanjagreka metode
lokalna globalna
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
29/60
29
Numericke metode i simulacije
Za odreeni h najvea greka u numerikom rjeenju naziva se Globalna diskretizacijska pogreka
(Global Discretization Error, GDE)
Npr. za jednadbu:
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
30/60
30
Numericke metode i simulacije
Lokalna pogreka u bilo kojem koraku (time step) je: gdje je y(tj) tono rjeenje
Matlab kod:
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
31/60
31
Numericke metode i simulacije
Poboljana Eulerova metoda (midpoint method): koeficijent smjera (nagib)
se rauna u dva koraka.
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
32/60
32
Numericke metode i simulacije
Heunova metoda Vrijednost dobijenaEulerovom metodom
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
33/60
33
Numericke metode i simulacije
Analitiko rjeenje:Primjer:
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5
x
y
Egzaktno rjeenje
Eulerova metoda h=0,25
Heunova metoda h=0,25
0
0,15
0,3
0,45
0,6
0,75
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5
x
greka
Greka-Heunova metoda
Greka-Eulerova metoda
j
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
34/60
34
Numericke metode i simulacije
k1
k2
k3
k4
k
( )4321 22
6
1kkkkk +++=
Runge-Kutta metoda
Runge-Kutta metoda je metoda koja koristi koja koristi teinski prosjek koeficijenata smjera.Veoma popularna je RK-4 (Runge Kutta metoda etrvtog reda)
N i k d i i l ij
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
35/60
35
Numericke metode i simulacije
Runge-Kutta drugog reda
)(2
)),(,(),(
),(
211
12
1
kkh
yy
yxhfyhxfkhyhxfk
yxfk
ii
iiiiii
ii
++=
++=++=
=
+
Runge-Kutta etvrtog reda
Eulerov postupak se moe klasificirati kao Runge-Kutta postupak prvog reda, a Heunov postupak
kao varijanta Runge-Kutta drugog reda.
N i k t d i i l ij
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
36/60
36
Numericke metode i simulacije
Primjer:
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
x
y
Egzaktno rjeenje
Runge-Kutta 2. reda h=0,5Runge-Kutta 4. reda h=0,5
Euler h=0,25
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
37/60
37
Numericke metode i simulacije
Numeriko rjeenje jednadbe je nestabilno ako greka koja nastane u odreenom koraku prorauna(npr. zbog pogreke u poetnom uvjetu, lokalne pogreke ili pogreke zaokruivanja) postaje sve vea
u sljedeim koracima prorauna.
Za veinu obinih diferencijalnih jednadbi, veliina koraka potrebna za dobivanje eljene tonosti
znaajno manja od veliine koraka potrebnog za postizanje stabilnosti. To znai da stabilnost openito
nije problem kod obinih diferencijalnih jednadbi. Meutim problem stabilnosti se moe javiti kod
sustava jednadbi.
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5 6
x
y
Egzaktno rjeenje Euler h=1 Runge-Kutta 2. reda Runge-Kutta 4. reda
Numerika su rjeenja dobivena
s korakom h=1.Primjer:
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
38/60
38
Numericke metode i simulacije
Runge-Kutta drugog reda
)(2
)),(,(),(
),(
211
12
1
kkh
yy
yxhfyhtfkhyhtfk
ytfk
kk
kkkkkk
kk
++=
++=++==
+
Runge-Kutta etvrtog reda
2
yt
dt
dy
=y(0)=1
Potrebno je nai numeriko rjeenje jednadbe u intervalu [0,3] uz h=0.6 i h=0.3, koritenjem
Runge-Kutta metode drugog i etvrtog reda.
tetyt
+=
23)( 2Primjer: Poetni uvjet:Analiti
ko rjeenje:
)22(2
),(
)2
1,
2
1(
)2
1,
2
1(
),(
43211
34
23
12
1
kkkkh
yy
khyhtfk
khyhtfk
khyhtfk
ytfk
kk
kk
kk
kk
kk
++++=
++=
++=
++=
=
+
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
39/60
39
Numericke metode i simulacije
k tk Pravo rjeenje
y(tk)
RK2 RK4
yk Greka
|y(tk)-yk|
Greka1
[%]
yk Greka
|y(tk)-yk|
Greka
[%]
0 0 1 1 0 0 1 0e 0
1 0.6 0.8224547 0.835 0.0125453 1.5024 0.8225125 0.0000578 0.00703
2 1.2 0.8464349 0.865075 0.0186400 2.1547 0.8465206 0.0000857 0.01012
3 1.8 1.019709 1.0404809 0.0207719 1.9964 1.0198042 0.0000952 0.00934
4 2.4 1.3035826 1.3241583 0.0205756 1.5539 1.3036767 0.000094 0.00722
5 3 1.6693905 1.6884979 0.0191074 1.1316 1.6694776 0.0000871 0.00522
h=0.6
Greka [%]=|y(tk)-yk|/y(tk)
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
40/60
40
Numericke metode i simulacije
k tk Pravo rjeenje
y(tk)
RK2 RK4
yk Greka
|y(tk)-yk|Greka
[%]
yk Greka
|y(tk)-yk|Greka
[%]
0 0 1 1 0 0 1 0 0
1 0.3 0.8821239 0.88375 0.0016261 0.1840 0.8821258 0.0000018 0.00021
2 0.6 0.8224547 0.8252547 0.0028 0.3393 0.8224579 0.0000032 0.00039
3 0.9 0.8128845 0.816501 0.0036161 0.4429 0.8128886 0.0000041 0.00051
4 1.2 0.8464349 0.8505861 0.0041512 0.4880 0.8464396 0.0000047 0.00056
5 1.5 0.9170997 0.9215673 0.0044677 0.4848 0.9171047 0.0000051 0.00055
6 1.8 1.019709 1.0243249 0.0046159 0.4506 1.0197142 0.0000053 0.00051
7 2.1 1.1498133 1.1544498 0.0046365 0.4016 1.1498185 0.0000053 0.00046
8 2.4 1.3035826 1.3081449 0.0045622 0.3488 1.3035878 0.0000052 0.00040
9 2.7 1.4777208 1.4821398 0.004419 0.2981 1.4777258 0.0000050 0.00034
10 3 1.6693905 1.6736179 0.0042274 0.2526 1.6693953 0.0000048 0.00029
h=0.3
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
41/60
41
Numericke metode i simulacije
),,(
),,(
yxtgdt
dy
yxtf
dt
dx
=
=
Jednadbe vieg reda se uvijek mogu svesti na sustav jednadbi prvog reda
x(t0)=x0,
y(t0)=y0.
Rjeavanje sustava obinih diferencijalnih jednadbi
Poetni uvjeti:
),,(
),,(
1
1
kkkkk
kkkkk
yxtghyy
yxtfhxx
+=
+=
+
+
Eulerova metoda:
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
42/60
42
j
)22(6
)22(6
43211
43211
ggggh
yy
ffffh
xx
kk
kk
++++=
++++=
+
+
Metoda RK-4
),,(
),,(
)2
1,
2
1,
2
1(
)2
1,
2
1,
2
1(
)2
1,
2
1,
2
1(
)21,
21,
21(
),,(
),,(
334
334
223
223
112
112
1
1
ghyfhxhtfg
ghyfhxhtff
ghyfhxhtg
ghyfhxhtff
ghyfhxhtgg
ghyfhxhtff
yxtgg
yxtff
kkk
kkk
kkk
kkk
kkk
kkk
kkk
kkk
+++=
+++=
+++=
+++=
+++=
+++=
=
=
gdje je:
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
43/60
43
j
yxtdt
dy
yxtdt
dx
++=
= 432Poetni uvjeti: x(t=0)=0; y(t=0)=0
)45()1(9
)43(2)1(14
tt
tt
etey
etex
++=
+=
Analitiko rjeenje:
Interval [0,1], h=0.1
k tk Analitiko rjeenje Numeriko rjeenje RK4
x(tk) y(tk) xk Greka
|x(tk)-xk|Greka
[%]
yk Greka
|y(tk)-yk|Greka
[%]
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0.1 0.008406 0.005472 0.008442 0.000036 0.4200 0.005296 0.000176 3.3214
2 0.2 0.027800 0.023561 0.027910 0.000109 0.3915 0.023278 0.000284 1.2177
3 0.3 0.050581 0.056346 0.050770 0.000189 0.3718 0.056019 0.000327 0.5839
4 0.4 0.070495 0.105392 0.070747 0.000252 0.3554 0.105080 0.000313 0.2975
5 0.5 0.082448 0.171837 0.082731 0.000283 0.3421 0.171591 0.000247 0.1438
6 0.6 0.082341 0.256453 0.082616 0.000275 0.3328 0.256316 0.000137 0.0532
7 0.7 0.066928 0.359707 0.067152 0.000224 0.3333 0.359717 0.000011 0.0030
8 0.8 0.033689 0.481813 0.033818 0.000129 0.3819 0.482001 0.000188 0.0390
9 0.9 -0.019277 0.622778 -0.019283 0.000006 -0.0348 0.623166 0.000388 0.0623
10 1 -0.093348 0.782433 -0.093528 0.000180 -0.1924 0.783038 0.000605 0.0773
Primjer:
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
44/60
44
Moderni algoritmi imaju adaptivni korak prorauna (adaptive stepsize)
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
45/60
45
Matlab: Koritenje ode45
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
46/60
46
Sustavi nelinearnih diferencijalnih jednadbi
-20-15
-10-5
05
1015
2025
-30
-20
-10
0
10
20
30
0
10
20
30
40
50
60
X-OSY-OS
Z-OS
dx/dt=10(y-x)
dy/dt=-xz+28x-y
dz/dt=xy-8z/3
x(0)=0.6
y(0)=0.6
z(0)=0.6
Osjetljivost sustava na male promjene poetnih
uvjeta.
dy/dt=10(y-x)
dy/dt=-xz+28x-y
dz/dt=xy-(8/3)z
Primjer:
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
47/60
47
-20-15
-10-5
05
1015
2025
-30
-20
-10
0
10
20
30
0
10
20
30
40
50
60
X-OSY-OS
Z-OS
dx/dt=10(y-x)
dy/dt=-xz+28x-y
dz/dt=xy-8z/3
x(0)=0.6
y(0)=0.6
z(0)=0.60001
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
48/60
48
-20-15
-10 -5
05
1015
2025
-30
-20
-10
0
10
20
30
0
10
20
30
40
50
60
X-OSY-OS
Z-OS
x(0)=y(0)=z(0)=0.6
x(0)=y(0)=0.6 z(0)=0.60001
dx/dt=10(y-x)
dy/dt=-xz+28x-y
dz/dt=xy-8z/3
Male promjene poetnih uvjeta. Dugorono ponaanje nelinearnog sustava nepredvidivo.
Teorija kaosa.
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
49/60
49
TRANZIJENTNA ANALIZA LINEARNIH STRUJNIH KRUGOVA
Osnovna razlika izmeu tranzijentne i stacionarne analize linearnih strujnih krugova je u tome to
kod tranzijentne analize, proceduru rjeavanja ponavljamo za svaki vremenski inkrement.
Poopeno gledajui grana nekog elektrinog kruga se sastoji od elektromotorne sile, kapaciteta,
induktiviteta i radnog otpora.
e elektromotorna sila (EMS) na odgovarajuem konanom elementu
R radni otpor na odgovarajuem konanom elementu
1i struja koja ulazi u lokalni vor 1 konanog elementa
2i struja koja ulazi u lokalni vor 2 konanog elementaL induktivitet na odgovarajuem konanom elementu
C kapacitet na odgovarajuem konanom elementu, k odgovarajui globalni vorovi konanog elementa
i broj konanog elementa
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
50/60
50
Cd U (t)i(t) Cdt
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )tetUdt
tdiLtRitt c +++= 21
Poetna to
ka za modeliranje grane linearnog strujnog kruga kao kona
nog elementa sunaponske diferencijalne jednadbe:
Slijedei korak je integracija jednadbi po vremenu. Time umjesto sustava obinih
diferencijalnih jednadbi dobijamo sustav algebarskih jednadbi.
Da provedemo numeriku integraciju navedenih jednadbi koristitemo pouak o srednjoj
vrijednosti integrala ( - metoda) napisan u priblinom obliku:
( )t
t
f (t) dt 1 f f t
+
+ +
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
51/60
51
Interpolacijski faktor se kree u granicama 10 . Veli
ina t t t
+
= je dovoljno malvremenski interval unutar kojega moemo podintegralnu funkciju smatrati monotonom. Izbointerpolacijskog parametra = 0 odgovara Eulerovoj eksplicitnoj metodi, izbointerpolacijskog parametra = 1 odgovara implicitnoj metodi, dok izbor interpolacijskog
parametra 0.5 = odgovara trapeznom pravilu.
+t f
t f
d f (t)dt d f (t) f f
dt
+
+= =
Nadalje vrijedi:
Primjenom theta metode na polazne diferencijalne jednadbe slijedi:
1 1 2 2
C C
(1- ) t t (1- ) t t R (1- ) i t L i
R i t + L i U (1 ) t U t e (1 ) t e t
+ +
+ + + +
+ = +
+ + + + +
C C
(1- ) t tU U i i
C C
+ + = + +
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
52/60
52
2 2
1 2 1 2
2
C
t(R t L ) i t t (1- ) t - (1- ) t
C
(1 ) t
U t (L R (1- ) t - ) i e (1 ) t e t 0C
+ + +
+
+ + = +
+ =
Kombinacijom prethodnih relacija slijedi:
Preuredimo li prethodno jednadbu tako da s lijeve strane znaka jednakosti stavimo struju
konanom trenutku t+ , a s desne strane znaka jednakosti stavimo sve ostale veliine slijedi:
1 2 12 2 2 2 2 2
2 c2 2 2 2 2 2
2
t t (1- ) ti
t t t(R t L ) (R t L ) (R t L )
C C C
(1- ) t t t U e
t t t
(R t L ) (R t L ) (R t L )C C C
(1- ) t
t(R t L
+ + +
+
= +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ +
2
2 2 2
(1 ) t(L R (1- ) t- )
Ce it
) (R t L )C C
+
+ +
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
53/60
53
Elementne jednadbe radi jednostavnosti, moemo pisati krae u obliku:
+
1 2 1 2 Ci A B D E F U H e + K e+G i+ + += + + + + +
Na osnovu jednadbe koja predstavlja struju na konanom elementu, moemo napisati potpunilokalni sustav jednadbi za granu strujnog kruga kao konani element.
1 1 1 1+
C
2 22 2
i iA B D E F H K G 0U e e
A B D E F H K 0 G i i
+ +
+ +
= + + + + +
Budui da za svaki globalni vor mora vrijediti I. Kirchoffov zakon, vektor struja na kraju
vremenskog intervala se prilikom postupka asembliranja poniti sa vektorima struja ostalih konanih
elemenata spojenih na taj vor. Posljedica te injenice je da se nepotpuni lokalni sustav jednadbi
dobije iz prethodne jednadbe, na nain da vektor struja na kraju vremenskog intervala proglasimo
nul vektorom:
1 1 1+
C
2 22
iA B D E F H K G 0 0U e e
A B D E F H K 0 G i 0
+
+
= + + + + +
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
54/60
54
Nakon asembliranja nepotpunih lokalnih sustava jednadbi pojedinih konanih elemenata
dobijemo nepotpuni globalni sustav jednadbi:
{ } { } { }g g gK D 0+ = +
Slijedei korak je kompletiranje globalnog sustava jednadbi dodavanjem rubnih uvjeta.
Dodavanjem struja injektiranih u globalne vorove dobijemo potpuni globalni sustav
jednadbi:
{ } { } { }g g g gK D I+
= +
Budui da svaki strujni krug mora imati referentni vor, moramo dodati u globalni susta
ednadbi i drugi rubni uvjet, a to je definiranje globalnih vorova sa zadanim potencijalom.Rjeavanjem globalnog sustava jednadbi s ukljuenim rubnim uvjetima, raunamo nepoznate
potencijale globalnih vorova{ }g+ .
Nakon toga uporabom potpunog lokalnog sustava jednadbi (17), raunamo struje
pridruene lokalnim vorovima svih konanih elemenata. Proceduru rjeavanja ponavljamo
za svaki vremenski inkrement, na nain da nepoznati naponi i struje na kraju prethodnog
vremenskog intervala postaju poetni uvjeti za slijedei vremenski interval.
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
55/60
55
Nakon toga uporabom potpunog lokalnog sustava jednadbi :
raunamo struje pridruene lokalnim vorovima svih konanih elemenata.
Proceduru rjeavanja ponavljamo za svaki vremenski inkrement, na nain da nepoznati
naponi i struje na kraju prethodnog vremenskog intervala postaju poetni uvjeti za slijedei
vremenski interval.
1 1 1 1+
C
2 22 2
i iA B D E F H K G 0U e e
A B D E F H K 0 G i i
+ +
+ +
= + + + + +
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
56/60
56
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
57/60
57
[ ]t 4 te(t) 10 (e e ) V =
PRIMJER:
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
58/60
58
1i (t) i(t)=
2 3
1i (t) i (t) i(t)
2= =
4 5
1i (t) i (t) i(t)
4= =
1000 t 4 t t
1 2 3 4i(t) (K K t) e K e K e = + +
2
1K 3.03019 10=
2K 30.15063=
23K 4.03219 10= 2
4K 1.002 10=
Nakon analitikog rjeavanja sustava diferencijalnih jednadbi, koje opisuju prezentirani strujni krug
dobiju se struje grana:
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
59/60
59
Pored topologije problema za proraun su potrebni podaci:
- poetno vrijeme simulacije je 0t 0= - vremenski inkrement t 0.1 ms = -
interpolacijski faktor 0.5 = - vrijeme trajanja simulacije maxt 15 ms=
Numericke metode i simulacije
7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije
60/60
60
top related