Modul 9 TRANSFORMASI LAPLACE - cdn-edunex.itb.ac.id
Post on 28-Feb-2022
16 Views
Preview:
Transcript
β π( ) = πΉ
Input: Fungsi f( ) Output: Fungsi F( )
πΉ( ) = ΰΆ±
0
β
πβ π πOperasi integral yang
menghasilkan F(s) dari
f(t) yang diketahui
π = ββ1 πΉ
Transform kebalikan
Untuk menyelesaikan integral tak wajar diatas:
ΰΆ±
0
β
πβ π π = limπββ
ΰΆ±
0
π
πβ π π
Metode untuk memecahkan persoalan
matematis dengan langkah-langkah:
Transformasi masalah
βsulitβ menjadi
persamaan βmudahβ
Pemecahan
persamaan
pembantu
secara
aljabar
Transformasi kembali /
kebalikan untuk memperoleh
solusi masalah semula
Input:
Fungsi
f( )
Output:
Fungsi
F( )
Misalkan f(t) = 1 untuk
t β₯ 0. Tentukan F(s)
πΉ π = β π = β 1 = ΰΆ±
0
β
πβπ π‘ 1 ππ‘
πΉ( ) = ΰΆ±
0
β
πβ π π
= ΰΆ±
0
β
πβπ π‘ππ‘ = limπββ
α€β1
π πβπ π‘
0
π
= limπββ
β1
π πβπ π +
1
π π0
untuk s > 0, β 1 =1
π
=1
π
Misalkan π π‘ = πππ‘ untuk t β₯
0, dengan a konstanta, s β a >
0, tentukan β π
β π = β πππ‘ = ΰΆ±
0
β
πβπ π‘πππ‘ππ‘ = ΰΆ±
0
β
π(πβπ )π‘ππ‘
= limπββ
ΰΈπ(πβπ )π‘
π β π 0
π
= limπββ
1
π β π π πβπ π β
1
π β π π0
untuk s β a > 0 atau s > a
= 0 β1
π β π
β πππ‘ =1
π β π
Transformasi Laplace merupakan suatu operasi yang bersifat linier; artinya, untuk setiap
konstanta a dan b, dan fungsi-fungsi f(t) dan g(t) yang transform Laplace-nya ada, berlaku:
β ππ π‘ + ππ(π‘) = πβ π π‘ + πβ{π π‘ }
Tentukan transformasi laplace dari fungsi berikut:
ββ1 ππΉ π + ππΊ(π ) = πββ1 πΉ π + πββ1{πΊ π }
Tentukan inverse transformasi laplace dari fungsi berikut:
π = ββ1 πΉ
βπ 0 β π
β πβ² =β πβ² = ΰΆ±
0
β
πβ π‘πβ²(π‘)ππ‘
ΰΆ±π’π£β²ππ‘ = π’π£ β ΰΆ±π’β²π£ππ‘ = απβ π‘π(π‘)0
β+ ΰΆ±
0
β
πβ π‘π(π‘)ππ‘
= 0 β π 0 + β π
β πβ² = β π βπ 0
β πβ²β² = β πβ² βπβ² 0
= β π β π 0 βπβ² 0
β πβ²β² = β π β π 0 βπβ² 0
β πβ²β²β² = β π β π 0 β πβ² 0 β πβ²β²(0)
β π(π) = π πβ π β π πβ1π 0 β π πβ2πβ² 0 β. . . βπ(πβ1)(0)
Transform Laplace bagi π(π):
Tentukan solusi persamaan diferensial berikut:
yβ + 4yβ + 3y = 0, y(0) = 3, yβ(0) = 1
Transformasi masalah
βsulitβ menjadi
persamaan βmudahβ
Pemecahan
persamaan
pembantu
secara
aljabar
Transformasi kembali /
kebalikan untuk memperoleh
solusi masalah semula
Input:
Fungsi
f( )
Output:
Fungsi
F( )
Tentukan solusi persamaan diferensial berikut:
yβ + 4yβ + 3y = 0, y(0) = 3, yβ(0) = 1
Jika Y π = β π¦ adalah transform Laplace
bagi solusi π¦(π‘) yang belum diketahui, maka
β πβ²β² = π 2β π β π π 0 β πβ² 0
β π¦β²β² = π 2π β π π¦ 0 β π¦β² 0
β π¦β²β² = π 2π β 3π β 1
β π¦β² = π π β π¦ 0
β π¦β² = π π β 3
Substitusikan ini ke dalam transform Laplace bagi
persamaan diferensial semula
β(π¦") + 4β(π¦β²) + 3β(π¦) = β(0)
π 2π β 3π β 1 + 4 π π β 3 + 3π = 0
(subsidiary equation)
π 2π + 4π π + 3π = 3π + 13
Persamaan pembantu di atas dapat dituliskan menjadi
π π 2 + 4π + 3 = 3π + 13
π + 1 π + 3 π = 3π + 13
Dengan memecahkan secara aljabar untuk Y dan dengan menggunakan
pecahan parsial:
π =3π + 13
(π + 1)(π + 3)=
π΄
π + 1+
π΅
π + 3
=π΄ π + 3 + π΅(π + 1)
π + 1 (π + 3)=
π΄ + π΅ π + (3π΄ + π΅)
π + 1 (π + 3)Sehingga π΄+π΅=3 dan 3π΄+π΅=13.
Dengan eliminasi diperoleh π΄=5 dan π΅=β2
Tentukan solusi persamaan diferensial berikut:
yβ + 4yβ + 3y = 0, y(0) = 3, yβ(0) = 1
Transformasi masalah
βsulitβ menjadi
persamaan βmudahβ
Pemecahan
persamaan
pembantu
secara
aljabar
Transformasi kembali /
kebalikan untuk memperoleh
solusi masalah semula
Input:
Fungsi
f( )
Output:
Fungsi
F( )
Tentukan transformasi laplace
dari fungsi
Kita peroleh f(0) = 0 dan
fΒ΄(t) = sin 4t + 4t cos 4t β fΒ΄(0) = 0
f´´(t) = 4 cos 4t + 4 cos 4t - 16t sin 4t
f´´(t) =8 cos 4t β16t sin 4t = 8 cos 4t β 16f(t)
Sehingga β(f´´) = s2β(f) β 0 β 0 = 8β(cos 4t) β 16β(f)
Dengan menggunakan rumus untuk transform
Laplace bagi cos Οt, kita memperoleh
π 2 + 16 β π = 8β(cos 4π‘) =8π
π 2+16
Jadi, β π = β π‘ sin 4π‘ =8π
(π 2+16)2
π’π£ β² = π’β²π£ + π’π£β²
β πβ²β² = β π β π 0 β πβ² 0
β cosππ‘ =π
π 2 + π2
Jika β π π‘ = πΉ(π ), maka
β πππ‘π π‘ = πΉ(π β π)
Jadi jika kita mengetahui transform πΉ(π )
bagi π π‘ , maka kita dapat memperoleh
Teorema pergeseran pertama,
pergeseran pada sumbu-s
β πππ‘π π‘ = πΉ(π β π)
Bukti: Menurut definisi,
πΉ π = ΰΆ±
0
β
πβπ π‘π π‘ ππ‘
Sehingga:
πΉ π β π = ΰΆ±
0
β
πβ(π βπ)π‘π π‘ ππ‘ = ΰΆ±
0
β
πβπ π‘ πππ‘π π‘ ππ‘
= β πππ‘π π‘
ββ1 πΉ(π β π) = πππ‘π π‘transformasi kebalikan
terhadap kedua ruas
Jika β π =(π β6)
(π β1)2+4
tentukan f(t)
π π‘ = ββ1 πΉ = ββ1 (π β6)
(π β1)2+22
β cosππ‘ =π
π 2+π2 , β sinππ‘ =π
π 2+π2
Dalam hal ini kasusnya adalah pergeseran sebesar 1
dari sumbu s β a = 1
Sehingga berdasarkan teorema pergeseran pada
sumbu s dan Tabel transformasi laplace,
ββ1 (π β6)
(π β1)2+22= ββ1 (π β1)
(π β1)2+22β
2
(π β1)2+22Γ
5
2
Pergeseran benda yang digantungkan
pada sebuah pegas dari posisi
kesetimbangannya dinyatakan
dengan persamaan diferensial orde
dua berikut:
yβ + 2yβ + 5y = 0.
y(0)= 2 yβ(0)= -4
dimana y(0) adalah posisi awal benda
dan yβ(0) adalah kecepatan awalnya
Tentukan solusi permasalahan di atas
dengan Transformasi Laplace.
Berdasarkan teorema transform Laplace
untuk turunan
πΏ πβ²β² = π 2πΏ π β π π 0 β πβ² 0 = π 2π β 2π + 4
πΏ πβ² = π πΏ π β π 0 = π π β 2
Transformasi Laplace kedua ruas PD
menghasilkan:
π 2π β 2π + 4 + 2π π β 4 + 5π = 0
π π 2 + 2π + 5 = 2π
π π + 1 2 + 22 = 2s
π π =2s
π +1 2+22= 2
π +1
π +1 2+22β
2
π +1 2+22
π π = 2π + 1
π + 1 2 + 22β
2
π + 1 2 + 22
Dari Tabel Transformasi Laplace
πΏβ1π
π 2+22= cos 2π‘ dan πΏβ1
2
π 2+22= sin 2π‘
Sehingga berdasarkan teorema
π¦ π‘ = πΏβ1 π = 2πβπ‘ cos 2π‘ β πβπ‘ sin 2π‘
dimana pergeseran dari sumbu s sebesar -1 β
a = -1
Pergeseran benda yang digantungkan
pada sebuah pegas dari posisi
kesetimbangannya dinyatakan
dengan persamaan diferensial orde
dua berikut:
yβ + 2yβ + 5y = 0.
y(0)= 2 yβ(0)= -4
dimana y(0) adalah posisi awal benda
dan yβ(0) adalah kecepatan awalnya
Tentukan solusi permasalahan di atas
dengan Transformasi Laplace.
top related