Metode lokasi akar-akar Root locus method - Professional · sebagai vektor dan dalam kordinat polar dengan besar M dan sudut q. ... Maka titik ini bukan pole sistem jerat tertutup

Metode lokasi akar-akar

(Root locus method)

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Pendahuluan

Metode lokasi akar-akar

1. Metode lokasi akar-akar dapat digunakan untuk melukiskansecara kualitatif unjuk kerja sistem kontrol jika beberapaparameter diubah. Contoh : efek mengubah gain terhadap %OS, settling time dan peak time

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

settling time dan peak time2. Metode ini juga dapat memberikan gambaran mengenai stabilitas

sistem kontrol secara grafis

Latar Belakang

� Problem sistem kontrol

� Representasi bilangan kompleks sebagai vektor

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Bentuk gelombang tes input yang biasa digunakan

Problem sistem kontrol

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

T(s)pole berubah denganperubahan K

N : pembilangD : penyebut

Ilustrasi

( )( )[ ]( )( )4

3)(

2

1)(

+

+=

+

+=

s

ssH

ss

ssG

Pole dari KG(s)H(s) adalah 0, -2 dan -4

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Pole dari KG(s)H(s) adalah 0, -2 dan -4Zero dari KG(s)H(s) adalah -1 dan -3

( )( )[ ]KsKsKs

ssKsT

3)8(6

)4(1)(

23 +++++

++=

Pole dari T(s) tergantung harga K

Karena respons transien danstabilitas tergantung pada poledari T(s) maka kita harusmemfaktorkan penyebutuntuk setiap harga K

Representasi vektor dari bilangan kompleks

Bilangan kompleks σ+jω dapat digambarkan dalam kordinat Cartesiansebagai vektor dan dalam kordinat polar dengan besar M dan sudut q.

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

F(s)=(s+a)F(s)=(σ+a)+jω

Translasi dari (b)

Representasi secara umum

∏∏

=kompleksfaktor penyebut

kompleksfaktor pembilang m= jumlah zeron=jumlah pole

==∏ zero dari panjang

M

Besar dari F(s)

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

==∏∏

pole dari panjang

zero dari panjangM

Sudut dari F(s)

∑ ∑= pole darisudut -zero darisudut θ

Ilustrasi

Carilah F(s) pada titik

Zero pada -1

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Zero pada -1

pole pada 0

pole pada -2

Latihan

carilah di titik

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Definisi lokasi akar-akar

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Lokasi akar-akar jika K bervariasi

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Letak pole dan zero Lokasi akar-akar (root locus)

Sifat-sifat root locus

•Untuk polinom orde 2 pada penyebut fungsi transfer, mudah untuk mencari faktor-faktor (rumus ABC)•Untuk polinom orde lebih tinggi (3, 4, 5 atau lebih) , sulit untuk memfaktorkan tanpa bantuan komputer(numerik) , maka dengan root locus kita dapatmenggambarkan secara kualitatif tanpamemfaktorkannya

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Sifat-sifat root locus

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Terdapat pole jika penyebutnya =0

atau 1

2

Ilustrasi

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Dari tabel, misalnya untuk K=5Maka pole berada di -9,47 dan -0.53

Jika harga-harga ini disubtitusi ke persamaan inimaka akan menghasilkan -1, demikian juga untukharga K dan pole-pole yang lain

Contoh

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Plot pole dan zero dari G(s)

Tinjau titik -2+j3, jika titik ini adalah pole dari sistem jerat tertutup makaHarus memenuhi persamaan-persamaan (1) dan (2)

Maka titik ini bukan pole sistem jerat tertutup karena hasil penjumlahansudutnya bukan kelipatan dari 1800

Contoh

Jika dicoba dengan cara yang sama untuk titik

Maka akan menghasilkan sudut 1800

Harga K adalah

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Maka titik Adalah titik pada root locus dengan gain=0.33

Latihan

a. Tentukan sudut G(s) pada titik (-3+j0) dengan menjumlahkan sudut-sudut vektor

dari zero dan pole G(s) pada titik tersebutb. Tentukan apakah titik di a adalah berada di root locus

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

b. Tentukan apakah titik di a adalah berada di root locusc. Jika titik di a adalah root locus, tentukan harga K menggunakan panjang vektor

Menggambarkan root locus

Aturan penggambaran root locus1. Jumlah percabangan . Jumlah percabangan root locus sama dengan jumlah pole

sistem jerat tertutup

2. Simetri. Root locus simetri terhadap sumbu real3. Segment sumbu real. Pada sumbu real, untuk K>0 root locus berada di sebelah kiri

bilangan ganjil pada sumbu real, pole open loop terhingga dan/atau zero

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

bilangan ganjil pada sumbu real, pole open loop terhingga dan/atau zero open loop berhingga

Root locus pada sumbu realberada antara -1 dan -2 dan antara -3 dan -4

Lanjutan

4. Titik awal dan titik akhir. Root locus berawal pada pole-pole G(s)H(s) yang berhingga dan tak terhingga, laluberakhir di zero dari G(s)H(s) yang berhingga dan takterhingga.

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Dari contoh di atas maka root

locus adalah

Lanjutan

5. Sifat root locus di tak terhingga. Root locus mendekati garis lurussebagai asimtot pada saat locus mendekati tak terhingga. Persamaanasimtot diberikan oleh perpotongan dengan sumbu real, σa dansudut θa sbb:

berhingga zero#berhingga- pole#

berhingga zero - berhingga pole∑ ∑=

aσ

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

berhingga zero#berhingga- pole#

berhingga zero#berhingga- pole#

)12( πθ

+=

ka

di mana k=0, ±1, ±2, ±3 dan sudut dalam satuan radian thd sumbu positif

IlustrasiBuatlah root locus untuk sistem sbb

solusi

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Karena jumlah pole-jumlah zero =3Maka ada 3 zero berada di tak berhingga

Latihan

Sketsalah root locus dari sistem di atas

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8