Transcript
Integral (III) – Menghitung Volume Benda Putar Posted on August 5, 2012 by alicealc 2 Votes
Ada 2 metode menghitung volume benda putar dengan menggunakan integral, yaitu:
1. Metode cakram
berdasarkan rumus Volume = Luas Alas × tinggi Luas Alas selalu berupa lingkaran sehingga Luas Alas = πr2
(r adalah jari-jari putaran) digunakan jika batang potongan yang dipilih tegak lurus
dengan sumbu putar
2. Metode cincin silinder
berdasarkan pengertian bahwa jika suatu luasan diputar terhadap sumbu tertentu, akan terbentuk suatu benda putardengan volume sebesar luasan tersebut dikalikan dengan keliling putaran
karena keliling lingkaran = 2πr, jika luas bidang yang diputar = A, maka volume = 2πr × A
digunakan jika batang potongan sejajar dengan sumbu putar
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada penjelasan dan contoh-contoh berikut ini:
Diputar pada sumbu x
Contoh 1:
Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu x, dan 0 ≤ x ≤ 2 diputar terhadap sumbu x
Metode cakram:
Contoh 2:
Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatai oleh kurva y = x2 dan y = –x2 + 4x diputar terhadap sumbu x
Kurva merah: y = x2, kurva hijau: y = –x2 + 4x
Perpotongan kedua kurva:
x2 = –x2 + 4x
x2 + x2 – 4x = 0
2x2 – 4x = 0
2x(x – 2) = 0
2x = 0 atau x = 2
x = 0 atau x = 2
x = 0 → y = 02 = 0
x = 2 → y = 22 = 4
Jadi perpotongan kedua kurva pada (0, 0) dan (2, 4)
Metode cakram:
Metode cincin silinder:
Contoh 3:
Hitung volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu y
Perpotongan kurva dan garis:
x2 = 2x
x2 – 2x = 0
x(x – 2) = 0
x = 0 atau x = 2
x = 0 → y = 02 = 0
x = 2 → y = 22 = 4
Jadi titik potong kurva dan garis adalah (0, 0) dan (2, 4)
Metode cakram:
Metode cincin silinder:
Contoh 4:
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = (y – 2)2 dan garis x +y = 4 diputar mengelilingi sumbu y, maka volume benda putar yang terjadi adalah …
Perpotongan kurva dan garis:
x + y = 4 → x = 4 – y
(y – 2)2 = 4 – y
y2 – 4y + 4 = 4 – y
y2 – 4y + 4 – 4 + y = 0
y2 – 3y = 0
y(y – 3) = 0
y = 0 atau y = 3
y = 0 → x = 4 – 0 = 4
y = 3 → x = 4 – 3 = 1
Jadi titik potong kurva dan garis (4, 0) dan (1, 3)
Metode cakram:
Metode cincin silinder:
Diputar terhadap garis x = p:
Contoh 5:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingigaris x = 4
kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis biru: x = 4
Perpotongan kurva dan garis:
x2 = 6x – x2
x2 + x2 – 6x = 0
2x2 – 6x = 0
2x(x – 3) = 0
x = 0 atau x = 3
x = 0 → y = 02 = 0
x = 3 → y = 32 = 9
Metode cakram:
**pada contoh 6 – contoh 8, karena digunakan kurva yang sama, hanya sumbu putar yang berbeda, penjabaran kurva di atas tidakditulis lagi.
Metode cincin silinder:
Contoh 6:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingigaris x = –1
kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis merahmuda: x = –1
Metode Cakram:
Metode Cincin silinder:
Diputar terhadap garis y = a:
Contoh 7:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingigaris y = –1
kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis biru: y = –
1
Metode cakram:
Metode cincin silinder:
Contoh 8:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingigaris y = 10
kurva merah muda: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis biru:
y = 10
Metode cakram:
Metode cincin silinder:
top related