Metoda Elementów Dyskretnych
Post on 10-Dec-2015
27 Views
Preview:
DESCRIPTION
Transcript
1
3. Metodyka modelowania z wykorzystaniem Metody
Elementów Dyskretnych
3.1 Wstęp
W zagadnieniach modelowania i analizy pracy maszyn górniczych istotną rolę odgrywa
interakcja elementów roboczych z urobkiem. Znajomość statyki i dynamiki urobku pozwala
na prawidłowe odzwierciedlenie zachodzących procesów roboczych a co za tym idzie na
skuteczne oszacowanie oporów ruchu, prognozowanie zużycia części maszyn czy analizę
trajektorii materiału. Dotyczy to zarówno procesów ładowania i odstawy jak i urabiania skał.
Powszechnie wykorzystywane modele analityczne opisują caliznę jak również
odspojony, rozdrobniony urobek w oparciu o teorie mechaniki ośrodków ciągłych. Bazują
również na szeregu empirycznie wyznaczonych współczynników w celu uwzględnienia
charakterystycznych zjawisk występujących podczas deformacji skał i materiałów sypkich.
Takie podejście nie pozwala na prawidłowe odzwierciedlenie rzeczywistej mechaniki tego
typu układów i prowadzi do znacznego uproszczenia analizowanych zagadnień. Ich
stosowanie ograniczone jest zatem do prostych geometrycznie przypadków i zgrubnego
przybliżenia zachowania układu [6].
Ze względu na złożoność zagadnień związanych z procesami mechanicznego urabiania
skał i gruntów oraz transportu, magazynowania i odstawy materiałów sypkich, powszechnym
rozwiązaniem stało się wykorzystywanie metod numerycznych w procesie projektowania,
rozwoju i optymalizacji maszyn roboczych [26]. Obecnie w praktyce wykorzystuje się dwa
typy metod: oparte na mechanice continuum (FEM) oraz metodę elementów dyskretnych
(DEM). W przypadku pierwszej z wymienionych, pojawiają się te same problemy i
ograniczenia co w metodach analitycznych. Materiał sypki traktowany jest jako
odkształcalny, ciągły ośrodek sprężysto-plastyczny. Względne przemieszczenia i obroty
cząstek nie są brane pod uwagę, konieczne jest zatem stosowania konstytutywnych zależności
w celu odzwierciedlenia skomplikowanego stanu przemieszczenia wewnątrz materiału [33]. Z
tego powodu najlepiej nadają się one do analizowania materiałów o bardzo małym
uziarnieniu takich jak piaski czy proszki [15] oraz zagadnień statycznych i quasi-statycznych
w zakresie małych odkształceń. Przy niespełnieniu tych założeń uchwycenie całokształtu
fizyki układu staje się problematyczne ze względu na ograniczenia technik numerycznych.
2
Przy dużych odkształceniach lub zjawiskach takich jak przepływ materiału, elementy
skończone mogą zostać znacznie zniekształcone, co wiąże się z koniecznością re-
dyskretyzacji modelu, a to prowadzić może do powstawania błędów i niestabilności symulacji
[6]. Metody te nie pozwalają również na modelowanie fragmentacji, separacji czy mieszania
różnych materiałów. Procesy te nie są możliwe do odzwierciedlenia ponieważ metody
continuum nie uwzględniają dyskretnej natury ośrodków ziarnistych [6]. Problematyczne jest
również analizowanie przejścia z continuum do discontinuum oraz propagacji tych zjawisk w
czasie, tak więc modelowanie skrawania i pękania skał lub kruszenia brył urobku jest
niepraktyczne i ograniczone. Ujęcie teoretyczne metod opartych na mechanice continuum
wymusza również stosowanie globalnych założeń dotyczących np. ciągłości strugi materiału,
co w wielu przypadkach wymaga znajomości trajektorii przepływu a priori.
Z powodu omówionych ograniczeń MES, dużą popularność zyskała Metoda Elementów
Dyskretnych. W przypadku DEM (Discrete Element Method) materiał reprezentowany jest
przez zbiór indywidualnych elementów (w najprostszym przypadku dyski lub sfery) będących
w ruchu oraz mogących wchodzić ze sobą w interakcję. Makroskopowa mechanika materiału
odzwierciedlona jest poprzez modelowanie przemieszczeń i obrotów wszystkich niezależnych
elementów w całym układzie umożliwiając modelowanie przepływu, dużych odkształceń czy
fragmentacji. Ogólnie rzecz ujmując, algorytm DEM składa się z dwóch podstawowych
etapów. W pierwszym z nich wykorzystywany jest odpowiedni model reologiczny kontaktu w
celu obliczenia sił działających na element, natomiast w drugim wykorzystuje się II zasadę
dynamiki Newtona dla każdego z elementów w celu obliczenia zmian w położeniu i prędkości
wynikających z działania niezrównoważonych sił.
W odróżnieniu do Metody Elementów Skończonych, nie jest konieczne definiowanie
globalnej macierzy sztywności. Równania ruchu rozwiązywane są jawnie dla każdego
indywidualnego elementu (element po elemencie) w oparciu o siły kontaktowe wynikające
jedynie z interakcji pomiędzy danym elementem a jego najbliższym otoczeniem. Zakłada się
przy tym bardzo mały krok czasowy. Dzięki temu te same równania pozwalają na opisanie
zarówno w pełni dynamicznego ruchu materiału w jednym jego obszarze oraz statycznego
spoczynku w innym [26]. Ponieważ przemieszczenia elementów są kinematycznie niezależne
od siebie, możliwe staje się modelowanie przepływu, separacji, fragmentacji, mieszania oraz
segregacji różnych materiałów bez konieczności wykorzystywania dodatkowych relacji
konstytutywnych czy globalnych założeń.
3
3.2 Podstawowe założenia metody
W Metodzie Elementów Dyskretnych materiał modelowany jest jako zbiór sztywnych
ciał/obiektów (elementów dyskretnych) oddziaływujących ze sobą poprzez siły kontaktowe
[36]. Makroskopowe zachowanie materiału wynika wprost z ruchu indywidualnych
elementów i ich wzajemnego oddziaływania. Proces ten jest w pełni dynamiczny, a stan
równowagi całego układu występuje w przypadku gdy wszystkie siły wewnętrzne (siły
kontaktowe pomiędzy elementami) się zrównoważą [27]. Metoda Elementów Dyskretnych
została opracowana przez Cundall’a w roku 1971 na potrzeby modelowania problemów
dotyczących mechaniki skał, a następnie została zaaplikowana do mechaniki materiałów
sypkich. Podstawowe sformułowanie DEM zakłada, że każdy dyskretny element może
podlegać przemieszczeniom i obrotom z uwzględnieniem całkowitego rozdzielenia/separacji
elementów oraz, że kontakty wykrywane są automatycznie wraz z postępem symulacji.
Makroskopowe zachowanie materiału odzwierciedla się poprzez dobór mikro-
parametrów charakteryzujących elementy jak również relatywnie prostych modeli kontaktu
pomiędzy nimi. Mikro parametry podzielić można na m. in. geometryczne i fizyczne (kształt,
rozmiar, gęstość) oraz konstytutywne (sztywność kontaktowa, tłumienie) [36]. Całkowita
liczba koniecznych do określenia mikro parametrów zależna jest od dobranego modelu
kontaktu. Równania ruchu dla każdego elementu są rozwiązywane w oparciu o II zasadę
dynamiki Newtona natomiast siły i momenty działające na każdy element aktualizowane są za
każdym razem gdy wystąpi kontakt pomiędzy nimi. Z założenia elementy traktowane są jako
idealnie sztywne jednak dozwolone jest nachodzenie ich na siebie, co interpretowane jest jako
odkształcenia w punkcie kontaktu. Wartości sił kontaktowych obliczane są na podstawie
relacji konstytutywnych w oparciu o zaaplikowany model reologiczny kontaktu.
W niniejszej pracy autorzy wykorzystywali system PFC3D firmy Itasca, dlatego też
aspekty teoretyczne przedstawione w dalszej części odnoszą się bezpośrednio do
implementacji DEM w tym właśnie kodzie. W zależności od zastosowanego kodu,
implementacja algorytmów metody może się nieznacznie różnić. Obszerny opis metody
można znaleźć w publikacjach i literaturze opisujących podstawy teoretyczne, zastosowanie i
metodykę kalibracji wartości mikro parametrów [20, 27, 28, 33]. Poniżej zestawiono
podstawowe założenia dotyczące Metody Elementów Dyskretnych [28, 33]:
1. Elementy są idealnie sztywne, posiadają skończoną bezwładność (masę i moment
bezwładności) oraz mogą być opisane analitycznie.
2. Elementy mogą poruszać się niezależnie od siebie. Mogą się przemieszczać i obracać.
4
3. Program automatycznie wykrywa nowe kontakty pomiędzy elementami.
4. Kontakt pomiędzy elementami zachodzi na nieskończenie małej powierzchni. Każdy
kontakt dotyczy jedynie dwóch elementów.
5. Elementy mogą w małym stopniu na siebie nachodzić co traktowane jest jako
odkształcenie w punkcie kontaktu rzeczywistych ciał.
6. Wartość odkształcenia (nachodzenia) jest mała w odniesieniu do rozmiarów elementu
7. Siły kontaktowe ściskające pomiędzy dwoma elementami związane są wartością
nachodzenia elementów na siebie poprzez relację siła-przemieszczenie.
8. W punktach kontaktu, mogą występować wiązania/połączenia.
9. W punkcie kontaktu istnieje możliwość przenoszenia sił ściskających i rozciągających
(w przypadku obecności wiązań) jak również sił stycznych prostopadłych do sił na
kierunku normalnym do płaszczyzny kontaktu.
10. Algorytm rozwiązywania jest oparty na jawnym schemacie całkowania równań ruchu.
Dobrana wartość kroku czasowego powinna być wystarczająco mała tak aby ruch
elementu w czasie jednego kroku był na tyle mały żeby miał wpływ jedynie na
bezpośrednie otoczenie elementu.
3.3 Cykl kalkulacji
Cykl kalkulacji w metodzie elementów dyskretnych jest krokowy, i wymaga
powtarzania czynności wykorzystania prawa ruchu do każdego elementu (II zasada dynamiki
Newtona) oraz relacji siła-przemieszczenie do każdego kontaktu. Wymagane jest również
ciągła aktualizacja pozycji powierzchni ograniczających o ile te są ruchome. Cykl
obliczeniowy składa się z dwóch zależnych od siebie algorytmów rozwiązujących dwa typy
równań (Rys. 3.1):
1. Równania ruchu – obliczenie przemieszczeń elementów będących wynikiem
oddziaływania na nie niezrównoważonych sił.
2. Równania konstytutywne - obliczanie sił działających na elementy będące w
kontakcie w oparciu o dobrany model
W obydwu przypadkach, w trakcie rozwiązywania jednego typu równania, dane
uzyskane na podstawie wcześniejszych obliczeń są znane i uznawane za stałe [28].
5
Rys. 3.1 Cykl obliczeniowy w symulacji DEM
Prawo ruchu/Równania ruchu elementów
Każdy indywidualny element porusza się w wyniku działania na niego wypadkowych
wektorów siły i momentu. Ruch ten może być rozpatrywany jako złożenie ruchu postępowego
środka ciężkości sztywnego ciała (elementu dyskretnego) i ruchu obrotowego względem
układu odniesienia zdefiniowanego w jego środku ciężkości. Ruch postępowy środka
ciężkości jest opisany przez jego pozycję ix , prędkość ix i przyśpieszenie ix . Z kolei ruch
obrotowy określony jest przez prędkość kątową i i przyspieszenie kątowe i [28].
W celu obliczenia przyspieszenia, a w konsekwencji do wyprowadzenia równań ruchu
dla każdego elementu, wykorzystywana jest II zasada dynamika Newtona. Równanie ruchu
postępowego w formie wektorowej przedstawia się następująco:
)gxm(F iii (3.1)
Gdzie:
iF - wypadkowa siła, suma wszystkich sił zewnętrznych działających na
element
m - masa elementu
ig - przyśpieszenie od siły masowej (np. siła ciężkości)
Natomiast wektorowe równanie ruchu obrotowego:
dt
dIHM i
ii
(3.2)
Gdzie:
iM - wypadkowy moment działający na element
6
iH - kręt, moment pędu elementu
Równania ruchu postępowego i obrotowego są integrowane przy pomocy jawnego
algorytmu centralnych różnic skończonych przy założonym kroku . Wielkości ix oraz i
są obliczane w przedziałach pośrednich (w połowie przedziału czasowego) t n t / 2 ,
natomiast wielkości takie jak i i i ix ,x , ,F oraz iM
są obliczane w pełnych przedziałach
(przedziałach głównych) t n t .
Poniższe wyrażenia opisują przyspieszenia w ruchu postępowym i obrotowym w czasie
t w zależności od wartości prędkości w połowie przedziałów.
(t) (t t /2) (t t /2)i i i
1x (x x )
t
(3.3)
(t) (t t /2) (t t /2)i i i
1( )
t
(3.4)
Uwzględniając te wyrażenia we wzorach opisujących ruch postępowy (3.1) i obrotowy
(3.2) i rozwiązując dla chwili t t / 2 otrzymujemy:
(t)(t t /2) (t t /2) ii i i
Fx x g t
m
(3.5)
(t)(t t /2) (t t /2) ii i
Mt
I
(3.6)
Ostatecznie, uzyskane prędkości służą do zaktualizowania pozycji elementu:
(t t) (t) (t t/2)i i ix x x t (3.7)
Podsumowując, procedura aktualizacji położenia elementów przedstawia się
następująco:
Znane są wartości (t t/2) (t t/2) (t) (t)i i i ix , , x ,F oraz
(t)iM
Na podstawie równań (3.5) i (3.6) obliczane są wartości (t t /2)ix
oraz (t t /2)i
Następnie za pomocą równania (3.7) obliczona zostaje wartość (t t)ix
Jeżeli powierzchnie ograniczające są ruchome, to także ich pozycje są aktualizowane.
Następuje proces wykrywania nowych kontaktów, które mogły powstać po przemieszczeniu,
7
jak również zlikwidowania już nieistniejących [21]. Wartości sił i momentów w chwili
t t , które mają zostać wykorzystane w następnym cyklu kalkulacji są uzyskiwane
dzięki aplikacji relacji siła-przemieszczenie.
Relacja siła-przemieszczenie
Na początku każdego kroku czasowego, zestaw kontaktów jest aktualizowany w
oparciu o znane pozycje elementów i powierzchni ograniczających. Następnie do każdego
istniejącego kontaktu, czyli sytuacji w której dwa elementy nachodzą na siebie, aplikowany
jest model kontaktu (model reologiczny), co przedstawia schematycznie rys. Rys. 3.2
Rys. 3.2 Aplikacja modelu kontaktu dla dwóch nachodzących na siebie elementów
Relacja siła-przemieszczenie wiąże względne przemieszczenie dwóch obiektów
będących w kontakcie (nachodzących na siebie) z wynikową siłą kontaktową, która działa na
te elementy. Siła kontaktowa rozkłada się na składową normalną, działająca na kierunku
normalnym do płaszczyzny kontaktu i składową styczną działającą w tej płaszczyźnie.
Składowe siły kontaktu z odpowiadającymi im składowymi względnego przemieszczenia
związane są przez normalną i poprzeczną sztywność w punkcie kontaktu, zdeterminowaną
przez właściwości fizyczne elementów i dobrany model kontaktu [28].
przedstawia przypadek kontaktu dwóch elementów sferycznych. Wielkość nU wyraża
wartość pokrywania się elementów na siebie.
8
Rys. 3.3 Schemat oznaczeń dla przypadku kontaktu dwóch sferycznych elementów [28]
Wektor siła kontaktowej iF działającej w punkcie kontaktu rozłożyć można na
składowa normalną i styczną, w odniesieniu do płaszczyzny kontaktu:
s
i
n
ii FFF (3.8)
Gdzie:
n
iF - składowa normalna siły kontaktowej
s
iF - składowa styczna siły kontaktowej
Składowa normalna jest obliczana przy pomocy zależności:
i
nnn
i nUKF (3.9)
Gdzie:
nK - sztywność na kierunku normalnym w punkcie kontaktu determinowana
przez aktualnie przyjęty model kontaktu
in - jednostkowy wektor normalny do płaszczyzny kontaktu
Sztywność normalna nK jest modułem siecznym tak więc odnosi się do całkowitego
przemieszczenia i siły. Składowa styczna siły kontaktowej jest obliczana w sposób
przyrostowy. W momencie kiedy zaistnieje kontakt dwóch elementów, całkowita siła styczna
jest zerowana. Każdy następny przyrost względnego przemieszczenia stycznego
(poprzecznego), powoduje przyrost elastycznej siły stycznej, która jest dodawana do aktualnej
wartości. Ruch kontaktowy musi być rozpatrywany w trakcie trwania tej procedury [28].
Ruch kontaktowy jest wyliczany poprzez aktualizowanie wektora normalnego in i
współrzędnej punktu kontaktu [C]ix w każdym kroku. Względny ruch podczas kontaktu
9
określany jest poprzez prędkość kontaktu iV , która może być rozłożona na składową normalna
niV i styczną
siV w odniesieniu do płaszczyzny kontaktu. Składowa styczna wektora
przyrostu przemieszczenia podczas kontaktu, występująca podczas kroku t jest obliczana
zgodnie ze wzorem:
s si iU V t (3.10)
Jest ona używana do określenia wektora przyrostu elastycznej siły stycznej:
s s si iF k U (3.11)
Gdzie:
sk - sztywność na kierunku stycznym na w punkcie kontaktu determinowana
przez aktualnie przyjęty model kontaktu
Nowa wartość siły stycznej jest określana poprzez zsumowanie starego wektora siły
stycznej występującego na początku kontaktu (po tym jak została wykonana rotacja potrzebna
do wyliczenia ruchu płaszczyzny kontaktu) z nowym wektorem przyrostu elastycznej siły
stycznej. W przypadku symulacji materiałów, w których występują elementy związane
występuje dodatkowa siła i moment, które należy uwzględnić w rozważaniach [28].
3.4 Modele kontaktów
Elementy oddziaływają na siebie wzajemnie oraz z otoczeniem poprzez siły, które
tworzą się podczas ich kontaktu. Termin kontakt ogólnie wyraża ich wzajemną interakcję.
Każdy kontakt zwykle odpowiada fizycznemu zetknięciu oraz wymaga dwóch elementów
Zakłada się, że kontakt występuje w pojedynczym punkcie poprzez który działa siła
kontaktowa. Model kontaktu opisuje fizyczne zachowanie się elementów podczas kontaktu.
Pomimo, że złożenia elementów mogą wykazywać skomplikowane nieliniowe właściwości,
zachowanie to jest uzyskiwane przy pomocy relatywnie prostych modeli kontaktów, które w
ogólnym przypadku mogą składać się z trzech komponentów opisujących sztywność
kontaktu, warunki poślizgu i oddzielenia oraz występujące wiązania. Równolegle do modelu
kontaktu może występować tłumienie.
Sztywność kontaktów zapewnia elastyczną relację pomiędzy siłą kontaktową
a względnym przemieszczeniem elementów opisaną wzorami 3.9 i 3.11. Dwa
najpowszechniej wykorzystywane modele kontaktu, to model liniowy oraz uproszczony
model Hertz’a-Mindlin’a. Sztywność kontaktowa różni się istotnie w obydwu przypadkach.
10
W modelu liniowym, siła i względne przemieszczenie są powiązane liniowo za pomocą stałej
sztywności kontaktowej, która jest funkcją sztywności własnych dwóch elementów będących
w kontakcie. Sztywność normalna i poprzeczna elementów jest oznaczona poprzez kn i ks
[siła/przemieszczenie]. Sztywność kontaktowa w liniowym modelu kontaktu, jest obliczana
przy założeniu, że sztywności dwóch będących w kontakcie elementów działają szeregowo.
Normalną sieczną sztywność kontaktu wyraża zależność:
[A] [B]n n n
[A] [B]n n
k kK
k k
(3.14)
Natomiast kontaktowa styczna sztywność na ścinanie, jest określana wzorem:
[A] [B]s s s
[A] [B]s s
k kk
k k
(3.15)
Gdzie:
[A] [B]n nk ,k - sztywności normalne elementów A i B
[A] [B]s sk ,k - sztywności styczne elementów A i B
W modelu Hertz’a-Mindlin’a, siła i względne przemieszczenie są ze sobą powiązane w
sposób nieliniowy przy pomocy zmiennej sztywności kontaktowej, która jest funkcją
właściwości geometrycznych i materiałowych dwóch elementów będących
w kontakcie, jak również aktualnej wartości siły normalnej. Model jest zdefiniowany przez
dwa parametry: współczynnik sprężystości poprzecznej G (moduł Kirchoffa, naprężenie) i
współczynnik Poissona (bezwymiarowy) odnoszące się do dwóch elementów będących w
kontakcie. Normalna sieczna sztywność kontaktu jest wyrażona wzorem:
n n2 G 2RK U
3(1 )
(3.17)
Natomiast styczna sztywność kontaktu jest obliczana przy pomocy wzoru:
1/3
2
1/3s n
i
2 G 3(1 )Rk F
2
(3.18)
Gdzie:
nU - pokrywanie się sfer
n
iF - wartość bezwzględna składowej normalnej siły kontaktowej
11
Pozostałe współczynniki występujące w powyższych wzorach są funkcją wielkości
geometrycznych i właściwości materiałowych elementów. Różnią się w zależności od tego
czy zderzają się dwa elementy dyskretne czy element ze ścianą. Dla przypadku kontaktu
dwóch elementów sferycznych współczynniki określone są w następujący sposób [28]:
][][
][][~ 2BA
BA
RR
RRR
(3.19)
[A] [B]1G G G
2 (3.20)
[A] [B]1
2 (3.21)
Natomiast dla przypadku kontaktu elementu sferycznego ze ścianą, należy posługiwać
się poniższymi zależnościami:
[kuli]R R (3.22)
[kuli]G G (3.23)
[kuli] (3.24)
Gdzie:
G - moduł sprężystości poprzecznej
- współczynnik Poissona
R - promień elementu sferycznego
Podczas kontaktu dwóch elementów sferycznych, własności elastyczne są wartością
średnią parametrów nachodzących na siebie elementów. Natomiast przy kontakcie elementu
ze ścianą, jest ona zastępowana identycznym elementem umieszczonym symetrycznie,
zlokalizowanym w miejscu ściany. Uproszczony model Hertz’a-Mindlin’a jest odpowiedni do
modelowania układów, w których nie występują wiązania, doświadczających warunków
odkształceń małego rzędu i wyłącznie naprężeń ściskających. Dla innych przypadków
adekwatny jest model liniowy, który jest również znacznie bardziej efektywny obliczeniowo.
Model kontaktowy umożliwia dwóm elementom będącym w kontakcie poślizg
względem siebie, jak również możliwość wystąpienia rozdzielenia elementów, jeżeli
pomiędzy nimi powstanie siła rozciągająca, a nie będą one wzajemnie związane. Warunki
poślizgu występują w momencie gdy składowa styczna siły kontaktowej osiąga maksymalną
12
dopuszczalną wartość. Parametrem definiującym zachowanie się elementów podczas poślizgu
jest współczynnik tarcia w miejscu kontaktu (najmniejszy z przypisanych elementom)
s nmax iF F (3.26)
Gdzie:
s
maxF - maksymalna siła styczna
- najmniejszy współczynnik tarcia pomiędzy dwoma elementami
n
iF - wartość bezwzględna składowej normalnej siły kontaktowej
Poślizg jest możliwy gdy s si maxF F
Komponenty modelu definiujące sztywności kontaktu oraz warunki poślizgu i
oddzielenia, w pełni opisują fizyczne zachowanie wszelkiego typu kombinacji elementów,
które nie są ze sobą wzajemnie związane. Jednakże można stosować modele uwzględniające
dwa typy wiązań pomiędzy elementami – kontaktowe i równoległe [27, 28]
Wiązanie kontaktowe odtwarza efekt adhezji działający na nieskończenie małą
(śladową) powierzchnię punktu kontaktu. Zapewnia to punktowi kontaktu odpowiednią
wytrzymałość na rozciąganie i ścinanie oraz pozwala to na tworzenie się sił rozciągających
pomiędzy dwoma elementami. Jeżeli wartość bezwzględna siły normalnej bądź ścinającej
przekroczy wartość dopuszczalną przez wytrzymałość wiązania, ulega ono zniszczeniu. Dwa
elementy związane kontaktowo zachowują się tak jakby były zespawane w miejscu styku, tak
więc nie występuje poślizg tak długo jak długo wiązanie działa. Jednakże, wiązanie to
pozwala na występowanie względnego toczenia się elementów. Toczenie ma miejsce pod
wpływem niezrównoważonego momentu działającego na punkt kontaktu. Jako, że wiązanie
kontaktowe działa w punkcie a nie w skończonej wielkości powierzchni, nie jest w stanie
wytworzyć potrzebnej pary sił aby zrównoważyć moment.
Wiązanie równoległe odtwarza efekt dodatkowego materiału (spoiwa) osadzonego w
momencie kontaktu elementów. Efektywna sztywność tego dodatkowego materiału, współgra
równolegle ze sztywnością punktu kontaktu. Każdego dodatkowe obciążenie zaaplikowane do
takiego złożenia elementów w momencie połączenia ich wiązaniem równoległym, jest
dzielone pomiędzy te dwie sztywności. Wiązanie równoległe pomiędzy dwoma elementami
przenosi zarówno siłę jak i moment na nie działające. Może być rozpatrywane jako walec
elastycznego kleju łączącego te elementy. Należy zaznaczyć, że warunki w punkcie kontaktu
nie są zaburzone przez obecność wiązania równoległego. Zatem poślizg może wystąpić jeżeli
nie ma wiązania kontaktowego, może mieć miejsce także oddzielenie. Jeżeli istotne jest
13
zminimalizowanie wszelkich względnych ruchów pomiędzy elementami, należy zaaplikować
obydwa modele wiązań.
3.5 Tłumienie
W ogólnym przypadku kontakt pomiędzy dwoma elementami nie jest idealnie
elastyczny. Oprócz rozpraszania energii poprzez tarcie elementów, w programie PFC3D
dostępne są dwa modele tłumienia pozwalające na rozpraszanie energii kinetycznej w
systemie - tłumienie lokalne, działające na wszystkie elementy sferyczne oraz tłumienie
wiskotyczne, działające w punktach kontaktu.
Tłumienie lokalne jest najprostszym modelem, jednak najmniej realistycznym. Do
równań ruchu postępowego i obrotowego każdego z elementów dodawany jest komponent
siły tłumienia, którego wartość jest proporcjonalna do wartości niezrównoważonej siły
działającej na element.
)( i
tot
i
d
i xsignFF (3.27)
)( i
tot
i
d
i signMM (3.28)
Gdzie:
- współczynnik tłumienia lokalnego d
iF , d
iM - siła tłumienia i moment tłumienia działające na element i
tot
iF , tot
iM - całkowita wypadkowa siła i moment działające na element i
ix , i - prędkość postępowa i obrotowa elementu i
Całkowita siła i moment wypadkowy odnoszą się zarówno do sił zewnętrznych jak i
wszystkich efektów masowych. Tłumieniu poddawany jest jedynie ruch przyspieszony
dlatego model ten jest odpowiedni do analiz zjawisk statycznych [28]. Pozwala na szybkie
uzyskanie stanu równowagi i przeprowadzenie symulacji quasi-statycznych. W przypadku
występowania zjawisk dynamicznych zastosowanie ma model tłumienia wiskotycznego.
W przypadku aplikacji tłumienia wiskotycznego, do każdego kontaktu dodawane są
tłumik tłokowe na kierunku normalnym i stycznym. Tłumiki działają równolegle z
zaaplikowanym modelem kontaktu (np. liniowym). Do siły kontaktowej dodawana jest siła
tłumienia wyrażona wzorem:
iii vcD (3.29)
Gdzie:
14
iD - siła tłumienia przeciwstawiająca się ruchowi
ic - stała tłumienia wiskotycznego
iv - względna prędkość w punkcie kontaktu
i - indeks odnoszący się do komponentu siły, i=n:normalna, i=s:styczna
.Stała tłumienia nie jest określana bezpośrednio lecz jest definiowana, poprzez parametr
i określający stosunek stałej tłumienia do wartości stałej tłumienia krytycznego.
crit
iii cc (3.30)
Przy czym stała tłumienia krytycznego crit
ic jest wyrażona zależnością:
ii
crit
i mkmc 22 (3.31)
Gdzie:
i - częstość drgań własnych układu nietłumionego
ik - sztywność kontaktu
m - efektywna masa układu
W przypadku kontaktu elementu sferycznego ze ścianą efektywna masa równa jest
masie elementu sferycznego, natomiast podczas kontaktu dwóch elementów sferycznych
masa efektywna jest średnią z mas tych elementów [28]. Model tłumienia wiskotycznego
nadaje się do symulacji dynamicznych, z dużą liczbą szybko zderzeń poszczególnych
elementów, oraz do przypadków gdzie tłumienie lokalne dawałoby nierealistyczne
odzwierciedlenie układu np. spadek swobodny.
3.6 Elementy zgrupowane
W modelowaniu DEM powszechnie wykorzystuje się proste elementy geometryczne
(najczęściej sfery) do reprezentowania mikro komponentów materiału. Spowodowane jest to
uproszczeniem wykrywania kontaktu pomiędzy elementami co znacznie skraca czas obliczeń.
W przypadkach kiedy wymagane jest aby w pewien sposób odzwierciedlić kształt,
alternatywą do wykorzystywania skomplikowanych geometrycznie indywidualnych
elementów jest łączenie pojedynczych, nachodzących na siebie elementów sferycznych w
celu utworzenia grupy reprezentującej jeden super-element (Rys. 3.4). Elementy zgrupowane
zachowują się jak ciała sztywne (położenie pojedynczych elementów sferycznych względem
siebie jest stałe) lecz posiadają odkształcalne granice. Podczas cyklu kalkulacji, kontakt
pomiędzy elementami tworzącymi zgrupowanie jest pomijany, a pojedyncze elementy nie
15
mogą zostać oddzielone od grupy niezależnie od działającej na nie siły. Jest to istotna różnica
w porównaniu do łączenia elementów za pomocą wiązań.
Rys. 3.4 Przykład prostego elementu zgrupowanego
Całkowita masa i macierz bezwładności elementu zgrupowanego oraz położenie środka
masy wynikają z tworzących go indywidualnych elementów i obliczane są na podstawie
następujących zależności [15, 28]:
pN
1i
iC mm (3.32)
i
N
i
i
C
G xmm
xp
C
1
1 (3.33)
Gdzie:
pN - liczba elementów sferycznych, z których składa się element zgrupowany
iC mm , - masa elementu zgrupowanego, masa i-tego elementu sferycznego
CGx - położenie środka masy elementu zgrupowanego
ix - położenie środka masy i-tego elementu sferycznego
Macierz bezwładności obliczana jest na podstawie wzoru:
pN
i
iiiC DmII1
(3.34)
Gdzie iI oznacza macierz bezwładności i-tego elementu względem jego środka masy.
Macierz iD jest określona następująco:
22
22
22
yxzyzx
zyzxyx
zxyxzy
i
dddddd
dddddd
dddddd
D (3.35)
przy czym Ci GGzyx xxddd .
16
W cyklu obliczeniowym w etapie aplikacji relacji siła-przemieszczenie indywidualne
elementy sferyczne elementu zgrupowanego traktowane są jak zwykłe elementy podczas
detekcji kontaktu i obliczania sił. Pomijane są jedynie kontakty pomiędzy elementami grupy.
Znając siły działające na poszczególne elementy można zastosować równania ruchu dla
elementu zgrupowanego, wykorzystując jego masę i macierz bezwładności w celu określenia
nowego położenia i orientacji w przestrzeni [28].
3.7 Stabilność rozwiązania numerycznego
Równania ruchu w programie PFC, jak w większości kodów DEM, integrowane są przy
pomocy algorytmu centralnych różnic skończonych. Aby zminimalizować błędy numeryczne
i zapewnić stabilność rozwiązania, krok czasowy musi być bardzo mały [15]. Analizowany
układ może być rozpatrywany jako zbiór dyskretnych ciał i sprężyn w punktach kontaktu.
Każdy element może mieć indywidualną masę i moment bezwładności, a każda sprężyna
może mieć inną sztywność. Krytyczna wartość kroku czasowego związana jest z minimalnym
okresem i częstotliwością drgań własnych całego układu [28]. W przypadku małych
układów, składających się z niewielkiej liczby elementów, obliczenie tych wartości nie sprawi
problemu, jednakże w przypadkach typowych dla symulacji DEM, w których układ stanowi
bardzo duże, ciągle zmieniające się złożenie elementów, globalna analiza drgań własnych jest
niepraktyczna w zastosowaniu. Przyjmuje się zatem, że krytyczna wartość kroku czasowego
w ogólnym przypadku określana jest z zależności [28]:
obrposkrytk
I
k
mt ,min (3.36)
Gdzie:
m - masa elementu sferycznego
I - moment bezwładności elementu
posk - sztywność w ruchu postępowym
obrk - sztywność w ruchu obrotowym
Krytyczna wartość kroku czasowego obliczana jest dla każdego indywidualnego
elementu dla wszystkich stopni swobody oddzielnie, przy założeniu, że stopnie swobody są
od siebie niezależne. Ostatecznie krok czasowy jest przyjmowany jako minimalna wartość ze
wszystkich obliczonych.
17
3.8 Zastosowanie Metody Elementów Dyskretnych
Metoda elementów dyskretnych znalazła szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach
nauki i techniki. Jest powszechnie wykorzystywana do fundamentalnych badań mechaniki
materiałów sypkich i skał. Wykonywane są wirtualne eksperymenty odzwierciedlające
rzeczywiste testy laboratoryjne bazując na niezmiennych modelach próbek materiału.
Pozwala to na badanie wpływu obciążeń zewnętrznych na odpowiedź układu w skali mikro i
makroskopowej, wraz z dogłębną analizą łańcucha sił wewnątrz próbki. Metoda DEM jest
obecnie traktowana jako jedno z podstawowych narzędzi w geotechnice.
Metoda Elementów Dyskretnych jest również co raz powszechniej wykorzystywana
jako efektywne narzędzie do przeprowadzania symulacji wielkoskalowych procesów
przemysłowych. Przykładowe obszary zastosowań to spośród wielu m. in. górnictwo,
rolnictwo, budownictwo czy przemysł farmaceutyczny. Według Nordella (1997),
modelowanie mechaniki materiałów sypkich i skał w oparciu o DEM, ma potencjał do
zostania jednym z najważniejszych naukowych osiągnięć dla przemysłu górniczego.
W inżynierii mechanicznej związanej z maszynami górniczymi, Metoda Elementów
Dyskretnych jest z powodzeniem wykorzystywana do modelowania transportu urobku przez
różnego rodzaju przenośniki - taśmowe [13, 18–20, 25, 29], zgrzebłowe [10, 11], kubełkowe
[22] oraz ślimakowe [23]. Najwięcej prac badawczych jak również przykładów
wykorzystania symulacji do problemów przemysłowych dotyczy wirtualnego prototypowania
przenośników taśmowych. Analizuje się głównie ruch strugi materiału, zwłaszcza w
newralgicznych miejscach jakimi są punkty przeładunkowe zwane potocznie przesypami
(Rys. 3.5). Wyniki symulacji pozwalają na modyfikację konstrukcji w celu uzyskania
pożądanego charakteru przepływu urobku. To z kolei prowadzi do minimalizacji
prawdopodobieństwa zadławienia przesypu oraz zużycia jego elementów konstrukcyjnych jak
również taśmy przenośnika odbierającego. Prowadzone są również badania symulacyjne
dotyczące powstawania i rozprzestrzeniania się pyłu w obrębie przesypu [14]. Innymi
przykładami wykorzystania symulacji DEM do analizy ruchu materiałów sypkich są:
rozładunek zbiorników retencyjnych, magazynowanie w silosach oraz procesy robocze
ładowarek, koparek [8, 9] i innych maszyn ciężkich.
18
Rys. 3.5 Wykorzystanie DEM do analizy przepływu materiału w stacji przesypowej
i kruszenia nadawy w kruszarce stożkowej [35]
Unikalnym zastosowaniem Metody Elementów Dyskretnych jest modelowanie
zniszczenia materiałów a podstawowe założenia metody sprawiają, że doskonale nadaje się
ona do modelowania pękania/zniszczenia i skrawania skał [34, 36, 40]. Model materiału
uzyskiwany jest poprzez łączenie grupy pojedynczych elementów wiązaniami o określonych
mikro-parametrach mechanicznych (sztywność, wytrzymałość) uzupełniając w ten sposób
definicję kontaktu pomiędzy nimi. Otrzymuje się w ten sposób model ciała stałego, które w
wyniku działania sił zewnętrznych może ulec zniszczeniu poprzez utratę wytrzymałości
mikro-wiązań. Takie podejście wykorzystuje się do modelowania wcześniej wspomnianego
skrawania skał - nożami stożkowymi czy dyskami [40] oraz kruszenie nadawy np. w młynach
kulowych i kruszarkach [5, 12, 41]. W oparciu o tak przygotowany model materiału bada się
również wpływ degradacji pojedynczych brył na mechanikę układu np. podsypki kolejowej
[16, 17] czy gruntów [4, 24, 38, 39]
3.9 Wady i zalety metody
Największą zaletą Metody Elementów Dyskretnych jest możliwość modelowania
materiału na poziomie indywidualnych elementów. Pozwala to na lepsze zrozumienie
fundamentalnych interakcji na poziomie mikro, determinujących makroskopową odpowiedź
układu [33]. Śledzenia i gromadzenia informacji na poziomie dyskretnego element sprawia,
że badania symulacyjne dostarczają szeregu istotnych informacji np. rozkładu prędkości i
trajektorii brył w strudze materiału, dystrybucji energii, naprężeń czy sił oddziaływania
materiału na elementy robocze. Wielkości te są trudne lub niemożliwe do oszacowania w
oparciu o klasyczne metody analizy oparte na mechanice ośrodków ciągłych. W wielu
przypadkach niemożliwy jest również pomiar czy bezpośrednia obserwacja. DEM jest więc
19
narzędziem pozwalającym rozszerzyć istniejącą wiedzę na temat mechaniki materiałów
sypkich i skał, która w dużym stopniu oparta jest na empirycznych obserwacjach całkowitej,
zewnętrznej odpowiedzi układu. Dużą zaletą DEM jest również łatwe modelowanie
problemów, w których występują/dominują duże deformacje/odkształcenia, zniszczenie czy
procesów o dyskretnej naturze.
Opisane powyżej zalety metody są jednocześnie jej wadami ze względu na znaczną
ilość informacji gromadzonych na poziomie poszczególnych elementów. Jawny sposób
rozwiązywania równań ruchu wymusza stosowanie bardzo małych kroków czasowych co
sprawia, że obliczenia wymagają dużych zasobów mocy obliczeniowej i są długotrwałe. W
wielu przypadkach konieczne jest stosowanie znacznych uproszczeń w modelu w celu
zachowania racjonalnych zależności pomiędzy celem obliczeń a czasem potrzebnym do ich
wykonania. Niektóre interesujące zagadnienia z zakresu skrawania skał do tej pory
modelowane są jedynie w zakresie lokalnym tzn. pracy pojedynczego narzędzia. Często w
praktyce, aby zwiększyć dozwolony krok czasowy, wykorzystuje się znacznie mniejsze od
rzeczywistych sztywności elementów [26]. W przypadku gdy celowe jest wygenerowanie
odpowiedniej objętości urobku w celu np. badania ruchu strugi w przesypie, praktykowane
jest skalowanie modelu, zwłaszcza rozmiarów elementów, oraz zawężanie rzeczywistej
dystrybucji do większych frakcji i modyfikacja gęstości właściwej materiału w celu uzyskania
odpowiedniej gęstości usypowej. Standardem staje się wykorzystanie obliczeń równoległych.
Jednym z największych problemów dotyczących budowy modelu symulacyjnego w
oparciu o Metodę Elementów Dyskretnych jest dobór mikro-parametrów opisujących
elementy i kontakt pomiędzy nimi (parametry materiału). Do dnia dzisiejszego nie zostały
opracowane żadne ścisłe relację pomiędzy mikro-parametrami a odpowiedzią układu w skali
makro. Zależności te określić można jedynie dla prostych geometrii z regularnym układem
elementów. Pomimo intensywnych prac dotyczących ujednolicenia metodyki kalibracji,
proces ten wciąż nie ma standardów i wymaga podejścia iteracyjnego.
20
4. Modelowanie współpracy kombajnu ścianowego z
przenośnikiem zgrzebłowym
4.1 Wstęp
Nowe technologie i rozwiązania konstrukcyjne maszyn górniczych pozwalają na
eksploatację węgla w co raz trudniejszych warunkach górniczo-geologicznych. W przypadku
niskich pokładów prawidłowa ocena procesu ładowania odspojonego urobku przez
ślimakowy organ urabiający jest bardzo istotna ze względu na znacznie większe
prawdopodobieństwo zadławienia. Ograniczenia obszaru urabiania wynikające z geometrii
ściany, gabarytów kombajnu czy zagięć przenośnika, powodują zmniejszenie tak zwanej furty
ładowania. Przez furtę ładowania rozumie się w tym przypadku minimalny przekrój jaki musi
pokonać struga urobku, ograniczony ramieniem i profilem rynny przenośnika (Rys. 4.1). Tak
zdefiniowana furta ładowania ma w procesie urabiania przekrój zmienny w zależności od
położenia ramienia i kierunku pracy kombajnu. Ekstremalne warunki ładowania mają miejsce
w przypadku gdy organ urabiający pracuje na wysokości rynny przenośnika.
Rys. 4.1 Wysokość powierzchni ładowania urobku
W takich warunkach bardzo ważne jest prawidłowe oszacowanie wydajności z jaką
kombajn ścianowy podaje urobek na przenośnik zgrzebłowy a także wnikliwa analiza ruchu
strugi materiału. Może to zapobiec lub zminimalizować potencjalne problemy podczas
współpracy tych maszyn. Zastosowanie metod analitycznych nie jest w tym przypadku
możliwe ze względu na wysoki stopień skomplikowania ruchu strugi materiału.
4.2 Opis modelu numerycznego
21
Symulacja przeprowadzona została w programie PFC3D 4.0 firmy Itasca. System
PFC3D
(Particle Flow Code In 3 Dimensions)
jest zaawansowanym środowiskiem
programistycznym pozwalającym na modelowanie ruchu i wzajemnego oddziaływania
sferycznych elementów w oparciu o Metodę Elementów Dyskretnych. Pozwala na budowanie
przestrzennych numerycznych modeli ośrodka o budowie ziarnistej złożonego
z elementów sferycznych (lub złożeń zbudowanych na bazie pojedynczych elementów) o
różnej wielkości oraz modelowaniu ich ruchu i wzajemnego oddziaływania. Solver pakietu
realizuje kod zdefiniowany przez użytkownika, określony przez szereg komend definiujących
obszar modelu, elementy oraz ich wzajemne interakcje. Dzięki wbudowanemu językowi
programowania FISH, użytkownik może również zdefiniować funkcje kontrolujące przebieg
symulacji.
Model numeryczny składa się z dwóch typów komponentów - elementów sferycznych
reprezentujących materiał oraz ścian, wykorzystywanych do modelowania granic modelu i
ciał sztywnych. Układ początkowy analizowanego modelu przedstawiony jest na rysunku
Rys. 4.2. Elementy ścianowe wykorzystane zostały do zamodelowania geometrii kombajnu
oraz przenośnika zgrzebłowego i do odzwierciedlenia stropu i spągu (niewidoczne na
rysunku). Przed organem urabiającym kombajnu znajduje się gęsto upakowane,
prostopadłościenne złożenie elementów dyskretnych reprezentujących urabianą caliznę.
Rys. 4.2 Model w stanie początkowym (zgrzebła niewidoczne)
Ponieważ w procesach ładowania i odstawy urobku interesującym zagadnieniem jest
mechanika układu z punktu widzenia przepływu strugi materiału sypkiego, symulacja oparta
została na modelu materiału niezwiązanego. Modelowanie całego procesu skrawania urobku
22
jest zagadnieniem bardzo skomplikowanym, zwłaszcza ze względu na przygotowanie
numerycznego modelu materiału reprezentującego skałę w caliźnie poprzez wykorzystanie
dodatkowych wiązań pomiędzy elementami. Obecnie tego typu modele wykorzystuje się w
modelowaniu urabiania pojedynczym narzędziem. Uznano za wystarczające opracowanie
algorytmu pozwalającego na to aby program obliczał i generował objętość odspojonego,
rozluzowanego urobku przemieszczającego się w przestrzeni pomiędzy calizną, a płatami i
piastą organu. Z tego też powodu model geometryczny organu został ograniczony do średnicy
1300 mm, czyli do średnicy płatów ładujących, bez uwzględnienia noży. Model
matematyczny opisujący wydajność przemieszczania urobku z przestrzeni ładowania na
przenośnik opracowano w oparciu o istniejące modele teoretyczne urabiania organami
ślimakowymi Poniżej przedstawiono schematycznie i opisano istotę przygotowanego
algorytmu.
Rys. 4.3 Model procesu skrawania urobku
Na Rys. 4.3Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. przedstawiony jest kombajn w
bezpośrednim sąsiedztwie wcześniej wygenerowanej objętości urobku z calizny 1. W
początkowej fazie, wszystkie elementy mają zablokowane stopnie swobody, to znaczy są
utwierdzone bez możliwości ruchu. Znając prędkość posuwu kombajnu jak również prędkość
obrotową organu i zakładając jedną linie noży, maksymalna głębokość skrawania obliczana
jest na podstawie warunku równości czasu przemieszczenia kombajnu o gmax i pełnego obrotu
organu:
23
obrposmax tvg (4.1)
obrt2 (4.2)
Porównując obydwa wyrażenia oraz biorąc po uwagę, że n2 można obliczyć
głębokość maksymalną urabiania:
n
vg
pos
max (4.3)
Znając gmax i czas jednego obrotu tobr, a także wiedząc, że średnica organu z nożami
wynosi 1400 mm, przed każdym przesunięciem w przód organu o gmax, przygotowywana jest
odpowiednia ilość urobku 2. Takie przygotowanie „w przód”, polega na uwolnieniu stopni
swobody materiału, który teoretycznie powinien zostać urobiony podczas tego przyszłego
przesunięcia i obrotu organu. Strefę urabiania zakreskowaną kolorem zielonym na rysunku 8.
W praktyce nie zachodzi zatem proces urabiania a jedynie ładowania teoretycznej ilości
odspojonego urobku. Założono, że w trakcie trwania symulacji ziarna nie ulegają kruszeniu.
W programie PFC3D siły działające na elementy ścianowe nie wpływają na ich ruch.
Zamiast tego ruch tego typu elementów (prędkości) określany jest przez użytkownika
i pozostaje stały niezależnie od działających sił. Dlatego też kombajn ma dla zadanych
warunków prędkość stałą, a ewentualne opory nie mają wpływu na jej zmianę. Takie
podejście do symulacji jest uzasadnione biorąc pod uwagę stosowane moce kombajnów
i charakterystyki napędów, które gwarantują utrzymanie stałej prędkości ruchu kombajnu
i prędkości obrotowej organu. Uwzględnienie dynamiki kombajnu jest możliwe z
wykorzystaniem języka FISH [15, 28]
4.3 Modelowanie materiału
Modelowanie materiału jest jednym z najistotniejszych etapów tworzenia symulacji,
którego celem jest przygotowanie numerycznego modelu odzwierciedlającego zachowanie
rzeczywistego materiału z jak największą zgodnością [26–28]. W przypadku systemu PFC3D
jak i ogólnie Metody Elementów Dyskretnych symulowany materiał (układ) powstaje na
bazie syntezy mikro-komponentów, a zatem makroskopowe zachowanie układu zależy od
mikroskopowych właściwości elementów, które go tworzą [27, 28]. Dobór odpowiednich
wartości mikro parametrów w celu uzyskania makroskopowej odpowiedzi układu zgodnej z
rzeczywistym materiałem, jest w wielu przypadkach bardzo trudny. W przypadku gdy
modeluje się materiał złożony ze sferycznych elementów oraz parametry tych mikro-
24
komponentów są znane, można bezpośrednio zaaplikować je do modelu (przy założeniu
sferycznych elementów). Jest to tak zwane modelowanie bezpośrednie [27, 28]. W praktyce,
w ogólnym przypadku właściwości fizyko-mechaniczne materiału sypkiego zdeterminowane
są przez szeroki zakres parametrów, w tym także rozmiar, położenie i kształt ziaren, który
zwykle w znacznym stopniu odbiega od sferycznego. Rozrzut właściwości indywidualnych
ziaren utrudnia również określenie charakterystyki układu w sposób empiryczny [15]. Zwykle
zatem mikroskopowe właściwości rzeczywistego materiału rozdrobnionego różnią się od tych
przyjętych dla elementów modelu numerycznego i nie mogą być wykorzystane bezpośrednio.
Z tego powodu mikro-parametry modelu DEM muszą być za każdym razem określane
w procesie kalibracji, dla każdego indywidualnego przypadku, a ich dobór oparty jest o
makroskopowe charakterystyki modelowanego materiału takiego jak kąt usypu naturalnego
czy moduł sprężystości. Jest to przykład modelowania odwrotnego. Temat ten jest w obrębie
zainteresowania badaczy od wielu lat, jednak do tej pory nie zostały opracowane standardowe
procedury kalibracji parametrów. Powszechnie stosowanym podejściem jest wykonywanie
laboratoryjnych badań próbki materiału w celu określenia makroskopowej charakterystyki, a
następnie numeryczne odzwierciedlenie wybranych testów i iteracyjna zmiana wybranych
mikro parametrów, aż do osiągnięcia oczekiwanej odpowiedzi, zgodnej z wynikami testów.
Istnieje szereg procedur testów laboratoryjnych przeznaczonych do określania konkretnych
charakterystyk materiałów sypkich takich jak moduł sprężystości czy współczynniki tarcia
zewnętrznego i wewnętrznego. Możliwe jest zatem skojarzenie konkretnego testu z
odpowiednim mikro parametrem determinującym tą odpowiedź w modelu numerycznym.
Przykładami badań stosowanych w tego rodzaju modelowaniu są próba bezpośredniego
ścinania, jednoosiowe ściskanie, badanie kąta usypu naturalnego.
W przeprowadzonych symulacjach zaimplementowany został liniowo-sprężysty model
kontaktu z uwzględnieniem tłumienia. W takim przypadku aby odzwierciedlić materiał
niezwiązany (sypki) konieczne jest określenie wartości następujących mikro parametrów
konstytutywnych i geometrycznych [27]: wielkość i kształt elementów (dystrybucja w
próbce), ρ - gęstość właściwa, kn, ks - normalna i poprzeczna sztywność, µw, µz - wewnętrzny
i zewnętrzny współczynnik tarcia elementu, αn, αs - współczynniki tłumienia na kierunku
normalnym i stycznym (jako procent tłumienia krytycznego). Pierwsze dwa z wymienionych
mikro parametrów, determinują porowatość modelu materiału dla konkretnego upakowania.
Poniżej przedstawiono stosunkowo prostą metodykę doboru mikro parametrów, bardziej
szczegółowe podejście dla materiałów niezwiązanych, wraz z kompletnym opisem
poszczególnych etapów znaleźć można w literaturze [6, 7, 15, 26]
25
Rozmiar i kształt brył
Modelowanym materiałem był węgiel kamienny. Analizę składu ziarnowego
przeprowadzono na reprezentatywnej próbce. Po określenie masy próbki, materiał przesiano
korzystając z przesiewacza laboratoryjnego wyposażonego w zestaw sit tkanych z oczkami
kwadratowymi zgodnymi z PN-86/M-94001. Wykorzystane zostały sita o następujących
rozmiarach oczek: 8; 12,5; 16; 20; 25; 31,5 mm. Materiał, który pozostał na poszczególnych
sitach, zważono i odniesiono do całkowitej masy badanej próbki w celu określenia zawartości
procentowej poszczególnych klas. Wyniki zestawiono w tabeliTabela 4.1
Nr
sita
Rozmiar
otworu [mm]
Masa
materiału
na sicie [g]
Zawartość
procentowa
[%]
Skumulowana
zawartość
nadziarna
(odsiew) [%]
Skumulowana
zawartość
podziarna
(przesiew) [%]
0 36 0 0 0 100.0
1 31.5 480 11.5 11.5 88.5
2 25 280 6.7 18.3 81.7
3 20 520 12.5 30.8 69.2
4 16 340 8.2 38.9 61.1
5 12.5 540 13.0 51.9 48.1
6 8 1240 29.8 81.7 18.3
7 0 760 18.3 100.0 0.0
Tabela 4.1 Wyniki badań przesiewania próbki węgla
W szerszym zakresie, skumulowany udział procentowy został opisany przez rozkład
Rossina-Rammlera uzyskując krzywą przedstawioną na Rys. 4.4 [3]:
n
0d
d
e1)d(P (4.4)
Gdzie:
7295.1n - parametr rozkładu opisujący rozrzut wielkości
1988.18d0 - średni rozmiar ziarna
W celu skrócenia czasu obliczeń rozmiary brył przyjętych w modelu numerycznym
zostały zwiększone w stosunku do rzeczywistych, jednak przy zachowaniu rzeczywistego
rozkładu wielkości (Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania.). W przypadku
pominięcia tego zabiegu, najmniejsze frakcje istotnie wpływałyby na zmniejszenie kroku
czasowego i spowolnienie obliczeń. Ponieważ podstawową jednostką geometryczną jest sfera,
wiąże się to z problemem braku oporów toczenia. Problem ten rozwiązać można na dwa
26
sposoby. Pierwszym z nich jest modyfikacja modelu kontaktowego, tak aby uwzględniał
dodatkowe momenty oporu w oparciu o zadany współczynnik oporów toczenia. Konieczna
jest wtedy kalibracja kolejnego parametru, a uzyskana wartość współczynnika tarcia
wewnętrznego jest nieliniową funkcją dwóch parametrów przy założeniu stałych mikro
parametrów konstytutywnych (właściwości sprężyste). Identyfikacja funkcji jest możliwa do
określenia jedynie poprzez szereg symulacji. Zwykle nie istnieje unikalna para dwóch
wartości tych mikro-parametrów, co stanowi problem przy doborze właściwych wartości.
Zaletą takiego podejścia jest relatywnie szybki czas obliczeń [1, 42]
Innym sposobem jest modelowanie konglomeratów sfer poprzez łączenie pojedynczych
kulek. Uzyskiwany jest wtedy pewien uproszczony kształt rzeczywistej brył. W zależności od
liczby indywidualnych elementów sferycznych wchodzących w skład konglomeratu,
charakterystyczne wymiary i kształty brył uzyskane z pomiarów laboratoryjnych są
odwzorowane na określonym poziomie dokładności. Dodatkową zaletą tej metody jest to, że,
uwzględniony zostanie wpływ kształtu i geometrii bryły na proces klinowania.
Dotychczasowe badania wykazały również, że kształty, z którymi związane są momenty
bezwładności poszczególnych brył urobku mają istotny wpływ na zachowanie się strugi
urobku podczas jej ruchu [32]. Ponadto można wtedy stosować rzeczywiste wartości
współczynników tarcia pomiędzy bryłą a elementami maszyn, uzyskane z pomiarów. Istotne
jest również to, że tak zamodelowane bryły, pozwolą na uchwycenie efektu klinowania co
istotnie wpływa na wytrzymałość materiału sypkiego (kąt tarcia wewnętrznego -
przemieszczenia ziaren, klinowanie i poślizgi). Dużą wadą jest natomiast znaczny wzrost
czasu obliczeń. Na potrzeby symulacji wybrano uproszczone kształty brył tworzone z
bazowych elementów sferycznych i zamodelowano w ten sposób 60% ziaren urobku.
Wielkości i kształt elementów stanowiły zmienne niezależne w dalszym procesie kalibracji.
27
Rys. 4.4 Wielkość i kształty brył wykorzystane w symulacji
Gęstość właściwa i usypowa
Badanie gęstości właściwej przeprowadzono określając masę oraz objętość pojedynczej
bryłki węgla. Masę zmierzono za pomocą wagi elektronicznej o dokładności ważenia 1 g. W
celu określenia objętości bryłkę węgla umieszczono w cylindrze miarowym wypełnionym
wodą i dokonano pomiaru objętości wypartej cieczy. Wartość gęstości właściwej obliczono
dzieląc masę bryłki przez jej objętość natomiast gęstość usypową określono wsypując luźną
próbkę węgla do cylindra miarowego. Odczytano zajmowaną przez nią objętość, po czym
dokonano pomiaru jej masy na wadze elektronicznej. Dzieląc uzyskaną masę przez objętość
otrzymano wartość gęstości usypowej węgla.
Znając wartości gęstości właściwej i usypowej można określić porowatość złoża. W
wyniku skalowania rozmiarów, w modelowanej próbce jest ona zwykle sztucznie zwiększona
w odniesieniu do rzeczywistości. Aby przy zadanej objętości materiału (przy luźnym
upakowaniu) uzyskiwać tą samą gęstość usypową konieczne jest skalowanie gęstości
właściwej elementów. Na potrzeby określenie wartości parametru skalującego przygotowana
została symulacja odpowiadająca badaniom laboratoryjnym. Nad cylindrem o określonych
gabarytach, generowano określoną objętość elementów a następnie umożliwiano im
swobodne opadanie i wypełnienie objętości naczynia (Rys. 4.5). Obliczana była całkowita
masa wszystkich elementów a następnie określano wynikającą z tego gęstość usypową.
28
Wynik porównywano z wartością zmierzoną doświadczalnie po czym skalowano gęstości
właściwe elementów w symulacji tak aby uzyskać rzeczywistą wartość gęstości usypowej.
Owa wartość gęstości właściwej powodowała zmianę w liczbie generowanych wstępnie
elementów. Procedura miała charakter iteracyjny, aż do uzyskania zbieżności z danymi
laboratoryjnymi.
Rys. 4.5 Wygenerowany materiał - stan początkowy i końcowy (wypełnione naczynie pomiarowe)
Dobór sztywności normalnej i poprzecznej elementów
W celu określenia mikroskopowych sztywności elementów, konieczna jest znajomość
właściwości sprężystych modelowanego materiału [15, 26]. Makroskopowa sztywność próbki
może zostać określona na podstawie modułu sprężystości wyznaczanego w oparciu o wyniki
z testu jednoosiowego ściskania z ograniczoną rozszerzalnością boczną lub testu trójosiowego
ściskania. W pierwszym przypadku zaletą jest znacznie prostsza implementacja badania w
modelu symulacyjnym. W badaniu tym, próbka materiału umieszczana jest w cylindrycznym
pojemniku, a następnie za pomocą przemieszczenia górnej pokrywy aplikowane jest
obciążenie na kierunku pionowym (Rys. 4.6). Układ testu powoduje, że odkształcenia
poprzeczne na kierunkach x i y równe są 0. Ruch pokrywy odbywa się do momentu
osiągnięcia określonej wartości siły normalnej po czym następuje odciążenie próbki.
29
Rys. 4.6 Krzywa Odkształcenie-Naprężenie osiowe oraz schematyczne przedstawienie testu
jednoosiowego ściskania.
Cykl ściskania powtarzany jest kilkukrotnie. Podczas testu mierzona jest siła normalna i
odpowiadające jej przemieszczenie pokrywy, co wraz ze znanymi wymiarami pojemnika
pozwala na obliczenie naprężenia i odkształcenia pionowego. Zwykle w przypadku
pierwszego cyklu odpowiedź materiału jest inna niż kolejnych, co związane jest ze wstępnym
upakowaniem i porowatością próbki i wynikającymi z tego względnymi przemieszczeniami
brył. W kolejnych cyklach struktura ciała rozdrobnionego ulega zagęszczeniu, następuje
stabilizacja początkowej wartości porowatości oraz porowatości odpowiadającej danemu
naprężeniu [31]. Próbka charakteryzuje się wtedy w dużej mierze liniową zależnością
pomiędzy naprężeniem i odkształceniem [26] co pozwala na wyznaczenie średniej wartości
moduł ściśliwości E' określonego zależnością:
z
zE
' (4.5)
Gdzie:
z - przyrost naprężenia na kierunku pionowym
z - przyrost odkształcenia na kierunku pionowym
Przy założeniu że materiał jest izotropowy, moduł ściśliwości związany jest z modułem
sprężystości Younga poprzez relację:
30
211
1' EE (4.6)
Gdzie:
E - moduł Younga (w warunkach jednoosiowego ściskania i swobodnej
bocznej rozszerzalności
- liczba Poissona
W wielu przypadkach rzeczywiste wartości sztywności (otrzymane w wyniku
modelowania bezpośredniego lub odwrotnego) należy poddać redukcji, ponieważ ich wartość
ma znaczący wpływ na czas obliczeń. Zwykle w przypadku symulacji złożonych procesów
wykonywanych na komputerach PC, które dysponują bardzo dużą mocą obliczeniową
wymagane jest zmniejszenie sztywności minimum stukrotnie [27, 28]. Należy zaznaczyć, że
poprawne skalibrowanie sztywności dla większości złożonych symulacji dotyczących
transportu materiałów sypkich jest z tego powodu wciąż niemożliwe. Wobec tego zaleca się
wybór sztywności możliwie jak najwyższej przy jednoczesnym zachowaniu zadowalającego
czasu obliczeń. W wielu przypadkach stosowania modelu liniowego, przy badaniu przepływu
strugi materiału, wartości sztywności normalnej i poprzecznej nie mają większego wpływu na
odpowiedź układu. Należy jednak tak dobrać wartości aby zachować racjonalny poziom
odkształceń elementów (do 5%) [27, 28]
W rozpatrywanym przypadku kalibrację sztywności przeprowadzono bez wykonywania
badań laboratoryjnych, a jedynie na podstawie doświadczeń z wcześniej wykonywanych
przez autorów symulacji [10, 11], biorąc również pod uwagę wpływ dobranych wartości na
oczekiwaną odpowiedź układu w innych testach podczas procedury kalibracji.
Współczynnik tarcia wewnętrznego
Współczynnik tarcia wewnętrznego zdeterminowany jest poprzez blokowanie się
elementów, wynikające z ich kształtu i rozmiarów, oraz i ich wzajemny poślizg . W celu
określenia wartości współczynnika tarcia wewnętrznego wykonano badanie kąta usypu
naturalnego. Kąt ten można określić na kilka sposobów, przedstawionych schematycznie na
Rys. 4.7
31
Rys. 4.7 Badania kąta usypu naturalnego (Schulze D., 2008)
Jest to kąt między tworzącą a podstawą stożka utworzonego przy swobodnym
usypywaniu materiału sypkiego z pewnej wysokości na powierzchnię poziomą. Badanie to
jest miarodajne dla materiałów nie-kohezyjnych, w przypadku których w momencie utraty
stateczności przez złoże, formowana jest płaszczyzna poślizgu nachylona pod określonym
kątem do powierzchni. Badanie przeprowadzono wysypując próbkę węgla na płaską
powierzchnię. Następnie za pomocą kątomierza dokonano pomiaru kąta zawartego pomiędzy
tworzącą stożka usypanego materiału, a poziomem. Próbę przeprowadzono trzykrotnie dla tej
samej próbki materiału a za wynik końcowy przyjęto wartość średnią z pomiarów.
Badanie laboratoryjne zostało odzwierciedlone numerycznie. Do utworzenia symulacji
wykorzystano stan końcowy modelu przy kalibracji gęstości właściwej. Naczynie
cylindryczne było przesuwane w kierunku pionowym ze stałą prędkością równą v = 0.2 m/s.
Materiał wysypywany był na płaską powierzchnię o dużej sztywności i współczynniku tarcia
równym 0.32. Przeprowadzony został szereg testów z wartościami współczynników tarcia
pomiędzy elementami w zakresie 0.1-0.8 (Rys. 4.9)
Rys. 4.8 Numeryczne odzwierciedlenie badania kąta usypu naturalnego
32
33
Rys. 4.9 Ułożenie materiału - = 0.1÷0.8
Wartości współczynnika tarcia wewnętrznego można także wyznaczyć wykonując próbę
bezpośredniego ścinania materiału co jest wskazane dla materiałów kohezyjnych [26]
Współczynnik tarcia zewnętrznego
Oprócz płaszczyzny poślizgu tworzącej się wewnątrz materiału w momencie utraty
stateczności, płaszczyzna poślizgu może powstać również na granicy styku materiału z
powierzchnią graniczną - elementami konstrukcyjnymi maszyn. Parametrem determinującym
to zjawisko jest współczynnik tarcia zewnętrznego, czyli współczynnik tarcia brył/ziaren
materiału o elementy konstrukcyjne. Wartość współczynnika tarcia zewnętrznego można
określić bazując na zmodyfikowanym teście bezpośredniego ścinania, zastępując dolną celkę
płaską próbką z materiału konstrukcyjnego, dla którego chcemy określić wartość
współczynnika tarcia. Opierając się na tej metodzie, współczynnik tarcia w modelu
numerycznym próbki materiału musiałby być poddany procesowi kalibracji z odpowiedzią
makroskopową uzyskaną w laboratorium.
W przypadku dużych brył, oraz przy założeniu, że w symulacji zostaną wykorzystane
elementy złożone, alternatywnym podejściem jest bezpośredni pomiar współczynnika tarcia
dla pojedynczych brył materiału poprzez pomiar kąta zsuwania się materiału. Pomiar został
przeprowadzony na metalowej zsuwni o wymiarach 470x150x20 mm. Kąt początkowy
pochylenia zsuwni wynosił 19°. Materiał w postaci kilku brył węgla umieszczono w jej górnej
części a następnie za pomocą mechanizmu śrubowego zwiększano kąt pochylenia
powierzchni, na której znajdował się węgiel, aż do momentu, w którym zaczął się on zsuwać.
Po wykonaniu trzech prób wyniki uśredniono uzyskując wartość kąta zsuwania równą 24.33
stopnie.
34
Znajomość kąta zsuwania się materiału pozwoliła na obliczenie współczynnika tarcia
węgla po stali. Na podstawie wzoru (2.43), uzyskano wartość współczynnika równą μ = 0.45
)( tg (4.7)
Gdzie:
- współczynnik tarcia
- kąt nachylenia zsuwni
Próba laboratoryjna została odzwierciedlona numerycznie [37]. W programie PFC3D
został przygotowany uproszczony model geometryczny zsuwni przedstawiony na Rys. 4.10.
Wymiary zsuwni były zgodna z jej wymiarami rzeczywistymi. Na powierzchni zsuwni zostały
umieszczone bryły materiału o zdefiniowanych wcześniej kształtach i dobranej gęstości
właściwej. Po osiągnięciu stanu wstępnej równowagi uruchamiana była zdefiniowana w języku
FISH funkcja, która realizowała obrót zsuwni wokół jednej z krawędzi, zwiększają w ten sposób
kąt nachylenia zsuwni. Obrót był realizowany z prędkością 0.1 rad/s, aż do momentu, w którym
zamodelowane bryłki materiału przekroczyły arbitralnie dobraną prędkość graniczną, która
wynosiła 0.09 m/s. Kąt nachylenia zsuwni był odczytywany w momencie przekroczenia założonej
prędkości. Przeprowadzono szereg symulacji zmieniając wartości współczynnika tarcia
elementów, tak aby uzyskać kąt zsuwania materiału wynoszący ok. 24°, czyli taki, jaki uzyskano
podczas badań w laboratorium.
Rys. 4.10 Numeryczne odzwierciedlenie badania kąta zsuwania się brył
Ostatecznie, po przeprowadzeniu szeregu symulacji, przyjęto wartość współczynnika
tarcia zewnętrznego µz = 0.32
35
Zestawienie wyników badań i dobranych wartości
Zestawienie wyników badań laboratoryjnych oraz ostatecznie dobranych wartości mikro
parametrów po wykonaniu kalibracji prezentują kolejno Tabela 4.2 i Tabela 4.3
Gęstość właściwa [kg/m3] 1412
Gęstość nasypowa [kg/m3] 837
Kąt usypu naturalnego [°] 36
Kąt zsuwania się materiału z zsuwni[°] 24.3
Wsp. tarcia po stali – zsuwnia [-] 0.45
Współczynik tarcia po stali - test bezp. ścinania [-] 0.55
Wsp. tarcia wewnętrznego [-] 1.12
Kąt tarcia wewnętrznego [°] 47.84
Tabela 4.2 Zestawienie wyników badań laboratoryjnych
Model kontaktowy Liniowo-sprężysty
z uwzględnieniem tłumienia
Gęstość właściwa [kg/m3] 1564.5
Wspł. tarcia wewnętrznego 0.75
Wspł. tarcia po stali 0.32
Sztywność normalna kn [N/m2] 1.6e6
Sztywność poprzeczna ks [N/m2] 1.6e5
Wspł. tłumienia lepkościowego 0.9
Tabela 4.3 Dobrane wartości mikro-parametrów
4.4 Generowanie upakowania elementów
Bardzo istotnym aspektem przygotowania modelu jest odpowiednie upakowanie
złożenia elementów dyskretnych. Rozróżnia się algorytmy dynamiczne i geometryczne.
Algorytmy dynamiczne są stosunkowo proste w implementacji i wykorzystują cykl
obliczeniowy programu do przygotowania upakowania. Najprostszym przykładem jest
upakowanie materiału poprzez swobodny spadek kolejnych warstw elementów. Inne metody
dynamiczne, polegają na generowaniu elementów o zadanej wielkości w pewnym obszarze
ograniczonym ścianami, a następnie zagęszczanie złożenia poprzez ich wymuszony, quasi-
statyczny ruch (trójosiowe ściskanie). Dużą zaletą algorytmów dynamicznych jest możliwość
uzyskania z góry określonego rozkładu wielkości elementów. Wadą natomiast jest długi czas
36
przygotowania, występowanie wstępnych sił kontaktowych w układzie, które odpowiadają
modelowi naprężeń wstępnych, które w rzeczywistości nie występują. Metody te sprawiają
trudności w uzyskaniu dostatecznie dużej wartości liczby koordynacyjnej, rozumianej jako
liczba kontaktów dla każdego z elementów. Ponadto nie jest możliwe uzyskania modelu
urobku o niskich wartościach współczynnika porowatości. Algorytmy geometryczne, zwane
również konstrukcyjnymi, nie wymagają przeprowadzania cyklu obliczeniowego DEM.
Elementy umieszczane są w oparciu o zależności geometryczne, często z wykorzystaniem
wstępnie przygotowanych siatek. Metody geometryczne są znacznie szybsze jednak
trudniejsze w implementacji, można jednak uzyskać bardzo niską porowatość upakowania i
wysokie wartości liczby koordynacyjnej oznaczającą liczbę kontaktów danego elementu.
Na potrzeby przeprowadzenia symulacji materiał w pożądanej konfiguracji i
upakowaniu został wygenerowany w oparciu o algorytm dynamiczny tzw. radius expansion
(Itasca Consulting Group Inc. 2008b). Następnie przygotowany został plik z informacjami o
położeniu i rozmiarze brył w celu wykorzystania w docelowej symulacji. Więcej informacji o
metodach upakowania materiału można znaleźć w literaturze [2, 30].
4.5 Modelowanie geometrii układu ładowania i odstawy
Proste elementy geometryczne takie jak płaskie ściany, cylindry czy prostopadłościany
mogą być z powodzeniem tworzone bezpośrednio w środowisku programu PFC3D.
Wykonanie bardziej złożonych geometrii jest czasochłonne i mało elastyczne z punktu
widzenia parametryzacji czy alternatywnych kombinacji ułożenia poszczególnych
komponentów. Program umożliwia importowanie modeli CAD utworzonych w zewnętrznych
programach, zapisanych w formacie STL. W sposób bezpośredni, w postaci płaskich ścian,
zamodelowane zostały granice modelu - strop i spąg.
Redukcja liczby ścian, z jakich składa się model geometryczny wykorzystywany
podczas symulacji w znaczący sposób zwiększa szybkość obliczeń dzięki mniejszej ilości
obiektów, które potencjalnie mogą wchodzić w interakcję z materiałem a co za tym idzie,
muszą być uwzględniane podczas procesu detekcji kontaktów. Konieczne jest zatem
racjonalne uproszczenie modelu geometrycznego z jednoczesnym zachowaniem poziomu
szczegółów mających bezpośredni wpływ na analizowane zjawisko. Jak już wcześniej
wspomniano, elementy ścianowe nie są brane pod uwagę podczas rozwiązywania równań
ruchu. Zmiana pozycji realizowana jest przez wymuszenie kinematyczne, które kontrolować
można poprzez zdefiniowane przez użytkownika wewnętrzne funkcje.
37
Obszar symulacji został ograniczony w taki sposób, aby wszystkie elementy, które
znajdują się poza nim były automatycznie usuwane (dotyczy to zarówno elementów
dyskretnych, jak też ścianowych). dlatego należało także zaplanować kiedy dana geometria
(np. zgrzebło) jest generowane i uczestniczy w symulacji, a w którym momencie jest
usuwane. Użytkownik ma do dyspozycji wbudowany język programowania FISH, dzięki
któremu możliwe są tego typu operacje. Na rysunku Rys. 4.11 przedstawiono schemat
kombajnu i przenośnika po wykonaniu uproszczeń.
Prędkość posuwu [m/min] 10
Obroty organu [obr/min] 59
Prędkość zgrzebeł [m/s] 1.5
Podziałka zgrzebeł [m] 0.75
Średnica organu [mm] 1300
Średnica z nożami [mm] 1400
Wysokość pokładu [m] 1.5
Zabiór [m] 0.7
Tabela 4.4 Parametry kinematyczne i geometryczne wykorzystane w symulacjach
Rys. 4.11 Schemat uproszczonego modelu kombajnu
4.6 Wyniki i dyskusja
Przeprowadzone zostały cztery symulacje przy czym wszystkie charakteryzowały się
pracą współbieżną kombajnu z przenośnikiem zgrzebłowym oraz położeniem ramienia w
38
pozycji przyspągowej. Nie przeprowadzono symulacji dotyczących pracy przeciwbieżnej.
Różnice dotyczyły wykorzystania dodatkowej ładowarki za organem urabiająco ładującym i
kierunku obrotów organu (WP - praca współbieżna urabianie podsiębierne i WN - praca
współbieżna urabianie nadsiębierne). W trakcie trwania symulacji, rejestrowane były pozycje
i prędkości poszczególnych brył. Informacje te pozwoliły na analizę ruchu urobku w trakcie
współpracy kombajnu z przenośnikiem zgrzebłowym ścianowym oraz obliczenie objętości
urobku znajdującego się na rynnie. Dogodną metodą jakościowej analizy wyników jest
wizualizacja i przedstawienie procesu w postaci filmów z jego przebiegu. Jest to powszechnie
stosowana metodyka w przypadku symulacji DEM. Możliwa jest obserwacja ruchu całej
strugi jak również analiza torów ruchu pojedynczych brył. Elementom przypisuję się kolor
w zależności od obliczonej prędkości, co pozwala na wygodną obserwację rozkładu prędkości
w strudze materiału.
Na Rys. 4.12 przedstawiono proces ładowania nadsiębiernego i podsiębiernego. Można
zauważyć, że w przypadku urabiania nadsiębiernego proces ładowania przebiega sprawniej.
Struga urobku podawanego na przenośnik jest bardziej jednorodna i w większym stopniu
wypełnia przestrzeń pomiędzy zgrzebłami. Świadczy też o tym powstająca od strony
zawałowej pryzma urobku za przenośnikiem. Wykorzystując wyniki, można określić jaką
wysokość powinna mieć zastawka aby nie było możliwe przesypywanie urobku na ścieżkę,
po której przemieszcza się obsługa ściany.
W przypadku urabiania podsiębiernego ilość materiału pozostającego od strony ociosu
ściany jest mniejsza niż podczas urabiania nadsiębiernego (Rys. 4.13Błąd! Nie można
odnaleźć źródła odwołania.). W praktyce urobek ten powinien zostać załadowany drugim
organem lub przez kliny ładujące przenośnika podczas tzw. przekładki, czyli dosuwania
rynny przenośnika do ściany.
39
Rys. 4.12 Jakościowe porównanie dwóch metod urabiania. Urabianie podsiębierne (po lewej)
i nadsiębierne (po prawej). Kolory oznaczają prędkości brył.
Negatywnym efektem urabiania nadsiębiernego jest pojawianie się znacznych ilości
urobku na ramieniu kombajnu. Pomimo większej efektywności ładowania urobku, sam ruch
strugi jest bardziej zaburzony co powoduje, że bryły urobku wyrzucane są nad organ, tworząc
warstwę materiału na ramieniu kombajnu. Strugę materiału można podzielić na 3 zasadnicze
strumienie (Rys. 4.14Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania.): główny - skierowany
na przenośnik (1), strumień materiału padający na ramię (2) oraz strumień materiału
skierowany za organ urabiający (3). W przypaku niskich pokładów, może to stanowić
40
potencjalne zagrożenie związane z powstawaniem naturalnego klina pomiędzy ramieniem a
stropem i w konsekwencji zwiększenie oporów ruchu kombajnu.
Rys. 4.13 Niezaładowany urobek pozostający za kombajnem. Urabianie podsiębierne (po lewej)
i nadsiębierne (po prawej)
Rys. 4.14 Wektory prędkości brył urobku w obrębie organu urabiająco-ładującego
przy urabianiu nadsiębiernym
Obszar ładowania w rozpatrywanym przypadku jest w znaczny sposób ograniczony, ze
względu na wysokość pokładu. Dodatkowo na ograniczenia furty eksploatacyjnej mogą
wpływać zagięcia przenośnika i geometria kombajnu. Uzyskane wyniki symulacji pozwoliły
na analizę pracy maszyny przy zadanych parametrach i oszacowanie czy nie dojdzie do
zadławienia głowicy urabiająco-ładującej. Rys. 4.15 przedstawia widok zza kombajnu,
obrazujący rozłożenie materiału w przestrzeni pomiędzy płatami organu ślimakowego (ściany
reprezentujące strop i spąg oraz ograniczenia boczne, nie są widoczne). Należy podkreślić, że
tego typu obserwacja podczas pracy rzeczywistego obiektu nie byłaby możliwa, dlatego
wyniki są cennym źródłem w fazie projektowania, podczas dokonywania oceny granicznych
wartości konkretnych parametów takich jak prędkość posuwu kombajnu czy obroty organu.
41
Rys. 4.15 Furta ładowania
W celu dodatkowego porównania poszczególnych wariantów pracy, w trakcie symulacji
rejestrowano wartości sił działających na organ na kierunku równoległym do osi obrotu (Rys.
4.16) oraz masy urobku znajdującego się na 5 metrowym odcinku rynny przenośnika po
upływie 10 sekund (Rys. 4.17). Uzyskane wartości, ze względu na uproszczenia związane z
wielkością ziaren, nie są miarodajne dla rzeczywistego obiektu. Możliwe jednak było
porównanie względne pracy kombajnu w symulacji dla różnych wariantów pracy i geometrii
kombajnu w symulacji. Wyniki ilościowe podkreślają większą efektywność pracy układu
podczas urabiania nadsiębiernego. Bazując na wynikach symulacji, wydajność ładowania
przy urabianiu nadsiębiernym wzrosła o 64% (wariant bez ładowarki) i 31% (wariant z
ładowarką) przy jednoczesnym spadku wartości średniej oporów ładowania o 62%.
Rys. 4.16 Siła działająca na organ - składowa równoległa od osi obrotu. Wariant bez ładowarki
42
Rys. 4.17 Masa urobku na rynnie przenośnika w zależności od sposobu urabiania
Pomimo braku weryfikacji na rzeczywistym obiekcie, doświadczenia eksploatacyjne
wynikające z obserwacji pracujących kombajnów, potwierdzają poprawność uzyskanych
wyników w aspekcie ruchu strugi. Obserwować można występowanie pewnych
niekorzystnych zjawisk jak np. przesypywanie urobku na ścieżkę, pozostawanie urobku od
strony ociosowej czy na ramieniu kombajnu. Można zatem określić przy jakich parametrach
ściany i parametrach geometrycznych układu kombajn – przenośnik, oraz parametrów
kinematycznych kombajnu, takie niekorzystne zjawiska mogą występować. Pomimo braku
weryfikacji na rzeczywistym obiekcie, doświadczenia eksploatacyjne wynikające z
obserwacji pracujących kombajnów, potwierdzają adekwatność uzyskanych wyników
wystarczającą dla praktycznych celów analizy i syntezy układów urabiania, ładowania i
odstawy urobku w kompleksach ścianowych. W oparciu o wyniki symulacji można
wnioskować, że w przypadku kombajnów ramionowych pracujących w ścianach niskich,
urabianie nadsiębierne jest znacznie korzystniejsze i jest preferowanym sposobem
eksploatacji. W przypadku urabiania podsiębiernego, wydajność ładowania jest znacznie
niższa. Może to być związane z trajektorią strugi, która przy takim ruchu organu oraz przy
ograniczonej furcie ładowania, sprawia, że znaczna ilość materiału trafia za kombajn od
strony ociosu. Stwierdzono również, że wykorzystanie dodatkowej ładowarki zwiększa ilość
ładowanego urobku w przypadku urabiania podsiębiernego, lecz co ciekawe, nie w przypadku
urabiania nadsiębiernego.
43
4.7 Podsumowanie
Przedstawiony model symulacyjny i uzyskane wyniki świadczą o tym, że
zaproponowana metoda badawcza może być skutecznym narzędziem weryfikacji i
optymalizacji rozwiązań konstrukcyjnych maszyn górniczych. Ma to znaczenie nie tylko w
aspekcie ekonomicznym lecz również ochrony środowiska pracy. Wyniki symulacji mogą być
przydatne do weryfikacji doboru parametrów geometrycznych i parametrów pracy kombajnu
ścianowego pracującego w określonych warunkach górniczo-geologicznych. Przeprowadzone
analizy obejmowały wąski zakres zmiennych, jednakże tak przygotowany model mógłby być
wykorzystany do analizy między innymi takich parametrów jak:
geometria organu (średnica, nachylenie płatów)
kierunek obrotów i prędkość obrotowa organu urabiającego
prędkość kombajnu
prędkość i kierunek ruchu zgrzebeł przenośnika (praca współbieżna i przeciwbieżna)
rozstaw zgrzebeł
nachylenie poprzeczne i podłużne ściany
W przedstawionych badaniach numerycznych zastosowano szereg uproszczeń
zwłaszcza w odniesieniu do kształtu i rozmiaru brył, założono również, że materiał jest
idealnie suchy oraz że indywidualne bryły nie ulegają kruszeniu. Otrzymane wyniki mogły
być zatem wykorzystane jedynie do względnego porównania wpływu wybranych parametrów
na odpowiedź modelu, bez odniesienia do rzeczywistego obiektu. Najistotniejszym
uproszczeniem był jednak sam sposób pośredniego uwzględnienia procesu urabiania calizny.
Tak przygotowany model, spełniający swą funkcję w zakresie procesów ładowania i odstawy,
nie uwzględniając procesu skrawania, narzuca odgórnie kształt brył i objętość odspojonego
urobku obliczaną w oparciu o istniejące modele analityczne. Nie jest zatem możliwa analiza
oporów urabiania w rozumieniu odspajania calizny przez narzędzia stożkowe znajdujące się
na organie.
Przygotowanie symulacji umożliwiającej badanie pełnego procesu urabiania, ładowania
i odstawy, wymagałoby wykorzystania modelu materiału związanego, ze znacznie mniejszą
dystrybucją wielkości elementów w celu zapewnienia racjonalnego charakteru pękania
calizny w wyniku oddziaływania noży. W takim przypadku bezpośrednio uwzględnione
byłoby również kruszenie pojedynczych brył tworzących odspojoną objętość. Wielkość i
kształt powstałych brył nie byłby odgórnie narzucony a wynikał z procesu skrawania. Tak
44
przygotowany model pozwalałby na analizę szeregu dodatkowych zjawisk, nie mogących być
przedmiotem badań w obecnie opracowanym modelu. Ograniczeniem do zastosowania
takiego modelu jest jednak znaczny wzrost czasu obliczeń związany z obecnością
dodatkowych wiązań pomiędzy elementami. Praktyczne zastosowanie takiego modelu jest
zatem ograniczone mocą jednostki obliczeniowej. Realizacja symulacji przedstawionej w tej
pracy, w oparciu o model materiału związanego, byłaby efektywna jedynie w momencie
wykorzystania obliczeń równoległych i wysokowydajnych komputerów dedykowanych do
obliczeń numerycznych. Biorąc jednak pod uwagę nieustający wzrost mocy typowych
komputerów wykorzystywanych w codziennych zadaniach inżynierskich, praca nad takim
modelem w najbliższej przyszłości jest wskazana.
Interesujące kierunki dalszych prac związanych z modelowaniem DEM w aspekcie
kombajnów ścianowych to m. in. symulacje zapylenia (w połączeniu z CFD) czy badania
zużycie części maszyn kompleksu bezpośrednio wynikające z ich interakcji z urobkiem.
45
Literatura
1. AI, Jun, CHEN, Jian-Fei, ROTTER, J. Michael & OOI, Jin Y. Assessment of rolling
resistance models in discrete element simulations. Powder Technology [online].
styczeń 2011, T. 206, nr 3, s. 269–282.
2. BAGI, Katalin. An algorithm to generate random dense arrangements for discrete
element simulations of granular assemblies. Granular Matter [online]. 28 styczeń
2005, T. 7, nr 1, s. 31–43.
3. BREZÁNI, I. & ZELENÁK, F. Rosin-rammler diagram plotting tool. 2010,
4. CHENG, Y. P., BOLTON, M. D. & NAKATA, Y. Discrete element simulation of
crushable soil. Géotechnique [online]. 9 styczeń 2003, T. 53, nr 7, s. 633–641.
5. CLEARY, PW. Predicting charge motion, power draw, segregation and wear in ball
mills using discrete element methods. Minerals Engineering [online]. 1998,
nr February, s. 1061–1080.
6. COETZEE, C. The Modelling of Bulk Materials Handling using the Discrete Element
Method. [online]. 2009, s. 1–38.
7. COETZEE, C & ELS, D. Calibration of discrete element parameters and the modelling
of silo discharge and bucket filling. Computers and Electronics in Agriculture [online].
marzec 2009, T. 65, nr 2, s. 198–212.
8. COETZEE, C.J. & ELS, D.N.J. The numerical modelling of excavator bucket filling
using DEM. Journal of Terramechanics [online]. październik 2009, T. 46, nr 5, s. 217–
227.
9. COETZEE, C.J., ELS, D.N.J. & DYMOND, G.F. Discrete element parameter
calibration and the modelling of dragline bucket filling. Journal of Terramechanics
[online]. luty 2010, T. 47, nr 1, s. 33–44.
10. CZUBA, Wojciech, GOSPODARCZYK, Piotr & KULINOWSKI, Piotr. Zastosowanie
Metody Elementów Dyskretnych (DEM) do symulacji odstawy urobku przez ścianowy
przenośni zgrzebłowy. Symulacja w Badaniach i Rozwoju. 2010, T. 1, nr 3, s. 213–221.
11. CZUBA, Wojciech, GOSPODARCZYK, Piotr & KULINOWSKI, Piotr.
Wykorzystanie symulacyjnych metod obliczeniowych w analizie rozkładu prędkości
strugi urobku na rynnie przenośnika zgrzebłowego. Transport Przemysłowy i Maszyny
Robocze. 2010, nr 3, s. 66–70.
12. DJORDJEVIC, N., SHI, F.N. & MORRISON, R.D. Applying discrete element
modelling to vertical and horizontal shaft impact crushers. Minerals Engineering
[online]. październik 2003, T. 16, nr 10, s. 983–991.
46
13. DONOHUE, T J, ILIC, D, BELL, R, NEWMAN, L & APPLICATIONS, Wear. The
use of DEM in the design and analysis of WEARBACK transfer chutes. 2010,
nr December.
14. DONOHUE, TJ & ROBERTS, AW. Effective Transfer Chute Design including Dust
Control for Handling Grains and other Products. SPC-07: SILOS … [online]. 2012,
s. 2–7.
15. DYMOND, Graeme Francois Dryden. Creation , optimization and verification of a
three dimensional numerical model to simulate a dragline bucket during the digging
cycle using modern DEM software by. S.l.: University of Stellenbosch, 2007.
16. ERGENZINGER, Christian, SEIFRIED, Robert & EBERHARD, Peter. A discrete
element model predicting the strength of ballast stones. Computers & Structures
[online]. październik 2012, T. 108-109, s. 3–13.
17. ERGENZINGER, Christian, SEIFRIED, Robert & EBERHARD, Peter. A discrete
element model to describe failure of strong rock in uniaxial compression. Granular
Matter [online]. 13 listopad 2010, T. 13, nr 4, s. 341–364.
18. GRIMA, A & WYPYCH, PW. Discrete Element Simulation Validation: Impact Plate
Transfer Station. W: Bulk Europe [online]. S.l.: s.n., 2010.
19. GRIMA, Andrew & WYPYCH, Peter. Discrete element simulation of a conveyor
impact-plate transfer : calibration , validation and scale-up. 2010, nr June.
20. GRÖGER, T & KATTERFELD, A. Application of the Discrete Element Method in
Materials Handling - Part 3: Transfer Stations. Bulk Solids Handling. 2007, T. 27, nr 3,
s. 158–166.
21. GRÖGER, T & KATTERFELD, A. Application of the Discrete Element Method in
Materials Handling - Part 1: Basics and Calibration. Bulk Solids Handling. 2007, T. 27,
nr 1, s. 17–23.
22. GRÖGER, T & KATTERFELD, A. Application of the Discrete Element Method in
Materials Handling - Part 4: Bucket Elevators and Scraper Conveyors. Bulk Solids
Handling. 2007, T. 27, nr 4, s. 228–234.
23. GRÖGER, T, KATTERFELD, A & MINKIN, A. Application of the Discrete Element
Method in Materials Handling – Part 2: Screw and Shaftless Screw Conveyors. Bulk
Solids Handling. 2007, T. 27, nr 2, s. 84–93.
24. HARIRECHE, O & MCDOWELL, G. R. Discrete element modelling of soil particle
fracture. Géotechnique [online]. 2002, T. 52, nr Volume 52, Issue 2, s. 131–135(4).
25. HASTIE, D.B. & WYPYCH, P.W. Experimental validation of particle flow through
conveyor transfer hoods via continuum and discrete element methods. Mechanics of
Materials [online]. kwiecień 2010, T. 42, nr 4, s. 383–394.
47
26. HORN, Etienne. The Calibration of Material Properties for Use in Discrete Element
Models by. 2012, nr March.
27. ITASCA CONSULTING GROUP INC. User’s Guide MANUAL PFC3D. 2008.
Minneapolis, USA: s.n.
28. ITASCA CONSULTING GROUP INC. Theory and Background MANUAL PFC3D.
2008. Minneapolis, USA: s.n.
29. KRUSE, D & LEMMON, R. Using the discrete element method as an everyday design
tool. Bulk Solids Handling [online]. 2005, T. 25, nr 6, s. 358–367.
30. LABRA, Carlos & ONATE, E. High density sphere packing for discrete element
method simulations. Communications in Numerical Methods in … [online]. 2009,
31. MALCZEWSKI, J. Mechanika materiałów sypkich: operacje jednostkowe [online].
S.l.: Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, 1990.
32. MCDOWELL, G ., LOWNDES, I. & LI, H. The importance of particle shape in
discrete-element modelling of particle flow in a chute. Géotechnique Letters [online].
18 lipiec 2011, T. 1, nr July-September, s. 59–64.
33. O’SULLIVAN, C. Particulate Discrete Element Modelling: A Geomechanics
Perspective [online]. S.l.: Spon Press/Taylor & Francis, 2011.
34. POTYONDY, D.O. & CUNDALL, P.a. A bonded-particle model for rock.
International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences [online]. grudzień 2004,
T. 41, nr 8, s. 1329–1364.
35. QUIST, Johannes. Cone Crusher Modelling and Simulation. Chalmers University of
Technology, Göteborg, … [online]. 2012, nr 1652.
36. ROJEK, Jerzy. Modelowanie i symulacja komputerowa złożonych zagadnień
mechaniki nieliniowej metodami elementów skończonych i dyskretnych. Prace
Instytutu Podstawowych Problemów Techniki … [online]. 2007, T. 4, s. 1–331.
37. SZELĄG, Krzysztof. Badania symulacyjne przepływu strugi urobku w stacjach
przesypowych górniczych przenośników zgrzebłowych. S.l.: AGH University of
Science and Technology, 2011.
38. WANG, J.F. & YAN, H.B. 3D DEM Simulation of Crushable Granular Soils under
Plane Strain Compression Condition. Procedia Engineering [online]. styczeń 2011,
T. 14, s. 1713–1720.
39. WANG, Jianfeng & YAN, Haibin. On the role of particle breakage in the shear failure
behavior of granular soils by DEM. … Journal for Numerical and Analytical Methods
… [online]. 2011,
48
40. WANG, Yuannian & TONON, Fulvio. Calibration of a discrete element model for
intact rock up to its peak strength. … for numerical and analytical methods in …
[online]. 2010,
41. WEERASEKARA, N.S., POWELL, M.S., CLEARY, P.W., TAVARES, L.M.,
EVERTSSON, M., MORRISON, R.D., QUIST, J. & CARVALHO, R.M. The
contribution of DEM to the science of comminution. Powder Technology [online].
listopad 2013, T. 248, s. 3–24.
42. WENSRICH, C.M. & KATTERFELD, A. Rolling friction as a technique for modelling
particle shape in DEM. Powder Technology [online]. luty 2012, T. 217, s. 409–417.
top related