MECHANICS OF MATERIALSeng.sut.ac.th/ce/oldce/mechmat50/mech4.pdf · MECHANICS OF MATERIALS By Assoc. Prof. Dr. Sittichai Seangatith SCHOOL OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF ENGINEERING

MECHANICS OF MATERIALSBy

Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

บทท 4Axial Load

วตถประสงค1. เพอใหทราบและเขาใจถงการเปลยนแปลงรปรางแบบยดหยนของชนสวนของโครงสรางทรบแรงในแนวแกน (axial load)

4. เพอใหสามารถวเคราะหชนสวนของโครงสรางทรบแรงในแนวแกนเนองจากการเปลยนแปลงอณหภมได

3. เพอใหสามารถวเคราะหชนสวนของโครงสรางทรบแรงในแนวแกนแบบ statically indeterminate โดยวธ displacement method และ force method ได

2. เพอใหทราบและเขาใจถง Principle of Superposition

4.1 Saint-Venant’s Principleชวยใหการหาคาหนวยแรงและความเครยดทเกดขนทหนาตดของชนสวนโครงสรางทหางจากจดทม localized stress และ localized deformation มความงายขน

4.2 Elastic Deformation of an Axially Loaded Member ใหแรงกระทาผานจด centroid ของหนาตดของแทงวตถ ไมพจารณา localized deformation เกดขนทจดทแรงกระทา วสดมพฤตกรรมอยในชวง linear elastic

( )( )P xA x

σ = ddxδε =

Eσ ε=

( )( )P x dEA x dx

δ=

( ) ( )

P x dxdA x E

δ =

คาการเปลยนตาแหนง (displacement) ทเกดขนตลอดความยาว L

0

( )( )

L P x dxA x E

δ = ∫

ในกรณทพนทหนาตด A(x) = A และแรงกระทา P(x) = P และวสดเปนวสดเนอเดยว (homogeneous material) หรอ E(x) = E แลว

0

LP PLdxAE AE

δ = =∫

PLAE

δ =∑

ถาโครงสรางมชนสวนทแบงออกเปนชวงๆ ดงแสดงแลว

หรอในรปทวไป

1 2/

1 1 2 2

( )A A BA C

P L P P LAE A E

δ += +

Sign Convention ตวอยางท 4-12 2

1 2200 kN, 250 kN, 9218 mm , 13480 mm , 200 GPa, 250 MPa

AB BC

st y

P P A AE σ= = = =

= =

จงหา1. คาหนวยแรงกดอดในแนวแกนสงสด2. คาการเปลยนตาแหนงสมพทธของจด

A เทยบกบจด Cจาก FBD ของสวนทงสองของเสา

12 400 kNABP P= =

1 22 2 400 500 900 kNBCP P P= + = + =

คาหนวยแรงกดอดในแนวแกนสงสด3

6400(10 ) 43.4 MPa < O.K.

9218(10 )AB yσ σ−= =

3

6900(10 ) 66.8 MPa < O.K.

13480(10 )BC yσ σ−= =

คาการเปลยนตาแหนงสมพทธของจด A เทยบกบจด C

/BC BCAB AB

A CAB st BC st

P LP LA E A E

δ = +

แสดงวาจด A เคลอนทเขาหาจด C = 2.2 mm

3

6 9400(10 )4

9218(10 )200(10 )−

−=

3

6 9900(10 )4

13480(10 )200(10 )−

−+

= 0.0022 m 2.2 mm− = −

ตวอยางท 4-2ทอกลวง AB ทาดวย aluminum 2014-T6 มหนาตด 400 mm2

ลวด BC ทาดวยเหลก A36 ขนาดเสนผานศนยกลาง 25 mmจงหาคาการเปลยนตาแหนงทปลาย C เทยบกบจด A

70 GPaalE =

200 GPastE =

จาก FBD ของสวนของโครงสราง80 kNABP = −

80 kNBCP = +

(หด)

(ยด)เมอไดแรง PAB และ PBC แลว เราจะตองตรวจสอบอะไร?

เนองจากจด A ถกยดแนนเขากบผนง เราจะใชจด A เปนจดอางอง ดงนน

/ / /C C A B A C Bδ δ δ δ= = +

/AB AB

B AAB al

P LA E

δ =

/BC BC

C BBC st

P LA E

δ =

0.001143 0.000489 0.00163 m = 1.63 mmCδ = + = →

ดงนน คาการเปลยนตาแหนงทปลาย C เทยบกบจด A

3

6 980(10 )(0.4)

400(10 )70(10 )−

−= 0.001143 m= −

3

2 980(10 )(0.6)

(0.0125) 200(10 )π= 0.000489 m= +

Example

จาก FBD ของคานและจากสมการความสมดล

คานแกรง AB วางอยบนเสาเหลก AC เสนผานศนยกลาง 20 mm และเสา aluminum BD เสนผานศนยกลาง 40 mm จงหาคาการเปลยนตาแหนงทจด F ของคาน เมอ Est = 200 GPa และ Eal = 70 GPa

เสาเหลกเสา aluminum

คาการเปลยนตาแหนงของเสาเหลก AC

คาการเปลยนตาแหนงของเสา aluminum BD

เสาเหลกเสา aluminum

จากแผนภาพของการเปลยนตาแหนงของคาน AFB

Exampleแทงเหลกมพนทหนาตด AAB = 600 mm2 และ ABD = 1,200 mm2 จงหาคาการเปลยนตาแหนงทจด A และคาการเปลยนตาแหนงทจด B เทยบกบจด C เมอ Est = 200 GPaหาแรงภายในของสวนของโครงสรางจาก FBD และสมการความสมดล

คาการเปลยนตาแหนงทจด A เทยบกบ D

คาการเปลยนตาแหนงทจด B เทยบกบจด C+ แสดงวา δA มทศพงขน

+ แสดงวา ชวง BC เกดการยดตว

Example 4.3 Principle of Superposition

"คาการเปลยนตาแหนง/คาแรงลพธทจดใดจดหนงบนโครงสรางซงเกดจากแรงตางๆ จะหามาไดโดยการรวมทางพชคณตของคาการเปลยนตาแหนงหรอคาแรงทเกดขนจากแรงแตละแรงทกระทาอยบนโครงสรางนน"

เมอโครงสรางมพฤตกรรมอยในชวง linear elastic และการเปลยนแปลงรปรางของโครงสรางมคานอยมากแลว

1 1 2 2Pd Pd P d≠ +

กรณทไมสามารถใช princ. of superposition ได

4.4 The Displacement Method of Analysis for Statically Indeterminate Axially Loaded Member

โครงสรางแบบ statically determinate ถกวเคราะหไดโดยใชสมการความสมดลเพยงอยางเดยวโครงสรางแบบ statically indeterminate ไมไมสามารถถกวเคราะหโดยใชสมการความสมดลเพยงอยางเดยวได

ซงตองใชเงอนไขความสอดคลอง (compatibility conditions) และความสมพนธระหวางแรงและการเปลยนตาแหนง (force-displacement relationship) ชวยในการวเคราะห

0;yF+ ↑ =∑Equilibrium Equation;

0B AF F P+ − =

Compatibility Condition;/ 0A Bδ =

Force-Displacement Relationship;FLAE

δ =

0A AC B CBF L F LAE AE

+ − =

CBA

LF PL

= ACB

LF PL

=

เนองจากแรงทไดมคาเปนบวก ดงนน ทศทางของแรงทสมมตขนเปนทศทางทเกดขนจรง

จาก FBD

ตวอยางท 4-3แทง aluminum ในชวง AC มเสนผานศนยกลาง 10 mm

414 MPa, 70 GPaalY alEσ = =

แทงเหลก A36 ในชวง BC มเสนผานศนยกลาง 8 mm250 MPa, 200 GPast

Y stEσ = =

จงหาแรงปฏกรยาทจด A และจด B เมอ

จาก FBD และสมการความสมดล320(10 ) 0A BF F− − + =

สมการความสอดคลอง/ 0.001 mB Aδ =

278.540 mmACA =250.256 mmBCA =

alu. steel

A AC

AC al

F LA E

+

6 9(0.4)

78.540(10 )70(10 )AF

−+

7.276 7.959 100000 NA BF F− =

ทาการแกสมการ เราจะได 17.01 kNAF =

3

617.01(10 ) 216.6 MPa

78.540(10 )Aσ −= =

2.99 kNBF =3

62.99(10 ) 59.5 MPa

50.256(10 )Bσ −= =

จากความสมพนธของ load-displacement

6 9(0.8) 0.001

50.256(10 )200(10 )BF−− =

B BC

BC st

F LA E

− 0.001=

250 MPaYσ< =

414 MPaYσ< =

ยดหด

320(10 ) 0A BF F− − + =

δAC และ δBC เทากบ?

Example

จากFBD และสมการสมดลของแรง

สมการความสอดคลอง

เสา aluminum ถกเสรมดวยแกนทองเหลอง ถาแรง P กระทาตอเสาผานแผนรองหวเสาทแกรงมาก จงหาหนวยแรงตงฉากทเกดขนใน aluminum และทองเหลอง เมอ Eal = 70 GPa และ Ebr = 105 GPa

จากความสมพนธของ load-displacement

ทาการแกสมการ

ตรวจสอบ stress!

Example

จากFBD และสมการสมดลของแรง

แทงเหลก A36 3 แทงเชอมตอโดยหมดเขากบคานทแกรงมาก จงหาแรงทเกดขนในแทงเหลก เมอ AB และ EF ม พ.ท. 25 mm2 และ CD ม พ.ท. 15 mm2

สมการความสอดคลอง

จากความสมพนธของ load-displacement

ทาการแกสมการ ตรวจสอบ stress ทเกดขน!

δA δC และ δE เทากบ?

ตวอยางท 4-4

P

L

Concrete core

Steel pipe

Base plate

P

FC

FS

ทอเหลกกลวงมพนทหนาตด AS ถกเสรมดวย concrete ซงมพนทหนาตด ACmodulus of elasticity ของเหลกและ concrete คอ ES และ EC จงหา 1. หนวยแรงในทอเหลกและใน concrete2. คาการหดตวของทอจากFBD และสมการสมดลของแรง

0S CF F P+ − =

สมการความสอดคลองS Cδ δ=

จากความสมพนธของ load-displacementS C

S S C C

F L F LE A E A

=

S SS C

C C

E AF FE A

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ทาการแกสมการ

C CC

S S C C

E AF PE A E A

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

S SS

S S C C

E AF PE A E A

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

S Cδ δ=

0S CF F P+ − =

เมอไดแรง FC และ FS แลว เราจะตองตรวจสอบอะไร? และ δS และ δC เทากบ?

0S CF F P+ − =

หนวยแรงทเกดขนในทอเหลกกลวงและใน concreteS S

SS S S C C

F EPA E A E A

σ⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟+⎝ ⎠

C CC

C S S C C

F EPA E A E A

σ⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟+⎝ ⎠Note:1. หนวยแรง σS ≤ σY ของเหลกและ σC ≤ σpl ของคอนกรต2. หนวยแรงทงสองแปรผนโดยตรงกบ modulus of elasticity ของเหลกและ

concreteคาการหดตวของทอเหลกกลวงเสรม concrete

S C

S S C C S S C C

F L F L PLE A E A E A E A

δ = = =+

ตวอยางท 4-5จงหาสมการของแรงทเกดขนในเสนลวด CD และเสนลวด EF

1E1d

2E

2d

จากFBD และสมการสมดลของแรง

1 2 (2 ) (3 ) 0Tb T b P b+ − =

2 12δ δ=

สมการความสอดคลอง

จากความสมพนธของ load-displacement1 1

11 1

T LAE

δ = 2 22

2 2

T LA E

δ =

กาหนดให 1

11 1

LfA E

= 22

2 2

LfA E

=

P

T2T1Ax

Ay

ดงนน1 1 1f Tδ = 2 2 2f Tδ =

และจาก

2 2 1 12f T f T=

ทาการแกสมการ

21

1 2

34f PTf f

=+

12

1 2

64f PTf f

=+

เนองจากแรงปฏกรยามคาเปนบวก ดงนน จงมทศทางตามทไดสมมตไว

2 12δ δ=

1 2 (2 ) (3 ) 0Tb T b P b+ − =

เมอไดแรง T1 และ T2 แลว เราจะตองตรวจสอบอะไร? และ δ1 และ δ2 เทากบ?

4.5 The Force Method of Analysis for Statically Indeterminate Axially Loaded Member จาก principle of superposition

Compatibility Condition;0 P Bδ δ= −

Force-Displacement Relationship;

ACPPLAE

δ = BBF LAE

δ =

0 AC BPL F LAE AE

= −

ACB

LF PL

=

Equilibrium Equation;

0;yF+ ↑ =∑0AC

ALP F PL

+ − =

CBA

LF PL

=

ACB

LF PL

=

equilibrium equations และ force-displacement relationships

displacementsDisplacement method

compatibility equations และ force-displacement relationships

forcesForce method

สมการทใชในการหาคาตอบตวแปรทไมทราบคา

วธการ

ตวอยางท 4-6 แทง aluminum AC ม dia. 10 mm

414 MPa, 70 GPaaly alEσ = =

แทงเหลก BC ม dia. 8 mm250 MPa, 200 GPast

y stEσ = =

สมการความสอดคลอง0.001 mP Bδ δ− =

จากความสมพนธของ load-displacement3

6 920(10 )0.4

78.540(10 )70(10 ) 0.0014551 m

ACP

AC al

PLA E

δ −= =

=

B BC B ACB

BC st AC al

F L F LA E A E

δ = +

ดงนน 60.001455 0.15235(10 ) 0.001 mBF−− =

2.99 kNBF =

จากFBD และสมการสมดลของแรง20 2.99 17.01 kNAF = − =

60.15235(10 )B BFδ −=

6 9(0.4)

78.540(10 )70(10 )BF

−+6 9(0.8)

50.256(10 )200(10 )BF−=

m 001455.0=Pδ

0.001 mP Bδ δ− =

ตรวจสอบ stress!δAC และ δBC เทากบ?

4.6 Thermal Stressการเปลยนแปลงอณหภมทาใหชนสวนของโครงสรางเกดการเปลยนแปลงขนาดและรปราง

T T Lδ α= ∆

เมอ α = linear coefficient of thermal expansion

คณสมบตทางกลของวสด

ถาชนสวนของโครงสรางเปนแบบ statically indeterminate แลว การยดหรอการหดตวของชนสวนของโครงสรางจะเกดขนไมได ซงจะกอใหเกด thermal stress ขนในชนสวนของโครงสราง

Example

จากFBD และสมการสมดลของแรงA BF F F= =

สมการความสอดคลอง

เมออณหภม T1 = 30oC แทงเหลกถกยดเขากบจดรองรบพอด เมออณหภมเพมขนเปน T2 = 60oC จงหาหนวยแรงตงฉากทเกดขนในแทงเหลก

อณหภมสง → ทาใหขยายแตแรง → ทาใหหด

จากความสมพนธของ load-displacement และ displacement-temperature

ขยาย หด

ตวอยางท 4-76

2

Steel : 17(10 ) / , 200 GPa, 250 MPa,

600 mm

ost st y

AB

AB C E

A

α σ−= = =

=6

2

Aluminum : 24(10 ) / , 70 GPa, 414 MPa,

1200 mm

oal al y

CD

CD C E

A

α σ−= = =

=

เมออณหภมของโครงสรางเพมขนจาก 25oC เปน 125oC จงหาคาเฉลยของหนวยแรงในชนสวน AB และ CD

จากFBD และสมการสมดลของแรงst alF F F= =

/ 0.001 mA Dδ =

สมการความสอดคลอง

จากความสมพนธของ load-displacement และ displacement-temperaturest AB

st ABAB st

F L TLA E

α− + ∆

Fst Fal

0.001=al CDal CD

CD al

F L TLA E

α− + ∆

แรง → ทาใหหด แตอณหภมสง → ทาใหขยาย

6 9(0.6)

600(10 )200(10 )F−−

99.762(10 ) 0.0011F− =

112.68 kNF =

st ABst AB

AB st

F L TLA E

α− + ∆ 0.001=al CDal CD

CD al

F L TLA E

α− + ∆

6

2

Steel : 17(10 ) / , 200 GPa, 250 MPa,

600 mm

ost st y

AB

AB C E

A

α σ−= = =

=6

2

Aluminum : 24(10 ) / , 70 GPa, 414 MPa,

1200 mm

oal al y

CD

CD C E

A

α σ−= = =

=

6 9(0.4)

1200(10 )70(10 )F

−−

617(10 )100(0.6)−+

627(10 )100(0.4) 0.001−+ =

หนวยแรงในชนสวน AB และ CD

6112.68 187.8 MPa

600(10 )ABσ −= =

6112.68 93.9 MPa

1200(10 )CDσ −= =

250 MPaYσ< =

414 MPaYσ< =

Example

จากFBD และสมการสมดลของแรง

สมการความสอดคลอง

คานแกรงถกยดเขากบเสาเหลก A36 และ aluminum 2014-T6 เมอไมมแรงกระทาและอณหภม T1 = 20oC เสามความยาว 250 mm จงหาแรงทเกดขนในเสาเมอแรงกระทามคา 150 kN/m และอณหภมเพมขนเปน T2 = 80oC

โครงสรางมความสมมาตร

จากความสมพนธของ load-displacement และ displacement-temperature

ดงนน

ทาการแกสมการ

เมอกาหนดให δ พงลงเปนบวก

End of Chapter 4