Mecânica dos Sólidos I - Prof. Arthur Bragaabraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol1/parte4-deformacoes.pdf · Departamento de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos I Parte 4
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Departamento de Engenharia Mecânica
Mecânica dos Sólidos IParte 4 – Análise de Deformações
Prof. Arthur M. B. Braga
2009.1
D l tDeslocamento
y
Q
P
xz
Mecânica dos Sólidos I
x
D l tDeslocamento
yQQ
Qu
Pu
Q
PPu
Translação
xz
Mecânica dos Sólidos I
x
D l tDeslocamento
y
PQ
Qu
PuQ
PMovimento de Corpo Rígido
Translação + Rotação
Movimento de Corpo Rígido
xz
Mecânica dos Sólidos I
x
D l tDeslocamento
yPP
PuQ
QQu
P
Translação + Rotação + Deformação
xz
Mecânica dos Sólidos I
x
D l tDeslocamento
y
PP
),,( zyxu
),,( zyxP
),,( y
kjiu ),,(),,(),,(),,( zyxuzyxuzyxuzyx zyx
xz
Mecânica dos Sólidos I
x
D l tDeslocamento
Deslocamento é uma grandeza vetorial (o campo de deslocamentos):
kjiu ),,(),,(),,(),,( zyxuzyxuzyxuzyx zyx
ux, uy, e uz são as componentes do vetor deslocamento nas direções x, y e z.
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 1DDeformação – 1DMedidas de Deformaçãoç
1) Lagrangeana1) Lagrangeana
iL L iif
L LLLL
2) Euleriana
iL L
L
ii
L LLL
)fL
fif
E LLL
LL
3) LogaritimicafL
i
f
LL
lnlog
Mecânica dos Sólidos I
iL
D f ã 1DDeformação – 1D
iL L Grandes deformações Pequenas
fLeque as
deformações
LLi
i
ifL LL
LLL
1,0 m 1,0 m 1,0 m 1,0 m
2,0 m 0,5 m 1,001 m 0,999 miL
Lf
f
ifE LL
LLL
2,0 m 0,5 m 1,001 m 0,999 m
100% - 50% 0,10% - 0,10%fLL
f
i
f
LL
lnlog50% -100% 0,10% - 0,10%
69,3% - 69,3% 0,10% - 0,10%logE
Mecânica dos Sólidos I
i
D f ã 2DDeformação – 2D
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2D
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2D
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2D
Não há distorção d l tdo elemento
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2D
Não há distorção d l tdo elemento
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2D
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2D
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2D
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2D
Há distorção no l t ( i lh t )elemento (cisalhamento)
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2D
Há distorção no l t ( i lh t )elemento (cisalhamento)
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2D
M did d D f ã R l õ tMedida de Deformação – Relações entre deslocamentos e deformações
D C
A B
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2D
M did d D f ã R l õ tMedida de Deformação – Relações entre deslocamentos e deformações
CDD
HIPÓTESEPequenas
AB
Pequenas Deformações e Rotações!
D C
A Rotações!
A B
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2DCCDy
ABBA lim
C BD
ABxxx 0lim
A
B
y ADADDA
yyy
0
lim
A By
AD
DABBAD limA B
x
y
x
DABBADyxxy
00
lim
xMecânica dos Sólidos I
x
D f ã 2DDeformação – 2DCCDy
CuDu
BD C
CDu
A
B
yAu Deslocamentos
A By
ABu
jiu ),(),( yxuyxu yxA
Deslocamentos
A B
x
y
xjiu ),(),( yxxuyxxu yxB
x
jiu ),(),( yyxuyyxu yxD
Mecânica dos Sólidos I
x
D f ã 2DDeformação – 2DCy CD
BD C
A
B
Au HIPÓTESE
B
ABu
APequenas Deformações e Rotações!
B),( yxux
x),( yxxux x
Mecânica dos Sólidos I
x
D f ã 2DDeformação – 2D
ABABBA
xxx
lim0
xAB
ABx
0
xxuyxuyxxu
yxuyxxuxBA
xxx
xx
)(),(),(),(),(
xxuxyxuxxuyxuxBAyy
xxxx
xxx
)()(),()(),(
)(),(),(
xu
xxxxux xx
xxx
)(lim0
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2DCy CD
Du
BD C
Du),( yyxuy
A
B
Auy
B
A),( yxuy
A BAHIPÓTESE
x
Pequenas Deformações e Rotações!
Mecânica dos Sólidos I
x
D f ã 2DDeformação – 2D
ADADDA
yyy
lim0
yxuyyxuyDAyAD
)()( yyuyxuyyxu
yxuyyxuyDA
yyy
yy
)(),(),(
),(),(
yyuyyxuyyuyxuyDA yyyy
yyy
)(
)(),()(),(
yu
yyyyuy yy
yyy
)(lim
0
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DC
D
Deformação – 2D
2Dy
BD C1
A
B
A
BAA
210lim
DABBADxy
x
2100
yxxy
Mecânica dos Sólidos I
x
D f ã 2DDeformação – 2D
C yxuyxxu yy ),(),(t
2
CD
)()( x
yy yy
)()(tan 1
2
B
),(),( yxuyxxu yy
BD C
)( 1
A ),( yxuy
),( yxxuy
BA
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2Dyxuyyxu )()(
yyxuyyxu xx
),(),(tan 2
C
),(),( yxuyyxu xx
)( yyxu CD),( yyxux
2
BD C
),( yxux
D C1
A ),( yxuy
Mecânica dos Sólidos I
BA
D f ã 2DDeformação – 2D
xyxuyxxu yy
11
),(),(tan
u
xxuyxuyxxu yyy
)(),(),(
xuy
1
xu
yu yx
xy
21
yyxuyyxu xx
22),(),(tan
xy
yyuyxuyyxuy
xxx
)(),(),(
yux
2
Mecânica dos Sólidos I
y
D f ã 2DDeformação – 2D
M did d D f ã R l õMedida de Deformação – Relações entre deslocamentos e deformações
CD uD
xux
xx
ABD C
yuy
yy
A)(
21
21 uu
y
yxxyxy
A B22 xyyy
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2D
M did d D f ã M d d iMedida de Deformação – Mudança do sistemas de coordenada
CD
CD
yy ux
B
D
D C B
D
D C
y
ux
y
xx
ABD C
ABD C
x yy
yy
A BA B
xu
yu yx
yx
x
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2D
M did d D f ã M d d iMedida de Deformação – Mudança do sistemas de coordenada
yuxuu xxx xy
yu
xx
xu
xu xxx
xx
yy
yu
yx
xu
yu yyy
yy
xy
yu
xx
xu
yy
yu
yx
xu
xu
yu yyxxyx
yx
xyxxyyyxxy
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2D
yy sincos yxx y
cossin yxyy
x
xy
x
xy
x
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2D
sincos yxx vvv
yy
cossin yxy
y
vvv y
x
yvxv
xv
yvv
xy
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2D
sinsincoscossincos
yu
yu
xu
xu yxyx
xx
cossinsincos 22
uuuu yxyx
xyyx
ii 22 cossinsincos 22xyyyxxxx
1
2sin
212cos
22 xyyyxxyyxx
xx
2sin2cos22 xy
yyxxyyxxxx
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 2DDeformação – 2D
M did d D f ã M d d iMedida de Deformação – Mudança do sistemas de coordenada
2sin2cosyyxxyyxx
2sin2cos22 xyxx
2sin2cos
22 xyyyxxyyxx
yy
2cos2sin22
1xy
yyxxyxyx
Mecânica dos Sólidos I
D f ã 3DDeformação – 3D
Tensor de Deformação
yzyyxy
xzxyxx
zzyzxz
xux
xx
yuy
yy
zuz
zz
x y z
)(11 uu yx
)(11 uu zx
)(
22 xyyx
xyxy
)(
22 xzxzxz
)(
21
21
yu
zu zy
yzyz
Mecânica dos Sólidos I
y
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação
TEEE
zzyyxxxx
Gxy
xyxy 221
TEEE
EEEzzyyxx
yy
G
Gxz
xzxz
yy
221
22
T
EEEzzyyxx
yy
Gyz
xzxz
122
TEEEzz
Gyzyz 22
E)1(2
EG
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação
)()1(E
)()1(
)()1()21)(1( zzyyxxxx
E
)()1()21)(1( zzxxyyyy
E
)()1()21)(1( yyxxzzzz
E
xyxy
G
G
2
2
yzyz
xzxz
GG
22
Mecânica dos Sólidos I
M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações
Técnicas para medida de deformaçãoM â i– Mecânicas
– Elétricas– Ópticas– Acústicas
Mecânica dos Sólidos I
M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações
E t ô t Elét i R i tiExtensômetros Elétricos ResistivosFilme protetor
Grid de material metálico (elemento sensor)
Filme polimérico (base)
Mecânica dos Sólidos I
M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações
Mecânica dos Sólidos I
M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações
E t ô t Elét i R i tiExtensômetros Elétricos ResistivosExtensômetros uniaxiais
LALR
R Resistência elétricaR – Resistência elétrica – ResistividadeL – Comprimento do fio metálicoL – Comprimento do fio metálico A – Área da seção transversal do fio metálico
Mecânica dos Sólidos I
M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações
E t ô t Elét i R i tiExtensômetros Elétricos ResistivosExtensômetros uniaxiais
ALALRR ),,(
dRdARdLRdR
A
d
dddAdLdR
ddAA
dLL
dR
dSg 21
dd
AdA
LdL
RdR 2
gS
RdR Efeito piezo-resistivo
Mecânica dos Sólidos I
M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações
E t ô t Elét i R i tiExtensômetros Elétricos ResistivosExtensômetros uniaxiais
SR
gSR
Mecânica dos Sólidos I
M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações
E t ô t Elét i R i ti
Material Gage Factor
Extensômetros Elétricos Resistivos
Material (SG)Platina (Pt 100%) 6.1 Platina-Irídio (Pt 95% Ir 5%) 5 1 Platina Irídio (Pt 95%, Ir 5%) 5.1 Platina-Tungstênio (Pt 92%, W 8%) 4.0 Isoelastic™ (Fe 55.5%, Ni 36% Cr 8%, Mn 0.5%) * 3.6 Constantan™/Advance™/Copel ™ (Ni 45%, Cu 55%) * 2.1 Nichrome V™ (Ni 80%, Cr 20%) * 2.1 Karma™ (Ni 74% Cr 20% Al 3% Fe 3%) * 2 0 Karma™ (Ni 74%, Cr 20%, Al 3%, Fe 3%) * 2.0 Armour D™ (Fe 70%, Cr 20%, Al 10%) * 2.0 Monel™ (Ni 67%, Cu 33%) * 1.9 Manganin™ (Cu 84%, Mn 12%, Ni 4%) * 0.47 Níquel (Ni 100%) -12.1
Mecânica dos Sólidos I
Fonte: http://www.efunda.com/designstandards/sensors/strain_gages/strain_gage_sensitivity.cfm
M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações
E t ô t Elét i R i ti
Ponte de Wheatstone (1/4 de Ponte)
Extensômetros Elétricos Resistivos
SR
Ponte de Wheatstone (1/4 de Ponte)
gSR
321 RRRR 321
11 RV
RRRg
ININ 42
12
1RRV
RRVV
IN
4VSV
g
Mecânica dos Sólidos I
M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações
E t ô t Elét i R i tiExtensômetros triaxiais (rosetas extensométricas)Extensômetros Elétricos Resistivos
2sin2cos22
)( xyyyxxyyxx
Mecânica dos Sólidos I
22
M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações
R t 45°Roseta a 45°y
)45( )45( B
x
xxA )0(
)45( C
2sin2cos22
)( xyyyxxyyxx
Mecânica dos Sólidos I
22 y
M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações
R t 45°Roseta a 45°
xy
yyAxy
yyAyyAB
2)90sin()90cos(
22
xyyyA
xyyyAyyA
C
2
)90sin()90cos(22
y
)45( B
ACByy
Axx
x
2CB
xy
xxA )0(
)45( C
Mecânica dos Sólidos I
2)45( C
D f ã 3DDeformação – 3D
Tensor de Deformação
yzyyxy
xzxyxx
zzyzxz
xux
xx
yuy
yy
zuz
zz
x y z
)(11 uu yx
)(11 uu zx
)(
22 xyyx
xyxy
)(
22 xzxzxz
)(
21
21
yu
zu zy
yzyz
Mecânica dos Sólidos I
y
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação
Lei de Hooke GeneralizadaM t i l I t ó i– Material Isotrópico
– Material Elástico– Material Linear– Pequenas Deformaçõesq ç
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEnsaio de TraçãoEnsaio de Tração
Mecânica dos Sólidos I
Figuras reproduzidas de:Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of Materials, 4th ed., McGraw-Hill, 2002
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEnsaio de TraçãoEnsaio de Tração
Figuras reproduzidas de:Beer Johnston & DeWolf Mechanics of
Mecânica dos Sólidos I
Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of Materials, 4th ed., McGraw-Hill, 2002
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEnsaio de TraçãoEnsaio de Tração
Figuras reproduzidas de:Beer Johnston & DeWolf Mechanics of
Mecânica dos Sólidos I
Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of Materials, 4th ed., McGraw-Hill, 2002
R l ã T ã D f ãRelação entre Tensão e Deformação
Relação Tensão vs. Deformação
F/A
Relação entre Tensão e Deformação
Su
Sy
Regime Plástico
Regime Elástico
F FF F
0,2% /LMecânica dos Sólidos I
/L
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação
Deformação longitudinal
0LAP
LLL
0
EAP
L
LL
PP
LL 0
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação
Deformação transversalDD
)( 00
0
LLDDDDT
0D)( ELT
0
PPDD 0
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEstado uniaxial de tensão (direção x)
z
Estado uniaxial de tensão (direção x)
y
x
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEstado uniaxial de tensão (direção x)
z
Estado uniaxial de tensão (direção x)
Exx
xx
xxE
xxyy
Exx
yy
yxx Ezz
x
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEstado uniaxial de tensão (direção y)
z
Estado uniaxial de tensão (direção y)
z
y
x
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEstado uniaxial de tensão (direção y)
z
Estado uniaxial de tensão (direção y)yy
zExx
Eyy
yy
yyyy
Eyy
zz
yE
x
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEstado uniaxial de tensão (direção z)
z
Estado uniaxial de tensão (direção z)
y
x
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEstado uniaxial de tensão (direção y)Estado uniaxial de tensão (direção y)
zz zzz Exx
E
zzyy
Ezz
zz E
y
x
Mecânica dos Sólidos Izz
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEstado triaxial de tensão (emprega se o princípioEstado triaxial de tensão (emprega-se o princípio da superposição):
zz zzyyxx
zz
yy xx EEEyyxx
xx
yyyy
EEEzzyyxx
yy
y
x
y
x
xx
EEEzzyyxx
zz
zzEEE
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoCisalhamento puro (plano xz)Cisalhamento puro (plano xz)
z
y
x
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoCisalhamento puro (plano xz)Cisalhamento puro (plano xz)
z1
xz Gxz
xzxz 221
y
xz
x
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoCisalhamento puro (plano yz)Cisalhamento puro (plano yz)
z
y
x
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoCisalhamento puro (plano yz)Cisalhamento puro (plano yz)
z1
yz Gyz
yzyz 221
yyz yz
x
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoCisalhamento puro (plano xy)Cisalhamento puro (plano xy)
z
y
x
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoCisalhamento puro (plano xy)Cisalhamento puro (plano xy)
z1
Gxy
xyxy 221
yxy
xy
x
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEmpregando o princípio da superposição:Empregando o princípio da superposição:
Gxy
xyxy 221
Gxz1
22
Gxzxz
122
Gyz
yzyz 221
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoAcoplamentoAcoplamento entre tensões l i di i
ylongitudinais e deformações
bcisalhantes b
xxxx cxx
xaz
a
Mecânica dos Sólidos Id
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoSupondo se queSupondo-se que exista o acoplamento: y
b0
b
xx0xzc
xxxa
za
Mecânica dos Sólidos Id
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoConsiderando umaConsiderando uma rotação do bloco de 180° d
y180° em torno de x:
d
xxaxxxx
180c
xzc
Mecânica dos Sólidos Ib
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação
M t i l é i t ó iMaterial é isotrópico, logo a deformação ycisalhante deveria ser idêntica à verificada antes da rotação.
d 0xz
a xxxx
c180
xzc
Mecânica dos Sólidos Ib
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação
P t i i i t ó i t õ i ãPara materiais isotrópicos, tensões normais nãoproduzem deformações cisalhantes. Pode-se mostrar que tensões cisalhantes também não produzem deformações longitudinais.
yy yy
g
0xzb
c 0xzb
c
d 0xz
d 0xz
xxxx
x
xzc
xxxx
x
xzca
180
xxxxa
180
xxxx
x
zd
a x
zd
axz
b
cxz
b
c
Mecânica dos Sólidos I
bb
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação
Equações constitutivas para material isotrópico, linear (pequenas deformações) e elástico(pequenas deformações) e elástico
EEE
zzyyxxxx
Gxy
xyxy 221
EEEzzyyxx
yy
Gxz
xzxz 221
EEEzzyyxx
zz
Gyz
yzyz 221
Mecânica dos Sólidos I
R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação
Considerando variações de temperatura:
T
EEEzzyyxx
xx
Gxy
xyxy 221
TEEE
zzyyxxyy
Gxz
xzxz 221
TEEE
zzyyxxzz
Gyz
yzyz 221
EG
Mecânica dos Sólidos I)1(2
G
E ilíb iEquilíbrio
• Equações de Equilíbrio
0
xzxyxx 0
zyx
0
zyxyzyyxy
0
zzyzxz 0
zyx
Mecânica dos Sólidos I
T i d El ti id dTeoria da Elasticidade
Problema F1F1
Corpo sujeito a ação de esforços externos (forças
F2F8 F2F8
esforços externos (forças, momentos, etc.) F3
F7F3
F7
F4F4Determinar• Esforços internos (tensões)
F5
F6
F5
F6
Esforços internos (tensões)• Deformações• Deslocamentos
Mecânica dos Sólidos I
T i d El ti id dTeoria da Elasticidade
• Equações de Equilíbrio
0
xzxyxx 0
zyx
0
zyxyzyyxy
0
zzyzxz 0
zyx
Mecânica dos Sólidos I
T i d El ti id dTeoria da Elasticidade
• Relações entre deslocamentos e deformações
u
uu yx11
xux
xx
xyyx
xyxy 22
yuy
yy
xu
zu zx
xzxz 21
21
zuz
zz
uu zyyzyz 2
121 z
yzyy 22
Mecânica dos Sólidos I
T i d El ti id dTeoria da Elasticidade
• Relações constitutivas (tensão vs. deformação)
TEEE
zzyyxxxx
Gxy
xy 2
T
EEEzzyyxx
Gxz
y 2 T
EEEyy
yy
Gyz
xz 2
TEEE
zzyyxxzz
Gyz
yz 2
12EG
Mecânica dos Sólidos I
12
T i d El ti id dTeoria da Elasticidade
• 15 Equações– Equilíbrio (3) FF– Equilíbrio (3)– Deformação vs. Deslocamentos (6)
Tensão vs Deformação (6)
F1
F2F8
F1
F2F8
– Tensão vs. Deformação (6)• 15 Variáveis:
F3
F7F3
F7
zyx uuu
,,3
F4
3
F4
yzxzxyzzyyxx
yzxzxyzzyyxx
,,,,,
,,,,,
F
F6
F
F6
• Condições de contorno
yyyyF5F5
Mecânica dos Sólidos I
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