Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos 6ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Relações Tensões - Deformações. Energia de Deformação. Critérios de Cedência. Objectivos da Aula: Ser Capaz de estabelecer e utilizar a lei de Hooke Generalizada. Fazer Controlo de Resistência.
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1
Sumário e Objectivos
Sumário: Relações Tensões - Deformações. Energia de Deformação. Critérios de Cedência.
Objectivos da Aula: Ser Capaz de estabelecer e utilizar a lei de Hooke Generalizada. Fazer Controlo de Resistência.
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Ponte
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Aeroplano
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Relações Tensões -Deformações
Os ensaios de tracção e compressão efectuados sobre provetes paralelepipédicos lineares de Mat. Isotrópicos
xx xx 11 11E ou E= =σ ε σ ε
E representa o Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young
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Relações Tensões -Deformações
Os ensaios de tracção e compressão efectuados sobre provetesparalelepipédicos lineares conduzem a modelos simplificados de comportamento do material que numa perspectiva qualitativa podemconsiderar-se nalguns casos com a geometria representada na figura
σ
ε
E
1
σ
ε
E
1
Linear Elástico Elasto - Plástico
ET
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6
Coeficiente de Poisson
Por efeito da tensão de tracção xxσ o elemento prismático sofre um alongamento (1)xxε
na direcção xx e sofre encurtamentos nas direcções de yy e de zz, (1)yyε e (1)
zzε que são proporcionais a (1)
xxε sendo o coeficiente de proporcionalidade, ν, designado por Coeficiente d Poisson.
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Tracção em três Direcções Ortogonais
≡ +
++
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Lei de Hooke Generalizada
xx(1)xx E
σ=ε (1) (1)yy xx xxE
ν= −ν = −ε ε σ (1) (1)
zz xx xxEν
= −ν = −ε ε σ
(2) (2)xx yy yyE
ν= −ν = −ε ε σ yy(2)
yy Eσ=ε
(2) (2)zz yy yyE
ν= −ν = −ε ε σ
(3) (3)xx zz zzE
ν= −ν = −ε ε σ (3) (3)
yy zz zzEν
= −ν = −ε ε σ zz(3)zz E
σ=ε
( )(1) (2) (3)xx xx xx xx xx yy zz
1E
⎡ ⎤= + + = − ν +ε ε ε ε σ σ σ⎣ ⎦
( )(1) (2) (3)yy yy yy yy yy xx zz
1E
= + + = − ν +⎡ ⎤ε ε ε ε σ σ σ⎣ ⎦
( )(1) (2) (3)zz zz zz zz zz xx yy
1E
⎡ ⎤= + + = − ν +ε ε ε ε σ σ σ⎣ ⎦
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Relações Tensões Deformações
( )
( )
( )
xx xx yy zz
yy yy xx zz
zz zz yy xx
E 1 ( )(1 )(1 2 )
E 1 ( )(1 )(1 2 )
E 1 ( )(1 )(1 2 )
⎡ ⎤σ = − ν ε + ν ε + ε⎣ ⎦+ ν − ν
⎡ ⎤σ = − ν ε + ν ε + ε⎣ ⎦+ ν − ν
⎡ ⎤σ = − ν ε + ν ε + ε⎣ ⎦+ ν − ν
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Módulo de Distorção
As tensões tangenciais na ausência de tensões normais só produzem distorções no plano em que actuam que lhe são proporcionais. A constante de proporcionalidade entre a tensão tangencial ou de corte e a distorção designa-se por Módulo de Distorção do Material e representa-se por G
xy xyxy
xz xzxz
yz yzyz
12G12G12G
= =γ ε τ
= =γ ε τ
= =γ ε τ
xy xyxy xy
xz xzxz xz
yz yzyz yz
2(1 ) ou
G E2(1 ) ou
G E2(1 )
ou G E
τ + ν τγ = γ =
τ + ν τγ = γ =
τ + ν τγ = γ =
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Lei de Hooke Generalizada em
termos das constantes de Lamé
Materiais isotrópicos
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Obtenção duma Relação entre o Módulo de Distorção e o Módulo de Young
l
l
σ σ
xlΔ
ylΔ
2π
−γτ
τ
( )xxx xx yy
1 1lE El
Δ + ν= = − ν = σε σ σ
( )yyy yy xx
1 1lE El
Δ + ν= = − ν = − σε σ σ
x1ll E
+ ν= σΔ
y1ll E
+ ν= − σΔ
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Relação entre o Módulo de Distorção e o Módulo de Young
l
l
σ σ
xlΔ
ylΔ
2π
− γτ
τ
x1ll E
+ ν= σΔ
y1ll E
+ ν= − σΔ
y4 2
x4 2
ltan g tan g ltan g4 2 1 tan g tan g l l
γπ
γπ
+ Δ−π γ⎛ ⎞− = =⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ Δ
11 12 E111 E2
γ +ν− − τ=
γ +ν+ τ+
12 Eγ + ν
= τ
ou seja tendo em conta que τ =Gγ
( )EG
2 1=
+ ν
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Módulo de CompressibilidadeVolumétrica
A deformação volumétrica pode relacionar-se com a pressão hidrostática através de uma constante de proporcionalidade que se designa por módulo de compressibilidade volumétrica do material e que se representa por K
v xx yy zz m1K
= + + =ε ε ε ε σ
( ) ( )v xx yy zz m
3 1 21 2E E
− ν− ν= + + =ε σ σ σ σ
( )EK
3 1 2=
− ν
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Energia de DeformaçãoProblema Uniaxial
As energias de deformação Elástica, eU , num caso e noutro e a energia dissipada noprocesso de deformação plástica , dU , estão representadas nas referidas figuras.
ε
σ Eσ = ε
edU
σ
ε
dU
edU
a) b)
A densidade de energia de deformação elástica, ou energia armazenada por unidade de volume pode ser calculada a partir da tensão e deformação e no caso da barra traccionada é
2 2e xx xx
1 1 1 EdU2 2 2E 2
= = σε = =σ ε σ ε
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Energia de DeformaçãoProblema Uniaxial
A energia de deformação elástica total na barra traccionadaobtém-se integrando a densidade de energia de deformação elástica e é
2 2e xx xx xx xxV V V
1 1 EdV dV dVU2 2E 2
= = =σ ε σ ε∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
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Energia de Deformação
No caso tridimensional a Densidade de Energia de Deformação é
( )e xx xx yy yy zz zz xz xz xy xy yz yz1d 2 2 2U 2
= + + + + +σ ε σ ε σ ε τ ε τ ε τ ε
A Energia de Deformação Elástica total no sólido de volume V é
( )e xx xx yy yy zz zz xy xy xz xz yz yzV1 2 2 2 dVU2
= + + + + +σ ε σ ε σ ε τ ε τ ε τ ε∫∫∫
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Critérios de Cedência-1
Alguns materiais, nomeadamente os materiais dúcteis, especialmente os materiais plásticos, têm um comportamento quando traccionados que pode ser designado por elástico perfeitamente plástico, este modelo de comportamento caracteriza-se pela existência de uma Tensão de Cedência, , a qual estabelece o início da deformação plástica.
ε
σσ
ε
a) b)
cσ
cσ
ε
σσ
ε
a) b)
cσ
cσ Tensão de Cedência Uniaxial
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Critérios de Cedência-2
No caso tridimensional a caracterização do estado de Tensão passa pela existência de seis componentes do tensor das tensões independentes, obrigando àconsideração de funções que possam ser consideradas para definir a cedência nessas condições de solicitação. Desenvolveram-se várias teorias para quantificar a cedência de Estados tridimensionais de tensão, algumas dessas teorias são de uso mais frequente no caso dos metais e por isso só essas vão ser referidas.
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Teoria da Tensão de Corte Máxima - Caso Uniaxial
1max 2
±σ=τ1
max cr2±σ= ≤τ τ
A teoria da Tensão de Corte Máxima, resulta da constatação experimental de que os materiais dúcteis tendem a sofrer deslizamentos ao longo de planos criticamente orientados durante a cedência plástica. No caso da teoria da Tensão de Corte máxima esses planos são considerados como correspondendo a tensões de corte máxima, tendo estas tensões atingido um valor crítico nos referidos planos.
1 cp≤σ σ
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Teoria da Tensão de Corte Máxima - Caso Bidimensional
1
2σ 2
2σ 2 1
2−σ σou ou
Os potenciais valores das tensões de corte máxima são
A aplicação da Teoria da tensão de corte máximo implica que se verifique uma das desigualdades seguintes
1 cp≤σ σ 2 cp≤σ σ 2 1 cp− ≤σ σ σou ou
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Critério de Cedência de Tresca
A representação gráfica destas condições está feita na figura, no espaço de tensões de Westergard, o critério que resulta da aplicação desta teoria émuitas vezes designado por Critério de Cedência de Tresca, embora tenha sido primeiro apresentado por Coulomb.
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Critério de Cedência de Tresca-Caso Tridimensional
3 2 cp− ≤σ σ σ 2 1 cp− ≤σ σ σ
No caso tridimensional, o Critério de Cedência de Tresca, considerando as tensões principais, é
3 1 cp− ≤σ σ σ
sendo no espaço de Westergard representado por um prisma hexagonal.
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Teoria da Energia de Distorção Máxima
( )2 2 2e 1 2 3 1 2 1 3 2 3
1d 2U 2E= + + − ν + +⎡ ⎤σ σ σ σ σ σ σ σ σ⎣ ⎦
( ) ( )22dil 1 2 3
3 1 2 1 2dU m2E 6E− ν − ν
= = + +σ σ σ σ
A densidade de energia de deformação, como foi referido anteriormente pode calcular-se a partir das tensões principais fazendo uso da expressão
A parcela da energia de deformação por unidade de volume responsável pela dilatação do sólido pode ser expressa em termos da pressão média e é
Subtraindo a densidade de energia de dilatação à densidade de energia de deformação obtém-se a densidade de energia distorcional ou de desvio
De acordo com a teoria básica da energia distorcional, o valor da densidade de energia de desvio ou distorcional não deve exceder o valor correspondente ao máximo admissível em tracção simples o qual é
Critério de Cedência de von Mises e no espaço de Westergard é representado por um cilindro.
No caso particular de se tratar de um Estado Plano de Tensão este critério, Critério de Cedência de von Mises,toma a forma
em termos das componentes do tensor das tensões no sistema de eixos Oxy, toma a forma
22 2 2yy yy xx xy cpxx 3+ − + ≤σ σ σ τ σσ
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Teoria da Energia de Distorção MáximaCaso Bidimensional
O Critério de Cedência de vonMises no caso Bidimensionalcorresponde no espaço de tensões a uma elipse
O hexágono de Tresca fica inscrito na elipse de von Misesse forem representados na mesma figura.
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A energia de Deformação Elástica é:
Princípio da energia Potencial mínima
Trabalho Virtual
Energia potencial total
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29
Princípio da energia Potencial mínima
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30
Teorema de Castigliano
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31
Teorema de Castigliano
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32
Teorema de Castigliano
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33
Teorema de Clapeyron
Enunciado do Teorama de Clapeyron
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34
Princípio de Saint Venant
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35
Coordenadas Cilíndricas
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36
Coordenadas Cilíndricas
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37
Coordenadas Cilíndricas
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38
Coordenadas Cilíndricas
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39
Coordenadas Cilíndricas
Se não houver dependência de θ as equações tomam a forma:
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40
Coordenadas Cilíndricas
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Problemas Propostos
1. Mostre que os campos de deformações seguintes são compatíveis: a) 22
xx 3 4xy 4yx= + −ε b) 22xx 12 6 4zyx= − −ε
2 2yy 3 xyy x= + +ε 2 2
yy 12 6 4zy x= − +ε zz 0=ε zz 12x 4y z 5= + − +ε
22xy 6xy 4yx= − − −γ xy 4z 24xy 3= − −γ
yz 2x y= +γ yz y z 4= + −γ
xz z 3= +γ zx 4x 4y 6= + −γ
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42
Problemas Propostos
45
45 a
c
b
2. Considere uma roseta de extensómetros montada numa peça de uma máquina como se mostra na figura.As leituras efectuadas conduzem aos seguintes resultados: 10350;10150;10500 6
c6
b6
a−−− ×=×=×= εεε
a)Determine as Deformações Principais e as Direcções Principais neste ponto damáquina. b)Determine as tensões principais e as direcções principais de tensão. O Coeficiente de Poisson é 0.3 e o Módulo de Young é 210000Mpa.
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43
Problemas Propostos
3. Considere um prisma de dimensões 20×50×10 cm3 constituído por um material linear elástico, homogéneo e isotrópico.
Sabendo que: - sob a acção de uma pressão uniforme p=200MPa, estado de tensão hidrostático,
o volume passa a ser 10030cm3 - sob a acção de uma tensão tangencial τ = 100MPa, a distorção γ = 0.1146º Determine o tensor das deformações correspondente ao estado de tensãocaracterizado pelo tensor das tensões:
MPa1001000100400200
0200300
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
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Problemas Propostos
4 ) A p la c a r e p r e s e n t a d a n a f ig u r a 1 é d e a ç o c o m E = 2 1 0 G P a e ν = 0 ,3 . A f ig u r a at r a c e ja d o r e p r e s e n ta a d e f o r m a d a d a p la c a a p ó s a a p l i c a ç ã o d e u m a d a d a c a r g a .A d m i t in d o q u e a s d im e n s õ e s n a d i r e c ç ã o h o r i z o n ta l n ã o s e a l t e r a m d u r a n te ad e f o r m a ç ã o , q u e a e s p e s s u r a é u n i t á r i a e q u e o e s t a d o d e d e f o r m a ç ã o é i g u a l p a r a to d o s o s p o n to s , d e te r m in e :
A
B
C
3 m m2 m m
3 0 0 m m
B ’
x
y
250m
m
A
B
C
3 m m2 m m
3 0 0 m m
B ’
x
y
250m
m
F ig u r a 1 : P la c a
a ) A e x te n s ã o a o lo n g o d o la d o A B . b ) A d i s to r ç ã o n o p la n o d o s e ix o s x e y ( l e m b r e q u e n o p la n o ( 0 , i , j ) γ i j= π / 2 - θ ’ ) . c ) A s te n s õ e s p r in c ip a i s e r e s p e c t iv a s d i r e c ç õ e s p r in c ip a i s d e t e n s ã o e m c a d ap o n to . R e p r e s e n te g r a f i c a m e n te o e s t a d o d e t e n s ã o n u m p o n to e in d iq u e a sd i r e c ç õ e s p r in c ip a i s . d ) A e n e r g ia d e d e f o r m a ç ã o a c u m u la d a n a p la c a s o b o e f e i to d e s ta s o l i c i t a ç ã o .
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45
Problemas Propostos
5. Considere um estado plano de tensão, num ponto do qual se sabe que: - numa faceta inclinada de 0º em relação ao eixo dos yy, a tensão tangencial é
nula e a tensão normal é de 20MPa - numa faceta inclinada de 45º em relação ao eixo dos xx no sentido contrário
ao dos ponteiros do relógio a tensão tangencial é de 20MPa
(1.5) a)Determine o Tensor das Tensões. (1.0) c) Determine o Tensor das Deformações sabendo que o Módulo de Young éE=200GPa e o Coeficiente de Poisson é ν = 0.30.
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46
Problemas Propostos
6. Considere o Tensor das Tensões seguinteMPa
a) Determine o valor das forças de massa em equilíbrio com o campo de tensões dado.
b) No ponto de coordenadas (1,2,1) considere um plano igualmente inclinado em relação aos eixos coordenados e determine a tensão normal e a tensão tangencial.
c) Considere que o material do sólido é tal que o módulo de Young é 200GPa e o coeficiente de Poisson é 0.3 e determine o tensor das deformações.
d) Determine as extensões principais.
( )
( ) ( )
32 23
3 42ij
2
y x 1 0yx
1x 1 x 4y 0y y2
0 0 2z
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
= − −⎢ ⎥σ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
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Problemas Propostos
7. As extensões, medidas numa roseta de extensómetrosinstalada numa peça linear de alumínio de acordo com a figura 1,são: a)Determine as Extensões Principais e Direcções Principais de Extensãob)Determine as Tensões Principais e Direcções Principais de Tensão. c)Determine a Tensão Normal e de Corte numa faceta igualmente inclinada em relação ao eixo dos xx e dos yy .d) Determine a tensão de corte máxima fazendo uso do circulo de Mohr.
a b c200 m / m, 300 m / m e 300 m / m= μ = μ = − με ε ε
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48
Problemas Propostos
Considere que o material do sólido tem as propriedades seguintes:Módulo de Young E=70GPa ; Coeficiente de Poisson n = 0.25
y
60º
ε a
εbεc
60ºx
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49
Problemas Propostos
8. O sólido do qual se extraiu o tetraedro da figura éconstruído por um material que pode ser considerado isotrópico e homogéneo e com comportamento linear elástico. Durante o processo de deformação pura e homogénea a que está sujeito o tetraedro deforma-se de tal modo que:
o volume do sólido não se alterao novo comprimento de é de 2.001 cmo ângulo BOC não se alteraas novas coordenadas do ponto D são
{1.0005,0.0005,1.0025) cm
OB
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Problemas Propostos
a)Determine o Tensor das deformações, b) Determine o Tensor das Tensões, sabendo que:o Módulo de Young é E=200Gpaum cubo de lado 10 cm construído do material do tetraedro está sujeito a uma tensão de compressão segundo x de 20MPa e sofre um alongamento por unidade de comprimento segundo y e z de 2× .c) Determine o versor da normal á faceta que está sujeita àtensão resultante {82,478;82,478;206,362}MPad)Determine as Tensões e as Direcções Principais de Tensão.
10 5−
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Problemas Propostos
A B
C
xy
z
2cm
2cm2cmO
D
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Problemas Propostos
9.Considere o tensor das tensões
MPapara o qual a faceta cuja normal é tem tensão
tangencial nula.a) Determine o Tensor das Tensões.b) Determine as Tensões Principais e Direcções Principais
de Tensão. c) Determine o Tensor das Deformações sabendo que o
Módulo de Young é E=150GPa e o Coeficiente de Poisson é n = 0.30.
0 x yx 0 200y 200 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
( )2 1 1 02
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Resolução Problema 1)
2 22yy xyxx
2 22
x yy xε∂ ∂ ε∂ ε + =
∂ ∂ ∂∂2 22
xx xzzz2 2
2x zz x
ε∂ ε ∂ ε∂+ =∂ ∂ ∂ ∂2 22
yy yzzz22
2y zyz
∂ ε ε ∂ ε∂+ =∂ ∂ ∂∂
As deformações têm de verificar as equações de compatibilidade que são:
2xy yzxz xx
x z y x y z∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂ε εε ∂ ε+ − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2xy yz yyxz
y z y x x z∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂ε ε ∂ εε− + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2xy yzxz zz
z z y x x y∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂ε εε ∂ ε− + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
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Resolução 2a)
a
b
c
2 2xx a yy a a axy
2 2xx b yy b b bxy
2 2xx c yy c c cxy
sen coscos sen
sen coscos sen
sen coscos sen
θ
θ
θ
= + + γε ε θ ε θ θ θ
= + + γε ε θ ε θ θ θ
= + + γε ε θ ε θ θ θ
2. Considere uma roseta de extensómetros montada numa peça de uma máquina como se mostra na figura.As leituras efectuadas conduzem aos seguintes resultados: 10350;10150;10500 6
c6
b6
a−−− ×=×=×= εεε
a)Determine as Deformações Principais e as Direcções Principais neste ponto damáquina. b)Determine as tensões principais e as direcções principais de tensão. O Coeficiente de Poisson é 0.3 e o Módulo de Young é 210000Mpa.
4a xx
4b xx yy xy
4a yy
5 101 1 11.5 102 2 2
3.5 10
−
−
−
ε = × = ε
ε = × = ε + ε + γ
ε = × = ε
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55
Resolução 2a)cont.
4xx
4yy
4xy
5 10
3.5 10
2.75 10
−
−
−
ε = ×
ε = ×
ε = − ×
44 1
42
5 2.75 7.1 1010 0
2.75 3.5 1.4 10
−−
−
− ε − ⎧ε = ×× = ⇒ ⎨− − ε ε = ×⎩
4l 15 7.1 2.75 l 110 0
2.75 3.5 7.1 m m 0.764−− − =⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧
× = ⇒⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥− − = −⎣ ⎦ ⎩
=
⎭ ⎩
Deformações Principais
Direcções Principais
Normalizando, obtém-se: l=0.795,m=-0.607, (Direcção 1)45 1.4 2.75 l 1
As direcções Principais de Tensão são coincidentes com as direcções principais de deformação e são:
1 2
1 2
l l0.882 0.472 e
m m0.472 0.882−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫
= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭
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Mecânica dos Sólidos6ªAula
63
Resolução Problema 4c)
( )
( )
e xx xx yy yy zz zz xy xy xz xz yz yzV
xx xx yy yy xy xyV
1 2 2 2 dVU2
1 2 dV2
= + + + + + =σ ε σ ε σ ε τ ε τ ε τ ε∫∫∫
= + +σ ε σ ε τ ε∫∫∫
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Mecânica dos Sólidos6ªAula
64
Resolução Problema 5a)
5. Considere um estado plano de tensão, num ponto do qual se sabe que: - numa faceta inclinada de 0º em relação ao eixo dos yy, a tensão tangencial é
nula e a tensão normal é de 20MPa - numa faceta inclinada de 45º em relação ao eixo dos xx no sentido contrário
ao dos ponteiros do relógio a tensão tangencial é de 20MPa
(1.5) a)Determine o Tensor das Tensões. (1.0) c) Determine o Tensor das Deformações sabendo que o Módulo de Young éE=200GPa e o Coeficiente de Poisson é ν = 0.30.