Maxwell Equations in Plasma
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1
Maxwell Equations in Plasma
0. Self consistent field in plasma１． Physical meaning of Maxwell equations2. Derivation of Maxwell eqs.
2007.05.01-02
2
電磁場と荷電粒子、荷電流体• 単一粒子、流体の電磁場中での運動
BvqEqP
)BVE(enpdtVd
eeeee
e
q は電荷 (-e,+Ze) 、 v は粒子（電子、イオン）の速度
Ve,i は（電子、イオン）流体の巨視的流れ、 en は電荷密度
電荷をもつ粒子、流体には電磁力が作用する。 プラズマ全体の流体運動は２式を足し合わせたものである。
)BVE(ZenpdtVd
iiiii
i
3
電磁場中の分布関数の発展方程式 vveve
eee
e f)BvE(mefv
tf
vvivii
iii f)BvE(
mZefv
tf
ここで、 E,B は外部から与えられた電磁場。右辺は衝突項であり、速度空間の流れの divergence として与えられる。もし外部電磁場が無いとすると左辺の第３項をなくすことができる。外部からの電磁場は衝突による流れには寄与せず“外場”の元での位相空間の運動を支配する。
4
衝突と Entropy S 増大33dvdr
tffln
dtdS
vvivii
iii f)BvE(
mZefv
tf
collisionmotion dtdS
dtdS
dtdS
分布関数の時間変化は１）確定的な外場における運動による変化２）ランダムな衝突による時間変化によってもたらされている。従って、エントロピーの時間変化も両者の寄与があるはず。
（配布資料を参照のこと）
5
外場の元での確定的な運動の寄与 vvivi
iii
i f)BvE(mZefv
tf
33dvdrf)BvE(mZefvfln
dtdS
ivii
iimotion
0
1
3
33
33
eflnfSdvdv
dvdreflnfv
dvdrfvfln:st
iii
iii
ii
空間微分の項の寄与は０
6
0
2
3
33
33
33
eflnfSdvdr
dvdreflnfF
dvdrfFfln:nd
dvdrf)BvE(mZefvfln
dtdS
iivi
iiv
iv
ivii
iiimotion
速度空間における勾配の項の寄与も０結論として、外場の元での確定的な運動あるいは自由運動はエントロピー増大には寄与しない
7
ランダムな衝突がエントロピーを増大させる• プラズマにおける衝突を 大多数の微小角散乱 b~Debye>>Lp-p
中くらいの散乱 b ＜ Debye
希な大角散乱 b~Lp-p
と分類すると
•すべての散乱がエントロピー増大に寄与？•プラズマ自身が作る電磁場の効果は？
8
プラズマ中のプラズマが作る電場• 自分の作る電場＋全員が寄与して遮蔽電場を作る
小角散乱はどれを変化させるのか？その他の散乱はどれを変化 両者を変化させるのか？E~EE
電場は１）粒子間距離より遙かに長くデバイ長以下程度の平均場（これはすべての粒子の協同効果として創世されたもの）と２）粒子のランダムな運動、即ち“衝突”を」引き起こす 揺らぎ成分である。
9
プラズマ自身の作る平均電場の記述（無衝突、且つ外場は無いとする） 0
ivi
iiii fE
mZefv
tf
dtdf
0
33
0
4
41
eargnetch
eiii dv)t,v,r(fedv)t,v,r(efZ
E
ここで、 <> は巨視的な平均場に対応した、平均ポテンシャル、平均電荷密度であり、分布関数と密接に結びついた量である。
10
プラズマ自身の作る平均磁場の記述（無衝突、且つ外場は無いとする） 0
ivii
iiii fBv
mZefv
tf
dtdf
eeii
eeiii
VenVZen
dvv)t,v,r(fdvv)t,v,r(fZej
jB
33
ここで、 <> は巨視的な平均場に対応した、平均電流密度、平均 drift 速度であり、分布関数と密接に結びついた量である。
11
プラズマの協同効果による平均場はエントロピーの増大に寄与しない
0
2
3
33
33
33
eflnfSdvdr
dvdreflnfF
dvdrfFfln:nd
dvdrf)BvE(mZefvfln
dtdS
iivi
iiv
iv
ivii
iiimotion
プラズマ粒子の協同効果で産み出され、 D の規模で平均される平均場（自己無撞着場 self-consistent field ）は外場同様エントロピーの増大を引き起こさない。したがって、 collisionless- 小角散乱による分布関数の時間発展はそれ自身では統計力学平均値に近づかない。
12
Maxwell eqs. の物理的意味と表現 I)
D
0 B
Newton eq. は質点（その性質は 質量を持つ、あるいは 電荷を持つ 等）の運動を記述する。光速で運動する光子の巨視的記述にはどうするか？その導出に先立ってベクトルの意味を考察する。Maxwell eqs.
非圧縮性流体（圧縮、膨張しない流体）の定義0 V
例）
13
Divergence 0
0
P
P
jxiy)y,x(P
jyix)y,x(P
１）
２次元 (x,y) 平面で任意のベクトル X を考え、 １） divergence が０ ２） divergence が０でない ３） divergence が正、あるいは負 でないにベクトルがどのような特徴があるかを考える。
2)
?P
?P
Vector の図 Vector の図
14
jxiy)y,x(P
jyix)y,x(P
0
xy
yx
P
2
yy
xx
P
湧き出しなし Ｐは湧き出している
15
3 次元で積分表示を行えば？
QSdD
dVdVD
D
Q
D
次元： 電束密度 D [C/m2] 、 Q[C]
電束密度の表面積分は電気力線の総和 即ち電荷の総和に等しい
16
3 次元で積分表示を行えば ＩＩ？
0
0
0
SdB
dVB
B
０
B
次元： 磁束密度 Vs /m2 Tesla
磁力線の湧き出しは無く、磁束密度の表面積分は０に等しい。即ち、閉じた領域内に“磁荷”に相当するものは存在しない。
17
Rotation 2
kxP
yP)y,x(P yx
z
0
kxP
yP)y,x(P yx
z
0 P
jxiy)y,x(P
jyix)y,x(P
Z 軸の周りの反時計方向の回転を表している。
0 P
vectorP は原点から放射状に外に向かって出ており、回転していない。
18
Vector 公式と物理概念
答えは何か？またその理由は？１１ １１１１１１１１１１１１１１
２） Ａを任意のベクトルとして、 A
答えは何か？またその理由は？
19
Maxwell eqs. 物理的意味 (II)
jtDH
,tBE
0
E の次元 , 単位は？ V/m: 力学的な力 N/C B の次元 , 単位は？ Vs/m2: D の次元 , 単位は？H の次元 , 単位は？j の次元 , 単位は？
C/m2=As/m2:A/m:
A/m2= C/s/m2 :
20
0
tBE
0
122
]s][m][m/Vs[]m][m/V[
SdBt
ldE
SdtBE
電気力線に回転を与えるのは磁束密度の時間変化“ 回転した電気力線”は“発散のない磁力線”の時間変化
E
のベクトル方向は？
21
jtDH
磁力線の回転は電荷の時間変化と電荷の流れによって与えられる。
jtDH
磁場の回転は面を横切る電荷あるいは電束密度の時間変化によってもたらされる。
0
22122
]m][m/A[]s][m][m/C[]m][m/A[
Sdjt
ldH
SdjSdDt
ldH
SdjtDH
22
電荷の連続の式
Vt
jt
jDt
ee
e
jtDH
磁力線の回転は電荷の時間変化と電荷の巨視的流れ V によって与えられる。
0 H
記述されるベクトルの“発散的性質”を調べる
23
Maxwell eq. の導出• 粒子の運動 Lagrange eq. (Newton eq.) L=T(v2)-U(r) 粒子の性質は質量 m
• 場と粒子の相互作用（粒子と粒子の相互作用） Lagrange eq.(Maxwell eq.) 相互作用に関して粒子の性質は 電荷 e
で表現
• 場の記述 Lagrange eq.(Maxwell eq.) 粒子の軌道は固定 場のポテンシャル変分
最小作用 (Js) の変分原理
Landau 場の古典論 3 章、４章参照
24
4 元位置ベクトル： r
ictr)r,r,r(r
4
321
空間成分時間成分C: light velocity
2t
1t
b
a
22
2t
1tparticle dsmcdt
cv1mcLdtS
相対論に拡張した作用 S[Js] の表現と Lagrange
2mvmc
cv1mcL
22
22
particle
25
場の性質：４元ポテンシャル A
iA)A,A,A(A
0
321
空間成分時間成分
2t
1t
2t
1t
iifieldparticle
dtedtvAce
4,3,2,1idtdt
dxeAc1S
注：作用の次元を確かめよ
粒子と場の相互作用は 粒子の性質 e と場の性質 A を用いて
26
粒子と場の相互作用
evAce
cv1mcLL
dtevAce
cv1mc
dxeAc1dsmcSS
22
fpp
22
b
aii
b
afieldparticleparticle
t2
t1
-
ここで V は４元速度ベクトルの空間成分
27
dVdtjA
c1dtdtjA
c1S i
i2
2t
1tfieldparticle
場のＬａｇｒａｎｇｅ => 場のエネルギーの次元•重ね合わせが可能•スカラー量
場と粒子の相互作用の作用積分（ただし、粒子の運動は固定されている。）
)m/J(2
DE)C/m/J(2E)m/C(D 32
dVHE81L 22
field
dVdtHE81S 22
field
こうして、場の作用は
28
Maxwell eq. の導出 （Ｉ）
0rL
vL
dtd
Lagrange eq が相対論や電磁場との相互作用においても正当である（こうしたときの運動も作用を最小にする）と考える。
Ace
cv
vmdtd
Ace
cvmc
vdtd
vL
dtd
2
22
1
11st term
29
evA
ce
rL
ベクトル公式 baababba)ba(
を利用すると、第１項は ｖとｒは独立変数であることを考慮して
AvAv
vAAvAvvA)vA(
eAvceAv
ce
evAce
rL
2nd term
30
Adtd
ce
cv1
vmdtd
vL
dtd
2
eAv
ceAv
ce
rL
AvtA
dtAd
結局 , 場における粒子の運動方程式は
etA
ceAv
ce
cv1
vmdtd
2
注：右辺の次元を確かめよ
ここで を使うと
1st term
2nd term
31
HvceEe
Avcee
tA
ce
cv1
vmdtd
2
AH
tA
c1E
注：次元を確かめよ
ここで 以下の場の強さを導入した
32
AH
tA
c1E
この２つの式とベクトル恒等式を用いて Maxwell eq. を求める
0HtH
c1
tA
c1E
0A
0
ベクトル恒等式
33
積分表現 ＩtH
c1
tA
c1E
HSdtc
1tH
c1SdESd
HSdtc
1Eld
起電力 磁束の時間微分に負の符号をつけたもの
34
積分表現 ＩＩ0H
0HSdHdV
即ち、任意の閉曲面を通る磁束は０である。あるいは 磁荷 というものは存在しない。
35
電荷の連続の式 v
t
ここで、電荷の保存も同様に考えると enmn em
粒子質量、粒子密度の保存則は以下のようであった。
jVt e
e
注 ) 積分形で表現せよ注２ ) j を分布関数を用いて表現せよ
即ち Maxwell eq. は巨視的物理量の保存則の基礎としても用いることができる
36
場の方程式 の導出 （ＩＩ）
A
場と粒子の相互作用の作用 Sp-f と自由運動の作用 Sp の合計の作用の変分が０で有ることから粒子の運動方程式を決定した。
この過程で、粒子に作用する相互作用の源である場を記述するMaxwell eq. の第１の組が導かれた。
場の方程式を決定するには、場自身の作用 Sf を決定する必要があり、それに粒子の運動を固定した場の相互作用 Sp-f を加えて場の Lagrange を導き、粒子の軌道の変分の代わりに、場のポテンシャルの変分に対して作用が 0 という要請から場の方程式を決定する。 fieledpfieldfield LLL
37
点荷の集合系と場の相互作用
evAceL
dtevAce
dxeAc
S
fp
b
aiifieldparticle
t2
t1
1
点電荷の系から、分布電荷とその運動が電流を形成している系へ拡張し、相互作用密度の空間積分の表現へと書き改める。
38
2
1
2
1
00
2
1
1
11
1
t
t
ii
t
t
t
tfieldparticle
dVdtjAc
dtjAc
jAc
dV
dtjAc
dVS
A,A,A,A ii
39
場のＬａｇｒａｎｇｅ => 場のエネルギーの次元•重ね合わせが可能•スカラー量
)m/J(ED)C/m/J(E)m/C(D 32
22
dVEL Efield2
81
電気力線とは単位長さあたりE/2 のエネルギーを蓄えている
電場の持つエネルギー密度Q
DＥE
21
注）ここでは Gauss 単位を用いている
40
場のＬａｇｒａｎｇｅ => 場のエネルギーの次元•重ね合わせが可能•スカラー量
)m/J(ED)C/m/J(E)m/C(D 32
22
dVEL Efield2
81
電気力線とは単位長さあたりE/2 のエネルギーを蓄えている
電場の持つエネルギー密度Q
DＥE
21
注）ここでは Gauss 単位を用いている
41
場のＬａｇｒａｎｇｅ => 場のエネルギーの次元•重ね合わせが可能•スカラー量
)m/J(HB)Vs/m/J(H)m/Vs(B 32
22
ijij
Hfield FFHL21
41
81 2
dVdtHE81S 22
field
こうして、場の作用は 3 次元表現を書けるとする。
B
ここで、 F は電磁場に関する４元テンソル表現とする
磁力線の有するエネルギー密度は
F=(E,H)
42
Contravariant E-M tensor
0HxHyEzHx0HzEyHyHz0ExEzEyEx0
Fik
H,EF,H,EF ik
ik
43
Covariant E-M tensor
00
00
HxHyEzHxHzEyHyHzExEzEyEx
Fik
H,EF,H,EF ik
ik
2
2
2
2
11
1
cvc
v,
cvds
dxu
uFce
dsdumc
ii
k
iik
44
ki
ik
ik xA
xAF
電磁場を４元ポテンシャルを用いて以下の４元テンソル
現わすことにすると、作用は
dVdtHE81S 22
field
dVdtFF16
1S ikikfield
H,EF,H,EF ik
ik
と書ける。
45
場の方程式 II の導出dVdtFF
161dVdtjA
c1S ik
iki
i2
この変分を調べるが、電流は粒子の運動が与えられているとして、場のポテンシャルのみを変化させる。
ikikik
ik
ikik
ii2
FFFF
dVdtFF81dVdtjA
c1S
（この関係を利用する）
つぎの電磁場テンソルの変分から ki
ik
ik xA
xAF
46
dVdtxAFcjA
c
FF
dVdtxAFc
xAFcjA
c
dVdtxA
xAFdVdtjA
c
dVdtFFdVdtjAc
S
kiiki
i
kiik
kiik
kiiki
i
ki
ikiki
i
ikik
ii
41
881
811
811
I,k を入れ替え の関係を使う
47
ここで、空間全体を考慮しているので、座標の無限遠ではポテンシャルは０とする。ただし、時間積分の２点ではポテンシャルの変分は０である。
04
1
41
41
41
dVdtAxFcj
c
dtSdAFdVdtAxFcj
c
dVdtxAFcjA
cS
ik
iki
kiik
ik
iki
kiiki
i
即ち場の方程式は ik
ik
jxF
4c
48
ik
ik
jxF
4c
0HxHyEzHx0HzEyHyHz0ExEzEyEx0
Fik
)j,c(ji
以上より、２組の方程式が得られる。
4E
jc
4tE
c1H
注）これらの式の次元を確かめよ
49
積分表現 ＩＩＩ
任意の閉曲線の回りの磁場の循環閉曲線で囲まれた面を通過する変位電流と真電流の総和に4/c を掛けたもの
jtE
41Sd
c4ldH
jc
4tE
c1SdHSd
注） 次元を考えよ
50
積分表現 ＩＶ
任意の閉曲面を通過する全電束閉曲面で囲まれた体積中の総電荷に 4を掛けたもの
注） 次元を考えよ
Q4dV4SdE
dV4dVE
51
レポート課題１） Maxwell 応力について述べよ。（定義、導出等々）
２）磁場強度１Ｔに相当する圧力を求めよ。また大気中の絶縁破壊 電圧 10kV/cm に相当する圧力を求めよ
52
ここまで学習した内容
粒子の運動方程式粒子と場の相互作用場の方程式
Fokker Planck eq.
Plasma 自身が作る自己無撞着場
場を含めた巨視的物理量の保存則粒子、電荷、運動量、エネルギー方程式
微視的運動方程式速度空間の拡散
磁場閉じ込め
不安定性衝突と平衡
Boltzmann eq.
クーロン小角散乱
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