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NAPIER´S WONDERFUL LOGARITHMS
Los maravillosos logaritmos de Napier
Historia e Epistemología de las Matemáticas
CAPÍTULO 6
CINDY NATHALIA MORGADO HERNÁNDEZVLADIMIR ANGULO CASTILLO
JUAN GABRIEL SANDOVAL ARIAS
John Napier (1550-1617)
“El descubrimiento de un plano de toda la revelación de San Juan” (1593). Considerado como su más importante contribución.
Las primeras tablas de logaritmos de Napier aparecieron en 1614 en un pequeño libro titulado “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (La Descripción de las maravillosas leyes de los logaritmos).
“Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio” (La Construcción de las maravillosas leyes de los logaritmos), los primeros escritos de los dos libros, pero publicados póstumamente en 1619
John Napier (1550-1617)
Barón de Merchiston, fue un matemático escocés del siglo XVII, cuyas obras más importantes fueron:
Descubrimientos de todos los secretos del Apocalipsis de San Juan.
“Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (La Descripción de las maravillosos logaritmos canónicos)
“Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio” (La Construcción de las maravillosos logaritmos canónicos),
LOS
MARAVILLOSOS
LOGARITMOS DE
NAPIER
CAPÍTULO 6
La curiosa
Definición de Napier
I
Progresiones
Aritméticas y
Geométricas
II
La introducción de los logaritmo
s Comunes
III
Logaritmos y Áreas
Hiperbólicas
IV
Cálculos logarítmicos
deNewton
V
Series de Mercatorpara los
Logaritmos
VI
Napier´s Wonderful Logarithms
LOS MARAVILLOSOS LOGARITMOS DE
NAPIER
La motivación original
La urgente necesidad, por alguna herramienta que pudiera acortar el trabajo de multiplicaciones y divisiones tediosas con muchos decimales, se cumplió a través de la invención de los logaritmos de Napier y otros alrededor del siglo XVII. , Michael Stifel (con cuyo trabajo de Napier es probable que se haya familiarizado) estableció de lado a lado las series aritmética y geométrica.
Motivación Original
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 4 8 16 32 64 128 256
Veamos que corresponde a . Aunque la falta de notación exponencial impidió a Stifel escribir:
853 256328
5353 222
Era necesario que la razón común entre los términos sucesivos de la serie geométrica sea cercana a la unidad, a fin de que las diferencias entre los términos sucesivos sigan siendo pequeñas.
Razón usada por Napier en la serie geométrica
Primer término de la serie geométrica
La primera Tabla de Napier consiste en los primeros 101 términos de la sucesión
710199999990 ,
1070a
10021010110 77 ,… ,,, n=n
Él obtuvo cada término de la anterior por una sencilla substracción, así como sigue.
10021010110 77 ,… ,,, n=n
Primera Tabla
10000000.0000000
-1.0000000
9999999.0000000
-0.9999999
9999998.0000001
Continuó hasta
9999900.0004950
Por lo tanto vamos a escribir (el logaritmo Naperiano de ), si :
xNy logx
yx 77 10110
010log 7 N
77 10110 y
x 7101
yy
xx
Nota: Los logaritmos naperianos vs logaritmos naturales. La frecuente designación de los logaritmos naturales como “logaritmos Naperianos” es inapropiada.
Primera Tabla
Además si entonces
Note que:
Si se tiene una progresión geométrica entonces
es una progresión aritmética.
n ,x, ,xx
21
nx ,N, x,NxN logloglog 21
¿Por que Napier sólo calculó 101 términos en esta Tabla?
Primera Tabla
John Napier (1550-1617)
“El descubrimiento de un plano de toda la revelación de San Juan” (1593). Considerado como su más importante contribución.
Las primeras tablas de logaritmos de Napier aparecieron en 1614 en un pequeño libro titulado “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (La Descripción de las maravillosas leyes de los logaritmos).
“Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio” (La Construcción de las maravillosas leyes de los logaritmos), los primeros escritos de los dos libros, pero publicados póstumamente en 1619
2
1101 7 n
2
1log101log 7 n
46,6931471101log
2log7
n
Use los logaritmos actuales para calcular el número exacto de pasos que podrían ser requeridos para llegar a 5.000.0000 de esta manera. Es decir, para que es ?
EJERCICIO 1
n
2
1101 7 n
Segunda Tabla
10000000.0000000
-100.0000000
9999900.0000000
-99.9999000
9999800.0010000
Continuó hasta
9995001.224804
5010 10110 57 ,, , r r
Napier calculó los primeros 51 términos de la serie geométrica con una razón común , es decir, los números:5101
Nota: (Napier erróneamente tenia 9995001.222927 para el
último término)
Primera columna
Segunda columna
Columna 69
10000000,0000 9900000,0000 . . . 5048858,89009995000,0000 9895050,0000 . . . 5046334,46059990002,5000 9890102,4750 . . . 5043811,2932
9900473,5780 9801468,8423 . . . 4998609,4034
117
100
11
2000
1110
qp
La cual tenia 21 filas y 69 columnas y que construyo a partir de la siguiente progresión geométrica.
Tercera Tabla
Los logaritmos en la Tercera Tabla podrían ser aproximados por interpolación lineal. Por tanto el logaritmo del elemento en la p-sima fila y q-sima columna es
Por lo que basta calcular los logaritmos de 9995000 y 99000000. He aquí el propósito de la primera y segunda tabla.
9900000log19995000log1 NqNp
Tercera Tabla
RECORDAR LA NOTACIÓN: Por lo tanto vamos a escribir (el logaritmo Naperiano de x ), si :
yx 77 10110
xNy log
Extrapolación Lineal
Por semejanza de triángulos tengo que:
Luego
Asumiendo
Se realizaran extrapolaciones en las dos primeras tablas para las entradas en la tercera tabla.
10
1
0
)()(
xx
xf
xx
xf
)()( 110
0 xfxx
xxxf
xNxf log)(
Tercera Tabla
Tercera TablaExtrapolando linealmente el último elemento de la Primera Tabla, obtenemos
,
10000000.0000000-1.0000000
9999999.0000000-0.9999999
9999998.0000001Continuó hasta
9999900.0004950
)()( 110
0 xfxx
xxxf
xNxf log)(
70 10x
9999900x
000495.99999001 x 100)( 1 xf
?)( xf
100000495.999990010
9999900109999900log
7
7
N
0004951009999900log .N
Primera Tabla
10000000.0000000-100.0000000
9999900.0000000-99.9999000
9999800.0010000Continuó hasta
9995001.224804
Segunda Tabla
Tercera Tabla
10000000.0000000-100.0000000
9999900.0000000-99.9999000
9999800.0010000Continuó hasta
9995001.224804Igualmente extrapolando el último término de la Segunda Tabla obtenemos :
02475500022.9995001log .N
2450650019995000log .N
0004951009999900log .N )000495100(5022.9995001log .N
)02475.5000(22.999500110
9995000109995000log
7
7
N
Segunda Tabla
Tenemos dos valores:
y
Queremos, saber:
Siendo
)( 11 xfy )( 22 xfy
)(xfy
21 xxx
Interpolación Lineal
Tercera Tabla
Interpolación Lineal
Tercera Tabla
Para ello nos basamos en la semejanza de triángulos: yBAD Δ CAE Δ
BD
CE
AB
AC CE
AC
ABBD
)()(
)()( 12
12
11 yy
xx
xxyy
11212
1 )()(
)(yyy
xx
xxy
Interpolación Lineal
Tercera Tabla
)()]()([),( 11212
121 xfxfxf
xx
xxxxxf
11212
1 )()(
)(yyy
xx
xxy
)( 11 xfy
)( 22 xfy )(xfy
)()()(
)(),( 112
12121 xx
xx
xfxfxfxxxf
Del último término en la primera columna de la Tercera Tabla obtenemos por lo tanto
Ahora
Primera columna Segunda columna Columna 6910000000,0000 9900000,0000 . . . 5048858,89009995000,0000 9895050,0000 . . . 5046334,46059990002,5000 9890102,4750 . . . 5043811,2932
9900473,5780 9801468,8423 . . . 4998609,4034
9.100024245.500120578.9900473log N
15.105023
25.50019.100024
9995.058.9900473log34.9895523log
NN
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9900000logN
)()()(
)(),( 112
12121 xx
xx
xfxfxfxxxf
578.99004731 x
34.98955232 x
9900000x
)(xf
9.100024log)( 11 xNxf
xNxf log)(
15.105026log)( 22 xNxf
)(loglog
loglog 112
121 xx
xx
xNxNxNxN
Tercera Tabla
)578.99004739900000(578.990047334.9895523
9.100002415.1050269.100024log
xN
36.100503log xN9900000logN
Ahora podemos rellenar los logaritmos de los términos restantes de la Tercera Tabla utilizando.
Para los últimos términos en la 69 ava columna obtenemos
Por interpolación lineal entre esos dos últimos logaritmos da
Actualmente
14.692925236.10050368245.50011996.5001109log N
38.693425336.10050368245.50012040.4998609log N
9900000log19995000log1 NqNp
12.69314725000000log N
81.69314715000000log N
Así nuestros cálculos basados en la interpolación lineal son correctos a siete cifras significativas. Si la razón de dos números es 2, entonces la diferencia de sus logaritmos es 6931472.
LA CURIOSA DEFINICIÓN DE NAPIER
La definición actual de logaritmo de Napier fue basada sobre consideraciones del movimiento continuo de puntos a lo largo de una recta, sin duda porque concepciones intuitivas de movimiento físico proveen (y más en esa época) la única base utilizable para consideraciones cuantitativas de variables continuas.
Po O
Lo
P
L
x
yLOS
MARAVILLO
SOS LOGARITM
OS DE NAPIER
CAPÍTULO 6
I Parte
En la notación del cálculo, el movimiento del punto P es descrito por la ecuación diferencial ,
cuya solución es
El movimiento del punto L es por lo tanto dado por
Si escribimos para el logaritmo naperiano de
Entonces
xdt
dx 7100 x
710loglog txx
t710
log
xty
777 10
log1010
Nogxy
xNogx
77 10
log10
x
aumentadisminuye
Po O
Lo
P
L
x
y
John Napier (1550-1617)
“El descubrimiento de un plano de toda la revelación de San Juan” (1593). Considerado como su más importante contribución.
Las primeras tablas de logaritmos de Napier aparecieron en 1614 en un pequeño libro titulado “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (La Descripción de las maravillosas leyes de los logaritmos).
“Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio” (La Construcción de las maravillosas leyes de los logaritmos), los primeros escritos de los dos libros, pero publicados póstumamente en 1619
EJERCICIO 3
Use que y las leyes de los logaritmos
Para probar que:
77 10log10 NogyNogx
77 10log10 NogyNogxNogxy
yxxyNogxy
1log10
10log10
10log10 7
77
77
777777
7 10log1010log101
log1010
log10 yx
777
7 10log1010
log10 y
Nogx
xNogx
77 10
log10
yxxy logloglog xaxa loglog
(i)
John Napier (1550-1617)
“El descubrimiento de un plano de toda la revelación de San Juan” (1593). Considerado como su más importante contribución.
Las primeras tablas de logaritmos de Napier aparecieron en 1614 en un pequeño libro titulado “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (La Descripción de las maravillosas leyes de los logaritmos).
“Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio” (La Construcción de las maravillosas leyes de los logaritmos), los primeros escritos de los dos libros, pero publicados póstumamente en 1619
EJERCICIO 3
Probar
77 10log10)1( aaNogxNogxa
xax
Nogxa
a log1010log1010
log10 7777
7
7777777 10log1010log10log1010log10 aaxa
xaa
7777 10
log1010log10)1(
aNogxa 77 10log10)1((ii)
John Napier (1550-1617)
“El descubrimiento de un plano de toda la revelación de San Juan” (1593). Considerado como su más importante contribución.
Las primeras tablas de logaritmos de Napier aparecieron en 1614 en un pequeño libro titulado “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (La Descripción de las maravillosas leyes de los logaritmos).
“Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio” (La Construcción de las maravillosas leyes de los logaritmos), los primeros escritos de los dos libros, pero publicados póstumamente en 1619
EJERCICIO 3
Probar
77 10log10 NogyNogx
77 10log10 NogyNogxy
xNog
yxyxy
xNog log10
10log10
10log10 7
77
77
)10log1010log10log10( 77777 yNogx
(iii)
En sucesivos intervalos de tiempo de longitud 10-7, comenzando en t=0, el punto L con velocidad constante 107 se mueve una distancia 1 durante cada intervalo de tiempo, determinando los puntos L1, L2, L3,…, Ln con L0Ln=n.
Durante el primero de esos muy cortos intervalos de tiempo el punto P se mueve de P0 a P1 con una velocidad que está decreciendo pero casi con velocidad de 107, así y .
Durante el segundo intervalo de tiempo la velocidad de P es aproximadamente , así
110 PP 77711 10110110 OPx
77 10110
27777722 1011010110110 OPx
Po O
Lo L3
P1 P2 P3
L1 L2
Continuando de esta forma, encontramos que es aproximadamente , Asi el logaritmo de Napier para es:
Es decir, si , entonces
Si ahora escribimos entonces es la versión del logaritmo que denotamos por en la primera parte.
Por medio de aproximaciones ingeniosas Napier garantizo que sus interpolaciones fueran precisas (excepto del error mencionado previamente) de siete cifras significativas. Usando
y las series infinitas
nn OPx
n77 10110
nNogn 77 10110
nx 77 10110 nNogx
nogxN ~ogxN
~
xN log
xNogx
77 10
log10
32
1log32 xx
xx
n77 10110
yx 77 10110
xNy logNota:
Veamos la relación entre y
si entonces
nx 77 10110
nNogx77
77
10110
10log10
ogxN~
00000005.1
ogxN~
2
101
7
3
10
2
101
147
n
77 101log10 n
xNogx
77 10
log10
32
1log32 xx
xx
nogxN ~xN log
Demostración: Sea , entonces
EJERCICIO 4
Si y .Por lo tanto y , muestre que
Donde
mx 77 10110 ny 77 10110
mogxN ~nogyN ~
QogyNogxNogxyN ~~~
77 10101 Q
2
101
7
c ogxNcNogx~
ogxyNcNogxy~
ogxyNcNogNogyNogx~
1
ogxyNNogc
Nogyc
Nogxc
~1
111
Nota:
QogN 1~
Jobst Bürgi
Jost Bürgi (28 de febrero de 1552, Lichtensteig, Suiza - 31 de enero de 1632, Kassel, Hesse-Kassel) fue un relojero y matemático suizo. Él es algunas veces acreditado como el inventor de los Logaritmos (publicados en 1620), de todas formas el crédito más comúnmente va a John Napier quien publicó su trabajo más temprano.
LOS
MARAVILLOSOS
LOGARITMOS DE
NAPIER
CAPÍTULO 6
II Parte
Progresiones Aritméticas y Geométricas
1b
7101 r
710a
Para Napier:
Para Jost Bürgi :
10b
4101 r
810a
Progresión Aritmética
Progresión Geométrica
3
23
2
nm
n
m
arbnm
arnb
armb
arb
arb
arb
n)101(10
)101(10
)101(10
)101(10
77
377
277
77
n
3
2
1Tabla de Napier
Tabla de Bürgi
n
10
310
210
110
n)101(10
)101(10
)101(10
)101(10
48
348
248
48
10)101( 027.234
410nBogxnx )101( 4, si
Bürgi continuo con su tabla de 23.027 entradas porque
Por medio de un apropiado cambio del punto decimal en la tabla de Napier o en la
tabla de Bürgi podemos aproximarnos a los logaritmos naturales (base e). Por ejemplo, escribamos
n
x
)101(
)101(
)101(
4
24
4
4
4
4
10
102
101
n
Bogx
410nm Si entonces:
mmnx44 1041044 )101()101()101(
xmBogx 4104 )101(log
xelog
Veamos que con la tabla de Bϋrgi podemos aproximarnos a los Logaritmos Naturales (base e)
Notae 718.2)101(
4104
410nBogxnx )101( 4
mx
410)4101(
EJERCICIO 6
Veamos que el logaritmo Neperiano de x es en esencia el logaritmo de x en base e1
710nm
mmnx77 1071077 )101()101()101(
710nNogxnx )101( 7,Si
710nNogx
e136787.0)101(7107
xx e1)101(loglog 7107
m
EJERCICIO 7
Los logaritmos de Bürgi también cumplen las leyes de los logaritmos
BogyBogxnmnmBogxy 444 101010)(
nx )101( 4my )101( 4
Tenemos que:
410nBogx410mBogy
nmxy )101( 4 410)( nmBogxy
Luego,
Por lo tanto BogyBogxBogxy
BogyBogxBogxy aBogxxBog a )(
EJERCICIO 7
nx )101( 4
Tenemos que:
410nBogx
aBogxxBog a )(
444 10...1010 nnn
Por lo tanto:
aBogxna )10( 4
)))...()((()( xxxBogxBog a
BogxBogxBogx ...
a-veces
a-veces
a-veces
Introducción a los logaritmos comunes
101
1
NogNog
NogxNogLogx
LogxnxLog n )10(
Los logaritmos de números que difieren sólo por la colocación del punto decimal tienen logaritmos que se diferencian por un entero (ver ejercicio 8)
30103.2200
30103.120
30103.02
Log
Log
Log
1)10(;0)1( LogLogLuego es obvio que:
Por ejemploLOS
MARAVILLOSOS
LOGARITMOS DE
NAPIER
CAPÍTULO 6
III Parte
Use y
para mostrar que
Demostración: luego
EJERCICIO 8
1NogNogyNogxNogxy 01
1
NogNog
NogxNogLogx
yxxy logloglog
1NogNogyNogxNogxy
1NogNogyNogxNogxy
NogyNogNogxNogNogxyNog 111
101
1
101
1
101
1
NogNog
NogyNog
NogNog
NogxNog
NogNog
NogxyNog
yxxy logloglog
542
1Log
542/1)10(
Briggs Uso un método diferente a la regla de transformación para calcular la tabla
Por repetidas aplicaciones de la ley de logaritmos, construyó una tabla de logaritmos de números muy cercanos entre sí, la primera tabla de “logaritmos comunes”.
Continuó hasta el 54-avo término:
10
16228.310 2/1
77828.110 4/1
33352.110 8/1
15478.110 16/1
x
0000.1
5000.0
2500.0
1250.0
0625.0
Logx
Si es un intervalo cerrado en el eje positivo, denotado por El área de la región bajo la hipérbola en dicho intervalo, luego lo que Gregorio San Vicente descubrió podría enunciarse de la siguiente manera. Si , entonces
baA , ba,
1xy
0t
Logaritmos y Áreas hiperbólicas
batbta AA ,,
n
i iba
n
i i nx
abA
nx
ab
1 1,
1
bxxxxxa nii ...... 110Veamos porque esto es verdad, Sea:
Dividimos el intervalo En n sub-intervalos y sobre estos se construyen rectángulos como se indica en la figura; el i-ésimo sub-intervalo tiene base y alturas y por lo tanto n
ab )( ix/1
1/1 ix
ba,
tbtxtxtxtxta nii ...... 10Ahora los puntos
n
i itbta
n
i i nx
abA
nx
ab
1 1,
1
Dividimos el intervalo En n sub-intervalos y sobre estos se construyen rectángulos con base y alturas y Por lo tanto:
tbta,
n
tatb
1/1 itxitx/1
EJERCICIO
9
Probar por el método de Compresión de Arquímedes que:
batbta AA ,,
Método de Arquímedes
Si y
Dado
Para un n suficientemente grande.
nn USL nn UCL
0
nn LU
n
n
i itbta
n
i in U
nx
abA
nx
abL
1 1,
1
n
n
i iba
n
i in U
nx
abA
nx
abL
1 1,
1
EJERCICIO
9
(i)
Seabatbtabatbta AAAA ,,,,
Tomando n suficientemente grande tal que
batbtann AALU ,,
Comobanban ALAL ,,
Entonces Contradicción.tbtan AU ,
n
n
i itbta
n
i in U
nx
abA
nx
abL
1 1,
1
EJERCICIO
9
(ii)
Sea 0,,,, tbtababatbta AAAA
Tomando n suficientemente grande tal que
tbtabann AALU ,,
Como banban AUAU ,,
Entonces Contradicción.tbtan AL ,
n
n
i itbta
n
i in U
nx
abA
nx
abL
1 1,
1
batbtann AAUL ,,
batbta AA ,,
)(xL1,
,1
x
x
A
A
Si
Si 10
1
x
x
xyxx AA ,,1 ),1()( xyAxyL
yx AA ,1,1
)()()( yLxLxyL
usando
Por ejemplo si x e y son ambos mayores que 1, entonces:
A.A. Sarasa notó la propiedad aditiva que implicaba
batbta AA ,,
batbta AA ,,
Entonces satisface la ley de los logaritmos)(xL
EJERCICIO 10
Establezca la ecuación en los casos)()()( yLxLxyL
10 yx yx 10y
Demostración: para el primer caso
1,,1,)( yyxyxy AAAxyL )()(1,1, yLxLAA yx
para el segundo caso
si
si
1xy
xy1
)()( ,1,1, xyxxxy AAAxyL )()(,11, yLxLAA yx
yxyyxy AAAxyL ,,1,1)( )()(,11, yLxLAA yx
EJERCICIO 11
Si es una progresión geométrica, aplicar la ecuación
Para demostrar que es una progresión aritmética.
naaa 211
)(xL1,
,1
x
x
A
A
Si
Si 10
1
x
x
)()()(0 21 naLaLaL
)(
)(
)(
0
,1
22,1
11,1
1,1
nna
a
a
aLA
aLA
aLA
A
)()()(0 21 naLaLaL
xh
hh L 1lim 10
)( xhk
0)1( LPorque
hxLhxL
hxL )()(0lim)('
)1(lim 01
xh
hx
hx L
)1(lim 10
1 kLkkx
kLkL
kx)1()1(
01 lim
x
L )1('
Donde:
La función de área hiperbólica L(x) se parece a el logaritmo entonces es natural preguntarse cual es su relación con Log x.
Queda únicamente calcular el solo valor
h
A
h
hLL h
hh)1(,1
00 lim)1(
lim)1('
De la derivada de , consultando la gráfica vemos que:
Nota: xAxL ,1)(
si 1x
)1('L
L
hAh
hh
)1(,11
11
1 )1(,1
h
A
hh
Ya que y tienen la misma derivada , así como el mismo valor en , se tiene por calculo elemental que
Tomando el límite como , es claro que ,
xxL 1)('
1)1(' L0h
)(xL xlog x/10)1log()1( L 1x
xxL log)(
11
1
1
)1(,1
)1(,1
h
A
h
hAh
h
h
h
Entonces:
Recordemos que:
xLxL )1(')('
EJERCICIO 12
Imite el calculo de para demostrar que la derivada de log xes:
)(! xL
x
exD
loglog donde
k
kke 1
0)1(lim
Solución
h
xhxxD
h
log)log(limlog
0
)1log(1
lim0 x
h
hh
)1log(lim
10 x
h
h
x
x h
hx
h x
h
x)1log(lim
10
hx
h x
h
x)]1limlog[(
10
ex
log1
x
elog
John Napier (1550-1617)
“El descubrimiento de un plano de toda la revelación de San Juan” (1593). Considerado como su más importante contribución.
Las primeras tablas de logaritmos de Napier aparecieron en 1614 en un pequeño libro titulado “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (La Descripción de las maravillosas leyes de los logaritmos).
“Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio” (La Construcción de las maravillosas leyes de los logaritmos), los primeros escritos de los dos libros, pero publicados póstumamente en 1619
Los Cálculos Logarítmicos de Newton
La primera aplicación de los cálculos sistemáticos de los logaritmos como áreas hiperbólicas se llevaron a cabo por Newton a mediados de 1960.El comienza con la hipérbola:
xy
1
1 )1( x
Y calcula el área
Situada bajo la hipérbola y en el Intervalo
)1( xA
x,0
LOS
MARAVILLOSOS
LOGARITMOS DE
NAPIER
CAPÍTULO 6
VI Parte
...11
1 32
xxxx
y
Escribiendo
Se integra término a término para obtener,
...432
)1(432
xxx
xxA
Por supuesto , el logaritmo natural de .
)1log()1( xxA x1
Tomando en
Él calculó A(0.8), A(0.9), A(1.1), A(1.2) y señalo que:
Y el afirma que yAxAyxA 1111
yAxAy
xA
111
1Leyes de los Logaritmos
NEWTON CALCULA UNA PEQUEÑA TABLA PARA LOS LOGARITMOS DE NUMEROS ENTEROS
2010 .,.x
9.08.0
2.12.12
8.0
22.13
8.0
225
1.11011
5210
1010100
...432
)1(432
xxx
xxA
Asi el podía obtener , , , , , por el solo hecho se sumar y restar.
)2(A )3(A )5(A )11(A)10(A )100(A
)9.0()8.0()2.1(2)2( AAAA
Luego sustituyo en
Él calculó esto le permitió calcular los logaritmos de 7, 13, 17 por que:
Así,
020010 .,.x ...432
)1(432
xxx
xxA
2
98.01007
)2()98.0()100(2
1)7( AAAA
)98.0(A )02.1(A )999.0(A )001.1(A
117
001.1100013
6
02.110017
9.08.0
2.12.12
Newton calcula de dos maneras diferentes Primero mediante la sustitución en
y segundo al señalar la factorización
El encuentra (con evidente placer) que los resultados concuerdan con más de 50 decimales
)9984.0(A
0016.0x
...432
)1(432
xxx
xxA
5
8
10
13329984.0
)10(5)13()3()2(8)9984.0( AAAAA
John Napier (1550-1617)Serie de Mercator para
el Logaritmo
LOS
MARAVILLOSOS
LOGARITMOS DE
NAPIER
CAPÍTULO 6
VII Parte
EJERCICIO 13
(a) Exprese el logaritmo de 37 en términos de los de 3,10, y 0,999
(b) Exprese el logaritmo de 31 en términos de los de 2,10, y 0,992
3
3
3
10999,037
5
3
2
10992,031
¿ Como usted calcula el logaritmo de 0,992?
)008,01()992.0( AA
...4
)008,0(
3
)008,0(
2
)008,0()008,0(
432
John Napier (1550-1617)
“El descubrimiento de un plano de toda la revelación de San Juan” (1593). Considerado como su más importante contribución.
Las primeras tablas de logaritmos de Napier aparecieron en 1614 en un pequeño libro titulado “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (La Descripción de las maravillosas leyes de los logaritmos).
“Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio” (La Construcción de las maravillosas leyes de los logaritmos), los primeros escritos de los dos libros, pero publicados póstumamente en 1619
Serie de Mercator para los Logaritmos
El Logarithmotechnia de Nicolás Mercator(1620-1687) se publicó en 1668. El enfoque intuitivo de Mercator se proponía crear 10 millones de medias geométricas (el las llamo ratiunculae) entre 1 y 10.LOS
MARAVILLO
SOS LOGARITM
OS DE NAPIER
CAPÍTULO 6
VII Parte
015603.1010965774.9 462461 gg
106868.461 g
7.216596868.461
107
00216606.0005.110 Log
005.110Log
512256 10 gg
Para dar una idea del enfoque de Mercator, el empieza calculando de la siguiente manera:
1. Sucesivamente eleva al cuadrado y encuentra que
2. El luego lo reduce a
3. Interpola y obtiene que
Por lo que el número ratiunculae entre 1 y 1.005 es
Y el logaritmo común de 1.005 es 0.00216597
Este valor actualmente es
El logaritmo del número es entonces vecesel número ratiunculae entre 1y
710
x
)10,1(x
John Napier (1550-1617)Serie de Mercator para
el Logaritmo
El Logarithmotechnia de Nicolás Mercator se publico en 1668.
LOS
MARAVILLOSOS
LOGARITMOS DE
NAPIER
CAPÍTULO 6
VII Parte
EJERCICIO 15
Elevando al cuadrado sucesivamente en una calculadora de bolsillo, se obtiene las siguientes potencias de 005.1g
A continuación calcula
04070705.1
02015050.1
01002500.1
00500000.1
8
4
2
g
g
g
g
89345904.1
37603017.1
17304313.1
08307115.1
128
64
32
16
g
g
g
g
00024224.2005.1
99029078.1138139
28128138
gg
gggg
297565824.138 g
00216606.0005.110 Log
301030.0005.197565824.1382 1010 LogLog
Y entonces interpola entre estos dos valores obteniendo
Finalmente usa el valor corregido
calculado por Mercator se obtiene:
00024224.2005.1
99029078.1138139
28128138
gg
gggg
...432
)1log(432
xxx
xx
xy 11
...11
1 32
xxxx
y
Mercator encuentra su famosa serie ( al parecer utilizada anteriormente por Newton, como hemos visto).
Para el área bajo la hipérbola sobre el intervalo de 0 a x
El comienza por calcular para una larga división de serie geométrica.
Mercator solo alude brevemente detalles sobre como obtuvo la serie geométrica, una exposición mas clara fue presentada por Wallis en su revisión de la Logarithmotechnia publicado en las Philosophical Transactions en 1668.
ter
hnhh 11
1,...,
21
1,
1
1,1
Vamos a dividir el intervalo en n subintervalos iguales, cada uno de longitud
y a construir rectángulos circunscritos y estos subintervalos con alturas:n
xh
],0[ x
hnhh 11
1,...,
21
1,
1
1,1
1
1 1
n
j jh
hhA
00
)2()1()1(k
kk
k
kk hhhhh
0
)1()1(...k
kk hnh
Agrupando términos con igual potencia de h, obtenemos:
Expandiendo cada una de esas alturas en una serie geométrica, encontramos que el área deseada
...11
1 32
xxxx
y
2222 )1(...)2( hnhhh
...,)1(1
11
1
n
i
kk
kk i
n
x...
1
1
23
31
12
2
n
i
n
i
in
xi
n
xx
...)1(...211 1 kkkkk nh
2223 )1(...21 nh )1(...212 nhx
...)1(...)2()1( kkkkk hnhhh
hnhhhnhA )1(...2
Sustituyendo nxh
n
...432
432
xxx
xA
Ahora en su arithmetica infinitorum de 1656, Wallis había mostrado (por analogía con cálculos explícitos para k≤10) que
1
1lim
1
kn
ik
k
n(n términos en el numerador)
Tomando el límite término a término cuando de la última serie anterior, obtenemos por tanto la serie de Mercator
Wallis menciono que x<1 es necesario para la convergencia
...1
1
23
31
12
2
n
i
n
i
in
xi
n
xx ...,)1(
1
11
1
n
i
kk
kk i
n
x
Como consecuencia del trabajo de Gregorio San Vicente y Sarasa que parece haber sido generalmente conocida en la década de 1660 se da que:
El área de un segmento bajo la hipérbola es proporcional al logaritmo de la razón de las ordenadas en los extremos del segmento.
xy 1
1
212 logloglog
x
xxx
2
1
1
1
log
x
x
2
1logy
y
En una nota de Mercator mismo en Philosophical Transactions de 1668, dice los logaritmos determinados por segmentos de la hipérbola se conocen como Logaritmos Naturales.
Mercator suministro el factor 0.43429( ) para transformar los logaritmos naturales en logaritmos comunes.
101
eLog
e
x
e
xxe ln
10ln
10ln
ln
ln
lnlog
)10)(log(log10 ex
xx ee
log10log
1log10
John Napier (1550-1617)Serie de Mercator para
el Logaritmo
LOS
MARAVILLOSOS
LOGARITMOS DE
NAPIER
CAPÍTULO 6
VII Parte
EJERCICIO 17
Si y son dos funciones logaritmo que tienen la propiedad que
Entonces probar que las funciones y son proporcionales, es decir:
1L 2L
)()( yLxL ii siyx
1L 2L
)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
yL
yL
xL
xL
)()( 11 yLxL Dem!
)()( 22 yLxL
)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
yL
yL
xL
xL
)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
yL
yL
xL
xL
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