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NAPIER´S WONDERFUL LOGARITHMS Los maravillosos logaritmos de Napier Historia e Epistemol ogía de las Matemátic as CAPÍTUL O 6 CINDY NATHALIA MORGADO HERNÁNDEZ VLADIMIR ANGULO CASTILLO JUAN GABRIEL SANDOVAL ARIAS
72

Los Maravillosos Logaritmos

Jun 27, 2015

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Page 1: Los Maravillosos Logaritmos

NAPIER´S WONDERFUL LOGARITHMS

Los maravillosos logaritmos de Napier

Historia e Epistemología de las Matemáticas

CAPÍTULO 6

CINDY NATHALIA MORGADO HERNÁNDEZVLADIMIR ANGULO CASTILLO

JUAN GABRIEL SANDOVAL ARIAS

Page 2: Los Maravillosos Logaritmos

John Napier (1550-1617)

“El descubrimiento de un plano de toda la revelación de San Juan” (1593). Considerado como su más importante contribución.

Las primeras tablas de logaritmos de Napier aparecieron en 1614 en un pequeño libro titulado “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (La Descripción de las maravillosas leyes de los logaritmos).

“Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio” (La Construcción de las maravillosas leyes de los logaritmos), los primeros escritos de los dos libros, pero publicados póstumamente en 1619

John Napier (1550-1617)

Barón de Merchiston, fue un matemático escocés del siglo XVII, cuyas obras más importantes fueron:

Descubrimientos de todos los secretos del Apocalipsis de San Juan.

“Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (La Descripción de las maravillosos logaritmos canónicos)

“Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio” (La Construcción de las maravillosos logaritmos canónicos),

LOS

MARAVILLOSOS

LOGARITMOS DE

NAPIER

CAPÍTULO 6

Page 3: Los Maravillosos Logaritmos

La curiosa

Definición de Napier

I

Progresiones

Aritméticas y

Geométricas

II

La introducción de los logaritmo

s Comunes

III

Logaritmos y Áreas

Hiperbólicas

IV

Cálculos logarítmicos

deNewton

V

Series de Mercatorpara los

Logaritmos

VI

Napier´s Wonderful Logarithms

LOS MARAVILLOSOS LOGARITMOS DE

NAPIER

La motivación original

Page 4: Los Maravillosos Logaritmos

La urgente necesidad, por alguna herramienta que pudiera acortar el trabajo de multiplicaciones y divisiones tediosas con muchos decimales, se cumplió a través de la invención de los logaritmos de Napier y otros alrededor del siglo XVII. , Michael Stifel (con cuyo trabajo de Napier es probable que se haya familiarizado) estableció de lado a lado las series aritmética y geométrica.

Motivación Original

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 4 8 16 32 64 128 256

Veamos que corresponde a . Aunque la falta de notación exponencial impidió a Stifel escribir:

853 256328

5353 222

Page 5: Los Maravillosos Logaritmos

Era necesario que la razón común entre los términos sucesivos de la serie geométrica sea cercana a la unidad, a fin de que las diferencias entre los términos sucesivos sigan siendo pequeñas.

Razón usada por Napier en la serie geométrica

Primer término de la serie geométrica

La primera Tabla de Napier consiste en los primeros 101 términos de la sucesión

710199999990 ,

1070a

10021010110 77 ,… ,,, n=n

Page 6: Los Maravillosos Logaritmos

Él obtuvo cada término de la anterior por una sencilla substracción, así como sigue.

10021010110 77 ,… ,,, n=n

Primera Tabla

10000000.0000000

-1.0000000

9999999.0000000

-0.9999999

9999998.0000001

Continuó hasta

9999900.0004950

Page 7: Los Maravillosos Logaritmos

Por lo tanto vamos a escribir (el logaritmo Naperiano de ), si :

xNy logx

yx 77 10110

010log 7 N

77 10110 y

x 7101

yy

xx

Nota: Los logaritmos naperianos vs logaritmos naturales. La frecuente designación de los logaritmos naturales como “logaritmos Naperianos” es inapropiada.

Primera Tabla

Además si entonces

Note que:

Page 8: Los Maravillosos Logaritmos

Si se tiene una progresión geométrica entonces

es una progresión aritmética.

n ,x, ,xx

21

nx ,N, x,NxN logloglog 21

¿Por que Napier sólo calculó 101 términos en esta Tabla?

Primera Tabla

Page 9: Los Maravillosos Logaritmos

John Napier (1550-1617)

“El descubrimiento de un plano de toda la revelación de San Juan” (1593). Considerado como su más importante contribución.

Las primeras tablas de logaritmos de Napier aparecieron en 1614 en un pequeño libro titulado “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (La Descripción de las maravillosas leyes de los logaritmos).

“Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio” (La Construcción de las maravillosas leyes de los logaritmos), los primeros escritos de los dos libros, pero publicados póstumamente en 1619

2

1101 7 n

2

1log101log 7 n

46,6931471101log

2log7

n

Use los logaritmos actuales para calcular el número exacto de pasos que podrían ser requeridos para llegar a 5.000.0000 de esta manera. Es decir, para que es ?

EJERCICIO 1

n

2

1101 7 n

Page 10: Los Maravillosos Logaritmos

Segunda Tabla

10000000.0000000

-100.0000000

9999900.0000000

-99.9999000

9999800.0010000

Continuó hasta

9995001.224804

5010 10110 57 ,, , r r

Napier calculó los primeros 51 términos de la serie geométrica con una razón común , es decir, los números:5101

Nota: (Napier erróneamente tenia 9995001.222927 para el

último término)

Page 11: Los Maravillosos Logaritmos

Primera columna

Segunda columna

Columna 69

10000000,0000 9900000,0000 . . . 5048858,89009995000,0000 9895050,0000 . . . 5046334,46059990002,5000 9890102,4750 . . . 5043811,2932

9900473,5780 9801468,8423 . . . 4998609,4034

117

100

11

2000

1110

qp

La cual tenia 21 filas y 69 columnas y que construyo a partir de la siguiente progresión geométrica.

Tercera Tabla

Page 12: Los Maravillosos Logaritmos

Los logaritmos en la Tercera Tabla podrían ser aproximados por interpolación lineal. Por tanto el logaritmo del elemento en la p-sima fila y q-sima columna es

Por lo que basta calcular los logaritmos de 9995000 y 99000000. He aquí el propósito de la primera y segunda tabla.

9900000log19995000log1 NqNp

Tercera Tabla

RECORDAR LA NOTACIÓN: Por lo tanto vamos a escribir (el logaritmo Naperiano de x ), si :

yx 77 10110

xNy log

Page 13: Los Maravillosos Logaritmos

Extrapolación Lineal

Por semejanza de triángulos tengo que:

Luego

Asumiendo

Se realizaran extrapolaciones en las dos primeras tablas para las entradas en la tercera tabla.

10

1

0

)()(

xx

xf

xx

xf

)()( 110

0 xfxx

xxxf

xNxf log)(

Tercera Tabla

Page 14: Los Maravillosos Logaritmos

Tercera TablaExtrapolando linealmente el último elemento de la Primera Tabla, obtenemos

,

10000000.0000000-1.0000000

9999999.0000000-0.9999999

9999998.0000001Continuó hasta

9999900.0004950

)()( 110

0 xfxx

xxxf

xNxf log)(

70 10x

9999900x

000495.99999001 x 100)( 1 xf

?)( xf

100000495.999990010

9999900109999900log

7

7

N

0004951009999900log .N

Primera Tabla

10000000.0000000-100.0000000

9999900.0000000-99.9999000

9999800.0010000Continuó hasta

9995001.224804

Segunda Tabla

Page 15: Los Maravillosos Logaritmos

Tercera Tabla

10000000.0000000-100.0000000

9999900.0000000-99.9999000

9999800.0010000Continuó hasta

9995001.224804Igualmente extrapolando el último término de la Segunda Tabla obtenemos :

02475500022.9995001log .N

2450650019995000log .N

0004951009999900log .N )000495100(5022.9995001log .N

)02475.5000(22.999500110

9995000109995000log

7

7

N

Segunda Tabla

Page 16: Los Maravillosos Logaritmos

Tenemos dos valores:

y

Queremos, saber:

Siendo

)( 11 xfy )( 22 xfy

)(xfy

21 xxx

Interpolación Lineal

Tercera Tabla

Page 17: Los Maravillosos Logaritmos

Interpolación Lineal

Tercera Tabla

Para ello nos basamos en la semejanza de triángulos: yBAD Δ CAE Δ

BD

CE

AB

AC CE

AC

ABBD

)()(

)()( 12

12

11 yy

xx

xxyy

11212

1 )()(

)(yyy

xx

xxy

Page 18: Los Maravillosos Logaritmos

Interpolación Lineal

Tercera Tabla

)()]()([),( 11212

121 xfxfxf

xx

xxxxxf

11212

1 )()(

)(yyy

xx

xxy

)( 11 xfy

)( 22 xfy )(xfy

)()()(

)(),( 112

12121 xx

xx

xfxfxfxxxf

Page 19: Los Maravillosos Logaritmos

Del último término en la primera columna de la Tercera Tabla obtenemos por lo tanto

Ahora

Primera columna Segunda columna Columna 6910000000,0000 9900000,0000 . . . 5048858,89009995000,0000 9895050,0000 . . . 5046334,46059990002,5000 9890102,4750 . . . 5043811,2932

9900473,5780 9801468,8423 . . . 4998609,4034

9.100024245.500120578.9900473log N

15.105023

25.50019.100024

9995.058.9900473log34.9895523log

NN

.

.

.

.

.

.

.

.

.

9900000logN

Page 20: Los Maravillosos Logaritmos

)()()(

)(),( 112

12121 xx

xx

xfxfxfxxxf

578.99004731 x

34.98955232 x

9900000x

)(xf

9.100024log)( 11 xNxf

xNxf log)(

15.105026log)( 22 xNxf

)(loglog

loglog 112

121 xx

xx

xNxNxNxN

Tercera Tabla

)578.99004739900000(578.990047334.9895523

9.100002415.1050269.100024log

xN

36.100503log xN9900000logN

Page 21: Los Maravillosos Logaritmos

Ahora podemos rellenar los logaritmos de los términos restantes de la Tercera Tabla utilizando.

Para los últimos términos en la 69 ava columna obtenemos

Por interpolación lineal entre esos dos últimos logaritmos da

Actualmente

14.692925236.10050368245.50011996.5001109log N

38.693425336.10050368245.50012040.4998609log N

9900000log19995000log1 NqNp

12.69314725000000log N

81.69314715000000log N

Así nuestros cálculos basados en la interpolación lineal son correctos a siete cifras significativas. Si la razón de dos números es 2, entonces la diferencia de sus logaritmos es 6931472.

Page 22: Los Maravillosos Logaritmos

LA CURIOSA DEFINICIÓN DE NAPIER

La definición actual de logaritmo de Napier fue basada sobre consideraciones del movimiento continuo de puntos a lo largo de una recta, sin duda porque concepciones intuitivas de movimiento físico proveen (y más en esa época) la única base utilizable para consideraciones cuantitativas de variables continuas.

Po O

Lo

P

L

x

yLOS

MARAVILLO

SOS LOGARITM

OS DE NAPIER

CAPÍTULO 6

I Parte

Page 23: Los Maravillosos Logaritmos

En la notación del cálculo, el movimiento del punto P es descrito por la ecuación diferencial ,

cuya solución es

El movimiento del punto L es por lo tanto dado por

Si escribimos para el logaritmo naperiano de

Entonces

xdt

dx 7100 x

710loglog txx

t710

log

xty

777 10

log1010

Nogxy

xNogx

77 10

log10

x

aumentadisminuye

Po O

Lo

P

L

x

y

Page 24: Los Maravillosos Logaritmos

John Napier (1550-1617)

“El descubrimiento de un plano de toda la revelación de San Juan” (1593). Considerado como su más importante contribución.

Las primeras tablas de logaritmos de Napier aparecieron en 1614 en un pequeño libro titulado “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (La Descripción de las maravillosas leyes de los logaritmos).

“Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio” (La Construcción de las maravillosas leyes de los logaritmos), los primeros escritos de los dos libros, pero publicados póstumamente en 1619

EJERCICIO 3

Use que y las leyes de los logaritmos

Para probar que:

77 10log10 NogyNogx

77 10log10 NogyNogxNogxy

yxxyNogxy

1log10

10log10

10log10 7

77

77

777777

7 10log1010log101

log1010

log10 yx

777

7 10log1010

log10 y

Nogx

xNogx

77 10

log10

yxxy logloglog xaxa loglog

(i)

Page 25: Los Maravillosos Logaritmos

John Napier (1550-1617)

“El descubrimiento de un plano de toda la revelación de San Juan” (1593). Considerado como su más importante contribución.

Las primeras tablas de logaritmos de Napier aparecieron en 1614 en un pequeño libro titulado “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (La Descripción de las maravillosas leyes de los logaritmos).

“Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio” (La Construcción de las maravillosas leyes de los logaritmos), los primeros escritos de los dos libros, pero publicados póstumamente en 1619

EJERCICIO 3

Probar

77 10log10)1( aaNogxNogxa

xax

Nogxa

a log1010log1010

log10 7777

7

7777777 10log1010log10log1010log10 aaxa

xaa

7777 10

log1010log10)1(

aNogxa 77 10log10)1((ii)

Page 26: Los Maravillosos Logaritmos

John Napier (1550-1617)

“El descubrimiento de un plano de toda la revelación de San Juan” (1593). Considerado como su más importante contribución.

Las primeras tablas de logaritmos de Napier aparecieron en 1614 en un pequeño libro titulado “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (La Descripción de las maravillosas leyes de los logaritmos).

“Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio” (La Construcción de las maravillosas leyes de los logaritmos), los primeros escritos de los dos libros, pero publicados póstumamente en 1619

EJERCICIO 3

Probar

77 10log10 NogyNogx

77 10log10 NogyNogxy

xNog

yxyxy

xNog log10

10log10

10log10 7

77

77

)10log1010log10log10( 77777 yNogx

(iii)

Page 27: Los Maravillosos Logaritmos

En sucesivos intervalos de tiempo de longitud 10-7, comenzando en t=0, el punto L con velocidad constante 107 se mueve una distancia 1 durante cada intervalo de tiempo, determinando los puntos L1, L2, L3,…, Ln con L0Ln=n.

Durante el primero de esos muy cortos intervalos de tiempo el punto P se mueve de P0 a P1 con una velocidad que está decreciendo pero casi con velocidad de 107, así y .

Durante el segundo intervalo de tiempo la velocidad de P es aproximadamente , así

110 PP 77711 10110110 OPx

77 10110

27777722 1011010110110 OPx

Po O

Lo L3

P1 P2 P3

L1 L2

Page 28: Los Maravillosos Logaritmos

Continuando de esta forma, encontramos que es aproximadamente , Asi el logaritmo de Napier para es:

Es decir, si , entonces

Si ahora escribimos entonces es la versión del logaritmo que denotamos por en la primera parte.

Por medio de aproximaciones ingeniosas Napier garantizo que sus interpolaciones fueran precisas (excepto del error mencionado previamente) de siete cifras significativas. Usando

y las series infinitas

nn OPx

n77 10110

nNogn 77 10110

nx 77 10110 nNogx

nogxN ~ogxN

~

xN log

xNogx

77 10

log10

32

1log32 xx

xx

n77 10110

yx 77 10110

xNy logNota:

Page 29: Los Maravillosos Logaritmos

Veamos la relación entre y

si entonces

nx 77 10110

nNogx77

77

10110

10log10

ogxN~

00000005.1

ogxN~

2

101

7

3

10

2

101

147

n

77 101log10 n

xNogx

77 10

log10

32

1log32 xx

xx

nogxN ~xN log

Page 30: Los Maravillosos Logaritmos

Demostración: Sea , entonces

EJERCICIO 4

Si y .Por lo tanto y , muestre que

Donde

mx 77 10110 ny 77 10110

mogxN ~nogyN ~

QogyNogxNogxyN ~~~

77 10101 Q

2

101

7

c ogxNcNogx~

ogxyNcNogxy~

ogxyNcNogNogyNogx~

1

ogxyNNogc

Nogyc

Nogxc

~1

111

Nota:

QogN 1~

Page 31: Los Maravillosos Logaritmos

Jobst Bürgi

Jost Bürgi (28 de febrero de 1552, Lichtensteig, Suiza - 31 de enero de 1632, Kassel, Hesse-Kassel) fue un relojero y matemático suizo. Él es algunas veces acreditado como el inventor de los Logaritmos (publicados en 1620), de todas formas el crédito más comúnmente va a John Napier quien publicó su trabajo más temprano.

LOS

MARAVILLOSOS

LOGARITMOS DE

NAPIER

CAPÍTULO 6

II Parte

Page 32: Los Maravillosos Logaritmos

Progresiones Aritméticas y Geométricas

1b

7101 r

710a

Para Napier:

Para Jost Bürgi :

10b

4101 r

810a

Progresión Aritmética

Progresión Geométrica

3

23

2

nm

n

m

arbnm

arnb

armb

arb

arb

arb

Page 33: Los Maravillosos Logaritmos

n)101(10

)101(10

)101(10

)101(10

77

377

277

77

n

3

2

1Tabla de Napier

Tabla de Bürgi

n

10

310

210

110

n)101(10

)101(10

)101(10

)101(10

48

348

248

48

Page 34: Los Maravillosos Logaritmos

10)101( 027.234

410nBogxnx )101( 4, si

Bürgi continuo con su tabla de 23.027 entradas porque

Por medio de un apropiado cambio del punto decimal en la tabla de Napier o en la

tabla de Bürgi podemos aproximarnos a los logaritmos naturales (base e). Por ejemplo, escribamos

n

x

)101(

)101(

)101(

4

24

4

4

4

4

10

102

101

n

Bogx

Page 35: Los Maravillosos Logaritmos

410nm Si entonces:

mmnx44 1041044 )101()101()101(

xmBogx 4104 )101(log

xelog

Veamos que con la tabla de Bϋrgi podemos aproximarnos a los Logaritmos Naturales (base e)

Notae 718.2)101(

4104

410nBogxnx )101( 4

mx

410)4101(

Page 36: Los Maravillosos Logaritmos

EJERCICIO 6

Veamos que el logaritmo Neperiano de x es en esencia el logaritmo de x en base e1

710nm

mmnx77 1071077 )101()101()101(

710nNogxnx )101( 7,Si

710nNogx

e136787.0)101(7107

xx e1)101(loglog 7107

m

Page 37: Los Maravillosos Logaritmos

EJERCICIO 7

Los logaritmos de Bürgi también cumplen las leyes de los logaritmos

BogyBogxnmnmBogxy 444 101010)(

nx )101( 4my )101( 4

Tenemos que:

410nBogx410mBogy

nmxy )101( 4 410)( nmBogxy

Luego,

Por lo tanto BogyBogxBogxy

BogyBogxBogxy aBogxxBog a )(

Page 38: Los Maravillosos Logaritmos

EJERCICIO 7

nx )101( 4

Tenemos que:

410nBogx

aBogxxBog a )(

444 10...1010 nnn

Por lo tanto:

aBogxna )10( 4

)))...()((()( xxxBogxBog a

BogxBogxBogx ...

a-veces

a-veces

a-veces

Page 39: Los Maravillosos Logaritmos

Introducción a los logaritmos comunes

101

1

NogNog

NogxNogLogx

LogxnxLog n )10(

Los logaritmos de números que difieren sólo por la colocación del punto decimal tienen logaritmos que se diferencian por un entero (ver ejercicio 8)

30103.2200

30103.120

30103.02

Log

Log

Log

1)10(;0)1( LogLogLuego es obvio que:

Por ejemploLOS

MARAVILLOSOS

LOGARITMOS DE

NAPIER

CAPÍTULO 6

III Parte

Page 40: Los Maravillosos Logaritmos

Use y

para mostrar que

Demostración: luego

EJERCICIO 8

1NogNogyNogxNogxy 01

1

NogNog

NogxNogLogx

yxxy logloglog

1NogNogyNogxNogxy

1NogNogyNogxNogxy

NogyNogNogxNogNogxyNog 111

101

1

101

1

101

1

NogNog

NogyNog

NogNog

NogxNog

NogNog

NogxyNog

yxxy logloglog

Page 41: Los Maravillosos Logaritmos

542

1Log

542/1)10(

Briggs Uso un método diferente a la regla de transformación para calcular la tabla

Por repetidas aplicaciones de la ley de logaritmos, construyó una tabla de logaritmos de números muy cercanos entre sí, la primera tabla de “logaritmos comunes”.

Continuó hasta el 54-avo término:

10

16228.310 2/1

77828.110 4/1

33352.110 8/1

15478.110 16/1

x

0000.1

5000.0

2500.0

1250.0

0625.0

Logx

Page 42: Los Maravillosos Logaritmos

Si es un intervalo cerrado en el eje positivo, denotado por El área de la región bajo la hipérbola en dicho intervalo, luego lo que Gregorio San Vicente descubrió podría enunciarse de la siguiente manera. Si , entonces

baA , ba,

1xy

0t

Logaritmos y Áreas hiperbólicas

batbta AA ,,

Page 43: Los Maravillosos Logaritmos

n

i iba

n

i i nx

abA

nx

ab

1 1,

1

bxxxxxa nii ...... 110Veamos porque esto es verdad, Sea:

Dividimos el intervalo En n sub-intervalos y sobre estos se construyen rectángulos como se indica en la figura; el i-ésimo sub-intervalo tiene base y alturas y por lo tanto n

ab )( ix/1

1/1 ix

ba,

Page 44: Los Maravillosos Logaritmos

tbtxtxtxtxta nii ...... 10Ahora los puntos

n

i itbta

n

i i nx

abA

nx

ab

1 1,

1

Dividimos el intervalo En n sub-intervalos y sobre estos se construyen rectángulos con base y alturas y Por lo tanto:

tbta,

n

tatb

1/1 itxitx/1

Page 45: Los Maravillosos Logaritmos

EJERCICIO

9

Probar por el método de Compresión de Arquímedes que:

batbta AA ,,

Método de Arquímedes

Si y

Dado

Para un n suficientemente grande.

nn USL nn UCL

0

nn LU

n

n

i itbta

n

i in U

nx

abA

nx

abL

1 1,

1

n

n

i iba

n

i in U

nx

abA

nx

abL

1 1,

1

Page 46: Los Maravillosos Logaritmos

EJERCICIO

9

(i)

Seabatbtabatbta AAAA ,,,,

Tomando n suficientemente grande tal que

batbtann AALU ,,

Comobanban ALAL ,,

Entonces Contradicción.tbtan AU ,

n

n

i itbta

n

i in U

nx

abA

nx

abL

1 1,

1

Page 47: Los Maravillosos Logaritmos

EJERCICIO

9

(ii)

Sea 0,,,, tbtababatbta AAAA

Tomando n suficientemente grande tal que

tbtabann AALU ,,

Como banban AUAU ,,

Entonces Contradicción.tbtan AL ,

n

n

i itbta

n

i in U

nx

abA

nx

abL

1 1,

1

batbtann AAUL ,,

batbta AA ,,

Page 48: Los Maravillosos Logaritmos

)(xL1,

,1

x

x

A

A

Si

Si 10

1

x

x

xyxx AA ,,1 ),1()( xyAxyL

yx AA ,1,1

)()()( yLxLxyL

usando

Por ejemplo si x e y son ambos mayores que 1, entonces:

A.A. Sarasa notó la propiedad aditiva que implicaba

batbta AA ,,

batbta AA ,,

Entonces satisface la ley de los logaritmos)(xL

Page 49: Los Maravillosos Logaritmos

EJERCICIO 10

Establezca la ecuación en los casos)()()( yLxLxyL

10 yx yx 10y

Demostración: para el primer caso

1,,1,)( yyxyxy AAAxyL )()(1,1, yLxLAA yx

para el segundo caso

si

si

1xy

xy1

)()( ,1,1, xyxxxy AAAxyL )()(,11, yLxLAA yx

yxyyxy AAAxyL ,,1,1)( )()(,11, yLxLAA yx

Page 50: Los Maravillosos Logaritmos

EJERCICIO 11

Si es una progresión geométrica, aplicar la ecuación

Para demostrar que es una progresión aritmética.

naaa 211

)(xL1,

,1

x

x

A

A

Si

Si 10

1

x

x

)()()(0 21 naLaLaL

)(

)(

)(

0

,1

22,1

11,1

1,1

nna

a

a

aLA

aLA

aLA

A

)()()(0 21 naLaLaL

Page 51: Los Maravillosos Logaritmos

xh

hh L 1lim 10

)( xhk

0)1( LPorque

hxLhxL

hxL )()(0lim)('

)1(lim 01

xh

hx

hx L

)1(lim 10

1 kLkkx

kLkL

kx)1()1(

01 lim

x

L )1('

Donde:

La función de área hiperbólica L(x) se parece a el logaritmo entonces es natural preguntarse cual es su relación con Log x.

Page 52: Los Maravillosos Logaritmos

Queda únicamente calcular el solo valor

h

A

h

hLL h

hh)1(,1

00 lim)1(

lim)1('

De la derivada de , consultando la gráfica vemos que:

Nota: xAxL ,1)(

si 1x

)1('L

L

hAh

hh

)1(,11

11

1 )1(,1

h

A

hh

Page 53: Los Maravillosos Logaritmos

Ya que y tienen la misma derivada , así como el mismo valor en , se tiene por calculo elemental que

Tomando el límite como , es claro que ,

xxL 1)('

1)1(' L0h

)(xL xlog x/10)1log()1( L 1x

xxL log)(

11

1

1

)1(,1

)1(,1

h

A

h

hAh

h

h

h

Entonces:

Recordemos que:

xLxL )1(')('

Page 54: Los Maravillosos Logaritmos

EJERCICIO 12

Imite el calculo de para demostrar que la derivada de log xes:

)(! xL

x

exD

loglog donde

k

kke 1

0)1(lim

Solución

h

xhxxD

h

log)log(limlog

0

)1log(1

lim0 x

h

hh

)1log(lim

10 x

h

h

x

x h

hx

h x

h

x)1log(lim

10

hx

h x

h

x)]1limlog[(

10

ex

log1

x

elog

Page 55: Los Maravillosos Logaritmos

John Napier (1550-1617)

“El descubrimiento de un plano de toda la revelación de San Juan” (1593). Considerado como su más importante contribución.

Las primeras tablas de logaritmos de Napier aparecieron en 1614 en un pequeño libro titulado “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (La Descripción de las maravillosas leyes de los logaritmos).

“Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio” (La Construcción de las maravillosas leyes de los logaritmos), los primeros escritos de los dos libros, pero publicados póstumamente en 1619

Los Cálculos Logarítmicos de Newton

La primera aplicación de los cálculos sistemáticos de los logaritmos como áreas hiperbólicas se llevaron a cabo por Newton a mediados de 1960.El comienza con la hipérbola:

xy

1

1 )1( x

Y calcula el área

Situada bajo la hipérbola y en el Intervalo

)1( xA

x,0

LOS

MARAVILLOSOS

LOGARITMOS DE

NAPIER

CAPÍTULO 6

VI Parte

Page 56: Los Maravillosos Logaritmos

...11

1 32

xxxx

y

Escribiendo

Se integra término a término para obtener,

...432

)1(432

xxx

xxA

Por supuesto , el logaritmo natural de .

)1log()1( xxA x1

Page 57: Los Maravillosos Logaritmos

Tomando en

Él calculó A(0.8), A(0.9), A(1.1), A(1.2) y señalo que:

Y el afirma que yAxAyxA 1111

yAxAy

xA

111

1Leyes de los Logaritmos

NEWTON CALCULA UNA PEQUEÑA TABLA PARA LOS LOGARITMOS DE NUMEROS ENTEROS

2010 .,.x

9.08.0

2.12.12

8.0

22.13

8.0

225

1.11011

5210

1010100

...432

)1(432

xxx

xxA

Page 58: Los Maravillosos Logaritmos

Asi el podía obtener , , , , , por el solo hecho se sumar y restar.

)2(A )3(A )5(A )11(A)10(A )100(A

)9.0()8.0()2.1(2)2( AAAA

Luego sustituyo en

Él calculó esto le permitió calcular los logaritmos de 7, 13, 17 por que:

Así,

020010 .,.x ...432

)1(432

xxx

xxA

2

98.01007

)2()98.0()100(2

1)7( AAAA

)98.0(A )02.1(A )999.0(A )001.1(A

117

001.1100013

6

02.110017

9.08.0

2.12.12

Page 59: Los Maravillosos Logaritmos

Newton calcula de dos maneras diferentes Primero mediante la sustitución en

y segundo al señalar la factorización

El encuentra (con evidente placer) que los resultados concuerdan con más de 50 decimales

)9984.0(A

0016.0x

...432

)1(432

xxx

xxA

5

8

10

13329984.0

)10(5)13()3()2(8)9984.0( AAAAA

Page 60: Los Maravillosos Logaritmos

John Napier (1550-1617)Serie de Mercator para

el Logaritmo

LOS

MARAVILLOSOS

LOGARITMOS DE

NAPIER

CAPÍTULO 6

VII Parte

EJERCICIO 13

(a) Exprese el logaritmo de 37 en términos de los de 3,10, y 0,999

(b) Exprese el logaritmo de 31 en términos de los de 2,10, y 0,992

3

3

3

10999,037

5

3

2

10992,031

¿ Como usted calcula el logaritmo de 0,992?

)008,01()992.0( AA

...4

)008,0(

3

)008,0(

2

)008,0()008,0(

432

Page 61: Los Maravillosos Logaritmos

John Napier (1550-1617)

“El descubrimiento de un plano de toda la revelación de San Juan” (1593). Considerado como su más importante contribución.

Las primeras tablas de logaritmos de Napier aparecieron en 1614 en un pequeño libro titulado “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (La Descripción de las maravillosas leyes de los logaritmos).

“Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio” (La Construcción de las maravillosas leyes de los logaritmos), los primeros escritos de los dos libros, pero publicados póstumamente en 1619

Serie de Mercator para los Logaritmos

El Logarithmotechnia de Nicolás Mercator(1620-1687) se publicó en 1668. El enfoque intuitivo de Mercator se proponía crear 10 millones de medias geométricas (el las llamo ratiunculae) entre 1 y 10.LOS

MARAVILLO

SOS LOGARITM

OS DE NAPIER

CAPÍTULO 6

VII Parte

Page 62: Los Maravillosos Logaritmos

015603.1010965774.9 462461 gg

106868.461 g

7.216596868.461

107

00216606.0005.110 Log

005.110Log

512256 10 gg

Para dar una idea del enfoque de Mercator, el empieza calculando de la siguiente manera:

1. Sucesivamente eleva al cuadrado y encuentra que

2. El luego lo reduce a

3. Interpola y obtiene que

Por lo que el número ratiunculae entre 1 y 1.005 es

Y el logaritmo común de 1.005 es 0.00216597

Este valor actualmente es

El logaritmo del número es entonces vecesel número ratiunculae entre 1y

710

x

)10,1(x

Page 63: Los Maravillosos Logaritmos

John Napier (1550-1617)Serie de Mercator para

el Logaritmo

El Logarithmotechnia de Nicolás Mercator se publico en 1668.

LOS

MARAVILLOSOS

LOGARITMOS DE

NAPIER

CAPÍTULO 6

VII Parte

EJERCICIO 15

Elevando al cuadrado sucesivamente en una calculadora de bolsillo, se obtiene las siguientes potencias de 005.1g

A continuación calcula

04070705.1

02015050.1

01002500.1

00500000.1

8

4

2

g

g

g

g

89345904.1

37603017.1

17304313.1

08307115.1

128

64

32

16

g

g

g

g

00024224.2005.1

99029078.1138139

28128138

gg

gggg

Page 64: Los Maravillosos Logaritmos

297565824.138 g

00216606.0005.110 Log

301030.0005.197565824.1382 1010 LogLog

Y entonces interpola entre estos dos valores obteniendo

Finalmente usa el valor corregido

calculado por Mercator se obtiene:

00024224.2005.1

99029078.1138139

28128138

gg

gggg

Page 65: Los Maravillosos Logaritmos

...432

)1log(432

xxx

xx

xy 11

...11

1 32

xxxx

y

Mercator encuentra su famosa serie ( al parecer utilizada anteriormente por Newton, como hemos visto).

Para el área bajo la hipérbola sobre el intervalo de 0 a x

El comienza por calcular para una larga división de serie geométrica.

Mercator solo alude brevemente detalles sobre como obtuvo la serie geométrica, una exposición mas clara fue presentada por Wallis en su revisión de la Logarithmotechnia publicado en las Philosophical Transactions en 1668.

Page 66: Los Maravillosos Logaritmos

ter

hnhh 11

1,...,

21

1,

1

1,1

Vamos a dividir el intervalo en n subintervalos iguales, cada uno de longitud

y a construir rectángulos circunscritos y estos subintervalos con alturas:n

xh

],0[ x

Page 67: Los Maravillosos Logaritmos

hnhh 11

1,...,

21

1,

1

1,1

1

1 1

n

j jh

hhA

00

)2()1()1(k

kk

k

kk hhhhh

0

)1()1(...k

kk hnh

Agrupando términos con igual potencia de h, obtenemos:

Expandiendo cada una de esas alturas en una serie geométrica, encontramos que el área deseada

...11

1 32

xxxx

y

Page 68: Los Maravillosos Logaritmos

2222 )1(...)2( hnhhh

...,)1(1

11

1

n

i

kk

kk i

n

x...

1

1

23

31

12

2

n

i

n

i

in

xi

n

xx

...)1(...211 1 kkkkk nh

2223 )1(...21 nh )1(...212 nhx

...)1(...)2()1( kkkkk hnhhh

hnhhhnhA )1(...2

Sustituyendo nxh

Page 69: Los Maravillosos Logaritmos

n

...432

432

xxx

xA

Ahora en su arithmetica infinitorum de 1656, Wallis había mostrado (por analogía con cálculos explícitos para k≤10) que

1

1lim

1

kn

ik

k

n(n términos en el numerador)

Tomando el límite término a término cuando de la última serie anterior, obtenemos por tanto la serie de Mercator

Wallis menciono que x<1 es necesario para la convergencia

...1

1

23

31

12

2

n

i

n

i

in

xi

n

xx ...,)1(

1

11

1

n

i

kk

kk i

n

x

Page 70: Los Maravillosos Logaritmos

Como consecuencia del trabajo de Gregorio San Vicente y Sarasa que parece haber sido generalmente conocida en la década de 1660 se da que:

El área de un segmento bajo la hipérbola es proporcional al logaritmo de la razón de las ordenadas en los extremos del segmento.

xy 1

1

212 logloglog

x

xxx

2

1

1

1

log

x

x

2

1logy

y

Page 71: Los Maravillosos Logaritmos

En una nota de Mercator mismo en Philosophical Transactions de 1668, dice los logaritmos determinados por segmentos de la hipérbola se conocen como Logaritmos Naturales.

Mercator suministro el factor 0.43429( ) para transformar los logaritmos naturales en logaritmos comunes.

101

eLog

e

x

e

xxe ln

10ln

10ln

ln

ln

lnlog

)10)(log(log10 ex

xx ee

log10log

1log10

Page 72: Los Maravillosos Logaritmos

John Napier (1550-1617)Serie de Mercator para

el Logaritmo

LOS

MARAVILLOSOS

LOGARITMOS DE

NAPIER

CAPÍTULO 6

VII Parte

EJERCICIO 17

Si y son dos funciones logaritmo que tienen la propiedad que

Entonces probar que las funciones y son proporcionales, es decir:

1L 2L

)()( yLxL ii siyx

1L 2L

)(

)(

)(

)(

2

1

2

1

yL

yL

xL

xL

)()( 11 yLxL Dem!

)()( 22 yLxL

)(

)(

)(

)(

2

1

2

1

yL

yL

xL

xL

)(

)(

)(

)(

2

1

2

1

yL

yL

xL

xL