Transcript
2
BAB I MEDAN LISTRIK STATIS
1.1 PENDAHULUAN
Sebutlah q1, q2,… sebagai muatan-muatan “sumber” dan
Q sebagai muatan test. Satuan muatan: coulomb (C)
Bagaimana menentukan gaya pada muatan Q ?
Pada umumnya muatan-muatan sumber dan muatan test bergerak. Lalubagaimana menentukan lintasan muatan test Q ?
3
Misalkan ..,........., 21 FFrr
adalah gaya-gaya oleh muatan-muatan sumber q1, q2, ……..pada muatan test, maka total gaya pada muatan test itu
.............21 ++= FFFrrr
+q
Muatan sumber
+Q
Muatan testrr
Fr
Besar gaya bergantung pada besarmuatan dan jarak
Arahnya bergantung jenis muatan.
+Q
rr Fr
-q
4
1.2 HUKUM COULOMB
Gaya pada muatan test Q oleh muatan sumber q sebanding denganmuatan-muatan dan berbanding terbalik kuadrat jarak.
rr eqQFo
ˆ4 2πε
=r
q Q Fr
rr Rr
rr
O
εo=8,85 x 10-12 C2/Nm2 adalah permittivitas ruang hampa
rR rrr−=r
re Vektor satuan searah rrryang besarnya
...........ˆ4
ˆ4
ˆ4
ˆ 321 +++=321 rrr 2
322
21 rrr eQqeQqeQqF
ooo πεπεπε
Untuk sejumlah muatan sumber:
newton
5
1.2 MEDAN LISTRIK
r
rr
rrr
eqEEQF
EQeqQeqQF
o
oo
ˆ4
;
ˆ4
ˆ4
ˆ
2
22
πε
πεπε
==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
rvr
r
Medan listrik dari satu muatan sumber q dititik sejauh
EQeqeqeqQ
eQqeQqeQqF
ooo
ooo
r=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+++=
+++=
..........ˆ4
ˆ4
ˆ4
..........ˆ4
ˆ4
ˆ4
ˆ
121
321
321
321
rrr
rrr
23
22
21
23
22
21
rrr
rrr
πεπεπε
πεπεπε
Untuk banyak muatan sumber:
r
Medan listrik dari sejumlah muatan sumber
Arah:
F//E jika Q positip
F><E jika Q negatip
6
∑=+++=i
o
i
ooo
eqeqeqeqREi321 rrrr 2
i23
22
21 rrrr ˆ
4........ˆ
4ˆ
4ˆ
4)( 121
πεπεπεπε
rr
Titik medan
qi
irr
Rr
irr
x y
z
Medan listrik bergantung pada posisi titikmedan R
newton/coulomb
7
Tentukan kuat medan di titik P (a) jika keduamuatan sejenis, (b) jika berbeda jenis.
Periksa jika z>>d/2.
a) Misalkan muatan-muatan itu positif
θπε
cos4
2 2roqE =
( )22 2/;cos dzz+== rrθ
( )[ ] 2/322 2/42
dz
qzEo +
=πε
Jika z>>d/2: 242
zqEoπε
=
d/2 d/2+q +q
z
P
E
θ
Contoh 1:
r r
8
d/2 d/2+q -q
z
P
b)
Eθ
;2/cos
cos4
2 2
rr
d
qEo
=
=
θ
θπε
( )22 2/dz +=r
( )[ ] 2/322 2/4
2/2dz
qdEo +
=πε
Jika z>>d/2: 34 zqdE
oπε=
qd disebut momen dipol
r r
9
Jika sumber merupakan muatan kontinu:
1. garis
2. Permukaan
3. volume
dxexEo
r2r ˆ)(4
1∫=λ
πε
r
λ(x)dx
∫=Ao
daerE r2r ˆ)(4
1 σπε
r
∫=Vo
dverE r2r ˆ)(4
1 ρπε
r
P
10
Tentukanlah medan listrik pada jarak z di atas titik tengah garis luruspanjangnya 2L dan rapat muatannya λ Periksa jika z>>L dan L>>z.
kdxEdo
ˆcos4
12 θλ
πε r=r
22;cos xzz+== rrθ
Contoh 2:
z
E
Jika z>>L: 2
24
1z
LEo
λπε
= sepertinya q=2λL
Jika L>>z:z
Eo
λπε
24
1=
11
1.3 FLUKS LISTRIK DAN HUKUM GAUSS
ro
erqE ˆ
41
2πε=
r
Garis medan dari suatu muatan positif
Garis medan dari dua buah muatanyang sama besar tapi berbeda jenis; dipol
Garis medan dari dua buah muatanyang sama besar sama jenis; l
newton/coulomb
12
∫=ΦS
E adE rr.
Fluks listrik= jumlah garis gaya melalui suatu permukaan
S
adr=vektor elemen luas tegak lurus padapermukaan S
Perkalian dot →proyeksi E pada garis normal
danad ˆ=r
=vektor satuan normal pada Sn
dan
Er
θ ∫∫∫ ===ΦSSS
E daEdanEadE θcosˆ..rrr
13
Fluks melalui permukaan tertutup
q
φθθπε
ddrnerqdanE r
S o
sinˆ.ˆ4
1ˆ. 22∫ ∫==Φ
r
bolaoo
r ne
3600;1800
ˆˆ
≤≤≤≤
=
φθ
Er
n
oSE
qdanEε
==Φ ∫ ˆ.r
• Dalam kenyataannya, bentuk permukaan tertutup takharus bola, bisa berbentuk apa saja asal tertutupakan memenuhi persamaan di atas.
• q tak harus muatan tunggal, tapi bisa jumlah muatanasal berada dalam permukaan tertutup.
φθθ ddrda sin2=
+q
Sembarang permukaantertutup
Nm2C-1
14
Hukum Gauss :
Fluks listrik melalui permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatandi dalam permukaan itu
oSE
QadEε
==Φ ∫rr
.
Teori Divergensi: ( )∫ ∫ ∇=S V
dvEadErrr
.. V=volume yang ditutupi permukaan S
( )
∫
∫ ∫=
∇==Φ
V
S VE
dvQ
dvEadE
ρ
rrr..
Hukum Gauss dalam bentuk diferensialo
Eερ
=∇r
.
Hukum Gauss dalam bentuk integral.
S disebut permukaan Gauss.
ρ rapat muatan
zk
yj
xi
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ ˆˆˆ
zE
yE
xEE zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=∇r
.Ingat:
15
Contoh 3:
Andaikan medan listrik ,ˆ3rekrE =
rdi dalam koordinat bola, k adalah konstanta.
a) Tentukan rapat muatan ρ,
b) Tentukan total muatan dalam bola berjari-jari R
( )2
242
322
5)(
5511.
rkr
krkrr
krrrr
E
oερ =
==×∂∂
=∇r
a)
∫ ∫∫
∫
==
==
π π
επφθθε
φθθρ
0
2
0
5
0
4
2
4sin5
sin;)(
Rkdddrrk
dddrrdvdvrQ
o
R
o
Vb)
z
x yφ
θ
r
o
Eερ
=∇r
. ( ) φθ φθθ
θθE
rE
rEr
rrE r ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=∇sin1sin
sin11. 2
2
r
Koordinat bola
16
Contoh 4:
Sebuah silinder panjang memiliki rapat muatan sebanding dengan jarak darisumbunya: ρ=ks, k konstanta. Tentukan medan listrik di dalam silinder.
Gambarkan permukaan Gauss berbentuk silindersepusat dengan silinder asli.
Permukaan Gauss
rl
3
0
2
00
2
32
.
klsdzddrrkdzddrrrkdvQ
QadE
ls
V
oSE
πφφρ
επ
====
==Φ
∫∫∫∫∫
∫rr
23
31
322
2.
ksEklsslE
slEadE
oo
S
επ
επ
π
=→=
=∫rr
tegak lurus permukaanEr
17
Contoh 5:
Suatu bidang datar luas sekali, memiliki muatan himogen dengan kerapatanσ. Tentukan medan listrik yang ditimbulkannya.
Gambarkan permukaan Gauss berbentukkotak yang memotong bidang datar.
PermukaanGauss
AQQadES o
σε
==∫ ;1. rr
A=luas permukaan sisi atas kotak;
Medan E tegak lurus permukaan kotak arah ke atas dan ke bawah.
Jadi, ∫ = EAadE 2. rr
oo
EAEAεσ
εσ
22 =→= Arah ke atas atau ke bawah
18
Contoh 6:
Dua plat sejajar masing-masing dengan rapat muatan +σ dan -σ.
Plat positif menghasilkan medan arah keluar plat:o
Eεσ
2=+
Plat negatif menghasilkan medan arah menuju plat:o
Eεσ
2=−
Medan di daerah (i) dan (iii): 0=E
Medan di daerah (ii) atau di antara kedua plat:o
Eεσ
=
19
b
ro
erqE ˆ
41
2πε=
r
a
Integaral E dari a ke b: ?.∫ =b
a
ldErr
Koordinat bola:
( ) ( ) φθ φθθ edredredrld r ˆsinˆˆ ++=r
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−==∫∫
bao
br
aro
b
arr
o
b
a rq
rq
rqdree
rqldE
πεπεπε 41
41ˆ.ˆ
41. 2
rr
ra
rb
Hasil integral tidak bergantung pada bentuk lintasan, tapi bergantungpada posisi titik awal dan posisi titik akhir.
1.4 SIFAT KONSERVATIF MEDAN LISTRIK
+q
20
04
1. =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=∫
aao rq
rqldE
πε
rr
+q
a
ra
Integral pada garis tertutup sama dengan nol. Jadi medan listrik bersifat konservatif.
Teori Stokes:
( ) danEldES
∫ ∫ ×∇= ˆ..rrr
Karena →=∫ 0. ldErr
S=luas bidang yang dilingkupi oleh kurvatertutup
0=×∇ Er Inilah curl dari medan listrik, ciri
medan konservatif
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂
∂+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂∂
=×∇y
Ex
Ek
xE
zEj
zE
yEiE xyzxyz ˆˆˆr
Kurva tertutup
Ingat:
yE
xE
xE
zE
zE
yEE xyzxyz
∂∂
−∂
∂
∂∂
=∂∂
∂
∂=
∂∂
→=×∇ ;;0r
b
21
Periksa apakah medan berikut konservatif atau tidak.
( )( )[ ]kyzjzxyiyEb
kxzjyzixyEaˆ2ˆ2ˆ)
ˆ3ˆ2ˆ)22 +++=
++=
α
αr
r
Contoh 7:
Konservatif jika:
0ˆˆˆ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂∂
=×∇y
Ex
Ek
xE
zEj
zE
yEiE xyzxyz
r
( ) ( ) ( )( ) fkonservatigayabukanˆ3ˆ2ˆ
00ˆ30ˆ20ˆ
0;33
0;22
,0)
kxzjyzixyE
xkzjyiE
yEz
xExzE
xE
yz
EyzE
xy
Ez
ExyEa
zzz
yyy
xxx
++=
≠−+−+−=×∇
=∂∂
=∂∂
→=
=∂
∂=
∂
∂→=
=∂∂
=∂∂
→=
α
ααα
αα
αα
αα
r
r
22
( )
( ) ( ) ( )( )[ ] fkonservatigayaˆ2ˆ2ˆ
022ˆ00ˆ22ˆ
2;02
2;22
2,0)
22
2
2
kyzjzxyiyE
yykjzziE
zy
Ex
EyzE
yx
Ez
zE
zxyE
yy
Ez
EyEb
zzz
yyy
xxx
+++=
=−+−+−=×∇
=∂∂
=∂∂
→=
=∂
∂=
∂
∂→+=
=∂∂
=∂∂
→=
α
αααα
αα
ααα
αα
r
r
23
BAB II POTENSIAL LISTRIK2.1 POTENSIAL LISTRIK
Tinjau muatan test +Q di dalam medan listrik E yang ditimbulkan muatan sumber +q. Gaya pada muatan
Karena E medan konservatif, maka gaya F juga konservatif.
Er
+q EQFrr
=
EqFrr
=
+QEnergi potensial +Q sejauh r dari sumber +q adalah usaha membawa muatan +Q darisuatu titik standar ke titik r untuk melawangaya listrik F.
ldFrEr
Op
rr.)( ∫−=
r
O adalah titik standar.
Potensial listrik di suatu titik=energi potensial per satuan muatan di titik itu.
ldEdQdE
rVr
O
p rr.)( ∫−==
Joule
volt=joule/coulomb =newton meter/coulomb
24
Beda potensial antara titik b dan titik a adalah V(b)-V(a):
∫
∫∫∫
∇=
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−
br
ar
br
ar
ar
O
br
O
ldV
ldEldEldEaVbV
r
rrrrrr
.
...)()(
→−= ∫ ldErVr
O
rr.)( VE −∇=
r
dzdVk
dydVj
dxdViV ˆˆˆ ++=∇ Gradient dari V
25
Contoh 8:Tentukanlah potensial di dalam dan di luar bola berjari-jari R, jika muatantersebar merata dipermukaanya. Gunakan titik di tak berhingga jauh sebagaireferensi.
( ) ( )drlde
edredredrld
r
r
=
++=
ˆ.ˆ
ˆsinˆˆ φθ φθθr
Misalkan total muatan permukaan bola adalah Q. Makadengan hukum Gauss diperoleh medan listrik:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥=
Rr
Rrer
QrE r
o
0
ˆ4)( 2πε
r
ldErVr
O
rr.)( ∫−=
R r
24 RQ
oπε
E
26
RQlddr
rQ
drr
QldErV
Rr
o
r
R
R
o
r
o
r
πεπε
πε
4.0'.
'1
4
'.'1
4ˆ.)(
:
2
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−=
−=−=
<
∫∫
∫∫
∞
∞∞
r
r
R r
RQ
oπε4
rQ
rQdr
rQrV
Rr
o
r
o
r
o πεπεπε 4'1
4'
'1
4)(
:
2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−=
≥
∞∞∫
V
28
Potensial oleh muatan garis:
Potensial oleh muatan permukaan:
Contoh 9:
Tentukan potensial oleh suatu bola yang bermuatan homogen pada kulitnya.
Tinjau titik pada sb-z sejah dari elemen luasberposisi polar (R,θ’)
r
29
Elemen luas di permukaan bola R2 sinθ dθ dφ
Di luar bola z>R:
Di dalam bola z<R:
RzzR −=− 2)(
zRzR −=− 2)(
30
di luar bola
di dalam bola
Contoh 10.
Tentukanlah potensial di titik P sejauh z dari titik tengahgaris yang panjangnya 2L dan rapat muatannya λ.
31
2.3 Persamaan Poisson dan Persamaan Laplace
Kita sudah mengetahui medan listrik sebagai gradien dari potensial: VE −∇=ˆDemikian juga Hukum Gauss dalam bentuk diferensial:
o
Eερ
=∇r
.
( ) →=∇−∇o
Vερ.Jadi:
o
Vερ
−=∇2 Ini disebut persamaanPoisson
Jika tidak ada muatan, atau ρ=0, maka peramaan Poisson berubah menjadi:
02 =∇ VIni disebut persamaanLaplace
Kita sudah mengenal juga sifat dari konservatif medan listrik: 0=×∇ Er
Maka: ( ) →=∇−×∇ 0V Sebenarnya, secara vektor selalu berlaku sifatcurl dari gradient=0: 0=∇×∇ f
32
Contoh 11: Persamaan Laplace dalam koordinat Cartesian
Pada bidang (x,y), potensial di y=0 adalah 100 volt, sedangkan di x=0, x=10 cm dan y=∞, potensial 0 volt. Tentukanlah potensial di daerah 0<x<10 cm , y>0
xV=100 volt
y
V=0 V=0
V=0
10 cm
00 2
2
2
22 =
∂∂
+∂∂
→=∇yV
xVV
Pemisahan variabel, misalkan V(x,y)=A(x) B(y)
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yBA
xAB
Bagi dengan AB: 0112
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yB
BxA
A
0;konstanta11 22
2
2
2
≥−==∂∂
−=∂∂ kk
yB
BxA
A
kyky eeBBkyBBk
yB
kxkxAAkxAAk
xA
−=→=−∂∂
→=∂∂
=→=+∂∂
→−=∂∂
atau0
cosatausin0
22
22
2
2
22
22
2
2
33
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
−
−
kxekxekxe
kxe
yxV
ky
ky
ky
ky
coscossin
sin
),(
Gunakan syarat batas untuk menentukan V(x,y) yang betul.
kxVxeVy ky
cos000,→=→=→=∞→
tak bisa dipakai.}kxeyxV ky sin),( −=Solusi sementara:
,....2,1,10
001sin010 ==→=→=→= nnkkVx π
)10/sin(),( 10/ xneyxV yn ππ−=
34
)10/sin(),( 10/ xneyxV yn ππ−=
1000 =→= Vy
Ini tak dapat dipenuhi oleh persamaan di atas. Jadi, harus diambil kombinasiliniernya:
)10/sin(),(1
10/ xnebyxVn
ynn ππ∑
∞
=
−=
1000 =→= VyDengan
100)10/sin()0,(1
== ∑∞
=
xnbxVn
n π
Tentukan bn
35
Deret Fourier untuk sinus:
[ ]
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−×=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== ∫∫
genapnutk0
ganjilnutk400
1)1(20010
cos1020
10sin100
102sin)(2
10
0
10
00
π
ππ
π
π
n
nxn
n
dxxndxkxxfL
b
n
L
n
[ ].......)10/2sin()10/sin(400
)10/sin(400),(
10/22
110/
10/
1
++=
=
−−
−∞
=∑
xexe
xnen
yxV
yy
yn
n
πππ
ππ
ππ
π Utk n ganjil
37
Contoh 12: Persamaan Laplace dalam koordinat silinder.
Suatu silinder berjari r=1 cm, memanjang pada sumbu-z. Potensial di dasarnyaV=100 volt; di dinding dan ujung lainnya (z→∞) V= 0 volt. Tentukanlah potensialdi dalam silinder.
xy
V=100 volt
V=00110
),,(
2
2
2
2
22 =
∂∂
+∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
→=∇
≡
zVV
rrVr
rrV
zrVV
θ
θ
Pemisahan variabel, misalkan V(r,θ,z)=R(r) Θ(θ)Z(z)
0112
2
2
2
2 =Θ+Θ
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Θ
dzZdR
dd
rRZ
drdRr
drd
rZ
θ
Bagi dengan RΘZ:
0112
2
2
2
2 =∂∂
+Θ
Θ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
zZZ
dd
rdrdRr
drd
Rr θTdk tercampur dg lainnya.
38
0022
22
2
2
≥⎪⎩
⎪⎨⎧
=→=−→=−
kee
ZZkdz
ZdkZdz
Zdkz
kz
01
011
222
2
22
2
2
=+∂Θ∂
Θ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=+∂Θ∂
Θ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
∴
rkrRr
rRr
krr
RrrRr
θ
θ
Sarat batas z→∞, V=0→ pilih kzeZ −=
Tdk tercampur dg lainnya.
⎩⎨⎧
=Θ→=Θ+∂Θ∂
→−=∂Θ∂
Θ θθ
θθ nn
nncossin
01 22
22
2
2
n=bil bulat
Kalau silinder diputar terhadap sb-z, tidak akan mengubah potensial; maka solusiini tak bergantung pada sudut θ, dan boleh diambil 10 =Θ→=n
Gunakan syarat batas untuk:⎩⎨⎧
=Θθθ
nn
cossin
39
( ) 0222 =−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
∴ RnrkrRr
rr
Ini adalah persamaan Bessel; solusinya adalah Jn(kr) dan Nn(kr). Karenadasar silinder di pusat koordinat, maka dipilih Jn(kr) sedangkan Nn(kr) takbisa dipakai karena titik pusatnya di ∞. Jadi
np
p
p
nkr
nppkrJrR
+∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++Γ+Γ−
== ∑2
1 2)1()1()1()()(
0222 =+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
∴ rknrRr
rRr
)!1()( −=Γ nn
0)(0atau01 0 =→==→= kJRVr
Misalkan harga k=km, m=1,2,3,….. 0)(0 =mkJ
Jadi, ada banyak solusi; oleh sebab itu V adalah superposisi:
40
Solusi: ∑∞
=
−=1
0 )(m
zmkmm erkJcV
Untuk z=0, V=100 100)(1
0 ==→ ∑∞
=mmm rkJcV
Kalikan dengan rJ0(kjr), j=1,2,3… lalu integral suku per suku antara 0 dan 1
drrkrJdrrkJrkrJc jmm
jj ∫∑ ∫ =∞
=
1
000
1
1
00 )(100)()(
[ ] drrkrJdrrkJrc jjj ∫∫ =1
00
1
0
20 )(100)(
Sifat ortogonal
41
Setiap harga j memberikan satu harga koefisien cj. Jadi j bolehdiganti dengan m.
[ ] ( )mm kJdrrkJr 212
11
0
20 )( =∫
[ ] [ ])(1)()()( 1010 rkrJkdrd
krkrJkxxJ
dxdxxJ mm
mmm =→=
)(1)(1)( 11
01
1
00 m
mm
mm kJ
krkrJ
kdrrkrJ ==∫
Sifat fungsi Bessel
( ))(
200)(100
11
212
1
mmmm
mmm kJk
ckJk
ckJ =→=
∑∑∞
=
−∞
=
− ==1 1
0
10 )(
)(200)(m
zmk
mm
m
m
zmkmm e
kJkrkJerkJcV
km diperoleh dari Jo(km)=0
J0 dan J1 dapat dilihat dalam tabel fungsi Bessel.
42
Contoh 13: Persamaan Laplace dalam koordinat bola
θ
r
φ
xy
z
Misalkan V tidak bergantung sudut azimut φ
Tidak tercampur
44
Solusi umum:
Ini masih memerlukan syarat batas untuk r dan θ.
Misalkan V(θ) tertentu di permukaan bola berlubang, berjari-jari R. Tentukanlah potensial dalam bola.
Untuk itu Bl = 0 untuk semua l. Jadi
)()(cos),( 00
θθθ VPRARVl
ll
l ==∑∞
=
Di r=R (kulit):
45
Sifat polinom Legendre:
θθθθπ
dPPRA ll
ll
l sin)(cos)(cos0 0
'∑ ∫∞
=
=
''1'2
2 ll RA
l +=
∫+
=π
θθθθ0
0 sin)(cos)(2
12 dPVR
lA lllJadi
47
r=R:
Kalikan dengan lalu diintegral
=
Jadi:
kRBRkB 24
314
10 ; −==
θθθθ cos4
3)(cos)(cos),( 2
2
121
00
rkR
rRkP
rBP
rBrV −=+=
48
Contoh 14: Suatu bola padat bermuatan homogen dengan rapat muatanuniform. Tentukanlah potensial di luar dan di dalam bola.
o
rdrdVr
drd
r ερ )(1 2
2 −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=∇ V2 R
Karena rapat muatan tidak bergantung sudut, maka potensial bersimetri bola:
Di luar bola ρ=0: rBArV
drdVr
drd
ro
oo +=→=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ )(01 2
2
Di dalam bola:o
iii
o
rrBArVr
drdVr
drd
ερ
ερ
6)(
222 −+=→−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
0, →∞→ oVr
rBrV o=)(0
sehingga A0=0Andaikan syarat batas:
o
Vερ
−=∇ 2Persamaan Poisson:
49
oii
rArVερ 2
)( −=
Di pusat bola r=0, sehingga harus berlaku Bi=0.
V(r) harus kontinu di kulit bola, Vi(R)=Vo(R)
o
oi
o
oi
RRBA
RBRA
ερ
ερ
66
22
+=→=−
( )o
oi
rRRBrV
ερ
6)(
22 −+=
Medan di sebelah dalam dan di sebelah luar permukaan bola harus sama:
oo
o
o
Rr
i
Rr
RBRRB
rV
rV
ερ
ερ
33
3
20 =→=→⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−==
( )o
io
orRrV
rRrV
ερ
ερ
63)(;
3)(
223 −==
Akhirnya:
rBrV o=)(0
0 R r
Vo(r)
Vi(r)
50
2.4 Metoda BayanganTinjau muatan +q di sumbu-z sejauh d dari plat logam yang dibumikan (V=0). Bagaimana menentukan potensial di atasplat. Potensial tak bisa ditentukan hanya dengan muatan q saja, tetapi juga dengan muatan negatif yang terinduksipada plat itu. Masalahnya, berapa besar dan agaimanadistribusi muatan terinduksi itu.
Yang jelas berlaku:
Secara matematik, persoalan di atas dipandang sebagai berikut. Lupakan plat, dan misalkan V=0 di z=0 dengan mengandaikan adamuatan -q di z=-d. Potensial di suatau titik adalah
z
d
-dz=0, V=0
2222,darijauhyangtitikdi0,0di0
dzyxqVzV
>>++→
==+q
-q
2222jika0,0di0
dzyxVzV
>>++→
==
51
Misalkan σ adalah rapat muatan induksi
Jadi, dengan metoda bayangan dapat ditentukan rapat muatan pada plat logam.
52
Suatu muatan q ditempatkan sejauh a dari pusat bola logam berjari-jari R yang dibumikan. Tentukan potensial di luar bola.
Sementara lupakan bola, dan misalkan ada muatan q’ sejauh b (<R) daripusat bola pada garis Oa, sedemikian sehingga V=0 di r=R (kulit bola).
Potensial dengan konfigurasi itu adalah
Agar V=0, misalkan q’= -αq
Contoh berikutnya 15:
53
Dengan rumus cosinus, maka
Agar V=0 jika r=R (dipermukaan bola).
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+−
−+=
θα
θπεθ
cos2cos241),(
2222 rbbrq
raarqrV
o
2
2222 cos2cos2
αθθ RbbRRaaR −+
=−+
qaRq
aR
aRb −=→== ';
2
α
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+−
−+=
θθπεθ
cos2/cos241),(
2222 raRraR
qraar
qrVo
54
Misalkan σ adalah rapat muatan induksi
Rro r
V
=∂∂
−= εσ
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
2/32
22
2
2/322
2
2/322
2
2/322
cos2/1
1/4
cos2/
4
cos2/
cos/cos2
cos4
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
−−=
−+
−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−+
−+
−−−=
∂∂
−===
θπ
θπ
θ
θθ
θπ
εσ
RaRa
RaRq
RaaRRRaq
raRraR
aRarraar
arqrV
RrRro
55
BAB III BAHAN DIELEKTRIK
3.1 Dipol ListrikPerbedaan bahan konduktor dan bahan dielektrik.
Konduktor adalah bahan (seperti logam) yang mengandung atom-atom denganelektron-elektron (satu atau dua elektron per atom) yang bebas bergerak jikadikenai oleh medan listruik.
Dalam dielektrik, elektron-elektro masih teriket dalam atom-atomnya, jikadikenai medan listrik hanya bisa bergeser sedikit, tetapi efek kumulatifnya akanmemberikan ciri kepada bahan dielektrik tersebut.
Dipol listrik terinduksiJika sebuah atom dikenai medan listrik, maka baik inti maupun elektronnyaakan merasakan medan itu. Inti terdorong searah medan dan elektro terdorongberlawanan arah medan. Jika medan tak terlalu besar ada keadaan setimbangantara gaya tarik menarik dan gaya dorong medan. Dalam keadaan setimbangitu, atom disebut terpolarisasi dan atom memiliki momen dipol yang arahnyasama dengan medan listrik. Momen dipole hasil induksi ini dirumuskan seperti:
Eprr α= α disebut polarizabilitas atomik
56
Polarizabiltas atomik untuk berbagai atom, α/4πεo(10-30m3)
Contoh 1:
Menurut model primitif, suatu atom mengandung inti bermuatan +q yang dikelilingi awan elektron homogen berbentuk bola dengan muatan –q . Misalkan jari-jari bola a. tentukanlah polarizabilitas atom.
Kehadiran medan listrik E, menyebabkan inti bergeser sedikit searah E, danawan elektron bergeser sedikit berlawanan arah E. Misalkan pada saatsetimbang pergeseran itu sejauh d dari pusat bola.
57
Pada titik itu, medan oleh awan elektron Ec sehingga E=Ec. Karena
341
aqdE
oc πε=
maka
341
aqdE
oπε=
Karena dipol listrik p=qd, maka Eap o34πε=
33
34;34 aa ooπννεπεα ===
Jadi, plarizabilitas atom adalah
volume atom
58
Pada molekul, polarisasi bisa lebih mudah dalam arah tertentu. Misalnyapada karbon dioksida, polarizabiliti 4,5 x10-40 C2m/N sepanjang sumbu-molekul tetapi hanya 2x10-40 C2m/N dalam arah tegak lurus sumbu-molekul.
Sumbu-molekul
Jika medan listrik berarah sembarang, maka polarisasi yang terinduksiadalah:
IIIIII EEprrr αα +=
Er
IIEr
IEr
Secara umum,
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
→=
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
z
y
x
E
EE
p
pp
Ep
ααα
ααα
ααα
αrtr
α = Tensor polarizabilitas.
59
+q
-q
dr
Dua muatan yang sama tapi berbenda tanda disebut dipol listrik.
=dr
Vektor jarak dari +q ke -q
dqprr
−= Vektor dipol listrik
Potensial oleh suatu dipol:
−+
−=s
qs
qVoo πεπε 44
+q-q
θ
r s+
s-
d
V
pr
Pengertian dipol
60
θθ cos)(;cos)( 22
1222
12 rddrsrddrs ++=−+= −+
Jika r>>d/2:
θθ
θθ
cos)/(1cos)/(1
cos)/(1cos)/(1
21
21
rdrdrs
rdrdrs
+=+=
−=−=
−
+
( )
θπε
θ
θπε
θπεθθ
θθπε
cos4
),(
cos4
cos/4]cos)/(1][cos)/(1[
cos)/(1cos)/(14
2
2
21
21
21
21
rprV
rqd
rdr
qrdrdrdrd
rqV
o
o
oo
=
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+−+
=
24ˆ.r
ep
o
r
πε
r
=
prθ
rre
V
61
Medan oleh dipol listrik
22 4cos
4ˆ.),(
rp
reprV
oo
r
πεθ
πεθ ==
r
0sin1
sin4
1
cos4
2
3
3
=∂∂
−=
=∂∂
−=
=∂∂
−=
φθ
θπεθ
θπε
φ
θ
Vr
E
rpV
rE
rp
rVE
o
or
( )θθθπε
θ eer
prE ro
ˆsinˆcos24
),( 3 +=r
prθ
r
x φ y
z
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−=−∇=φθθ φθV
reV
re
rVeVE r sin
1ˆ1ˆˆr
62
( )θθθπε
θ eer
prE ro
ˆsinˆcos24
),( 3 +=r
Jika θ=90oθπε
er
pEo
ˆ4 3=
r
pr r
Jika θ=0or
o
er
pE ˆ2 3πε
=r
Er
prr
Er
Jika θ=180or
o
er
pE ˆ2 3πε
=r
Er
pr
r
63
Di dalam medan listrik luar, suatu dipol mengalami momen gaya:
+q
-q
Od E
rFr
Fr
EqFEqFrrrr
−== −+ ;
EdqEqdEqd
FdFdNrrrrrr
rrrrr
×=−×−+×=
×−+×= −+
)()(
)(
21
21
21
21
Momen gaya terhadap titik O:
dqprr
= EpNrrr
×=
pr
Er
Karena medan luar dipol bergerak rotasi terhadap pusatnya; rotasi berhenti jika p sejajar E.
O
64
Contoh 2:
p1 p2r
Jika p1 dan p2 adalah dipol permanen yang terpisah oleh jarak r. Tentukanlahmomen gaya oleh p1 pada p2 dan sebaliknya.
Oleh dipol p1, medan di pusat dipol p2 adalah: 31
1 4 rpE
oπε
rr=
p1
p2r
1Er
Momen gaya oleh E1 (oleh p1) pada p2:
1231212 41 pp
rEpN
o
rrrrr×=×=
πε
Oleh dipol p2, medan di pusat dipol p1 adalah: 12321 21 pp
rN
o
rrr×=
πε
65
Energi dipol dalam medan listrikTinjau suatu medium dengan distribusi muatan ρ(r). Misalkan medium ituditempatkan dalam suatu potensial V(r). Energi medium itu adalah:
Er
pr θ
EpU dipol
rr.−=
∫= dvrVrU )()(ρ
Andaikan potensial V(r) berubah perlahan dalam medium sehinggadengan deret Taylor dapat dinyatakan:
.....)0(.)0()( +∇+= VrVrV r
......)0(
.....)()0(
....)0(.)()0()(
+−=
+−=
+∇+=
∫∫∫
EpqV
dvErrqV
dvVrrdvVrU
rr
rr
r
ρ
ρρ
Energi dipol dalam medan listrik:
66
( )
( )
[ ]
( )[ ]peepr
rE
epepepr
epepepr
eer
prE
rro
rro
rro
ro
rrr
r
−=
−−=
+−=
+=
ˆˆ.34
1),(
)ˆsinˆcos(ˆcos34
1
ˆsinˆcosˆcos34
1
ˆsinˆcos24
),(
3
3
3
3
πεθ
θθθπε
θθθπε
θθπε
θ
θ
θ
θ
θθθ epepp r ˆsinˆcos −=r
pr
θr
re
z
θe
Er
Energi dipol dalam medan dipol lain
1pr
2pr1ErJika E1 adalah medan oleh dipol p1, maka energi dipol p2
dalam medan E1:
( )[ ]
( )( )[ ]rro
rro
epepppr
peeppr
EpU
ˆ.ˆ.3.4
1
ˆˆ.3.4
1.
21123
11231221
rrrr
rrrrr
−=
−−=−=
πε
πε r
re
re
67
Polarisasi Listrik• Jika suatu bahan dielektrik nonpolar ditempatkan dalam medan listrik luar,
maka dalam bahan akan terinduksi dipol-dipol listrik.
• Jika bahan itu bersifat polar, di sana ada dipol-dipol permanen. Makamedan listrik luar akan menimbulkan momen gaya pada setiap dipol hinggaakhirnya dipol-dipol itu searah medan listrik.
• Kedua hal di atas menyebabkan bahan terpolarisasi; artinya dipol-dipolsearah dengan medan listrik luar.
E
Polarisasi:Pr
=momen dipol per satuan volume.
∫= dvPprr
68
3.2 Medan oleh Obyek terpolarisasi
Mialkan suatu obyek memiliki dipol-dipol terpolarisasi didalamnya. Misalkan P=dipol per satuan volume=polarisasi.
Untuk dipole tunggal, potensial yang ditimbulkanya:
22 4ˆ.cos
4 rep
rpV
o
r
o πεθ
πε
r
==
Tetapi: ∫= dvPprr dv
rerPV
Vol
r
o∫= 2
ˆ).(4
1r
πε
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∇=
rrer 1ˆ
2 dvr
rPVVolo∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∇=1).(
41 r
πε
( )Prr
Pr
Pr
rr
.1.1. ∇−∇=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∇
69
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∇−∇= ∫ ∫ dvP
rdv
rPV
Vol Volo
rr
.1.4
1πε
Dengan teorema divergen:
( )∫ ∫ ∇−=A Voloo
dvPr
darnPV
rr
.14
1ˆ.4
1πεπε
Potensial oleh suatupermukaan bermuatandengan rapat muatan:
Potensial oleh suatuvolume bermuatandengan rapat muatan:
nP ˆ.r
=σ Pr
.−∇=ρ
Pr
.−∇=ρP nP ˆ.
r=σ
=
70
Contoh 3:
Sebuah bola berjari R terpolarisasi uniform; tentukan potensial dan medanlistrik yang ditimbulkannya.
Rapat muatan permukaan: θσ cosˆ. PnPo ==r
z
Pr
R
θ n0=ρ karena P uniformRapatan muatan didalam bola:
Kontinuitas di r=R
1)
71
2)
Untuk konstant P, l berharga 1
)(coscos 1 θθσ PPPo ==
[ ]∫ ==π
εθθθ
ε 0
211 3
sin)(cos2 oo
PdPPA
31211 3
RPRABo
l
ε== +
top related