Linear Programming : Kendala Sama Dengan (=) & Lebih Besar Sama Dengan (≥) Serta Masalah Khusus Dalam Metode Simpleks

KENDALA BERBENTUK SAMA DENGAN (=) ,

LEBIH BESAR SAMA DENGAN (≥)&

MASALAH KHUSUSDALAM METODE SIMPLEKS

BOBBY SATRIA AJI

Sama Dengan (=)

2x1 + 4x2 = 20

Ditambah Variabel Basis Semu (Q) :

2x1 + 4x2 + Q = 20

Lebih Besar Sama Dengan (≥)

2x1 + 3x2 ≥ 30

Dikurangi Surplus Variable / - S :

2x1 + 3x2 - S = 30

Ditambah Variabel Basis Semu (Q) :

2x1 + 3x2 - S + Q = 30

Kurang Dari Sama Dengan (≤)

3x1 + 2x2 ≤ 150

Ditambah Slack Variable / + S

3x1 + 2x2 + S = 150

Q sebagai variabel semu harus dikurangi hingga menjadi nol

Metode M Besar

Metode Dua Fase ( Dua Tahapan )

≤+ S≥ - S + Q=+ Q

Metode M Besar Koefisien fungsi tujuan variabel semu ( Q ) diberi nilai M

Z mak = - M ( - MQ )

Z min = + M ( + MQ )

Maksimum Z = 50x1 + 80x2

d.k [1] x1 ≤ 40[2] x2 ≥ 20[3] x1 + x2 = 50[4] x1 , x2 ≥ 0

[1] x1 + S1 + 0S2 + 0Q1 + 0Q2 = 40[2] x2 + 0S1 - S2 + Q1 + 0Q2 = 20

[3] x1 + x2 + 0S1 + 0S2 + 0Q1 + Q2 = 50

[4] x1 , x2 , S1 , S2 , Q1 , Q2 ≥ 0

Maksimum Z = 50x1 + 80x2 + 0S1 – 0S2 – MQ1 – MQ2

[1] 1x1

+ 0x2

+ 1S1 + 0S2 + 0Q1 + 0Q2 = 40

[2] 0x1

+ 1x2

+ 0S1 - 1S2 + 1Q1 + 0Q2 = 20

[3] 1x1

+ 1x2

+ 0S1 + 0S2 + 0Q1 + 1Q2 = 50

[4] x1 , x2 , S1 , S2 , Q1 , Q2 ≥ 0

Maksimum Z = 50x1 + 80x2 + 0S1 – 0S2 – MQ1 – MQ2

CBVariabe

lBasis

cj 50 80 0 0 -M -MIndeks

bi x1 x2 S1 S2 Q1 Q2

0 S1 40 1 0 1 0 0 0

-M Q1 20 0 1 0 -1 1 0

-M Q2 50 1 1 0 0 0 1

Zj - Cj

Tabel Awal Simpleks Metode M Besar

CBVariabe

lBasis

cj 50 80 0 0 -M -MIndeks

bi x1 x2 S1 S2 Q1 Q2

0 S1 40 1 0 1 0 0 0 40/0 = ~

-M Q1 20 0 1 0 -1 1 0 20/1=20

-M Q2 50 1 1 0 0 0 1 50/1=50

Zj - Cj -70M -M -2M 0 M 0 0

-50 -80

Tabel Awal Simpleks Metode M Besar

50 1 1 0 0 0 1

20 0 1 0 -1 1 0 -30 1 0 0 1 -1 1

( 1 )___________________________________________

___

Angka lama baris Q2

Angka baru baris kunci

Tabel Iterasi 1

CBVariabe

lBasis

cj 50 80 0 0 -M -MIndeks

bi x1 x2 S1 S2 Q1 Q2

0 S1 40 1 0 1 0 0 0 40/1 = 40

80 x2 20 0 1 0 -1 1 0 20/0 = ∞

-M Q2 30 1 0 0 1 -1 1 50/1= 30

Zj - Cj -30M -M 0 0 -M 2M 0

1.600 -50 -80 +80Solusi optimum apabila pada baris Zj – Cj ≥ 0

(variabel semu sudah keluar dari variabel basis)

Tabel Iterasi 2 (Optimum)

CBVariabe

lBasis

cj 50 80 0 0 -M -MIndeks

bi x1 x2 S1 S2 Q1 Q2

0 S1 40 1 0 1 0 0 0

80 x2 50 1 1 0 0 0 1

0 S2 30 1 0 0 1 -1 1

Zj - Cj 4.000 30 0 0 0 M M

+80Solusi optimum dicapai apabila x1 = 0 dan x2 = 50 , dengan nilai Z = 4.000

Metode Dua FaseFase 1: Mengnolkan variable semu dengan cara membuat

fungsi tujuan semu.

Koefisien fungsi tujuan variable semu ( Q ) :

Z mak : -1 - Q1 , - Q2

Z min : +1 + Q1 , + Q2

Fase 2 : Memasukkan fungsi tujuan aslinya

Fase 1 :

Maksimum Z = – Q1 – Q2 ( -1 Q1 -1 Q2) (Fungsi Tujuan Semu )

Tabel Awal Fase Pertama

CBVariabe

lBasis

cj 0 0 0 0 -1 -1Indeks

bi x1 x2 S1 S2 Q1 Q2

0 S1 40 1 0 1 0 0 0 40/0 = ~

-1 Q1 20 0 1 0 -1 1 0 20/1=20

-1 Q2 50 1 1 0 0 0 1 50/1=50

Zj - Cj -70 -1 -2 0 1 0 0

Tabel Iterasi 1 Fase Pertama

CBVariabe

lBasis

cj 0 0 0 0 -1 -1Indeks

bi x1 x2 S1 S2 Q1 Q2

0 S1 40 1 0 1 0 0 0 40/0 = ~

0 x1 20 0 1 0 -1 1 0 20/-1=-20

-1 Q2 30 1 0 0 1 -1 1 30/1=30

Zj - Cj -30 -1 0 0 -1 2 0

Tabel Iterasi 2 Fase Pertama (Optimum)

CBVariabe

lBasis

cj 0 0 0 0 -1 -1Indeks

bi x1 x2 S1 S2 Q1 Q2

0 S1 40 1 0 1 0 0 0

0 x1 50 1 1 0 0 0 1

0 S2 30 1 0 0 1 -1 1

Zj - Cj 30 1 0 0 0 1 1

Karena fungsi tujuan semu sudah optimum dan variabel semu sudah keluar dari basis maka dilanjutkan ke fase dua

Fase 2 :Maksimum Z = 50x1 + 80x2

Tabel Awal Fase Kedua ( optimum )

CBVariab

elBasis

cj 50 80 0 0Indeks

bi x1 x2 S1 S2

0 S1 40 1 0 1 0

80 x1 50 1 1 0 1

0 S2 30 1 0 0 1

Zj - Cj 4.000 30 0 0 0

Masalah Khusus Dalam Metode Simpleks

[1] Multiple Optimum Solution

[2] No Feasible Solution

[3] Unbounded Solution

Multiple Optimum Solution( apabila variable nonbasis dalam tabel optimum memiliki nilai 0 pada baris Zj - Cj )

Tabel Optimum

CBVariabe

lBasis

cj 0 0 0 0 -1Indeks

bi x1 x2 S1 S2 S3

0 S1 58 0 0 1 - 0,2 1,6 58/1,6 =

36,25

2 X2 12 0 1 0 0,2 - 0,6

12/-0,6 = -20

3 X1 42 1 0 0 0,2 0,4 42/0,4 = 105

Zj – Cj 150 0 0 0 1 0

Solusi optimum :alternatif 1 :x1 = 42 dan x2 = 12Z = 3(42) + 2(12) = 126 + 24 = 150

CBVariabel

Basis

cj 0 0 0 0 -1Indeks

bi x1 x2 S1 S2 S3

0 S3 36,25 0 0 ⅝ -⅛ 1

2 X2 33,75 0 1 ⅜ -⅛ 0

3 X1 27,50 1 0 ¼ ¼ 0

Zj – Cj 150 0 0 0 1 0

Tabel Optimum Pengganti

alternatif 2 :x1 = 27,50 dan x2 = 33,75Z = 3(27,50) + 2(33,75) = 82,50 + 67,50 = 150

Unbounded Solution( apabila variabel basis yang harus dikeluarkan tidak dapat ditentukan karena tidak ada koefisien variabel dengan nilai positif )

Tabel Awal Simpleks

CBVariab

elBasis

cj 6 9 0 0Indeks

bi x1 x2 S1 S2

0 S1 60 3 - 3 1 0

0 S2 120 - 9 3 0 1 120/3=40

Zj - Cj 0 - 6 - 9 0 0

Tabel Iterasi 1 ( Unbounded Solution )

CBVariab

elBasis

cj 6 9 0 0Indeks

bi x1 x2 S1 S2

0 S1 180 - 6 0 1 0

0 x2 40 - 3 1 0 ⅓Zj - Cj 360 - 33 0 0 3

No Feasible Solution(Nilai pada baris Zj – Cj ≥ 0 , tetapi masih ada variabel semu yang berada dalam basis dengan nilai positif)

[1] x1 + X2 ≤ 10[2] 2x1 + 3x

2

≥ 48

[3] X1 , x2 ≥ 0

Maksimum Z = 2x1 + 5x2

d.k

[1] x1 + x2 + S1 + 0S2 + 0Q1 = 10[2] 2x1 + 3x

2

+ 0S1 - S2 + Q1 = 48

[3] x1 , x2 , S1 , S2 , Q1 ≥ 50

Maksimum Z = 2x1 + 5x2 + 0S1 – 0S2 – MQ1

d.k

Tabel Awal Simpleks (No Feasible Solution)

CBVariabel

Basis

cj 2 5 0 0 -MIndeks

bi x1 x2 S1 S2 Q1

0 S1 10 1 1 1 0 0 10/1 = 10

- M Q1 48 2 3 0 -1 1 48/3 = 16

Zj – Cj - 48M - 2M - 3M 0 M 0

- 2 - 5

CBVariabel

Basis

cj 2 5 0 0 -MIndeks

bi x1 x2 S1 S2 Q1

5 X2 10 1 1 1 0 0 10/1 = 10

- M Q1 18 - 1 0 - 3 -1 1 48/3 = 16

Zj – Cj 50 M 0 3M M 0

- 18M + 3 + 5

Tabel Iterasi 1 (No Feasible Solution)

Semua nilai pada baris Zj – Cj ≥ 0 , tetapi Q1 ( Variable semu ) masih berada dalam basis dengan nilai positif 18 sehingga tidak ada penyelesaian yang optimum.Hal ini dapat terjadi karena kesalahan pada saat memformulasikan model LP.

Degeneracy(apabila terdapat variabel keputusan dalam basis yang bernilai nol)

Maksimum Z = 4x1 + 1x2 + 3x3 + 0S1 + 0S2 + 0S3

d.k [1]

2x1 - 2x2

+ S1 + 0S2 + 0S3 = 60

[2]

4x1 + 2x3

+ 0S1 + S2 + 0S3 = 120

[3]

2x1 + 2x2

+ 2x3

+ 0S1 + 0S2 + S3 = 90

[4]

x1 , x2 , x3 , S1 , S2 , S3 ≥ 0

Tabel awal simpleks (Degeneracy)

CBVariabe

lBasis

cj 4 1 3 0 0 0Indeks

Bi x1 x2 x3 S1 S2 S3

0 S1 60 2 - 2 0 1 0 0 60/2 = 30

0 S2 120 4 0 2 0 1 0 120/4 = 30

0 S3 90 2 2 2 0 0 1 90/2 = 45

Zj - Cj 0 - 4 - 1 - 3 0 0 0

Tabel iterasi 1 (Degeneracy)

CBVariabe

lBasis

cj 4 1 3 0 0 0Indeks

Bi x1 x2 x3 S1 S2 S3

4 x1 30 1 - 1 0 ½ 0 0 30/-1 = -30

0 S2 0 0 4 2 - 2 1 0 0/4 = 0

0 S3 30 0 4 2 - 1 0 0 30/4 = 7,5

Zj - Cj 120 0 - 5 - 3 2 0 0

Tabel iterasi 2 (Degeneracy)

CBVariabe

lBasis

cj 4 1 3 0 0 0Indeks

Bi x1 x2 x3 S1 S2 S3

4 x1 30 1 0 ½ 0 ¼ 0 30/0,5 = 60

1 x2 0 0 1 ½ - ½ ¼ 0 0/0,5 = 0

0 S3 30 0 0 0 1 - 1 1 30/0 = ~

Zj - Cj 120 0 0 - ½ - ½ 1,25 0

( Variabel keputusan x2 bernilai nol sehingga tidak ada perubahan pada nilai Z yaitu 120)

Tabel iterasi 3 (Degeneracy)

CBVariabe

lBasis

cj 4 1 3 0 0 0Indeks

Bi x1 x2 x3 S1 S2 S3

4 x1 30 1 - 1 0 0,5 0 0 30/0,5 = 60

3 x3 0 0 2 1 - 1 0,5 0

0 S3 30 0 0 0 1 - 1 1 30/1 = 30

Zj - Cj 120 0 1 0 - 1 1,5 0

( Variabel keputusan x3 bernilai nol sehingga tidak ada perubahan pada nilai Z yaitu 120)

Tabel iterasi 4 (Degeneracy)

CBVariabe

lBasis

cj 4 1 3 0 0 0Indeks

Bi x1 x2 x3 S1 S2 S3

4 x1 15 1 - 1 0 0 ½ - ½

3 x3 30 0 2 1 0 - ½ 1

0 S3 30 0 0 0 1 - 1 1

Zj - Cj 150 0 1 0 0 ½ 1

Contoh di atas memberi gambaran bahwa ada kemungkinan sebuah tabel tidak mengubah nilai Z, meskipun kasus seperti ini jarang ditemui.

Variabel Keputusan Bertanda Negatif

[1] 6x1 + 8x2

≥ 48

[2] x1 + x2 ≤ 12[3] - X1 + x2 ≤ 4[4] 2x1 + x2 ≤ 2

x1 ≥ - 2x2 ≥ 0

x1ʹ = x1 + 2

Maksimum Z = 6x1 + 3x2

d.k

u.h

Dalam asumsi formulasi LP maupun bentuk standar semua variabel keputusan harus nonnegatif .

Tetapi dalam beberapa kasus dapat terjadi atau memang dikehendaki adanya variabel keputusan bertanda negatif.

Menambah variabel baru sebagai variabel pengganti untuk menentukan nilai variabel x1 :

[1] 6(x1ʹ -2)

+ 8x2 ≥ 48

[2] 1(x1ʹ -2)

+ x2 ≤ 12

[3] - 1(x1ʹ

-2)+ x2 ≤ 4

[4] 2(x1ʹ -2)

+ x2 ≤ 2

x1ʹ ≥ 0x2 ≥ 0

Maksimum Z = 6(x1ʹ -2) + 3x2

d.k

Maksimum Z = 6x1ʹ + 3x2 - 12

d.k [1] 6x1ʹ + 8x2 ≥ 60[2] x1ʹ + x2 ≤ 14[3] - x1ʹ + x2 ≤ 2[4] 2x1ʹ + x2 ≤ 6

x1ʹ ≥ 0x2 ≥ 0

Maksimum Z = 6x1 + 3x2

Atau ,

Variabel Keputusan Tak Terhingga

[1]

x1 + x2 + x3 ≤ 7

[2]

x1 - x2 + x3 ≥ 2

[3]

3x1 + x2 + 2x2

= 5

[4]

x1 ≥ 0

[5]

x2 ≥ 0

[6]

x3 ≥ ~

Maksimum Z = x1 - 2x2 + 3x3

d.k

Menambahkan dua variabel nonnegatif yang berbeda sebagai pengganti apabila terdapat variabel keputusan bertanda tak terhingga .

Mengubah variabel bertanda tak terhingga (x3) dengan dua variabel yang berbeda tanda yaitu x4 - x5 ,dimana x4 ≥ 0 , dan x5 ≥ 0 . Nilai x3 positif atau negatif tergantung pada kedua variabel tersebut.

Maksimum Z = x1 -2x2 + 3(x4 – x5)

d.k

Maksimum Z = x1 -2x2 + 3x4 – 3x5

d.k

Atau ,

Maksimum Z = x1 - 2x2 + 3x3

[1]

x1 + x2 + 1(x4 – x5)

≤ 7

[2]

x1 - x2 + 1(x4 – x5)

≥ 2

[3]

3x1

+ x2 + 2(x4 – x5)

= 5

[4]

x1 ≥ 0

[5]

x2 ≥ 0

[6]

x4 ≥ 0

[7] x5 ≥ 0

[1]

x1 + x2 + x4 – x5

≤ 7

[2]

x1 - x2 + x4 – x5

≥ 2

[3]

3x1

+ x2 + 2x4 – 2x5

= 5

[4]

x1 ≥ 0

[5]

x2 ≥ 0

[6]

x4 ≥ 0

[7] x5 ≥ 0

Terimakasih atas perhatiannya :DMohon maaf apabila penjelasan dari saya terlalu njelimet dan sedikit menyesatkan :3

http://Harapmaklum.com/