Linear algebra with applications. Third Edition W. Keith Nicholson PWS Publishing company.
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Linear algebra with applications. Third EditionW. Keith NicholsonPWS Publishing company
• Linear algebra. Lang
• Linear algebra. Jim Hefferon
• Linear algebra. Hoffman y Kunze
• Calculus. Apostol
• Applied mathematics. Olver y Shakiban
• Calculus of vector functions. Williamson, Crowell y Trotter
• Mathematics for physicists. Dennery y Krzywicki
• Mathematical methods in physics and engineering. Dettman
• Mathematical methods for physicists. Arfken
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
El Álgebra lineal es la rama de las
matemáticas que estudia los sistemas
de ecuaciones lineales, los vectores, los
espacios vectoriales, y las
transformaciones lineales entre los
espacios vectoriales.
• Los espacios vectoriales son fundamentales en las
matemáticas modernas; el Álgebra lineal es
ampliamente utilizada tanto en el álgebra abstracta
como en el análisis funcional.
• El Álgebra lineal tiene una representación concreta en
la Geometría Analítica.
• Tiene aplicaciones importantes y vastas en las ciencias
naturales y en las ciencias sociales, ya que muchos
modelos no lineales pueden ser aproximados por
modelos lineales.
La historia del Álgebra lineal moderna se
remonta a los años de 1843 y 1844. En 1843,
William Rowan Hamilton (quien inventó el
nombre “Vector”) descubrió los cuaterniones.
En 1844, Hermann Grassman publicó su libro
Die lineale Ausdehnungslehre. Arthur Cayley en
1857, introdujo las matrices (2x2), una de las
ideas fundamentales del Álgebra Lineal.
1.Soluciones y operaciones elementales
2.Eliminación gaussiana
3.Ecuaciones homogéneas
Si , , son números reales,
podemos formar la ecuación
a b c
ax by c
Si , , son números reales,
la ecuación
representa una línea recta.
a b c
ax by c
2 3 1x y
La ecuación
se llama ecuación lineal
en las variables y .
ax by c
x y
Las soluciones son todos los
pares de números , que
hacen verdadera la ecuación
x y
ax by c
Las soluciones son todos
los puntos que están
sobre la línea recta.
Para identificar la línea recta
la ponemos como
es la pendiente es la ordenada al origen
ax by c
y mxm
es la pendiente
es la ordenada al origen
m
y mx
tan
y mx
m
Si
, , y
son números reales,
podemos formar la ecuación
a b c d
ax by cz d
Si
, , y
son números reales,
la ecuación
representa un plano.
a b c d
ax by cz d
2 3 2x y z
La ecuación
se llama ecuación lineal
en las variables y .
ax by cz d
x y z
Las soluciones son todos los
tríos de números , , que
hacen verdadera la ecuación
x y z
ax by cz d
Las soluciones son todos
los puntos que están
sobre el plano.
2 2 2
El vector normal al plano es
, ,ˆ
y
es la al origen.
a b cn
a b c
dZ
c
ax by cz d
1 1 2 2
1 2 3
1 2 3
Una ecuación de la forma
...
es llamada ecuación lineal en las
variables , , ,..., .
Los coeficientes , , ,..., son
números reales y también es un
número real.
n n
n
n
a x a x a x b
n x x x x
a a a a
b
1 1 2 2
1 2 3
1 1 2 2
Dada una ecuación lineal
... ,
el conjunto de números
, , ,...,
es llamado una solución
de la ecuación si
...
n
n
n
a x a x a x b
s s s s
a s a s a s b
1 2 3
Una colección finita de ecuaciones
lineales en las variables
, , ,...,
se llama sistema de ecuaciones
lineales en dichas variables.
nx x x x
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incógnitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
es el número de ecuacionesm
Discusión
Discusión
1 2 3El conjunto de números , , ,...,
es llamado una solución de un sistema
de ecuaciones si es solución de todas
y cada una de las ecuaciones del
sistema.
ns s s s
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incógnitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
es el número de ecuacionesm
1 2 3
* ¿En qué condiciones existe un conjunto de
números reales
, , ,...,
que satisfacen simultaneamente las ecuaciones?
* ¿Cómo encontramos dicha solución?
ns s s s
11 12 13 1 2 3
Dadas las constantes reales
, , , ..., y , , , ...,mn ma a a a b b b b
Verifica que
19 35 25 13
es una solución del sistema de ecuaciones
2 3 5
5 7 4 0
siendo (es decir, puede ser cualquier
número real)
x t y t z t
x y z
x y z
t t
R
19 35 25 13
es una solución del sistema de ecuaciones
2 3 5
5 7 4 0
x t y t z t
x y z
x y z
2 19 35 3 25 13 5
38 70 75 39
738
5
5
0 7 35 9 5
5
t t t
t t t
t t t
19 35 25 13
es una solución del sistema de ecuaciones
2 3 5
5 7 4 0
x t y t z t
x y z
x y z
5 19 35 7 25 13 4 0
95 175 175 91 4 0
0
0 0
9 175 17 155 9 4t t
t t t
t t
t
t
19 35 25 13
es una solución del sistema de ecuaciones
2 3 5
5 7 4 0
x t y t z t
x y z
x y z
1 2 1
1 1 2 1 2 1
1 2 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1
con
, , ,
, ,
P P t P P t
x y x y t x x y y
x y x t x x y t y y
x x t x x y y t y y
L R
1 2 1
1 1 1 2 1 2 1 2 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1
con
, , , , , ,
, , , ,
P P t P P t
x y z x y z t x x y y z z
x y z x t x x y t y y z t z z
x x t x x y y t y y z z t z z
L= R
1 2 1
1 2
con
donde , y son puntos en n
P P t P P t
P P P
L= R
R
3
0
30
3
Un plano en es el conjunto de puntos
,
donde es un punto en y y son
dos vectores no nulos y no paralelos en .
P sa tb s t
P a b
R
P= R
R
R
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incógnitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
es el número de ecuacionesm
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
Finalmente la cosa se reduce a tratar con los
coeficientes:
...
...
. . y
. .
. .
...
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
11 12 1
21 22 2
1 2
Esta es la matriz de coeficientes
del sistema de ecuaciones:
...
...
.
.
.
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
1
2
Esta es la matriz de constantes del sistema:
.
.
.
m
b
b
b
11 12 1 1
21 22 2 2
31 32 3 3
1 2
Esta es la matriz aumentada
del sistema de ecuaciones:
...
...
...
. . .
. . .
...
n
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
a a a b
Dos sistemas de ecuaciones lineales
son equivalentes si tienen el mismo
conjunto de soluciones.
Se escribe una serie de sistemas,
cada uno de ellos equivalente al anterior.
Cada uno de estos sistemas tiene el mismo
conjunto de soluciones que el original.
El objetivo es terminar con un sistema
equi
valente que es sencillo de resolver.
Cada sistema en la serie es obtenido del
precedente mediante una manipulación
simple que no cambia el conjunto de soluciones.
Es obvio que el conjunto
2, 1
es una solución de este
sistema.
1
3
x y
x y
1
3
1
2 4
x y
x y
x y
x
1
2 4
x y
x
1
3
x y
x y
Es claro que el conjunto 2, 1 también
es solución del nuevo sistema.
Son sistemas equivalentes.
1
3
1
2 4
1
2
x y
x y
x y
x
x y
x
1
3
1
2 4
1
2
x y
x y
x y
x
x y
x
2 1
2
y
x
1
3
1
2 4
1
2
x y
x y
x y
x
x y
x
2 1
2
1
2
y
y
x
x
1
3
1
2 4
1
2
x y
x y
x y
x
x y
x
1 1 1
1 1 3
1 1 1
2 0 4
1 1 1
1 0 2
2 1
2
1
2
y
y
x
x
0 1 1
1 0 2
1. Intercambio de dos ecuaciones.
2. Multiplicar una ecuación por un número
diferente de cero.
3. Sumar un múltiplo de una ecuación
del sistema a otra ecuación diferente,
también del sistema.
Una operación elemental se
realiza en un sistema de
ecuaciones lineales.
El sistema de ecuaciones lineales
resultante tiene el mismo conjunto
de soluciones que el original, y los
sistemas son equivalentes.
Una operación elemental se realiza
en un sistema de ecuaciones lineales.
1. Intercambio de dos renglones.
2. Multiplicar un renglón por un número
diferente de cero.
3. Sumar un múltiplo de un renglón a un
renglón diferente.
2 3 1
3 4 2
x y
x y
2 3 1
3 4 2
x y
x y
2 3 1
3 4 2
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1 / 22 3 1 1 3 / 2 1 / 2
3 4 2 3 4 2R
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1
2
/ 2
/3
2 3 1 1 3 / 2 1 / 2
3 4 2 3 4 2
1 3 / 2 1 / 2
1 4 / 3 2 / 3
R
R
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1
2 2 2 1
/ 2
/3 :
2 3 1 1 3 / 2 1 / 2
3 4 2 3 4 2
1 3 / 2 1 / 21 3 / 2 1 / 2
0 4 / 3 3 / 2 2 / 3 1 / 21 4 / 3 2 / 3
R
R R R R
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1
2 2 2 1
/ 2
/3 :
2 3 1 1 3 / 2 1 / 2
3 4 2 3 4 2
1 3 / 2 1 / 21 3 / 2 1 / 2
0 4 / 3 3 / 2 2 / 3 1 / 21 4 / 3 2 / 3
1 3 / 2 1 / 2
0 1 / 6 7 / 6
R
R R R R
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1
2 2 2 1
2
/ 2
/3 :
6
2 3 1 1 3 / 2 1 / 2
3 4 2 3 4 2
1 3 / 2 1 / 21 3 / 2 1 / 2
0 4 / 3 3 / 2 2 / 3 1 / 21 4 / 3 2 / 3
1 3 / 2 1 / 2 1 3 / 2 1 / 2
0 1 / 6 7 / 6 0 1 7
R
R R R R
R
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1 1 23
:2
1 31 3 / 2 1 / 2 1 0 7
2 20 1 7
0 1 7
1 0 10
0 1 7
R R R
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1 1 23
:2
1 31 3 / 2 1 / 2 1 0 7
2 20 1 7
0 1 7
1 0 10
0 1 7
R R R
Una matriz se dice que está en forma de
renglones escalonados si:
1. Todas los renglones cero (que consisten
de puros ceros) están hasta abajo.
2. En cada renglón diferente de cero, el primer
elemento diferente de cero a partir de la
izquierda es un 1, llamado primer 1 de ese renglón.
3. Cada primer 1 está a la derecha de los
primeros 1´s de los renglones de arriba.
Una matriz se dice que está en forma reducida
de renglones escalonados, si aparte de los 3
puntos anteriores satisface también:
4. Cada primer 1 es el único elemento
diferente de cero en esa columna.
Una matriz se dice que está en forma reducida
de renglones escalonados, si satisface:
1. Todas los renglones cero (que consisten
de puros ceros) están hasta abajo.
2. En cada renglón diferente de cero, el primer
elemento diferente de cero a partir de la
izquierda es un 1, llamado primer 1 de ese renglón.
3. Cada primer 1 está a la derecha de los
primeros 1´s de los renglones de arriba.
4. Cada primer 1 es el único elemento diferente de
cero en esa columna.
Toda matriz puede ser llevada a
una forma escalonada (reducida)
mediante puras operaciones
elementales en sus renglones.
Toda matriz puede ser llevada a una forma
escalonada (reducida) mediante puras
operaciones elementales en sus renglones.
Existe un procedimiento, llamado algoritmo
gaussiano, para encontrar la forma escalonada.
Toda matriz puede ser llevada a una forma
escalonada (reducida) mediante puras
operaciones elementales en sus renglones.
Por tanto, la solución de un sistema de
ecuaciones lineales se "reduce" al de
encontrar la forma escalonada de la
matriz aumentada.
1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma
escalonada.
2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la
izquierda que tiene un elemento diferente de cero
(llamemosle ),a y mueve el renglón que contiene ese elemento
hasta arriba.
13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de
abajo, haz todo elemento aba
a
jo de ese primer 1, cero.
Con esto se ha terminado con el primer renglón,
y en adelante, se trabajara sólo con los de abajo.
1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma escalonada.
2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la izquierda
que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle a), y mueve el
renglón que contiene ese elemento hasta arriba.
13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de abajo, haz
todo elemento a
a
bajo de ese primer 1, cero.
5. Repetir los pasos 1 a 4 en la matriz
que consiste de los renglones restantes.
1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma escalonada.
2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la izquierda
que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle a), y mueve el
renglón que contiene ese elemento hasta arriba.
13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de abajo, haz
todo elemento a
a
bajo de ese primer 1, cero.
1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma escalonada.
2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la izquierda
que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle a), y mueve el
renglón que contiene ese elemento hasta arriba.
13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de abajo, haz
todo elemento a
a
bajo de ese primer 1, cero.
5. Repetir los pasos 1 a 4 en la matriz que consiste de los renglones restantes.
El proceso se termina cuando ya no quedan renglones
o cuando los renglones que quedan son de puros ceros.
1 2 1 2
2 5 3 1
1 4 3 3
1. Si la matriz consiste de puros ceros,
listo, ya está en forma escalonada.
1 2 1 2
2 5 3 1
1 4 3 3
2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la izquierda
que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle ), y mueve el
renglón que contiene ese elemento hasta arriba.
a
1 2 1 2
2 5 3 1
1 4 3 3
13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.
a
1 2 1 2
2 5 3 1
1 4 3 3
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
2 2 1: 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 5 3 1 2 2 1 5 2 2 3 2 1 1 2 2
1 4 3 3 1 4 3 3
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
2 2 1: 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 5 3 1 2 2 1 5 2 2 3 2 1 1 2 2
1 4 3 3 1 4 3 3
1 2 1 2
0 1 1 3
1 4 3 3
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
3 3 1:
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
1 4 3 3 1 1 4 2 3 1 3 2
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
3 3 1:
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
1 4 3 3 1 1 4 2 3 1 3 2
1 2 1 2
0 1 1 3
0 2 2 1
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
3 3 1:
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
1 4 3 3 1 1 4 2 3 1 3 2
1 2 1 2
0 1 1 3
0 2 2 1
R R R
5. Repetir los pasos 1 a 4 en la matriz que consiste de los renglones restantes.
3 3 1: 2
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
3 3 1: 2
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3
1 2 1 2
0 1 1 3
0 0 0 7
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
3 3 1
3
: 2
7
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 0 0 7 0 0 0 1
R R R
R
3 3 1
3
: 2
7
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 0 0 7 0 0 0 1
R R R
R
El proceso se termina cuando ya no quedan renglones
o cuando los renglones que quedan son de puros ceros.
1 2 1 2
0 1 1 3
0 0 0 1
¿y ahora qué?
1 2 1 2
0 1 1 3
0 0 0 1
¿0 1?
1 2 1 2
0 1 1 3
0 0 0 1
El sistema NO tiene solución.
Cuando un sistema no tiene soluciónse dice que es inconsistente.
1 2 1 2
0 1 1 3
0 0 0 1
El sistema NO tiene solución.
Cuando un sistema no tiene soluciónse dice que es inconsistente.
Cuando un sistema no tiene soluciónse dice que es inconsistente.
Sistemas que tienen al menos
una solución se dice que son
consistentes.
La forma escalonada reducida de una matriz
está determinanda únicamente por .
A
A
La forma escalonada reducida de una matriz
está determinanda únicamente por .
No importa cuales hayan sido las operaciones
realizadas en los reglones, el resultado siempre
será el mismo.
La forma escalo
A
A
nada reducida es única.
En contraste, esto no sucede en el caso de la
forma escalonada: Una serie de operaciones
diferentes en la misma matriz nos llevará
a diferentes matrices escalonadas.
A
Sin embargo, el número de primeros 1´s
es el mismo en todas estas formas
escalonadas.
El número de primeros 1´s depende sólo
de y no de la manera en que es
llevada a la forma escalonada.
A A
Si una matriz es llevada a una forma
escalonada mediante operaciones
elementales en sus renglones, el número
de primeros 1´s en es el rango de ,
y se denota rank .
A
R
R A
A
Supongamos un sistema de ecuaciones
lineales con incógnitas tiene una solución.
Si el rango de la matriz aumentada es , el
conjunto de soluciones involucra
exactamente parámetros.
m
n
r
n r
Para cualquier sistema de ecuaciones lineales
se tienen exactamente tres posibilidades:
1. No existe solución.
2. Existe una única solución. Esto sucede
cuando todas las variables son primeras.
3. Existe un número infinito de soluciones.
Esto sucede cuando hay al menos una variable
que no es primera, de tal que hay al menos un
parámetro involucrado.
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incognitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
es el número de ecuacionesm
1 2
Si
... 0
el sistema es homogeneomb b b
11 1 1 1
1 1
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
n n
m mn n m
a x a x b
a x a x b
Solución trivial: 0 para todo
Solución no trivial: 0 pa
Un sistema homogéneo siempre tiene
una solución trivial
ra alguna i
i
x i
x i
11 1 1
1 1
Sistema homogeneo
... 0
...
... 0
n n
m mn n
a x a x
a x a x
Si un sistemas de ecuaciones lineales
homogéneo tiene más incógnitas que
ecuaciones, entonces existe una
solución no trivial. De hecho, existe
una cantidad infinita de ellas.
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