Linear algebra with applications. Third Edition W. Keith Nicholson PWS Publishing company.

Linear algebra with applications. Third EditionW. Keith NicholsonPWS Publishing company

• Linear algebra. Lang

• Linear algebra. Jim Hefferon

• Linear algebra. Hoffman y Kunze

• Calculus. Apostol

• Applied mathematics. Olver y Shakiban

• Calculus of vector functions. Williamson, Crowell y Trotter

• Mathematics for physicists. Dennery y Krzywicki

• Mathematical methods in physics and engineering. Dettman

• Mathematical methods for physicists. Arfken

1. Sistemas de ecuaciones lineales

2. Álgebra de matrices

3. Determinantes

4. Geometría de los vectores

5. Espacios vectoriales

6. Valores propios y diagonalización

7. Transformaciones lineales

8. Espacios euclidianos

El Álgebra lineal es la rama de las

matemáticas que estudia los sistemas

de ecuaciones lineales, los vectores, los

espacios vectoriales, y las

transformaciones lineales entre los

espacios vectoriales.

• Los espacios vectoriales son fundamentales en las

matemáticas modernas; el Álgebra lineal es

ampliamente utilizada tanto en el álgebra abstracta

como en el análisis funcional.

• El Álgebra lineal tiene una representación concreta en

la Geometría Analítica.

• Tiene aplicaciones importantes y vastas en las ciencias

naturales y en las ciencias sociales, ya que muchos

modelos no lineales pueden ser aproximados por

modelos lineales.

La historia del Álgebra lineal moderna se

remonta a los años de 1843 y 1844. En 1843,

William Rowan Hamilton (quien inventó el

nombre “Vector”) descubrió los cuaterniones.

En 1844, Hermann Grassman publicó su libro

Die lineale Ausdehnungslehre. Arthur Cayley en

1857, introdujo las matrices (2x2), una de las

ideas fundamentales del Álgebra Lineal.

1.Soluciones y operaciones elementales

2.Eliminación gaussiana

3.Ecuaciones homogéneas

Si , , son números reales,

podemos formar la ecuación

a b c

ax by c

Si , , son números reales,

la ecuación

representa una línea recta.

a b c

ax by c

2 3 1x y

La ecuación

se llama ecuación lineal

en las variables y .

ax by c

x y

Las soluciones son todos los

pares de números , que

hacen verdadera la ecuación

x y

ax by c

Las soluciones son todos

los puntos que están

sobre la línea recta.

Para identificar la línea recta

la ponemos como

es la pendiente es la ordenada al origen

ax by c

y mxm

es la pendiente

es la ordenada al origen

m

y mx

tan

y mx

m

Si

, , y

son números reales,

podemos formar la ecuación

a b c d

ax by cz d

Si

, , y

son números reales,

la ecuación

representa un plano.

a b c d

ax by cz d

2 3 2x y z

La ecuación

se llama ecuación lineal

en las variables y .

ax by cz d

x y z

Las soluciones son todos los

tríos de números , , que

hacen verdadera la ecuación

x y z

ax by cz d

Las soluciones son todos

los puntos que están

sobre el plano.

2 2 2

El vector normal al plano es

, ,ˆ

y

es la al origen.

a b cn

a b c

dZ

c

ax by cz d

1 1 2 2

1 2 3

1 2 3

Una ecuación de la forma

...

es llamada ecuación lineal en las

variables , , ,..., .

Los coeficientes , , ,..., son

números reales y también es un

número real.

n n

n

n

a x a x a x b

n x x x x

a a a a

b

1 1 2 2

1 2 3

1 1 2 2

Dada una ecuación lineal

... ,

el conjunto de números

, , ,...,

es llamado una solución

de la ecuación si

...

n

n

n

a x a x a x b

s s s s

a s a s a s b

1 2 3

Una colección finita de ecuaciones

lineales en las variables

, , ,...,

se llama sistema de ecuaciones

lineales en dichas variables.

nx x x x

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

Sistema de ecuaciones lineales

...

...

...

...

...

...

es el número de incógnitas

n n

n n

i i i in n i

m m m mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

n

es el número de ecuacionesm

Discusión

Discusión

1 2 3El conjunto de números , , ,...,

es llamado una solución de un sistema

de ecuaciones si es solución de todas

y cada una de las ecuaciones del

sistema.

ns s s s

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3


...

...

...

...

...

...


n n

n n

i i i in n i

m m m mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

n


1 2 3

* ¿En qué condiciones existe un conjunto de

números reales

, , ,...,

que satisfacen simultaneamente las ecuaciones?

* ¿Cómo encontramos dicha solución?

ns s s s

11 12 13 1 2 3

Dadas las constantes reales

, , , ..., y , , , ...,mn ma a a a b b b b

Verifica que

19 35 25 13

es una solución del sistema de ecuaciones

2 3 5

5 7 4 0

siendo (es decir, puede ser cualquier

número real)

x t y t z t

x y z

x y z

t t

R

19 35 25 13


2 3 5

5 7 4 0

x t y t z t

x y z

x y z

2 19 35 3 25 13 5

38 70 75 39

738

5

5

0 7 35 9 5

5

t t t

t t t

t t t

19 35 25 13


2 3 5

5 7 4 0

x t y t z t

x y z

x y z

5 19 35 7 25 13 4 0

95 175 175 91 4 0

0

0 0

9 175 17 155 9 4t t

t t t

t t

t

t

19 35 25 13


2 3 5

5 7 4 0

x t y t z t

x y z

x y z

1 2 1

1 1 2 1 2 1

1 2 1 1 2 1

1 2 1 1 2 1

con

, , ,

, ,

P P t P P t

x y x y t x x y y

x y x t x x y t y y

x x t x x y y t y y

L R

1 2 1

1 1 1 2 1 2 1 2 1

1 2 1 1 2 1 1 2 1

1 2 1 1 2 1 1 2 1

con

, , , , , ,

, , , ,

P P t P P t

x y z x y z t x x y y z z

x y z x t x x y t y y z t z z

x x t x x y y t y y z z t z z

L= R

1 2 1

1 2

con

donde , y son puntos en n

P P t P P t

P P P

L= R

R

3

0

30

3

Un plano en es el conjunto de puntos

,

donde es un punto en y y son

dos vectores no nulos y no paralelos en .

P sa tb s t

P a b

R

P= R

R

R

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3


...

...

...

...

...

...


n n

n n

i i i in n i

m m m mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

n


11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

Finalmente la cosa se reduce a tratar con los

coeficientes:

...

...

. . y

. .

. .

...

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

11 12 1

21 22 2

1 2

Esta es la matriz de coeficientes

del sistema de ecuaciones:

...

...

.

.

.

...

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

1

2

Esta es la matriz de constantes del sistema:

.

.

.

m

b

b

b

11 12 1 1

21 22 2 2

31 32 3 3

1 2

Esta es la matriz aumentada

del sistema de ecuaciones:

...

...

...

. . .

. . .

...

n

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

a a a b

Dos sistemas de ecuaciones lineales

son equivalentes si tienen el mismo

conjunto de soluciones.

Se escribe una serie de sistemas,

cada uno de ellos equivalente al anterior.

Cada uno de estos sistemas tiene el mismo

conjunto de soluciones que el original.

El objetivo es terminar con un sistema

equi

valente que es sencillo de resolver.

Cada sistema en la serie es obtenido del

precedente mediante una manipulación

simple que no cambia el conjunto de soluciones.

Es obvio que el conjunto

2, 1

es una solución de este

sistema.

1

3

x y

x y

1

3

1

2 4

x y

x y

x y

x

1

2 4

x y

x

1

3

x y

x y

Es claro que el conjunto 2, 1 también

es solución del nuevo sistema.

Son sistemas equivalentes.

1

3

1

2 4

1

2

x y

x y

x y

x

x y

x

1

3

1

2 4

1

2

x y

x y

x y

x

x y

x

2 1

2

y

x

1

3

1

2 4

1

2

x y

x y

x y

x

x y

x

2 1

2

1

2

y

y

x

x

1

3

1

2 4

1

2

x y

x y

x y

x

x y

x

1 1 1

1 1 3

1 1 1

2 0 4

1 1 1

1 0 2

2 1

2

1

2

y

y

x

x

0 1 1

1 0 2

1. Intercambio de dos ecuaciones.

2. Multiplicar una ecuación por un número

diferente de cero.

3. Sumar un múltiplo de una ecuación

del sistema a otra ecuación diferente,

también del sistema.

Una operación elemental se

realiza en un sistema de

ecuaciones lineales.

El sistema de ecuaciones lineales

resultante tiene el mismo conjunto

de soluciones que el original, y los

sistemas son equivalentes.

Una operación elemental se realiza

en un sistema de ecuaciones lineales.

1. Intercambio de dos renglones.

2. Multiplicar un renglón por un número

diferente de cero.

3. Sumar un múltiplo de un renglón a un

renglón diferente.

2 3 1

3 4 2

x y

x y

2 3 1

3 4 2

x y

x y

2 3 1

3 4 2

2 3 1

3 4 2

x y

x y

1 / 22 3 1 1 3 / 2 1 / 2

3 4 2 3 4 2R

2 3 1

3 4 2

x y

x y

1

2

/ 2

/3

2 3 1 1 3 / 2 1 / 2

3 4 2 3 4 2

1 3 / 2 1 / 2

1 4 / 3 2 / 3

R

R

2 3 1

3 4 2

x y

x y

1

2 2 2 1

/ 2

/3 :

2 3 1 1 3 / 2 1 / 2

3 4 2 3 4 2

1 3 / 2 1 / 21 3 / 2 1 / 2

0 4 / 3 3 / 2 2 / 3 1 / 21 4 / 3 2 / 3

R

R R R R

2 3 1

3 4 2

x y

x y

1

2 2 2 1

/ 2

/3 :

2 3 1 1 3 / 2 1 / 2

3 4 2 3 4 2

1 3 / 2 1 / 21 3 / 2 1 / 2

0 4 / 3 3 / 2 2 / 3 1 / 21 4 / 3 2 / 3

1 3 / 2 1 / 2

0 1 / 6 7 / 6

R

R R R R

2 3 1

3 4 2

x y

x y

1

2 2 2 1

2

/ 2

/3 :

6

2 3 1 1 3 / 2 1 / 2

3 4 2 3 4 2

1 3 / 2 1 / 21 3 / 2 1 / 2

0 4 / 3 3 / 2 2 / 3 1 / 21 4 / 3 2 / 3

1 3 / 2 1 / 2 1 3 / 2 1 / 2

0 1 / 6 7 / 6 0 1 7

R

R R R R

R

2 3 1

3 4 2

x y

x y

1 1 23

:2

1 31 3 / 2 1 / 2 1 0 7

2 20 1 7

0 1 7

1 0 10

0 1 7

R R R

2 3 1

3 4 2

x y

x y

1 1 23

:2

1 31 3 / 2 1 / 2 1 0 7

2 20 1 7

0 1 7

1 0 10

0 1 7

R R R

Una matriz se dice que está en forma de

renglones escalonados si:

1. Todas los renglones cero (que consisten

de puros ceros) están hasta abajo.

2. En cada renglón diferente de cero, el primer

elemento diferente de cero a partir de la

izquierda es un 1, llamado primer 1 de ese renglón.

3. Cada primer 1 está a la derecha de los

primeros 1´s de los renglones de arriba.

Una matriz se dice que está en forma reducida

de renglones escalonados, si aparte de los 3

puntos anteriores satisface también:

4. Cada primer 1 es el único elemento

diferente de cero en esa columna.

Una matriz se dice que está en forma reducida

de renglones escalonados, si satisface:

1. Todas los renglones cero (que consisten

de puros ceros) están hasta abajo.

2. En cada renglón diferente de cero, el primer

elemento diferente de cero a partir de la

izquierda es un 1, llamado primer 1 de ese renglón.

3. Cada primer 1 está a la derecha de los

primeros 1´s de los renglones de arriba.

4. Cada primer 1 es el único elemento diferente de

cero en esa columna.

Toda matriz puede ser llevada a

una forma escalonada (reducida)

mediante puras operaciones

elementales en sus renglones.

Toda matriz puede ser llevada a una forma

escalonada (reducida) mediante puras

operaciones elementales en sus renglones.

Existe un procedimiento, llamado algoritmo

gaussiano, para encontrar la forma escalonada.

Toda matriz puede ser llevada a una forma

escalonada (reducida) mediante puras

operaciones elementales en sus renglones.

Por tanto, la solución de un sistema de

ecuaciones lineales se "reduce" al de

encontrar la forma escalonada de la

matriz aumentada.

1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma

escalonada.

2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la

izquierda que tiene un elemento diferente de cero

(llamemosle ),a y mueve el renglón que contiene ese elemento

hasta arriba.

13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.

4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de

abajo, haz todo elemento aba

a

jo de ese primer 1, cero.

Con esto se ha terminado con el primer renglón,

y en adelante, se trabajara sólo con los de abajo.

1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma escalonada.

2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la izquierda

que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle a), y mueve el

renglón que contiene ese elemento hasta arriba.


4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de abajo, haz

todo elemento a

a

bajo de ese primer 1, cero.

5. Repetir los pasos 1 a 4 en la matriz

que consiste de los renglones restantes.







todo elemento a

a








todo elemento a

a


5. Repetir los pasos 1 a 4 en la matriz que consiste de los renglones restantes.

El proceso se termina cuando ya no quedan renglones

o cuando los renglones que quedan son de puros ceros.

1 2 1 2

2 5 3 1

1 4 3 3

1. Si la matriz consiste de puros ceros,

listo, ya está en forma escalonada.

1 2 1 2

2 5 3 1

1 4 3 3


que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle ), y mueve el


a

1 2 1 2

2 5 3 1

1 4 3 3


a

1 2 1 2

2 5 3 1

1 4 3 3

4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones

de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.

2 2 1: 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 5 3 1 2 2 1 5 2 2 3 2 1 1 2 2

1 4 3 3 1 4 3 3

R R R



2 2 1: 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 5 3 1 2 2 1 5 2 2 3 2 1 1 2 2

1 4 3 3 1 4 3 3

1 2 1 2

0 1 1 3

1 4 3 3

R R R



3 3 1:

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

1 4 3 3 1 1 4 2 3 1 3 2

R R R



3 3 1:

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

1 4 3 3 1 1 4 2 3 1 3 2

1 2 1 2

0 1 1 3

0 2 2 1

R R R



3 3 1:

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

1 4 3 3 1 1 4 2 3 1 3 2

1 2 1 2

0 1 1 3

0 2 2 1

R R R

5. Repetir los pasos 1 a 4 en la matriz que consiste de los renglones restantes.

3 3 1: 2

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3

R R R



3 3 1: 2

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3

1 2 1 2

0 1 1 3

0 0 0 7

R R R



3 3 1

3

: 2

7

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

0 0 0 7 0 0 0 1

R R R

R

3 3 1

3

: 2

7

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

0 0 0 7 0 0 0 1

R R R

R

El proceso se termina cuando ya no quedan renglones

o cuando los renglones que quedan son de puros ceros.

1 2 1 2

0 1 1 3

0 0 0 1

¿y ahora qué?

1 2 1 2

0 1 1 3

0 0 0 1

¿0 1?

1 2 1 2

0 1 1 3

0 0 0 1

El sistema NO tiene solución.

Cuando un sistema no tiene soluciónse dice que es inconsistente.

1 2 1 2

0 1 1 3

0 0 0 1

El sistema NO tiene solución.



Sistemas que tienen al menos

una solución se dice que son

consistentes.

La forma escalonada reducida de una matriz

está determinanda únicamente por .

A

A

La forma escalonada reducida de una matriz

está determinanda únicamente por .

No importa cuales hayan sido las operaciones

realizadas en los reglones, el resultado siempre

será el mismo.

La forma escalo

A

A

nada reducida es única.

En contraste, esto no sucede en el caso de la

forma escalonada: Una serie de operaciones

diferentes en la misma matriz nos llevará

a diferentes matrices escalonadas.

A

Sin embargo, el número de primeros 1´s

es el mismo en todas estas formas

escalonadas.

El número de primeros 1´s depende sólo

de y no de la manera en que es

llevada a la forma escalonada.

A A

Si una matriz es llevada a una forma

escalonada mediante operaciones

elementales en sus renglones, el número

de primeros 1´s en es el rango de ,

y se denota rank .

A

R

R A

A

Supongamos un sistema de ecuaciones

lineales con incógnitas tiene una solución.

Si el rango de la matriz aumentada es , el

conjunto de soluciones involucra

exactamente parámetros.

m

n

r

n r

Para cualquier sistema de ecuaciones lineales

se tienen exactamente tres posibilidades:

1. No existe solución.

2. Existe una única solución. Esto sucede

cuando todas las variables son primeras.

3. Existe un número infinito de soluciones.

Esto sucede cuando hay al menos una variable

que no es primera, de tal que hay al menos un

parámetro involucrado.

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3


...

...

...

...

...

...

es el número de incognitas

n n

n n

i i i in n i

m m m mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

n


1 2

Si

... 0

el sistema es homogeneomb b b

11 1 1 1

1 1


...

...

...

n n

m mn n m

a x a x b

a x a x b

Solución trivial: 0 para todo

Solución no trivial: 0 pa

Un sistema homogéneo siempre tiene

una solución trivial

ra alguna i

i

x i

x i

11 1 1

1 1

Sistema homogeneo

... 0

...

... 0

n n

m mn n

a x a x

a x a x

Si un sistemas de ecuaciones lineales

homogéneo tiene más incógnitas que

ecuaciones, entonces existe una

solución no trivial. De hecho, existe

una cantidad infinita de ellas.

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