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L’integrale definito
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L’integrale definito
L’area di una regione di piano dal contorno curvilineo
Consideriamo l’area della regione di piano delimitata dal grafico di una funzione , continua e
positiva in un intervallo , dall’asse e dalle rette e f (x)
a,b[ ] x x = a x = b
Una tale regione di piano si chiama trapezoide. Indichiamo con S la misura della sua area.
L’integrale definito
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Per calcolare l’area S del trapezoide, suddividiamo l’intervallo in n parti uguali di ampiezza ∆x.
Approssimiamo l’area cercata mediante la somma delle aree dei rettangoli «inscritti» e «circoscritti»:
a,b[ ]
Le altezze dei rettangoli azzurri sono i valori minimi che la funzione assume in ciascun
intervallo ∆x; le altezze dei rettangoli più grandi sono invece i valori massimi assunti
dalla funzione nei corrispondenti Δx.
E’ intuitivo pensare che l’area S possa essere approssimata (per difetto e per
eccesso) dalla Somma delle aree dei rettangoli così individuati e che tale
approssimazione sia sempre migliore con il crescere del numero n.
Un valore approssimato dell’area cercata può essere dato da:
dove #$ è un generico valore in %; ' .
Al crescere di n il valore della sommatoria approssima sempre meglio
l’area del trapezoide.
Possiamo quindi assumere che sia:
å=
×Dn
iicfx
1
)(
Area del trapezoide =
Questo limite viene indicato con il simbolo che prende il nome di integrale definito tra a e b di f(x)
L’integrale definito
f x( )a
b
∫ dx
limn→+∞
Δxi=1
n
∑ ⋅ f (Ci )
L’integrale definito
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Le proprietà dell’integrale definito
•
Cioè, se gli estremi di integrazione sono uguali, l’integrale definito è nullo.
•
Cioè, scambiando gli estremi di integrazione, l’integrale definito cambia segno.
• Proprietà di linearità
con k ∈ R
L’integrale definito
f x( )a
b
∫ dx = − f x( )b
a
∫ dx se a > b
f x( )dx = 0a
a
∫
k ⋅ f x( )a
b
∫ dx = k ⋅ f x( )b
a
∫ dx
f x( )+ g x( )⎡⎣ ⎤⎦a
b
∫ dx = f x( )a
b
∫ dx + g x( )dxa
b
∫
L’integrale definito
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• Proprietà di additività rispetto all’intervallo di integrazione:
L’integrale definito
f x( )a
b
∫ dx = f x( )a
c
∫ dx + f x( )dxc
b
∫• Integrale della funzione costante f(x)=k, k numero reale
k dx = k b− a( )a
b
∫
L’integrale definito
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Teorema della media integrale
• Teorema della media integrale: • Ipotesi: f(x) continua in [a;b]
• Tesi: esiste almeno un punto z in [a;b] tale che: --->
f x( )a
b
∫ dx = b− a( ) ⋅ f z( )
f z( ) =f x( )
a
b
∫ dx
b− aOssia:
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L’integrale definito Il calcolo delle aree
La funzione integrale
Se !(#) è una funzione continua in un intervallo [&, (], possiamo valutare l’integrale definito della funzione ! tra & e un punto # variabile in [&, (].In questo modo:
* # = ,-
.! / 0/
diventa una funzione che rappresenta l’area del
trapezoide tra & e #.
A questa funzione si dà il nome di funzione integrale.
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L’integrale definito Il calcolo delle aree
Il teorema fondamentale del calcolo integrale
La funzione integrale gode di un’importante proprietà: la sua derivata coincide
con la funzione !
Di conseguenza, la funzione integrale " # diventa un primitiva della funzione
! # .
" # = &'
(! ) *) → ", # = ! # ∀# ∈ [0, 2]
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L’integrale definito Il calcolo delle aree
Il teorema fondamentale del calcolo integrale ci dà un modo per calcolare un integrale
definito.
Indicata con !(#) una generica primitiva della funzione %(#), si ha che:
&'
(% # )# = [! , − !(.)]
Questa relazione prende il nome di formula di Newton-Leibniz.
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L’integrale definito Il calcolo delle aree
ESEMPI
1. Calcoliamo ∫"# $# − 1 '$
Troviamo una primitiva ( della funzione ) $ = $# − 1: ∫ $# − 1 '$ = ,-. − $ + 0
( 2 = 2. − 2 + 0 ( 1 = "
. − 1 + 0 quindi ( 3 − ( 1 = 4.
In definitiva:
Poiché la costante c è ininfluente per il calcolo dell’integrale, possiamo ometterla nella scrittura della primitiva.
2. Calcoliamo ∫56 sin $ − cos $ '$
sin x − cos x( )dx0
π
∫ = −cos x − sin x[ ]0π= −cosπ − sinπ( )− −cos0− sin0( ) =1+1= 2
x2 −1( )dx = x3
3+ x + c
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥1
2
=83− 2+ c− 1
3−1+ c
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
2∫ =
43
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L’integrale definito Il calcolo delle aree
Il calcolo di un’area
• Se !(#) è positiva o nulla: %&'( ) = ∫,- ! # .#
Nel caso della figura: ) = ∫,/ ! # .# − ∫/
1 ! # .# + ∫1- ! # .#
• Se !(#) è negativa o nulla: %&'( ) = −∫,- ! # .#
• Se !(#) non è sempre positiva o nulla:
%&'( ) =(somma degli integrali definitidi ! negli intervalli in cui !è positiva o nulla) – (somma degliintegrali definiti di ! negli intervalliin cui ! è negativa o nulla)
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L’integrale definito Il calcolo delle aree
ESEMPIO
Troviamo l’area della regione di piano delimitata dalla parabola di equazione ! = #$ − 4# + 3
nell’intervallo [0, 4].La parabola interseca l’asse delle ascisse nei punti # = 1 e # = 3 ed è negativa
se 1 < # < 3.
L’area richiesta è quindi data da:
∫01 #$ − 4# + 3 2# − ∫1
3 #$ − 4# + 3 2# + ∫34 #$ − 4# + 3 2#
= 13#
3 − 2#$ + 3#0
1− 1
3#3 − 2#$ + 3#
1
3+ 13#
3 − 2#$ + 3#3
4= 43 − −43 + 43 = 4
1 3 4
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L’integrale definito Il calcolo delle aree
L’area della regione definita da due o più curve
Siano !(#) e % # funzioni continue e tali che sia !(#) ≥ % # in tutti i puntidell’intervallo ', ) .
+,-' ./ 0 = 23
4! # .# − 2
3
4% # .# = 2
3
4! # − % # .#
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L’integrale definito Il calcolo delle aree
Se la regione di piano di cui si vuole calcolare l’area è delimitata da più funzioni:
!"#$ %& ' = )*
+, - %- + )
+
/0 - %- − )
*
/ℎ(-) %-
cioè:
!"#$ %& ' = )*
+, - %- + )
+
/0 - %- + )
/
*ℎ - %-
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L’integrale definito Il calcolo delle aree
Questa formula viene anche detta formula circolare in quanto, fissato un punto di partenza, per esempio quello di ascissa !, si calcolano gli integrali definitiche si incontrano percorrendo il contorno della curva che delimita l’area "fino a tornare nel punto di inizio.
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L’integrale definito Il calcolo delle aree
ESEMPIO
Calcoliamo l’area della regione finita di piano delimitata dalle curve
! " = 2 − "& e ' " = "Calcoliamo le ascisse dei punti di intersezione delle due curve risolvendo l’equazione:
2 − "& = " → " = −2 ∨ " = 1
Poiché !(") ≥ '(") nell’intervallo [−2, 1], l’area richiesta è uguale a:
12&
32 − "& 4" −1
2&
3" 4" = 1
2&
32 − "& − " 4" = −13"
6 − 12 "& + 2"
2&
3= 92
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L’integrale definito Il calcolo delle aree
L’area della regione delimitata da una curva e dall’asse !
Nel caso in cui la funzione " abbia come variabile indipendente # si procedecome nel caso precedente.
ESEMPIO
Calcoliamo l’area della regione finita di piano delimitata dalla parabola di equazione
$ = #& + 2# − 3
La parabola interseca l’asse # nei punti di ordinata −3 e 1.
,-./ 01 2 = −345
6#& + 2# − 3 0# = − 1
3#5 + #& − 3#
45
6= 323
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L’integrale definito Il calcolo delle aree
ESEMPIO
Calcoliamo l’area della regione di piano delimitata dall’iperbole di equazione ! = #$%&$'( ,
dall’asse ! e dalla retta ! = 2.
Esplicitiamo l’equazione dell’iperbole rispetto a *:
* = +'&#%+
,-./ = 0%&
& ! + 23 − ! 4! = 0
%&
&−1 + 5
3 − ! 4! = −! − 5 ln(3 − !) %&& = 5 ln 5 − 4
Se la funzione < ha come variabile indipendente * ed è invertibile, prima si scrive l’equazione della funzione in funzione di ! e poi si procede come nel caso precedente.
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L’integrale definito Volume di un solido di rotazione
Il volume di un solido di rotazione
La rotazione attorno all’asse !
Se "($) è una funzione continua in &, ( il volume ) del solido generato da "($)in una rotazione completa attorno all’asse $ è dato dalla formula:
) = + ∫-.[" $ ]12$.
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L’integrale definito Volume di un solido di rotazione
ESEMPIO
Calcoliamo il volume del solido di rotazione ottenuto dalla rotazione completa attornoall’asse ! della funzione " ! = $
%&
nell’intervallo −2, 2 .
* = +,-%
% 12
%&/! = + − 1
2 ln 2 2 2%& -%
%= 255+32 ln 2 ≈ 36,12
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L’integrale definito Volume di un solido di rotazione
La rotazione attorno all’asse !
Il volume " del solido generato da #(%), funzione continua in ', ) , in una rotazione completa attorno all’asse * si calcola con la formula:
" = 2- ∫/0 % 1 #(%)2% se #(%) è positiva
" = −2- ∫/0 % 1 #(%)2% se #(%) è negativa
oppure
" = -45
6[8 * ]:2*
con g * = #;<(%) e = = # ' , > = #())
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L’integrale definito Integrali impropri
Gli integrali impropri
Nel calcolo di aree e volumi abbiamo supposto che la funzione !(#) da integrare fosse una funzione continua in un intervallo [&, (] con estremi finiti.
Ora vogliamo generalizzare il concetto di integrale definito nel caso in cui cada unadelle due ipotesi precedenti. In particolare esamineremo cosa accade se:
1. la funzione tende a infinito in uno degli estremi di integrazione o in un punto interno ad &, (
2. uno degli estremi di integrazione o entrambi non sono finiti.
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L’integrale definito Integrali impropri
Il primo caso
Se !(#) non è continua in % e lim)→+, ! # = ∞, se esiste ed è finito
lim/→+ ∫1
/ !(#) 2#
con 3 ∈ 5, % , allora diciamo che !(#) è integrabile in 5, % e poniamo:
71
+! # 2# = lim
/→+,71
/! # 2#
Se invece tale limite non esiste o non è finito diciamo che ! # non è integrabile in 5, % .
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L’integrale definito Integrali impropri
Analogamente, se la funzione !(#) non è continua in % e lim)→+,
! # = ∞, se esiste ed è finito
lim/→+, ∫/
1 !(#) 2#
con ℎ ∈ (%, 6], diciamo che !(#) è integrabile in %, 6 e poniamo:
8+
1! # 2# = lim
/→+,8/
1! # 2#
Se invece tale limite non esiste oppure è infinito diciamo che ! # non è integrabile in %, 6 .
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L’integrale definito Integrali impropri
ESEMPIO
Vogliamo stabilire se è finita l’area della regione di piano delimitata dalla funzione! = ln % nell’intervallo [0, 1].
La funzione tende a −∞ per % → 0..
Calcoliamo allora
lim2→34
52
6ln % 7% = lim
2→34%(ln % − 1) 2
6 = lim2→34
−1 − ℎ ln ℎ − 1 = −1
Poiché il limite ha valore finito e tenendo conto che la funzione è negativa in 0, 1 , possiamo concludere che l’area ha misura finita e vale 1.
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L’integrale definito Integrali impropri
ESEMPIO
Vogliamo stabilire se è finita l’area della regione di piano delimitata dalla funzione! = #
(%&#)( e l’asse ) nell’intervallo [0, 1].
La funzione tende a +∞ per ) → 1&.
Calcoliamo allora
lim6→#7
89
6 1() − 1); <) = lim
6→#71
1 − ) 9
6= lim
6→#71
1 − = − 1 = +∞
Poiché il limite ha valore infinito la funzione non è integrabile in 0, 1 e l’area richiesta non ha valore finito.
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L’integrale definito Integrali impropri
Il secondo caso
Sia !(#) una funzione definita e continua in un intervallo %, +∞ .
Allora, se esiste finito lim-→/0∫2- !(#) 3#, la funzione è integrabile nell’intervallo %, +∞
e poniamo:
42
/0! # 3# = lim
-→/042
-!(#) 3#
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L’integrale definito Integrali impropri
In modo analogo si pongono le definizioni nel caso in cui la funzione:
q è definita nell’intervallo −∞, $ :
&'(
)* + ,+ = lim1→'(
&1
)*(+) ,+
q è definita nell’intervallo −∞,+∞ :
&'(
6(* + ,+ = lim1→'(
)→6(&1
)*(+) ,+
sempre che tali limiti esistano finiti.
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L’integrale definito Integrali impropri
ESEMPIO
Stabiliamo se esiste
!"
#$ 1&' (&
Dobbiamo calcolare:
lim,→#$!"
, 1&' (& = lim,→#$ − 1
2&" "
,= lim,→#$ − 1
21" +18 = 1
8
Quindi
!"
#$ 1&' (& =
18
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