INTEGRALI IMPROPRI c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Integrali impropri cap10.pdf 1
INTEGRALI IMPROPRI
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Abbiamo visto che l’integrale di Riemann e definito per funzionilimitate e su intervalli limitati.
Sia ora I ⊆ R un intervallo non necessariamente limitato e f nonnecessariamente limitata.
Def. Un integrale
∫
I
f (x)dx si dice improprio se I e illimitato,
oppure se I e limitato e f non e limitata su I .
I = [1,+∞) e illimitato ,
x
y
1
f (x)
I = (0, 1] e limitato, f e illimitata su I .
x
y
1
f (x)
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Integrale su intervalli illimitati
Def. Sia I = [a,+∞) ⊂ R, sia f localmente integrabile su I
secondo Riemann e sia Fa(x) la funzione integrale di f (t) t.c.Fa(a) = 0.L’ integrale improprio di f su [a,+∞) e
∫ +∞
a
f (t)dt = limx→+∞
∫x
a
f (t)dt
︸ ︷︷ ︸
Fa(x)
= limx→+∞
Fa(x)
1 Se il limite esiste finito, diciamo che f e integrabile in sensoimproprio su I o che il suo integrale improprio converge
2 se il limite esiste infinito, diciamo che l’integrale improprio dif e divergente
3 se il limite NON esiste, diciamo che l’integrale improprio di fe oscillante
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Esempi
∫∞
0e−xdx e convergente
∫∞
1
1
xdx e divergente
∫∞
0cos(x)dx e oscillante
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Teorema Se f e una funzione positiva e localmente integrabile,allora il suo integrale improprio o converge o diverge (non puooscillare).
Dim. Ricordiamo che se f : [a,+∞) → R e localmente integrabile
e positiva, allora la sua funzione integrale Fa(x) =
∫x
a
f (t)dt e
crescente. Inoltre (per il teorema del limite di funzioni monotone[si veda cap3b.pdf, pag. 17]) se una funzione Fa(x) definita in unintorno di +∞ e monotona crescente, allora il lim
x→+∞Fa(x) esiste e
puo essere finito o infinito.
Oss. Se f e positiva e limx→+∞
f (x) = ℓ > 0 o limx→+∞
f (x) = +∞,
allora
∫ +∞
a
f (x)dx e divergente.
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Teorema ∫ +∞
1
1
xαdx
{converge se α > 1diverge se α ≤ 1
Dimostrazione∫ +∞
1
1
tαdt =
= limx→+∞
∫x
1
1
tαdt = lim
x→+∞
[log(t)]x1 se α = 11
1− α
[t1−α
]x
1se α 6= 1
= limx→+∞
log(x) se α = 11
1− α(x1−α − 1) se α 6= 1
=
+∞ se α ≤ 11
α− 1se α > 1
Oss. Il comportamento e analogo a quello della serie armonica
generalizzata∞∑
n=1
1
nα.
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La funzione f (x) = 1/xα per x > 1
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x
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Criterio del confrontoA volte non e possibile calcolare esplicitamente la funzioneintegrale di una funzione f data (ad es. f (x) = e−x
2non e
integrabile elementarmente), pero si riesce comunque a stabilire se
l’integrale improprio
∫ +∞
a
f (x)dx converge o diverge. Si utilizza
un criterio del confronto
Teorema (Criterio del confronto analogo a quello delle serie).Siano f e g due funzioni localmente integrabili su I = [a,+∞), t.c.0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ I . Allora
0 ≤∫ +∞
a
f (x)dx ≤∫ +∞
a
g(x)dx
e: se
∫ +∞
a
f (x)dx diverge, allora
∫ +∞
a
g(x)dx diverge
se
∫ +∞
a
g(x)dx converge, allora
∫ +∞
a
f (x)dx converge.
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Es. Esaminare il comportamento dell’integrale improprio∫ +∞
1e−x2dx .
Per x > 1 si ha x2 > x , quindi −x2 < −x e e−x2 < e−x
(ricordiamo che l’esponenziale e una funzione crescente e che lacomposizione tra una funzione crescente ed una funzionedecrescente e una funzione decrescente).Per il criterio del confronto si ha allora∫ +∞
1e−x2dx <
∫ +∞
1e−xdx .
Studiamo
∫ +∞
1e−xdx = lim
x→+∞
∫x
1e−tdt
= limx→+∞
[−e−t ]x1 = limx→+∞
(e−1 − e−x) = e−1
Quindi∫ +∞
1 e−xdx e convergente e, per il criterio del confronto lo
e anche∫ +∞
1 e−x2dx .
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Criterio del confronto asintotico
Teorema. Sia f localmente integrabile su I = [a,+∞) ed
∃ℓ ∈ R \ {0} t.c. f (x) ∼ ℓ
xαper x → +∞.
Allora∫ +∞
a
f (x)dx converge ⇔∫ +∞
a
1
xαdx converge ⇔ α > 1
∫ +∞
a
f (x)dx diverge ⇔∫ +∞
a
1
xαdx diverge ⇔ α ≤ 1
Oss. Dire f (x) ∼ ℓ
xαper x → +∞ vuol dire che f si comporta
come ℓ/xα per x → +∞, cioe e infinita o infinitesima dello stessoordine di 1/xα.
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Es. Esaminare il comportamento dell’integrale improprio∫ +∞
1
x + cos x
x3 + sin xdx .
La funzione integranda f (x) =x + cos x
x3 + sin xe f (x) ∼ 1
x2per
x → +∞, quindi abbiamo α = 2 e, per il criterio del confrontoasintotico, l’integrale dato converge.
Es. Esaminare il comportamento degli integrali impropri
∫ +∞
1
arctan x
x2dx ,
∫ +∞
1
arctan x
xdx .
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Teorema di McLaurin
Sia f : [1,+∞) → R monotona. Allora
+∞∑
n=1
f (n) e
∫ +∞
1f (x)dx
sono entrambi convergenti o divergenti.
Es. Lo abbiamo gia osservato con la serie armonica generalizzata:
+∞∑
n=1
1
nαconverge ⇐⇒
∫ +∞
1
1
xαdx converge
Es. Esaminare il comportamento dell’integrale∫ +∞
1
sin5(1x
)
log(x2 + 1)− 2 log(x)dx
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Criterio di convergenza assolutaTeorema. Sia f una funzione localmente integrabile su
I = [a,+∞) a segno variabile e tale che
∫ +∞
a
|f (x)|dx converga.
Allora anche
∫ +∞
a
f (x)dx converge e si ha:
∣∣∣∣
∫ +∞
a
f (x)dx
∣∣∣∣≤
∫ +∞
a
|f (x)|dx .
Es. Esaminare il comportamento dell’integrale
∫ +∞
1
cos x
x2dx .
La funzione integranda f (x) =cos x
x2e a segno variabile, ne considero il valore
assoluto.
|f (x)| =∣
∣
∣
cos x
x2
∣
∣
∣≤
1
x2, ∀x ∈ I = [1,+∞). Poiche l’integrale improprio di 1
x2su
[1,+∞) e convergente, per il criterio del confronto, anche
∫ +∞
1
∣
∣
∣
cos x
x2
∣
∣
∣dx
converge e, per il criterio di convergenza assoluta, converge anche∫ +∞
1
cos x
x2dx .
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Oss. Se f e localmente integrabile su I = (−∞, b], l’integraleimproprio di f su I e definito come
∫b
−∞
f (t)dt = limx→−∞
∫b
x
f (t)dt.
.
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Integrale su R = (−∞,∞)
Consideriamo f : R → R localmente integrabile secondo Riemann evogliamo calcolare
∫ +∞
−∞
f (x)dx . (1)
Sia c ∈ R, definiamo
∫ +∞
−∞
f (x)dx = lima→−∞b→+∞
∫b
a
f (x)dx =
= lima→−∞
∫c
a
f (x)dx + limb→+∞
∫b
c
f (x)dx
(2)
SE esistono finiti i due integrali impropri che compaiono in (2)ALLORA l’integrale improprio (1) e convergente
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Esempio
Consideriamo ad esempio la funzione f (x) =2x
1 + x2.
f e una funzione dispari.
L’integrale improprio
∫ +∞
−∞
2x
1 + x2dx e divergente in quanto
∫ +∞
0
2x
1 + x2dx ∼
∫ +∞
0
1
xdx
e quest’ultimo e divergente.
Anche
∫ 0
−∞
2x
1 + x2dx e divergente.
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Integrali di funzioni non limitate su intervalli limitati
Sia I = [a, b), sia f una funzione localmente integrabile su I , nondefinita in x = b (ad es. con lim
x→b−f (x) = ∞)
Def. Definiamo integrale improprio di f su [a, b)
∫b
a
f (t)dt = limx→b−
∫x
a
f (t)dt
1 Se il limite esiste finito, diciamo che f e integrabile in sensoimproprio su I o che il suo integrale improprio converge
2 se il limite esiste infinito, diciamo che l’integrale improprio dif e divergente
3 se il limite NON esiste, diciamo che l’integrale improprio di fe oscillante
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t
y
a b
f (t)
Osservazione Se I = (a, b] e f e una funzione localmenteintegrabile su (a, b], ma non necessariamente definita in x = a (ades. con lim
x→a+f (x) = ∞).
Def. Definiamo integrale improprio di f su (a, b]∫
b
a
f (t)dt = limx→a+
∫b
x
f (t)dt
1 Se il limite esiste finito, diciamo che f e integrabile in sensoimproprio su I o che il suo integrale improprio converge
2 se il limite esiste infinito, diciamo che l’integrale improprio dif e divergente
3 se il limite NON esiste, diciamo che l’integrale improprio di fe oscillante
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t
y
a b
f (t)
Teorema∫ 1
0
1
xαdx
{converge se α < 1diverge se α ≥ 1
Dimostrazione
∫ 1
0
1
tαdt =
= limx→0+
∫ 1
x
1
tαdt = lim
x→0+
[log(t)]1x
se α = 11
1− α
[t1−α
]1
xse α 6= 1
= limx→0+
− log(x) se α = 11
1− α(1− x1−α) se α 6= 1
=
+∞ se α = 11
1− αse α < 1
+∞ se α > 1
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La funzione f (x) = 1/xα per 0 < x < 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
2
4
6
8
10
x
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La funzione f (x) = 1/xα per x > 0
0 1 2 3 4 50
2
4
6
8
10
x
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La funzione f (x) = 1/(1− x)α per x < 1
-4 -3 -2 -1 0 10
2
4
6
8
10
x
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Confrontiamo
f1(x) =1
(1− x)α(a sinistra) e f0(x) =
1
xα(a destra)
-4 -3 -2 -1 0 10
2
4
6
8
10
x0 1 2 3 4 5
0
2
4
6
8
10
x
Fissato il valore di α, f1 e f0 vanno ad infinito con la stessavelocita, cioe
∫ 1
0
1
(1− x)αdx conv ⇔
∫ 1
0
1
xαdx conv ⇔ α < 1
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∫ 1
0
1
(1− x)αdx =
∫ 1
0
1
xαdx
(basta applicare la sostituzione:
s = 1− x , ds = −dx
se x = 0 ⇒ s = 1, se x = 1 ⇒ s = 0)
∫ 1
0
1
(1− x)αdx = −
∫ 0
1
1
sαds =
∫ 1
0
1
xαdx =
{
CONV se α < 1
DIV se α ≥ 1
Es.
∫ 1
0
1√1− x
dx converge perche:∫ 1
0
1√1− x
dx =
∫ 1
0
1√xdx =
∫ 1
0
1
x1/2
Quindi α = 1/2 < 1 e si ha convergenza
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Altri integrali elementari ottenuti per sostituzione
∫b
a
1
(b − x)αdx ∼
∫ 1
0
1
(1− x)αdx
∫b
a
1
(x − a)αdx ∼
∫ 1
0
1
(x − 0)αdx =
∫ 1
0
1
xαdx
Questi integrali convergono se α < 1 e divergono se α ≥ 1.
Es.∫ 2
1
1
(2− x)3/2dx diverge (α = 3/2 > 1)
∫ 3
0
1
(3− x)1/2dx converge (α = 1/2 < 1)
∫ 4
0
1
(4− x)dx diverge (α = 1)
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∫ b
a
1
(x − a)αdx =
∫ b−a
0
1
sαds
CONVERGE se α < 1 e DIVERGE se α ≥ 1(basta applicare la sostituzione:
s = x − a, ds = dx
se x = a ⇒ s = 0, se x = b ⇒ s = b − a)
∫ b
a
1
(b − x)αdx =
∫ b−a
0
1
sαds
CONVERGE se α < 1 e DIVERGE se α ≥ 1.(basta applicare la sostituzione:
s = b − x , ds = −dx
se x = a ⇒ s = b − a, se x = b ⇒ s = 0)
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Criterio del confronto (su intervalli limitati)
Teorema.Siano f e g due funzioni localmente integrabili su I = [a, b), t.c.0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ I = [a, b). Allora
0 ≤∫
b
a
f (t)dt ≤∫
b
a
g(t)dt
e: se
∫b
a
f (t)dt diverge, allora
∫b
a
g(t)dt diverge
se
∫b
a
g(t)dt converge, allora
∫b
a
f (t)dt converge.
Es. Esaminare il comportamento dell’integrale improprio∫ 4
2
√
x − 2
4− xdx .
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Criterio del confronto asintotico
Teorema. Sia f localmente integrabile su I = [a, b) ed
∃ℓ ∈ R \ {0} t.c. f (x) ∼ ℓ
(b − x)αper x → b−.
Allora
∫b
a
f (x)dx converge ⇔∫
b
a
1
(b − x)αdx converge ⇔ α < 1
∫b
a
f (x)dx diverge ⇔∫
b
a
1
(b − x)αdx diverge ⇔ α ≥ 1
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analogamente:
Teorema. Sia f localmente integrabile su I = (a, b] ed
∃ℓ ∈ R \ {0} t.c. f (x) ∼ ℓ
(x − a)αper x → a+.
Allora
∫b
a
f (x)dx converge ⇔∫
b
a
1
(x − a)αdx converge ⇔ α < 1
∫b
a
f (x)dx diverge ⇔∫
b
a
1
(x − a)αdx diverge ⇔ α ≥ 1
Es. Esaminare il comportamento dell’integrale∫ 2
32
log(x − 1)
x3 − 4x2 + 4xdx .
Riferimenti bibliografici. Canuto Tabacco, cap.10.1
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