Kef 2.1 2.2

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΘΕΩΡΙΑ

§ 2.1 – 2.2

www.ask si.blogspot.gre

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Η δημιουργία των μιγαδικών αριθμών οφείλεται

στην προσπάθεια επίλυσης των εξισώσεων 3ου

βαθμού καθώς και των εξισώσεων 2ου βαθμού με

αρνητική διακρίνουσα.

Ειδικότερα η εξίσωση x2 = –1 δεν έχει λύση στο

σύνολο R των πραγματικών αριθμών, αφού το

τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη

αρνητικός αριθμός.

Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C είναι ένα σύνολο το οποίο περιέχει: όλους τους πραγματικούς αριθμούς το στοιχείο i για το οποίο ισχύει i2=1 όλα τα στοιχεία της μορφής α+βi, όπου α, β IR Συνεπώς:

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΟΡΙΣΜΟΣ :Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου IR των πραγματικών αριθμών, στο οποίο: επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, έτσι ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο IR , με το 0 να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο ώστε i2=−1 κάθε στοιχείο z του C γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή z=α+βi όπου α, β IR

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΓια κάθε μιγαδικό αριθμό z=α+βi, όπου α, β IR, ισχύουν τα εξής: το α λέγεται πραγματικό μέρος του z και συμβολίζεται α=Re(z) το β λέγεται φανταστικό μέρος του z και συμβολίζεται β=Im(z)

π.χ. z = 5 + 3i

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΓια κάθε μιγαδικό αριθμό z=α+βi, όπου α, β IR, ισχύουν τα εξής: το α λέγεται πραγματικό μέρος του z και συμβολίζεται α=Re(z) το β λέγεται φανταστικό μέρος του z και συμβολίζεται β=Im(z)

π.χ. z = 5 + 3i

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΓια κάθε μιγαδικό αριθμό z=α+βi, όπου α, β IR, ισχύουν τα εξής: το α λέγεται πραγματικό μέρος του z και συμβολίζεται α=Re(z) το β λέγεται φανταστικό μέρος του z και συμβολίζεται β=Im(z)

π.χ. z = 5 + 3i

Re(z)=5

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΓια κάθε μιγαδικό αριθμό z=α+βi, όπου α, β IR, ισχύουν τα εξής: το α λέγεται πραγματικό μέρος του z και συμβολίζεται α=Re(z) το β λέγεται φανταστικό μέρος του z και συμβολίζεται β=Im(z)

π.χ. z = 5 + 3i

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΓια κάθε μιγαδικό αριθμό z=α+βi, όπου α, β IR, ισχύουν τα εξής: το α λέγεται πραγματικό μέρος του z και συμβολίζεται α=Re(z) το β λέγεται φανταστικό μέρος του z και συμβολίζεται β=Im(z)

π.χ. z = 5 + 3i

Im(z)=3

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ιπ.χ. z = -5 - 3i

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ιπ.χ. z = -5 - 3 i

Re(z)=-5 Im(z)=-3

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠαρατηρήσεις

αν β=0, τότε ο z είναι πραγματικός αριθμός

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠαρατηρήσεις

αν β=0, τότε ο z είναι πραγματικός αριθμός αν α=0, τότε ο z είναι φανταστικός αριθμός

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠαρατηρήσεις

αν β=0, τότε ο z είναι πραγματικός αριθμός αν α=0, τότε ο z είναι φανταστικός αριθμός Ως γνωστόν το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται IR. Αντιστοίχως το σύνολο των φανταστικών αριθμών συμβολίζεται Ι

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠαρατηρήσεις

αν β=0, τότε ο z είναι πραγματικός αριθμός αν α=0, τότε ο z είναι φανταστικός αριθμός Ως γνωστόν το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται IR. Αντιστοίχως το σύνολο των φανταστικών αριθμών συμβολίζεται Ι Όταν λέμε ο μιγαδικός z=α+βi, εννοούμε ότι α, β IR και το γεγονός αυτό δε θα τονίζεται ιδιαίτερα

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Έστω z=α+βi και w=γ+δi τότε:

Ισότητα μιγαδικών αριθμών

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Έστω z=α+βi και w=γ+δi τότε:

z=w

Ισότητα μιγαδικών αριθμών

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Έστω z=α+βi και w=γ+δi τότε:

z=w α+βi=γ+δi

Ισότητα μιγαδικών αριθμών

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Έστω z=α+βi και w=γ+δi τότε:

z=w α+βi=γ+δi α=γ και β=δ

Ισότητα μιγαδικών αριθμών

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Έστω z=α+βi και w=γ+δi τότε:

z=w α+βi=γ+δi α=γ και β=δ

Επομένως z=0

Ισότητα μιγαδικών αριθμών

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Έστω z=α+βi και w=γ+δi τότε:

z=w α+βi=γ+δi α=γ και β=δ

Επομένως z=0 α+βi=0+0i

Ισότητα μιγαδικών αριθμών

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Έστω z=α+βi και w=γ+δi τότε:

z=w α+βi=γ+δi α=γ και β=δ

Επομένως z=0 α+βi=0+0i α=0 και β=0

Ισότητα μιγαδικών αριθμών

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠαρατηρήσεις

α) Για να ισχύει α+βi=0 α=β=0 απαραίτητη προϋπόθεση είναι να ισχύει α,β IR.

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠαρατηρήσεις

α) Για να ισχύει α+βi=0 α=β=0 απαραίτητη προϋπόθεση είναι να ισχύει α,β IR. Αν α, βC τότε η παραπάνω συνθήκη δεν ισχύει.

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠαρατηρήσεις

α) Για να ισχύει α+βi=0 α=β=0 απαραίτητη προϋπόθεση είναι να ισχύει α,β IR. Αν α, βC τότε η παραπάνω συνθήκη δεν ισχύει.

β) Στο σύνολο C δεν υπάρχει διάταξη των αριθμών.

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠαρατηρήσεις

α) Για να ισχύει α+βi=0 α=β=0 απαραίτητη προϋπόθεση είναι να ισχύει α,β IR. Αν α, βC τότε η παραπάνω συνθήκη δεν ισχύει.

β) Στο σύνολο C δεν υπάρχει διάταξη των αριθμών. Για παράδειγμα αν υπήρχε διάταξη τότε θα έπρεπε να ισχύει i2>0 1>0 που είναι προφανώς άτοπο.

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό z=α+βi με α,βIR . Μπορούμε στο z να αντιστοιχίσουμε το σημείο Μ(α, β) του επιπέδου ή το διάνυσμα . Αλλά και αντίστροφα σε κάθε σημείο Μ(α, β) του επιπέδου μπορούμε να αντιστοιχίσουμε το μιγαδικό z=α+βi. Το σημείο Μ λέγεται εικόνα του μιγαδικού z και συμβολίζεται Μ(z).

Γεωμετρική παράσταση μιγαδικών αριθμών

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

πατήστε στην εικόνα

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Ένα καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών αριθμών, ονομάζεται μιγαδικό επίπεδο.

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Ο άξονας xx΄ λέγεται πραγματικός άξονας αφού περιέχει τα σημεία Μ(α, 0) που είναι εικόνες των πραγματικών αριθμών z=α+0i

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Ο άξονας xx΄ λέγεται πραγματικός άξονας αφού περιέχει τα σημεία Μ(α, 0) που είναι εικόνες των πραγματικών αριθμών z=α+0i

Πραγματικός άξονας

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Ο άξονας yy΄ λέγεται φανταστικός άξονας αφού περιέχει τα σημεία Μ(0, β) που είναι εικόνες των φανταστικών αριθμών z=0+βi

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Ο άξονας yy΄ λέγεται φανταστικός άξονας αφού περιέχει τα σημεία Μ(0, β) που είναι εικόνες των φανταστικών αριθμών z=0+βi

Φανταστικόςάξονας

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Ένας μιγαδικός αριθμός z=α+βi παριστάνεται επίσης και με τη διανυσματική ακτίνα του σημείου Μ(α, β).

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Ένας μιγαδικός αριθμός z=α+βi παριστάνεται επίσης και με τη διανυσματική ακτίνα του σημείου Μ(α, β).

Διανυσματική ακτίνα

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

Σύμφωνα με τον ορισμό του ₵, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικών αριθμών γίνονται όπως ακριβώς και οι αντίστοιχες πράξεις με διώνυμα α + βx στο IR , όπου βέβαια αντί για x έχουμε το i .

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δ IR . Οι πράξεις μεταξύ των μιγαδικών αριθμών γίνονται ως εξής:

Πράξεις μιγαδικών αριθμών

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠρόσθεση μιγαδικών

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠρόσθεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠρόσθεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1+z2 =

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠρόσθεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1+z2 =(α+βi)+(γ+δi)

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠρόσθεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1+z2 =(α+βi)+(γ+δi)=α+βi+γ+δi=

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠρόσθεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1+z2 =(α+βi)+(γ+δi)=α+βi+γ+δi=(α+γ)+(β+δ)i

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠρόσθεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1+z2 =(α+βi)+(γ+δi)=α+βi+γ+δi=(α+γ)+(β+δ)i

π.χ. (2-3i) + (7+i) =

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠρόσθεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1+z2 =(α+βi)+(γ+δi)=α+βi+γ+δi=(α+γ)+(β+δ)i

π.χ. (2-3i) + (7+i) = (2+7) + (-3+1)i

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠρόσθεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1+z2 =(α+βi)+(γ+δi)=α+βi+γ+δi=(α+γ)+(β+δ)i

π.χ. (2-3i) + (7+i) = (2+7) + (-3+1)i = 9 + (-2)i

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠρόσθεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1+z2 =(α+βi)+(γ+δi)=α+βi+γ+δi=(α+γ)+(β+δ)i

π.χ. (2-3i) + (7+i) = (2+7) + (-3+1)i = 9 + (-2)i = 9 – 2i

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΑφαίρεση μιγαδικών

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΑφαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΑφαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1z2

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΑφαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1z2 =(α+βi)(γ+δi)=

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΑφαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1z2 =(α+βi)(γ+δi)=α+βiγδi

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΑφαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1z2 =(α+βi)(γ+δi)=α+βiγδi=(αγ)+(βδ)i

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΑφαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1z2 =(α+βi)(γ+δi)=α+βiγδi=(αγ)+(βδ)i

π.χ. (8 + 5i) – (15 – 2i) =

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΑφαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1z2 =(α+βi)(γ+δi)=α+βiγδi=(αγ)+(βδ)i

π.χ. (8 + 5i) – (15 – 2i) = (8 – 15) + (5 + 2)i =

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΑφαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1z2 =(α+βi)(γ+δi)=α+βiγδi=(αγ)+(βδ)i

π.χ. (8 + 5i) – (15 – 2i) = (8 – 15) + (5 + 2)i = -7+7i

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι Γεωμετρική ερμηνεία

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΗ διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α + βi και γ + δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους

Απόδειξη

Αν M1 (α, β) και M2 (γ,δ) είναι οι εικόνες των z=α + βi και w=γ + δi αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισμα z+w = (α + γ) + (β + δ)i, παριστάνεται με το σημείο M(α + γ, β + δ)

πατήστε στην εικόνα

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΗ διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α + βi και γ + δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους

Απόδειξη

Αν M1 (α, β) και M2 (γ,δ) είναι οι εικόνες των z=α + βi και w=γ + δi αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε η διαφοράz - w = (α - γ) + (β - δ)i, παριστάνεται με το σημείο Ν(α - γ, β - δ)

πατήστε στην εικόνα

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠολλαπλασιασμός μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠολλαπλασιασμός μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1z2 = (α+βi)(γ+δi)

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠολλαπλασιασμός μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1z2 = (α+βi)(γ+δi) = αγ + αδi + βγi+ βδi2

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠολλαπλασιασμός μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1z2 = (α+βi)(γ+δi) = αγ + αδi + βγi+ βδi2 = = αγ + αδi + βγi βδ

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠολλαπλασιασμός μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1z2 = (α+βi)(γ+δi) = αγ + αδi + βγi+ βδi2 = = αγ + αδi + βγi βδ = αγ βδ + αδi + βγi

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠολλαπλασιασμός μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1z2 = (α+βi)(γ+δi) = αγ + αδi + βγi+ βδi2 = = αγ + αδi + βγi βδ = αγ βδ + αδi + βγi = = (αγ βδ) + (αδ + βγ)i

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠολλαπλασιασμός μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1z2 = (α+βi)(γ+δi) = αγ + αδi + βγi+ βδi2 = = αγ + αδi + βγi βδ = αγ βδ + αδi + βγi = = (αγ βδ) + (αδ + βγ)i

π.χ. (4 + 3i)(6 – 5i) =

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠολλαπλασιασμός μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1z2 = (α+βi)(γ+δi) = αγ + αδi + βγi+ βδi2 = = αγ + αδi + βγi βδ = αγ βδ + αδi + βγi = = (αγ βδ) + (αδ + βγ)i

π.χ. (4 + 3i)(6 – 5i) = 24 – 20i + 18i – 15i2

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠολλαπλασιασμός μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1z2 = (α+βi)(γ+δi) = αγ + αδi + βγi+ βδi2 = = αγ + αδi + βγi βδ = αγ βδ + αδi + βγi = = (αγ βδ) + (αδ + βγ)i

π.χ. (4 + 3i)(6 – 5i) = 24 – 20i + 18i – 15i2 = = 24 – 20i + 18i + 15

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠολλαπλασιασμός μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1z2 = (α+βi)(γ+δi) = αγ + αδi + βγi+ βδi2 = = αγ + αδi + βγi βδ = αγ βδ + αδi + βγi = = (αγ βδ) + (αδ + βγ)i

π.χ. (4 + 3i)(6 – 5i) = 24 – 20i + 18i – 15i2 = = 24 – 20i + 18i + 15 = (24 + 15) + (– 20 + 18)i

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠολλαπλασιασμός μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

z1z2 = (α+βi)(γ+δi) = αγ + αδi + βγi+ βδi2 = = αγ + αδi + βγi βδ = αγ βδ + αδi + βγi = = (αγ βδ) + (αδ + βγ)i

π.χ. (4 + 3i)(6 – 5i) = 24 – 20i + 18i – 15i2 = = 24 – 20i + 18i + 15 = (24 + 15) + (– 20 + 18)i = 39 – 2i

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΔιαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

2

1

z

z

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΔιαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

δiγ

iβα

z

z

2

1

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΔιαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

δi)(γδi)(γ

δi)(γi)βα(

δiγ

iβα

z

z

2

1

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΔιαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

222

2

2

1

iδγ

βδi-βγiiαδαγ

δi)(γδi)(γ

δi)(γi)βα(

δiγ

iβα

z

z

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΔιαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

22

222

2

2

1

δγ

βδβγiiαδαγ

iδγ

βδi-βγiiαδαγ

δi)(γδi)(γ

δi)(γi)βα(

δiγ

iβα

z

z

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΔιαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

2222

222

2

2

1

δγ

αδ)i-βγ(βδαγ

δγ

βδβγiiαδαγ

iδγ

βδi-βγiiαδαγ

δi)(γδi)(γ

δi)(γi)βα(

δiγ

iβα

z

z

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΔιαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

iδγ

αδβγ

δγ

βδαγ

δγ

αδ)i-βγ(βδαγ

δγ

βδβγiiαδαγ

iδγ

βδi-βγiiαδαγ

δi)(γδi)(γ

δi)(γi)βα(

δiγ

iβα

z

z

22222222

222

2

2

1

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΔιαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

iδγ

αδβγ

δγ

βδαγ

δγ

αδ)i-βγ(βδαγ

δγ

βδβγiiαδαγ

iδγ

βδi-βγiiαδαγ

δi)(γδi)(γ

δi)(γi)βα(

δiγ

iβα

z

z

22222222

222

2

2

1

iβα

1

z

1

1

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΔιαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

iδγ

αδβγ

δγ

βδαγ

δγ

αδ)i-βγ(βδαγ

δγ

βδβγiiαδαγ

iδγ

βδi-βγiiαδαγ

δi)(γδi)(γ

δi)(γi)βα(

δiγ

iβα

z

z

22222222

222

2

2

1

βi)-(αβi)(α

iβα

iβα

1

z

1

1

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΔιαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

iδγ

αδβγ

δγ

βδαγ

δγ

αδ)i-βγ(βδαγ

δγ

βδβγiiαδαγ

iδγ

βδi-βγiiαδαγ

δi)(γδi)(γ

δi)(γi)βα(

δiγ

iβα

z

z

22222222

222

2

2

1

222221 βα

iβα

iβα

iβα

βi)-(αβi)(α

iβα

iβα

1

z

1

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΔιαίρεση μιγαδικών

Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου α,β,γ,δIR.

iδγ

αδβγ

δγ

βδαγ

δγ

αδ)i-βγ(βδαγ

δγ

βδβγiiαδαγ

iδγ

βδi-βγiiαδαγ

δi)(γδi)(γ

δi)(γi)βα(

δiγ

iβα

z

z

22222222

222

2

2

1

iβα

β

βα

α

βα

iβα

iβα

iβα

βi)-(αβi)(α

iβα

iβα

1

z

1

2222

222221

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΔύναμη μιγαδικού αριθμού

Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού αριθμού z με ακέραιο εκθέτη ορίζονται όπως και στους πραγματικούς αριθμούς. Δηλαδή: zν= με ν θετικό ακέραιο και ν>1

z0=1 zν = για κάθε θετικό ακέραιο ν

παράγοντεςν

zzz

νz

1

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΆρα ισχύουν οι σχέσεις: i1=i, i2=1, i3=i2i=1i=i, i4=i2i2=1(1)=1Ειδικά για τον υπολογισμό των δυνάμεων iν, νN εργαζόμαστε ως εξής:

Έστω ν=4ρ+υ όπου υ{0,1,2,3}, τότε:

iν = i4ρ+υ = i4ρiυ = (i4)ρiυ = iυ =

3υαν,i

2υαν,1

1υανi,

0υαν,1

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ιπ.χ.

24418 ii

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ιπ.χ.

224418 iii

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ιπ.χ.

1iii 224418

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ιπ.χ.

1iii 224418

35423 ii

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ιπ.χ.

1iii 224418

335423 iii

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ιπ.χ.

1iii 224418

iiii 335423

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ιπ.χ.

1iii 224418

iiii 335423

03412 ii

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ιπ.χ.

1iii 224418

iiii 335423

003412 iii

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ιπ.χ.

1iii 224418

iiii 335423

1iii 003412

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ιπ.χ.

1iii 224418

iiii 335423

1iii 003412

17429 ii

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ιπ.χ.

1iii 224418

iiii 335423

1iii 003412

117429 iii

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ιπ.χ.

1iii 224418

iiii 335423

1iii 003412

iiii 117429

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΣυζυγής μιγαδικού αριθμού

Έστω z=α+βi₵ με α,β IR. Τότε ο αριθμός αβi ονομάζεται συζυγής του z και συμβολίζεται με ,

Δηλαδή =αβi.Z

Z

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΣτο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M(α, β) και M'(α,–β) δύο συζυγών μιγαδικών z = α + βi και  = α – βi είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα.

Z

πατήστε στην εικόνα

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΙδιότητες

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠαρατηρήσεις

α) Οι εικόνες των συζυγών αριθμών z, είναι συμμετρικά σημεία ως προς τον xx΄.

β) =z zIR γ =z zI δ) Για να δείξουμε ότι η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε κύκλο x2+y2=ρ2 αρκεί να δείξουμε ότι z = ρ2

z

z

z

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΛύση της εξίσωσης αz2+βz+γ=0 με α0

Ως γνωστόν η εξίσωση = 1 δεν έχει λύση στο IR . Επειδή όμως στο ₵ ισχύει = 1 , η εξίσωση μπορεί να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικώναριθμών ως εξής:

Ομοίως:

2x2i

ixήixix1x 222

i3xήi3xi3x9x 222

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΛύση της εξίσωσης αz2+βz+γ=0 με α0

Ως γνωστόν η εξίσωση = 1 δεν έχει λύση στο IR . Επειδή όμως στο ₵ ισχύει = 1 , η εξίσωση μπορεί να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικώναριθμών ως εξής:

Ομοίως:

Γενικά μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει πάντα λύση στο σύνολο ₵.

2x2i

ixήixix1x 222

i3xήi3xi3x9x 222

ΘΕΩΡΗΜΑ

Η εξίσωση αz2+βz+γ=0 με α,β,γIR και α0 έχει πάντα λύση στο ₵. Πρώτα υπολογίζουμε τη διακρίνουσα Δ=β24αγ και στη συνέχεια διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

αν Δ>0 τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές κι άνισες λύσεις

z1,2=

αν Δ=0 τότε η εξίσωση έχει μια διπλή πραγματική λύση

z0=

αν Δ<0 τότε η εξίσωση έχει δύο μιγαδικές συζυγείς λύσεις

z1,2=

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

α2

Δβ

α2

β

α2

Δiβ

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

ΙΠαρατηρήσεις

α) Σε κάθε περίπτωση ισχύουν οι τύποι του Vieta, δηλαδή: z1+z2= και z1z2= .

β) Οι λύσεις μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης στο σύνολο των μιγαδικών ₵, είναι πάντοτε συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί

α

βα

γ

ΜΙΓ

ΑΔΙΚ

ΟΙ

ΑΡΙΘ

ΜΟ

Ι

τέλος