cAPfrULo2 DETERMINANTES 2.1 LA FUNCION DETERMINANTE El lector esta familiarizado con funciones como fix) = sen x y fix) = x 2 , que asocian un numero real fix) a un valor real de la variable x. Como x y fix) asumen solo valores reales, tales funciones se describen como "funciones con valores reales de una variable real". En esta seccion se estudiara la funcion determinante, que es una "funcion con valores reales de una variable matricial" en el sentido de que asocia un numero real fiX) con una matriz X. El trabajo que se efectuara so re funciones determinantes ten dra importantes aplicaciones en la teoria de sistemas de ecuacione lineales y tambien conducira a una formula explicita para calcular la inversa de una matriz invertible. De acuerdo con el teorema 1.4.5, la matriz A = [: ~ J es invertible si ad - be ;t; O . La expresion ad - be a par ece con tanta f re cu en cia en matematicas que tiene un nombre; se llama determinante de la matriz A 2x 2, y se denota por el simbolo det(A). Con esta notacion, la inversa de A se puede expresar como A-I I [ d = det(A) -c 1 1 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Para denotar u n a p er m u ta ci on general del conjunto {I, 2, . . . , n}, se es-
cribira (jJ,h, ... ,jn)· Aqui,jl es el primer entero en la permutacion,j2 es el
segundo, y asi sucesivamente. Se dice que en una permutacion (ji- h, . . . ,j n)ocurre una inversion siempre que un entero mayor precede a uno menor. El
nume ro total de inversiones que ocurren en una pe rmutac ion puede obtenerse
como sigue: (1) encontrar el nume ro de enteros que son menores queh y que estan
despues de h en la p erm u ta cio n; (2 ) encontrar el nume ro de enteros que son
menores que j 2 Y que estan despues de j 2 en la pe rmutac ion. Continuar este
proceso de conteo para h, ... ,jn-J. La suma de estos mimeros es el numero total
de inversiones que hay en la pe rmutac ion,
Ejemplo 3 Determinar el numero de inversiones que hay en las siguientes
permutaciones:
a) (6, 1, 3, 4, 5, 2) b)(2,4, 1, 3) c) (1, 2, 3, 4)
Solucion.
a) EI numero de inversiones es 5 + 0 + 1 + 1 + 1=8.
b) EI numero de inversiones es 1 + 2 + 0 =3.
c) En esta permutacion no hay inversiones, !J .
Definicion. Se dice que una permutaci6n es par si el mimero total de
inversiones es un entero par, y es impar si el mimero total de inversiones es un
La evaluaci6n directa de determinantes a partir de la definici6n conduce a
dificultades de compute. En efecto, la evaluacion directa de un determinante 4 x 4
podria incluiria el calculo de 4! =24 productos elementales con signo, y un deter"
minante 10 x 10 incluiria el calculo de 10! = 3 628 800 productos elementales
con signo. Aplicando este metodo, inclusive la computadora digital m a s rapida es
incapaz de manejar en una cantidad razonable de tiempo el calculo de un determi-
nante 25 x 25. Por consiguiente, gran parte del resto del capitulo se dedica aldesarrollo de propiedades de determinantes, que simplificanin la evaluacion de estes,
Esta seccion conc1uye con algunos comentarios sobre la terminologfa y la nota-
cion. Primero, se observa que el sfrnbolo IA I es otra notacion para det(A). Por
ejemplo, el determinante de una matriz de 3 x 3 se puede escribir como
o
all al2 al3
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Con la Ultima notaci6n, el determinante de la matriz A del ejemplo 8 se escribiria
como
I I = -10-2
OBSERVACION. En terminos concretos, el determinante de una matriz es un
numero. Sin embargo, se acostumbra "abusar" ligeramente de la terminologia y
usar el termino "determinante" para referirse a la matriz cuyo determinante esta
siendo calculado. Asi,
se podria identificar como un determinante 2 x 2 y denorninar 3 al elemento que
esta en primer renglon y en la primera columna del determinante.
Por Ultimo, se observa que el determinante de A a menudo se escribe simbo-
licamente como
(I)
donde L indica que los terminos deben sumarse sobre todas las permutaciones (j1'
l» ... ,in) y los signos + 0 - se eligen en cada termino segun si la permutacion es
par 0 impar. Esta notacion es util cuando es necesario recalcar la definici6n de undeterminante.
verdaderos cuando en vez de "renglon" se escribe la palabra "columna". Para
demostrar una proposicion sobre columnas, basta transponer la matriz en cuestion
para convertir la proposicion sobre columnas en una proposicion sobre renglones,
y luego aplicar los resultados conocidos sobre renglones.
DETERMINANTES El siguiente teorema facilita la evaluacion del determinante de una matriz trian-
DE MATRICES gular, sin importar su tamaiio.TRIANGULARES
Teorema 2.2.2. Si A es una matriz triangular n X n (triangular superior,
triangular inferior 0 diagonal), entonces det(A) es el producto de los elementos
de la diagonal principal; es decir, dettA) =a"a?? ... ann.
A fin de facilitar la notacion, se demostrara el resultado para una matriz
triangular inferior 4 x. 4
o 0
a22 0
a32 a33
a42 a43
uEl razonamiento en el caso general n x n es semejante. Para matrices triangulares
superiores se puede obtener una demostracion aplicando el teorema 2.2.1b y
observando que la transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz
triangular inferior con los mismos elementos en la diagonal.
Demostracion del teorema 2.2.2 (Caso de una matri; triangular inferior de 4 X 4).
El iinico producto elemental de A que puede ser diferente de cero es al1a22a33a44.
Para ver que as! es, considerar un producto elemental representativo alj1a2jp3ha4k
Como al2 = a13 = al4 = 0, se debe tener i.= 1 a fin de tener un producto elemental
diferente de cero. Si iI= 1, se debe cumplir que 1 2 * " 1, ya que ninguna pareja de
factores comunes proviene de la misma columna. Ademas, como a23=a24 = 0,
se debe tener 1 2 = 2 a fin de que el producto elemental sea diferente de cero.Prosiguiendo de esta manera se obtiene 1 3 = 3 Y i4 = 4. Como alla22a33a44 se
multiplica por +1al formar el producto elemental con signo, se obtiene
det(A) = alla22a33a44 0
Ejemplo 1
2 7 -3 8 3
0 -3 7 5
0 0 6 7 6 = (2)( - 3)(6)(9)(4) = - 1296 ~
0 0 0 9 8
0 0 0 0 4
EFECTO DE LAS
OPERACIONES
El siguiente teorema muestra como una operacion elemental en los renglones de
OBSERVACION. Como se observa en la primera ecuaci6n del ejemplo 2, el inciso
a) del teorema 2.2.3 permite sacar del determinante un "factor comun" de cual-
quier renglon (0 columna).
Recordar que una matriz elemental se obtiene cuando se efectua una sola opera-
cion elemental en los renglones de una matriz identidad; asi, si en el teorema
2.2.3 se hace que A = I de modo que se tiene det(A) = det(ln) = 1, entonces lan,matriz B es una matriz elemental y el teorema conduce al siguiente resultado
sobre determinantes de matrices elementales.
Teorema 2.2.4. Sea E una. matri: elemental n X n.
a) Si E se obtiene al multiplicar por k un renglon de In , entonees det(£) = k.
b) Si Ese obtiene al intercambiar dos renglones de In ' entonces det(£) = -1.
c) Si E se obtiene al sumar un multiple de un renglon de In a otro renglon,
entonces det(£) =1.
Ejemplo 3 Los siguientes determinantes de matrices elementales, que se evaluan
por inspeccion, ilustran el teorema 2.2.4.
I 0 0 0 0 0 0 I
I ~0 0 7
0 3 0 0 0 I 0 0 1 0 0=3 = -1 =1 d
0 0 I 0 0 0 0
I~0 1 0
0 0 0 - 0 0 0 0 0 1
Elsegundo renglon de 14se Seintercambiaron los Ehdtimo renglon de 14se
multiplico por 3. renglones primero y sumo 7 veces al primer
Iiltimo de 14,renglon.
Si una matriz cuadrada A tiene dos renglones proporcionales, entonces se puede
introducir un renglon de ceros sumando un multiple adecuado de uno de los
renglones a otro renglon, Lo mismo es cierto para columnas. Pero sumar un
multiple de un renglon 0 una columna a otro rengl6n 0 a otra columna no cambiael determinante, de modo que por el teorema 2.2.1a se debe cumplir que det(A) =
O.Esto demuestra el.siguiente teorema.
Teorema 2.2.5. Si A es una matriz euadrada con dos reng/ones 0 dos eolumnas
proporeiona/es, entonces det(AJ =O.
Ejemplo 4 EI siguiente calculoIlustra la i~!T0duccion de un rengl6n de ceros
cuando hay dos renglones proporcionales: . -
3 -2 4 1 3 -2 4 El segundo renglon es dos
2. 6 -4 8 0 0 0 0 veces el primero, de modo que
3 9 5 9=0 se sumo - 2 veces e l primer
3 I 5renglon a 1 segundo para4 8 4 8 introducir un renglon de ceros.