KARMAŞIK (KOMPLEKS) SAYILARLA DEVRE ÇÖZÜMÜtbmyoelektrik.klu.edu.tr/dosyalar/birimler/...( ሶ= ∠ °[ ]). Karmaşık sayılar ile devre çözümü yapılırken kullanılacak
Post on 01-Jul-2020
18 Views
Preview:
Transcript
KARMAŞIK (KOMPLEKS) SAYILARLA
DEVRE ÇÖZÜMÜ1
2
KARMAŞIK SAYILAR
Karmaşık Sayılar
• Karmaşık (kompleks) sayılar, gerçel ve sanal sayılardan oluşmuştur.
• Karmaşık sayıların genel gösterilişi 𝒁 = 𝑹𝒆 + 𝒋𝑰𝒎
• Re gerçel kısmı, Im sanal kısmı ifade eder.
• Karmaşık sayılara
𝒁𝟏 = 𝟐 + 𝒋𝟐
𝒁𝟐 = −𝟑 + 𝒋 ;
𝒁𝟑 = −𝟐 + 𝒋𝟑 ;
𝒁𝟒 = 𝟏 − 𝒋𝟐 ;
𝒁𝟓 = 𝒋𝟑 ;
𝒁𝟔 = −𝟏
Sanal
Eksen
0
b
a Reel
Eksen
Z=a+jb
Im
ReSanal Sayılar
Ekseni
0
j1
j2
-j1
-j2
j3
-j3
1 2 3-1-2-3
Sanal Sayılar
Ekseni
Z1=2+j2
Z2=-3+j
Z3=-2-j3
Z4=1-j2
Z6=-1
Z5=j3
Im
Re
I.BölgeII.Bölge
III.Bölge IV.Bölge
(180+ (360-
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
3
KARMAŞIK SAYILAR
• Karmaşık sayının bulunduğu nokta ile başlangıç
noktasının birleşmesiyle sayının temsil ettiği vektör
elde edilir.
• Analitik düzlemde gösterilen karmaşık sayının
bulunduğu noktanın başlangıç noktasına olan
uzaklığına karmaşık sayının Modülü yada Mutlak
Değeri denir. Karmaşık sayının oluşturduğu vektörün
yatay eksen ile yapılan açıya karmaşık sayının
“Argümanı” denir
Sanal Sayılar
Ekseni
0
j1
j2
-j1
-j2
j3
-j3
1 2 3-1-2-3Reel Sayılar
Ekseni
Z1=2+j2
Z2=-3+j
Z3=-2-j3
Z4=1-j2
Z6=-1
Z5=j3
Im
Re
Sanal
Eksen
0
b
a Reel
Eksen
Z=a+jb
Im
Re
IZI
• ሶ𝒁 = 𝒂 + 𝒋𝒃 şeklinde verilen karmaşık sayının
Modülü 𝒁 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
Argüman 𝝋 = 𝒕𝒂𝒏−1𝒃
𝒂
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
4
KARMAŞIK SAYILAR
Örnek: 𝒁𝟏 = 𝟑 + 𝒋𝟐 ; 𝒁𝟐 = −𝟏 + 𝒋 ; 𝒁𝟑 = 𝟐 − 𝒋𝟒 ; 𝒁𝟒 = −𝟑 − 𝒋𝟐 ; 𝒁𝟓 = 𝒋𝟓 ; 𝒁𝟔 = 𝟑 karmaşık
sayılarının modülünü ve argümanlarını hesaplayınız.
Z1 karmaşık sayısının modülü 𝒁𝟏 = 𝟑 + 𝒋𝟐 = 𝟑𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝟑, 𝟔𝟎𝟔 I.Bölge(α)
Z1 karmaşık sayısının argümanı 𝝋𝟏 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟐
𝟑= 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟎, 𝟔𝟔𝟕
𝝋𝟏 = 𝟑𝟑, 𝟔𝟗°
Z2 karmaşık sayısının modülü ve argümanı
𝒁𝟐 = −𝟏 + 𝒋 = −𝟏 𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒 II.Bölge (180-α)
𝝋𝟐 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟏
−𝟏= 𝒕𝒂𝒏−𝟏 −𝟏
𝝋𝟐 = 𝟏𝟑𝟓°
Z3 karmaşık sayısının modülü ve argümanı
𝒁𝟑 = 𝟐 − 𝒋𝟒 = 𝟐𝟐 + −𝟒 𝟐 = 𝟒, 𝟒𝟕𝟐 IV.Bölge(360-α)
𝝋𝟑 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏−𝟒
𝟐= 𝒕𝒂𝒏−𝟏 −𝟐
𝝋𝟑 = −𝟔𝟑, 𝟒𝟑𝟓°
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
5
KARMAŞIK SAYILAR
Z4 karmaşık sayısının modülü ve argümanı
𝒁𝟒 = −𝟑 − 𝒋𝟐 = −𝟑 𝟐 + −𝟐 𝟐 = 𝟑, 𝟔𝟎𝟔 III.Bölge(180+α)
𝝋𝟒 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏−𝟐
−𝟑= 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟎, 𝟔𝟔𝟕
𝝋𝟒 = 𝟐𝟏𝟑, 𝟔𝟗°
Z5 karmaşık sayısının modülü ve argümanı
𝒁𝟓 = 𝒋𝟓 = 𝟎𝟐 + 𝟓𝟐 = 𝟓 y ekseni üzerinde
𝝋𝟓 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟓
𝟎= 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ∞
𝝋𝟓= 𝟗𝟎° (Bu işlemde hesap makinesi hata verecektir. Ancak tanjant değerinin ∞
olduğu açı değeri 90°’dir.)
Z6 karmaşık sayısının modülü ve argümanı
𝒁𝟔 = 𝟑 = 𝟑𝟐 + 𝟎𝟐 = 𝟑 x ekseni üzerinde
𝝋𝟔 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟎
𝟑= 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟎
𝝋𝟔= 𝟎°
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
6
KARMAŞIK SAYILAR
Karmaşık Sayıların Gösteriliş Şekilleri
Dik Bileşenler Şeklinde Gösterim
• Karmaşık sayının ሶ𝒁 = 𝒂 + 𝒋𝒃 şeklinde reel ve sanal kısımlardan oluşmuş gösterimine Dik
Bileşenler Şeklinde Gösterim denir. Reel kısım vektörün yatay izdüşümü, sanal kısım dikey
izdüşümüdür.
Sanal Eksen
0
b
a Reel Eksen
Z=a+jb
Im
Re
IZI
0
Reel Eksen
Sanal Eksen
-b
a
Z=a-jb
Im
Re
IZI
ሶ𝒁𝟏 = 𝒂 + 𝒋𝒃 ሶ𝒁𝟐 = 𝒂 − 𝒋𝒃
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
7
KARMAŞIK SAYILAR
Kutupsal (Trigonometrik) Gösterim
• Karmaşık sayının ሶ𝒁 = 𝒁∠𝝋 eklinde yatay ile yaptığı açı (argüman) ve modülü ile gösterimine
Kutupsal (Vektörel) Gösterim denir.
• ሶ𝒁 = 𝒂 + 𝒋𝒃 şeklindeki karmaşık sayının;
Kutupsal Gösterimi
ሶ𝒁 = 𝒂 + 𝒋𝒃 = 𝒁 ∠𝝋 eşitliğinden 𝒁 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 ve 𝝋 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒃
𝒂yazılarak
ሶ𝒁 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒃
𝒂
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
Sanal
Eksen
0
b
a Reel
Eksen
Z=a+jb
Im
Re
IZI
8
KARMAŞIK SAYILAR
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
Örnek: 𝒁𝟏 = −𝟏 + 𝒋 𝟑 𝒁𝟐 = 𝟑 + 𝒋𝟒 𝒁𝟑 = 𝟏𝟐 − 𝒋𝟓 𝒁𝟒 = −𝟑 − 𝒋𝟖 karmaşık
sayılarını kutupsal biçimde gösteriniz.
Z1 karmaşık sayısının kutupsal gösterimi
𝒁𝟏 = −𝟏 + 𝒋 𝟑 = −𝟏 𝟐 + 𝟑𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏
−𝟏
𝟑
= 𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏 −𝟎, 𝟓𝟕𝟕 II.Bölge(180-α)
𝒁𝟏 = 𝟐∠𝟏𝟐𝟎°
*Hesap Makinesi Kullanımı: (Dik bileşen şeklindeki karmaşık sayının modül ve argümanının bulunması)
𝒁 = 𝒂 + 𝒋𝒃 şeklinde verilmiş bir karmaşık sayının modül ve argümanı gerçel ve sanal kısımların işaretlerine dikkat ederek
hesap makinesi yardımıyla aşağıdaki gibi yapılır.
Hesap makinesi ekranında görülen aşağıdaki görüntü için;
Pol(a,b)
r = değer1 (Modül değeri)
θ = değer2 (Argüman değeri) ‘ni verir.
Çözüm için hesap makinesinde (CASIO fx-82ES) işlem
SHIFT ba ))SHIFT
SHIFT 3-1 ))SHIFT
9
KARMAŞIK SAYILAR
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
*Hesap Makinesi Kullanımı: (Kutupsal formdaki karmaşık sayının gerçel ve sanal kısımlarının bulunması)
𝒓 = 𝒓 ∠𝜽° şeklinde verilmiş bir karmaşık sayının gerçel (X) ve sanal kısımları (Y), argümanı işaretine dikkat ederek hesap
makinesi yardımıyla aşağıdaki gibi yapılır.
Hesap makinesi ekranında görülen aşağıdaki görüntü için;
Rec(r,θ)
X = değer1 (Gerçel değeri)
Y = değer2 (Sanal değeri) ‘ni verir.
Çözüm için hesap makinesinde (CASIO fx-82ES) işlem
SHIFT ba ))SHIFT
SHIFT 1202 ))SHIFT
Z1 karmaşık sayısının dik bileşen gösterimiሶ𝒁𝟏 = 𝟐∠𝟏𝟐𝟎°= 𝟐. 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟐𝟎° + 𝒋𝟐. 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟐𝟎°
= 𝟐. −𝟎, 𝟓 + 𝒋𝟐.𝟑
𝟐
ሶ𝒁𝟏 = −𝟏 + 𝒋 𝟑
10
KARMAŞIK SAYILAR
Z2 karmaşık sayısının kutupsal gösterimi
𝒁𝟐 = 𝟑 + 𝒋𝟒 = 𝟑𝟐 + 𝟒𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟒
𝟑
= 𝟓∠𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝟏, 𝟑𝟑𝟑 I.Bölge (α)
𝒁𝟐 = 𝟓∠𝟓𝟑, 𝟏𝟑°
Z3 karmaşık sayısının kutupsal gösterimi
𝒁𝟑 = 𝟏𝟐 − 𝒋𝟓 = 𝟏𝟐𝟐 + −𝟓 𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏−𝟓
𝟏𝟐
= 𝟏𝟑∠𝒕𝒂𝒏−𝟏 −𝟎, 𝟒𝟏𝟕 IV.Bölge(360-α)
𝒁𝟑 = 𝟏𝟑∠ − 𝟐𝟐, 𝟔𝟐°
Z4 karmaşık sayısının kutupsal gösterimi
𝒁𝟒 = −𝟑 − 𝒋𝟖 = −𝟑 𝟐 + −𝟖 𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏−𝟖
−𝟑
= 𝟖, 𝟓𝟒𝟒∠𝒕𝒂𝒏−𝟏 −𝟐, 𝟔𝟔𝟕 III.Bölge (180+α)
𝒁𝟒 = 𝟖, 𝟓𝟒𝟒∠𝟐𝟒𝟗, 𝟒𝟒𝟒°
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
11
KARMAŞIK SAYILAR
Dik bileşen gösterim Kutupsal Gösterim
ሶ𝑰 = 𝑨 + 𝒋𝟎 = 𝑨 ሶ𝑰 = 𝑨∠𝟎°
ሶ𝑰 = 𝟎 + 𝒋𝑨 = 𝒋𝑨 ሶ𝑰 = 𝑨∠𝟗𝟎°
ሶ𝑰 = −𝑨 + 𝒋𝟎 = −𝑨 ሶ𝑰 = 𝑨∠ ∓ 𝟏𝟖𝟎°
ሶ𝑰 = 𝟎 − 𝒋𝑨 = −𝒋𝑨 ሶ𝑰 = 𝑨∠𝟐𝟕𝟎° = 𝑨∠ − 𝟗𝟎°
ሶ𝑰 = 𝒂 + 𝒋𝒃 ሶ𝑰 = 𝑨∠ 𝐭𝐚𝐧−𝟏𝒃
𝒂
ሶ𝑰 = 𝒂 − 𝒋𝒃 ሶ𝑰 = 𝑨∠ 𝐭𝐚𝐧−𝟏−𝒃
𝒂
0
jb
a
I=a+jb
0
I
b
a
0
I
0
I
0
I
0
-jb
b
I=a-jb
a a
A
A
A
A
A
A
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
12
KARMAŞIK SAYILAR
Karmaşık Sayının Eşleniği
Dik bileşenler şeklinde gösterilen bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmının işareti
değiştirilerek elde edilir.
Dik bileşen gösterim ሶ𝑨 = 𝒂 + 𝒋𝒃
Karmaşık Sayının Eşleniği ሶ𝑨∗ = 𝒂 − 𝒋𝒃
Kutupsal şekilde gösterilen bir karmaşık sayının eşleniği ise, açının işareti değiştirilerek bulunur.
Kutupsal Gösterim ሶ𝑨 = 𝑨∠𝝋
Karmaşık Sayının Eşleniği ሶ𝑨∗ = 𝑨∠ − 𝝋
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
13
KARMAŞIK SAYILAR
Dik Bileşen ve Kutupsal Gösterilişlerin Birbirine Çevrilmesi
• Dik bileşenler şeklindeki ሶ𝑨 = 𝒂 + 𝒋𝒃 karmaşık sayının kutupsal ሶ𝑨 = 𝑨∠𝝋 şekline dönüştürülmesi
Dönüşüm için genel formül ሶ𝑨 = 𝒂 + 𝒋𝒃 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒃
𝒂
Karmaşık sayının modülü ሶ𝑨 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
Yatay ile yapılan açı (argümanı) 𝝋 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒃
𝒂
Kutupsal şeklindeki ሶ𝑨 = 𝑨∠𝝋 karmaşık sayının dik bileşenler ሶ𝑨 = 𝒂 + 𝒋𝒃 şekline dönüştürülmesi
işlemi aşağıdaki gibi gerçekleştirilir.
ሶ𝑨 = 𝑨∠𝝋 şeklindeki karmaşık sayının dik bileşenler şekline
dönüştürülmesi için yatay (a) ve dikey (b) izdüşümleri trigonometrik
ifadelerden yararlanılarak aşağıdaki gibi bulunur.
𝒂 = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔𝝋 (Yatay Bileşen)
𝒃 = 𝑨. 𝒔𝒊𝒏𝝋 (Dikey Bileşen)ሶ𝑨 = 𝑨∠𝝋 = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔𝝋
𝒂
+ 𝒋𝑨. 𝒔𝒊𝒏𝝋𝒃
Sanal Eksen
0
b
a Reel Eksen
A=a+jb
Im
Re
IAI
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
14
KARMAŞIK SAYILAR
Örnek: ሶ𝒁𝟏 = 𝟏𝟑∠𝟒𝟓°; ሶ𝒁𝟐 = 𝟐, 𝟐∠𝟔𝟎°; ሶ𝒁𝟑 = 𝟏, 𝟖∠𝟑𝟎° ; ሶ𝒁𝟒 = 𝟏𝟑∠ − 𝟓𝟑, 𝟏𝟑°; ሶ𝒁𝟓 = 𝟔, 𝟖𝟗∠𝟑𝟔, 𝟖𝟕°;ሶ𝒁𝟔 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟕∠ − 𝟕𝟎° sayılarını dik bileşenler biçimine dönüştürünüz.
ሶ𝑨 = 𝑨∠𝝋 = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔𝝋𝒂
+ 𝒋𝑨. 𝒔𝒊𝒏𝝋𝒃
ሶ𝒁𝟏 = 𝟏𝟑∠𝟒𝟓°= 𝟏𝟑. 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓° + 𝒋𝟏𝟑. 𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓°= 𝟏𝟑. 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 + 𝒋𝟏𝟑. 𝟎, 𝟕𝟎𝟕
ሶ𝒁𝟏 = 𝟗, 𝟏𝟗𝟏 + 𝒋𝟗, 𝟏𝟗𝟏
ሶ𝒁𝟐 = 𝟐, 𝟐∠𝟔𝟎°= 𝟐, 𝟐. cos𝟔𝟎° + 𝒋𝟐, 𝟐. sin𝟔𝟎°= 𝟐, 𝟐. 𝟎, 𝟓 + 𝒋𝟐, 𝟐. 𝟎, 𝟖𝟔𝟔
ሶ𝒁𝟐 = 𝟏, 𝟏 + 𝒋𝟏, 𝟗𝟎𝟔
ሶ𝒁𝟑 = 𝟏, 𝟖∠𝟑𝟎°= 𝟏, 𝟖. 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° + 𝒋𝟏, 𝟖. 𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎°= 𝟏, 𝟖. 𝟎, 𝟖𝟔𝟔 + 𝒋𝟏, 𝟖. 𝟎, 𝟓
ሶ𝒁𝟑 = 𝟏, 𝟓𝟓𝟗 + 𝒋𝟎, 𝟗
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
15
KARMAŞIK SAYILAR
Örnek: ሶ𝒁𝟏 = 𝟏𝟑∠𝟒𝟓°; ሶ𝒁𝟐 = 𝟐, 𝟐∠𝟔𝟎°; ሶ𝒁𝟑 = 𝟏, 𝟖∠𝟑𝟎° ; ሶ𝒁𝟒 = 𝟏𝟑∠ − 𝟓𝟑, 𝟏𝟑°; ሶ𝒁𝟓 = 𝟔, 𝟖𝟗∠𝟑𝟔, 𝟖𝟕°;ሶ𝒁𝟔 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟕∠ − 𝟕𝟎° sayılarını dik bileşenler biçimine dönüştürünüz.
ሶ𝒁𝟒 = 𝟏, 𝟖∠ − 𝟓𝟑, 𝟏𝟑°= 𝟏, 𝟖. 𝒄𝒐𝒔 −𝟓𝟑, 𝟏𝟑° + 𝒋𝟏, 𝟖. 𝒔𝒊𝒏 −𝟓𝟑, 𝟏𝟑°= 𝟏, 𝟖. 𝟎, 𝟖 + 𝒋𝟏, 𝟖. (−𝟎, 𝟔)
ሶ𝒁𝟒 = 𝟏, 𝟎𝟖 − 𝒋𝟏, 𝟒𝟒
ሶ𝒁𝟓 = 𝟔, 𝟖𝟗∠𝟑𝟔, 𝟖𝟕°= 𝟔, 𝟖𝟗. 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟔, 𝟖𝟕° + 𝒋𝟔, 𝟖𝟗. 𝒔𝒊𝒏𝟑𝟔, 𝟖𝟕°= 𝟔, 𝟖𝟗. 𝟎, 𝟔 + 𝒋𝟔, 𝟖𝟗. 𝟎, 𝟖
ሶ𝒁𝟓 = 𝟒, 𝟏𝟑𝟒 + 𝒋𝟓, 𝟓𝟏𝟐
ሶ𝒁𝟔 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟕∠ − 𝟕𝟎°= 𝟎, 𝟐𝟎𝟕. 𝒄𝒐𝒔 −𝟕𝟎° + 𝒋𝟎, 𝟐𝟎𝟕. 𝒔𝒊𝒏 −𝟕𝟎°= 𝟎, 𝟐𝟎𝟕. 𝟎, 𝟑𝟒𝟐 + 𝒋𝟎, 𝟐𝟎𝟕. 𝟎, 𝟗𝟒
ሶ𝒁𝟔 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟏 − 𝒋𝟎, 𝟏𝟗𝟓
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
16
KARMAŞIK SAYILAR
Karmaşık Sayılarda Dört İşlem
Toplama ve Çıkarma İşlemi
Toplama ve çıkarma işlemi yalnız dik bileşen şeklindeki gösteriliş ile mümkündür. Kutupsal
şekilde toplama ve çıkarma işlemi yapılabilmesi için kutupsal biçim dik bileşen şekline çevrilmelidir.
Dik bileşenler şeklindeki karmaşık sayıların toplama yada çıkarma işleminde, gerçel kısımlar
kendi aralarında, sanal kısımlar kendi aralarında toplanır yada çıkarılır.
ሶ𝑨 = 𝒂 + 𝒋𝒃 ve ሶ𝑩 = 𝒄 − 𝒋𝒅 karmaşık sayıları verilmiş olsun.
Toplama İşlemi
ሶ𝑨 + ሶ𝑩 = 𝒂 + 𝒋𝒃 + (𝒄 − 𝒋𝒅)ሶ𝑨 + ሶ𝑩 = 𝒂 + 𝒄 + 𝒋(𝒃 − 𝒅)
Çıkarma İşlemi
ሶ𝑨 − ሶ𝑩 = 𝒂 + 𝒋𝒃 − 𝒄 − 𝒋𝒅ሶ𝑨 − ሶ𝑩 = 𝒂 − 𝒄 + 𝒋 𝒃 + 𝒅
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
17
KARMAŞIK SAYILAR
Örnek: ሶ𝑨 = −𝟐 + 𝒋 ve ሶ𝑩 = 𝟒 + 𝒋𝟑
Toplama işlemi
ሶ𝑨 + ሶ𝑩 = −𝟐 + 𝒋 + 𝟒 + 𝒋𝟑= −𝟐 + 𝟒 + 𝒋 𝟏 + 𝟑
ሶ𝑨 + ሶ𝑩 = 𝟐 + 𝒋𝟒ሶ𝑨 + ሶ𝑩 = 𝟒, 𝟒𝟕𝟐∠𝟔𝟑, 𝟒𝟑𝟓°
Çıkarma işlemi
ሶ𝑨 − ሶ𝑩 = −𝟐 + 𝒋 − 𝟒 + 𝒋𝟑= −𝟐 − 𝟒 + 𝒋 𝟏 − 𝟑
ሶ𝑨 − ሶ𝑩 = −𝟔 − 𝒋𝟐ሶ𝑨 + ሶ𝑩 = 𝟔, 𝟑𝟐𝟒∠ − 𝟏𝟔𝟏, 𝟓𝟔𝟓°
Örnek: ሶ𝑬 = 𝟑, 𝟓∠ − 𝟔𝟎° ve ሶ𝑭 = 𝟎, 𝟐𝟏𝟖 + 𝒋𝟎, 𝟓𝟎𝟗
ሶ𝑬 + ሶ𝑭 = 𝟑, 𝟓∠ − 𝟔𝟎° + 𝟎, 𝟐𝟏𝟖 + 𝒋𝟎, 𝟓𝟎𝟗= 𝟑, 𝟓. 𝒄𝒐𝒔 −𝟔𝟎° + 𝒋𝟑, 𝟓. 𝒔𝒊𝒏 −𝟔𝟎 + 𝟎, 𝟐𝟏𝟖 + 𝒋𝟎, 𝟓𝟎𝟗= 𝟑, 𝟓. 𝟎, 𝟓 + 𝒋𝟑, 𝟓 −𝟎, 𝟖𝟔𝟔 + 𝟎, 𝟐𝟏𝟖 + 𝒋𝟎, 𝟓𝟎𝟗= 𝟏, 𝟕𝟓 − 𝒋𝟑, 𝟎𝟑𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟏𝟖 + 𝒋𝟎, 𝟓𝟎𝟗
ሶ𝑬 + ሶ𝑭 = 𝟏, 𝟗𝟔𝟖 − 𝒋𝟐, 𝟓𝟐𝟐ሶ𝑬 + ሶ𝑭 = 𝟑, 𝟏𝟗𝟗∠ − 𝟓𝟐, 𝟎𝟑𝟒°
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
18
KARMAŞIK SAYILAR
Örnek: ሶ𝑪 = 𝟓∠𝟓𝟑, 𝟏𝟑° ve ሶ𝑫 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒∠𝟒𝟓°
Toplama işlemiሶ𝑪 + ሶ𝑫 = 𝟓∠𝟓𝟑, 𝟏𝟑° + 𝟏, 𝟒𝟏𝟒∠𝟒𝟓°
= 𝟓. 𝒄𝒐𝒔𝟓𝟑, 𝟏𝟑° + 𝒋𝟓. 𝒔𝒊𝒏𝟓𝟑, 𝟏𝟑°𝑪
+ 𝟏, 𝟒𝟏𝟒. 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓° + 𝒋𝟏, 𝟒𝟏𝟒. 𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓°𝑫
= 𝟓. 𝟎, 𝟔 + 𝒋𝟓. 𝟎, 𝟖 + 𝟏, 𝟒𝟏𝟒. 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 + 𝒋𝟏, 𝟒𝟏𝟒. 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 = 𝟑 + 𝒋𝟒 + 𝟐 + 𝒋𝟐ሶ𝑪 + ሶ𝑫 = 𝟓 + 𝒋𝟔ሶ𝑪 + ሶ𝑫 = 𝟕, 𝟖𝟏∠𝟓𝟎, 𝟏𝟗𝟒°
Çıkarma işlemiሶ𝑪 − ሶ𝑫 = 𝟓∠𝟓𝟑, 𝟏𝟑° − 𝟏, 𝟒𝟏𝟒∠𝟒𝟓°
= 𝟓. 𝒄𝒐𝒔𝟓𝟑, 𝟏𝟑° + 𝒋𝟓. 𝒔𝒊𝒏𝟓𝟑, 𝟏𝟑°𝑪
− 𝟏, 𝟒𝟏𝟒. 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓° + 𝒋𝟏, 𝟒𝟏𝟒. 𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓°𝑫
= 𝟓. 𝟎, 𝟔 + 𝒋𝟓. 𝟎, 𝟖 − 𝟏, 𝟒𝟏𝟒. 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 + 𝒋𝟏, 𝟒𝟏𝟒. 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 = 𝟑 + 𝒋𝟒 − 𝟐 − 𝒋𝟐ሶ𝑪 − ሶ𝑫 = 𝟏 + 𝒋𝟐ሶ𝑪 − ሶ𝑫 = 𝟐, 𝟐𝟔𝟑∠𝟔𝟑, 𝟒𝟑𝟓°
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
19
KARMAŞIK SAYILAR
Çarpma İşlemi
Dik bileşen gösterilişte çarpmanın dağılma özelliğinden yararlanılır.
ሶ𝑨 = 𝒂 + 𝒋𝒃 ve ሶ𝑩 = 𝒄 − 𝒋𝒅 karmaşık sayıları verilmiş olsun.
ሶ𝑨. ሶ𝑩 = 𝒂 + 𝒋𝒃 . 𝒄 − 𝒋𝒅 = 𝒂. 𝒄 + 𝒂. −𝒋𝒅 + 𝒋𝒃. 𝒄 + 𝒋𝒃. −𝒋𝒅
ሶ𝑨. ሶ𝑩 = 𝒂𝒄 − 𝒋𝒂𝒅 + 𝒋𝒃𝒄 − ณ𝒋𝟐
−𝟏
𝒃𝒅
ሶ𝑨. ሶ𝑩 = 𝒂𝒄 + 𝒃𝒅 + 𝒋 𝒃𝒄 − 𝒂𝒅
Kutupsal gösterilişte çarpma işlemi için modüller çarpılırken açılar toplanır.
ሶ𝑪 = 𝑪∠𝜶 ሶ𝑫 = 𝑫∠𝜷 karmaşık sayıları verilmiş olsun.
Çarpım işleminin sonucu ሶ𝑪. ሶ𝑫 = 𝑪∠𝜶.𝑫∠𝜷 = 𝑪.𝑫∠(𝜶 + 𝜷)
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
20
KARMAŞIK SAYILAR
Örnek: ሶ𝑨 = 𝟓𝟎∠𝟏𝟎° ve ሶ𝑩 = 𝟏𝟎∠𝟓𝟎°
ሶ𝑨. ሶ𝑩 = 𝟓𝟎∠𝟏𝟎°. 𝟏𝟎∠𝟓𝟎°= 𝟓𝟎. 𝟏𝟎∠ 𝟏𝟎° + 𝟓𝟎°
ሶ𝑨. ሶ𝑩 = 𝟓𝟎𝟎∠𝟔𝟎°
Örnek: ሶ𝑪 = −𝟐 + 𝒋 ve ሶ𝑫 = 𝟑 + 𝒋𝟒
ሶ𝑪. ሶ𝑫 = −𝟐 + 𝒋 . 𝟑 + 𝒋𝟒= −𝟐 . 𝟑 + −𝟐 . 𝒋𝟒 + 𝒋. 𝟑 + 𝒋. 𝒋𝟒= −𝟔 − 𝒋𝟖 + 𝒋𝟑 + 𝒋𝟐. 𝟒 = −𝟔 − 𝒋𝟖 + 𝒋𝟑 − 𝟒
ሶ𝑪. ሶ𝑫 = −𝟏𝟎 − 𝒋𝟓ሶ𝑪. ሶ𝑫 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟖∠ − 𝟏𝟓𝟑, 𝟒𝟑𝟓°
Örnek: 𝟐∠𝟑𝟎° . 𝟐 + 𝒋 𝟐 = 𝟐∠𝟑𝟎° . 𝟐𝟐+ 𝟐
𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏
𝟐
𝟐
= 𝟐∠𝟑𝟎° . 𝟒∠𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟏 = 𝟐∠𝟑𝟎°. 𝟐∠𝟒𝟓°
= 𝟐. 𝟐∠(𝟑𝟎° + 𝟒𝟓°) = 𝟒∠𝟕𝟓°
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
21
KARMAŞIK SAYILAR
Bölme İşlemi
Dik bileşen şeklindeki karmaşık sayıların bölünmesi işleminde payda gerçel duruma getirilmelidir.
Bunun için paydanın eşleniği ile pay ve payda çarpılır. Bundan sonra bölme işlemi yapılır. ሶ𝑨 = 𝒂 + 𝒋𝒃ve ሶ𝑩 = 𝒄 − 𝒋𝒅 karmaşık sayıları verilmiş olsun.
ሶ𝑨
ሶ𝑩=
𝒂+𝒋𝒃
𝒄−𝒋𝒅=
𝒂+𝒋𝒃
𝒄−𝒋𝒅
𝒄+𝒋𝒅
𝒄+𝒋𝒅=
𝒂.𝒄+𝒂.𝒋𝒅+𝒋𝒃.𝒄+𝒋𝒃.𝒋𝒅
𝒄𝟐+𝒅𝟐=
𝒂𝒄+𝒃𝒅 +𝒋 𝒃𝒄−𝒃𝒅
𝒄𝟐+𝒅𝟐
Kutupsal şekildeki karmaşık sayıların bölme işlemi daha kolaydır. Kutupsal gösterilişte bölme
işlemi için modüller bölünürken açılar çıkarılır.
ሶ𝑪 = 𝑪∠𝜶 ሶ𝑫 = 𝑫∠𝜷 karmaşık sayıları verilmiş olsun.
ሶ𝑪
ሶ𝑫=
𝑪∠𝜶
𝑫∠𝜷=
𝑪
𝑫∠(𝜶 − 𝜷)
Örnek:𝟕,𝟎𝟕∠𝟒𝟓°
𝟓∠𝟖𝟎°=
𝟕,𝟎𝟕
𝟓∠(𝟒𝟓° − 𝟖𝟎°) = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒∠ − 𝟑𝟓°
Örnek:𝟑+𝒋
𝟐+𝒋𝟐=
𝟑+𝒋
𝟐+𝒋𝟐.𝟐−𝒋𝟐
𝟐−𝒋𝟐=
𝟔−𝒋𝟔+𝒋𝟐−𝒋𝟐𝟐
𝟐𝟐+𝟐𝟐=
𝟔−𝒋𝟔+𝒋𝟐+𝟐
𝟖=
𝟖−𝒋𝟒
𝟖= 𝟏 − 𝒋𝟎, 𝟓
Örnek:𝟐𝟓∠𝟓𝟑,𝟏𝟑°
−𝟑+𝒋𝟒=
𝟐𝟓∠𝟓𝟑,𝟏𝟑°
−𝟑 𝟐+𝟒𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟒
−𝟑
=𝟐𝟓∠𝟓𝟑,𝟏𝟑°
𝟓∠𝟏𝟐𝟔,𝟖𝟕°
=𝟐𝟓
𝟓∠𝟓𝟑, 𝟏𝟑° − 𝟏𝟐𝟔, 𝟖𝟕° = 𝟓∠ − 𝟕𝟑, 𝟕𝟒°
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
22
KARMAŞIK SAYILAR – Devre Çözümleri
Karmaşık Sayıların Alternatif Akım Devrelerine Uygulanması
• Sinüssel alternatif büyüklüklerin vektörle gösterilmesi, alternatif akım devrelerinin çözümünde
büyük kolaylık sağlar.
• Karmaşık sayıların kullanımı ile vektörel işlerin çözümünde karşılaşılan zorluklar giderilmiş olur.
Direnç, Bobin ve Kondansatörün Karmaşık Sayı Şeklinde Gösterilmesi
• Direnç, karmaşık sayı düzleminde reel eksen,
• Bobin ve kondansatör ise sanal eksen üzerinde gösterilir.
0
XL
R
XC
0
jXL
R
-jXC
Sanal Eksen
Reel Eksen
Direnç ElemanıDik Bileşen
Gösterim
Kutupsal
Gösterim
Omik Direnç 𝑹 𝑹∠𝟎
Endüktif Reaktans 𝒋𝑿𝑳 𝑿𝑳∠𝟗𝟎°
Kapasitif Reaktans −𝒋𝑿𝑪 𝑿𝑪∠ − 𝟗𝟎°
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
23
KARMAŞIK SAYILAR – Devre Çözümleri
Karmaşık Sayılarla Devre Çözümü
Direnç Devresi
Sıfır fazlı ( ሶ𝑽 = 𝑽∠𝟎° [𝑽]) gerilim kaynağından sadece omik dirence gerilim uygulandığında devre
akımı devre gerilimi ile aynı fazlı yani sıfır fazlı olur ( ሶ𝑰 = 𝑰∠𝟎° [𝑨]). Karmaşık sayılar ile devre
çözümü yapılırken kullanılacak olan formüller klasik devre çözümü için kullanılan formüllerle aynıdır.
Devre akımı ሶ𝑰 =ሶ𝑽
ሶ𝑹=
𝑽∠𝟎°
𝑹∠𝟎°
ሶ𝑰 = 𝑰∠𝟎° 𝑨 (Kutupsal gösterim)
ሶ𝑰 = 𝑰 𝑨 (Dik bileşen gösterim)R 0°
V 0°
I 0°
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
24
KARMAŞIK SAYILAR – Devre Çözümleri
Örnek: Şebeke geriliminin uygulandığı 40W’lık akkor flamanlı ampulün çekeceği akımı direncini
1294,12 alarak hesaplayınız. (Gerilim sıfır fazlı kabul edilecek)
𝑽 = 𝟐𝟐𝟎∠𝟎° 𝑽𝑷 = 𝟒𝟎𝑾
Alternatif akım devrelerin karmaşık sayılarla çözümünde omik direnç Sıfır fazlı vektör olarak
gösterilir.
𝑹 = 𝟏𝟐𝟗𝟒, 𝟏𝟐𝛀 Dik bileşen gösterim
𝑹 = 𝟏𝟐𝟗𝟒, 𝟏𝟐∠𝟎° 𝛀 Kutupsal gösterim
Devre akımı ሶ𝑰 =ሶ𝑽
ሶ𝑹=
𝟐𝟐𝟎∠𝟎°
𝟏𝟐𝟗𝟒,𝟏𝟐∠𝟎°
ሶ𝑰 = 𝟎, 𝟏𝟕∠𝟎° 𝑨 (Kutupsal gösterim)ሶ𝑰 = 𝟎, 𝟏𝟕𝑨 (Dik bileşen gösterim)
NOT: Sadece dirençlerden meydana gelmiş olan devrede akımın açısı sıfırdır. Akımın
açısının sıfır olması sıfır fazlı olduğunu gösterir.
1294,12 0° 220 0° V
I
40W Ampul
25
KARMAŞIK SAYILAR – Devre Çözümleri
Bobin Devresi
Sıfır fazlı ( ሶ𝑽 = 𝑽∠𝟎° [𝑽] ) gerilim kaynağından iç direnci ihmal edilmiş bir bobine gerilim
uygulandığında devre akımı devre geriliminden 90° geri fazlı ve akımın açısı eksi (-) işaretli olur.
( ሶ𝑰 = 𝑰∠ − 𝟗𝟎° [𝑨]). Karmaşık sayılar ile devre çözümü yapılırken kullanılacak olan formüller
klasik devre çözümü için kullanılan formüllerle aynıdır.
Devre akımı ሶ𝑰 =ሶ𝑽
ሶ𝒋 ሶ𝑿𝑳=
𝑽∠𝟎°
𝑿𝑳∠𝟗𝟎°
ሶ𝑰 = 𝑰∠ − 𝟗𝟎° 𝑨 (Kutupsal gösterim)ሶ𝑰 = −𝒋𝑰 𝑨 (Dik bileşen gösterim)
BOBİNjXL
I -
V °
XL 90°
NOT: Sadece bobinlerden meydana gelmiş olan devrede akımın açısı gerilimden 90° geri
fazlıdır. Akımın açısının negatif işaretli oluşu geri fazlı olduğunu gösterir.
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
26
KARMAŞIK SAYILAR – Devre Çözümleri
Örnek: Endüktif reaktansı 20 olan bobine 220V’luk kaynaktan alternatif gerilim
uygulandığında geçecek olan akımı karmaşık sayıları kullanarak bulunuz. Gerilim sıfır fazlı kabul
ediniz.
Verilenler 𝑽 = 𝟐𝟐𝟎∠𝟎° 𝑿𝑳 = 𝟐𝟎𝛀
Alternatif akım devrelerin karmaşık sayılarla çözümünde endüktif reaktans 90° ileri fazlı vektör
olarak gösterilir.
𝒋 ሶ𝑿𝑳 = 𝒋𝟐𝟎𝛀 Dik bileşen gösterimሶ𝑿𝑳∠𝟗𝟎° = 𝟐𝟎∠𝟗𝟎° 𝛀 Kutupsal gösterim
Devre akımı ሶ𝑰 =ሶ𝑽
ሶ𝒋 ሶ𝑿𝑳=
𝟐𝟐𝟎
ሶ𝒋𝟐𝟎=
𝟐𝟐𝟎∠𝟎°
𝟐𝟎∠𝟗𝟎°
ሶ𝑰 = 𝟏𝟏∠ − 𝟗𝟎° 𝑨 (Kutupsal gösterim)ሶ𝑰 = −𝒋𝟏𝟏𝑨 (Dik bileşen gösterim)
j20
I
220 ° V
20 90°
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
27
KARMAŞIK SAYILAR – Devre Çözümleri
Kondansatör Devresi
Sıfır fazlı ( ሶ𝑽 = 𝑽∠𝟎° [𝑽]) gerilim kaynağından bir kondansatöre gerilim uygulandığında devre akımı
devre geriliminden 90° ileri fazlı ve akımın açısı artı (+) işaretli olur. ( ሶ𝑰 = 𝑰∠𝟗𝟎° [𝑨]). Karmaşık sayılar
ile devre çözümü yapılırken kullanılacak olan formüller klasik devre çözümü için kullanılan formüllerle
aynıdır.
Devre akımı ሶ𝑰 =ሶ𝑽
− ሶ𝒋 ሶ𝑿𝑪=
𝑽∠𝟎°
𝑿𝑳∠−𝟗𝟎°
ሶ𝑰 = 𝑰∠𝟗𝟎° 𝑨 (Kutupsal gösterim)ሶ𝑰 = 𝒋𝑰𝑨 (Dik bileşen gösterim)
-jXC
KOND.
I
V
XC -
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
28
KARMAŞIK SAYILAR – Devre Çözümleri
Örnek: Kapasitif reaktansı 636,62 olan bobine 220V’luk kaynaktan alternatif gerilim
uygulandığında geçecek olan akımı karmaşık sayıları kullanarak bulunuz. (Gerilim sıfır fazlı kabul
edilecek)
Verilenler 𝑽 = 𝟐𝟐𝟎∠𝟎° 𝑿𝑪 = 𝟔𝟑𝟔, 𝟔𝟐𝛀
Alternatif akım devrelerin karmaşık sayılarla çözümünde endüktif reaktans 90° geri fazlı
vektör olarak gösterilir.
−𝒋 ሶ𝑿𝑪 = −𝒋𝟐𝟎𝛀 Dik bileşen gösterimሶ𝑿𝑪∠ − 𝟗𝟎° = 𝟐𝟎∠ − 𝟗𝟎° 𝛀 Kutupsal gösterim
Devre akımı ሶ𝑰 =ሶ𝑽
− ሶ𝒋 ሶ𝑿𝑪=
𝟐𝟐𝟎
− ሶ𝒋𝟔𝟔𝟐,𝟔𝟐=
𝟐𝟐𝟎∠𝟎°
𝟔𝟔𝟐,𝟔𝟐∠−𝟗𝟎°
ሶ𝑰 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟐∠𝟗𝟎° 𝑨 (Kutupsal gösterim)ሶ𝑰 = 𝒋𝟎, 𝟑𝟑𝟐𝑨 (Dik bileşen gösterim)
NOT: Sadece bobinlerden meydana gelmiş olan devrede akımın açısı gerilimden 90°
ileri fazlıdır. Akımın açısının pozitif işaretli oluşu ileri fazlı olduğunu gösterir.
-jXC
KOND.
I
V
XC -
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
29
KARMAŞIK SAYILAR – Devre Çözümleri
Karmaşık Sayılarla Güç Hesabı
Karmaşık sayılarla alternatif akım devrelerinin güç hesabı için aktif, reaktif ve görünür güçlerin
karmaşık düzlem üzerinde gösterilir. Aktif güç reel eksen, reaktif güç sanal eksende ve görünür güç
her iki gücün bileşkesi olarak gösterilir. Görünür güç gerilim ile akımın eşleniğinin çarpımı ile
hesaplanır.
Görünür güç ሶ𝑺 = ሶ𝑽. ሶ𝑰∗ (Kutupsal gösterim)ሶ𝑺 = ሶ𝑷 + 𝒋𝑸𝑳 (Dik bileşen gösterim)
ሶ𝑺 = 𝑽. 𝑰. 𝒄𝒐𝒔𝝋 + 𝒋𝑽. 𝑰. 𝒔𝒊𝒏𝝋
0
QL
P
QC
0
jQL
P
-jQC
Sanal Eksen
Reel Eksen
Sanal Eksen
0
jQL
P Reel Eksen
S=P+jQL
Im
Re
ISI
0
Reel Eksen
Sanal Eksen
-jQC
P
S=P-jQC
Im
Re
ISIEndüktif devrede güç ሶ𝑺 = ሶ𝑷 + 𝒋 ሶ𝑸 Kapasitif devrede güç ሶ𝑺 = ሶ𝑷 − 𝒋 ሶ𝑸
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
30
KARMAŞIK SAYILAR – Devre Çözümleri
Karmaşık Sayıların Seri Devrelere Uygulanması
Seri Direnç – Bobin (R-L) Devresi
• Omik direnç ile iç direnci ihmal edilmiş bobinin seri bağlantısı ile elde edilen devrelerdir.
• Gerçek bobin de kendi başına Seri RL devresidir.
• Seri RL devrelerin karmaşık sayı ile çözümünden elde edilen devre akımı, gerilimden φ açısı
kadar geri fazlı ( ሶ𝑰 = 𝑰∠ − 𝝋 [𝑨]) olur.
• Devre açısı φ, akımın açısıdır. Açının işareti negatif olduğundan devre ENDÜKTİF olarak
çalışır.
Devre akımı ሶ𝑰 =ሶ𝑽
ሶ𝒁
Devrenin empedansı ሶ𝒁 = 𝑹 + 𝒋𝑿𝑳 (Dik bileşen gösterim)
ሶ𝒁 = 𝑹𝟐 + 𝑿𝑳𝟐 ∠𝒕𝒂𝒏−𝟏
𝑿𝑳
𝑹(Kutupsal gösterim)
Direnç gerilimi 𝑽𝑹 = 𝑰. 𝑹
Bobin gerilimi 𝑽𝑳 = 𝑰. 𝒋𝑿𝑳
Güç Hesabı 𝑺 = 𝑷 + 𝒋𝑸𝑳
𝑺 = 𝑽. 𝑰∗
𝑺 = 𝑽. 𝑰. 𝒄𝒐𝒔𝝋 + 𝒋𝑽. 𝑰. 𝒔𝒊𝒏𝝋
R
jXL
L
I -
V 0°
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
31
KARMAŞIK SAYILAR – Devre Çözümleri
Karmaşık Sayıların Seri Devrelere Uygulanması
Seri Direnç - Kondansatör (R - C) Devresi
• Omik direnç ile kondansatörün seri bağlantısı ile elde edilen devrelerdir.
• Seri RC devrelerin karmaşık sayı ile çözümünden elde edilen devre akımı, gerilimden φ açısı
kadar ileri fazlı ( ሶ𝑰 = 𝑰∠𝝋° [𝑨]) olur.
• Devre açısı φ, empedansın açısıdır. Devre KAPASİTİF olarak çalışır.
Devre akımı ሶ𝑰 =ሶ𝑽
ሶ𝒁
Devrenin empedansı ሶ𝒁 = 𝑹 − 𝒋𝑿𝑪 (Dik bileşen gösterim)
ሶ𝒁 = 𝑹𝟐 + 𝑿𝑪𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏
−𝑿𝑪
𝑹(Kutupsal gösterim)
Direnç gerilimi 𝑽𝑹 = 𝑰. 𝑹
Kondansatör gerilimi 𝑽𝑪 = 𝑰. −𝒋𝑿𝑪
Güç Hesabı ሶ𝑺 = 𝑷 − 𝒋𝑸𝑪
𝑺 = 𝑽. 𝑰∗
𝑺 = 𝑽. 𝑰. 𝒄𝒐𝒔𝝋 − 𝒋𝑽. 𝑰. 𝒔𝒊𝒏𝝋
R
-jXC
C
I
V
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
32
KARMAŞIK SAYILAR – Devre Çözümleri
Karmaşık Sayıların Seri Devrelere Uygulanması
Seri Direnç – Bobin - Kondansatör Devresi
• Omik direnç, bobin ve kondansatörün seri bağlantısı ile elde edilen devrelerdir.
• Seri RLC devrelerin karmaşık sayı ile çözümünden elde edilen akım, bobin ve kondansatörün
reaktansına göre gerilimden φ açısı kadar geri, ileri yada sıfır fazlı olur. Devre açısı φ, devre
akımının açısıdır.
• Devrenin çalışma durumu, reaktansların durumuna göre endüktif, kapasitif ve omik olabilir.
Devre akımı ሶ𝑰 =ሶ𝑽
ሶ𝒁
Devrenin empedansı ሶ𝒁 = 𝑹 + 𝒋𝑿𝑳 − 𝒋𝑿𝑪 (Dik bileşen gösterim)
ሶ𝒁 = 𝑹𝟐 + (𝑿𝑳 − 𝑿𝑪)𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏
𝑿𝑳−𝑿𝑪
𝑹(Kutupsal gösterim)
Devre empedansını ifade eden denklemde sanal kısmın işareti pozitif ise devre endüktif, negatif ise
devre kapasitiftir.
Direnç gerilimi 𝑽𝑹 = 𝑰. 𝑹Bobin gerilimi 𝑽𝑳 = 𝑰. 𝒋𝑿𝑳
Kondansatör gerilimi 𝑽𝑪 = 𝑰. −𝒋𝑿𝑪
Güç Hesabı ሶ𝑺 = 𝑷 + 𝒋𝑸𝑳 − 𝒋𝑸𝑪
𝑺 = 𝑽. 𝑰∗
R
L
CV
I
-jXC
jXL
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
33
KARMAŞIK SAYILAR – Devre Çözümleri
Karmaşık Sayıların Paralel Devrelere Uygulanması
Paralel Direnç Bobin Devresi
• Omik direnç ile iç direnci ihmal edilmiş bobinin paralel bağlantısı ile elde edilen devrelerdir.
• Paralel RL devrelerin karmaşık sayı ile çözümünden elde edilen devre akımı, gerilimden φ açısı
kadar geri fazlı ( ሶ𝑰 = 𝑰∠ − 𝝋 [𝑨]) olur. Devre açısı φ, empedansın açısıdır.
• Devre ENDÜKTİF olarak çalışır.
Devre akımı ሶ𝑰 =ሶ𝑽
ሶ𝒁
Devrenin empedansı𝟏
𝒁=
𝟏
𝑹+
𝟏
𝑱𝑿𝑳(Dik bileşen gösterim)
Direnç akımı 𝑰𝑹 =𝑽
𝑹
Bobin akımı 𝑰𝑳 =𝑽
𝑱𝑿𝑳
Güç Hesabı 𝑺 = 𝑽. 𝑰∗
𝑺 = 𝑷 + 𝒋𝑸𝑳
𝑺 = 𝑽. 𝑰. 𝒄𝒐𝒔𝝋 + 𝒋𝑽. 𝑰. 𝒔𝒊𝒏𝝋
I
V
R LIR IL
jXL
BOBİN
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
34
KARMAŞIK SAYILAR – Devre Çözümleri
Karmaşık Sayıların Paralel Devrelere Uygulanması
Paralel Direnç Kondansatör Devresi
• Omik direnç ile kondansatörün paralel bağlantısı ile elde edilen devrelerdir.
• Paralel RC devrelerin karmaşık sayı ile çözümünden elde edilen devre akımı, gerilimden φ açısı
kadar ileri fazlı ( ሶ𝑰 = 𝑰∠𝝋° [𝑨]) olur. Devre açısı φ empedansın açısıdır.
• Devre KAPASİTİF olarak çalışır.
Devre akımı ሶ𝑰 =ሶ𝑽
ሶ𝒁
Devrenin empedansı𝟏
𝒁=
𝟏
𝑹+
𝟏
−𝑱𝑿𝒄(Dik bileşen gösterim)
Direnç akımı 𝑰𝑹 =𝑽
𝑹
Kondansatör akımı 𝑰𝑪 =𝑽
−𝑱𝑿𝑪
Güç Hesabı 𝑺 = 𝑷 − 𝒋𝑸𝑪
𝑺 = 𝑽. 𝑰∗
𝑺 = 𝑽. 𝑰. 𝒄𝒐𝒔𝝋 − 𝒋𝑽. 𝑰. 𝒔𝒊𝒏𝝋
I
V
RC
IR IC -jXC
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
35
KARMAŞIK SAYILAR – Devre Çözümleri
Karmaşık Sayıların Paralel Devrelere Uygulanması
Paralel Direnç Bobin Kondansatör Devresi
• Omik direnç, iç direnci ihmal edilmiş bobin ve kondansatörün paralel bağlantısı ile elde edilen
devrelerdir.
• Paralel RLC devrelerin karmaşık sayı ile çözümünden elde edilen devre akımı, bobin ve
kondansatörün reaktansına göre gerilimden φ açısı kadar geri, ileri yada sıfır fazlı olur. Devre açısı
φ empedansın açısıdır.
• Devrenin çalışma durumu reaktansların durumuna göre endüktif, kapasitif ve omik olabilir.
Devre akımı ሶ𝑰 =ሶ𝑽
ሶ𝒁
Devrenin empedansı𝟏
ሶ𝒁=
𝟏
𝑹+
𝟏
𝑱𝑿𝑳+
𝟏
−𝒋𝑿𝑪
Direnç akımı ሶ𝑰𝑹 =𝑽
𝑹
Bobin akımı ሶ𝑰𝑳 =𝑽
𝑱𝑿𝑳
Kondansatör akımı ሶ𝑰𝑪 =𝑽
−𝑱𝑿𝑪
Devre Akımı ሶ𝑰 = ሶ𝑰𝑹 + ሶ𝑰𝑳 + ሶ𝑰𝑪
Güç Hesabı 𝑺 = 𝑷 + 𝒋𝑸𝑳 − 𝒋𝑸𝑪
𝑺 = 𝑽. 𝑰∗
I
V
RXCIR IC XLIL
C L
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
36
KAYNAKLAR
YAĞIMLI, Mustafa; AKAR, Feyzi; Alternatif Akım Devreleri & Problem Çözümleri, Beta
Basım, Ekim 2004
MARTI, İ. Baha; GÜVEN, M. Emin; COŞKUN, İsmail; Elektroteknik Cilt I, 1998
MARTI, İ. Baha; GÜVEN, M. Emin; Elektroteknik Cilt II, 1998
RIEDEL, Susan A; NILLSON, James W; Elektrik Devreleri, Palme Yayıncılık, Ankara
2015
top related