Infinitesimales Hier wächst Ihr Wissen über das unendlich Kleine Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 .
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InfinitesimalesHier wächst Ihr Wissen über das
unendlich Kleine
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http://www.leuphana.de/matheomnibus
1
Infinitesimal ThinkingYour knowledge about infinitely
small objects increases.
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Der ModellierungskreislaufEin erfundenes Beispiel:
16 Uhr Unfall mit Fahrerflucht in Hann. MündenEin Zeuge glaubt einen Transporter mit reichlich Werbeschrift gesehen zu haben.
Der Besitzer behauptet er sei um 16 Uhr gar nicht in Hann.Münden gewesen.
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The Modelling CircuitA faked example:
At 4 pm o‘clock there had been an accident in H.-Münden, the driver escaped.A witness had seen a van with multiple commertial marking how the picture shows.
The owner affirm that at 4 o‘clock he had not been in H.-Münden.
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Der ModellierungskreislaufUm 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt.
Der Fahrtenschreiber zeigt: Reale Situation
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Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.
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•Die Weser entsteht in Hannoversch Münden durch Zusammenfluss von Werra und Fulda. Sie durchfließt Niedersachen bis zur Nordsee. In Bodenwerder ist das Schloss des LügenbaronsFreiherr von Münchhausern. Er zog sich am eigenen Zopf aus dem Sumpf usw….
The Modeling CircuitAt 5 pm o‘clock he was verifiably still in Bodenwerder*, 80 km downstream the river Weser.
The trip recorder shows:real situation
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http://www.leuphana.de/matheomnibus
We are interested in the length of his drive.
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*Notice: the river Weser starts in Hannoversch Münden in Lower Saxony and goes
in the North Sea. In Boderwerder is the castle of the „Lying Lord Münchhausen“.
Der ModellierungskreislaufUm 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder*, 80 km entfernt.
Der Fahrtenschreiber zeigt: Reale Situation
mathematisches Modell
Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.
Fläche unter der Modellkurve gesucht.
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•Die Weser entsteht in Hannoversch Münden durch Zusammenfluss von Werra und Fulda. Sie durchfließt Niedersachen bis zur Nordsee. In Bodenwerder ist das Schloss des LügenbaronsFreiherr von Münchhausern. Er zog sich am eigenen Zopf aus dem Sumpf usw….
The Modeling CircuitAt 5 pm o‘clock he was verifiably still in Bodenwerder*, 80 km downstream the river Weser.
The trip recorder shows:real situation
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http://www.leuphana.de/matheomnibus
We are interested in the length of his drive.
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*Notice: the river Weser starts in Hannoversch Münden in Lower Saxony and goes
in the North Sea. In Boderwerder is the castle of the „Lying Lord Münchhausen“.
mathematical model
We search the area under the modeling curve.
Der ModellierungskreislaufUm 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt.
Der Fahrtenschreiber zeigt:Reale Situation
mathematisches Modell
Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.
Fläche unter der Modellkurve gesucht.
mathematische Lösungsidee
0.75
0
( )s v t d t Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http://www.leuphana.de/matheomnibus
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The Modeling CircuitAt 5 pm o‘clock he was verifiably still in Bodenwerder*, 80 km downstream the river Weser.
The trip recorder shows:real situation
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We are interested in the length of his drive.
10
mathematical model
We search the area under the modeling curve.
0.75
0
( )s v t d t mathematical idea of solving this
Der Modellierungskreislauf
0.75
0
( )s v t d t
Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt.
Der Fahrtenschreiber zeigt:Reale Situation
mathematisches Modell
Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.
Fläche unter der Modellkurve gesucht.
mathematische Lösungsidee
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mathematische Antwort 60s km11
The Modeling CircuitAt 5 pm o‘clock he was verifiably still in Bodenwerder*, 80 km downstream the river Weser.
The trip recorder shows:real situation
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We are interested in the length of his drive.
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mathematical model
We search the area under the modeling curve.
0.75
0
( )s v t d t
mathematical idea of solving this
mathematical solution 60s km
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Funktionen werden zum Werkzeug
Funktionen beschreiben Zusammenhänge
Man erhält Antworten beim
Blick auf „das Ganze“ mit dem Integral
integer (lat.)= ganz
pane integrale (it.) = Vollkornbot
Man erhält punktuelle Antworten mit dem Differential
( )f x d x
, , '( )d y
d f f xd x 13
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Functions Become a Tool
functions are describingconnections
You have solution with looking on on the whole issue with the Integral
integer (lat.)= whole
pane integrale (it.) = whohe –grain breadn
Youe have punctual solutions with the differential
( )f x d x
, , '( )d y
d f f xd x 14
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Das IntegralMan erhält Antworten beim
Blick auf „das Ganze“ mit dem Integral
integer (lat.)= ganz
pane integrale (it.) = Vollkornbot
( )f x d x( )
b
af x d x
15
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The Integral( )f x d x( )
b
af x d x
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You have solution with looking on on the whole issue with the Integral
integer (lat.)= whole
pane integrale (it.) = whohe –grain bread
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Das Riemannsche Integral
( )b
af x d x Bernhard Riemann
Abi 1846
Johanneum LüneburgOriginaltext aus „Gesammelte Werke“
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The Riemannian Integral
( )b
af x d x Bernhard Riemann
Abitur 1846
Johanneum Lüneburgoriginal text out of „Gesammelte Werke“
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On the conception of the definite integral and the range of its validity.……
So at first: What is the meaning of ? ( )b
af x d x
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Riemannsches Integral( )b
af x d x
Bernhard Riemann
Abi 1846
Johanneum Lüneburg
, bei jeder Zerlegung denselben Grenzwert zu haben,Originaltext aus „Gesammelte Werke“
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Riemannian Integral
( )b
af x d x
Bernhard Riemann
Abitur 1846
Johanneum Lüneburg
, to have the same limit with every dissection, original text out of „Gesammelte Werke“
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If the function has not this property, so the symbol has no meaning.
( )b
af x d x
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Das Integral als verallgemeinertes Produkt
( )b
as v t d t
WegGeschwindigkeit Zeit
Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....
s v t v konstant ( )v v t variabel
21
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The Integral as a Generalized Product
( )b
as v t d t
pathvelocity time
Integral for 3D-areas, volumes, balance points, balances,…
s v t v constant ( )v v t variable
22
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Das Integral als verallgemeinertes Produkt
( )b
as v t d t
( )b
aW F s d s
WegGeschwindigkeit Zeit
ArbeitKraft Weg
s v t v konstant ( )v v t variabel
konstantF W F s ( )F F s
23Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....
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The Integral as a Generalized Product
( )b
as v t d t
( )b
aW F s d s
pathvelocity time
workenergy
forth
Integral for 3D-areas, volumes, balance points, balances,…
s v t v constant ( )v v t variable
constantF W F s ( )F F s
24
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Das Integral als verallgemeinertes Produkt
( )b
as v t d t
( )b
aW F s d s
WegGeschwindigkeit Zeit
ArbeitEnergie
Kraft Weg
Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....
s v t v konstant ( )v v t variabel
konstantF W F s ( )F F s
variabelkonstantR U R I ( )R R I( )
b
aU R I d ISpannungWiderstand Stromstärke
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The Integral as a Generalized Product
( )b
as v t d t
( )b
aW F s d s
pathvelocity time
workenergy
forth
Integral for 3D-areas, volumes, balance points, balances,…
s v t v constant ( )v v t variable
constantF W F s ( )F F s
variableconstantR U R I ( )R R I( )
b
aU R I d Ivoltageresistor electric current
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Ohn‘s law
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Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert
Integral für Mittelwert und Bilanzen....
WetterTemperaturverlauf
27
17 14 214
2T T T T mittel
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The Integral for the Generalized Mean
Integral for means and financial balances....
weathertemperature profile
28
17 14 214
2T T T T mean
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Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert
Integral für Mittelwert und Bilanzen....
Flächenbilanz=0
29
17 14 214
2T T T T mittel
Ist die Modellierung der
Metereologen
nicht viel zu grob?????
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The Integral for the Generalized Mean
integral for means and balances....
balance of area =0
30
17 14 214
2T T T T mean
Is the modeling of the
meterologists too rough?
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Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert
Integral für Mittelwert und Bilanzen....
Flächenbilanz=0
31
17 14 214
2T T T T mittel
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The Integral for the Generalized Mean
32integral for means and balances....
balance of area =0
17 14 214
2T T T T mean
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Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert
Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....33
1Mittelwert ( )
b
af x dx
b a
Mittelwertder Funktionswerte
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The Integral for the Generalized Mean
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1mean ( )
b
af x dx
b a
meanof the functions values
integral 3D-areas aund volumes, for means and balances....
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Eigenschaften des Integrals
Intervall [A,B]
( )b
af x d x
Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ,dann ist auch das Integral negativ.
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Properties of the Integrals
interval [A,B]
( )b
af x d x
If the values of f are negative in the whole intervalthan the integral is negativ.
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Eigenschaften des Integrals
Intervall [A,B]
( )b
af x d x
Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und positiven Flächen.
Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ,dann ist auch das Integral negativ.
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Properties of the Integrals
interval [A,B]
( )b
af x d x
The integral is a balance of areas with negative and positive values.
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If the values of f are negative in the whole intervalthan the integral is negativ.
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Eigenschaften des Integrals
Intervall [A,B]
( )b
af x d x
Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und positiven Flächen.
Beim Vertauschen der Grenzenändert sich das Vorzeichendes Integrals
Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ,dann ist auch das Integral negativ.
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Properties of the Integrals
interval [A,B]
( )b
af x d x
By changing the borders the sign of the integral changes.
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If the values of f are negative in the whole intervalthan the integral is negativ.
The integral is a balance of areas with negative and positive values.
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Übungen zum Integral
Intervall [A,B]
( )b
af x d x 8, 20, 24
mögliche Werte
41
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Exercise with the Integral
interval [A,B]
( )b
af x d x 8, 20, 24
possible values
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Übungen zum Integral
Intervall [A,B]
( )b
af x d x 8, 20, 24
mögliche Werte
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Exercise with the Integral
interval [A,B]
( )b
af x d x 8, 20, 24
possible values
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Die Integralfunktion
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„Teppich-Abroll-Funktion“ ( , ) : ( )x
aF x a f t d t
a ax x
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The Integral Funktion
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„carpet scrolling funktion“ ( , ) : ( )x
aF x a f t d t
a ax x
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Die Integralfunktion
( , ) : ( )x
aF x a f t d t
„Teppich-Abroll-Funktion“
Ordinate von P zeigt die abgerollte Fläche an.47
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The Integral Funktion
( , ) : ( )x
aF x a f t d t
The ordinate of P shows the scrolled area.48
„carpet scrolling funktion“
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Die Integralfunktion
( , ) : ( )x
aF x a f t d t
Der Zuwachs der Integralfunktionhängt nur vom Zuwachs der Fläche ab.Also sind die verschiedenenIntegralfunktionen an jederStelle x gleich steil.
(x ist hier die Stelle von B)
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The Integral Funktion
( , ) : ( )x
aF x a f t d t
The growth of the integral-functiondepends only on the growth of the area.Therefore all the different integral functions have in every position x the same slope.
(here x is the position of B)
50
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Die Integralfunktion
( , ) : ( )x
aF x a f t d t
Alle Integralfunktionen
haben dieselbe Form.
An den Extremstellen
von F hat f eine Nullstelle.
An der Sattelstelle von F
hat f eine Berühr-Nullstelle.
Wo F eine Wendestelle hat, hat f eine Extremstelle.51
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The Integral Funktion
( , ) : ( )x
aF x a f t d t
All integral functionshave the same form.
In the extrem abscissas ofF the function f has a zero.
In the saddle-abscissa of Fthe function f has the x-axisas a tangent.
In the position of inflection of F there is an extreme position of f.52
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Nochmal die Teppichabrollfunktion
53
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Once Again the Carpet scrolling funktion
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Die Intergralfunktion F von f =„Teppichabrollfunktion“
55
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The Integral Function F von f =„ Carpet scrolling funktion“
56
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Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung
( ) '( )f x F xd. h. Alle Integralfunktionen F zu f mit beliebigem Start
haben ihr f auch als Ableitung. Sie heißen daher auch
„Stammfunktionen“ von f,
sie unterscheiden sich nur um eine
additive Konstante c. Man schreibt:
57
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Principal Theorem of the Calculus
( ) '( )f x F xThat is: All integral functions F of f with arbitrary start
have their own f as their derivative. For that we call them
„antiderivative“ von f.
All possible F differ only in an
additive constant c. One write:
58
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