Algebraische Kurven von der 8.Klasse bis zum 8.Semester Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt 2 2 2 2 2 ( )( ) x y y a k y
Algebraische Kurvenvon der 8.Klasse bis zum
8.Semester
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2 2 2 2 2( ) ( )x y y a k y
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Algebraische Kurven von der 8.Klasse bis zum 8. Semester
Hintergrund• 1996 Anregung durch Thomas Weth
•1998 Projekt Klasse 8 Johanneum
• Präsentation bei der EXPO 2000
•2002 Unterrichtseinheit Klasse 8, Johanneum
•Seit 1999 alle zwei Semester Vorlesung (2SWS) „Analytische Geometrie“, Schwerpunkt algebraische Kurven als Fachwissenschaft im Studiengang LBS (Lehramt Berufsbildende Schulen) und LA-GHR (t.w.)
•Seit 2001 diverse LFB-Vorträge (MNU, T3) dazu.
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Algebraische Kurven von der 8.Klasse bis zum 8. Semester
Gliederung• Erläuterung der Grundideen am Beispiel der Konchoiden, Klasse 8
•Vertiefungen, Ideen, Werkzeuge
• Weiteres Vorgehen und gute Strategien für schriftliche Prüfungen
• Skizze einer Vorlesung
• Elemente einer Evaluation
…und alles steht im Internet
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Sinn 2 2 2 2 2( )( )x y y a k y
2 2 2 2 2( )( 1) 2 x y y y
Sinngebung! !
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Algebraische Kurven in der 8.Klasse
? ?
2 2 2 2 2( )( )x y y a k y
2 2 2 2 2( )( 1) 2 x y y y! !Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt
Algebraische Kurven in der 8.Klasse
? ?geometrisches Handeln
Weg:
Einführungsbeispiel: Die Hundekurve
Handeln
Beobachten
Geometrisch
erfassenProf. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt
Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des Nikomedes
Realisierenim DGS
Ortskurve
erzeugen
Zeichnen
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Handeln, sehen,systematisieren
Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des Nikomedes
Realisierenim DGS
Ortskurve erzeugen
Zeichnen
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Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des Nikomedes
Die Hundekurve gibt es
in drei Typen. Die Form hängt von der Leinenlänge im
Vergleich zur
Baumentfernung ab.
Einflussgrößen
verändern
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Algebraische Kurven in Sek II oder Lehramtsstudium
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• Aus Strahlensatz
• und Pythagoras-Satz
• folgt in zwei Schritten
• die Gleichung der Hundekurve
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2 2 2 2 2( )( )x y y a k y
•
• Jedenfalls:
•Einbau eines Koordinaten-Systems
• Was macht man aber bei den „Kleinen“ ?!?!
• Beschaffung der Gleichung „irgendwoher“
Algebraische Kurven 8. Klasse, was voraus ging:
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Merke: • Alle Punkte, deren Koordinaten aus der Kurvengleichung eine wahre Aussage machen, liegen auf der Kurve.• Eine Gleichung, mit der ein sicher auf der Kurve liegender Punkt eine falsche Aussage erzeugt, ist sicher nicht die Kurvengleichung.
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
4 4 43 x y
4 4 42,5 2,5 3
78,125 81
. ?!?!?
falsche Aussage
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Stelle dar……
Wie soll das gehen?????
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Stelle dar……
Merke: Wenn zu der umgeformten Gleichung eine andere Kurve erscheint, war die Umformung sicher falsch. Erscheint dieselbe Kurve, kann die Umformung richtig sein. Es kann aber auch sein, dass der Fehler so klein oder so geartet ist, dass man ihn am Computer nicht sieht.
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• • Weiter bei der Hundekurve
2 20k ay a Einsetzen, ergibt:
Bei „vernünftigen“ Hundekurven nicht erfüllbar. y aAsymptote kann also die Gerade sein:
Was bedeuten
a und k ??????
Nun kann man auch mit k experimentieren…..
Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des Nikomedes
Der Leinen-Kreis schneidet zweimal
die Gerade BQ.
Der furchtsame
Fiffi hat auch seinen Weg.
Pluto strebt zum Baum,
Fiffi ist furchtsam.
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Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des NikomedesKonchoiden-Zirkel Nikomedes (200
v. Chr.)
Nikomedes kannte nur diesen Ast der Konchoide.
Er nannte die Kurve Muschellinie = Konchoide.Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt
Allgemeine Kreis-Konchoiden
ErsteVerallgemeinerung
Die Straße, auf der Quo Vadis geht,
kann ein Kreis sein.
….weitere
Pascalsche Schnecken
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Kardioide
….und andere
Exoten
Pascalsche Schnecken als Kreis-Konchoiden
Pascalsche Schnecken
Kreis-Straße, R,Baum auf dem Kreis
2 2 2 2 2 2( 2 ) ( ) x R x y k x y
Benannt nach Etienne Pascal (um 1620), dem Vater von Blaise Pascal (um 1650)
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Leinenlänge k
Allgemeine Konchoiden
Parabel-Straße
Kosinus-Straße
Die Straße, auf der Quo Vadis geht,
kann jede beliebige Kurve sein.
Zweite Verallgemeinerung
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( ) ( ) Straßer r k Polardarstellung aller
Konchoiden
Allgemeine Konchoiden
Parabel-Straße
Kosinus-Straße
Die Straße, auf der Quo Vadis geht,
kann jede beliebige Kurve sein.
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Und das sollen Sie nun entstehen sehen
Unterrichtsgang
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Erkundungen, Parametervariation, „Termsensibilisierung“
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Gute Arbeitsmöglichkeiten von Hand für Prüfungen
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1
2
3
4
5
6
7
8
Q
M
B
P
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
F1
F2
Kissoide
Strophoide
Versiera
Ellipse,
Hyperbel
Parabel
In Rastern Abzählen
Vorlesungsaufbau
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KonchoidenKegelschnitte, Kurven 2. Grades
Gemeinsame
Erzeugungsweisen
Beweise
Zusammenhänge
Kur
ven
höhe
ren
Gra
des
Verschiedene Darstellungsweisen und Weiterführungen
Vorlesungsaufbau
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Verschiedene Darstellungsweisen und Weiterführungen
2 2( , ) ( ) ( ) F x y x c y y c y
Strophoiden ( , ) 0F x y
Ganze Familien erhält man, wenn man nicht in der Höhe 0 schneidet.
Vorlesungsausblick
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Verschiedene Darstellungsweisen und Weiterführungen
Produkte ( , ) ( , ) 0F x y G x y
Durch Produktbildung öffnet sich ein ganzes Reich weiterer algebraischer Kurven.
(Felix Klein, ohne Visualisierung)
Evaluation aus Schülersicht
• Bemerkungen eines Schülers Klasse 8:
Als wir dann am Ende der 8. Klasse doch noch zu den Geraden kamen, war es sehr einfach, denn eine Gerade ist ja der simpelste Fall einer Kurve.
....Mathematikunterricht noch nie solch einen Spaß gemacht. Wir hätten auch gern noch weitergemacht,doch sind Schuljahre oft kürzer als man denkt..
4 Jahre später:Für mich waren das, was sonst so in Mathe kam, in den folgenden Jahren nicht nur Formeln und irgendwelche Punkte auf dem Papier.
.....ganz anderer Blick auf MatheJohannes Härke [Abi 2003]
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Evaluation aus Sicht der Studierenden (anonym)
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Evaluation aus Sicht der Studierenden (anonym)
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Sicht der Lehrenden
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Die Ästhetik in der Mathematik wird von uns sträflich vernachlässigt!Die Mathematik-
Lehrerschaftstellt die Brille her, durch die die Gesellschaft die Mathematik sieht
Was ist das Termgeturne denn wert, wenn es weder beherrscht noch verstanden wird?
Engagieren wir uns für eine reichhaltige und nachhaltige Mathematik im Lehramtsstudium, in der Lehrerfortbildung und in der Schule!
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2 2 2 2 2( ) ( )x y y a k y
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
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• 22 Seiten: Erkundungsaufgaben, Arbeitsblätter, Beweise, Klausurfragen, Ergänzungen
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