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Gerencia Financiera
Administración de Empresas
Facultad de Ciencias económicas
Sistemas de amortización
Unidad 2
Sistemas de amortización
Las formas de pago de un préstamo son:
1. Pago único
2. Serie uniforme
3. Serie de pagos de amortización constante
4. Serie gradiente (aritmética)
5. Serie gradiente (porcentual o geométrica)
1. Pago único
Son prestamos a una tasa de interés por período, que
se pagan al final del plazo estipulado, tanto intereses
como el principal.
Se puede calcular el valor futuro
como el valor presente :
F = P(1+i)n ≈ F=P (f/p, i%, n)
F = P(1-ia)-n
P
1 2 n períodos
0
F
1. Pago único
Ejemplos:
1. Se hace un préstamo de $2’000.000 al 30% ea. para
pagarlo en un solo pago al final de 5 años. ¿Cuál será el
pago futuro?.
2. Si se deben entregar dentro de dos años $3’500.000 de un
préstamo que se hizo a una tasa del 22% ea., ¿cuál fue el
valor del préstamo?.
3. Si deposito hoy $4’000.000 en una cuenta que paga
anualmente el 20% TA, ¿cuánto acumularé en un año?.
2. Serie uniforme
(1 ) 1(1 )
( / , %, )
n
n
rP A
r r
P A p a r n
(1 )(1 ) 1
( / , %, )
n
n
r rA P
r
A Pa p r n
Anualidades: corresponde a una serie de pagos iguales, que se
desembolsan en períodos de tiempo iguales a una tasa de interés i
con un plazo de n periodos.
P
1 2 n períodos
0
A A A A
Sk= A[ ((1+i)n-k -1) / i(1+i)n-k ]
2. Serie uniforme El saldo de una deuda en una serie uniforme, una vez pagada la
cuota del período k. es:
≈ Sk = A(P/A,i,n-k)
Sk: saldo o deuda después de pagar la cuota del período K, K=1,2,3..n
P
Sk = ?
k pagadas (n - k)
1 2 k k + 1 n
0
A A A A A A
2. Serie uniforme
Otro uso de la serie uniforme son los Fondos de
Capitalización, con los que se tiene depósitos en fin de
periodo que se acumule al final de n ahorros un fondo F.
SI F= P(1+i)n y
y
)%,,/(
1)1(
nrfaFA
rr
FA n
F
0 n períodos
A A
Ejemplo
La financiación de un carro se hace con un pago al recibir el
carro de $2’000.000 y el resto se cancela en 36 cuotas
mensuales de $550.000, el concesionario cobra una tasa del
34.5% mensual. ¿Cuál es el valor del carro?
Un administrador necesita acumular en un fondo
$10’000.000 para comprar un lote en el campo al final de su
carrera (5 años), ¿cuanto deberá ahorrar uniformemente en
una entidad que le reconoce el 2.5% mensual sobre saldos?
Combinación de pago único y serie
uniforme
En la practica los modelos se superponen o combinan,
Ejemplo:
Suponga que un préstamo de un $1’000.000 se paga en
cuotas iguales a una tasa del 2% efectivo mensual,
pero además se hace un refuerzo de $200.000 al final
del plazo que es un año. Cuál es el valor de la cuota
ordinaria mensual? (RESOLVER POR EXECEL)
Series uniformes anticipadas
Anualidades en las que el pago de las cuotas o
depósitos de ahorro se hace al principio de
cada período
Series uniformes anticipadas Como su pago o desembolso se hace al inicio del período, para
realizar los cálculos de valor presente, valor futuro, etc, se puede
crear un período ficticio antes del primer pago o desembolso.
Ejemplo:
Si se paga un prestamo con 9 cuotas iguales a principio de
período, de $250.000 a una tasa del 2% mensual, ¿cuàl fue el
monto del prestamo? (Con el uso de estas formulas tendríamos la
respuesta):
Series uniformes anticipadas
2. Un individuo deposita en su cuenta de ahorro la suma de $ 250 al
principio de cada año. ¿Cuánto tendrá al final de 8 años, si su
Banco le reconoce una tasa de interés del 3%?
A diferencia del caso anterior, aquì creamos un período ficticio,
despues del último depòsito de dinero y llevamos al futuro dichos
valores multiplicandolos por el factor (1+ i).
Formulas que permiten resolver el problema:
Series uniformes anticipadas
Tambien se puede calcular para este tipo de
anualidades el valor de la cuota A, bien sea para
situaciones en las que se trata de un pago o de un
ahorro. Para ello se puede usar las siguientes
formulas (respectivamente) resultados en clase
Calcule la cuota para los dos ejercicios anteriores
Series uniformes anticipadasDe igual forma se puede calcular n, para prolemas donde se conoce el
valor presente o el valor futuro, respectivamente
Ejemplo:Su padre consigna $ 60.000 al principio de cada trimestre en
una cuenta de ahorros que paga el 15% ATV ¿En cuánto
tiempo logrará ahorrar $ 6000.000?
2. Series uniformes diferidas y
perpetuas
Series diferidas:
Una anualidad diferida es aquella en que el primer pago se
efectúa después de transcurrido cierto número de periodos.
Ejemplo:
1. Una deuda de $800.000 se va a cancelar mediante 20 pagos
iguales trimestrales de $A cada uno. Si el primer pago se
efectúa exactamente al año de haberse prestado el dinero,
calcular A si la tasa de interés es del 36% ATV.
2. Series uniformes diferidas y
perpetuas
Desarrollo:
Gráficamente:
F=800000* (1+ 0,09)^3 = 1’036.023, 2
A= 1’036.023,2 *(((1,+0,09)^20 * 0,09 )/((1+0,09)^20-1)) = 113429,69
2. Series uniformes diferidas y
perpetuas
Series perpetuas:
Son aquellas anualidades que tiene infinito número de pagos.
En realidad, las anualidades infinitas no existen, porque en
este mundo todo tiene fin, pero, se supone que es infinita
cuando el número de pagos es muy grande.
Este tipo de anualidades se presenta, cuando se coloca un
capital y únicamente se retiran los intereses.
VP = A/i
2. Series uniformes diferidas y
perpetuas
Ejemplo:
Hallar el valor presente de una renta perpetua de $10.000
mensuales, suponiendo un interés del 33% AMV.
i = 33%/12 = 2,75%
VP = 10.000/0.0275 = 363.636,36
Ik = I*P [1 – (K-1)/n]Sk= P- KP/n = P*[1-k/n] Ak= iP*[ 1- (K-1)/n] + P/n
3. Series de pago de amortización
constantePrestamos donde el contenido de amortización es igual en todos los períodos. Su valor
se calculó con la formula P/n
Para calcular la primera cuota y el saldo después de pagar dicha cuota, las formulas
son:
S1= P – P/n = P(1-1/n).
S2= P – 2*(P/n) = P*(1- 2/n).
De igual forma:
A2= i * S1 + P/n = i * P*(1-1/n) + P/n
Ahora define la formula para A3 y S3
A1= P*i + P/n
3. Series de pago de amortización
constante
Ejemplo
En un préstamo de $1´000.000 al 37,0908% ATV, que se paga
en 10 cuotas mensuales de amortización constante, ¿cuál
es el valor de la 1 y la 3 cuota? ¿Cuál es el saldo una vez
pagada la tercera cuota?
4. Serie gradiente aritmética
También llamada “progresión aritmética”
Puede ser creciente o decreciente en una cantidad igual de
dinero que llamaremos gradiente “g”
Se trata de calcular Ak y Sk
P
1 2 3 k n - 1 n
0
A1
A2
A3
Ak
An-1
An
Ak= A1 + (k-1)*g
4. Serie gradiente aritmética
A1= A1
A2= A1 + g
A3= A2 + g = A1 + g +g = A1 + 2g
Ak=?
Puedo descomponer la serie en una parte uniforme del tamaño A1 y
otra parte que corresponde a los aumentos P
1 2 3 n + n
0
A1 A1 A1 g
2g
(n - 1)g
4. Serie gradiente aritmética
A1: Serie parte uniforme.
Ag: Serie uniforme equivalente a la parte gradiente.
At: Serie uniforme total equivalente a la serie gradiente
original
P
1 2 3 n
0
A1
+
Ag
At
4. Serie gradiente aritmética
Como hallar A1? Si At = A1 + Ag , entonces At se
maneja como un una serie uniforme A=P(A/P,i,n) y Ag
es igual a:
Ag= g[(1/i) – (n / ((1+i)n -1)] ≈ Ag = g(A/g, i,n), ahora
A1= P[ i(1+i)n/((1+i)n-1)] - g[(1/i) – (n / ((1+i)n -1)]
Equivalente a A1= P(A/P,i,n) - g(A/g, i, n)
Ejemplo
Un préstamo de $1000 a una tasa anual del
30%, para pagarlo en 5 cuotas anuales que se
incrementan $200, ¿Cuál es el valor de la
primera y la última cuota?
¿Cómo se resolvería el ejercicio si tuviésemos
que hallar el valor de todas las cuotas? (por
excel)
4. Serie gradiente aritmética
También podemos hallar un valor presente y futuro,
así:
Ejemplo
Una deuda que se cancela en 5 cuotas anuales que
crecen $200 cada año, siendo la primera cuota
$112,52, ¿cuál es el valor de la obligación si la tasa
anual es del 30%? (hacer por excel)
Si se abre una cuenta con $112,52 el fin de año y
posteriormente se hacen cuatro depósitos anuales que
aumentan $200 cada año y el banco reconoce una tasa
anual del 30%, ¿cuánto acumulara al final del 5 año?
4. Serie gradiente aritmética
También podemos calcular el saldo de la deuda Sk una vez
pagada Ak:
Sk=(A1+K*g + g(A/g, i , n-k))/(A/P, i , n-k)
P
Sk=?
n - k
pendientes
1 2 3 k k+1
0
Ak
AK +1
k pagados
An
Ejemplo:
Para los datos del primer ejemplo de serie
aritmética calcula el saldo después de pagar la
3 cuota.
Nota: la serie gradiente aritmética decreciente
tiene las mismas formulas de la creciente,
pero se cambia g por -g
5. Serie gradiente porcentual También llamada “Serie de pagos en progresión geométrica”.
Las cuotas se incrementan o decrecen un porcentaje igual cada
período, dicho incremento lo designaremos por igP
1 2 K K+1 n-1 n
0
AK
AK +1
An -1
An
Intentamos calcular el saldo Sk y la cuota AkA1= A1
A2= A1 + A1*ig = A1*(1+ig)
A3= A2 +A2*ig = A2*(1+ig)= A1*(1+ig)2
Ak=? Ak= A1*(1 + ig)k-1
¿Cómo hallar A1?
Si traemos a valor presenta cada cuota, el valor de esta será Pk,
Por tanto P = ΣPk y a su vez Pk= Ak(1+i)-n
Entonces: Pk= {A1(1 + ig)k-1}*(1+i)-k , luego
P= Σ A1(1 + ig)k-1}*(1+i)-k
P= A1Σ(1 + ig)k-1}*(1+i)-k
A1= P/ Σ(1 + ig)k-1}*(1+i)-k
Resolviendo la sumatoria: A1 = P [ (i – ig) / (1- ((1+ig)/(1+i))n)]Sólo valido para i ≠ ig
De la formula anterior se puede despejar P y hallar un valor
presente P= A1[(1-((1+ig)/(1+i))n)/(i-ig)]
Ejemplos1.En la compra de un vehículo, usted paga una cuota inicial de
$6’000.000 y el resto lo paga en 36 cuotas mensuales quese aumentan en 5% cada mes. Si la primera cuota es de$550.000 y el concesionario cobra una tasa de interés de4% mensual, ¿cuál es el valor de la deuda?
Nota: para el desarrollo se debe sumar la cuota inicial a laformula.
2. Un préstamo de $1000.000 para pagarlo en cinco cuotasanuales que se van incrementado el 20% anual, si la tasa deinterés es de 14.017543% efectiva semestral, ¿cuál es elvalor de la primera y la quinta cuota?
Igualmente podemos calcular el saldo después de pagar la
cuota Ak
Nota: Si la serie es creciente se aplica i - ig y si es decreciente
se cambia a: i + ig
P
Sk=?
n - k
pendientes
1 2 3 k k+1
0
Ak
AK +1
k pagados
An
La formula
Ejemplo:
Para el préstamo de $1´000.000 ¿cuál es el saldo
una vez paga la tercera cuota?
(1+ig) n-k
Sk =A1 (1 + ig)k
1- (1 + i)
i - ig
También puedo calcular un valor futuro
ii
iiAF
g
nng
gg
)1()1(1
Comparación
El saldo en serie uniforme y una amortización constante es
________ y siempre será _________al préstamo inicial. Es
posible que esto mismo ocurra para los pagos en forma
gradiente, pero no es lo usual, lo normal es:
Sk
P
k
0 1 2 3 n
El intervalo I el saldo es creciente: Sk> Sk – 1 > P, la amortización ak es ____. La cuotaes totalmente ____, entonces Ak = Ik < i*Sk–1.
El. Intervalo II es decreciente P< Sk <Sk – 1. La amortización es ____ la cuota deinterés es igual a ___ . La cuota paga intereses acumulados e intereses del periodoAk=Ik>i*Sk-1
El intervalo III Saldo decreciente e inferior a P, P>Sk-1>Sk. La amortización es ____,entonces ak= Sk -1 – Sk y los intereses de la cuota son Ik= Ak – ak = i*Sk-1
Sk
P
k
0 I II III n
Cuadro de amortización
Cont. Interes Cont. Amortiz
k Ak Sk Ik ak
0
1
2
2
4
5
6
7
8
9
10
TOTAL
En la cuota Ak
Fin de perído
Intereses del
peíodo Pago cuota
Saldo despues
de pago
Prestamos con LeasingArrendamiento Financiero o Leasing:
Es una modalidad de contrato de alquiler con opción de compra, que
permite la financiación de bienes (muebles o inmuebles)
Dicha opción se ejerce cuando se paga el valor residual, que suele ser
igual al valor de una cuota, y es el último pago que se hace. En ese
momento la empresa que hace el pago es la propietaria del activo. Si la
empresa no lo desea, puede no ejercer la opción de compra y devolver el
bien a la entidad financiera del leasing.
Prestamos con Leasing Las cuotas que paga quien tomo el leasing, deben cubrir el coste del bien
(excluyendo el valor de la opción de compra) y los intereses que se
generen en la operación.
Las cuotas que se pagan deben permanecer constantes o ser crecientes a lo
largo del contrato.
Los contratos de arredramiento financiero tendrán una duración mínima
de dos años cuando sean sobre bienes muebles y de diez años cuando sean
sobre inmuebles o establecimientos industriales
Modalidades de contratos de leasing
Leasing financiero: una sociedad especializada adquiere el bien que
requiere un usuario y se lo arrienda, pero no corre con los gastos de
mantenimiento o reparación. Al final del contrato, el cliente o arrendatario
puede ejercer o no la opción de compra y no suele ser posible la
renovación del contrato. Por lo tanto, el bien se suele amortizar en un solo
contrato.
Leasing operativo: promovido normalmente por el fabricante o
distribuidor. Consiste en ofrecer en arrendamiento un bien con opción de
compra, generalmente a corto o mediano plazo, incluyendo el
mantenimiento y reparación del mismo. Este leasing en revocable por el
arrendatario en cualquier momento (con previo aviso), por lo tanto, suelen
precisarse varios contratos para la amortización total del bien
Modalidades de contratos de leasing
Leasing- back o retroleasing: representado por la venta de un bien por
parte del propietario del mismo, a una compañía de leasing, para que esta
realice un arrendamiento con opción de recompra sobre dicho bien.
Ventajas y desventajas del leasing
Ventajas:
Se financia el 100% del valor del activo
Son contratos flexibles, adaptables a las necesidades del usuario
Presenta un tratamiento fiscal favorable, etc.
Desventajas:
El carácter irrevocable que presenta el leasing financiero
La existencia de cláusulas penales, en caso de incumplimiento de
las obligaciones del contrato
Un costo a veces mayor que el de otras fuentes de financiación, etc.
Casos de un crédito leasing
a) Cuando todas las cuotas, incluido el OC son
iguales Donde:
Vc: es el valor del contrato
OC: es la opción de compra,
que generalmente es igual al
valor de las cuotas K.
Casos de un crédito leasing
b) La opción de compra no es igual al resto de
pagos:
Casos de un crédito leasing
c) La cuota inicial no es igual al resto de pagos
Casos de un crédito leasing
d) La cuota inicial y la opción de compra no son
iguales al resto de pagos
Ejemplo
Se adquieren con un contrato de arrendamiento financiero equipos
informáticos por valor de 30.000 €. Las condiciones de pago de las
cuotas son las siguientes:
Duración del contrato 2 años
Pagos semestrales prepagables con una cuota al final (OC)
Interés semestral de 5%
Ejemplo
Se pide:
Calcular el valor de las cuotas y construir el cuadro de amortización
Calcular la tasa de interese y la tabla de amortización, si las cuotas
semestrales son de 7000 y la opción de compra es de 4000
Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización si el
primer pago es de 10000 y la opción de compra es de 2000
Calcular el valor de las cuotas, incluida la OC y construir la tabla de
amortización, si el primer pago es de 8000
Ejemplo
Desarrollo:CUADRO DE LEASING A
Valor del
activo 30.000
Tasa de interés 5%
K 6.952,66
PERIODO SALDOINTERE
SES
AMORTIZA
CIÓN
CUOTA
PAGO
0 23.047,34 6.952,66 6.952,66
1 17.247,05 1.152,37 5.800,29 6.952,66
2 11.156,74 862,35 6.090,31 6.952,66
3 4.761,92 557,84 6.394,82 6.952,66
4 0,01 238,10 4.761,90 5.000,00
2.810,65 29.999,99 32.810,64
Ejemplo
Se pueden usar las formulas para series uniformes anticipadas
VP = A *[ ((1+i)n -1 -1)/((1+i)n-1*i) ]+ A
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