Gauss Gauss Jordan

1

Sistem Persamaan Linier

2

Persamaan linier :

Persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1 atau 0 dan

tidak terjadi perkalian antar variabelnya.

Contoh: (1) x + y + 2z = 9 PL

(2) 2x + y = 9 PL

(3) 2xy – z = 9 Bukan PL

Solusi PL (1) : berupa suatu “tripel” dengan masing-masing

nilai sesuai urutan (nilai-x, nilai-y, nilai-z) yang memenuhi

persamaan tersebut.

Himpunan solusi untuk persamaan (1) di atas:

{ … ( 0, 1, 4), (1, 0, 4), (4, 5, 0), …. }

Himpunan solusi juga disebut Ruang Solusi (solution space)

3

Misal :

atau

atau

terserah variable mana yang akan diumpamakan, rumus

berbeda, tapi hasil akhir untuk x, y, dan z tetap sama

429

5

0

tsx

sy

tz

5

4

sy

tx

02

9

stz

529

0

4

tsy

sz

tx

4

Sistem Persamaan Linier:

Suatu sistem dengan beberapa (2 atau lebih) persamaan linier.

Contoh:

x + y = 3

3x – 5y = 1

Ruang Solusi:

berupa semua ordered-pair (nilai-x, nilai-y) yang harus

memenuhi semua persamaan linier dalam sistem tersebut;

untuk sistem ini ruang solusinya { (2, 1) }

5

Solusi Sistem Persamaan Linier

a. Cara Biasa → Seperti SMA

a. Cara Biasa (untuk mengingat kembali):

I. x + y = 3 3x + 3y = 9

3x – 5y = 1 3x – 5y = 1

8y = 8 y = 1

3x – 5 = 1 3x = 6 x = 2

II. y = 3 – x

3x – 5(3 – x) = 1 atau 3x – 15 + 5x = 1 8x = 16 x = 2

y = 3 – x y = 1

6

Interpretasi Geometrik:

Sistem menggambarkan 2 garis lurus pada sebuah bidang datar.

g1: x + y = 3

g2: 3x – 5y = 1

Solusi: g1 dan g2 berpotongan di (2, 1)

Kemungkinan:

berpotongan di 1 titik tidak berpotongan berimpit

X+y = 5

X+y = 7

Var => sama

Konst => tidak

X+y = 5

2X+2y = 10

Kelipatan

7

Solusi Sistem Persamaan Linier

a. Cara Biasa → Seperti SMA

b. Eliminasi Gauss

c. Eliminasi Gauss - Jordan

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

Bentuk umum :

dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi,

i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui.

Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.

SPL

Mempunyai penyelesaian

disebut KONSISTEN

Tidak mempunyai penyelesaian

disebut TIDAK KONSISTEN

TUNGGAL

BANYAK

9

b. Eliminasi Gauss (ringkasan):

Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi → Substitusi

Linier Augmented Gauss Balik

OBE

10

Matriks Augmented : (Matriks yang diperbesar)

Matriks yang entri-entrinya dibentuk dari koefisien-koefisien

Sistem Persamaan Linier

Contoh : x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

Matriks Augmented-nya : 1 1 2 9

2 4 -3 1

3 6 -5 0

11

Operasi Baris Elementer (OBE)

(Elementary Row Operation - ERO) Perhatikan bahwa tiap baris dari matriks merepresentasikan persamaan linier

1. Mengalikan suatu baris dengan bilangan nyata k 0

2. Menukar posisi dua baris

3. Menambah baris-i dengan k kali baris-j

12

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

b. Eliminasi Gauss

c. x + y + 2z = 9 1 1 2 9

2x + 4y – 3z = 1 2 4 -3 1

3x + 6y – 5z = 0 3 6 -5 0

lalu diusahakan berbentuk 1 1 2 9

0 1 ? ?

0 0 1 ?

dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE)

(Elementary Row Operation - ERO)

ditulis

dalam

bentuk

matriks

augmented

13

O.B.E

sebuah baris dengan kostanta 0

sebuah baris dengan konstanta 0 kemudian pada baris lain

Menukar dua buah baris

Ciri-ciri eliminasi Gauss (Eselon Baris)

Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)

Baris nol terletak paling bawah

1 utama baris berikutnya berada di kanan 1 utama baris di atasnya.

Dibawah 1 utama harus 0

14

15

16

17

Contoh :

Ciri-ciri eliminasi Gauss Jordan (Eselon Baris

Tereduksi)

Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan

pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)

Baris nol terletak paling bawah

1 utama baris berikutnya berada di kanan 1utama

baris diatasnya..

Tiap kolom yang mengandung 1 utama mempunyai

nol di tempat lain

Contoh :

5100

2610

7341

10000

01100

06210

1100

7010

4001

00000

31000

10210

18

Eliminasi Gauss menggunakan O.B.E :

* + =

* + =

* + =

Substitusi Balik

271130

17720

9211[baris 1 -2] + baris 2

9

2

1

1

2

2

2

2

1

3

4

2

17

7

2

0

[baris 1 -3] + baris 3

9

2

1

1

3

3

3

3

0

5

6

3

27

11

3

0

baris 2 * 1/2

2/32/100

2/172/710

9211[baris 2 -3] + baris 3

2/17

2/7

1

0

3

3

3

3

27

11

3

0

2/3

2/1

0

0

baris 3 -2

31002

17

2

710

9211 z = 3

2

2/17)3(2/7

2/172

7

y

y

zy

1

9)3(22

92

x

x

zyx 3,2,1 zyx

19

x y z

1 1 2 9 Substitusi Balik:

0 2 -7 -17

0 0 -½ -3/2 -1/2 z = -3/2 z = 3

1 1 2 9

0 2 -7 -17 2y – 7z = - 17

0 0 -½ -3/2 2y = 21 – 17 y = 2

1 1 2 9 x + y + 2z = 9

0 2 -7 -17 x = – 2 – 6 + 9 x = 1

0 0 -½ -3/2

z

y

z

20

Bentuk eselon baris:

1. Entri-entri dalam sebuah baris tidak semuanya nol, maka

entri pertama yang tidak nol harus 1 (disebut 1-utama /

leading-1)

2. Baris-baris yang semua entrinya 0, dikelompokkan di bagian

bawah matriks

3. Posisi 1-utama dari baris yang lebih bawah harus lebih ke

kanan d/p 1-utama baris yang lebih atas

Bentuk eselon baris tereduksi:

1, 2, 3, ditambah

4. Semua entri (yang lain) dari kolom yang berisi 1-utama

harus di-0-kan

21

c. Eliminasi Gauss-Jordan (ringkasan):

Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi → Solusi

Linier Augmented Gauss-Jordan (langsung)

OBE

22

23

Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama)

x + y + 2z = 9 1 1 2 9

2x + 4y – 3z = 1 2 4 -3 1

3x + 6y – 5z = 0 3 6 -5 0

dan diusahakan berbentuk 1 0 0 ?

0 1 0 ?

0 0 1 ?

dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE)

(Elementary Row Operation - ERO)

24

Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan O.B.E

idem Gauss

disambung dengan :

* + =

* + =

* + =

3100

2/172/710

9211

baris 3

2

7 + baris 2

3

1

0

0

2/7

2/7

2/7

2/7

2/17

2/7

1

0

2

0

1

0

3100

2010

9211

baris 3 -2 + baris 1

3

1

0

0

2

2

2

2

9

2

1

1

3

0

1

1

3100

2010

3011 baris 2 -1 + baris 3

2

0

1

0

1

1

1

1

3

0

1

1

1

0

0

1

3100

2010

1001

3

2

1

z

y

x

25

CONTOH

In the left column below we solve a system of equations by operating on

the equations in the system, and in the right column we solve the same

system by operating on the rows of the augmented matrix.

x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y -5z = 0

0563

1342

9211

Add -2 times the first equation

to the second to obtain Add -2 times the first row

to the second to obtain

x + y + 2z = 9

2y – 7z = -17

3x + 6y -5z = 0

0563

17720

9211

Add -3 times the first row

to the third to obtain

Add -3 times the first equation

to the third to obtain

x + y + 2z = 9

2y – 7z = -17

3y -11z = -27

271130

17720

9211

26

Multiply the second equation

by ½ to obtain

Multiply the second row by

½ to obtain

27113

2

17

2

7

92

zy

zy

zyx

2711302

17

2

710

9211

Add -3 times the second

equation to the third to obtain

Add -3 times the second

row to the third to obtain

2

3

2

1

2

17

2

7

92

z

zy

zyx

2

3

2

100

2

17

2

710

9211

Multiply the third equation by

-2 to obtain

Multiply the third row by -2

to obtain

3

2

17

2

7

92

z

zy

zyx

31002

17

2

710

9211

27

Add -1 times the second equation

to the first to obtain Add -1 times the second

row to the first to obtain

3

2

17

2

7

2

35

2

11

z

zy

zx

31002

17

2

710

2

35

2

1101

Add -11/2 times the third equation to

the first and 7/2 times the third

equation to the second to obtain

Add -11/2 times the third row to the

first and 7/2 times the third row to

the second to obtain

3

2

1

z

y

x

3100

2010

1001

The solution : x = 1, y = 2, z = 3

28

Halaman 11

Step 1. Locate the leftmost column that does not

consist entirely of zeros.

Step 2. Interchange the top row with another row, if necessary, to

bring a nonzero entry to the top of the column found in Step 1.

156542

281261042

1270200

156542

281261042

1270200

Leftmost nonzero column

156542

1270200

281261042The first and second rows in the

preceding matrix were interchanged

29

Step 3 if the entry that is now at the top of the coloumn found in step 1 is

a, multiply the first row by 1/a in order to introduce a leading 1

1 2 -5 3 6 14

0 0 -2 0 7 12

0 0 5 0 -17 -29

1 2 -5 3 6 14

0 0 -2 0 7 12

2 4 -5 6 -5 -1

step 4 add suitable multiples of the top row to the rows below so that all

entries below the leading 1 to zeros

step 5 Now cover the top row in the matrix and begin again with step 1

applied to the submatrix that remains. Continue in this way until

the entire matrix is in row-echelon form

1 2 -5 3 6 14

0 0 -2 0 7 12

0 0 5 0 -17 -29

The first row of the

preceding

matrix was multiplied by ½

-2 times the first row

of the preceding matrix was

added to the third row

left most nonzero coloumn in the

submatrix

30

1 2 -5 3 6 14

0 0 1 0 -3,5 -6

0 0 5 0 -17 29

1 2 -5 3 6 14

0 0 1 0 -3,5 -6

0 0 5 0 -17 29

1 2 -5 3 6 14

0 0 1 0 -3,5 -6

0 0 0 0 0.5 1

The first row in the submatrix

was multiplied

by -1/2 to introduce a leading 1

-5 times the first row of the submatirx

was added to the second row of the submatrix

to introduce a zero below the leading 1

The top row in the submatrix was

covered, and we returned again

to the step 1

The first(and only) row in the submatrix

was multiplied by 2 to introduce a leading 1

•The entire matrix is now in row-echelonform. To find the reduce row-echelon form we need the following additional step

leftmost non zero coloumn

in the new submatrix

1 2 -5 3 6 14

0 0 1 0 -3,5 -6

0 0 0 0 1 2

31

Step 6 Begining with the last nonzero row and working upward, add suitable

multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the

leading 1’s

1 2 -5 3 0 2

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 0 1

1 2 -5 3 6 14

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 2

1 2 0 3 0 7

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 2

7/2 times the third row of the

preceding matrix was added

to the second row

-6 times the third row was

added

to the first row

5 times the second row was

added to the first row

The last matrix is in reduced row echelon form

32

Suatu SPL mempunyai 3 kemungkinan jawaban, yaitu :

1. Mempunyai jawaban tunggal

2. Mempunyai banyak jawaban

3. Tidak mempunyai jawaban

Contoh :

Tentukan nilai a agar SPL berikut:

i. Mempunyai jawaban tunggal

ii. Mempunyai banyak jawaban

iii. Tidak mempunyai jawaban

x – 2y + 3z = 1

2x – 3y + 9z = 4

x – 3y + (a2 - 4)z = 1 + a

33

Penyelesaian :

Matriks Eselon SPL di atas adalah :

i. Mempunyai jawaban tunggal

a2 – 4 ≠ 0 a ≠ -2 dan a ≠ 2

ii. Mempunyai banyak jawaban

a2 – 4 = 0 dan a +2 = 0 a = -2

iii. Tidak mempunyai jawaban

a2 – 4 = 0 dan a + 2 ≠ 0 a = 2

aa 2400

2310

1321

2

34

Sistem Persamaan Linier Homogen :

1. Sistem Persamaan Linier dikatakan homogen jika semua suku di

kanan tanda “=“ adalah 0.

2. Solusi Sistem Persamaan Linier Homogen:

Solusi Trivial ( semua xi = 0; i = 1 .. n ): pasti ada

Solusi Non-trivial ( solusi trivial, plus solusi di mana ada xi ≠ 0 )

Contoh: lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya

2 2 -1 0 1 0

-1 -1 2 -3 1 0

1 1 -2 0 -1 0

0 0 1 1 1 0

35

Contoh: lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya

2 2 -1 0 1 0 -1 -1 2 -3 1 0 1 1 -2 0 -1 0 0 0 1 1 1 0

1 1 -1/2 0 1/2 0 -1 -1 2 -3 1 0 1 1 -2 0 -1 0 0 0 1 1 1 0

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 3/2 -3 3/2 0

0 0 -3/2 0 -3/2 0

0 0 1 1 1 0

Brs-1 (1/2)

Brs-2 + brs-1

Brs-3 – brs-1

36

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 3/2 -3 3/2 0

0 0 -3/2 0 -3/2 0

0 0 1 1 1 0

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 1 -2 1 0

0 0 1 0 1 0

0 0 1 1 1 0

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 1 -2 1 0

0 0 0 2 0 0

0 0 0 3 0 0

Brs-2 (2/3)

Brs-3 (– 2/3)

Brs-3 – brs-2

Brs-4 – brs-2

37

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 1 -2 1 0

0 0 0 2 0 0

0 0 0 3 0 0

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 1 -2 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 1 -2 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

Brs-3 (1/2)

Brs-4 (1/3)

Brs-4 – brs-3

38

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 1 -2 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 1 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0

0 0 1 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

baris-1 + (1/2) baris-2

39

1 1 0 0 1 0

0 0 1 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

x1 + x2 + x5 = 0

x3 + x5 = 0

x4 = 0

x5 = s x3 + x5 = 0 x3 = – x5

x2 = t x1 + x2 + x5 = 0 x1 = – x2 – x5

Ruang solusinya = { (-t-s, t, -s, 0, s ) }

Catt => yang diumpamakan dahulu adalah index terbesar

40

Teorema:

Sistem Persamaan Linier Homogen dengan variabel

lebih banyak d/p. persamaan mempunyai tak

berhingga banyak pemecahan.

Ditinjau dari matriksnya:

Sistem Persamaan Linier Homogen dengan kolom lebih banyak

d/p. baris mempunyai tak berhingga banyak pemecahan.

41

Contoh menggunakan Matlab

• Soal

x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

Buat matrix pada Matlab

42

Matlab Mengenol-kan baris ke-2, kolom 1

Baris 2 = Baris 1 * -2 + baris 2

43

Matlab Mengenol-kan baris ke-3, kolom 1

Baris 3 = Baris 1 * -3 + baris 3

44

Matlab Membuat nilai 1 pada kolom 2 dan baris 2

Baris 2 = Baris 2 * 1/2

45

PR

• Contoh pada slide 3, coba tukar antara

baris pertama dengan baris 3, apakah

hasilnya tetap sama ? Jawab dengan

menggunakan Gauss-Jordan (dgn tangan)

x + y

+ 2z =

9

2x +

4y –

3z =

1

3x +

6y –

5z =

0

3x +

6y –

5z =

0

2x +

4y –

3z =

1

x + y

+ 2z =

9

46

PR

• Contoh pada slide 8, coba kerjakan 2 SPL

yang seharusnya jawabannya sama, tapi

kenapa berbeda? Jawab dengan

menggunakan Gauss-Jordan (dengan

tangan)

x1 + 1/2x2 + 1/3x3 = 1

1/2x1 + 1/3x2 + 1/4x3 = 0

1/3x1 + 1/4x2 + 1/5x3 = 0

x1 + 0,5x2 + 0,33x3 = 1

0,5x1 + 0,33x2 + 0,25x3 = 0

0,33x1 + 0,25x2 + 0,2x3 = 0

47

PR kerjakan 2 saja

• 1.1 3.b, 4.c, 5.d, 11

• 1.2 6.b, 7.c, 8.a, 13.b, 14.c, 15.b, 17,

22