Funciones Hiperbolicas´ - · PDF fileDerivadas Las seis funciones hiperbolicas, son combinaciones´ racionales de las funciones diferenciables ex y e x luego son derivables en todo

Funciones Hiperbolicas

Who? Veronica Briceno V.

When? noviembre 2013

En esta Presentacion...

En esta Presentacion veremos:

Definicion de Funciones Hiperbolicas

GraficaIdentidadesEcuacionesDerivadasIntegralesFunciones Hiperbolicas Inversas

Definicion de Funciones HiperbolicasGrafica

IdentidadesEcuacionesDerivadasIntegralesFunciones Hiperbolicas Inversas

Definicion de Funciones HiperbolicasGraficaIdentidades

EcuacionesDerivadasIntegralesFunciones Hiperbolicas Inversas

Definicion de Funciones HiperbolicasGraficaIdentidadesEcuaciones

DerivadasIntegralesFunciones Hiperbolicas Inversas

Definicion de Funciones HiperbolicasGraficaIdentidadesEcuaciones

DerivadasIntegralesFunciones Hiperbolicas Inversas

Definicion de Funciones HiperbolicasGraficaIdentidadesEcuacionesDerivadas

IntegralesFunciones Hiperbolicas Inversas

Definicion de Funciones HiperbolicasGraficaIdentidadesEcuacionesDerivadasIntegrales

Funciones Hiperbolicas Inversas

Definicion de Funciones HiperbolicasGraficaIdentidadesEcuacionesDerivadasIntegralesFunciones Hiperbolicas Inversas

Sabemos:

FuncionesTrigonometri-

Se definen sobre la circunferencia

FuncionesHiperbolicas

Se definen sobre la hierbola.

Nosotros veremos una perspectiva analıtica

Sabemos:

Seno HiperbolicoDefinicion

sen h : R −→ R, sen h(x) =ex − e−x

Seno HiperbolicoDefinicion

sen h : R −→ R, sen h(x) =ex − e−x

Coseno HiperbolicoDefinicion

cos h : R −→ R, cos h(x) =ex + e−x

Coseno HiperbolicoDefinicion

cos h : R −→ R, cos h(x) =ex + e−x

Tangente Hiperbolica

Definicion

tg h : R −→ R, tg h(x) =sen h(x)cos h(x)

=ex − e−x

ex + e−x

Tangente Hiperbolica

Definicion

tg h : R −→ R, tg h(x) =sen h(x)cos h(x)

=ex − e−x

ex + e−x

Cosecante HiperbolicaDefinicion

cosec h : R− {0} −→ R;

cosec h(x) =1

sen h(x)=

2ex − e−x

Cosecante HiperbolicaDefinicion

cosec h : R− {0} −→ R;

cosec h(x) =1

sen h(x)=

2ex − e−x

Secante Hiperbolica

Definicionsec h : R −→ R;

sec h(x) =1

cos h(x)=

2ex + e−x

Secante Hiperbolica

Definicionsec h : R −→ R;

sec h(x) =1

cos h(x)=

2ex + e−x

Cotangente Hiperbolica

Definicioncotg h : R− {0} −→ R;

cotg h(x) =cos h(x)sen h(x)

=ex + e−x

ex − e−x

Cotangente Hiperbolica

Definicioncotg h : R− {0} −→ R;

cotg h(x) =cos h(x)sen h(x)

=ex + e−x

ex − e−x

Propiedades

1 sen h(0) = 0

2 cos h(0) = 13 sen h es impar4 cos h es par

Propiedades

1 sen h(0) = 02 cos h(0) = 1

3 sen h es impar4 cos h es par

Propiedades

1 sen h(0) = 02 cos h(0) = 13 sen h es impar

4 cos h es par

Propiedades

1 sen h(0) = 02 cos h(0) = 13 sen h es impar4 cos h es par

Identidades Hiperbolicas

∀x ∈ R se verifica:1 cos h2(x)− sen h2(x) = 1

2 1− tg h2(x) = sec h2(x)3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x∀x , y ∈ R se verifica:

1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)

Demostrar!!!

∀x ∈ R se verifica:1 cos h2(x)− sen h2(x) = 12 1− tg h2(x) = sec h2(x)

3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x∀x , y ∈ R se verifica:

Demostrar!!!

∀x ∈ R se verifica:1 cos h2(x)− sen h2(x) = 12 1− tg h2(x) = sec h2(x)3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx

4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x∀x , y ∈ R se verifica:

Demostrar!!!

∀x ∈ R se verifica:1 cos h2(x)− sen h2(x) = 12 1− tg h2(x) = sec h2(x)3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x

∀x , y ∈ R se verifica:

Demostrar!!!

∀x ∈ R se verifica:1 cos h2(x)− sen h2(x) = 12 1− tg h2(x) = sec h2(x)3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x

∀x , y ∈ R se verifica:

Demostrar!!!

∀x ∈ R se verifica:1 cos h2(x)− sen h2(x) = 12 1− tg h2(x) = sec h2(x)3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x∀x , y ∈ R se verifica:

Demostrar!!!

1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)

2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)

Demostrar!!!

Ejercicios Propuestos:

Demostrar:tg h(2x) = 2 tg h(x)

1+tg h2(x)

sen h(2x) = 2 tg h(x)1−tg h2(x)

cos h(2x) = 1−tg h2(x)1+tg h2(x)

sen h2(x) = cos h(x)−12

cos h2(x) = cos h(x)+12

1+tg h2(x)

Ecuaciones

En generalResolver una ecuacion significa encontrar el o losvalores que hacen que la igualdad sea verdadera.Ası,

Ejemplos Resolver:

cos h(2x) = cos h2(x)− sen h2(x)tg h(2x) = 1cos h(x) = 2

Ecuaciones

Ejemplos Resolver:

Ecuaciones

Ejemplos Resolver:

cos h(2x) = cos h2(x)− sen h2(x)

tg h(2x) = 1cos h(x) = 2

Ecuaciones

Ejemplos Resolver:

cos h(2x) = cos h2(x)− sen h2(x)tg h(2x) = 1

cos h(x) = 2

Ecuaciones

Ejemplos Resolver:

Ejercicios Propuestos

1 Resolver los sistemas:a)

sen h(x) + cos h(y) = 1

cos h(x) + sen h(y) = 1

b)sen h(x + y) = 2

tg h(x − y) = 0

21 Resolver los sistemas:a)

sen h(x) + cos h(y) = 1

cos h(x) + sen h(y) = 1

b)sen h(x + y) = 2

tg h(x − y) = 0

Derivadas

Las seis funciones hiperbolicas, son combinacionesracionales de las funciones diferenciables ex y e−x

luego son derivables en todo punto donde ellas estendefinidas.

21 ddx (sin h(x)) = cos h(x)

2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)

3 ddx (tg h(x)) = sec h2x

4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h2(x)

5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)

6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)

Demostrar!!!

Derivadas

Demostrar!!!

Derivadas

Demostrar!!!

Derivadas

Demostrar!!!

Derivadas

Demostrar!!!

Derivadas

Demostrar!!!

Derivadas

Demostrar!!!

Derivadas

Demostrar!!!

Derivadas

Demostrar!!!

Integrales

En forma directa, obtenemos:

sen h(x)dx = cos h(x) + C2

∫cos h(x)dx = sen h(x) + C

sec h2(x)dx = tgh(x) + C4

∫cosec h2(x)dx = − cotg h(x) + C

sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C6

∫cosec h(x) cotg h(x)dx = − cosec h(x) + C

Integrales

sen h(x)dx = cos h(x) + C

cos h(x)dx = sen h(x) + C3

∫sec h2(x)dx = tgh(x) + C

cosec h2(x)dx = − cotg h(x) + C5

∫sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C

cosec h(x) cotg h(x)dx = − cosec h(x) + C

Integrales

sec h2(x)dx = tgh(x) + C

cosec h2(x)dx = − cotg h(x) + C5

∫sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C

Integrales

sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C

Integrales

Calcular:ddt (tg h(

√1 + t2))∫

cotg h(5x)dx∫ 10 sen h2(x)dx∫ ln 20 ex sen h(x)dxddx (

ex−e−x

ex+e−x )3

Calcular:Hallar dy

dx en:a) y = 1

4 sen h(2x)− 12

b) y = ln tg h(2x)Si x = senh(t) e y = sen h(pt), pruebe que:

(1 + x2)d2ydx2 + x

Demostrar que:sen h(a+bi) = sen h(a) cos h(b)+ i sen h(b) cos h(a).A partir de esto, calcular: sen h(1 + π

Recordar:

No todas las funciones hiperbolicas son biyectivas.En algunos casos debemos restringir el dominio ycodominio para poder definir la inversa.

Recordar:No todas las funciones hiperbolicas son biyectivas.

En algunos casos debemos restringir el dominio ycodominio para poder definir la inversa.

Recordar:No todas las funciones hiperbolicas son biyectivas.En algunos casos debemos restringir el dominio ycodominio para poder definir la inversa.

Inversa de Seno Hiperbolico

Como.... sen h : R −→ R es biyectiva.

Se define... sen h−1 : R −→ R como:arc sen h(x) = sen h−1(x) = ln(x +

√x2 + 1)

Inversa: Coseno Hiperbolico

Como... cos h : [0,+∞[−→ [1,+∞[ es biyectiva

Se define... cos h−1 : [1,+∞[−→ [0,+∞[ como:arc cos h(x) = cos h−1(x) = ln(x +

√x2 − 1)

Notar que:

√x2 − 1 > 0, pues x > 1

Como x +√

x2 − 1 > 1 entonces cosh−1(x) > 0

Notar que:

√x2 − 1 > 0, pues x > 1

Como x +√

x2 − 1 > 1 entonces cosh−1(x) > 0

Inversa: Tangente HiperbolicaComo... tg h : R −→]− 1,1[ es biyectiva

Se define... tg h−1 :]− 1,1[−→ R como:arc tg h(x) = tg h−1(x) = 1

2 ln(1+x1−x )

Notar que:

tgh(x) 6= ±1, ∀x ∈ R

Mas aun, −1 < tgh(x) < 1,∀x ∈ RAdemas, 1+x

1−x > 0 ssi x ∈]− 1,1[

Demostrar!

Notar que:

tgh(x) 6= ±1, ∀x ∈ RMas aun, −1 < tgh(x) < 1,∀x ∈ R

Ademas, 1+x1−x > 0 ssi x ∈]− 1,1[

Demostrar!

Notar que:

tgh(x) 6= ±1, ∀x ∈ RMas aun, −1 < tgh(x) < 1,∀x ∈ RAdemas, 1+x

1−x > 0 ssi x ∈]− 1,1[

Demostrar!

Notar que:

1−x > 0 ssi x ∈]− 1,1[

Demostrar!

Notar que:

1−x > 0 ssi x ∈]− 1,1[

Demostrar!

Inversa: Cosecante HiperbolicaComo... cosec h :]0,+∞[−→]0,+∞[ es biyectiva

Se define... cosec h−1 :]0,+∞[−→]0,+∞[ como:

arc cosec h(x) = cosec h−1(x) = ln(1+√

x2+1x )

Notar que:

1 + x2 ≥ 0 ssi x ∈ R

1 +√

1 + x2 > 0,∀x ∈ R

Por tanto, 1+√

x solo si x > 0

Demostrar!

Notar que:

1 + x2 ≥ 0 ssi x ∈ R1 +√

1 + x2 > 0,∀x ∈ R

Por tanto, 1+√

x solo si x > 0

Demostrar!

Notar que:

1 + x2 ≥ 0 ssi x ∈ R1 +√

1 + x2 > 0,∀x ∈ R

Por tanto, 1+√

x solo si x > 0

Demostrar!

Notar que:

1 + x2 ≥ 0 ssi x ∈ R1 +√

1 + x2 > 0,∀x ∈ R

Por tanto, 1+√

x solo si x > 0

Demostrar!

Notar que:

1 + x2 ≥ 0 ssi x ∈ R1 +√

1 + x2 > 0,∀x ∈ R

Por tanto, 1+√

x solo si x > 0

Demostrar!

Inversa: Secante Hiperbolica

Como... sec h : [0,+∞[−→]0,1] es biyectiva

Se define... sec h−1 :]0,1] −→ [0,+∞[ como:

arc sec h(x) = sec h−1(x) = ln(1+√

1−x2

Notar que:

1− x2 ≥ 0 ssi x ∈ [−1,1]

1 +√

1− x2 > 0,∀x ∈ [−1,1]

Por tanto, 1+√

1−x2

x solo si x ∈]0,1]

Demostrar!

Notar que:

1− x2 ≥ 0 ssi x ∈ [−1,1]1 +√

1− x2 > 0,∀x ∈ [−1,1]

Por tanto, 1+√

1−x2

Demostrar!

Notar que:

1− x2 ≥ 0 ssi x ∈ [−1,1]1 +√

1− x2 > 0,∀x ∈ [−1,1]

Por tanto, 1+√

1−x2

Demostrar!

Notar que:

1− x2 ≥ 0 ssi x ∈ [−1,1]1 +√

1− x2 > 0,∀x ∈ [−1,1]

Por tanto, 1+√

1−x2

Demostrar!

Notar que:

1− x2 ≥ 0 ssi x ∈ [−1,1]1 +√

1− x2 > 0,∀x ∈ [−1,1]

Por tanto, 1+√

1−x2

Demostrar!

Inversa: Cotangente Hiperbolica

Como... cotg h : R− {0} −→]−∞,−1[∪]1,+∞[ es biyectiva

Se define... cotg h−1 :]−∞,−1[∪]1,+∞[−→]R− {0} como:arc cotg h(x) = cotg h−1(x) = 1

2 ln( x+1x−1)

2 ln(x+1x−1)

Notar que:

cotg h(x) 6= ±1, ∀x ∈ R

Ademas, x+1x−1 > 0 ssi x ∈]−∞,−1[∪]1,+∞[

Demostrar!

Notar que:

cotg h(x) 6= ±1, ∀x ∈ RAdemas, x+1

x−1 > 0 ssi x ∈]−∞,−1[∪]1,+∞[

Demostrar!

Notar que:

x−1 > 0 ssi x ∈]−∞,−1[∪]1,+∞[

Demostrar!

Notar que:

x−1 > 0 ssi x ∈]−∞,−1[∪]1,+∞[

Demostrar!

Ejercicios PropuestosObtener, sin utilizar calculadora ,cotgh(2x), siendosenh(x) = 1

Determinar x ∈ R tal quesenh4(x)− 2 cos h2(x)− 1 = 0Resolver:

2ln(sen h(x))+ln(cos h(x)) = 4ln(√

Resolver los sistemas:a)

arc sen h(x) = 2arc sen h(y)

3 ln(x) = 2 ln(y)

b)cos h(x) + cos h(y) = a

sen h(x) + sen h(y) = b

6Determinar x ∈ R tal quesenh4(x)− 2 cos h2(x)− 1 = 0

Resolver:

3 ln(x) = 2 ln(y)

6Determinar x ∈ R tal quesenh4(x)− 2 cos h2(x)− 1 = 0Resolver:

3 ln(x) = 2 ln(y)

6Determinar x ∈ R tal quesenh4(x)− 2 cos h2(x)− 1 = 0Resolver:

3 ln(x) = 2 ln(y)

Demostrar:a) y = a cos h(x

a ) verifica y ′′ = 1a

√1 + y ′2

b) Si y = A cos h(bx) + B sen h(x) se verificay ′′ = b2y (A;B; b ctes)

√1 + y ′2

Integrales

En relacion a las funciones hiperbolicas inversastenemos:

1∫ dx√

a2+x2= arc sen h(x

a ) + C,a > 0

2∫ dx√

a2−x2= arc sen h(x

a ) + C, x > a > 0

3∫ dx

a2−x2 = 1aarc tg h(x

a ) + C, x2 < a2

4∫ dx

a2−x2 = 1aarc cotg h(x

a ) + C, x2 > a2

5∫ dx

a2−x2= −1

aarc sec h(xa ) + C,0 < x < a

6∫ dx

a2+x2= −1

aarc cosec h(xa ) + C, x 6= 0,a > 0

Demostrar!!!

Integrales

1∫ dx√

a2+x2= arc sen h(x

a ) + C,a > 0

2∫ dx√

a ) + C, x > a > 0

3∫ dx

a ) + C, x2 < a2

4∫ dx

a ) + C, x2 > a2

5∫ dx

a2−x2= −1

6∫ dx

a2+x2= −1

Demostrar!!!

Integrales

1∫ dx√

a2+x2= arc sen h(x

a ) + C,a > 0

2∫ dx√

a ) + C, x > a > 0

3∫ dx

a ) + C, x2 < a2

4∫ dx

a ) + C, x2 > a2

5∫ dx

a2−x2= −1

6∫ dx

a2+x2= −1

Demostrar!!!

Integrales

1∫ dx√

a2+x2= arc sen h(x

a ) + C,a > 0

2∫ dx√

a ) + C, x > a > 0

3∫ dx

a ) + C, x2 < a2

4∫ dx

a ) + C, x2 > a2

5∫ dx

a2−x2= −1

6∫ dx

a2+x2= −1

Demostrar!!!

Integrales

1∫ dx√

a2+x2= arc sen h(x

a ) + C,a > 0

2∫ dx√

a ) + C, x > a > 0

3∫ dx

a ) + C, x2 < a2

4∫ dx

a ) + C, x2 > a2

5∫ dx

a2−x2= −1

6∫ dx

a2+x2= −1

Demostrar!!!

Integrales

1∫ dx√

a2+x2= arc sen h(x

a ) + C,a > 0

2∫ dx√

a ) + C, x > a > 0

3∫ dx

a ) + C, x2 < a2

4∫ dx

a ) + C, x2 > a2

5∫ dx

a2−x2= −1

6∫ dx

a2+x2= −1

Demostrar!!!

Integrales

1∫ dx√

a2+x2= arc sen h(x

a ) + C,a > 0

2∫ dx√

a ) + C, x > a > 0

3∫ dx

a ) + C, x2 < a2

4∫ dx

a ) + C, x2 > a2

5∫ dx

a2−x2= −1

6∫ dx

a2+x2= −1

Demostrar!!!

Calcular:∫ dx(x+1)

√x2+2x+2

∫ 10 x√

x2 − 2x + 2dx∫ 1−cos( x3 )

sen x2

√x2+2x+2∫ 1

0 x√

x2 − 2x + 2dx

∫ 1−cos( x3 )

sen x2

√x2+2x+2∫ 1

0 x√

x2 − 2x + 2dx∫ 1−cos( x3 )

sen x2

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