Franka Miriam Brucklerprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat1-tjedan14.pdfTo cke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru Analiti cka geometrija prostora Franka Miriam Bruckler
Post on 14-Feb-2020
7 Views
Preview:
Transcript
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Analiticka geometrija prostora
Franka Miriam Bruckler
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
U analitickog geometriji u ravnini se pomocu koordinata (uredenihparova realnih brojeva) proucavaju tocke ravnine i njihovijednodimenzionalni skupovi: pravci, krivulje drugog reda, . . . Utrodimenzionalnom prostoru pojavljuju se i dvodimenzionalnipodskupovi — plohe. Najvaznije plohe u prostoru zovu se ravnine.Objekti u prostoru opisuju se s jednom ili vise jednadzbi s trinepoznanice, koje predstavljaju koordinate tocaka tog objekta.Da bismo se mogli baviti analitickom geometrijom prostora,potrebno je prvo odabrati koordinatni sustav. Ako je kao bazaodabrana desna ortonormirana baza govorimo o Kartezijevomkoordinatnom sustavu u prostoru.Koordinatne osi su brojevni pravci kroz O kojima se smjerovi redompodudaraju sa smjerovima vektora odabrane baze. Koordinatneravnine su ravnine odredene s po dvije koordinatne osi.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Udaljenost dviju tocaka i poloviste duzine
Za dvije tocke T (x , y , z) i T ′(x ′y ′, z ′) njihova udaljenost jednaka
je duljini vektora−−→TT ′, a ona je prema prethodnom jednaka√
−−→TT ′ ·
−−→TT ′. Ako je odabrana baza ortonormirana slijedi formula
za udaljenost dvije tocke u Kartezijevom koordinatnom sustavu:
d(T ,T ′) =√
(x ′ − x)2 + (y ′ − y)2 + (z ′ − z)2.
Zadatak
Kako biste u opcem kristalografskom sustavu izracunali udaljenostdviju tocaka?
Poloviste duzine TT ′ dano je koordinatama(x+x ′
2 , y+y ′
2 , z+z ′
2
).
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Udaljenost dviju tocaka i poloviste duzine
Za dvije tocke T (x , y , z) i T ′(x ′y ′, z ′) njihova udaljenost jednaka
je duljini vektora−−→TT ′, a ona je prema prethodnom jednaka√
−−→TT ′ ·
−−→TT ′. Ako je odabrana baza ortonormirana slijedi formula
za udaljenost dvije tocke u Kartezijevom koordinatnom sustavu:
d(T ,T ′) =√
(x ′ − x)2 + (y ′ − y)2 + (z ′ − z)2.
Zadatak
Kako biste u opcem kristalografskom sustavu izracunali udaljenostdviju tocaka?
Poloviste duzine TT ′ dano je koordinatama(x+x ′
2 , y+y ′
2 , z+z ′
2
).
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Sto predstavlja jednadzba x = 0. . .
. . . u ravnini?
. . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2? x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Sto predstavlja jednadzba x = 0. . .
. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0?
z = 0? x = −2? x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Sto predstavlja jednadzba x = 0. . .
. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0?
x = −2? x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Sto predstavlja jednadzba x = 0. . .
. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2?
x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Sto predstavlja jednadzba x = 0. . .
. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2? x + 2y = 0?
Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Sto predstavlja jednadzba x = 0. . .
. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2? x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4!
Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Sto predstavlja jednadzba x = 0. . .
. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2? x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Svaka linearna jednadzba
Ax + By + Cz = D
s tri nepoznanice opisuje neku ravninu u prostoru, kao sto svakalinearna jednadzba s dvije nepoznanice opisuje neki pravac uravnini.Takva jednadzba zove se opca jednadzba ravnine.U ravnini se nalaze tocno one tocke cije su koordinate (x , y , z)povezane jednadzbom ravnine. Sve jednadzbe koje se iz jednadzberavnine mogu dobiti njenim mnozenjem s brojem razlicitim od nulepredstavljaju istu ravninu.
Koeficijenti A, B i C govore nam o nagibu ravnine premakoordinatnim osima, a D o udaljenosti ravnine od ishodista.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Svaka linearna jednadzba
Ax + By + Cz = D
s tri nepoznanice opisuje neku ravninu u prostoru, kao sto svakalinearna jednadzba s dvije nepoznanice opisuje neki pravac uravnini.Takva jednadzba zove se opca jednadzba ravnine.U ravnini se nalaze tocno one tocke cije su koordinate (x , y , z)povezane jednadzbom ravnine. Sve jednadzbe koje se iz jednadzberavnine mogu dobiti njenim mnozenjem s brojem razlicitim od nulepredstavljaju istu ravninu.Koeficijenti A, B i C govore nam o nagibu ravnine premakoordinatnim osima, a D o udaljenosti ravnine od ishodista.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Zadatak
Jednadzbom x + y − 2z = 5 zadana je ravnina. Lezi li u njojishodiste?
A tocka (1, 8, 2)?
Zadatak
Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste? O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata? O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom? Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?
Neka je dana ravnina s jednadzbom Ax + By + Cz = D. Kako izjednadzbe dobiti jedan njezin vektor normale?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Zadatak
Jednadzbom x + y − 2z = 5 zadana je ravnina. Lezi li u njojishodiste? A tocka (1, 8, 2)?
Zadatak
Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste? O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata? O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom? Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?
Neka je dana ravnina s jednadzbom Ax + By + Cz = D. Kako izjednadzbe dobiti jedan njezin vektor normale?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Zadatak
Jednadzbom x + y − 2z = 5 zadana je ravnina. Lezi li u njojishodiste? A tocka (1, 8, 2)?
Zadatak
Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste?
O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata? O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom? Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?
Neka je dana ravnina s jednadzbom Ax + By + Cz = D. Kako izjednadzbe dobiti jedan njezin vektor normale?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Zadatak
Jednadzbom x + y − 2z = 5 zadana je ravnina. Lezi li u njojishodiste? A tocka (1, 8, 2)?
Zadatak
Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste? O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata?
O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom? Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?
Neka je dana ravnina s jednadzbom Ax + By + Cz = D. Kako izjednadzbe dobiti jedan njezin vektor normale?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Zadatak
Jednadzbom x + y − 2z = 5 zadana je ravnina. Lezi li u njojishodiste? A tocka (1, 8, 2)?
Zadatak
Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste? O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata? O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom?
Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?
Neka je dana ravnina s jednadzbom Ax + By + Cz = D. Kako izjednadzbe dobiti jedan njezin vektor normale?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Zadatak
Jednadzbom x + y − 2z = 5 zadana je ravnina. Lezi li u njojishodiste? A tocka (1, 8, 2)?
Zadatak
Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste? O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata? O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom? Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?
Neka je dana ravnina s jednadzbom Ax + By + Cz = D. Kako izjednadzbe dobiti jedan njezin vektor normale?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Zadatak
Jednadzbom x + y − 2z = 5 zadana je ravnina. Lezi li u njojishodiste? A tocka (1, 8, 2)?
Zadatak
Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste? O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata? O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom? Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?
Neka je dana ravnina s jednadzbom Ax + By + Cz = D. Kako izjednadzbe dobiti jedan njezin vektor normale?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Smjer normale
Skalarni produkt vektora −→r = [u, v ,w ] u direktnom prostoru ivektora −→r ∗ = [h, k , l ]∗ u reciprocnom prostoru iznosi
−→r · −→r ∗ = uh + vk + wl .
Ravnina Ax + By + Cz = D sijece koordinatne osi u tockamaP = (D/A, 0, 0), Q = (0,D/B, 0), R = (0, 0,D/C ). Stoga su−→PQ = [−D/A,D/B, 0] i
−→PR = [−D/A, 0,D/C ] u ravnini.
Vrijedi: −→PQ · [A,B,C ]∗ =
−→PR · [A,B,C ]∗ = 0.
Dakle, [A,B,C ]∗ je okomit na dva pravca ravnineAx + By + Cz = D, tj.
Teorem
Jedan od vektora normale na ravninu zadanu jednadzbom
Ax + By + Cz = D je −→n = A−→a ∗ + B−→b ∗ + C−→c ∗ = [A,B,C ]∗.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Smjer normale
Skalarni produkt vektora −→r = [u, v ,w ] u direktnom prostoru ivektora −→r ∗ = [h, k , l ]∗ u reciprocnom prostoru iznosi
−→r · −→r ∗ = uh + vk + wl .
Ravnina Ax + By + Cz = D sijece koordinatne osi u tockamaP = (D/A, 0, 0), Q = (0,D/B, 0), R = (0, 0,D/C ).
Stoga su−→PQ = [−D/A,D/B, 0] i
−→PR = [−D/A, 0,D/C ] u ravnini.
Vrijedi: −→PQ · [A,B,C ]∗ =
−→PR · [A,B,C ]∗ = 0.
Dakle, [A,B,C ]∗ je okomit na dva pravca ravnineAx + By + Cz = D, tj.
Teorem
Jedan od vektora normale na ravninu zadanu jednadzbom
Ax + By + Cz = D je −→n = A−→a ∗ + B−→b ∗ + C−→c ∗ = [A,B,C ]∗.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Smjer normale
Skalarni produkt vektora −→r = [u, v ,w ] u direktnom prostoru ivektora −→r ∗ = [h, k , l ]∗ u reciprocnom prostoru iznosi
−→r · −→r ∗ = uh + vk + wl .
Ravnina Ax + By + Cz = D sijece koordinatne osi u tockamaP = (D/A, 0, 0), Q = (0,D/B, 0), R = (0, 0,D/C ). Stoga su−→PQ = [−D/A,D/B, 0] i
−→PR = [−D/A, 0,D/C ] u ravnini.
Vrijedi: −→PQ · [A,B,C ]∗ =
−→PR · [A,B,C ]∗ = 0.
Dakle, [A,B,C ]∗ je okomit na dva pravca ravnineAx + By + Cz = D, tj.
Teorem
Jedan od vektora normale na ravninu zadanu jednadzbom
Ax + By + Cz = D je −→n = A−→a ∗ + B−→b ∗ + C−→c ∗ = [A,B,C ]∗.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Smjer normale
Skalarni produkt vektora −→r = [u, v ,w ] u direktnom prostoru ivektora −→r ∗ = [h, k , l ]∗ u reciprocnom prostoru iznosi
−→r · −→r ∗ = uh + vk + wl .
Ravnina Ax + By + Cz = D sijece koordinatne osi u tockamaP = (D/A, 0, 0), Q = (0,D/B, 0), R = (0, 0,D/C ). Stoga su−→PQ = [−D/A,D/B, 0] i
−→PR = [−D/A, 0,D/C ] u ravnini.
Vrijedi: −→PQ · [A,B,C ]∗ =
−→PR · [A,B,C ]∗ = 0.
Dakle, [A,B,C ]∗ je okomit na dva pravca ravnineAx + By + Cz = D, tj.
Teorem
Jedan od vektora normale na ravninu zadanu jednadzbom
Ax + By + Cz = D je −→n = A−→a ∗ + B−→b ∗ + C−→c ∗ = [A,B,C ]∗.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Posebno, u Kartezijevom koordinatnom sustavu je −→n = [A,B,C ]vektor normale na smjer ravnine.
Jedan nacin zadavanja ravnine je trojkom [A,B,C ] (tj. s−→n = [A,B,C ]∗) i jednom tockom T0 = (x0, y0, z0):
A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.
Zadatak
Odredite jednadzbu ravnine kojoj vektor normale ima smjer[2, 3, 4]∗ i koja sadrzi tocku (1, 1, 1).
Ravninu mozemo zadati i jednom tockom (x0, y0, z0) te s dva njojparalelna vektora −→v = [v1, v2, v3] i −→w = [w1,w2,w3]. Kako bistetada odredili vektor normale te ravnine?Ravnina mozemo zadati i trima tockama Ti = (xi , yi , zi ),i = 1, 2, 3. Kako biste joj odredili jednadzbu? Ovisi li ona o tipukoordinatnog sustava?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Posebno, u Kartezijevom koordinatnom sustavu je −→n = [A,B,C ]vektor normale na smjer ravnine.Jedan nacin zadavanja ravnine je trojkom [A,B,C ] (tj. s−→n = [A,B,C ]∗) i jednom tockom T0 = (x0, y0, z0):
A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.
Zadatak
Odredite jednadzbu ravnine kojoj vektor normale ima smjer[2, 3, 4]∗ i koja sadrzi tocku (1, 1, 1).
Ravninu mozemo zadati i jednom tockom (x0, y0, z0) te s dva njojparalelna vektora −→v = [v1, v2, v3] i −→w = [w1,w2,w3]. Kako bistetada odredili vektor normale te ravnine?Ravnina mozemo zadati i trima tockama Ti = (xi , yi , zi ),i = 1, 2, 3. Kako biste joj odredili jednadzbu? Ovisi li ona o tipukoordinatnog sustava?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Posebno, u Kartezijevom koordinatnom sustavu je −→n = [A,B,C ]vektor normale na smjer ravnine.Jedan nacin zadavanja ravnine je trojkom [A,B,C ] (tj. s−→n = [A,B,C ]∗) i jednom tockom T0 = (x0, y0, z0):
A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.
Zadatak
Odredite jednadzbu ravnine kojoj vektor normale ima smjer[2, 3, 4]∗ i koja sadrzi tocku (1, 1, 1).
Ravninu mozemo zadati i jednom tockom (x0, y0, z0) te s dva njojparalelna vektora −→v = [v1, v2, v3] i −→w = [w1,w2,w3]. Kako bistetada odredili vektor normale te ravnine?
Ravnina mozemo zadati i trima tockama Ti = (xi , yi , zi ),i = 1, 2, 3. Kako biste joj odredili jednadzbu? Ovisi li ona o tipukoordinatnog sustava?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Posebno, u Kartezijevom koordinatnom sustavu je −→n = [A,B,C ]vektor normale na smjer ravnine.Jedan nacin zadavanja ravnine je trojkom [A,B,C ] (tj. s−→n = [A,B,C ]∗) i jednom tockom T0 = (x0, y0, z0):
A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.
Zadatak
Odredite jednadzbu ravnine kojoj vektor normale ima smjer[2, 3, 4]∗ i koja sadrzi tocku (1, 1, 1).
Ravninu mozemo zadati i jednom tockom (x0, y0, z0) te s dva njojparalelna vektora −→v = [v1, v2, v3] i −→w = [w1,w2,w3]. Kako bistetada odredili vektor normale te ravnine?Ravnina mozemo zadati i trima tockama Ti = (xi , yi , zi ),i = 1, 2, 3. Kako biste joj odredili jednadzbu? Ovisi li ona o tipukoordinatnog sustava?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Paralelnost i okomitost ravnina
Ako su jednadzbe ravnina Ax + By + Cz + D = 0 iA′x + B ′y + C ′z + D ′ = 0, uvjet paralelnosti ravnina je da su imvektori normala kolinearni, tj.
A : A′ = B : B ′ = C : C ′.
Uvjet okomitosti ravnina je uvjet okomitosti njihovih vektoranormala, tj.
−→n ·−→n′ = 0.
Ako je koordinatni sustav Kartezijev to se svodi na formulu
AA′ + BB ′ + CC ′ = 0.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Paralelnost i okomitost ravnina
Ako su jednadzbe ravnina Ax + By + Cz + D = 0 iA′x + B ′y + C ′z + D ′ = 0, uvjet paralelnosti ravnina je da su imvektori normala kolinearni, tj.
A : A′ = B : B ′ = C : C ′.
Uvjet okomitosti ravnina je uvjet okomitosti njihovih vektoranormala, tj.
−→n ·−→n′ = 0.
Ako je koordinatni sustav Kartezijev to se svodi na formulu
AA′ + BB ′ + CC ′ = 0.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Primjer
Odabran je Kartezijev koordinatni sustav. Nadimo ravninu okomituna ravnine x + y + z = 1 i x − y + z = 2 koja prolazi ishodistem.
Kako znamo jednu tocku, (0, 0, 0), radi se o ravnini s jednadzbomoblika Ax + By + Cz = 0. Da bismo odredili koordinate vektoranormale, iskoristimo uvjete okomitosti: 1A + 1B + 1C = 0(okomitost na x + y + z = 1) i 1A− 1B + 1C = 0 (okomitost nax − y + z = 2). Tako smo dobili sustav A + B + C = 0,A−B + C = 0. Zbrajanjem jednadzbi sustava i zatim dijeljenjem sdva vidimo da mora vrijediti C = −A. Iz prve jednadzbe je ondaA + B − A = 0 tj. B = 0. Dakle, vektori normale imaju koordinateoblika [A, 0,−A] s proizvoljnim A 6= 0. Odaberimo jedan takavvektor, recimo s A = 1. Imamo vektor normale [1, 0,−1] te jetrazena jednadzba ravnine x − z = 0.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Primjer
Odabran je Kartezijev koordinatni sustav. Nadimo ravninu okomituna ravnine x + y + z = 1 i x − y + z = 2 koja prolazi ishodistem.Kako znamo jednu tocku, (0, 0, 0), radi se o ravnini s jednadzbomoblika Ax + By + Cz = 0.
Da bismo odredili koordinate vektoranormale, iskoristimo uvjete okomitosti: 1A + 1B + 1C = 0(okomitost na x + y + z = 1) i 1A− 1B + 1C = 0 (okomitost nax − y + z = 2). Tako smo dobili sustav A + B + C = 0,A−B + C = 0. Zbrajanjem jednadzbi sustava i zatim dijeljenjem sdva vidimo da mora vrijediti C = −A. Iz prve jednadzbe je ondaA + B − A = 0 tj. B = 0. Dakle, vektori normale imaju koordinateoblika [A, 0,−A] s proizvoljnim A 6= 0. Odaberimo jedan takavvektor, recimo s A = 1. Imamo vektor normale [1, 0,−1] te jetrazena jednadzba ravnine x − z = 0.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Primjer
Odabran je Kartezijev koordinatni sustav. Nadimo ravninu okomituna ravnine x + y + z = 1 i x − y + z = 2 koja prolazi ishodistem.Kako znamo jednu tocku, (0, 0, 0), radi se o ravnini s jednadzbomoblika Ax + By + Cz = 0. Da bismo odredili koordinate vektoranormale, iskoristimo uvjete okomitosti: 1A + 1B + 1C = 0(okomitost na x + y + z = 1) i 1A− 1B + 1C = 0 (okomitost nax − y + z = 2).
Tako smo dobili sustav A + B + C = 0,A−B + C = 0. Zbrajanjem jednadzbi sustava i zatim dijeljenjem sdva vidimo da mora vrijediti C = −A. Iz prve jednadzbe je ondaA + B − A = 0 tj. B = 0. Dakle, vektori normale imaju koordinateoblika [A, 0,−A] s proizvoljnim A 6= 0. Odaberimo jedan takavvektor, recimo s A = 1. Imamo vektor normale [1, 0,−1] te jetrazena jednadzba ravnine x − z = 0.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Primjer
Odabran je Kartezijev koordinatni sustav. Nadimo ravninu okomituna ravnine x + y + z = 1 i x − y + z = 2 koja prolazi ishodistem.Kako znamo jednu tocku, (0, 0, 0), radi se o ravnini s jednadzbomoblika Ax + By + Cz = 0. Da bismo odredili koordinate vektoranormale, iskoristimo uvjete okomitosti: 1A + 1B + 1C = 0(okomitost na x + y + z = 1) i 1A− 1B + 1C = 0 (okomitost nax − y + z = 2). Tako smo dobili sustav A + B + C = 0,A−B + C = 0. Zbrajanjem jednadzbi sustava i zatim dijeljenjem sdva vidimo da mora vrijediti C = −A. Iz prve jednadzbe je ondaA + B − A = 0 tj. B = 0. Dakle, vektori normale imaju koordinateoblika [A, 0,−A] s proizvoljnim A 6= 0.
Odaberimo jedan takavvektor, recimo s A = 1. Imamo vektor normale [1, 0,−1] te jetrazena jednadzba ravnine x − z = 0.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Primjer
Odabran je Kartezijev koordinatni sustav. Nadimo ravninu okomituna ravnine x + y + z = 1 i x − y + z = 2 koja prolazi ishodistem.Kako znamo jednu tocku, (0, 0, 0), radi se o ravnini s jednadzbomoblika Ax + By + Cz = 0. Da bismo odredili koordinate vektoranormale, iskoristimo uvjete okomitosti: 1A + 1B + 1C = 0(okomitost na x + y + z = 1) i 1A− 1B + 1C = 0 (okomitost nax − y + z = 2). Tako smo dobili sustav A + B + C = 0,A−B + C = 0. Zbrajanjem jednadzbi sustava i zatim dijeljenjem sdva vidimo da mora vrijediti C = −A. Iz prve jednadzbe je ondaA + B − A = 0 tj. B = 0. Dakle, vektori normale imaju koordinateoblika [A, 0,−A] s proizvoljnim A 6= 0. Odaberimo jedan takavvektor, recimo s A = 1. Imamo vektor normale [1, 0,−1] te jetrazena jednadzba ravnine x − z = 0.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Kut izmedu ravnina
Kut izmedu ravnina definira se kao kut izmedu njihovih normala, tj.
cosϕ =−→n ·−→n′
|−→n | · |−→n′ |.
Pritom se bira ϕ ∈ [0, π〉.
Primjer
Kut izmedu ravnina x − y − z = 0 i x − y -ravnine z = 0, uz uvjetda je odabrani koordinatni sustav Kartezijev, dan je s
cosϕ =1 · 0− 1 · 0− 1 · 1√
12 + (−1)2 + (−1)2 ·√
0 + 0 + 12=−1√
3,
te je ϕ ≈ 125, 264◦.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Segmentni oblik jednadzbe ravnine
Cesto se koristi i segmentni oblik jednadzbe ravnine. Radi se oposebnom slucaju opceg oblika jednadzbe ravnine iz kojeg sedirektno vide probodista koordinatnih osi s ravninom (odsjecci).
Primjer
Zadana je ravnina 2x + 5y − 4z = 8. Odsjecci na osima su redom
4, 8/5 i −2. Podijelimo li pak jednadzbu ravnine s D = 8 dobijemo
x
4+
y
8/5+
z
−2= 1
sto je jednadzba iste ravnine.
Segmentni oblik jednadzbe ravnine je oblik u kojem slobodni claniznosi 1:
x
m+
y
n+
z
p= 1.
Brojevi m, n, p su redom odsjecci ravnine na koordinatnim osima.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Segmentni oblik jednadzbe ravnine
Cesto se koristi i segmentni oblik jednadzbe ravnine. Radi se oposebnom slucaju opceg oblika jednadzbe ravnine iz kojeg sedirektno vide probodista koordinatnih osi s ravninom (odsjecci).
Primjer
Zadana je ravnina 2x + 5y − 4z = 8. Odsjecci na osima su redom4,
8/5 i −2. Podijelimo li pak jednadzbu ravnine s D = 8 dobijemo
x
4+
y
8/5+
z
−2= 1
sto je jednadzba iste ravnine.
Segmentni oblik jednadzbe ravnine je oblik u kojem slobodni claniznosi 1:
x
m+
y
n+
z
p= 1.
Brojevi m, n, p su redom odsjecci ravnine na koordinatnim osima.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Segmentni oblik jednadzbe ravnine
Cesto se koristi i segmentni oblik jednadzbe ravnine. Radi se oposebnom slucaju opceg oblika jednadzbe ravnine iz kojeg sedirektno vide probodista koordinatnih osi s ravninom (odsjecci).
Primjer
Zadana je ravnina 2x + 5y − 4z = 8. Odsjecci na osima su redom4, 8/5 i
−2. Podijelimo li pak jednadzbu ravnine s D = 8 dobijemo
x
4+
y
8/5+
z
−2= 1
sto je jednadzba iste ravnine.
Segmentni oblik jednadzbe ravnine je oblik u kojem slobodni claniznosi 1:
x
m+
y
n+
z
p= 1.
Brojevi m, n, p su redom odsjecci ravnine na koordinatnim osima.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Segmentni oblik jednadzbe ravnine
Cesto se koristi i segmentni oblik jednadzbe ravnine. Radi se oposebnom slucaju opceg oblika jednadzbe ravnine iz kojeg sedirektno vide probodista koordinatnih osi s ravninom (odsjecci).
Primjer
Zadana je ravnina 2x + 5y − 4z = 8. Odsjecci na osima su redom4, 8/5 i −2. Podijelimo li pak jednadzbu ravnine s D = 8 dobijemo
x
4+
y
8/5+
z
−2= 1
sto je jednadzba iste ravnine.
Segmentni oblik jednadzbe ravnine je oblik u kojem slobodni claniznosi 1:
x
m+
y
n+
z
p= 1.
Brojevi m, n, p su redom odsjecci ravnine na koordinatnim osima.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Segmentni oblik jednadzbe ravnine
Cesto se koristi i segmentni oblik jednadzbe ravnine. Radi se oposebnom slucaju opceg oblika jednadzbe ravnine iz kojeg sedirektno vide probodista koordinatnih osi s ravninom (odsjecci).
Primjer
Zadana je ravnina 2x + 5y − 4z = 8. Odsjecci na osima su redom4, 8/5 i −2. Podijelimo li pak jednadzbu ravnine s D = 8 dobijemo
x
4+
y
8/5+
z
−2= 1
sto je jednadzba iste ravnine.
Segmentni oblik jednadzbe ravnine je oblik u kojem slobodni claniznosi 1:
x
m+
y
n+
z
p= 1.
Brojevi m, n, p su redom odsjecci ravnine na koordinatnim osima.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Ravnina na slici desno ima segmentni oblikx2 + y
3 + z4 = 1. Istu ravninu mogli smo zadati
i jednadzbom 6x + 4y + 3z = 12.
Zadatak
Kako oblik Ax + By + Cz = D svodimo na segmentni?
Segmentni oblik jednadzbe se ne koristi za ravnine koje prolazekroz ishodiste. Takod, u matematici se taj oblik ne koristi ako jeravnina paralelna nekoj od koordinatnih osi, no uz malumodifikaciju koristit cemo ga i za te slucajeve.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Ravnina na slici desno ima segmentni oblikx2 + y
3 + z4 = 1. Istu ravninu mogli smo zadati
i jednadzbom 6x + 4y + 3z = 12.
Zadatak
Kako oblik Ax + By + Cz = D svodimo na segmentni?
Segmentni oblik jednadzbe se ne koristi za ravnine koje prolazekroz ishodiste. Takod, u matematici se taj oblik ne koristi ako jeravnina paralelna nekoj od koordinatnih osi, no uz malumodifikaciju koristit cemo ga i za te slucajeve.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Zadatak
Koliko iznose stvarni odsjecci ravnine 2x − 5y + 3z = 15 nakoordinatnim osima, ako je a = 1 m, b = 2 m i c = 4 m,α = β = γ = 90◦?
Stvarne duljine odsjecaka ravnine
x
m+
y
n+
z
p= 1
na osima jednake su ma, nb odnosno pc.Na ove teme vratit cemo se u poglavlju o primjenama analitickegeometrije prostora u kristalografiji.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Zadatak
Koliko iznose stvarni odsjecci ravnine 2x − 5y + 3z = 15 nakoordinatnim osima, ako je a = 1 m, b = 2 m i c = 4 m,α = β = γ = 90◦?
Stvarne duljine odsjecaka ravnine
x
m+
y
n+
z
p= 1
na osima jednake su ma, nb odnosno pc.Na ove teme vratit cemo se u poglavlju o primjenama analitickegeometrije prostora u kristalografiji.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Kako biste opisali x-os pomocu jedne ili vise jednadzbi?
y -os?z-os?Kako biste opisali pravac kroz ishodiste koji lezi u(y , z)-koordinatnoj ravnini?Kakve su koordinate tocaka na pravcu koji ide kroz ishodiste izatvara jednake kutove prema svim trima koordinatnim osima (uKks-u)?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Kako biste opisali x-os pomocu jedne ili vise jednadzbi? y -os?z-os?
Kako biste opisali pravac kroz ishodiste koji lezi u(y , z)-koordinatnoj ravnini?Kakve su koordinate tocaka na pravcu koji ide kroz ishodiste izatvara jednake kutove prema svim trima koordinatnim osima (uKks-u)?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Kako biste opisali x-os pomocu jedne ili vise jednadzbi? y -os?z-os?Kako biste opisali pravac kroz ishodiste koji lezi u(y , z)-koordinatnoj ravnini?
Kakve su koordinate tocaka na pravcu koji ide kroz ishodiste izatvara jednake kutove prema svim trima koordinatnim osima (uKks-u)?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Kako biste opisali x-os pomocu jedne ili vise jednadzbi? y -os?z-os?Kako biste opisali pravac kroz ishodiste koji lezi u(y , z)-koordinatnoj ravnini?Kakve su koordinate tocaka na pravcu koji ide kroz ishodiste izatvara jednake kutove prema svim trima koordinatnim osima (uKks-u)?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Pravci u prostoru
Pravac u prostoru odreden je svojim smjerom (tj. bilo kojim njemuparalelnim vektorom smjera) i jednom tockom. Alternativno,pravac mozemo zadati kao presjek dvije neparalelne ravnine.Parametarske jednadzbe pravca s vektorom smjera −→s = [u, v ,w ]koji prolazi tockom (x0, y0, z0) su oblika
x = x0 + ut,
y = y0 + vt,
z = z0 + wt,
t ∈ R.
Umjesto tockom i vektorom smjera, pravac moze biti zadan i sdvije tocke. U tom slucaju mu je vektor smjera vektor koji spaja tedvije tocke, a bilo koju od njih uzmemo kao (x0, y0, z0).
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Skraceni zapis parametarskih jednadzbi pravca, koji bismo dobilitako da iz svake od tri jednadzbe izrazimo parametar t i onda ihizjednacimo zove se kanonski oblik jednadzbe pravca u prostoru:
x − x0
u=
y − y0
v=
z − z0
w.
Oprez s tim oblikom!Pravac moze biti zadan i kao presjek dvije (neparalelne) ravnine, tj.sustavom
Ax + By + Cz + D = 0,
A′x + B ′y + C ′z + D ′ = 0.
Zadatak
Odredite parametarski i kanonski oblik jednadzbi pravca zadanogkao presjek ravnina x + y + z = 1 i 2x − y = 5.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Paralelnost i mimosmjernost pravaca
Pravci u prostoru mogu se ne sjeci bez da su paralelni. Uvjetparalelnosti pravaca je kolinearnost njihovih vektora smjera: ako su−→s = [u, v ,w ] i
−→s ′ = [u′, v ′,w ′] vektori smjera dva pravca, oni su
paralelni ako je u : u′ = v : v ′ = w : w ′. Pravci u prostoru koji sene sijeku i nisu paralelni zovu se mimoilazni (mimosmjerni) pravci.
Zadatak
Odredite sjeciste pravaca x0 = y+1
2 = z−32 i x−1
1 = y−21 = z−3
1 .
Zadatak
Kako rjesavanjem sustava odredenog jednadzbama dvaju pravacamozemo zakljuciti u kakvom su medusobnom polozaju ti pravci?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Paralelnost i mimosmjernost pravaca
Pravci u prostoru mogu se ne sjeci bez da su paralelni. Uvjetparalelnosti pravaca je kolinearnost njihovih vektora smjera: ako su−→s = [u, v ,w ] i
−→s ′ = [u′, v ′,w ′] vektori smjera dva pravca, oni su
paralelni ako je u : u′ = v : v ′ = w : w ′. Pravci u prostoru koji sene sijeku i nisu paralelni zovu se mimoilazni (mimosmjerni) pravci.
Zadatak
Odredite sjeciste pravaca x0 = y+1
2 = z−32 i x−1
1 = y−21 = z−3
1 .
Zadatak
Kako rjesavanjem sustava odredenog jednadzbama dvaju pravacamozemo zakljuciti u kakvom su medusobnom polozaju ti pravci?
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Zadatak
Kako iz kanonskog oblika jednadzbi pravca vidimo je li on paralelanosi aplikata?
Opcenito, kut dvaju pravaca definira se kao kut njihovih vektorasmjera.Posebno, uvjet okomitosti pravaca je
−→s ·−→s ′ = 0.
U slucaju Kartezijevog koordinatnog sustava to se svodi na
uu′ + vv ′ + ww ′ = 0.
Zadatak
Nadite pravac (pravce) koji prolazi kroz ishodiste, okomit je nax-os i sa z-osi zatvara kut od 45◦, ako su parametri koordinatnogsustava a = 5 cm, b = 3 cm, c = 4 cm, α = β = γ = 90◦.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Zadatak
Kako iz kanonskog oblika jednadzbi pravca vidimo je li on paralelanosi aplikata?
Opcenito, kut dvaju pravaca definira se kao kut njihovih vektorasmjera.Posebno, uvjet okomitosti pravaca je
−→s ·−→s ′ = 0.
U slucaju Kartezijevog koordinatnog sustava to se svodi na
uu′ + vv ′ + ww ′ = 0.
Zadatak
Nadite pravac (pravce) koji prolazi kroz ishodiste, okomit je nax-os i sa z-osi zatvara kut od 45◦, ako su parametri koordinatnogsustava a = 5 cm, b = 3 cm, c = 4 cm, α = β = γ = 90◦.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Okomitost pravca na ravninu i paralelnost pravca sravninom
Pravac s vektorom smjera −→s = [u, v ,w ] je okomit na ravninu svektorom normale −→n = [A,B,C ]∗ ako su ti vektori paralelni, apravac je paralelan ravnini ako mu je vektor smjera okomit nanjezin vektor normale.
Stoga je uvjet okomitosti pravca na ravninu da je ~s × ~n = ~0, dakleu Kks da su koordinate od −→s i −→n proporcionalne,a uvjetparalelnosti pravca s ravninom je −→s · −→n = 0. Zbog vec pokazaneformule −→r · −→r ∗ = uh + vk + wl uvjet okomitosti pravca i ravnineiskazan je formulom
uA + vB + wC = 0.
Zadatak
Odredite uvjet paralelnosti opceg pravca s (y , z)-ravninom i uvjetparalelnosti opce ravnine s x-osi.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Okomitost pravca na ravninu i paralelnost pravca sravninom
Pravac s vektorom smjera −→s = [u, v ,w ] je okomit na ravninu svektorom normale −→n = [A,B,C ]∗ ako su ti vektori paralelni, apravac je paralelan ravnini ako mu je vektor smjera okomit nanjezin vektor normale.Stoga je uvjet okomitosti pravca na ravninu da je ~s × ~n = ~0, dakleu Kks da su koordinate od −→s i −→n proporcionalne,
a uvjetparalelnosti pravca s ravninom je −→s · −→n = 0. Zbog vec pokazaneformule −→r · −→r ∗ = uh + vk + wl uvjet okomitosti pravca i ravnineiskazan je formulom
uA + vB + wC = 0.
Zadatak
Odredite uvjet paralelnosti opceg pravca s (y , z)-ravninom i uvjetparalelnosti opce ravnine s x-osi.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Okomitost pravca na ravninu i paralelnost pravca sravninom
Pravac s vektorom smjera −→s = [u, v ,w ] je okomit na ravninu svektorom normale −→n = [A,B,C ]∗ ako su ti vektori paralelni, apravac je paralelan ravnini ako mu je vektor smjera okomit nanjezin vektor normale.Stoga je uvjet okomitosti pravca na ravninu da je ~s × ~n = ~0, dakleu Kks da su koordinate od −→s i −→n proporcionalne,a uvjetparalelnosti pravca s ravninom je −→s · −→n = 0. Zbog vec pokazaneformule −→r · −→r ∗ = uh + vk + wl uvjet okomitosti pravca i ravnineiskazan je formulom
uA + vB + wC = 0.
Zadatak
Odredite uvjet paralelnosti opceg pravca s (y , z)-ravninom i uvjetparalelnosti opce ravnine s x-osi.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Okomitost pravca na ravninu i paralelnost pravca sravninom
Pravac s vektorom smjera −→s = [u, v ,w ] je okomit na ravninu svektorom normale −→n = [A,B,C ]∗ ako su ti vektori paralelni, apravac je paralelan ravnini ako mu je vektor smjera okomit nanjezin vektor normale.Stoga je uvjet okomitosti pravca na ravninu da je ~s × ~n = ~0, dakleu Kks da su koordinate od −→s i −→n proporcionalne,a uvjetparalelnosti pravca s ravninom je −→s · −→n = 0. Zbog vec pokazaneformule −→r · −→r ∗ = uh + vk + wl uvjet okomitosti pravca i ravnineiskazan je formulom
uA + vB + wC = 0.
Zadatak
Odredite uvjet paralelnosti opceg pravca s (y , z)-ravninom i uvjetparalelnosti opce ravnine s x-osi.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Ako pravac nije paralelan ravnini, on ju sijece u jednoj tocki koja sezove probodiste pravca i ravnine.
Zadatak
Odredite probodiste pravca x2 = y−1
0 = z+23 i ravnine
2x + 3y + 4z = 1.
Kako biste definirali udaljenost tocke do ravnine? Udaljenost tockedo ravnine definira se kao udaljenost tocke do njezine ortogonalneprojekcije na ravninu, odnosno do probodista pravca koji je okomitna ravninu i prolazi zadanom tockom.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Ako pravac nije paralelan ravnini, on ju sijece u jednoj tocki koja sezove probodiste pravca i ravnine.
Zadatak
Odredite probodiste pravca x2 = y−1
0 = z+23 i ravnine
2x + 3y + 4z = 1.
Kako biste definirali udaljenost tocke do ravnine?
Udaljenost tockedo ravnine definira se kao udaljenost tocke do njezine ortogonalneprojekcije na ravninu, odnosno do probodista pravca koji je okomitna ravninu i prolazi zadanom tockom.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Ako pravac nije paralelan ravnini, on ju sijece u jednoj tocki koja sezove probodiste pravca i ravnine.
Zadatak
Odredite probodiste pravca x2 = y−1
0 = z+23 i ravnine
2x + 3y + 4z = 1.
Kako biste definirali udaljenost tocke do ravnine? Udaljenost tockedo ravnine definira se kao udaljenost tocke do njezine ortogonalneprojekcije na ravninu, odnosno do probodista pravca koji je okomitna ravninu i prolazi zadanom tockom.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Neka je dana tocka T = (x0, y0, z0) i ravnina Π jednadzbeAx + By + Cz = D. Vektor normale te ravnine je −→n = [A,B,C ]∗.
Neka je P sjeciste ravnine s x-osi (ako je ravnina paralelna s x-osiza P uzimamo sjeciste s jednom od druge dvije koordinatne osi).
Tada je P =(DA , 0, 0
). Duljina projekcije vektora
−→TP na −→n je
tocno trazena udaljenost tocke T do ravnine, pa iz poglavlja oskalarnom produktu zakljucujemo
d(T ,Π) =
∣∣∣∣ [A,B,C ]∗ · [D/A− x0,−y0,−z0]
|−→n |
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣Ax0 + By0 + Cz0 − D
|−→n |
∣∣∣∣ .Ako je koordinatni sustav Kartezijev, dobijemo:
d(T ,Π) =|Ax0 + By0 + Cz0 − D|√
A2 + B2 + C 2.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Neka je dana tocka T = (x0, y0, z0) i ravnina Π jednadzbeAx + By + Cz = D. Vektor normale te ravnine je −→n = [A,B,C ]∗.Neka je P sjeciste ravnine s x-osi (ako je ravnina paralelna s x-osiza P uzimamo sjeciste s jednom od druge dvije koordinatne osi).
Tada je P =(DA , 0, 0
). Duljina projekcije vektora
−→TP na −→n je
tocno trazena udaljenost tocke T do ravnine, pa iz poglavlja oskalarnom produktu zakljucujemo
d(T ,Π) =
∣∣∣∣ [A,B,C ]∗ · [D/A− x0,−y0,−z0]
|−→n |
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣Ax0 + By0 + Cz0 − D
|−→n |
∣∣∣∣ .Ako je koordinatni sustav Kartezijev, dobijemo:
d(T ,Π) =|Ax0 + By0 + Cz0 − D|√
A2 + B2 + C 2.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Neka je dana tocka T = (x0, y0, z0) i ravnina Π jednadzbeAx + By + Cz = D. Vektor normale te ravnine je −→n = [A,B,C ]∗.Neka je P sjeciste ravnine s x-osi (ako je ravnina paralelna s x-osiza P uzimamo sjeciste s jednom od druge dvije koordinatne osi).
Tada je P =(DA , 0, 0
).
Duljina projekcije vektora−→TP na −→n je
tocno trazena udaljenost tocke T do ravnine, pa iz poglavlja oskalarnom produktu zakljucujemo
d(T ,Π) =
∣∣∣∣ [A,B,C ]∗ · [D/A− x0,−y0,−z0]
|−→n |
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣Ax0 + By0 + Cz0 − D
|−→n |
∣∣∣∣ .Ako je koordinatni sustav Kartezijev, dobijemo:
d(T ,Π) =|Ax0 + By0 + Cz0 − D|√
A2 + B2 + C 2.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Neka je dana tocka T = (x0, y0, z0) i ravnina Π jednadzbeAx + By + Cz = D. Vektor normale te ravnine je −→n = [A,B,C ]∗.Neka je P sjeciste ravnine s x-osi (ako je ravnina paralelna s x-osiza P uzimamo sjeciste s jednom od druge dvije koordinatne osi).
Tada je P =(DA , 0, 0
). Duljina projekcije vektora
−→TP na −→n je
tocno trazena udaljenost tocke T do ravnine,
pa iz poglavlja oskalarnom produktu zakljucujemo
d(T ,Π) =
∣∣∣∣ [A,B,C ]∗ · [D/A− x0,−y0,−z0]
|−→n |
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣Ax0 + By0 + Cz0 − D
|−→n |
∣∣∣∣ .Ako je koordinatni sustav Kartezijev, dobijemo:
d(T ,Π) =|Ax0 + By0 + Cz0 − D|√
A2 + B2 + C 2.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Neka je dana tocka T = (x0, y0, z0) i ravnina Π jednadzbeAx + By + Cz = D. Vektor normale te ravnine je −→n = [A,B,C ]∗.Neka je P sjeciste ravnine s x-osi (ako je ravnina paralelna s x-osiza P uzimamo sjeciste s jednom od druge dvije koordinatne osi).
Tada je P =(DA , 0, 0
). Duljina projekcije vektora
−→TP na −→n je
tocno trazena udaljenost tocke T do ravnine, pa iz poglavlja oskalarnom produktu zakljucujemo
d(T ,Π) =
∣∣∣∣ [A,B,C ]∗ · [D/A− x0,−y0,−z0]
|−→n |
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣Ax0 + By0 + Cz0 − D
|−→n |
∣∣∣∣ .
Ako je koordinatni sustav Kartezijev, dobijemo:
d(T ,Π) =|Ax0 + By0 + Cz0 − D|√
A2 + B2 + C 2.
Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru
Neka je dana tocka T = (x0, y0, z0) i ravnina Π jednadzbeAx + By + Cz = D. Vektor normale te ravnine je −→n = [A,B,C ]∗.Neka je P sjeciste ravnine s x-osi (ako je ravnina paralelna s x-osiza P uzimamo sjeciste s jednom od druge dvije koordinatne osi).
Tada je P =(DA , 0, 0
). Duljina projekcije vektora
−→TP na −→n je
tocno trazena udaljenost tocke T do ravnine, pa iz poglavlja oskalarnom produktu zakljucujemo
d(T ,Π) =
∣∣∣∣ [A,B,C ]∗ · [D/A− x0,−y0,−z0]
|−→n |
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣Ax0 + By0 + Cz0 − D
|−→n |
∣∣∣∣ .Ako je koordinatni sustav Kartezijev, dobijemo:
d(T ,Π) =|Ax0 + By0 + Cz0 − D|√
A2 + B2 + C 2.
top related