Ecuaciones Diferencial

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ECUACIONESECUACIONES

DIFERENCIALESDIFERENCIALESDEFINICIÓN DE ECUACIÓNDEFINICIÓN DE ECUACIÓN

DIFERENCIALDIFERENCIALUna ecuación diferencial es unaUna ecuación diferencial es una

ecuación que contiene lasecuación que contiene lasderivadas de una o más variablesderivadas de una o más variablesdependientes con respecto a unadependientes con respecto a unao más variables independienteso más variables independientes

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EJEMPLOSEJEMPLOS

 x sendx

dya   =) C  y K 

dx

 yd b   =+   2

2

2

)

( )   ( )[ ]   01)2

22 =−++−++   y

dx

dy x

dx

 yd  x xe   αβ β α γ  

Wt  EW qcdt 

dq Rdt qd  L f     cos1)2

2

=++

  (Ec. Dif. de Gauss)|

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CLASIFICACION DE LAS ECUACIONESCLASIFICACION DE LAS ECUACIONESDIFERENCIALESDIFERENCIALES

SEGÚN SU TIPOSEGÚN SU TIPO ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIAECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA! Es una! Es una

ecuación que sólo contiene lasecuación que sólo contiene las

derivadas ordinarias de una o másderivadas ordinarias de una o másvariables dependientes con respectovariables dependientes con respectoa una sola variable independientea una sola variable independiente

 x sendx

dya   =)   C  y K 

dx

 yd b   =+

  2

2

2

)

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ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIALECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL! Es una! Es unaecuación que contiene las derivadasecuación que contiene las derivadas

parciales de una o más variablesparciales de una o más variablesdependientes" respecto a dos o másdependientes" respecto a dos o másvariables independientesvariables independientes

E#emploE#emplo   $ecuación diferencial de %aplace&$ecuación diferencial de %aplace&

0)2

2

2

2

2

2

=∂

+∂

∂+

∂

∂

 z 

wd 

 y

w

 x

wa

t 

w

 z 

w

 y

w

 x

wad 

∂∂=  

 ∂∂+

∂∂+

∂∂

2

2

2

2

2

22)

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Clasificación según el ordenClasificación según el orden

  El orden de una ecuación diferencialEl orden de una ecuación diferencialordinaria o en derivadas parcialesordinaria o en derivadas parcialesestá dado por la derivada de ma'orestá dado por la derivada de ma'ororden $ primera derivada" se(undaorden $ primera derivada" se(undaderivada" tercera derivada" etc & quederivada" tercera derivada" etc & quefi(ura en la ecuaciónfi(ura en la ecuación

2

2

dx

 yd 

2

2

dx

 yd 

n

n

dx

 yd 

  Indica el orden de la ecuación

2da. Deriada ! deriada de 2d!. Orde".

E"#si$a deriada ! deriada de !rde" "

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E#emplos)E#emplos)

03)1

2

2

2

=+   

  +   ydx

dy K 

dx

 yd 

 y x

dx

dy+= 3)2

0152)32

2

=−−   xdx

dy

dt 

 xd 

( )   022)4   22 =−+   dx xydy y x

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GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIAGRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA

El (rado de una ecuación diferencial ordinaria"El (rado de una ecuación diferencial ordinaria"

esta dado por el e*ponente al(ebraico de laesta dado por el e*ponente al(ebraico de laderivada de mas alto orden e*presado en laderivada de mas alto orden e*presado en la

ecuaciónecuación E#emploE#emplo

 x sen y xdx

 yd 

dx

 yd =−+  

    2

2

22

2

2

)1

 x Log  ydx

dy

dx

 yd =+ 

  +

40

2

2

)2

 x sen ydx

dy

dx

 yd =+ 

  −  

    5

83

2

2

25)5

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Clasificación según la linealidadClasificación según la linealidado no linealidado no linealidad

Importante

U"a ecuaci%" difere"cia& &i"ea& es de &a f!r$a'

( ) ( )   ( ) ( ) ( ) ( ) x f   y xa y xa y xa y xa nn

 N  N  =++++  −

− '1

1

1

)(

0    

d!"de ( ) x f   yaaaa nn   ,,, 110   −

  s!" fu"ci!"es de  x  

NOTA: !d!s sus #r$i"!s de*e" ser de GRADO UNO

L! a"eri!r i"dica +ue &as ecuaci!"es difere"cia&es &i"ea&es ie"e" d!s

caracer,sicas i$-!ra"es'

a. La aria*&e de-e"die"e  y / !das sus deriadas s!" de -ri$er 0rad!1

es decir &a -!e"cia de !d! #r$i"! d!"de a-arece  y  es .

*. Cada c!eficie"e s%&! de-e"de de  x +ue es &a aria*&e

i"de-e"die"e.

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ECUACIÓN DIFERENCIAL NO LINEAL 

La fu"ci!"es de  y a& c!$!  y sen   ! &as fu"ci!"es de &as deriadas de  y

c!$! '2   ye  "! -uede" a-arecer e" u"a ecuaci%" &i"ea&1 si es! !curre se dice

+ue &a ecuaci%" difere"cia& es "! &i"ea&.

E3e$-&!s'

Potencia distinta de 1

 x y y y xy   =++   2'''')1   2  

N! es ecuaci%" difere"cia& &i"ea& -!r +ue ' y  ie"e c!$! c!eficie"e a 2 y

de*e ser fu"ci%" de 456

 xe ydxdy

dx yd  x   =+ 

  −   6)2

2

3

3

3 

La aria*&e de-e"die"e 4  y 6 / !das sus deriadas de*e" de e"er e&

$is$! e5-!"e"e ! ser de& $is$! 0rad! (u"!)

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E3e$-&!s'

( )   2492583'''6'''3)1   x y x y x y x y x y x   IV  =+++−  

E" e& e3e$-&! a"eri!r &!s c!eficie"es de &a aria*&e de-e"die"e 4  y 6 / &!s

c!eficie"es de sus deriadas s!" fu"ci!"es de 4 x 6.

 x y y y y   cos'''2''')2   =++−  

 A+u, su-!"e$!s +ue a"! 4 y 6 c!$! sus deriadas ie"e c!$!

c!eficie"es 10 = x  / +ue es s!*ree"e"did! -!r &! +ue "! se e5-resa e"

&a ecuaci%" 0e"era&$e"e.

 x

e y sen y   =+')3  

 x

e y xy sen   =+   ')4  

E" es)e cas!  y sen 1  xy sen   es u"a fu"ci%" )ri0!"!$#)rica / +ue s!"

fu"ci!"es de 4 y 6 -!r &! )a")! es ecuaci%" difere"cia& "! &i"ea&.

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SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

La s!&uci%" de u"a ecuaci%" difere"cia& !rdi"aria de !rde" “n”  es u"a re&aci%"

+ue c!")ie"e 4n6 c!"s)a")es ar*i)rarias i"de-e"die")es +ue 3u")! c!" &as

deriadas !*)e"idas de e&&! sa)isface &a ecuaci%" difere"cia&.

Definición

Se &&a$a s!&uci%" de u"a ecuaci%" difere"cia& a u"a fu"ci%" )( x F  y  =  

de)er$i"ada e" e& i")era&! ba,   3u")! c!" sus deriadas sucesias 7as)a e&

!rde" n   i"c&usie )a& +ue a& 7acer &a sus)i)uci%" )( x F  y  =   e" &a ecuaci%"

difere"cia& #s)a se )ra"sf!r$a e" u"a ide")idad c!" res-ec)! a  x   e" e&

i")era&! ba, .

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. De$!s)rar +ue  B Ax x y   ++=  35  es u"a s!&uci%" de &a ecuaci%" difere"cia&

899: ;<5

S!&uci%"'E" es)e cas! &a ecuaci%" )ie"e d!s -ar=$e)r!s A / >1 es)! "!s i"dica +ue

se deria d!s eces'

89: ?52@ A 1 899: ;<5

Lue0! ree$-&aa"d! '' y  e" &a ecuaci%" difere"cia& de& e"u"ciad!'

;<5 : ;<5 resu&)a u"a ide")idad -!r &! )a")!'  Bx Ax x y   ++=  35 es u"a

s!&uci%" de &a ecuaci%" difere"cia& i"dicada.

Es)e cas! -uede 7a*er $=s de u"a s!&uci%".8 : ?5;@ A es s!&uci%" de /99: ;<5

8 : ?5;@ > es s!&uci%" de /99: ;<5

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SOLUCION PARTICULAR

DEFINICIÓN:

U"a s!&uci%" -aricu&ar de u"a ecuaci%" difere"cia& es cua&+uier re&aci%"

+ue saisface &a ecuaci%" es! es &! reduce a u"a ide"idad.

U"a s!&uci%" -aricu&ar se !*ie"e de &a -ri$iia ! s!&uci%" 0e"era& da"d!

a&!res defi"idas a &!s c!"sa"es ar*irarias.

P!r e3e$-&!'

 B Ax x y   ++=   32   es &a s!&uci%" 0e"era& (! -ri$iia) de &a ecuaci%"

difere"cia&' /99 : 25

E"!"ces -!de$!s asi0"ar difere"es a&!res ar*irari!s a &as c!"sa"es'

( )0,0cuando,2  3

===   B A x y Es u"a s!&uci%" -aricu&ar de &a E.D. /99 :

25

872   3 +−=   x x y   cua"d! A :B > :C. Es u"a s!&uci%" Paricu&ar de /99 :

25

 B x y   +=   32 ( si A :<) Es u"a s!&uci%" Paricu&ar de /99 : 25

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SOLUCIÓN SINGULAR

DEFINICIÓN:

U"a ecuaci%" -uede e"er s!&uci!"es +ue "! se -uede" !*e"er de &a

-ri$iia cua&+uiera +ue sea e& a&!r +ue se da a &as c!"sa"es

ar*irarias dic7as s!&uci!"es se &&a$a" s!&uci!"es si"0u&ares.

E3e$-&!'

. Sea / : C5 @ 2C2  &a s!&uci%" 0e"era& ! -ri$iia de u"a ecuaci%"

difere"cia&. a&&ar &a ecuaci%" difere"cia& as!ciada c!" &a -ri$iia dada

S!&uci%"'

22ccx y   +=   ()

Deria"d! res-ec! a 456 se ie"e

89 : c

ree$-&aAa"d! &a deriada e" ()

( ) 2'2'   y x y y   += arre0&a"d!' ( )   0''2   2 =−+   y x y y  

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2

8

1 x y   −= c!$-r!*ar +ue esa ecuaci%" es s!&uci%" de &a ecuaci%"

difere"cia& e"c!"rada ! as!ciada a &a s!&uci%" 0e"era&'

( )   0''2  2 =−+   y xy y  

Deria$!s &a fu"ci%"2

8

1 x y   −=  

 x y x y 4

1'28

1'

  2

−=⇒−=  

Ree$-&aa"d! e" &a ecuaci%" difere"cia&'

08

1

4

1

16

12

08

1

4

1

4

12

222

2

2

=+−   

=   

  −− 

  −+ 

  −

 x x x

 x x x x

084

1

8

1  2

22 =+−  x

 x x  

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. O*e"0a &a ecuaci%" difere"cia& as!ciada c!" &a -ri$iia y = A cos a x + B

sen a x, sie"d! A / > c!"sa"es ar*irarias / a u"a c!"sa"e fi3a.

Deria$!s 2 eces c!" res-ec! a 4a6

( ) ( )

( ) ( )

ax sen Baax A

a sax sen Baaax Aadx yd 

ax Baax sen Aa

aax Baax sen Adx

dy

22

2

2

cos

.cos

cos

.cos

−−=

−++−=

+−=

+−=

fac!r c!$"

( )ax sen Bax Aa   +−=   cos2  -er!  A cosax + B senax = y  

02

2

22

2

2

=+⇒−=∴   yadx

 yd  ya

dx

 yd   E.D. -edida