Transcript
1
Dimensi Tiga(Proyeksi & Sudut)
2
Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat
Menentukan
proyeksi dan besar sudut dalam
ruang dimensi tiga
3
Proyeksi Pada Bangun Ruang:
proyeksi titik pada garis
proyeksi titik pada bidang
proyeksi garis pada bidang
4
Proyeksi titik pada garis
Dari titik P
ditarik garis m garis k
garis m memotong k di Q,
titik Q adalah
hasil proyeksi
titik P pada k
P
Q
k
m
5
Contoh
Diketahuikubus ABCD.EFGHTentukan proyeksititik A pada garisa. BC b.BDc. ET
(T perpotonganAC dan BD).
A B
CD
H
E F
G
T
6
PembahasanProyeksi titik A pada
a. BC adalah titik
b. BD adalah titik
c. ET adalah titik
A B
CD
H
E F
G
T
B
T
A’
A’(AC ET)
(AB BC)
(AC BD)
7
Proyeksi Titik pada Bidang
Dari titik Pdi luar bidang Hditarik garis g H. Garis g menembusbidang H di titik P’.Titik P’ adalahproyeksi titik P di bidang H
P
P’
g
8
Contoh
Diketahui kubusABCD.EFGH
a. Proyeksi titik Epada bidang ABCDadalah….
b. Proyeksi titik Cpada bidang BDGadalah….
A B
CD
H
E F
G
9
Pembahasana. Proyeksi titik E
pada bidang ABCDadalah
b. Proyeksi titik Cpada bidang BDGadalahCE BDG
A B
CD
H
E F
G
(EA ABCD)
AP
P
10
Proyeksi garis pada bidangProyeksi sebuah gariske sebuah bidangdapat diperoleh dengan memproyek-sikan titik-titik yangterletak pada garis ituke bidang.
A
A’
g
Jadi proyeksi garis g pada bidang H
adalah g’
B
B’g’
11
Fakta-fakta1. Proyeksi garis pada bidang
umumnya berupa garis
2. Jika garis h maka
proyeksi garis h pada bidang
berupa titik.
3. Jika garis g // bidang maka
g’ yaitu proyeksi garis g pada
dan sejajar garis g
12
Contoh 1
Diketahui kubusABCD.EFGH
a. Proyeksi garis EFpada bidang ABCDadalah….A B
CD
H
E F
G
b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm,Panjang proyeksi garis CGpada bidang BDG adalah….
13
Pembahasan
a. Proyeksi garis EFpada bidang ABCDberarti menentukanproyeksi titik E dan Fpada bidang ABCD,yaitu titik A dan B
A B
CD
H
E F
G
Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB
14
Pembahasanb. Proyeksi garis CG
pada bidang BDGberarti menentukanproyeksi titik Cdan titik Gpada bidang BDG,yaitu titik P dan G
A B
CD
H
E F
G
Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan panjangnya?
P
6 cm
15
A B
CD
H
E F
G •Panjang proyeksi CG pada BDG adalah
panjang garis PG.
•PG = ⅔.GR = ⅔.½a√6 = ⅓a√6 = ⅓.6√6
P
R
•Jadi panjang proyeksi garis CGpada bidang BDG adalah 2√6 cm
6 cm
16
Contoh 2Diketahui limasberaturanT.ABCDdengan panjang AB= 16 cm, TA = 18 cmPanjang proyeksi TApada bidang ABCDadalah….
T
A
D C
B16 cm
17
PembahasanProyeksi TApada bidang ABCDadalah AT’.Panjang AT’= ½AC
= ½.16√2= 8√2
T
A
D C
B16 cmT’
Jadi panjang proyeksi TA pada
bidang ABCD adalah 8√2 cm
18
Sudut Pada Bangun Ruang:
Sudut antara dua garis
Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara bidang dan bidang
19
Sudut antara Dua GarisYang dimaksud dengan
besar sudut antara
dua garis adalah
besar sudut terkecil
yang dibentuk
oleh kedua
garis tersebut
k
m
20
ContohDiketahui
kubus ABCD.EFGH
Besar sudut antara
garis-garis:
a. AB dengan BG
b. AH dengan AF
c. BE dengan DFA B
CD
H
E F
G
21
PembahasanBesar sudut antara
garis-garis:
a. AB dengan BG
= 900
b. AH dengan AF
= 600 (∆ AFH smss)
c. BE dengan DF
= 900 (BE DF)
A B
CD
H
E F
G
22
P
Q
Sudut antara Garis dan Bidang
Sudut antara garis a dan bidang
dilambangkan (a, )
adalah sudut antaragaris a dan
proyeksinya pada .Sudut antara garis PQ dengan V = sudut antara PQ dengan P’Q= PQP’
P’
23
Contoh 1Diketahui
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 6 cm.
Gambarlah sudut
antara garis BG
dengan ACGE,
A B
CD
H
E F
G
6 cm
Kemudian hitunglah besar sudutnya!
24
PembahasanProyeksi garis BG
pada bidang ACGE
adalah garis KG(K = titik potong
AC dan BD)A B
C D
H
E F
G
6 cm
Jadi (BG,ACGE) = (BG,KG)
= BGK
K
25
PembahasanBG = 6√2 cmBK = ½BD
= ½.6√2= 3√2 cm
∆BKG siku-siku di KA B
C D
H
E F
G
6 cm
sin BGK =
Jadi, besar BGK = 300
K
BG
BK
2
1
26
23
26
Contoh 2Diketahui
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 8 cm.
A B
CD
H
E F
G
8 cm
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah….
27
Pembahasantan (CG,AFH)
= tan (PQ,AP)= tan APQ
=
=
A B
CD
H
E F
G
8 cm
P
Q
PQ
AQ
8
24
8
28.21
GC
AC21
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah ½√2
28
Contoh 3Pada limas
segiempat beraturan
T.ABCD yang semua
rusuknya sama panjang,
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah….
T
A B
CD
a cm
a cm
29
Pembahasan• TA = TB = a cm• AC = a√2 (diagonal
persegi)
• ∆TAC = ∆ siku-sikusamakaki
T
A B
CD
a cm
a cm
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah sudut antara TA dan AC
yang besarnya 450
30
Sudut antara Bidang dan Bidang
Sudut antara
bidang dan bidang
adalah sudut antara
garis g dan h, dimana
g ( , ) dan h ( , ).( , ) garis potong bidang dan
( , )
g
h
31
Contoh 1
Diketahui kubusABCD.EFGH
a. Gambarlah sudutantara bidang BDGdengan ABCD
b. Tentukan nilai sinussudut antara BDGdan ABCD!
A B
CD
H
E F
G
32
Pembahasana. (BDG,ABCD)
• garis potong BDGdan ABCD BD
• garis pada ABCDyang BD AC
• garis pada BDGyang BD GP
A B
CD
H
E F
G
Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC)
= GPC
P
33
Pembahasanb. sin (BDG,ABCD)
= sin GPC
=
=
= ⅓√6A B
CD
H
E F
G
Jadi, sin (BDG,ABCD) = ⅓√6
P
GP
GC
x 6a
a
21 .6
6
6
6
21
34
Contoh 2
Limas beraturanT.ABC, panjangrusuk alas 6 cm danpanjang rusuk tegak9 cm. Nilai sinus sudutantara bidang TABdengan bidang ABCadalah….
A
B
C
T
35
Pembahasan
•sin (TAB,ABC)= sin (TP,PC)= sin TPC•TC = 9 cm, BP = 3 cm•PC =
=•PT =
=
A
B
C
T
P 2236
cm 332722
39
cm 3672
36
• Lihat ∆ TPCPT = 6√2, PC = 3√3
Aturan cosinusTC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cos TPC
81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cos TPC
36√6.cos TPC = 99 – 81
36√6.cos TPC = 18
cos TPC =
=
A
B
C
T
P2 1
62
1
6
6x
12
6
37
• Lihat ∆ TPC
cos P =
Maka diperoleh
Sin P =
Jadi sinus (TAB,ABC)
=
12
6
12
√6
6 144 -
P 138
12
138
12
138
38
Contoh 3Diketahui kubusABCD.EFGH, pan-jang rusuk 4 cmTitik P dan Qberturut-turutdi tengah-tengahAB dan AD.
A B
CD
H
E F
G
Sudut antara bidang FHQP dan bi-
dang AFH adalah . Nilai cos =…
4 cm
P
Q
39
Pembahasan• (FHQP,AFH)
= (KL,KA)= AKL =
• AK = ½a√6 = 2√6• AL = LM = ¼ AC
= ¼a√2 = √2• KL =
==3√2
A B
CD
H
E F
G4 cm
P
Q
K
L M22
MLKM
18242
40
Pembahasan• AK = 2√6 , AL = √2KL = 3√2
Aturan Cosinus:AL2 = AK2 + KL2 – 2AK.KLcos
2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cos24√3.cos = 42 – 2
24√3.cos = 40cos =
K
L MA
Jadi nilai cos = 39
5
39
5
41
SELAMAT BELAJAR
top related