DEPARTAMENTO DE SEÑALES ISTEMAS Y ADIOCOMUNICACIÓN …
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UNIVERSIDAD POLITEacuteCNICA DE MADRID DEPARTAMENTO DE SENtildeALES SISTEMAS Y RADIOCOMUNICACIOacuteN
Escuela Teacutecnica Superior de Ingenieros de Telecomunicacioacuten
CONTRIBUCIOacuteN EN MEacuteTODOS INVERSOS PARA LA CARACTERIZACIOacuteN
DE SISTEMAS RADIANTES
TESIS DOCTORAL
Autor Joseacute Mariacutea Diacuteaz Nafriacutea Ingeniero de Telecomunicacioacuten
Director Fernando Las Heras Andreacutes Doctor Ingeniero de Telecomunicacioacuten
2003
ldquoTodas las formas todos
los colores todas las
imaacutegenes de cada parte del
universo se contraen en un
punto (la pupila) iquestQueacute
otro punto hay tan
maravillosordquo
Leonardo Da Vinci
Cuaderno de notas
Arte sectI1b
ldquoDe un tiempo a esta parte
el infinito
se ha encogido
peligrosamente
quien iba a suponer
que segundo a segundo
cada migaja
de su pan sin limites
iba asiacute a despentildearse
como canto rodado
en el abismordquo
Mario Benedetti
Las soledades de Babel mdash El infinito
iii
Agradecimientos Cuando uno se acerca a una obra y observa en su fachada el nombre del autor es faacutecil dejarse llevar
por un grave error de interpretacioacuten Acaso puede darnos la impresioacuten de que fue aquel con las
uacutenicas fuerzas de su brazo el que levantoacute toda esa obra Cuando la eacutepoca es de marcado
individualismo como es ndashmaacutes que nunca- la que nos toca esta tendencia se ve acentuada por el
hecho de que cada uno parece terminarse en los estrechos maacutergenes de la piel que le circunscribe y
todo lo que queda fuera de semejante periacutemetro se toma por cosa ajena a no ser que esteacute ligada a la
persona en relacioacuten de pertenencia Naturalmente si nuestra interpretacioacuten de la persona como
queriacutea Ortega no terminase en tan estrechos maacutergenes sino que se extendiera sobre la
circunstancia que le rodea quedariacutea claro que cuando eacuteste rubrica la frente de su obra no estaacute
hablando soacutelo del hecho de su brazo sino del hecho de toda su persona incluido ese entorno que
le es inseparable o lo que es maacutes le es esencial Claro estaacute que la voluntad del sujeto firmante
(ahora siacute englobada en aquel periacutemetro) juega aquiacute un valor capital aunque soacutelo a la manera que el
muacutesculo es relevante en el salto y poco maacutes que un pedazo de carne magra si se le dejara solo Soacutelo
asiacute es como se puede entender la autoriacutea del trabajo que sigue a estas primeras palabras y en este
sentido los agradecimientos se tornan en una extensioacuten de la autoriacutea maacutes allaacute del contorno de mi
piel que en estricto no es mi periacutemetro ya que si un ideal cuchillo me seccionara siguiendo el cauce
de esa superficie lo que hacia dentro quedara de ser tan poco podriacutea decirse que no es nada La
obra y el agradecimiento estaacuten pues en la misma relacioacuten que la accioacuten y reaccioacuten ligadas a cualquier
acto dinaacutemico y me seriacutea tan difiacutecil dar cuenta fiel de todas las partes involucradas en la dinaacutemica
de este trabajo como al ciempieacutes bailariacuten explicar pormenorizadamente la relacioacuten de sus
movimientos Por ello maacutes que dar razoacuten del por queacute del agrado me limitareacute a hacer un repaso
escuaacutelido de la circunstancia de la que no soy sino parte Y como lo maacutes importante es referir lo que
comienza y lo que acaba me veo forzado a empezar por esos cambios radicales que han acontecido
durante este tiempo en mi circunstancia hace algo maacutes de un antildeo Rosario se marchoacute de nuestro
lado medio antildeo despueacutes aparecioacute Marcos ensanchando con sus vastos ojos nuestro horizonte Ella
nos dejoacute la enorme fuerza de su amor y en eso sigue con nosotros eacutel nos dio la ocasioacuten de
quererlo y eso nos dejoacute en las mismas puertas de un camino inagotable
iquestQueacute vida puede concebirse sin la ocasioacuten de sus padres y aun maacutes allaacute la de sus ascendientes
iexclPues que conste y quede claro que en esa ocasioacuten radican todas las demaacutes Y si ese es el horizonte
del que vengo en el que sobre todo estoy es el de Cristina ella es el feacutertil suelo del presente sobre el
iv
que veo florecer las guirnaldas del futuro Pero la farragosa espesura que ha de penetrarse para
andar los caminos que devanan la vida seriacutea infranqueable si no fuera por el brazo amigo que viene
a desbrozar la maleza en el mejor de los casos para caminarlos juntos Y aquiacute no puedo por fuerza
de concisioacuten dar cuenta de tantas y tantas manos que han hecho los caminos andados ya no soacutelo
llevaderos sino rastros formidables de memoria y mentareacute soacutelo algunos de los maacutes cercanos en el
tiempo y el espacio bajo un orden fortuito Dani Javi Luis Ana Jose Miriam Susana Mariacutea Pilar
Rafa Ramoacuten Mari Jose Rocio Fernando Aiacutena Basil Jorge Lelia Manolo Tontildeo Plamenhellip y en
fin todos aquellos que vinieron a engrosar la familia que me dio la sangre y esta misma
No obstante todo esto apenas explica el orden de circunstancia sobre el que radican los tenores
cientiacuteficos y teacutecnicos de este trabajo Al margen de todo lo que se debe a la inmensa y longeviacutesima
empresa del ldquoconocerrdquo que por aproximacioacuten debiera atribuiacutersele todo debo al menos remontarme
a la casa en la que empeceacute a desarrollar un trabajo semejante pero de la que tuve que marcharme
por ocasioacuten de las vicisitudes aquella casa fue la Technische Universitaumlt Wien Por fortuna para el
desabrigo de mis andanzas acadeacutemicas encontreacute cobijo bajo un agradable techo el del Grupo de
Radiacioacuten y en esta casa un mentor Fernando del que aprender inusitadas virtudes Y digo
inusitadas porque en el curso de los antildeos he topado a menudo con moles inamovibles de
conviccioacuten encastilladas de prestigio pero muy pocas veces la franca intencioacuten y paciencia de
discutir sinceramente las cosas hasta desgranarlas en asuntos claros y distintos ndashcomo dice el
precepto racionalista y como afortunadamente he encontrado en Fernando-
Pero debo aun resaltar un hecho que de acuerdo a la actual arena poliacutetica resulta iroacutenico Haraacute un
antildeo Basil Mohammed Al-Hadithi presentaba una tesis bajo las tejas de esta misma Universidad que
fue una auteacutentica leccioacuten de excelencia cientiacutefica Eacutel llegoacute aquiacute procedente de la Universidad de
Bagdadhellip Es un ejemplo de lo que nos llega de Irak iquestCuaacutel es el ejemplo que nosotros les
devolvemos
En fin si este trabajo valiera algo cosa que no es segura y que soacutelo podriacutea serlo en la medida que
las razones que encierra fueran lo suficientemente valientes como para luchar con otras hasta que
quedaran exhaustas entonces ya ven que la firma que lo suscribe apenas dice nada de su verdadera
autoriacutea Pero deberiacutea hacer una uacuteltima advertencia toda esa circunstancia que apenas he pincelado
encierra muchas posibilidades no realizarlas en su plena virtud siacute es cosa miacutea Es decir si de algo
puede arrogarse el firmante autor es de sus errores casi todo lo demaacutes le viene en gracia
v
Contenido
I INTRODUCCIOacuteN1
11 TRES APROXIMACIONES A NUESTRO PROBLEMA3
111 El problema electromagneacutetico inverso y el del conocimiento3
112 Nuestro meacutetodo de investigacioacuten4
113 Los liacutemites de la observacioacuten 5
12 PANORAacuteMICA DEL CAMINO DE IDA Y VUELTA8
121 Problema directo 8
122 Problema inverso 10
123 Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico11
II PROBLEMA ELECTRO-MAGNEacuteTICO DIRECTO 13
21 ECUACIOacuteN DE ONDA Y CAMPOS RADIADOS15
211 Campos debidos a fuentes eleacutectricas y magneacuteticas 17
22 TEOREMA DE UNICIDAD Y EQUIVALENCIA 20
23 FORMULACIONES DIRECTAS22
231 Fuentes reales 23
232 Fuentes equivalentes magneacuteticas24
233 Fuentes electromagneacuteticas generalizadas 25
234 Campos sobre geometriacuteas canoacutenicas25
235 Campos para un observador lejano 27
236 Representacioacuten modal30a) Modos planos 31
b) Modos ciliacutendricos 32
c) Modos esfeacutericos 33
d) Isomorfismo entre la distribucioacuten superficial de corrientes y la representacioacuten modal33
24 DISCRETIZACIOacuteN DEL PROBLEMA ELECTROMAGNEacuteTICO34
241 Teorema de muestreo para el problema electromagneacutetico 35
242 Muestreo del dominio de observacioacuten y del campo observado 41Funciones de distribucioacuten en los subdominios de muestreo (interpolacioacuten)42
243 Ondas evanescentes 43
vi
244 Expresioacuten del problema discretizado502441 Dominios planos 51
245 El espacio de los campos radiados sobre el dominio de observacioacuten E 52
25 EJEMPLOS 53
251 Corrientes sobre los veacutertices de un icosaedro 542511 Formulacioacuten del problema55
2512 Distribucioacuten discontinua de corrientes interiores57
2513 Distribucioacuten continua (esfeacuterica) de corrientes interiores61
252 Campo radiado por una antena de agrupacioacuten de dipolos622521 Formulacioacuten del problema 63
2522 Muestreo del campo muy proacuteximo a la antena 65
2523 Proyeccioacuten sobre el espacio E 69
2524 Sobre la frecuencia espacial 74
26 SUMARIO 76
III PROBLEMA ELECTRO-MAGNEacuteTICO INVERSO 79
31 INTRODUCCIOacuteN 81
311 Acerca del problema de soacutelo observar el campo eleacutectrico83
312 Los problemas inversos 84
32 PROBLEMA INVERSO CON FASE 85
321 Proyeccioacuten ortogonal sobre el espacio E86
3211 Unicidad de solucioacuten87
3212 Solucioacuten analiacutetica 89
3213 Solucioacuten numeacuterica 90
a) Solucioacuten numeacuterica de la ecuacioacuten lineal 90
b) Reduccioacuten numeacuterica del residuo91
c) Algoritmo iterativo basado en el Teorema Global de la Convergencia93
322 Observacioacuten plana cercana y observacioacuten lejana94
323 Observacioacuten incompleta973231 Observacioacuten incompleta sobre dominios planos o lejanos100
33 PROBLEMA INVERSO SIN FASE 102
331 Unicidad de solucioacuten 1043311 Relacioacuten de dispersioacuten entre el moacutedulo y la fase 106
3312 Clases de ambiguumledad 108
3313 Teorema de Hoenders 109
3314 Criacutetica de algunas teoriacuteas sobre la ambiguumledad de la distribucioacuten de fase 111
3315 Unicidad de solucioacuten con dos distribuciones de campo112
3316 Extensioacuten al caso discreto113
a) Extensioacuten analiacutetica en teacuterminos de la transformada Z113
b) Acerca de la ambiguumledad114
c) Discusioacuten de la unicidad para distribuciones de soporte finito 116
vii
3317 Extensioacuten a dominios superficiales120
3318 Extensioacuten a las distribuciones de campo en zona de Fresnel 122
a) Multiplicidad de solucioacuten a partir de una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo del campo122
b) Unicidad de solucioacuten a partir de varias distribuciones de moacutedulo del campo123
332 Soluciones al problema inverso sin fase 1253321 Procedimientos manipuladores 127
a) Manipulacioacuten de la distribucioacuten de campo mediante una radiacioacuten de referencia 128
b) Manipulacioacuten de la distribucioacuten de fuentes132
3322 Procedimientos observadores135
a) Proyecciones sucesivas136
b) Meacutetodos de optimizacioacuten 141
c) Solucioacuten en el espacio del cuadrado del moacutedulo 146
34 SUMARIO 147
IV VALIDACIOacuteN EXPERIMENTAL 151
41 PRUEBAS EXPERIMENTALES 153
42 ANTENA DE APERTURA CIRCULAR 154
421 Frecuencia espacial sobre los dominios de observacioacuten 155
422 Problema inverso con fase 156
423 Aumento del dominio de observacioacuten 160
424 Problema inverso sin fase 1634241 No unicidad de solucioacuten a partir de una distribucioacuten de moacutedulo164
4242 Meacutetodos cuasi-Gerchberg-Saxton 167
4243 Meacutetodos generalizados de Proyecciones Sucesivas171
43 ANTENA DE AGRUPACIOacuteN DE RANURAS 176
431 Dimensioacuten del problema electromagneacutetico 1774311 Distribucioacuten de dipolos hercianos177
4312 Frecuencia espacial del campo radiado 177
432 Problema inverso con fase 177
433 Problema inverso sin fase 1804331 Acerca de la unicidad de solucioacuten180
4332 Meacutetodos generalizados de Proyecciones Sucesivas182
44 ANTENA DE AGRUPACIOacuteN DE DIPOLOS PARA RADAR SECUNDARIO 186
441 Siacutentesis de la distribucioacuten de campo 1864411 Justificacioacuten del dominio de medida 186
4412 Particularizacioacuten del problema directo188
4413 Siacutentesis de medidas 189
442 Comparacioacuten de meacutetodos inversos sin fase 1894421 Meacutetodo de Proyecciones Sucesivas con formulacioacuten de corrientes Conductivas (MPS-C) 192
4422 Meacutetodo de Optimizacioacuten sobre el Cuadrado de la Amplitud de campo eleacutectrico (MOCA) 194
4423 Meacutetodo de Proyecciones Sucesivas con formulacioacuten de corrientes Magneacuteticas (MPS-M)197
viii
V SOBRE LA OBSERVACIOacuteN DEL CAMPO ELECTROMAGNEacuteTICO 201
51 INTRODUCCIOacuteN 203
52 SISTEMAS OBSERVADORES DE MEDIDA 204
53 MODELO DE SISTEMA ADAPTADO DE MEDIDA 206
531 Arquitectura baacutesica del sistema 207
532 Deteccioacuten de sentildeales de radiofrecuencia 208
533 Recepcioacuten oacuteptima de las distribuciones de campo 210
54 SISTEMA DE DIAGNOSIS PARA ANTENAS DE RADAR SECUNDARIO 214
541 Arquitectura del sistema 217
542 Circuito de deteccioacuten 218
543 Recepcioacuten oacuteptima del moacutedulo de la distribucioacuten de campo radiada por la antena SSR 226
544 Resultados del sistema de diagnosis 231
VI CONCLUSIONES Y LIacuteNEAS FUTURAS 233
61 CONCLUSIONES 235
62 LIacuteNEAS FUTURAS 236
VII BIBLIOGRAFIacuteA 239
ix
Iacutendice de ilustraciones
Figura 1-1 Procedimiento descrito por Descartes para ver directamente la imagen formada en la
retina del ojo 6
Figura 1-2 Esquema de los problemas directo e inverso 8
Figura 2-1 Modelo del sistema radiante 15
Figura 2-2 Geometriacutea del problema de radiacioacuten18
Figura 2-3 a) Problema real b) modelo del problema equivalente c) equivalente de Love d)
equivalente conductor eleacutectrico e) equivalente conductor magneacutetico 21
Figura 2-4 Problema electromagneacutetico con corrientes eleacutectricas 23
Figura 2-5 Problema electromagneacutetico con corrientes magneacuteticas 24
Figura 2-6 Geometriacutea del problema electromagneacutetico para un observador lejano 28
Figura 2-7 Interpretacioacuten geomeacutetrica de los paraacutemetros fundamentales en una observacioacuten lejana 29
Figura 2-8 Superficie de las frecuencias espaciales isomorfa con el espacio de los campos radiados 36
Figura 2-9 Dimensioacuten esencial del problema de radiacioacuten38
Figura 2-10 Interpolacioacuten mediante funciones de subdominio a) domino espacial b) dominio de la
frecuencia espacial El uso de funciones definidas soacutelo en el intervalo del subdominio
producen distorsioacuten 43
Figura 2-11 Exceso del ancho de banda espacial con respecto al nuacutemero de onda en funcioacuten de la
distancia para varios errores de truncamiento45
Figura 2-12 Moacutedulo de la dependencia radial de los modos esfeacutericos usando como argumento la
distancia radial expresada en nuacutemero de longitudes de onda46
Figura 2-13 Geometriacutea del problema de discretizacioacuten del campo generado por radiadores finitos 47
Figura 2-14 Variacioacuten del nuacutemero de muestras necesarias sobre las esferas ampliadas de radio a+δ48
Figura 2-15 Dimensioacuten esencial del problema superficial (a) y factores de sobremuestreo y de exceso
del radio para los problemas tanto superficial como curviliacuteneos (b)49
Figura 2-16 Dimensioacuten esencial para dominios curviliacuteneos (Los paraacutemetros χ y δ correspondientes son
los de la figura 2-15b) 49
Figura 2-17 a 2-25 Ejemplo de corrientes interiores a un icosaedro 54
Figura 2-16 a 2-44 Ejemplo de antena de agrupacioacuten de dipolos 57 a 76
Figura 3-1 Esquema general de proceso iterativo aplicado al problema electromagneacutetico inverso 82
Figura 3-2 Procedimiento iterativo para la aplicacioacuten de medidas sobre parte del dominio de intereacutes 99
x
Figura 3-1 Esquema general de proceso iterativo aplicado al problema electromagneacutetico inverso 82
Figura 3-2 Procedimiento iterativo para la aplicacioacuten de medidas sobre parte del dominio de intereacutes 99
Figura 3-3 Procedimiento iterativo para la aplicacioacuten de informacioacuten adicional en dominios planos
para una observacioacuten cercana (zona de Fresnel) 101
Figura 3-4 Procedimiento iterativo para la aplicacioacuten de informacioacuten adicional para reconstruccioacuten
sobre dominios planos y observacioacuten lejana (zona de Fraunhoffer) 101
Figura 3-5 Contorno de integracioacuten para la aplicacioacuten de la formula integral de Cauchy 107
Figura 3-6 Ceros de la transformada Z de una distribucioacuten discreta de fuentes que equivale a la
extensioacuten analiacutetica de la distribucioacuten de campo lejano 115
Figura 3-7 Distribuciones correspondientes a dos ceros reciacuteprocos conjugados Su soporte es
diferente 117
Figura 3-8 Distribuciones de fuentes de orden cuatro que generan una misma distribucioacuten de moacutedulo
de campo A la izquierda se representa la distribucioacuten original a la derecha dos variantes
afectadas por factores de Blaschke (conmutacioacuten de uno o dos ceros reciacuteprocos) 118
Figura 3-9 Ejemplo de polinomios irreductibles asimeacutetrico y simeacutetrico 121
Figura 3-10 Apodizacioacuten usando una sinc en el dominio de las fuentes Su efecto es eliminar los ceros en
el dominio del campo para poder usar la transformada logariacutetmica de Hilbert 132
Figura 3-11 Algoritmo de Gerchberch-Saxton 137
Figura 3-12 Algoritmo de Misell 138
Figura 3-13 Algoritmo de Anderson generalizado 139
Figura 3-14 Algoritmo generalizado de proyecciones sucesivas 140
Figura 3-15 Algoritmo generalizado de proyecciones sucesivas para muacuteltiples dominios de medida 141
Figura 4-1 Geometriacutea de la antena de apertura circular y de los dominios de observacioacuten (distancias
expresadas en metros) 154
Figura 4-2 Representacioacuten graacutefica del filtrado oacuteptimo para la intensidad de campo 156
Figura 4-3 a 4-6 Problema inverso con fase 157
Figura 4-7 a 4-10 Ampliacioacuten del dominio de observacioacuten 160
Figura 4-11 a 4-24 Problema inverso sin fase 165
Figura 4-25 Geometriacutea del problema inverso para la antena de agrupacioacuten de ranuras 176
Figura 4-26 a 4-29 Problema inverso con fase 178
Figura 4-30 a 4-37 Problema inverso sin fase 181
Figura 4-38 Vista frontal de la antena de agrupacioacuten de dipolos para radar secundario principales dimensiones
y detalle lateral de una columna 187
Figura 4-39 Dominio de medida de las antenas de Radar secundario 187
Figura 4-40 Formulacioacuten del problema a) mediante corrientes conductivas ndashgeometriacutea detallada de la
antenandash b) mediante corrientes equivalentes magneacuteticas ndashveacutease figura 2-28 aproximacioacuten
puntual de la columnandash 188
Figura 4-41 a 4-44 Meacutetodo de Proyecciones Sucesivas con formulacioacuten de corrientes Conductivas
(MPS-C) 192
Figura 4-45 a 4-48 Meacutetodo de Optimizacioacuten sobre el Cuadrado de la Amplitud de Campo con
formulacioacuten de corrientes conductivas (MOCA) 195
xi
Figura 5-1 Arquitectura baacutesica del sistema adaptado de medida 208
Figura 5-2 Deteccioacuten adaptada de la amplitud de las sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de
distribuciones de moacutedulo 209
Figura 5-3 Deteccioacuten adaptada de las sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de distribuciones de campo
complejo 210
Figura 5-4 Recepcioacuten adaptada del nivel de las sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de distribuciones de
moacutedulo 212
Figura 5-5 Recepcioacuten adaptada del nivel de las sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de distribuciones de
moacutedulo 213
Figura 5-6 Observacioacuten del campo radiado por la antena SSR mientras se encuentra operativa
colocando el sistema adaptado de medida en sus inmediaciones 215
Figura 5-7 Caracteriacutesticas temporales de las sentildeales de interrogacioacuten SSR 216
Figura 5-8 Arquitectura baacutesica del sistema de diagnosis para antenas de radar secundario 217
Figura 5-9 Operacioacuten del sistema de diagnosis 218
Figura 5-10 Circuito de deteccioacuten de las sentildeales de interrogacioacuten 218
Figura 5-11 Configuracioacuten biplaca sobre fibra de vidrio del circuito de deteccioacuten 219
Figura 5-12 Caracteriacutesticas mecaacutenicas del circuito de deteccioacuten 219
Figura 5-13 Estructura de la antena e integracioacuten con el resto del circuito 220
Figura 5-14 Filtro de liacuteneas acopladas en microtira 220
Figura 5-15 Caracteriacutesticas experimentales del filtro de la fig 5-14 221
Figura 5-16 Caracteriacutesticas experimentales de la antena-filtro de las fig 5-13 y 5-14 221
Figura 5-17 Caracteriacutesticas teacutecnicas del Amplificador Logariacutetmico AD-8313 222
Figura 5-18 Circuito de polarizacioacuten del amplificador logariacutetmico 222
Figura 5-19 Vista en planta del circuito completo de deteccioacuten 223
Figura 5-20 Medidas a la salida del circuito de deteccioacuten a) barrido de potencia caracteriacutestica
logariacutetmica de transferencia b) barrido en frecuencia selectividad 224
Figura 5-21 Medidas a la salida del circuito de deteccioacuten Conjunto Transmisor (simulacioacuten de
pulsos SSR) ndash Bocina ndash Circuito de deteccioacuten Para varias potencias de transmisioacuten 225
Figura 5-22 Caracteriacutestica de respuesta del circuito de deteccioacuten para la amplitud del rizado y para la
amplitud estabilizada tras el rizado 225
Figura 5-23 Estructura de adquisicioacuten oacuteptima 226
Figura 5-24 a) Constelacioacuten para la decisioacuten de sentildeales vaacutelidas b) Problema equivalente 228
Figura 5-25 Constelacioacuten para la decisioacuten del nivel de los pulsos P1 228
Figura 5-26 Circuito de recepcioacuten oacuteptima y adquisicioacuten de datos 229
Figura 5-27 Dispositivos empleados para la realizacioacuten del receptor oacuteptimo y esquema de
conexiones 230
Figura 5-28 Organizacioacuten de la memoria para la realizacioacuten de las operaciones del receptor oacuteptimo 231
xiii
Siacutembolos D Dominio superficial de observacioacuten (sect21)
S Superficie que engloba las fuentes de campo electromagneacutetico (sect21)
ξ η λ Se emplean para designar coordenadas curviliacuteneas generalizadas En algunos casos de dominios superficiales se emplea tambieacuten la pareja (u v)
hξ Factor de escala (o de Lame) de la coordenada curviliacutenea ξ
E H J M hellip Vectores de campo eleacutectrico magneacutetico corriente eleacutectrica corriente magneacuteticahellip En general se simbolizan con negrita las magnitudes vectoriales
f Vector que representa de forma geneacuterica las fuentes de campo electromagneacutetico ya sean estas corrientes eleacutectricas magneacuteticas o una combinacioacuten de ambas seguacuten la definicioacuten (2-37)
G TCL He hellip Funciones diaacutedica de Green de campo lejano modaleshellip Al multiplicarse por un vector el resultado es otro vector (2-29 2-23 2-37 2-43 2-50 2-57 2-60)
A A Columna de vectores y escalares respectivamente
B B Operador diaacutedico y matriz de escalares respectivamente
BT Matriz traspuesta bnm= bmn
B Matriz conjugada bnm= bnm
B+ Matriz adjunta Traspuesta de la conjugada bnm= bmn
Z R C Conjunto de los nuacutemeros enteros reales y complejos respectivamente
FFuv Transformada de Fourier unidimensional bidimensionalhellip Cuando el argumento sea una distribucioacuten discreta entonces la transformada es discreta
A~~A Transformada del campo vectorial A o del campo escalar A Dependiendo del caso la transformada seraacute unidimensional bidimensional o tridimensional y seguacuten sea el campo A continuo o discreto asiacute seraacute la trasformada
M Columna de dos elementos que agrupa los dos modos del mismo orden (2-51 2-57 2-60)
Hn(2) hn(2) Funciones ciliacutendricas y esfeacutericas de Hankel de segunda especie y orden n
χ Factor en exceso de ancho de banda espacial sobre un determinado dominio superficial respecto a 2πλ (sect241 fig 2-9 ec 2-68 2-72)
E H f hellip Representa una distribucioacuten discretizada de campo vectorial (ordenada en una columna)
T Operador diaacutedico lineal de transformacioacuten del espacio discretizado de las fuentes al espacio del campo eleacutectrico definido en (2-91)
xiv
Ψn Funcioacuten de campo que corresponde al campo eleacutectrico sobre el dominio D (discretizado) por el dipolo n-esimo de Hertz unitario de la retiacutecula de fuentes (sect244)
E Espacio vectorial definido por las funciones de campo Ψn sobre un cuerpo de escalares complejos y por un producto interno como el (2-96) o el (3-3) Su dimensioacuten corresponde con la esencial Ver sect245
EO Complemento ortogonal del espacio E
21 EE Producto interno entre dos distribuciones del espacio E Definido en (2-96) y de forma maacutes general usando la matriz de factores de ponderacioacuten π en (3-3)
E Norma de una distribucioacuten E isin E Definido en (2-97) y (3-4)
( )21 EEd Distancia entre dos distribuciones de campo E1 y E2 del espacio E Definida en (2-98) y (3-4)
( )fd Distancia entre la distribucioacuten de campo observada Em y la debida a una distribucioacuten de fuentes f Ef Definido en (3-7) ( ) ( ))( ff fmdd EE=
ζ Matriz hermeacutetica positiva que caracteriza la distancia cuadraacutetica entre distribuciones en el espacio E Definido en (3-8) y (3-9)
b Vector columna en el que cada elemento corresponde al producto interno con cada una de las funciones base Ψn del espacio E Ver (3-8) Eb sdotsdot= + πT
p Designa una direccioacuten de cambio en el espacio de las distribuciones de fuente Empleada en los procedimiento iterativos de reduccioacuten de residuo (sect321)
I Operador de iteracioacuten que representa las operaciones realizadas sobre una secuencia de datos en un ciclo completo de un proceso iterativo Ver sect3-1
M Operador que sustituye sobre una distribucioacuten de campo cualquiera las medidas que se hayan realizado sobre el dominio de observacioacuten (por ejemplo campo complejo sobre una parte del dominio completo moacutedulo del campo etc)
Rf Operador que aplica a una distribucioacuten cualquiera de fuentes un conjunto de restricciones conocidas a priori o por observacioacuten (por ejemplo subdominios con nulos de corriente igualdad de fase etc)
RE Operador que aplica a una distribucioacuten cualquiera de campo un conjunto de restricciones conocidas a priori (tiacutepicamente el ancho de banda espacial)
Pi j Operador de proyeccioacuten del campo sobre el dominio Di al campo sobre Dj
H Transformada de Hilbert (3-38)
O Representa el comportamiento asintoacutetico de la funcioacuten argumento
E(u) E(z) u isin R se utiliza para designar la coordenada del dominio de observacioacuten lejano z isin C equivale a la extensioacuten compleja de u Asiacute E(u) es la distribucioacuten de campo lejano y E(z) su extensioacuten analiacutetica
zk Uno de los ceros de la extensioacuten analiacutetica de la distribucioacuten de campo E(z)
Bk(z) Factor de Blaschke sobre el cero k-esimo zk de la extensioacuten analiacutetica de la distribucioacuten de fuentes Ver sect33 y ec (3-42)
SPS SPS Semiplano complejo Superior y Semiplano complejo Inferior
xv
f [n] Distribucioacuten discreta de fuentes (esencialmente ideacutentica a f )
F(z) Transformada Z de f [n] extensioacuten analiacutetica de la distribucioacuten discreta de campo lejano
f [n] F(z) En el caso superficial sect3317 n isin Z2 y z isin C 2 Particularizando z = (ejθ1 e jθ2) = (uv) se obtienen las coordenadas del dominio de observacioacuten lejano (sect235)
F k ( z ) Cada uno de los polinomios irreductibles que constituyen F(z) Ver sect3317
)(zkF(
Polinomio simeacutetrico del F k ( z ) )1()( lowastminus lowast= zzz Nkk FF
(
)( fξ Funcional definido para la minimizacioacuten del error entre las medidas de campo y los valores correspondientes a una distribucioacuten de fuentes f sect3321b
ξ(t ) Sentildeal baacutesica que por recurrencia constituye la sentildealizacioacuten del sistema radiante bajo estudio Asiacute la sentildealizacioacuten seraacute sum minus
k
kTt )(ξ
Referencias Para referenciar partes del texto o bibliografiacutea externa se ha utilizado una simbologiacutea que de
acuerdo a los haacutebitos arraigados en la documentacioacuten cientiacutefica seraacuten faacutecilmente descifrables No
obstante puesto que no hay un uacutenico modo consensuado de referencia y ciertos detalles pudieran
llevar a confusioacuten la tabla siguiente recoge unos ejemplos que clarificaraacuten la simbologiacutea utilizada
Tanto las ecuaciones como las figuras y tablas se han numerado en cada capiacutetulo y en
consecuencia para designarlas se antecede el nuacutemero del capiacutetulo La bibliografiacutea se ha optado por
ordenarla alfabeacuteticamente de modo que sean maacutes faacutecilmente identificables los autores por esta
razoacuten los nuacutemeros que designan la literatura no seguiraacuten en el texto un orden creciente Obseacutervese
ademaacutes que en las referencias bibliograacuteficas se utilizan dos signos de puntuacioacuten lsquocomarsquo y lsquopunto y
comarsquo La coma se emplea para separar el nuacutemero que identifica su posicioacuten en la lista bibliograacutefica
de alguacuten tipo de designacioacuten interna (pej ecuacioacuten capiacutetulo liacutenea) faacutecilmente identificable cuando
se tiene delante la pieza literaria en cuestioacuten Por otra parte el punto y coma se emplea para separar
diferentes referencias bibliograacuteficas
(2-3) Hace alusioacuten a la ecuacioacuten 3 del tema 2 designada asiacute en su margen derecha
sect2341 Hace alusioacuten al apartado ldquo2341 Corrientes sobre los veacutertices de un icosaedrordquo
fig 3-1 Hace alusioacuten a la figura 1 del tema 3
[5-7 20 60] Referencias bibliograacuteficas 5 6 7 20 y 60
[34 p20] Referencia bibliograacutefica ndeg 34 paacutegina 20
[6 sect2 3 ec2] Referencia bibliograacutefica ndeg 6 (apartado 2) y referencia ndeg 3 (ecuacioacuten 2)
xvii
Resumen El objeto esencial de la tesis consiste en investigar las posibilidades de identificacioacuten de fuentes
electromagneacuteticas a partir de la observacioacuten del campo que estas generan Para ello la investigacioacuten
se divide en tres grandes partes en primer lugar el problema directo es decir la descripcioacuten del campo
a partir de unas fuentes supuestamente conocidas buscando una formulacioacuten que facilite su
inversioacuten en segundo lugar el problema inverso o la buacutesqueda de las posibilidades y limitaciones en la
identificacioacuten de las distribuciones de fuentes que han generado un campo supuestamente
conocido a veces sobre un dominio no cerrado y a veces sin informacioacuten de fase y finalmente una
indagacioacuten sobre las posibilidades de la observacioacuten del campo donde se propone una teacutecnica aplicable
a los sistemas de radiocomunicacioacuten
En el capiacutetulo de introduccioacuten se empieza haciendo tres aproximaciones a nuestro problema
ponieacutendolo en relacioacuten con el ldquoproblema del conocimientordquo poniendo luego en perspectiva
nuestro meacutetodo intelectual y por uacuteltimo buscando por viacutea intuitiva en el ldquoproblema de la visioacuten
humanardquo los resultados a los que luego se llega con rigor Hechas estas aproximaciones se resume
en una segunda parte el contenido de toda la investigacioacuten
En el capiacutetulo del problema electromagneacutetico directo se busca primero una formulacioacuten diaacutedica del campo
en funcioacuten de las distribuciones de fuentes cuya relacioacuten con la formulacioacuten modal se investiga A
continuacioacuten se indaga la dimensioacuten esencial del problema electromagneacutetico encontraacutendose un
conjunto de teoremas que da pie a su discretizacioacuten en teacuterminos de un espacio vectorial cuyas
caracteriacutesticas facilitaraacuten la inversioacuten del problema Se termina presentando un par de ejemplos que
ilustran alguno de los resultados alcanzados
En el capiacutetulo del problema electromagneacutetico inverso una vez establecidas las limitaciones esenciales del
problema inverso es decir lo maacuteximo que podemos llegar a conocer se investigan las posibilidades
de identificacioacuten de las distribuciones de corriente 1deg) cuando se conoce el campo sobre dominios
que engloban completamente las fuentes 2deg) cuando los dominios no llegan a englobarlas y 3deg) el
caso maacutes delicado de carecer de informacioacuten de fase Es a este problema al que se dedica mayor
extensioacuten y se llega a resultados que contradicen ciertas teoriacuteas que aunque durante muchos antildeos se
han tomado por vaacutelidas la praacutectica no les da la razoacuten Se concluye comparando traduciendo y
generalizando dentro de la gramaacutetica de nuestro problema un amplio abanico de soluciones que han
aflorado en distintas disciplinas
xviii
En el capiacutetulo de validacioacuten experimental se consideran tres casos de estudio sobre los que se ensayan
los meacutetodos inversos propuestos y se ilustra alguno de los resultados teoacutericos alcanzados en los
capiacutetulos anteriores
El penuacuteltimo capiacutetulo dedicado a la observacioacuten del campo se comparan primero de acuerdo a sus
limitaciones los meacutetodos disponibles para la medicioacuten de los sistemas radiantes y se propone una
solucioacuten tecnoloacutegica que saca partido de la sentildealizacioacuten para conocer el campo que el sistema
radiante engendra en sus inmediaciones La arquitectura general propuesta se ejemplifica para el
caso de un medidor de antenas de Radar Secundario cuyas caracteriacutesticas virtudes y limitaciones se
discuten
Un uacuteltimo capiacutetulo de conclusiones hace recuento de los principales resultados obtenidos y se sugiere
una serie de liacuteneas de investigacioacuten cuya profundizacioacuten pudiera aportar interesantes resultados
I INTRODUCCIOacuteN
ldquoTodo el meacutetodo consiste en el orden y
disposicioacuten de aquellas cosas a las que se
ha de dirigir la mirada de la mente a fin de
que descubramos alguna verdad Y la
observaremos exactamente si reducimos
gradualmente las proposiciones
complicadas y oscuras a otras simples y si
despueacutes intentamos ascender por los
mismos grados desde la intuicioacuten de las
maacutes simples hasta el conocimiento de todas
las demaacutesrdquo
Reneacute Descartes Regla V de ldquoReglas
para la direccioacuten del espiacuteriturdquo
Introduccioacuten 3
11 TRES APROXIMACIONES A NUESTRO PROBLEMA
111 El problema electromagneacutetico inverso y el del conocimiento
En realidad el problema que nos ocupa mucho tiene que ver con la perpetua dificultad del hombre
de descubrir la realidad que hay detraacutes de nuestras sensaciones es decir de hacernos ideas de las
cosas a partir de los fenoacutemenos En la historia se han vivido momentos de exceso en los que se ha
pretendido que toda la realidad se encuentra anclada en la costa de las sensaciones esa fue la actitud
de los sofistas de la Grecia claacutesica el naturalismo de Campanella en el renacimiento o bien el de
Hobbes y Condillac en plena modernidad por no hablar de los abusos del presente Pero tambieacuten
se ha dado el exceso contrario y a menudo coetaacuteneo de suponer la realidad en la costa contraria o
sea la afirmacioacuten de que las sensaciones son mero engantildeo y que no habiendo maacutes realidad que la de
las ideas eacutestas se las han de apantildear solas para descubrirla Acaso la posicioacuten maacutes radical haya sido la
de Parmeacutenides para el que ldquolo que cabe concebir y lo que cabe que sea son una y la misma cosardquo
[15] pero esta es tambieacuten la actitud de Platoacuten y la de los modernos Descartes Spinoza o Hegel Sin
embargo en el racionalismo moderno como es el de estos uacuteltimos y sobre el que se sigue
sustentando el andamiaje casi entero de las ciencias en realidad se admite la validez de ambas costas
y el problema que se suscita es maacutes bien el de la navegacioacuten entre ambas
Obseacutervese que en el problema del conocimiento ya sea eacuteste el particular de descubrir las fuentes de
un campo electromagneacutetico observado o el maacutes general de delatar las realidades que originaron los
fenoacutemenos hay tres actores fundamentales las ideas de las cosas las sensaciones procedentes de
eacutestas y las cosas mismas La modernidad supone que si de algo puede tenerse radical seguridad es de
que las ideas con independencia de su calidad estaacuten ahiacute Por tanto si ademaacutes damos creacutedito a las
cosas dada la contingencia de las sensaciones lo mejor que podemos hacer es organizar con
cuidado las ideas que nos hagamos sobre eacutestas de modo que no pudiendo estar ordenadas de otra
forma podamos emplear los fenoacutemenos para asiacute conocer la realidad que hay detraacutes
Sin embargo superado el racionalismo en la deacutecada de 1930 sabemos ahora que no estaacute en nuestras
manos tener absoluto control de todos nuestros constructos cientiacuteficos (y si pretendemos
quedarnos con los que siacute son evidentes entonces a penas podremos dar cuenta del mundo1) Y
sabemos ademaacutes en parte gracias a Heissenberg que por muy perfeccionados que esteacuten nuestros
instrumentos de observacioacuten estos soacutelo podraacuten proveernos una idea aproximada de las cosas y lo
que es maacutes las habremos modificado con muestra meticulosa mirada No obstante a pesar de estas
objeciones que podemos llamar postmodernas tambieacuten tomamos por cierto que no son sino las
cosas las responsables de los fenoacutemenos y asentimos con Spinoza que ldquola idea de un modo
1 Esto es lo que en sus uacuteltimas consecuencias viene a decir nos el Teorema de Goumldel [57 51]
4 Capiacutetulo I
cualquiera con que el cuerpo humano es afectado por los cuerpos exteriores debe implicar la
naturaleza del cuerpo humano y a la vez la naturaleza del cuerpo exteriorrdquo [150 216] En
consecuencia es menester ante todo que conozcamos en detalle la naturaleza de nuestros
instrumentos de observacioacuten para asiacute distinguir lo que se debe al instrumento y lo que se debe al
objeto Es decir aunque ya no podamos arropar la misma pretensioacuten con que Wittgenstein
aseguraba que ldquolas proposiciones loacutegicas describen (o representan) el armazoacuten del mundordquo [164
6124] al menos podremos aspirar a un cierto conocimiento de la realidad aunque sepamos que eacuteste
no sea definitivo y que en uacuteltima instancia la realidad sea irreductible a sus noticias
En suma sabemos que nuestras observaciones son debidas a la realidad que ademaacutes por nuestra
calidad de observadores pertenecemos tambieacuten a la realidad observada que la observacioacuten depende
de coacutemo sean nuestros oacuterganos de observacioacuten y que finalmente habraacute ciertas noticias de aquella
que o bien no llegaraacuten hasta nosotros o bien no sepamos representarlas Pero aun asiacute las ideas
que nos hagamos de las cosas a partir de las observaciones tendraacuten bastante en comuacuten con eacutestas y
dependeraacuten estrictamente de nuestra capacidad de prefiguracioacuten Es decir ndashsiguiendo a Ortegandash
debemos ldquoformarnos ideas de las cosasrdquo eacutestas nos serviraacuten de andamiaje para ordenar la
observacioacuten Pero al fin ldquopara de verdad conocer es preciso restar todo eso que se ha pensado
cayendo en la cuenta que la realidad es siempre maacutes o menos distinta de lo pensadordquo [127]
112 Nuestro meacutetodo de investigacioacuten
ldquoIndiferente me es por donde comenzar ya que de nuevo alliacute de vuelta llegareacuterdquo Parmeacutenides
Atendiendo al sentido original de fenoacutemeno (fainomeacutene) que para el griego significaba aparecer
revelarse darse a conocer resulta pues que las mantildeas que empleemos para conocer las fuentes
electromagneacuteticas responsables de un cierto campo observado podraacuten considerarse como una
suerte de fenomenologiacutea Sin embargo eacutesta tendraacute que fundarse en la prefiguracioacuten que podamos
hacernos de las causas Es decir bien a partir de los fenoacutemenos o bien a partir de otra certidumbre
debemos figurarnos el mecanismo de causacioacuten y una vez conseguido eacuteste podraacuten interpretarse los
fenoacutemenos observados Dicho en otros teacuterminos debemos entender el lenguaje en el que se
expresan los fenoacutemenos para saber lo que eacutestos nos dicen (lenguaje que Galileo o Newton no
dudariacutean en asegurar que es matemaacutetico) En nuestro caso no vamos a poner en tela de juicio el
mecanismo de causacioacuten y daremos por vaacutelida la teoriacutea maxweliana que siguiendo nuestro siacutemil
constituiraacute la gramaacutetica de los fenoacutemenos electromagneacuteticos
En consecuencia teniendo en cuenta ese punto de partida la solucioacuten a nuestro problema requeriraacute
primero considerar el camino directo empleando naturalmente la gramaacutetica maxweliana e
investigando las relaciones de biunivocidad entre fuentes y campo asiacute como una expresioacuten acorde a
la naturaleza finita de la observacioacuten tanto en el orden geomeacutetrico como en el de la precisioacuten (sect2)
Una vez recorrido el camino que de las fuentes va al campo el opuesto seraacute una consecuencia de
Introduccioacuten 5
aquel siempre que las caracteriacutesticas de la observacioacuten sean suficientes para garantizar su
invertibilidad Asiacute pues nuestra indagacioacuten se centraraacute aquiacute en las condiciones de unicidad y a tenor
de las dificultades que puedan aparecer en las estrategias para evitarlas (sect3) Recorridos los caminos
teoacutericos la prueba de su validez consistiraacute en aplicarlos a casos concretos ya que como advertiacutea
Aristoacuteteles ldquolas acciones y las producciones todas se refieren a lo individual el meacutedico no cura al
hombre sino a Calias a Soacutecrates o a cualquier otro de los que de este modo se nombranrdquo [10 981a]
Probada la capacidad de las soluciones teoacutericas y teniendo en cuenta que nuestras pretensiones de
conocimiento de las fuentes no son absolutas sino que en general estaacuten supeditadas a alguacuten fin
praacutectico que a su vez determina los objetivos de conocimiento de aquellas entonces la observacioacuten
del campo tendraacute en consecuencia un cierto objetivo de precisioacuten Seraacute atendiendo a eacuteste como se
aborde finalmente el problema de la observacioacuten del campo electromagneacutetico donde
principalmente se describiraacute un meacutetodo original consistente en el aprovechamiento de las sentildeales
determiniacutesticas emitidas bajo operacioacuten de los sistemas de radiocomunicacioacuten
A partir de este bosquejo general del meacutetodo para la resolucioacuten del problema inverso puede
percibirse un cierto componente cartesiano pues parte de la certidumbre de la teoriacutea maxweliana e
intentaraacute avanzar de modo que los pasos sean lo suficientemente claros y evidentes Sin embargo
tambieacuten supone la seguridad de que la comprensioacuten de la realidad es parcial y que incluso la
voluntad de conocimiento tampoco es absoluta Y puesto que estas incertidumbres son
incorporadas en los problemas asiacute directo como inverso el meacutetodo seguido podraacute tambieacuten
considerarse postmoderno
113 Los liacutemites de la observacioacuten
ldquoPreferimos la visioacuten a todas las demaacutes sensaciones La razoacuten estriba en que eacutesta es la que
mejor nos da a conocer los objetos y nos descubre entre ellos gran nuacutemero de diferenciasrdquo
Aristoacuteteles Metafiacutesica 980a
Ya se ha sentildealado antes el parentesco entre el problema electromagneacutetico inverso y el maacutes general
del conocimiento pero maacutes estrecho aun es su relacioacuten con el problema de la visioacuten en relacioacuten con
los objetos observados Estrictamente se trata del mismo problema aunque este uacuteltimo sea un caso
maacutes restringido y aparezca de forma natural sin necesidad de mediacioacuten Su consideracioacuten nos
permitiraacute vislumbrar ciertas cuestiones que luego se veraacuten en detalle y que en consecuencia nos
proveeraacuten una primera intuicioacuten de las dificultades del problema inverso dejaacutendonos asiacute en mejores
condiciones para su ulterior estudio
En el problema de identificar los objetos a partir de la mirada los objetos reflejan la luz a tenor de
sus peculiaridades superficiales formaacutendose frente de ondas a su alrededor en los que estaacute impliacutecita
la forma de los objetos Procedente de unas partes del objeto llega maacutes intensidad que de otras y su
fase tambieacuten variacutea Ademaacutes para cada frecuencia las relaciones pueden ser diferentes lo cual
6 Capiacutetulo I
confiere a nuestras imaacutegenes sus cualidades cromaacuteticas cuestioacuten en la que no entraremos ya que
como se veraacute maacutes adelante el planteamiento de nuestro problema seraacute esencialmente
monocromaacutetico Podriacuteamos decir que el ojo al remedar el mecanismo de la propagacioacuten desde eacuteste
hasta el objeto pero proyectando el resultado sobre la esfera retiniana realiza parte del problema
inverso Sin embargo varias son las dificultades con que esta operacioacuten se topa para identificar
correctamente los objetos mirados
La primera limitacioacuten que se presenta en el
problema de la visioacuten es que de las cualidades
de los objetos soacutelo nos llegan sus caracteres
superficiales Esto hace que nuestra visioacuten del
mundo esteacute constituida por objetos compactos
limitados por niacutetidas superficies a pesar de que
como demostrara Rutherford lo que
predomine incluso sobre lo maacutes soacutelido sea el
vaciacuteo Como se veraacute maacutes adelante esto se debe
a una limitacioacuten esencial del problema de
radiacioacuten si nos preguntamos coacutemo seraacute el
campo electromagneacutetico sobre todo el espacio
que circunda unas fuentes la primera impresioacuten
es que se trata de un problema tridimensional
sin embargo una consideracioacuten maacutes detallada
delata que una de las dimensiones no es libre y
que por tanto el problema es en esencia
superficial Es decir nos bastaraacute con describir el
campo sobre una superficie que englobe a las
fuentes Sobre el resto del espacio la
distribucioacuten de campo podraacute expresarse en
funcioacuten de la primera La ecuacioacuten de
Helmholtz nos muestra que las frecuencias
espaciales no pueden distribuirse de cualquier
manera y dejando de lado las ondas evanescentes se veraacute que eacutestas tienen una distribucioacuten esfeacuterica
(en el espacio de las frecuencias espaciales) El principio de Huygens nos dice la misma cosa si
conocemos un frente de ondas el campo sobre el resto del espacio estaraacute impliacutecito en la
combinacioacuten de ondas esfeacutericas a partir de dicho frente En el caso oacuteptico esta peculiaridad es
tambieacuten evidente pues no nos importa donde encontrarnos para que la imagen que finalmente se
forma en la retina sea una reconstruccioacuten fiel de la luz reflejada por el propio objeto Basta con que
la oacuteptica se reajuste a cada distancia para que al fin la imagen sea niacutetida del mismo modo que en el
Figura 11 Procedimiento descrito por
Descartes en Dioacuteptrica para representar la imagen
formada en la retina del ojo
Introduccioacuten 7
problema matemaacutetico habraacute que reajustar las funciones para que eacutestas relacionen las distribuciones
superficiales que nos interesen Los teoremas de unicidad y equivalencia reflejan esta constitucioacuten
superficial del problema electromagneacutetico espacial
Resignados pues a adquirir mediante la observacioacuten las cualidades superficiales de los objetos
topamos aun con otra limitacioacuten si deseamos saber coacutemo se observaraacuten los objetos desde cualquier
punto no podemos quedarnos quietos (aunque el ojo implique en siacute una adquisicioacuten superficial) y
que habremos de circunscribir completamente el objeto para poder dar por resuelto el problema El
escorzo depende tanto del objeto como de la posicioacuten del observador pero si consiguieacuteramos
obtener tantos escorzos como orientaciones posibles el conocimiento que eacutestas nos aportan acabaraacute
siendo objetivo Esto es lo que nos dice el teorema de unicidad seguacuten el cual cuando soacutelo
contemos con un cierto aacutengulo de observacioacuten la solucioacuten al problema electromagneacutetico no seraacute
uacutenica No obstante si para las frecuencias en uso la difraccioacuten no es demasiado importante la
observacioacuten parcial podraacute proveernos un conocimiento parcial de las fuentes en lo que puede
llamarse sus superficies visibles
Una nueva dificultad reside en que la retina es incapaz de diferenciar las fases de la distribucioacuten de
luz con lo que habraacute parte del contenido informacional de la radiacioacuten que la retina no podraacute
reproducir por siacute sola El efecto es evidente si miramos el mundo con un solo ojo y no nos
movemos esta visioacuten no diferiraacute mucho de la que nos proporciona una fotografiacutea Coacutemo se las
apantildea nuestra fisiologiacutea para recuperar esa informacioacuten que conteniacutea la fase y que confeririacutea a la
imagen un aspecto volumeacutetrico es algo bien conocido Nos basta mirar con los dos ojos Esto que
se veraacute viacutea matemaacutetica es la solucioacuten al problema inverso sin fase cuando soacutelo se recurre a lo que
denominaremos meacutetodos observadores
En lo que respecta a los detalles que puedan llegar a adquirirse del objeto surge una uacuteltima
dificultad Sabemos que estos dependen de la longitud de onda que en el caso de la visioacuten es
extremadamente pequentildea en lo que se refiere a las necesidades de nuestra observacioacuten cotidiana
Sin embargo cuando pretenden descubrirse detalles microscoacutepicos (por debajo del microacutemetro) la
experiencia nos demuestra que debemos recurrir a longitudes de onda maacutes pequentildeas Estrictamente
puede probarse que incluso geometriacuteas pequentildeas respecto a la longitud de onda tienen influencia
en la distribucioacuten de campo que circunda el objeto no obstante puede decirse que el proceso de
radiacioacuten va eliminando esas variaciones menudas de modo que a una cierta distancia eacutestas son
indistinguibles
En suma se han visto por viacutea analoacutegica cuaacuteles son las cuatro limitaciones esenciales a la
identificacioacuten de las fuentes que originaron una distribucioacuten de campo observada
1ordm) Soacutelo podraacuten asegurarse sus cualidades superficiales
2ordm) Un conocimiento completo de sus caracteriacutesticas superficiales requiere una observacioacuten sobre
todos los posibles aacutengulos de visioacuten (es decir sobre una superficie que englobe las fuentes)
8 Capiacutetulo I
3ordm) Los detalles que puedan llegar a conocerse estaacuten en funcioacuten de la longitud de onda La
naturaleza de la propagacioacuten impide que los detalles por debajo de un cierto umbral lleguen
hasta el observador
4ordm) La reconstruccioacuten de las funciones completas de onda cuando se carezca de sensibilidad
respecto a la fase de la radiacioacuten puede lograrse mediante la observacioacuten sobre dos superficies
12 PANORAacuteMICA DEL CAMINO DE IDA Y VUELTA
Seguacuten se argumentoacute al principio (sect112) nuestro procedimiento a grandes rasgos consistiraacute
primero en la prefiguracioacuten del camino directo seguido de la resolucioacuten del problema inverso y
terminando en el problema teacutecnico de la observacioacuten para que eacutesta satisfaga los objetivos de
identificacioacuten de las fuentes Pero adelantemos en primera aproximacioacuten lo que despueacutes veremos
en detalle
Figura 1-2 Esquema de los problemas directo e inverso
En la figura 1-2 se esquematizan los dos problemas Si se conoce con suficiente detalle las
corrientes y cargas sobre un determinado volumen tenemos la certeza de que las leyes de Maxwell
nos permitiraacuten determinar las distribuciones de campo electromagneacutetico alliacute donde queramos
Cuando podemos admitir la linealidad del medio entonces las relaciones que vinculan las
distribuciones de corriente y de campo seraacuten lineales Esto constituye una garantiacutea fundamental de
unicidad para el problema inverso que no obstante y en virtud del principio de Huygens (o el de
equivalencia de Schelkunoff) asegura una relacioacuten uacutenica entre distribuciones superficiales de
corriente y campo (limitacioacuten ya sentildealada en sect113) Un problema maacutes espinoso seraacute el de cuaacutenta
informacioacuten es menester cuando no se dispone de las distribuciones de fase
121 Problema directo
En el caso de poder caracterizar en detalle un sistema radiante tanto eleacutectrica como
geomeacutetricamente incluyendo el entorno electromagneacutetico las leyes de Maxwell nos permiten
S
ε 2 micro 2
qe qm
J
M D
ε 1 micro 1
x
y
z
x
Problema directo
Leyes de Maxwell
Problema inverso
Principio de Huygens-Schelkunoff
S
D y
z
ET
ε 1 micro 1
Introduccioacuten 9
predecir con exactitud los campos electromagneacuteticos generados en cualquier punto de ese entorno
Las discrepancias con respecto a la realidad (haciendo caso omiso de las discontinuidades cuaacutenticas)
se deben por una parte a nuestra incapacidad para caracterizar exactamente el entorno que por su
naturaleza dinaacutemica e impredecible es para el observador una variable estocaacutestica y por otra parte a
las dificultades de resolucioacuten analiacutetica de las leyes de Maxwell en entornos no homogeacuteneos o
geometriacuteas complejas Por fortuna para cada problema se pueden recurrir a aproximaciones que
reduzcan este error hasta liacutemites razonables para que las predicciones acerca de la radiacioacuten (que en
esencia nunca dejaraacute de ser estocaacutestica) sean lo suficientemente exactas sin perder su practicidad A
esto llamamos problema electromagneacutetico directo
Partiendo de las relaciones de Maxwell se llega a las bien conocidas ecuaciones de onda que
dependiendo de si consideramos o no el espacio ocupado por las fuentes eacutestas tomaraacuten la forma de
la ecuacioacuten de DrsquoAlambert o la de Helmholtz Si se considera la primera las soluciones podraacuten
expresarse en teacuterminos de las famosas funciones de Green que particularizado al problema
electromagneacutetico corresponderaacuten a unas funciones diaacutedicas Esta formulacioacuten facilitaraacute la ulterior
expresioacuten matricial de las distribuciones de campo En caso de considerar la ecuacioacuten de Helmholtz
sus soluciones pueden expresarse en teacuterminos de funciones modales2 Ambas expresiones la de
funciones de Green y modales son muy utilizadas y teniendo en cuenta su nuacutecleo comuacuten parece
claro que podraacuten expresar lo mismo no obstante se probaraacute que estas dos comulaciones son
matemaacuteticamente isomorfas (en el espacio exterior a las fuentes) pudiendo expresarse de una
forma muy similar en teacuterminos de funciones diaacutedicas entre las que se determinaraacuten los oportunos
operadores de proyeccioacuten
Una vez acometida la dificultad de la formulacioacuten del campo en teacuterminos de funciones diaacutedicas se
consideraraacute el problema de la frecuencia espacial de las distribuciones de campo observables y de
las distribuciones de corriente reconstruibles Una consecuencia directa de este estudio seraacute la
discretizacioacuten oacuteptima del problema electromagneacutetico que finalmente nos permitiraacute llegar a una
formulacioacuten de la radiacioacuten procedente de un volumen dado en teacuterminos de un espacio vectorial de
dimensioacuten miacutenima que hemos convenido en llamar espacio E Este espacio tiene la peculiaridad de
poder expresar (hasta una precisioacuten prefijada) todas las distribuciones de campo generadas sobre un
dominio de observacioacuten por cualquier distribucioacuten de corrientes englobada por una determinada
superficie Cada una de las coordenadas de este espacio representa una componente de corriente de
unos dipolos ideales de Hertz estrateacutegicamente situados sobre la superficie que engloba las
verdaderas fuentes
2 Aunque eacutestas a menudo se deriven por comodidad de las funciones de Green
10 Capiacutetulo I
122 Problema inverso
Mientras que podriacutea parecer que en la formulacioacuten del problema directo en teacuterminos de un espacio
vectorial E se suelten amarras respecto a la realidad electromagneacutetica en verdad lo que se hace no
es sino facilitar el camino de vuelta ya que en el fondo se intenta que este espacio englobe de la
forma maacutes ajustada posible el conjunto de las distribuciones de campo pertenecientes a cualquier
conjunto de corrientes acotado por una superficie Ajustar al maacuteximo la dimensioacuten matemaacutetica del
problema directo equivale a un intento extremo de quitar el maacuteximo de paja en la descripcioacuten del
campo y asiacute poder encontrar la relacioacuten biuniacutevoca que liga las distribuciones de campo y de
fuentes el grano de nuestro problema
Como se observaraacute en su momento siempre que se defina sobre el espacio E un producto interno
compatible con la desigualdad triangular la solucioacuten es uacutenica aunque su solucioacuten directa a veces
pueda ser compleja y sea menester recurrir a meacutetodos numeacutericos Esta solucioacuten corresponderaacute con
la uacutenica del teorema de unicidad si la observacioacuten cumple con sus condiciones De lo contrario
tambieacuten podremos aproximarnos a esa solucioacuten aunque en general agregando informacioacuten
adicional Se expondraacute un procedimiento general para incorporar esta informacioacuten extra mediante
un proceso iterativo y en virtud del teorema global de la convergencia se observaraacute que eacutesta tiende
a la solucioacuten siempre que las aplicaciones de iteracioacuten cumplan ciertas propiedades Uno de los
casos de incompletitud del teorema de unicidad que se contemplaraacute es el de un aacutengulo de
observacioacuten insuficiente pero al que se dedicaraacute principal eacutenfasis es al de ausencia de las
distribuciones de fase Para la solucioacuten del problema sin fase hay una propiedad esencial de las
distribuciones de campo sobre la cual se sustenta toda su discusioacuten se trata de la extensibilidad
analiacutetica de las distribuciones Esta peculiaridad hace que exista una consistencia entre las
distribuciones de moacutedulo y fase de manera que en algunos casos el conocimiento de una de ellas es
soacutelo compatible con una de las otras y que a su vez puede determinarse No obstante en general
existe una ambiguumledad que impide reconstruir la distribucioacuten compleja a partir de soacutelo valores de
moacutedulo
En 1975 Hoenders llegoacute a un teorema del cual parece desprenderse que la solucioacuten al problema sin
fase es uacutenico si se antildeade una miacutenima informacioacuten de las fuentes (o del objeto) Las principales
revisiones al problema de la reconstruccioacuten de fase como son las de Ferwerda Taylor Hurt o
Anderson y Sali secundan esta consideracioacuten teoacuterica aunque en todos los casos se constate su
impracticidad Se probaraacute aquiacute la inviabilidad de llegar a las conclusiones de Hoenders y no por
incorreccioacuten del teorema sino porque a partir de eacuteste no pueden seguirse tales consecuencias De
hecho el teorema como se veraacute a penas permite sacar conclusiones en el caso continuo mientras
que al analizar el problema en su formulacioacuten discretizada se observa que las condiciones de
unicidad son distintas y ahora siacute compatibles con la praacutectica que como se adelantoacute en la
Introduccioacuten 11
aproximacioacuten intuitiva del caso visual (sect113) implican el conocimiento del campo sobre dos
superficies
Finalmente y teniendo en cuenta las condiciones de unicidad del problema sin fase los meacutetodos
inversos se clasifican en manipuladores cuando se modifican las distribuciones de campo y observadores
cuando se pliegan a la condicioacuten de recabar informacioacuten de moacutedulo sobre dos superficies Los
meacutetodos empleados en muy diversas disciplinas que van desde la microscopiacutea a la astrologiacutea
(pasando por la cristalografiacutea oacuteptica reconstruccioacuten de imaacutegenes metrologiacutea) han sido
formuladas en los teacuterminos de nuestro universo de discurso y en especial los meacutetodos observadores
se han generalizado en parte gracias a la formulacioacuten directa para poder adaptarse a cualquier
geometriacutea y poder incorporar todas aquellas informaciones que faciliten la solucioacuten de nuestro
problema En la validacioacuten experimental de meacutetodos inversos seraacuten precisamente los
procedimientos observadores lo que se tengan en cuenta
123 Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico
La observacioacuten real como se argumentoacute al principio (sect111) estaraacute siempre lastrada por una
inevitable cantidad de ruido y por el resto de limitaciones esenciales a tenor de los instrumentos
reales de observacioacuten No obstante las exigencias de observacioacuten podraacuten rebajarse de acuerdo con
los objetivos de identificacioacuten de las fuentes En funcioacuten de estos la observacioacuten habraacute de
controlarse con maacutes o menos artificios Se presta especial atencioacuten al caso en el que el nuacutemero de
artificios para controlar el entorno de medida sea miacutenimo siguiendo la liacutenea de procedimientos
observadores ahondada en los meacutetodos inversos
La solucioacuten que se propone se hace especialmente atractiva para la observacioacuten de las grandes
antenas de los sistemas de radiocomunicacioacuten en los que resulta inconveniente interrumpir su
operacioacuten El sistema de observacioacuten propuesto que hemos llamado sistema adaptado de medida
consiste esencialmente en emplear las sentildeales determiniacutesticas que emite el sistema radiante en sus
condiciones de operacioacuten y construir un receptor oacuteptimo para eacutestas recurriendo a la teoriacutea de
Kotelrsquonikov Se plantea un modelo general de sistema y se ejemplifica en la construccioacuten de un
sistema de diagnosis para antenas de radar secundario problema que a su vez ha servido para
ilustrar un gran nuacutemero de cuestiones teoacutericas tanto del problema directo y su discretizacioacuten como
en la comparacioacuten de los meacutetodos inversos
II PROLEMA ELECTRO-
MAGNEacuteTICO DIRECTO
ldquoFaraday visualizaba liacuteneas de fuerza
que atravesaban todo el espacio donde
los matemaacuteticos soacutelo veiacutean centros de
fuerzas que actuaban a distancia
Faraday veiacutea un medio donde ellos
uacutenicamente veiacutean distancia
Faraday buscaba la fuente de los
fenoacutemenos a partir acciones reales que
transcurriacutean en el medio mientras que
aquellos quedaron satisfechos de
haberla encontrado en el poder de
accioacuten a distancia presente en los
fluidos eleacutectricosrdquo
JCMaxwell ldquoA Treatise on electricity
and magnetismrdquo
Problema electromagneacutetico directo 15
21 ECUACIOacuteN DE ONDA Y CAMPOS RADIADOS
Puesto que nuestro propoacutesito es el de la descripcioacuten de los sistemas radiantes (ya sea en el camino
de ida o en el de vuelta) reduciremos nuestro universo teoacuterico al de un conjunto de fuentes
electromagneacuteticas concentradas en una determinada zona del espacio (circunscritas por una
superficie S) Obviamente la caracterizacioacuten exacta de un problema electromagneacutetico real auacuten bajo
la oacuteptica de nuestra reduccioacuten debiera considerar todas las peculiaridades electromagneacuteticas del
entorno que seguacuten hemos admitido carece de fuentes Sin embargo esto puede llegar a complicar
sobremanera el problema y de hecho maacutes que caracterizar el sistema radiante estariacuteamos
vinculaacutendolo inexorablemente a un entorno especiacutefico ya que la inclusioacuten de detalles no tendriacutea fin
y con ello tampoco la solucioacuten Asiacute pues para poder evaluar la naturaleza de la radiacioacuten del
conjunto de fuentes bajo estudio con independencia del ambiente especiacutefico en el que se
encuentra y con el fin de llegar a una solucioacuten praacutectica asumiremos que estas fuentes se encuentran
inmersas en un espacio isotroacutepico y homogeacuteneo como ilustra la figura 2-1 (donde D simboliza una
regioacuten arbitraria del espacio en la que queremos conocer los campos electromagneacuteticos) No
obstante ya que a menudo es necesario dar cuenta de ciertos entornos especiacuteficos la caracterizacioacuten
de estos puede lograrse reduciendo el problema real al propuesto mediante la aplicacioacuten de
aproximaciones y teoremas electromagneacuteticos Como es bien sabido no se tiene aun noticia de
cargas magneacuteticas y por tanto un sistema radiante estaraacute esencialmente constituido por cargas y
corrientes eleacutectricas sin embargo el recurso a los teoremas de equivalencia nos obliga a considerar
unos entes que no responden a la realidad electromagneacutetica y que por tanto son ideales Se trata de
las densidades de carga y corriente magneacutetica que nos permiten representar complejos problemas
reales por medio de otros maacutes sencillos y equivalentes en una regioacuten del espacio Asiacute pues el
modelo que esquematiza la figura 2-1 tiene un campo de aplicacioacuten que depende de las
herramientas de equivalencia y aproximacioacuten electromagneacutetica que podamos poner en juego sin
violar los requisitos de precisioacuten que para cada problema se tengan
Figura 2-1 Modelo del sistema radiante
De acuerdo a esta descripcioacuten del problema electromagneacutetico las leyes de Maxwell ampliadas con
los teacuterminos de las corrientes ideales nos describen las relaciones que deben mantenerse entre las
entidades electromagneacuteticas para cualquier punto del espacio que en el caso de estar constituido
S
ε1 micro1
qe qm
J
M D
ε2 micro2
x
y
z
16 Capiacutetulo II
por medios isotroacutepicos y homogeacuteneos podemos reducir al uso exclusivo de las intensidades de
campo eleacutectrico y magneacutetico matizadas por la permitividad ε y la permeabilidad micro (complejas)
m
e
t
t
=sdotnabla=sdotnabla
partpart
+=timesnabla
partpart
minusminus=timesnabla
B
D
DJH
BME
(2-1)
m
e
t
t
=sdotnablasdot=sdotnablasdot
partpart
+=timesnabla
partpart
minusminus=timesnabla
H
E
EJH
HME
microε
ε
micro
(2-2)
a las que hay que antildeadir las ecuaciones de continuidad
0
0
=part
part+sdotnabla
=partpart
+sdotnabla
tqtq
m
e
M
J
(2-3)
Aplicando a las ecuaciones de Maxwell primeras (2-2ab) el rotacional y haciendo simples
operaciones de sustitucioacuten con (2-2) y (2-3) se llega a las conocidas ecuaciones de onda
e
e
qt
qt
nabla+part
part+timesminusnabla=
partpart
minusnabla
nabla+partpart
+timesnabla=partpart
minusnabla
microεmicroε
εmicromicroε
1
1
22
22
MJ
tH
H
JM
tE
E
2
2 (2-4)
que alliacute donde las cargas y corrientes esteacuten prefijadas se convierten en ecuaciones de DrsquoAlambert y
que para regiones exteriores exentas de cargas equivalen a las ecuaciones vectoriales de Helmholtz
(o ecuaciones homogeacuteneas de onda)
0
0
22
22
=partpart
minusnabla
=partpart
minusnabla
2
2
tH
H
tE
E
microε
microε (2-5)
Teniendo en cuenta que en virtud del teorema de Fourier cualquier variacioacuten temporal de las
corrientes puede expresarse como combinacioacuten lineal de corrientes armoacutenicas de aquiacute en adelante
reduciremos las relaciones de Maxwell y las de onda a las de los campos armoacutenicos eleacutectrico y
magneacutetico y cuando hablemos de radiacioacuten electromagneacutetica consideraremos que eacutesta es
monocromaacutetica o que su ancho de banda es lo suficientemente pequentildeo como para poder admitir
tal aproximacioacuten
m
e
qqjj
=sdotnablasdot=sdotnablasdot
+=timesnablaminusminus=timesnabla
B
E
EJH
HME
microε
ϖεϖmicro
(2-6)0
022
22
=+nabla
=+nabla
HH
EE
β
β (2-7)
donde microεωβ = es la constante de propagacioacuten o nuacutemero de onda
Si se resuelve la ecuacioacuten de onda (2-7) para las geometriacuteas canoacutenicas (rectangular ciliacutendrica y
esfeacuterica) obtenemos las configuraciones de campo que pudieran observarse en dominios que se
Problema electromagneacutetico directo 17
plieguen a tales geometriacuteas Sin embargo mientras que para el caso plano la solucioacuten es bastante
directa (mediante ecuaciones diferenciales independientes para cada componente del campo y
separables para cada coordenada que conducen a funciones armoacutenicas) en el caso ciliacutendrico y
esfeacuterico la solucioacuten es maacutes compleja [12] No obstante puesto que nuestro problema no es el de
encontrar todas las distribuciones de campo electromagneacutetico vaacutelidas sobre un determinado
dominio de observacioacuten D sino exclusivamente las causadas por las fuentes contenidas en S
busquemos pues tales campos
211 Campos debidos a fuentes eleacutectricas y magneacuteticas
Para simplificar nuestro estudio nos interesa discernir los campos debidos a fuentes soacutelo eleacutectricas o
soacutelo magneacuteticas cuyos efectos pueden separarse recurriendo a los potenciales vectores Estos
vectores auxiliares A y F podemos definirlos en virtud de la naturaleza solenoidal de los flujos
magneacutetico y eleacutectrico en las zonas libres de carga (leyes de Maxwell 3ordf y 4ordf) como
0si 1=timesnabla= mqAH A micro
(2-8) 0si 1=timesnablaminus= eF qFE
ε (2-9)
Donde los subiacutendices A y F indican los campos debidos a los potenciales A y F respectivamente El
desarrollo para llegar a la ecuacioacuten de onda de los potenciales vector y la ulterior definicioacuten de los
campos es bien conocida Se aplica la primera ley de Maxwell a los campos debidos al potencial A ndash
considerando nulas las corrientes magneacuteticasndash
AHE AA timesnablaminus=minus=timesnabla ϖωmicro jj rArr 0=+timesnabla AE A ωj rArr ej φω minusnabla=+ AE A (2-10)
Donde se ha podido definir un potencial escalar eleacutectrico arbitrario φe gracias a que el campo vectorial
entre llaves es irrotacional Aplicando el rotacional a (2-8) utilizando la 2ordf ley de Maxwell y (2-10c)
AjJEjJAA A2 εmicroϖφϖεmicromicroϖεmicromicro 2)( +nablaminus=+=nablaminussdotnablanabla e (2-11)
es decir
)(22eϖmicroεφmicroβ jAJAA +sdotnablanabla+minus=+nabla (2-12)
Mientras que en (2-8) definimos el rotacional de A seguacuten el teorema de Helmholtz tenemos aun
libertad para la definicioacuten de su divergencia
eϖmicroεφjA minus=sdotnabla rArr JAA microβ minus=+nabla 22 (2-13)
Donde la primera ecuacioacuten es la conocida como condicioacuten de Lorenz y la segunda la buscada
ecuacioacuten de onda del potencial vector A Si a partir de esta ecuacioacuten determinamos el potencial A
desde eacuteste podremos encontrar los campos soacutelo debidos a las corrientes eleacutectricas usando (2-8)
para HA y (2-10c) y (2-13a) para EA
)(1AAE A sdotnablanablaminusminus=
ϖmicroεω jj (2-14)
18 Capiacutetulo II
En virtud de la simetriacutea de las ecuaciones de Maxwell es inmediato encontrar que el potencial
vector F deberaacute satisfacer la ecuacioacuten de onda
MFF εβ minus=+nabla 22 (2-15)
y que los campos soacutelo debidos a las corrientes magneacuteticas pueden determinarse usando (2-9b) y
)(1FFH sdotnablanablaminusminus=
ϖmicroεω jjF
(2-16)
Consideremos ahora que para nuestro estudio las corrientes estaacuten concentradas en una regioacuten del
espacio (figura 2-1) La ecuacioacuten de onda para los potenciales vectores seraacute
primeminus
=+nabla
primeminus
=+nabla
SS
SS
defuera 0 de dentro )(
defuera 0 de dentro)(
22
22
rMFF
rJAA
εβ
microβ
(2-17)
Aprovechando la linealidad de estas relaciones pueden tratarse de forma independiente cada
elemento infinitesimal de corriente para despueacutes aplicar superposicioacuten Para la consideracioacuten de
cada elemento diferencial de corriente puede recurrirse a la funcioacuten de Green que da solucioacuten a
)()()( 22 rrrr primeminusminus=prime+nabla δβ G (2-18)
y que de forma general podemos expresar como
)(4)(
)(
rrrr
rr
minus=prime
minusminus
ReG
Rj
π
β (2-19)
donde R =|r-rrsquo| es la distancia entre los puntos definidos por r y rrsquo es decir entre el punto de
observacioacuten r y un punto de las fuentes rrsquo En la figura 2-2 se representa la geometriacutea de nuestro
problema
Figura 2-2 Geometriacutea del problema de radiacioacuten
Sumando en fin las contribuciones infinitesimales de cada punto de corriente los potenciales
vectores debidos a las distribuciones de corrientes J y M pueden expresarse (extendiendo el
dominio de integracioacuten a todo el espacio) como el resultado de una convolucioacuten tridimensional
S
J
M
R=r-rrsquo
rrrsquo
z
x y
Problema electromagneacutetico directo 19
)()()(
)(4
)()()(
)()()(
)(4
)()()(
)(
)(
rrMrr
rMrrrMrF
rrJrr
rJrrrJrA
rr
rr
GvdRevdG
GvdRevdG
Rj
VV
Rj
VV
lowast=primeminus
sdotprime=primeprimeminussdotprime=
lowast=primeminus
sdotprime=primeprimeminussdotprime=
minusminus
primeprime
minusminus
primeprime
intintintintintint
intintintintintint
επεε
microπmicromicro
β
β
(2-20)
Donde en virtud de la propiedad de la convolucioacuten [126] de las transformadas de Fourier resulta
evidente al hacer la transformada tridimensional en (2-20) (empleando por ejemplo las
coordenadas cartesianas extendidas a todo el espacio) que las transformadas de A(xyz) J(xyz) y
G(xyz) (o bien de F M y G) estaacuten relacionadas por un producto simple
)(~)(~)(~)(~)(~)(~
rrMrF
rrJrA
G
G
sdot=
sdot=
ε
micro (2-21)
Siendo X~ la transformada de Fourier tridimensional de X(xyz)1 No obstante si las corrientes
estuvieran distribuidas superficial o linealmente entonces podriacutean definirse un par de coordenadas
(ξ η) o una uacutenica ξ respectivamente sobre las que podriacutea identificarse todos los puntos del
dominio de corrientes de modo que las integrales volumeacutetricas en (2-20) se convertiriacutean en
superficiales En caso de poder parametrizar el dominio de medida D con esas mismas
coordenadas entonces las convoluciones y las transformadas de Fourier seriacutean ahora
bidimensionales o lineales referidas a las inversas de esas coordenadas sobre las cuales se
verificariacutean las relaciones (2-21) ndashacaso matizada por factores de escala-
Una vez definidos los potenciales vectores A y F puede recurrirse a las expresiones (2-9) (2-14) y
(2-16) para finalmente identificar las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
AFAFFH
FAFAAE
timesnabla+
nablanabla
+minus=timesnabla+sdotnablanablaminusminus=
timesnablaminus
nablanabla
+minus=timesnablaminussdotnablanablaminusminus=
microβω
microϖmicroεω
εβω
εϖmicroεω
111)(1
111)(1
2
2
jjj
jjj (2-22)
Como veremos este procedimiento de caracterizacioacuten directa nos permite simplificar la formulacioacuten
cuando nuestro problema solo se atenga a corrientes reales es decir eleacutectricas o soacutelo a corrientes
ideales magneacuteticas para lo cual es menester el recurso de los teoremas de equivalencia
1 que estaraacute referida a las magnitudes 1x 1y 1z o bien βx=2πλx βy=2πλy βz=2πλz Noacutetese que en
el hemiespacio exterior a las fuentes deberaacute cumplirse por exigencia de la ecuacioacuten de Helmholtz que
β 2=βx2+βy
2+βz2 (es decir las frecuencias espaciales estaacuten contenidas en la superficie de una esfera de radio
constante) Por tanto en la regioacuten homogeacutenea la representacioacuten espectral es en esencia bidimensional y asiacute el
conocimiento superficial (con tal de que esta superficie recorra por completo dos coordenadas) nos permitiraacute
colegir el campo en todo el espacio homogeacuteneo
20 Capiacutetulo II
22 TEOREMA DE UNICIDAD Y EQUIVALENCIA
Supongamos que una vez identificados los campos sobre un dominio de observacioacuten fueran varias
las configuraciones de campo posible en el resto del espacio esto implicariacutea que en vano
intentariacuteamos la caracterizacioacuten del sistema radiante a partir de tales observaciones Sin embargo la
naturaleza del campo electromagneacutetico nos permite asegurar en ciertas condiciones la unicidad de
solucioacuten Estas condiciones y su demostracioacuten son bien conocidas se suponen dos soluciones se
aplican las ecuaciones de Maxwell y se llega a una relacioacuten integral en la que se hace evidente que si
el medio tiene peacuterdidas (por pequentildeas que eacutestas sean) y conocemos alguno de los campos
tangenciales en toda una superficie cerrada la diferencia entre ambas soluciones (tanto en el interior
como en el exterior) ha de ser nula Es decir ldquoun campo electromagneacutetico generado por una
distribucioacuten cualquiera de fuentes es uacutenico en una regioacuten limitada por una frontera cuando se
especifica sobre toda la frontera los campos tangenciales bien eleacutectricos ET bien magneacuteticos HT o
en una parte los eleacutectricos y en la otra los magneacuteticosrdquo
Si ahora consideramos los campos producidos por un determinado conjunto de fuentes haciendo
caso omiso a los que tienen otras causas es evidente seguacuten el principio de unicidad que bastariacutea
con identificar sobre una superficie cualquiera que englobe a tales fuentes los campos tangenciales
(eleacutectricos o magneacuteticos) causados por eacutestas para a partir de eacutestos poder colegir los campos en el
resto del espacio Si contemplamos los campos sobre las superficies como los efectos ondulatorios
de las fuentes podemos interpretarlos como un frente de ondas Pues bien podemos olvidarnos de
lo que habiacutea al otro lado de la superficie y usando las condiciones de frontera suponer cada uno de
los puntos como nuevas fuentes electromagneacuteticas generadoras de ondas esfeacutericas y que en su
combinacioacuten deparan los campos efectivos debidos a las fuentes interiores Eacuteste es en esencia el
principio que Huyggens formulara en 1678 en su Traiteacute de la Lumiegravere [71] aunque derivado aquiacute
desde la teoriacutea maxweliana como hizo Schelkunoff en 1936 [144] Seguacuten este uacuteltimo el teorema de
equivalencia superficial garantiza que ldquoel campo exterior a una superficie que englobe las fuentes puede
obtenerse colocando sobre dicha superficie corrientes eleacutectricas y magneacuteticas apropiadas que
satisfagan las condiciones de contornordquo Asiacute pues si el campo generado por las corrientes
encerradas es E1 H1 y admitimos para el interior un campo arbitrario E H entonces las
corrientes superficiales eleacutectricas y magneacuteticas que nos aseguren en el exterior el campo original
deben ser
Js= timesn (H1-H) Ms=- timesn (E1-E) (2-23)
Donde n representa un vector unitario normal a la superficie S Si las corrientes se eligen de modo
que el campo en el interior sea nulo se obtiene el conocido equivalente de Love
Js= timesn H1 Ms=- timesn E1 (2-24)
Problema electromagneacutetico directo 21
Que en caso de elegir un medio interior con las mismas caracteriacutestica electromagneacuteticas que el
exterior nos permite transmuta el problema originalmente heterogeacuteneo en otro homogeacuteneo y
equivalente sobre el que podremos aplicar las soluciones integrales (2-20) para medios
homogeacuteneos
Si por otra parte sustituimos el interior por un conductor eleacutectrico perfecto los campos interiores
seraacuten necesariamente nulos y puesto que una corriente eleacutectrica sobre una superficie conductora
eleacutectrica no produce campos podemos entonces considerarla nula2 obteniendo asiacute el equivalente
conductor eleacutectrico
Js= timesn H1=0 Ms=- timesn E1 (2-25)
Que reduce el problema equivalente a la consideracioacuten de un uacutenico tipo de corrientes De forma
anaacuteloga se define el equivalente conductor magneacutetico como aquel en el que el volumen interior es un
conductor magneacutetico sobre el que podemos considerar nulas las corriente magneacuteticas y atender
exclusivamente a las eleacutectricas La figura 2-3 ilustra el problema real y los equivalentes descritos
Figura 2-3 a) Problema real b) modelo del problema equivalente c) equivalente de Love d) equivalente
conductor eleacutectrico e) equivalente conductor magneacutetico
2 Como aproximacioacuten intuitiva suele decirse que las corrientes eleacutectricas se cortocircuitan y asiacute podriacutea
entenderse en una aplicacioacuten directa de la oacuteptica-fiacutesica Pero de forma estricta y a tenor del teorema de
reciprocidad como hace Harrington (veacutease [60 sect38]) puede demostrarse que los campos provocados por
una corriente eleacutectrica sobre un conductor eleacutectrico perfecto son nulos Obseacutervese por otra parte que el
cumplimiento de (2-25b) es suficiente para la satisfaccioacuten del teorema de unicidad
Js=0
S
E1 H1
ε1 micro1
Ms=- timesn E1
0 0
Conductor
eleacutectrico
d)
S
E1 H1
ε1 micro1
Js= timesn H1
Ms=0
0 0
Conductor
magneacutetico
e)
S
E1 H1
ε2 micro2
J1
M1
E1 H1
a)
ε1 micro1
S
E1 H1
ε1 micro1
Js= timesn (H1-H)
Ms=- timesn (E1-E)
E H
b)
ε2 micro2
Js= timesn H1
S
E1 H1
ε1 micro1
Ms=- timesn E1
0 0
c)
ε1 micro1
22 Capiacutetulo II
En virtud de estos equivalentes (especialmente los dos uacuteltimos) podemos reducir a conveniencia
cualquier fuente de radiacioacuten por compleja que sea a un conjunto de corrientes eleacutectricas o
magneacuteticas sobre una superficie que la englobe y utilizar las formulaciones descritas en sect212
Finalmente aunque hayamos considerado los campos generados por radiadores independientes de
forma separada podemos aplicar el principio de superposicioacuten y simplemente sumar las contribuciones
particulares para encontrar el campo debido al conjunto de radiadores Lo cual podemos hacerlo en
virtud de que nos referimos a fenoacutemenos macroscoacutepicos en los que las leyes de Maxwell son
aplicables siendo asiacute lineal ndashcomo se ha vistondash la relacioacuten entre fuentes y campos
23 FORMULACIONES DIRECTAS
Recurriendo por tanto a los teoremas de equivalencia podemos expresar el problema
electromagneacutetico en teacuterminos de corrientes solamente eleacutectricas o solamente magneacuteticas Cuando
nos refiramos a corrientes exclusivamente eleacutectricas las denominaremos fuentes reales aunque eacutestas
puedan ser tanto verdaderas entidades fiacutesicas como entidades ficticias si se hubiera recurrido al
equivalente conductor magneacutetico (fig2-3e) En estos dos casos los campos eleacutectricos estaraacuten
referidos respectivamente a uno soacutelo de los potenciales vectores ndashsimplificando (2-22)-
FE
AE
M
J
timesnablaminus=
nablanabla
+minus=
ε
βω
1
1 2j (2-26)
Supondremos por tanto que todo el problema electromagneacutetico directo lo habremos podido
reducir a un conjunto finito de fuentes ya sean reales o equivalentes inmersas en un espacio
homogeacuteneo e isotroacutepico Reduccioacuten que generalmente implica el recurso a los equivalentes antes
descritos y a menudo a aproximaciones como la oacuteptica-fiacutesica [12] Ahora nos falta investigar coacutemo
seraacuten los campos electromagneacuteticos debidos a tales fuentes estudio que restringiremos no
obstante al de los campos eleacutectricos ya que las relaciones (2-6a) nos permiten colegir los
magneacuteticos a partir de los primeros y porque generalmente son aquellos a los que cintildeen las medidas
Problema electromagneacutetico directo 23
231 Fuentes reales3
Si hemos podido reducir la descripcioacuten del sistema radiante al de un conjunto finito de corrientes
distribuidas dentro del volumen circunscrito por S entonces nuestro problema inicial representado
en la fig2-1 se habraacute simplificado al representado en la figura 2-4
Figura 2-4 Problema electromagneacutetico con corrientes eleacutectricas
Utilizando las expresiones 2-26 y 2-20
vdR
ejvdGjRj
VV
primeminus
sdotprime
nablanabla
+=primeprimeminussdotprime
nablanabla
+minus=minusminus
primeprimeintintintintintint )(4
)(1)()(1)(
22 rrrJrrrJE
rr
J πβωmicro
βωmicro
β (2-27)
donde haciendo operaciones vectoriales (teniendo en cuenta que el operador diferencial nabla se refiere
a los puntos del dominio de observacioacuten y por tanto nabla J =0) podemos llegar a la expresioacuten
vdJJJ
zzRGRGyyzzRGxxzzRGzzyyRGyyRGRGxxyyRGzzxxRGyyxxRGxxRGRG
EEE
Vz
y
x
zJ
yJ
xJ
primesdot
primeprimeprime
sdot
primeminus+primeminusprimeminusprimeminusprimeminus
primeminusprimeminusprimeminus+primeminusprimeminus
primeminusprimeminusprimeminusprimeminusprimeminus+=
intintintprime )(
)()(
))(()())()(())()(())()(())(()())()(())()(())()(())(()(
22122
22
212
222
21
r
r
r
siendo RjeR
RRjjG βββ
πβωmicro minus+minusminus
minus=primeminus 3
22
211
4)( rr Rje
RRβRjj
G ββπβωmicro minusminus+
minus=primeminus 5
22
2233
4)( rr
(2-28)
Expresioacuten que podemos reducir en teacuterminos de la funcioacuten de Green diaacutedica GJ que
corresponderiacutea al factor diaacutedico o tensorial del integrando
3 Se hace aquiacute referencia a corrientes reales por mero contrapunto con las magneacuteticas que por el momento
gozan soacutelo de una existencia ideal aunque praacutectica a merced de los principios de equivalencia Lo cual no
impide que en muchos casos cuando se hable de corrientes eleacutectricas estas sean tambieacuten ideales
procediendo al igualan de las magneacuteticas de la aplicacioacuten de los principios de equivalencia
S J
D x
y
z
24 Capiacutetulo II
[ ])()()()()( con )()( 21 rrrrIrrGrJrrGE J primeminussdotprimeminus+sdot=primeminusprimeprimesdotprimeminus= intintintprime
TJ
VJ RGRGvd (2-29)
Donde I denota la matriz identidad y el superiacutendice T la operacioacuten de transposicioacuten Extendiendo
el dominio de integracioacuten Vrsquo en (2-29) nos permite referir el campo eleacutectrico debido a fuentes
reales en teacuterminos de la convolucioacuten entre las corrientes y la funcioacuten diaacutedica de Green que en el
dominio de la transformada de Fourier generalizada se convierte en un producto
)()( rJrGE J lowast= J en el dominio transformado )(~)(~~ rJrGE J sdot= J (2-30)
232 Fuentes equivalentes magneacuteticas
En el supuesto de que el problema electromagneacutetico lo hayamos podido reducir a un conjunto de
corrientes magneacuteticas eacutestas estaraacuten en general acomodadas a alguna geometriacutea superficial ya que
habraacuten resultado de la aplicacioacuten del equivalente superficial eleacutectrico (ec 2-25 fig 2-3d) De esta
forma el problema original se habraacute simplificado al que representa la figura 2-5 cuya aplicabilidad
es a pesar de tratarse de un problema virtual maacutes general que en el caso anterior
Figura 2-5 Problema electromagneacutetico con corrientes magneacuteticas
Utilizando las expresiones 2-26 y 2-20
sdR
esdGRj
SSM prime
minus
sdotprimetimesnabla=primeprimeminussdotprimetimesminusnabla=minusminus
primeintintintint )(4
)()()()(
rrrMrrrME
rr
π
β (2-31)
donde haciendo operaciones vectoriales (y teniendo en cuenta que nablaxM =0 ya que igual que antes
el operador de Hamilton se refiere a los puntos de observacioacuten) se llega faacutecilmente a la expresioacuten
sdMMM
xxyyxxzz
yyzzRGsdRG
E
EE
Sz
y
x
SzM
yM
xM
primesdot
primeprimeprime
sdot
primeminusminusprimeminus
primeminusprimeminusminus
primeminusminusprimeminussdot=primetimesprimeminussdot=
intintintintprimeprime )(
)()(
0)()()(0)()()(0
)()()()( 33
r
r
r
rMrr
siendo RjeR
RjG ββ
πminus+
=primeminus 331
41)( rr
(2-32)
S
D x
y
z
M
Problema electromagneacutetico directo 25
Expresioacuten que anaacutelogamente a la 2-28 podemos reducirla en teacuterminos de la funcioacuten diaacutedica de
Green GM
primeminusminusprimeminus
primeminusprimeminusminus
primeminusminusprimeminussdot=primeminusprimeprimesdotprimeminus= intintint
prime 0)()()(0)()()(0
)()( con )()( 3
xxyyxxzz
yyzzRGvd M
VMM rrGrMrrGE
(2-33)
Que al igual que anteriormente nos permite referir el campo eleacutectrico debido ahora a fuentes
equivalentes magneacuteticas en teacuterminos de la convolucioacuten entre las corrientes magneacuteticas y la funcioacuten
diaacutedica de Green o del producto en el dominio transformado
)()( rMrGE lowast= MM en el dominio transformado )(~)(~~ rMrGE sdot= MM (2-34)
233 Fuentes electromagneacuteticas generalizadas
Esta descripcioacuten del campo eleacutectrico tanto el causado por corrientes eleacutectricas (2-29 y 2-30) como
el debido a fuentes magneacuteticas equivalentes (2-31 y 2-32) puede sintetizarse en una expresioacuten
referida a fuentes geneacutericas y a una funcioacuten diaacutedica de Green generalizada
)()( vdV
primeprimesdotprimeminus= intintintprime
rrrGE f (2-35)
)()( rrGE flowast= en el dominio transformado )(~)(~~ rrGE fsdot= (2-36)
Donde en cada caso tomaraacute las expresiones que correspondan a la descripcioacuten de las fuentes y que
en el supuesto de que esta fuera mixta (a la vez eleacutectricas y magneacuteticas) la funcioacuten diaacutedica y las
fuentes podraacuten formarse por yuxtaposicioacuten
[ ] [ ][ ]
==
M
JrGGG )( fMJ (2-37)
234 Campos sobre geometriacuteas canoacutenicas
Supongamos que tanto el dominio en el que se extienden las fuentes S como el de medida D fuera
rectangular y paralelo Se pueden elegir unas coordenadas cartesianas en las que tales dominios sean de
coordenada z constante zf para las fuentes y zo para el dominio de observacioacuten Con estas
consideraciones podemos rescribir las relaciones (2-33) y (2-34)
)()()()()( yxyxydxdyxzzyyxxzyx zfoo ff lowast∆=primeprimesdotprimeprimesdotminusprimeminusprimeminus= int intinfin
infinminus
infin
infinminus
GGE (2-38)
26 Capiacutetulo II
f~)(~)()()()(~ sdotminus==== fozxyzyxzxyo zzyxyxyxzooo
GEEEE FFFFF (2-39)
Y en consecuencia
f~)(~)(~)( 10
1 sdotminus== fo-
xy-
xyo zzzz GEE FF (2-40)
En caso de que el dominio de observacioacuten se atenga a una geometriacutea ciliacutendrica de modo que
podamos referirlo a una superficie de distancia radial constante ρo entonces el campo eleacutectrico
ϕρϕρϕρϕρ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕρ
ϕρρϕρϕρϕρϕρϕρ
primesdotprime=primesdot=primesdotprime=primesdot=
primeprimeprimeminusprime
sdotprimeminusprimeminusprimeminussdot
minus=
primeprimeprimeprimesdotprimeprimeprimesdotprimeprimeprime= intintintisin
sin sin cos cos con
1000cossin0sincos
)(1000cossin0sincos
)( donde
)()()()(
yyxx
zzyyxxz
zdddzzzz
o
Vzoo
GG
GE f
(2-41)
A partir de estas expresiones sin embargo la formulacioacuten en teacuterminos de una convolucioacuten y a
continuacioacuten espectral se encuentra con la dificultad de expresar G en teacuterminos de ρminusρrsquo φminusφrsquo
Si por otra parte el dominio de observacioacuten fuera esfeacuterico podriacutean definirse unas coordenadas
esfeacutericas en las que este dominio quede definido por un valor constante de la coordenada radial
entonces el campo eleacutectrico
cos sinsin cossin con
0sincos
cossincossinsinsincoscoscossin
)( 0cossin
sinsincoscoscoscossinsincossin
)( donde
cos)()()()(
θϕϑϕϑθθ
ϕϕθϕθϕϕθϕθ
ϕϕθϕθϕθ
θϕθϕθϕθ
ϕθϑϕθϕθϕθϕθϕθ
rzryrx
zyxr
ddrdrrrrrVr
oo
=sdot==
primeprimeprimeprimeprimeprimeminusprimeprime
sdotsdot
minusminus=
primeprimeprimesdotprimesdotprimeprimeprimesdotprimeprimeprime= intintintisin
GG
GE f
(2-42)
Que al igual que en el caso anterior presenta la dificultad de expresarse en teacuterminos convolucionales
y espectrales
Por uacuteltimo si referimos nuestro problema electromagneacutetico a unas coordenadas curviliacuteneas generalizadas
(ξ η λ) entonces el campo eleacutectrico sobre una superficie ξo podraacute expresarse como
Problema electromagneacutetico directo 27
y )( )()( con
111
111
111
)(
111
111
111
)( donde
)(
)()()()(
321
321
321
321
333
222
111
)(
primepartpart
=primepart
part=
primepartpart
====
primepartpart
primepartpart
primepartpart
primepartpart
primepartpart
primepartpart
primepartpart
primepartpart
primepartpart
sdotsdot
partpart
partpart
partpart
partpart
partpart
partpart
partpart
partpart
partpart
=
primeprimeprimeprimeprimeprimepart
partsdotprimeprimeprimesdotprimeprimeprime= intintint
isinprimeprimeprime
ληξληξληξληξ
ληξ
ληξ
ληξ
λλλ
ηηη
ξξξ
ληξ
ληξληξ
ληξληξληξληξληξ
rrr
GG
GE
hhhzzyyxx
zh
zh
zh
yh
yh
yh
xh
xh
xh
zyx
zh
zh
zh
yh
yh
xh
xh
xh
xh
dddzyx
Voo f
(2-43)
De igual forma que en los casos anteriores si el dominio de las fuentes se restringe a una superficie
en que una de las coordenadas curviliacuteneas se hace constante entonces la integral seraacute de superficie
las fuentes tendraacuten soacutelo dos componentes el jacobiano seraacute respecto a las dos coordenadas libres
asiacute como la matriz de transformacioacuten y los factores de Lame (o escala)
235 Campos para un observador lejano
En campo lejano la distancia del observador al origen de coordenadas es incomparablemente mayor
que la de los puntos maacutes alejados del sistema radiante (|r|raquo|rrsquo|) y en consecuencia la posicioacuten del
observador respecto a las fuentes R es muy parecida a la posicioacuten absoluta del observador r De
esta manera la magnitud estricta de R soacutelo merece ser tenida en cuenta cuando actuacutea como
argumento de funciones armoacutenicas es decir en los teacuterminos exponenciales de argumento
imaginario y en el resto de los casos puede aproximarse por r (de forma estricta se puede decir que
tiende asintoacuteticamente a r) En general cuando nos encontramos en campo lejano puede
considerarse que los vectores R y r son paralelos como ilustra la figura 2-6 y en consecuencia su
diferencia dependeraacute esencialmente del aacutengulo ψ Es decir para cada aacutengulo de observacioacuten la
contribucioacuten relativa de cada uno de los puntos de las fuentes depende de su distancia a un plano
perpendicular a la direccioacuten de observacioacuten o lo que es lo mismo a la proyeccioacuten de rrsquo sobre r Por
tanto una aproximacioacuten razonable para la distancia entre el observador y la fuente seraacute
R cong r-rrsquo middotr r (2-44)
Y por tanto los potenciales vectores (2-20) podraacuten expresarse como
)(44
4
)(44
4
cos
cos
ϕθπε
πε
πε
ϕθπmicro
πmicro
πmicro
βψβ
ββ
βψβ
ββ
LMMF
NJJA
sdot=primesdotsdotcong=
sdot=primesdotsdotcong=
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
intintintint
intintintint
resde
reds
Re
resde
reds
Re
rj
S
rjS
rj
S
Rj
S
rj
S
rjS
rj
S
Rj
S
(2-45)
28 Capiacutetulo II
Con lo que el campo queda esencialmente expresado en teacuterminos de las funciones vectoriales de
campo lejano N y L que pueden a su vez escribirse como
sdesde
sdesde
S
rj
SS
rjS
S
rj
SS
rjS
primesdot=primesdot=
primesdot=primesdot=
intintintint
intintintintprime
minusminus
primeminusminus
cos
cos
)(
)(
rr
rr
MML
JJN
βψβ
βψβ
ϕθ
ϕθ (2-46)
Figura 2-6 Geometriacutea del problema electromagneacutetico para un observador lejano
Supongamos que las fuentes ocupan un dominio plano y hagamos que coincidan con z=0 tal y
como ilustra la figura Es trivial que en tales casos
ϕθϕθϕθϕθ
sinsinˆcossinˆˆ
ˆsinsinˆcossinsdotprime+sdotsdotprime=
primesdot
sdotprime+sdotprime=primesdot+sdot=
yxxryyxx
yrxr rrr
r (2-47)
Llamando u = sinθ middotcosϕ v = sinθ middotcosϕ las funciones de campo lejano se pueden expresar en
teacuterminos de transformadas de Fourier
SSyx
vyuxj
S
SSyx
vyuxj
S
yxdydxevu
yxdydxevu
MMMLL
JJJNN
~)()()(
~)()()(
)(
)(
==sdot==
==sdot==
+minusinfin
infinminus
infin
infinminus
+minusinfin
infinminus
infin
infinminus
int int
int int
F
F
β
β
ϕθ
ϕθ (2-48)
Donde las variables u v ndashcomo puede observarse en la figurandash corresponden a las coordenadas x y
respectivamente de la proyeccioacuten de los puntos de observacioacuten idealmente situados en una esfera
de radio unidad sobre su plano tangente ndashy paralelo a la superficie de las fuentesndash
ψ
R
r rrsquo
z
x y
Problema electromagneacutetico directo 29
Figura 2-7 Interpretacioacuten geomeacutetrica de los paraacutemetros fundamentales en una observacioacuten lejana
Para determinar los campos electromagneacuteticos basta recurrir a las expresiones (2-22) o (2-26) y
quedarse con los teacuterminos asintoacuteticamente dominantes que son todos los que tienen una
dependencia con (1r) de orden 1 pudieacutendose ademaacutes despreciar la componente radial en
comparacioacuten con las tangenciales Despreciando entonces en (2-22) todos los teacuterminos de orden
superior y obviando la componente radial se llega a los siguientes comportamientos asintoacuteticos
congsdotminuscong
timessdot=timessdotminuscongtimesnabla=
timessdotminus=timessdotcongtimesnablaminus=
congsdotminuscong
)0 (con
ˆ1ˆ1
ˆˆ1
)0 (con
rM
JJ
MM
rJ
Hj
j
j
Ej
FH
ErArAH
HrFrFE
AE
ϖηη
ϖmicro
ηϖηε
ϖ (2-49)
Usando las expresiones anteriores (que excluyen las componentes radiales) y aplicando la matriz de
transformacioacuten de coordenadas a las funciones de campo lejano (cuya direccioacuten depende de la de
las fuentes) se llega sencillamente a la expresioacuten
η
ϕθϕθϕηϕηϕϕϕθηϕθη
πβηϖ
β
ϕ
ϑ
ErHTE
FrA
times=sdot=
sdot
minusminussdot
minus=times+minus=
minus
ˆ y ~
~~~~
sincoscoscoscossincossinsincoscoscos
4 )ˆ(
fCL
y
x
y
xrj
MMJJ
rejj
EE
(2-50)
Es decir en campo lejano las expresiones integrales se reducen a un simple producto del espectro
plano de las fuentes por una funcioacuten diaacutedicas Aunque la integracioacuten sigue en realidad presente en
la transformada de Fourier de las fuentes
rrsquo
r
ϕ θ J
M
x
y
z
uv
Dominio
lejano de
observacioacuten
1
1
ϕ
Plano de
las fuentes Plano
tangente a la
esfera de radio unidad
30 Capiacutetulo II
236 Representacioacuten modal
A menudo resulta conveniente la descripcioacuten del campo con independencia de las fuentes Si esta
descripcioacuten se hace en teacuterminos de funciones de distribucioacuten ortogonales sobre determinados
dominios isocoordenados que a su vez permitan la transposicioacuten al resto del espacio (o al
hemiespacio limitado por uno de tales dominios por ejemplo el de medida) entonces este
conjunto de funciones define eficazmente ndashmediante combinacioacuten lineal- el grupo completo de las
distribuciones de campo vaacutelidas sobre todo un hemiespacio Si sobre ese grupo que en general seraacute
infinito numerable se define una norma meacutetrica (por ejemplo la distancia cuadraacutetica media de las
distribuciones de campo extendidas a todo el dominio) esto constituye un espacio de Hilbert sobre
el que estaacuten definidos todas las distribuciones de campo vaacutelidas y que nos permitiraacute la
determinacioacuten oacuteptima (aunque no uacutenica) de distribuciones de campo medidas sobre el grupo de
distribuciones vaacutelidas Esta forma de proyeccioacuten de distribuciones de campo medidas sobre el
grupo de distribuciones vaacutelidas puede considerarse como una forma de minimizacioacuten oacuteptima del
error (medido en teacuterminos de la norma meacutetrica elegida) que en general seraacute equivalente a la
proyeccioacuten sobre cualquier grupo de funciones vaacutelidas descrito en teacuterminos de cualquier otra
eleccioacuten de funciones ortogonales
Tal definicioacuten sin embargo no es trivial ndashsalvo acaso en geometriacuteas cartesianas- para cualquier tipo
de dominios isocoordenados4 No obstante para las geometriacuteas canoacutenicas (rectangular ciliacutendrica y
esfeacuterica) bien por medio de resolucioacuten directa de la ecuacioacuten de onda (2-7) o mediante recurso
indirecto de la funcioacuten de Green y los potenciales vectores se han encontrado soluciones a este
problema a menudo referida como expansioacuten de ondas planas ciliacutendricas o esfeacutericas que en
general permiten reconocer los campos tangenciales sobre un dominio isocoordenado
perteneciente a todo el hemiespacio exento de singularidades5 La utilizacioacuten de esta descripcioacuten
requiere la identificacioacuten de los modos mediante la aplicacioacuten de las propiedades de ortogonalidad
sobre una superficie en la que se conocen los campos lo que corresponde a la proyeccioacuten antes
citada Si esta superficie encierra completamente a las fuentes en virtud del teorema de unicidad el
4 De hecho como proboacute Eisenhart [40] la ecuacioacuten de Helmholtz escalar es separable en 11 sistemas
coordenados diferentes mientras que para la ecuacioacuten vectorial soacutelo se han encontrado soluciones completas
en 6 sistemas coordenados (los 3 canoacutenicos y otros 3 de escasa utilidad praacutectica cilindro eliacuteptico y paraboacutelico
y sistema esfeacuterico en coordenadas coacutenicas [168]) Aunque posiblemente la primera exposicioacuten acabada de la
expansioacuten modal fuera la de Stratton [151] ya se habiacutea abordado el problema para geometriacuteas concretas
como fue el caso de Hansen para el problema esfeacuterico [59]
5 Es decir alliacute donde son aplicables las ecuaciones de Helmholtz (2-7) Noacutetese que este hemiespacio es
necesariamente ideal aunque legiacutetimo para el intento de identificacioacuten de la radiacioacuten con independencia del
entorno
Problema electromagneacutetico directo 31
campo exterior a eacutesta quedaraacute asiacute biuniacutevocamente identificado y eacuteste habraacute de ser ideacutentico al
generado por las corrientes equivalentes sobre dicha superficie
a) Modos planos
En caso de que el dominio de observacioacuten D sea una superficie plana de coordenada z constante el
campo eleacutectrico podraacute describirse como [151 60 168]
zjyxPxyyx
yjxjzjyxP
y
xT
zyxz eddeeeEE ββββ ββββββ
πsdot=sdot=
= minus
infin
infinminus
infin
infinminusint int )()(
)2(1 1
2 MME F
con 2222zyx ββββ ++=
(2-51)
Y por tanto
)()()()()(~ )( 222
zfezz yxPyxPzj
yxPTxyTyx ββββββ βββ sdot=sdot== minusminus
MMEE F (2-52)
Donde MP son los denominados modos planos del campo que a su vez corresponden con el espectro
espacial sobre la superficie z=0 (y que en consecuencia es a menudo referido como espectro de
ondas planas) y fP la funcioacuten de proyeccioacuten de los modos a una superficie arbitraria de coordenada z
constante A partir de (2-52) es inmediato que si conocemos los campos tangenciales sobre un
plano z=zo pueden determinarse los modos
)()(~)( 1OyxPoTyx zfz ββββ minussdot= EM (2-53)
Noacutetese que en virtud de la unicidad de solucioacuten en el hemiespacio homogeacuteneo (2-34) y (2-53)
deberaacuten ser ideacutenticos
POyxPfooT zfzzz MIGE sdotsdot=minus= )(~)(~)(~ ββf (2-54)
Que muestra la equivalencia entre el espacio de las fuentes y el de los modos planos y que por
tanto podraacuten referirse mediante un operador de proyeccioacuten (a partir de 2-54)
PfMPOyxPz zf MPMG sdot=sdotsdot
= minus
minus
∆ )(~~ 1
ββf (2-55)
En el caso de que las fuentes sean magneacuteticas el operador de proyeccioacuten seraacute (seguacuten 2-32 ndash
restringida a las componentes x yndash y 2-38)
minusprime=
minus
∆sdot∆=
=
minus
∆minus 0110
)(0110
)(~)(
)(~3
1
yxPzzyx
OyxPOyxPzfM f
Gzf
zf ββββ
ββββGP (2-56)
32 Capiacutetulo II
Lo que pone en evidencia ya no solo el isomorfismo entre los modos planos y las corrientes
magneacuteticas sino en este caso una relacioacuten directa (aunque cruzada y matizada por un factor de
escala) debida a la correspondencia entre el principio de Huygens y el de equivalencia6
b) Modos ciliacutendricos
Si el dominio de observacioacuten fuera ciliacutendrico entonces el campo eleacutectrico puede expresarse
anaacutelogamente al caso plano en teacuterminos de unos modos ciliacutendricos MC [151 60]
)()()()(21
)()(
)(0
)()(
)()(
21)(
1
)2(2
)2()2(
)2()2(
zCzzjjn
nzC
zjjn
z
z
n
n
nzn
nzn
z
nndeenn
deenbna
H
HnH
HjHjn
EEE
z
z
z
βρββρπ
βββ
ρβββ
ρββρ
βρ
ρβρ
ρβββ
ρβρ
πϕρ
ϕβϕ
βϕ
ρρ
ρρ
ρρ
ϕ
ρ
MHMH
E
sdot=sdotsdotsdot=
sdotsdot
sdot
minus
minus
part
partpart
partminus
=
=
minusinfin
minusinfin=
infin
infinminus
infin
minusinfin=
infin
infinminus
sum int
sum int
F
con 222zβββ ρ +=
(2-57)
siendo Hn(2)(x) las funciones de Hankel de segunda especie de orden n y la transformada
bidimensional de Fourier (sobre las coordenadas ϕ y z) debe interpretarse ahora como la
transformada sobre z y los coeficientes del desarrollo en serie de las funciones perioacutedicas en ϕ
sum int
int intinfin=
minusinfin=
infin
infinminus
minusminusminusminusminusminus∆
infin
infinminus
minusminus∆
===
===
n
nz
zjjnzzzz
zjjnzzz
deezXnXnXzX
dzdeezXzXzXnX
z
z
βϕπ
ββϕ
ϕϕπ
ϕϕβ
βϕϕϕ
πβϕ
ϕϕ
)(21)(~)(~)(
)(21)()()(~
1111
2
0
FFFF
FFFF (2-58)
Con lo cual si se conoce el campo eleacutectrico sobre una superficie ciliacutendrica ρ=ρo
[ ] )(~)(
)()()(~
1OOC
Cz nz
ρρ
ρβϕρ ρϕ
EHM
MHEEminus=
sdot== F
donde [H]-1 admite varias definiciones por ejemplo
minus
minussdot
minus 2131
2232
22313221 001
HHHH
HHHH
(2-59)
Puesto que comuacutenmente se conoce el campo tangencial es decir Eϕ y Ez la condicioacuten (2-59)
concerniraacute solo a tales componentes para las cuales se puede concretar la funcioacuten diaacutedica H para
solamente las componentes tangenciales en cuyo caso seraacute cuadrada y por tanto con inversa uacutenica
6 Noacutetese que la relacioacuten cruzada que muestra la matriz de proyeccioacuten (2-56) se debe a la identidad entre las
corrientes magneacuteticas equivalentes y el producto vectorial entre la normal a la superficie de las corrientes y el
campo eleacutectrico sobre eacutesta (de acuerdo con el principio de equivalencia sect22)
Problema electromagneacutetico directo 33
Como puede observarse en (2-57) ahora existe una relacioacuten directa entre la componente vertical del
campo y los modos b(nβz) que en consecuencia nos permite identificarlos como modos verticales
eleacutectricos
c) Modos esfeacutericos
Finalmente cuando el dominio de observacioacuten sea esfeacuterico el campo puede expresarse en teacuterminos
de sus modos esfeacutericos Me como puede derivarse a partir de expresiones similares [151 60 58 59]
)()(
)()(
sin)(
)(1)()(
)()(1
sin)(
)(
)()()1(
0
)()()(
1
1
)2()2(0
)2()2(0
)2(
mnmnr
mnbmna
jmYrrh
drd
rY
rh
Yrrh
drd
rYm
rh
Yrhr
nn
rErErE
en
n
nme
n
n
nm
nmn
nmn
nmn
nmn
nmnr
MH sdot=
sdot
partpart
partpartsdot
+
=
sum sum
sum sum
infin
= minus=
infin
= minus=
ϕϑ
ϑϕϑ
βθ
ϕϑββη
θϕϑ
βϑ
ϕϑββη
ϕϑβ
ϕϑϕϑϕϑ
ϕ
ϑ
donde )(cos)()(
412)( θ
πϕθ ϕ m
njm
nm PemnmnnY sdot
+minus+
=
(2-60)
siendo hn(2)(x) las funciones esfeacutericas de Hankel de segunda especie y Pnm(x) los polinomios
asociados de Legendre Como puede observarse los modos a(nm) no producen componente radial
se denominan asiacute modos transversales eleacutectricos (TE) mientras que los b(nm) son los transversales
magneacuteticos (TM) Si se conoce el campo tangencial sobre una esfera de radio ro los modos podraacuten
determinarse gracias a la ortogonalidad de las funciones esfeacutericas usando soacutelo la parte tangencial
(inferior) de la funcioacuten diaacutedica en (2-60) que podemos denotar por HeT [168]
ϕϑπ π
ϕ
ϑ ddrErE
rO
OOeTe sdot
= int int minus
0
2
0
1
)()(
)]([HM (2-61)
d) Isomorfismo entre la distribucioacuten superficial de corrientes y la representacioacuten modal
Seguacuten se demostroacute en sect236a para una geometriacutea plana los espacios representados por los modos
y por las corrientes superficiales son isomorfos y en ese caso se determinoacute el operador de
proyeccioacuten entre ambos espacios No obstante a tenor del principio de equivalencia superficial
(sect22) ese resultado puede generalizarse a toda la representacioacuten modal En efecto las
representaciones modales (2-51) (2-57) (2-60) nos permiten determinar el campo en todo el
espacio homogeacuteneo y asiacute conocer el campo tangencial en una superficie tan proacutexima a las fuentes
como queramos Si eacutestas las hemos circunscrito por medio de una superficie plana ciliacutendrica o
esfeacuterica respectivamente podemos proyectar los modos hasta esta superficie y aplicando aquiacute las
equivalencias (2-24) o (2-25) encontrar la relacioacuten entre modos y corrientes (generalizando las
expresiones modales y usando 2-6a)
34 Capiacutetulo II
sumforall
sdot==times TEmodos
ˆTESSTSn MHEM
[ ] ( )[ ]sumforall
sdottimesnabla=timesnabla==timesminus TMmodos
ˆTTMSTSSTS
jjn MHEHJ
βηβη
(2-62)
(donde los subiacutendices S representa la particularizacioacuten sobre la superficie de corrientes T la
particularizacioacuten en las componentes tangenciales TE y TM los modos tangenciales eleacutectricos y
magneacuteticos respectivamente) Para el caso plano se determinoacute en (2-55) y (2-56) para el ciliacutendrico se
puede aplicar el equivalente conductor eleacutectrico e identificar los modos verticales b(nβz) con el
espectro de campo en z y eacuteste con el espectro de las corrientes en ϕ Las corrientes en z seraacuten
iguales (aunque opuestas) al campo superficial en ϕ que a su vez estaacute linealmente relacionado con
los dos modos
minus=minus=
==
)(
)(~~
)(~~
z
z
SCSz
zSbzCSz
nbna
EM
nbHEM
β
β
β
ϕϕ
ϕ
H
(2-63)
Finalmente para una geometriacutea esfeacuterica basta considerar las expresiones (2-62) en las que puede
observarse que el campo eleacutectrico debido a las corrientes magneacuteticas es necesariamente tangencial a
la superficie de las corrientes y por consiguiente soacutelo puede estar descrito por los modos TE
Anaacutelogamente las corrientes eleacutectricas estaraacuten directamente ligadas con los modos TM
sdot==times sum sum
infin
= minus= 0)(
)(ˆ1
mnamnrn
Sn
n
nmeSTS ϕϑHEM
[ ] sum suminfin
= minus=
sdottimesnabla=timesnabla==timesminus
1 )(0
)(ˆn
n
nm SeTSSTS mnb
mnrjjn ϕϑβηβη
HEHJ
(2-64)
En suma las expresiones (2-55) (2-63) y (2-64) representan la proyeccioacuten entre el espacio de las
fuentes electromagneacuteticas y el de los modos para cada una de las geometriacuteas canoacutenicas Y
determinada la proyeccioacuten lineal entre estos queda pues probado el isomorfismo entre ambas
representaciones
24 DISCRETIZACIOacuteN DEL PROBLEMA ELECTROMAGNEacuteTICO
Llegados a este punto podriacuteamos admitir que se haya resuelto el problema de la determinacioacuten del
campo radiado por un conjunto de fuentes adaptaacutendolo al conocimiento que de eacutestas tengamos y a
las geometriacuteas que resulten maacutes convenientes a cada problema en particular para lo cual se ha
llegado a expresiones diversas que podemos compendiarlas en
Problema electromagneacutetico directo 35
sumsumforallforall
sdot=sdot=modos los fuentes las
MHGE f (2-65)
Donde la suma debe entenderse en la mayor parte de los casos (por ejemplo 2-33 2-51) como una
suma de elementos infinitesimales es decir una integral o en otros (por ejemplo 2-60 y
parcialmente en 2-57) como una suma de infinitos teacuterminos Por supuesto que ndashseguacuten se ha
probado- el problema de conocer el campo en todo el espacio es tridimensional y hemos
conseguido reducirlo a soacutelo dos dimensiones lo cual puede sentirse como un alivio pero siendo las
dos dimensiones restantes infinito numerables poco nos importa esperar a recabar datos que sean
infinitos en dos o en tres dimensiones nunca acabaremos y el que hemos llamado problema directo
quedariacutea perpetuamente pendiente de solucioacuten7 La dificultad podriacutea ser del mismo orden que la de
pretender dar cuenta hasta el maacutes iacutenfimo detalle del sistema radiante y de su entorno Obviamente
siempre podemos recurrir al uso de meacutetodos numeacutericos para aproximar las integrales y para truncar
las series atendiendo a sus caracteriacutesticas de convergencia y asiacute minimizar el error Sin embargo es
posible demostrar que el problema acotado en los teacuterminos descritos en sect21 ndashque en uacuteltima
instancia no es sino una idealizacioacuten de cualquier problema realndash tiene una dimensioacuten esencial que
es finita y determinable
241 Teorema de muestreo para el problema electromagneacutetico
Aunque resulta evidente que un nuacutemero finito de datos ha de ser suficiente para la caracterizacioacuten
de la radiacioacuten debida a un conjunto acotado de fuentes varios autores (por ejemplo [18 21 22]
[74 75]) han probado que puede limitarse el error tanto como se quiera usando un nuacutemero miacutenimo
de datos Sin embargo las demostraciones hacen uso de expresiones asintoacuteticas y aproximaciones
que no son del todo necesarias si se recurre a la ecuacioacuten de Helmholtz y al teorema de muestreo
(propuesto por Whittaker [162] como parte de la teoriacutea de interpolacioacuten y ampliamente utilizado
desde Nyquist [125] y Shannon [146]) con lo que puede llegarse a una prueba sencilla de la dimensioacuten
esencial del problema de radiacioacuten
La ecuacioacuten de Helmoltz (2-7) como ya se ha hecho notar anteriormente impone una restriccioacuten
esencial a las tres frecuencias espaciales
2222zyx ββββ ++= (2-66)
7 En el mejor de los casos la descripcioacuten en teacuterminos de modos esfeacutericos requiere un nuacutemero de coeficientes
infinito pero entero para la dimensioacuten θ y un nuacutemero infinito pero natural para la dimensioacuten ϕ
36 Capiacutetulo II
Lo que en el espacio βx βy βz supone que los uacutenicos puntos vaacutelidos es decir representativos del
problema homogeacuteneo expreso en la ecuacioacuten de Helmholtz corresponden a una esfera8 de radio
β (representada en la figura 2-8)
Figura 2-8 Superficie de las frecuencias espaciales isomorfa con el espacio de los campos radiados
Obviamente los puntos de esa esfera no representa el espacio completo de soluciones de la
ecuacioacuten de Helmholtz para ello debieacuteramos considerar valores imaginarios en las variables βi es
decir ondas que no se propagan y que por tanto son evanescentes Si prescindimos de una de las
variables βi por ejemplo βz entonces las ondas radiadas estaraacuten representadas por el circulo
sombreado de la fig2-8 y las ondas evanescentes corresponderaacuten a puntos exteriores del plano para las
cuales la constante de propagacioacuten es imaginaria y por tanto presentan un perfil de decaimiento en
la direccioacuten z Estas soluciones seguacuten hemos precisado nuestro problema sect21 representaraacuten
campos que a unas pocas longitudes de ondas de las fuentes podraacuten haberse atenuado tanto que
resulten invisibles y en consecuencia la zona sombreada de la figura 2-8 se denomina espectro visible
que es el que en esencia atantildee al problema de radiacioacuten
Prescindamos por el momento de las ondas evanescentes y consideremos que a nuestro problema
conciernen soacutelo los campos radiados y que por tanto la transformada de Fourier bidimensional
sobre cualquier dominio de medida y para cualquier direccioacuten estaacute estrictamente limitada en banda
8 Noacutetese que esta restriccioacuten hace que al aplicar al campo eleacutectrico la trasformada de Fourier tridimensional
(que puede obtenerse aplicando secuencialmente la unidimensional para cada una de las direcciones
ortogonales siguiendo un orden arbitrario) si por ejemplo se ha hecho primero para las direcciones x y (y
nos limitamos a los campos que se propagan hacia zgt0 es decir βzgt0) entonces eacutesta soacutelo estaraacute valuada en
βz =(β 2 minus βx2 minus βy
2 )frac12 Es decir
)()()(~)()( 222yxzyxyxjzjxyzjxyz MEzyxEzyxE ββββδββββ minusminusminussdot=== FFFF
expresioacuten que es evidente si nos desplazamos a traveacutes de la liacutenea punteada de la figura 2-6 y a partir de eacutesta
zjyxyxzyxzyxj
yxe)βM(β)βM(βz)β(βE sdotminusminusminusminus sdot=minusminusminussdot=222
)(~ 2221 βββββββδF
De donde la formulacioacuten de modos planos (2-52) se deriva directamente
βx βy
βz β
Problema electromagneacutetico directo 37
Teorema 1 La miacutenima distancia entre intensidades de campo radiado independientes es λ2
De acuerdo con (2-66) resulta evidente que el valor maacuteximo de la frecuencia espacial en cualquiera
de las direcciones espaciales es β lo cual implica a tenor del teorema de muestreo [146 126] que la
miacutenima distancia entre valores independientes del campo es estrictamente πβ = λ2 tal y como se
habiacutea afirmado
Esta distancia por estar referida a cualquier direccioacuten espacial puede generalizarse a la separacioacuten
miacutenima independiente en cualquier coordenada curviliacutenea
ξξ
λξξhh
rr
rmiacuten 21
=sdot∆=partpart
sdot∆=∆ (2-67)
siendo hξ el factor de Lame (o escala) para la coordenada en cuestioacuten Si sobre una superficie
admitimos una cierta proporcioacuten de modos evanescentes entonces el ancho de banda espacial en
cualquier direccioacuten perteneciente a dicha superficie tendraacute un cierto exceso que denotaremos por
χgt1 Una adecuada eleccioacuten de este factor (como se veraacute maacutes adelante en sect243) nos permitiraacute
aproximar tanto como se desee los campos sobre la superficie mediante la discretizacioacuten de su
distribucioacuten a una frecuencia 2βχ Diremos entonces que la frecuencia espacial de los campos sobre
la superficie es βχ y las muestras ortogonales deberaacuten distanciarse
χλξ
ξhmiacuten 2=∆ (2-68)
Teorema 2 El maacuteximo nuacutemero de intensidades de corriente independientes inscritas en una esfera
de radio a y generadoras de campos radiados es 16π(aχλ)2 Eacutesta es la dimensioacuten esencial del
problema de radiacioacuten
Consideremos ahora que todos los radiadores estaacuten contenidos en el interior de una esfera de radio
a Seguacuten el principio de equivalencia si conocemos los campos sobre esa superficie podemos
determinar una distribucioacuten superficial de corrientes equivalentes que genere el mismo campo sobre
todo el espacio Seguacuten nos vayamos aproximando a los radiadores eacutestas se iraacuten pareciendo cada vez
maacutes a las corrientes verdaderas Invirtiendo aquiacute el teorema de muestreo ndashgracias al principio de
dualidad- resulta inmediato que ldquolos campos sobre la esfera de radio ardquo no soacutelo estaraacuten limitados
en banda sino que ademaacutes la miacutenima separacioacuten entre frecuencias espaciales independientes
necesarias para su descripcioacuten seraacute πa (fig 29)
38 Capiacutetulo II
Figura 2-9 Dimensioacuten esencial del problema de radiacioacuten
Estando limitada la distancia entre puntos independientes u ortogonales el tamantildeo miacutenimo de
elementos ortogonales de superficie seraacute (λ2χ)2 y puesto que la superficie de corrientes
equivalentes es de aacuterea limitada podemos entonces establecer la dimensioacuten esencial del problema
En el dominio frecuencial podemos hacer lo mismo ya que la frecuencia estaacute limitada por βχ y
existe una separacioacuten miacutenima entre frecuencias ortogonales en cuyo caso los resultados deben ser
coherentes como se muestra en la figura 2-9 Asiacute pues podemos establecer que la dimensioacuten esencial
del problema de radiacioacuten es N=16π(aχλ)2 Tal y como se habiacutea afirmado
Teorema 3 La maacutexima distancia entre intensidades de campo independientes radiadas desde un
conjunto cualquiera de corrientes inscrito en una esfera de radio a cuyo centro se encuentra a una
distancia d es λd2aχ
Consideremos la descripcioacuten del campo en teacuterminos de los modos esfeacutericos (2-60) Si nos
acercamos hasta la esfera de radio a para determinar los campos sobre esa superficie y tomamos N
muestras equiespaciadas (prefiltradas para evitar la contaminacioacuten de los modos evanescentes9)
9 Lo cual podriacutea hacerse sobremuestreando (respecto a λ2) filtrando las muestras obtenidas y finalmente
diezmandolas Olvideacutemonos de la dificultad de tomar sobre una esfera N muestras equiespaciadas
rArr teorema de muestreo
aii
πβ =∆forall nteindependie
min
βχβ =forall ii
max χ
λ2
minnteindependie
=∆forall ii
u
auii=
forallmax
lArr teorema de muestreo
βx βy
βz β
Espacio de la frecuencia
J
x y
z a
J
J
Espacio fiacutesico
( ) 22
164sortogonale
sfrecuenciaN
==
deg
λχπ
πβχπ a
a
22
162
4sortogonale
puntosN
==
deg
λχπ
χλπ aa
Problema electromagneacutetico directo 39
entonces habremos recabado toda la informacioacuten que se requiere para determinar de forma univoca
los campos radiados (o con una aproximacioacuten tan ajustada como se desee) La posicioacuten de cada uno
de esos puntos dependeraacute exclusivamente de las posiciones angulares (θ ϕ) ya que toda la
informacioacuten referente a las variaciones radiales estaacute contenida en las funciones esfeacutericas de Hankel
y por tanto a los coeficientes modales soacutelo les conciernen variaciones angulares Seguacuten el teorema
1 ndashecuacioacuten 2-68ndash la separacioacuten angular entre muestras ortogonales debe ser ∆θ = λ2rχ en
elevacioacuten y ∆ϕ = λ(2rχ sinθ) en acimut (o en caso de regularizar las muestras ∆ϕ = λ2rχ ) Es
decir la maacutexima frecuencia angular que puede esperarse sobre la esfera de radio a seraacute βrχ = βaχ y
puesto que la frecuencia angular maacutexima de un modo esfeacuterico de orden [nm] es n2π -tanto en
elevacioacuten como en acimut- habraacute un nuacutemero entero de modos que ofrezcan una definicioacuten exacta
de los campos Al truncarse la serie de modos esfeacutericos las condiciones integrales de ortogonalidad
(2-54) se pueden traducir a series
ne=ne
=∆∆sdot∆∆sum sum= minus= ji
jimrmnr
N
nje
n
nmie 0
0)()(
1 ϕθϕθ HH (2-69)
Con lo cual el sistema
sdot=
sdot=
sum sum
sum sum
= minus=
= minus=
1
11111
)()(
)()(
N
nmn
n
nmNNomneNNo
N
nmn
n
nmomneo
Mrr
Mrr
ϕθϕθ
ϕθϕθ
HE
HE
M (2-70)
tiene solucioacuten uacutenica si
0)()()(
)()(
111
11111
ne= o
oNeNNoe
oNeoe
rfrr
rr
ϕθϕθ
ϕθϕθ
HH
HH
L
MOM
L
(2-71)
Como puede verse en (2-60) considerando soacutelo las componentes tangenciales y en virtud de las
propiedades de las funciones esfeacutericas de Hankel (siempre definidas y distintas de cero para rgt0)
una modificacioacuten de la distancia se traduce en la multiplicacioacuten por una constante compleja en toda
una columna del determinante (2-71) Por tanto si eligiendo adecuadamente la posicioacuten de las
muestras a una determinada distancia existe una solucioacuten uacutenica a (2-70) entonces la habraacute tambieacuten
a cualquier otra distancia siempre que se considere el mismo nuacutemero de puntos y las mismas
posiciones angulares
En suma si nos separamos una distancia arbitraria d respecto al centro de nuevo necesitamos el
mismo nuacutemero de muestras de campo y eacutestas deberaacuten tomarse con ideacutenticas separaciones
40 Capiacutetulo II
angulares Esto nos ofrece una respuesta clara a la pregunta iquestCuaacutel es la separacioacuten miacutenima entre
muestras ortogonales cuando nos encontramos a una determinada distancia Supongamos que
hacemos un recorrido circular (en un plano cualquiera) sobre la esfera de radio a Seguacuten lo anterior
necesitaremos Nl =2πaχ(λ2)=4πaχλ muestras Si nos separamos a una circunferencia de radio
mayor seguiremos necesitando el mismo nuacutemero de muestras Nl =2πd∆ y por tanto
χλad
2indepmin =∆ (2-72)
Que es lo que arriba habiacuteamos afirmado
Dicho de otra manera el ancho de banda espacial de la distribucioacuten del campo sobre un determinado
dominio de observacioacuten seraacute βaχd Resultado que es equivalente al de Bucci [18 21 22] aunque
eacuteste lo refiera a coordenadas normalizadas respecto a la distancia miacutenima y por tanto diga que el
ancho de banda espacial es βaχ
Si solamente usamos estas muestras para obtener el campo sobre el resto del dominio tenemos dos
alternativas 1) interpolar usando funciones armoacutenicas que en caso de tratarse de una esfera habraacuten
de ser precisamente armoacutenicos esfeacutericos o bien 2) hacerlo de forma indirecta considerando una
distribucioacuten regular de muestras y suponiendo en un primer momento que el campo consiste en
una sucesioacuten de deltas de Dirac para despueacutes filtrarlas a la frecuencia βaχd
Observemos que una de las consecuencias de esta separacioacuten miacutenima entre muestras
independientes es que a distancias alejadas el miacutenimo ancho del loacutebulo principal de una antena
dependeraacute de su dimensioacuten maacutexima D = 2a Asumiendo que en el liacutemite no sea necesario exceso
de ancho de banda (χ=1)
Ddad λθλ 2arctan
22nulos entremiacutema Distancia nulos entremiacutema Distancia
minindepmin cong=rArr==∆ (2-73)
Resultado que es bien conocido en la teoriacutea de antenas pero al que comuacutenmente se llega por muy
distinto camino (pej [123 sect49])10
10 Si bien este resultado netamente convalidado por los resultados experimentales y teacutecnicos ha intentado a
menudo rebatirse teoacutericamente desde el marco de las ldquoantenas de supergananciardquo debe tenerse en cuenta que
eacutestas se fundan en extrapolaciones hechas sobre el ciacuterculo transformado de Schelkunoff ndasho transformaciones
equivalentesndash y eacuteste a su vez se basa en la proyeccioacuten asintoacutetica de campo lejano Sin embargo iquestcuaacutendo se
alcanza estrictamente dicho comportamiento demasiado lejos para poder correlar alliacute distancias y aacutengulos
Quizaacute no sin motivo la realidad se niega a dar asiento a estas antenas ideales
Problema electromagneacutetico directo 41
242 Muestreo del dominio de observacioacuten y del campo observado
Supongamos que describimos analiacuteticamente el dominio de observacioacuten D como r(u) si es
curviliacuteneo o r(uv) si es superficial (siendo r la posicioacuten desde el origen que ademaacutes coincide con el
de la esfera que circunscribe las fuentes) Para tener sobre este dominio el miacutenimo nuacutemero de
muestras que permita la descripcioacuten completa del campo radiado el muestreo deberaacute ser ortogonal
de acuerdo a las prescripciones de los teoremas anteriores Este muestreo se traduce en una
discretizacioacuten del dominio de observacioacuten de modo que seguacuten (2-72) para el caso curviliacuteneo
χλξ
ξξξ
ξ ξ ahr
2)(
=partpart
∆=∆rArr∆
partpart
=∆r
rrr (2-74)
y para el caso superficial suponiendo que las coordenadas ξ η son ortogonales
=∆
=∆
rArr∆partpart
+∆partpart
=∆
χληξ
η
χληξ
ξ
ηη
ξξ
η
ξ
ahr
ahr
2)(
2)(
rrr (2-75)
Valores que en general dependeraacuten de la posicioacuten pero que en caso de desearse un muestreo
regular ndashes decir (∆u ∆v) = ctendash sobre todo el dominio de observacioacuten entonces deberaacute elegirse el
valor miacutenimo de los periodos de muestreo (2-74) y (2-75) En suma el dominio podraacute expresarse
matricialmente en el caso curviliacuteneo
=
==
equivrArr
∆+=
∆+=
minusminus )(
)()(
22
11
11
122
1
MMMMM ξ
ξξ
ξξξ
ξξξξ
rr
rr
rr
MMD (2-76)
y en el caso superficial
)( con
21
22221
11211
11
112
1
11
112
1
mnmn
MMMM
M
M
MMMMMM
vξ
ηηη
ηηηη
ξξξ
ξξξξ
ηξξξ
η
η
ηηηξξξ
rr
rrr
rrr
rrr
=
equivrArr
∆+=
∆+=
∆+=
∆+=
minusminusminusminus L
MOMM
L
L
MMD (2-77)
Y en consecuencia el campo eleacutectrico sobre el dominio de observacioacuten podraacute igualmente
expresarse de forma matricial
En el caso curviliacuteneo
=
)(
)( 1
MrE
rE
E M en el superficial
=)()(
)()(
1
111
ηξξ
η
MMM
M
rErE
rErE
E
K
MOM
K (2-78)
42 Capiacutetulo II
En el caso de las fuentes (ya sean corrientes reales o equivalentes magneacuteticas) seguacuten se ha
justificado en el apartado anterior el muestreo oacuteptimo corresponde a una distancia euclidea entre
muestras de λ2 Por tanto los periodos oacuteptimos de muestreo sobre el dominio de las fuentes en
coordenadas curviliacuteneas seraacuten ∆ξrsquo = λ2hξrsquo ∆ηrsquo = λ2hηrsquo y a partir de estos puede llegarse a
expresiones matriciales anaacutelogas a la (2-76) (2-77) ndashantildeadiendo tildes para denotar las fuentes-
Dependiendo de si las fuentes se extienden sobre un dominio lineal o sobre un dominio plano
En el caso curviliacuteneo
prime
prime
=)(
)( 1
Mr
r
f
f
f M en el superficial
primeprime
primeprime
=
primeprimeprime
prime
)()(
)()(
1
111
ηξξ
η
MMM
M
rr
rr
ff
fff
K
MOM
K (2-79)
Funciones de distribucioacuten en los subdominios de muestreo (interpolacioacuten)
Elegida la discretizacioacuten oacuteptima de las corrientes y los campos podriacuteamos preguntarnos por las
funciones base que mejor caracterizan estas entidades en su aproximacioacuten al problema continuo
Supongamos que sobre cada subdominio de muestreo ya sean de corrientes o de campos las
muestras son representativas de alguacuten tipo de distribucioacuten por ejemplo cuadrada prod(uv) triangular
Λ(uv) cosenoidal cap(uv) como muestra la figura 2-10
summinus
minus=N
NnSDn uufuu )()()( EE (2-80)
En cualquiera de estos casos es evidente que se produce una desviacioacuten con respecto a la verdadera
distribucioacuten Si las funciones de interpolacioacuten fueran cuadradas la diferencia con respecto al caso
real es especialmente patente por las discontinuidades entre subdominios Sin embargo si
consideramos la limitacioacuten espectral arriba descrita la eliminacioacuten de las frecuencias superiores
traeriacutea consigo la supresioacuten de tales discontinuidades pero se mantendriacutea una cierta cantidad de
distorsioacuten que se hace patente en el dominio frecuencial como ilustra la figura 2-10b Esta
conclusioacuten puede en realidad extenderse a cualquier funcioacuten de subdominio definida soacutelo en el
espacio del subdominio La uacutenica manera de evitar esta distorsioacuten seriacutea por medio de funciones
cuyo espectro sea plano en el ancho de banda espacial de las corrientes o del campo por ejemplo
mediante pulsos ideales de Nyquist Eacutesta es precisamente la opcioacuten que propone Bucci en sus series
de muestreo [18 21 22]
summinus minus
minus=
N
N nu
nun uu
uuuu
)()(sin
)()(max
max
ββ
EE (2-81)
Problema electromagneacutetico directo 43
Figura 2-10 Interpolacioacuten mediante funciones de subdominio a) domino espacial b) dominio de la
frecuencia espacial El uso de funciones definidas soacutelo en el intervalo del subdominio
producen distorsioacuten
De acuerdo a las conclusiones llegadas en sect241 podemos considerar que con independencia del
ancho de banda de la distribucioacuten de fuentes electromagneacuteticas el fenoacutemeno de radiacioacuten limita el
ancho de banda Es decir en virtud de (2-21) podemos considerar que la funcioacuten de Green sobre
un determinado dominio se comporta como un filtro de ancho de banda β Frecuencias espaciales
superiores en la distribucioacuten de fuentes generan uacutenicamente ondas evanescentes que soacutelo pueden
percibirse en las inmediaciones de las fuentes Por tanto la utilizacioacuten de deltas de Dirac para la
caracterizacioacuten de las fuentes electromagneacuteticas sobre subdominios permite una caracterizacioacuten no
distorsiva de las fuentes En efecto supongamos que la figura 2-10a representa una distribucioacuten
lineal de corrientes y que el trazo continuo de la fig2-10b su espectro espacial Si discretizamos la
distribucioacuten espacial y consideramos deltas de Dirac como funciones de distribucioacuten dentro de los
subdominios entonces su espectro seraacute perioacutedico como ilustra el trazo discontinuo de la fig2-10b
En este caso el espectro para frecuencias inferiores a la mitad de la de muestreo es ideacutentico al del
caso continuo y por tanto en virtud de la limitacioacuten espectral del proceso de radiacioacuten ldquolos campos
radiados debidos a la distribucioacuten continua de corrientes y a la distribucioacuten discreta con deltas de
Dirac son ideacutenticos siempre que la separacioacuten entre eacutestas sea λ2χ o menosrdquo Es decir aunando
este resultado con el teorema de equivalencia se puede asegurar que ldquoel campo radiado desde un conjunto
de fuentes cualquiera circunscrito por una cierta superficie es ideacutentico al que genera una agrupacioacuten finita de dipolos de
Hertz (eleacutectricos y magneacuteticos) debidamente distribuidos sobre dicha superficie y cuyas corrientes satisfagan las
condiciones de contorno (pej 2-24)rdquo Sin embargo esto implica que las muestras del campo sobre la
superficie de corrientes equivalentes deben tomarse lo suficientemente proacuteximas para evitar que el
muestreo de modos evanescentes en la proximidad de las fuentes reales con alto contenido
frecuencial produzcan aliasing
243 Ondas evanescentes
Volvamos al problema de las ondas evanescentes Como deciacuteamos antes eacutestas pueden eliminarse
mediante un filtrado previo al muestreo oacuteptimo descrito en sect241 forzando que FuvE=0 para
(βu2+ βv2)ltβ2 Sin embargo podemos considerar las ondas evanescentes y entonces admitir un
mayor ancho de banda para los campos sobre las coordenadas libres de un determinado dominio de
u βu Um
2πUm
π Um
Distorsioacuten
44 Capiacutetulo II
observacioacuten De hecho seguacuten nos aproximemos a las fuentes eacutestas iraacuten cobrando mayor
importancia cuya consecuencia inmediata es un aumento del ancho de banda del campo observado
y asiacute una reduccioacuten de la distancia entre valores independientes Sobre una superficie en la que se
aplicara el principio de equivalencia esto se traduciriacutea en un aumento de la resolucioacuten de corrientes
necesaria para su biuniacutevoca representacioacuten respecto al campo generado Sin embargo los campos
que esta distribucioacuten engendra tienen un alcance limitado Podriacuteamos en definitiva hablar de una
resolucioacuten maacutexima de corrientes ldquogeneradora biuniacutevocardquo de los campos sobre un determinado
dominio de observacioacuten con un error de relacioacuten11 tan pequentildeo como se quiera
En efecto supongamos una onda evanescente con constante de atenuacioacuten αrsquo sobre un dominio
cuya distancia miacutenima a las fuentes sea Rmin Debido al decaimiento exponencial es inmediato que
de estas ondas respecto al valor que teniacutean junto a las fuentes quedaraacute menos que e-αrsquoRmin Podemos
tomar este valor como representativo del error cometido al limitarnos a considerar las ondas
evanescentes con α le αrsquo es decir del error de truncamiento de los modos evanescentes12 Por
tanto
=prime
εα 1ln1
minR (2-82)
Y para considerar estas ondas deberaacute aumentarse el ancho de banda en un factor χ Usando por
ejemplo coordenadas cartesianas
1 )-(1 )( 22z
222222 minus=rArr=rArr=+ χβαχβββχββ zyx (2-83)
Usando (2-82) y (2-83) podemos referir χ a la cota de error ε
[ ] [ ] 2
min
22
min 21ln
11ln
1
+=
sdot
+=RR
λπ
εβ
εχ (2-84)
Y si particularizamos para Rmin=nλ
11 llamando error de relacioacuten a la diferencia entre el campo efectivo sobre el dominio de observacioacuten y el debido
a la distribucioacuten de corrientes limitada en banda o discretizada
12 Obseacutervese que este valor puede considerarse en realidad como una cota del error de truncamiento de los
modos evanescentes En efecto supoacutengase que asintoacuteticamente existe una distribucioacuten homogeacutenea de tales
modos (de acuerdo a la ecuacioacuten de Helmholtz las soluciones se situacutean ahora en el espacio β1 β2 α3 sobre
un hiperboloide de una hoja) La energiacutea total de los modos evanescentes seraacute proporcional a
min0
2
21
min
RdeE R
eva == intinfin
minus αα y la parte correspondiente de los modos truncados min
22
2
minmin
RedeE
RR
trunc
α
α
α αprimeminusinfin
prime
minus == int
En consecuencia el valor cuadraacutetico medio del error de truncamiento εcong(EtruncEeva)frac12=endashαrsquoRmin
Problema electromagneacutetico directo 45
[ ] 2
21ln
1
sdot+=
nπε
χ (2-85)
Puesto que normalmente el dominio de observacioacuten excluye la zona reactiva la distancia miacutenima a
las fuentes seraacute ahora Rmin=062D3λfrac12 [88] ndashdonde D es la dimensioacuten maacutexima del sistema
radiantendash que nos ofrece otra interesante particularizacioacuten de (2-84) representada en la fig 2-11b
[ ] 32
9631ln
1
+le
Dλε
χ (2-86)
En la figura 2-11a se representa graacuteficamente la ecuacioacuten (2-85) donde puede observarse coacutemo al
distanciarse unas pocas longitudes de onda el ancho de banda sobre el dominio de observacioacuten
tiende raacutepidamente al nuacutemero de onda Si por ejemplo la distancia es mayor de 20λ entonces el
ancho de banda espacial sobre el dominio de observacioacuten soacutelo deberiacutea aumentar un 036 respecto
al nuacutemero de onda para un error inferior a 10-6 En suma podemos reducir arbitrariamente el error
de truncamiento de los modos evanescentes aumentando en un pequentildeo factor la frecuencia de
muestreo (o lo que es lo mismo disminuyendo la distancia entre muestras 2-74 2-75)
Figura 2-11 Exceso del ancho de banda espacial con respecto al nuacutemero de onda en funcioacuten de la distancia
para varios errores de truncamiento
Si bien esto nos proporciona un criterio acerca de la separacioacuten entre muestras ortogonales del
campo observado a una determinada distancia en realidad no estamos considerando el tamantildeo del
sistema radiante y en consecuencia obtenemos un factor de exceso con respecto a la separacioacuten en
λ2 Pero en realidad nuestro teorema segundo y tercero de muestreo (sect241) iban
considerablemente maacutes lejos reduciendo la dimensioacuten de la distribucioacuten de campo a un nuacutemero
finito que supone a su vez una separacioacuten entre muestras ortogonales del campo distante superior
a λ2 Alliacute se deciacutea que la dimensioacuten esencial del problema era N =16π(aχλ)2 y que en
a) Exceso de AB a una distancia nλ b) Maacuteximo exceso de AB para minr notin Zreactiva
46 Capiacutetulo II
consecuencia la separacioacuten entre muestras ortogonales habriacutea de ser λd2aχ Pero quedoacute sin
precisar el valor de ese factor de exceso Una combinacioacuten del criterio obtenido anteriormente para
el exceso respecto a β (2-84) y el comportamiento de las funciones de Hankel nos proveeraacuten una
pauta para determinar el exceso respecto a βad Recueacuterdese que fueron precisamente estas
funciones las que nos otorgaron la evidencia de la distancia miacutenima entre muestras ortogonales
sancionando asiacute el tercer teorema de muestreo
Figura 2-12 Moacutedulo de la dependencia radial de los modos esfeacutericos usando como argumento la distancia
radial expresada en nuacutemero de longitudes de onda
En la figura 2-12 se representa el moacutedulo de la funcioacuten de dependencia de los modos esfeacutericos que
como puede verse en la expresioacuten modal (2-60) depende esencialmente de las funciones esfeacutericas de
Hankel (directamente para los modos TE y dependiente de su derivada para los modos TM) Esta
figura nos permite observar varias caracteriacutesticas relevantes Por una parte para ambos modos se
pueden observar dos comportamientos asintoacuteticos (para valores pequentildeos y grandes del
argumento) que convergen cuando la distancia radial es λ4(13) Ademaacutes a partir de λ la relacioacuten
entre funciones de orden diferente es constante y todos los modos presentan una declive de 10
dBdecada En definitiva esto nos permite considerar que a partir de λ4 todos los modos tienen
un mismo peso relativo Es decir si caracterizamos el campo usando un miacutenimo nuacutemero de
muestras sobre una esfera de radio mayor que λ4 entonces la caracterizacioacuten a cualquier otra
13 Es precisamente a partir de este valor donde las funciones de Bessel de orden mitad a un impar y con
teacuterminos cosenoidales y asiacute con discontinuidad en el origen se regularizan con respecto a las que tienen
teacuterminos senoidales ndashsin discontinuidad-
12
3
4
5
6
7
8
9
12
3
4
5
6
7
8
9
λ4 λ4
Problema electromagneacutetico directo 47
distancia seraacute sobre las mismas posiciones angulares (si a una distancia los ordenes superiores a uno
dado son superfluos lo seraacuten tambieacuten a cualquier otra distancia)
Consideremos que en un caso extremo haya una equidistribucioacuten de modos evanescentes sobre la
superficie de una esfera es evidente que a una cierta distancia parte de esos modos han disminuido
tanto que podriacuteamos depreciarlos Supongamos usando (2-84) que puede considerarse que el
campo sobre los puntos situados a esa distancia (que a su vez forman una esfera) tiene una ancho
de banda espacial βχ (con un error tan pequentildeo como se quiera) Entonces la discretizacioacuten del
campo con dicho ancho de banda puede hacerse con un nuacutemero finito de muestras A cualquier
otra distancia seguacuten hemos probado antes nos bastaraacute ese mismo nuacutemero de muestras para una
descripcioacuten eficaz del campo y el resto seraacuten superfluas Existe una distancia (o una esfera ampliada
representada en la figura 2-13) en la que se requiere un nuacutemero miacutenimo de muestras para una
determinada cota de error que la podemos tomar como dimensioacuten esencial del problema espacial
En suma un criterio juicioso para establecer el exceso de ancho de banda que necesitamos tanto
sobre la superficie de las fuentes como sobre cualquier dominio de observacioacuten que rodee a las
fuentes consistiriacutea en
1) Si la esfera miacutenima que contiene las fuentes es de radio a considerar una esfera ampliada de
radio a+δ
2) Sobre la esfera ampliada determinar el exceso de ancho de banda para el mencionado error
maacuteximo de truncamiento de modos evanescentes usando la expresioacuten (2-84) A ese exceso le
corresponde un nuacutemero de puntos de muestreo (teorema 2)
prime+prime+prime=
+
=2
22
22
min 2ln1)(16min
)()(16min
δπεδπ
λδχδπ
δδaaN (2-87)
Donde arsquo y δrsquo representan los valores a y δ normalizados a la longitud de onda
3) Minimizar el nuacutemero de muestras necesarias tomando δ como variable independiente
Figura 2-13 Geometriacutea del problema de discretizacioacuten del campo generado por radiadores finitos
La relacioacuten N(δrsquo) de la ecuacioacuten (2-87) se trata de un polinomio en δrsquo cuya derivada presenta una
raiacutez real positiva que corresponde con el miacutenimo que nos interesa Dicho miacutenimo representado en
la figura 2-14 para varios tamantildeos del sistema radiante y una cota de error de 10-2 depende
δ a
Propagacioacuten de modos evanescentesEsfera
ampliada
Objetoradiante
48 Capiacutetulo II
exclusivamente de la cota superior de error y del tamantildeo eleacutectrico del radiador Si bien para
radiadores grandes la dimensioacuten obtenida es muy elevada debe tenerse en cuenta que se trata de la
caracterizacioacuten sobre dominios superficiales que engloban completamente las fuentes En muchos
casos en los que se trabaja con grandes radiadores y la distribucioacuten de corrientes es separable en las
dos dimensiones del domino el problema de su caracterizacioacuten sobre dominios superficiales puede
separase en dos dominios unidimensionales En ciertos contextos basta la caracterizacioacuten sobre un
uacutenico dominio unidimensional En todas estas situaciones podraacute hablarse de la dimensioacuten esencial
del problema electromagneacutetico para dominios curviliacuteneos (unidimensionales)
sup min
2
curv min min2ln1)(4min
)()(4min Na
aN sdot=
prime+prime+prime=
+
= πδπεδπ
λδχδπ
δδδ (2-88)
Que como es evidente presenta un miacutenimo para el mismo valor del argumento que en el caso
bidimensional (2-87) aunque guardando una relacioacuten cuadraacutetica entre sus valores En la figura 2-
15a se representa la dimensioacuten del problema superficial respecto al tamantildeo del radiador usando la
cota de error como paraacutemetro Los valores correspondientes del factor de exceso del ancho de
banda χ y del exceso del radio miacutenimo δ se encuentran en la figura 2-15b que es vaacutelida para
dominios curviliacuteneo y superficiales Finalmente en la figura 2-16 se representa la dimensioacuten esencial
del problema curviliacuteneo para un mayor rango de tamantildeos del radiador (la relacioacuten 2-88 permite
relacionar el problema en una y dos dimensiones)
Figura 2-14 Variacioacuten del nuacutemero de muestras necesarias sobre las esferas ampliadas de radio a+δ
Si bien estos resultados parecen especialmente juiciosos para la discretizacioacuten del campo observado
para la discretizacioacuten en el dominio de las fuentes parece razonable plegarse a su estructura Por
ejemplo en el caso de estructuras planas esto supondraacute una reduccioacuten importante del nuacutemero de
a = 18 a = frac14
a = frac12
a = 1
a = 2
a = 8
a = 4
Problema electromagneacutetico directo 49
muestras sobre el dominio de las fuentes En estas circunstancias podraacuten usarse los resultados
obtenidos para los factores de exceso sobre el dominio de las fuentes mientras que los resultados
de la dimensioacuten esencial seguiraacuten sieacutendonos uacutetiles para el dominio del campo
Figura 2-15 Dimensioacuten esencial del problema superficial (a) y factores de sobremuestreo y de exceso del
radio para los problemas tanto superficial como curviliacuteneos (b)
Figura 2-16 Dimensioacuten esencial para dominios curviliacuteneos (Los paraacutemetros χ y δ correspondientes son los
de la figura 2-15b)
ndashndash errormax 10-5
ndashndash errormax 10-4
ndashndash errormax 10-3
ndashndash errormax 10-2
ndashndash errormax 10-1
δλ
a) Dimensioacuten esencial del problema superficial
b) Factor de sobremuestreo χ sobre la esfera ampliada de radio α+δ
ndashndash errormax 10-5
ndashndash errormax 10-4
ndashndash errormax 10-3
ndashndash errormax 10-2
ndashndash errormax 10-1
50 Capiacutetulo II
244 Expresioacuten del problema discretizado
Seguacuten se establecioacute en sect242 podemos discretizar el dominio de las fuentes y el de los campos
utilizando un conjunto finito de valores de tal forma que entre estos exista una relacioacuten biuniacutevoca
En virtud del teorema de muestreo sect241 y teniendo en cuenta la discutida conveniencia (sect242) de
la representacioacuten de las fuentes en teacuterminos de deltas de Dirac la expresioacuten (2-33) puede reducirse
a una suma de un nuacutemero finito de teacuterminos (N fuentes)
sum
sumintintint sum
= prime
prime
primeprime
primeprime
=prime
ge
=
primeprimeprimeprime
sdot
primeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprime
=
=sdotprimeminus=
primeprimeminusprimeprimeminus=
N
n nn
nn
nnnnnn
nnnn
N
nnn
V
N
nnn
GGGG
EE
vd
1
1
Desencial
1
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
ηξηξ
ηξηξηξηξηξηξηξηξ
ηξηξ
δ
η
ξ
ηηξη
ηξξξ
η
ξ
ff
ff rrGrrrrGrE (2-89)
Expresioacuten que se ha concretado para las componentes tangenciales a las superficies D y S (noacutetese
que aquiacute y en (2-43) los sistemas coordenados para el dominio de observacioacuten ξηλ y para el de
las fuentes ξrsquoηrsquoλrsquo pueden ser diferentes y asiacute adaptarse cada uno de ellos a sus respectivas
geometriacuteas) Teniendo ahora en cuenta la discretizacioacuten del dominio de observacioacuten (en M puntos)
la anterior expresioacuten funcional puede reducirse a una expresioacuten numeacuterico-matricial
primeprimeprimeprime
primeprimeprimeprime
=
primeprime
primeprime
primeprime
primeprime
sdot
=
primeprime
primeprime
prime
prime
prime
prime
prime
primeprime
primeprime
)()(
)()(donde
)(
)()(
)(
)(
)()(
)(
11
111111
11
11
11
11
NNMMUUMMUU
NNUUUU
VU
NN
NN
MM
MM
vuvuGvuvuG
vuvuGvuvuGG
GG
GG
E
EE
E
L
MOM
L
M
M
M
M
ηξ
ηξηξ
ηξ
ηξ
ηξηξ
ηξ
η
η
ξ
ξ
ηηξη
ηξξξ
η
η
ξ
ξ
f
ff
f
(2-90)
Donde el operador diaacutedico que resulta de la discretizacioacuten de la funcioacuten diaacutedica de Green (2-28) y
(2-32) puede interpretarse como operador lineal de transformacioacuten del espacio de las fuentes al espacio
del campo
[ ][ ]
[ ][ ]
=
=
=
sdot=
prime
prime
primeprime
primeprime
η
ξ
ηηξη
ηξξξ
η
ξ
ff
fT
fT
donde
GG
GG
EE
E
E
(2-91)
En algunos casos cada componente direccional del campo esta referido a una uacutenica componente de
las fuentes (por ejemplo cuando eacutestas son magneacuteticas y el dominio de observacioacuten es plano) en
cuyo caso la expresioacuten diaacutedica (2-91) se reduce a una expresioacuten matricial
Problema electromagneacutetico directo 51
Utilizando elementos vectoriales para las matrices podemos expresar (2-91) como
ff
ff sdot=equiv
sdot
=sdot=
sum=
TE
E
E
11
1
11
1
1
NNM
N
M
N
nn
M
MM
L
O
L
MM
Ψ
Ψ
Ψ
ΨΨ (2-92)
Expresioacuten que en caso de poderse desligar las componentes direccionales se reduce a una relacioacuten
escalar E = T sdot f Como veremos esta expresioacuten nos permitiraacute la definicioacuten de un espacio vectorial
n-dimensional meacutetrico y normado en el que queden representadas todas las posibles soluciones de
los campos radiados sobre el dominio de observacioacuten
2441 Dominios planos
Supongamos que asiacute el dominio de las fuentes como el de observacioacuten sean planos Hagamos
coincidir por simplicidad operativa ambos dominios con planos de z constante y que las
coordenadas de discretizacioacuten sean para los dos dominios ideacutenticas Entonces la expresioacuten (2-90)
podraacute simplificarse
sdot
minusminusminusminus
minusminusminusminusminusminusminusminus
=)(
)(
)()(
)()()()(
11
11
221212
111111
NNNNNNNN
NN
NN
yx
yx
yyxxyyxx
yyxxyyxxyyxxyyxx
f
f
M
L
LOM
L
L
GG
GG
GG
E (2-93)
Si en lugar de emplear expresiones matriciales utilizamos expresiones secuenciales se observa
claramente que la expresioacuten (2-90) se trata de una convolucioacuten de secuencias discretas cuyo
correlato en el dominio transformado es el producto de las secuencias transformadas [126]
ff
ff
~~][][
)(][)(][][1 11
sdot=lowast=
sdotminusminus=sdotminusminus= sumsumsum= ==
OO
Nx
nmn
Ny
mmininn
N
ppipi
IDFTmnmn
yxyyxxyxyyxxmn
ΨΨ
GGE (2-94)
Donde ahora las transformadas deben entenderse en teacuterminos de transformadas discretas de
Fourier ndashque se definen para el caso bidimensional como en (2-39)ndash y Ψo la funcioacuten de Green en el
origen del plano de observacioacuten (o lo que es lo mismo el campo eleacutectrico generado por un dipolo
de Herz en el origen)
Cuando finalmente el dominio de observacioacuten sea lejano entonces es evidente a partir de (2-50)
sdot=
sdot=
][~][~][~][~
][][
][
mnMmnMmnJmnJ
mnEmnE
DFTmn
y
x
y
x
CLCL TTEθ
θf (2-95)
52 Capiacutetulo II
Donde TCL es un operador diaacutedico (definido en 2-50) entre magnitudes vectoriales y no entre
entidades matriciales como lo es T
Cuando el tamantildeo del radiador es elevado si eacuteste es plano y el dominio de observacioacuten es
igualmente plano o bien se encuentra en la zona de Faunhoffer entonces las expresiones (2-94) y
(2-95) pueden reducir considerablemente el coste operativo de (2-92) No sin razoacuten esta teacutecnica
numeacuterica a la que se volveraacute maacutes adelante especialmente aprovechando las ventajas de las
transformadas raacutepidas ha sido puesta innumerablemente en praacutectica desde los antildeos 70 [142 168]
245 El espacio de campos radiados sobre el dominio de observacioacuten E
Si la discretizacioacuten expresada en (2-90) ha sido efectiva podemos aquiacute interpretar los vectores Ψn
ndashque a su vez constituyen el operador lineal Tndash como una base de un espacio vectorial E ndashde
campos radiados sobre el dominio de observacioacuten Dndash definido sobre un cuerpo de escalares
complejos y cuya dimensioacuten seraacute la dimensioacuten esencial N (sect241) A partir de esta base podriacutea definirse
un conjunto ortogonal sobre el que cada distribucioacuten de campo quedara oacuteptimamente
representado
En virtud de las conclusiones alcanzadas en sect241 y sect242 y la presente formulacioacuten podemos
establecer el siguiente corolario
Corolario Si las funciones de campo Ψn corresponden a los campos eleacutectricos sobre D engendrados
por una distribucioacuten de dipolos de Hertz de corriente unitaria sobre una superficie S
adecuadamente distanciados entonces el espacio generado por la base Ψ es el de todos los
posibles campos electromagneacuteticos radiados sobre D por cualquier distribucioacuten de corrientes
superficial o interior a S
Si la distancia entre los mencionados dipolos de Hertz unitarios es menor que λ2 ndashen un factor χminus
y se separan una distancia adecuada de las fuentes reales entonces el espacio generado por la base
Ψ aproxima todos los posibles campos radiados a partir de esa distancia cometiendo un error de
truncamiento tan pequentildeo como se desee Tanto la distancia a las fuentes como el error dependen
del exceso de ancho de banda χ considerado en sect243
Nos seraacute de especial utilidad hacer que el espacio vectorial E sea meacutetrico y normado Para ello nos
basta concretar sobre dicho espacio un producto interno que se defina por medio de una forma
sesquilineal hermiacutetica sobre C cuya forma hermiacutetica asociada sea positiva14
14 Es decir el espacio E seraacute ahora en virtud de este producto interno prehilbertiano complejo y puede
considerarse hilbertiano de dimensioacuten finita gracias a su separabilidad y completitud [106 29] Aunque el
Problema electromagneacutetico directo 53
C 1
212121 isin=sdot= sum=
lowastlowastM
mmm
T EEEEEE (2-96)
Donde el superiacutendice T representa la matriz transpuesta y el complejo conjugado Este producto
interno (definido a su vez en teacuterminos del producto escalar entre vectores E que en algunos casos
podraacute reducirse a un producto entre entidades escalares) permite a su vez definir una norma y una
distancia
( )
( ) 2121
21
111
21
21
- d
EEEE
EEEEEEE
=
realisin
=sdot== sum
=
lowastlowastM
mmm
T
(2-97)
(2-98)
La norma cuadraacutetica es de hecho proporcional a la potencia electromagneacutetica que atraviesa la
superficie D y por tanto con independencia de su geometriacutea y extensioacuten seraacute finita siempre que lo
sean las fuentes es decir los coeficientes de excitacioacuten de los dipolos de Hertz que en el espacio E
juegan el papel de las coordenadas sobre la base Ψ
Obseacutervese que al aumentar el nuacutemero de muestras M sobre el dominio de observacioacuten no se
modifica la dimensioacuten del espacio E pero aumenta la distancia entre los vectores independientes
Ψn y su norma Caracteriacutestica que como se veraacute maacutes adelante seraacute de suma importancia para el
problema electromagneacutetico inverso
25 EJEMPLOS
Para ilustrar alguna de las conclusiones a las que se ha llegado consideremos un par de ejemplos
teoacutericos En primer lugar supondremos una distribucioacuten arbitraria de corrientes interior a una
esfera de reducido diaacutemetro eleacutectrico que podamos discretizarla por medio de los veacutertices de un
poliedro regular para que las distancias entre los dipolos de Hertz sean constantes En este caso el
reducido tamantildeo del objeto radiante no nos permite usar la teoriacutea de imaacutegenes y por tanto es
menester contar con corrientes eleacutectricas y magneacuteticas sobre la superficie que rodea las fuentes En
segundo lugar consideraremos una antena real cuya geometriacutea y corrientes nos son conocidas y
cuyo tamantildeo siacute nos permite el recurso a la teoriacutea de imaacutegenes y en consecuencia limitarnos al uso
de corrientes magneacuteticas
producto interno aquiacute definido convierte el espacio E en eucliacutedeo maacutes adelante ndashen sect32ndash se veraacute una
definicioacuten maacutes general seguacuten la cual el espacio E ya no puede considerarse eucliacutedeo aunque si hilbertiano
54 Capiacutetulo II
251 Corrientes sobre los veacutertices de un icosaedro
Con objeto de maximizar la dimensioacuten del problema haremos que el cuerpo platoacutenico en cuestioacuten
sea un icosaedro como ilustra la figura 2-10 Seguacuten las conclusiones a que se ha llegado los campos
engendrados por las corrientes tangenciales sobre los veacutertices del icosaedro deberiacutean representar
cualquier distribucioacuten de corrientes interior a la esfera que eacuteste discretiza Para probarlo elegiremos
una distribucioacuten de corrientes eleacutectricas arbitraria e interior a la esfera para la que se probaraacuten
distintas excitaciones Desde el punto de vista de la frecuencia espacial el peor caso consistiraacute en
hacer que las corrientes interiores presenten variaciones espaciales lo maacutes abruptas posibles es
decir que queden descritas por medio de deltas de Dirac siguiendo una distribucioacuten irregular
Seguacuten estas condiciones los modos evanescentes sobre la superficie de la esfera seraacuten importantes y
para satisfacer las condiciones del teorema de equivalencia el tamantildeo entre los veacutertices del icosaedro
deberaacute ser menor que λ2 Noacutetese que en un caso real las distribuciones de corrientes no pueden
variar tan raacutepidamente y por tanto este ejemplo teoacuterico estaacute peor condicionado para la
discretizacioacuten que cualquier caso real
Figura 2-17 Geometriacutea del problema de corrientes interiores a una esfera discretizada por un icosaedro
Si la distribucioacuten de campos generada por cada componente superficial de corriente en cada veacutertice
del icosaedro no puede determinarse mediante combinacioacuten lineal de las restantes es entonces
evidente que la dimensioacuten del espacio E generado por las fuentes superficiales sobre los veacutertices del
icosaedro seraacute 4 x 12 = 48 Cuando la distancia entre los veacutertices sea eleacutectricamente demasiado
pequentildea los campos que generan las corrientes en los veacutertices dejaraacuten de ser independientes y
entonces la dimensioacuten del espacio E seraacute menor que 48
De acuerdo al teorema de muestreo expuesto la distancia entre los dipolos de Hertz debe ser
λ(2χ) donde χ corresponde con el exceso de ancho de banda necesario para dar cuenta de los
modos evanescentes El teorema de equivalencia nos asegura que si una distribucioacuten superficial de
Jϕ Mϕ
Jθ Mθ
z
x y
a
Problema electromagneacutetico directo 55
corrientes verifica por ejemplo las relaciones del equivalente de Love (2-24) entonces el campo
electromagneacutetico generado por tal distribucioacuten seraacute ideacutentico en todo el hemiespacio exterior Y si
esta distribucioacuten (de campos o corrientes sobre la superficie que engloba las fuentes) estaacute limitada
espacialmente en banda entonces es muestreable
Supondremos que la distancia entre los veacutertices del icosaedro es constante e igual a 5 cm La esfera
que lo circunscribe seraacute de un poco menos de 10 cm de diaacutemetro (95106 cm) Y escalaremos su
tamantildeo eleacutectrico mediante la variacioacuten de el nuacutemero de onda β (o lo que es lo mismo mediante la
variacioacuten de λ) Es obvio que si muestreamos a λ2 perderemos todas las componentes
evanescentes sobre la superficie esfeacuterica y en consecuencia habraacute una cierta discrepancia entre los
campos generados por las corrientes Ji y los representados en el espacio E generado a su vez por las
corrientes sobre los veacutertices del icosaedro Consideraremos dos distribuciones interiores a una
esfera que circunscribe el icosaedro a) una constituida por una decena de dipolos de Hertz de
posicioacuten rirsquo con corrientes reales Ji b) otra correspondiente a una distribucioacuten continua de
corrientes sobre una esfera de 3 cm de diaacutemetro
a) Para la distribucioacuten discontinua de corrientes cuyos resultados se muestran a continuacioacuten la posicioacuten
de cada dipolo de Herz y su intensidad de corriente vienen dados por
r rsquo= (0 0 0) (04 0 0) (-03 0 02) (0 03 0) (0 -04 0)
(0 0 03) (0 0 -03) (02 02 02) (-02 -02-02) (02 -01 02)
J = (1 1 0) (1 0 1) (0 2 1) (0 -1 -2) (1 0 1)
(2 0 -1) (0 0 2) (0 3 1) (1 -2 2) (-1 1 -1)
b) La distribucioacuten continua de corrientes se ha simulado por medio de la discretizacioacuten en 80 puntos de la
esfera de 3 cm de diametro siendo la funcioacuten de distribucioacuten de corriente
J=[sin(2πsdot5x0015) sin(2πsdoty0015) sin(2πsdot25sdotz0015)] (x y z) isin Esfera(empty=003)
2511 Formulacioacuten del problema
En ambos casos a partir de la distribucioacuten interior de corrientes se determinan los campos
tangenciales sobre un dominio esfeacuterico de observacioacuten (ver figura 2-18) usando la formulacioacuten
directa descrita en sect231 sect233 y sect244 Seguacuten las expresiones (2-28) (2-42) y (2-90)
56 Capiacutetulo II
sdot
minus
minus
minus
minus
=
sdot=
sdot
=
primeprimeprime
primeprimeprime
primeprimeprime
primeprimeprime
primeprimeprime
zJzyJzxJz
zJyyJyxJy
zJxyJxxJx
MM
MMMMMJ
zyxJ
zN
z
yN
y
xN
x
zJyJxJ
zJyJxJ
M
M
GGG
GGG
GGG
J
JJ
JJ
J
GGG
GGG
E
EE
E
0cos
cos
sin
sinsin
sin
sincos
sincos
coscos
coscos
donde
11
11111
interior
interior
1
1
1
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕθ
θ
ϕθ
ϕθ
ϕθ
ϕθ
ϕϕϕ
θθθ
ϕ
ϕ
θ
θ
MM
MMM
M
M
M
M
M
T
T J
(2-99)
donde GJ estaacute definido en (2-28)
Por otra parte el espacio E generado por las fuentes superficiales sobre los veacutertices del icosaedro
se determina por medio de otro operador lineal Ticosaedro que se define a partir de las expresiones (2-
28) (2-32) (2-37) (2-42) y (2-90)
[ ][ ][ ][ ]
prime
prime
prime
prime
primeprime
primeprime
primeminus
primeminus
primeprime
primeprime
sdot
sdot
minus
minus
minus
minus
=
sdot=
sdot
=
primeprimeprime
primeprimeprime
primeprimeprime
primeprime
primeprime
prime
prime
prime
prime
primeprimeprimeprime
primeprimeprimeprime
0
0
sin
sincos
cos
sincos
sincossin
sin
coscos
coscos
cos
cos
sin
sinsin
sin
sincos
sincos
coscos
coscos
1
111
111
11
11111
tetraedro1
1
T
N
T
N
T
NN
T
N
T
NN
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
MM
MMMMM
MMJJ
MMJJ
M
M
GGG
GGG
GGG
GG
GG
MMJJ
GGGG
GGGG
E
EE
E
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕθ
ϕθϕ
ϕ
ϕθ
ϕθ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕθ
θ
ϕθ
ϕθ
ϕθ
ϕθ
ϕϕθϕ
ϕθθθ
ϕθ
θ
θ
κ
θ
ϕϕθϕϕϕθϕ
ϕθθθϕθθθ
ϕ
ϕ
θ
θ
M
MM
MM
MM
MMM
M
M
fT
En definitiva
sdotsdotexistrArr
sdot
sdot
=
tetrint
tetraedro
interior
min ϕθϕθ
ϕθϕ
θfTTf
fT
T
f zyxJ
zyxJ
dEE
J
J
Asiacute una vez determinado el campo de las corrientes interiores sobre el dominio de observacioacuten
esfeacuterico eacuteste se proyecta sobre el espacio E generado por las fuentes sobre el icosaedro que puede
interpretarse como la determinacioacuten de las coordenadas J M es decir el valor de corrientes que
mejor aproxima en E la distribucioacuten de campo debida a las corrientes interiores A partir de esas
(2-100)
(2-101)
Problema electromagneacutetico directo 57
fuentes sobre el icosaedro se determina el campo sobre un dominio circular a mayor distancia sobre
el plano θ =π2
Figura 2-18 Dominios de observacioacuten de los campos generados por las corrientes interiores al icosaedro
2512 Distribucioacuten discontinua de corrientes interiores
Como deciacuteamos la separacioacuten en λ2 entre los veacutertices del icosaedro no puede dar cuenta de los
modos evanescentes sobre la superficie que discretiza y por tanto en este caso se acusaraacute una
cierta distancia entre la distribucioacuten de campo debido a las corrientes interiores y su proyeccioacuten
sobre E Seguacuten el teorema de muestreo es menester tomar muestras cada λ(2χ) donde χ es el
factor de exceso de ancho de banda de la distribucioacuten de corrientes superficiales respecto al nuacutemero
de onda Como es de esperar ndashseguacuten puede verse en la tabla 21ndash el error decrece siguiendo una ley
exponencial (sect243) pero llega un momento en el cual los vectores que definen el espacio E dejan
de ser independientes A partir de este punto podemos considerar que el espacio E es completo
respecto a las distribuciones de campo debidas a las corrientes interiores Esto ocurre cuando χgt6
χ 1 15 2 3 4 5 6 7 ε () 8 27 12 04 02 016 01 008
Tabla 2-1 Evolucioacuten del error de proyeccioacuten respecto al exceso de ancho de banda de la distribucioacuten de
corrientes superficiales
Las figuras 2-20 a 2-24 muestran los resultados de la proyeccioacuten para los 4 primeros casos de la
tabla Aunque estos resultados corresponden a la proyeccioacuten de la distribucioacuten de corrientes arriba
descrita la modificacioacuten de las corrientes o en general el uso de otras relaciones de distribuciones
interiores deparan resultados similares especialmente respecto al error de proyeccioacuten y con
independencia del nuacutemero de fuentes interiores La figura 2-19 representa graacuteficamente la evolucioacuten
z
x y
a
Dominio de observacioacuten esfeacuterico
Dominio circular de
observacioacuten
ϕ
Eϕ
Eθ
58 Capiacutetulo II
del error de proyeccioacuten respecto al exceso de ancho de banda en la distribucioacuten superficial de
corrientes
Figura 2-19 Evolucioacuten del error de proyeccioacuten () respecto al exceso de ancho de banda χ
Figura 2-20 Distancia entre veacutertices del icosaedro λ2 (λ=01 m χ=1) Distribucioacuten discontinua de
corrientes En azul campos generados por las corrientes interiores en rojo proyeccioacuten sobre
E Error de aproximacioacuten sobre todo el dominio de observacioacuten esfeacuterico (de radio 10 λ) 8
Problema electromagneacutetico directo 59
Figura 2-21 Distancia entre veacutertices del icosaedro λ3 (λ=015 m χ=15) Distribucioacuten discontinua de
corrientes En azul campos generados por las corrientes interiores en rojo proyeccioacuten sobre
E Error de aproximacioacuten sobre todo el dominio de observacioacuten (de radio 10 λ) 27
Figura 2-22 Distancia entre veacutertices del icosaedro λ4 (λ=02 m χ=2) Distribucioacuten discontinua de
corrientes En azul campos generados por las corrientes interiores en rojo proyeccioacuten sobre
E Error de aproximacioacuten sobre todo el dominio de observacioacuten (de radio 10 λ) 12
60 Capiacutetulo II
Figura 2-23 Distancia entre veacutertices del icosaedro λ6 (λ=03 m χ=3) Distribucioacuten discontinua de
corrientes En azul campos generados por las corrientes interiores en rojo proyeccioacuten sobre
E Error de aproximacioacuten sobre todo el dominio de observacioacuten (de radio 10 λ) 04
Figura 2-24 Distancia entre veacutertices del icosaedro λ8 (λ=04 m χ=4) Distribucioacuten discontinua de
corrientes En azul campos generados por las corrientes interiores en rojo proyeccioacuten sobre
E Error de aproximacioacuten sobre todo el dominio de observacioacuten (de radio 10 λ) 02
Problema electromagneacutetico directo 61
Para el caso en el que la distancia entre los veacutertices del icosaedro es λ6 (χ=3) las fuentes
equivalentes a la proyeccioacuten del campo observado sobre el espacio E son
|Jθi| faseJθi |Jϕi| faseJϕi |Mθi| faseMθi |Mϕi| faseMϕi 02854 1514084 02622 354673 5122 -41051 2843 1581056 02387 551468 04136 124194 1656 -121080 1837 1420822 01785 1292902 02812 -1661806 1833 278639 2018 1563744 05568 189388 03783 -193341 8534 1736861 1844 1731480 02174 1711978 01955 -1437597 2055 -102752 0296 1078093 01545 -1567106 01267 1156684 3337 -207290 4553 1671279 05129 06790 01652 -33185 2819 78062 0877 03273 14516 51981 02569 -248274 3562 1644472 2763 10300 04628 445945 04869 29460 3588 1708250 5803 64004 00802 1789812 01886 793212 5793 -69263 7213 93034 04806 -61400 03054 186601 1516 -1421747 9402 33982 03095 -1179710 03087 -1710026 0460 -801502 2929 -147413
Tabla 22
Para comparar la contribucioacuten que supone cada conjunto de corrientes puede determinarse la
energiacutea de cada distribucioacuten escalando las corrientes eleacutectricas o las magneacuteticas mediante la
impedancia intriacutenseca del vaciacuteo Asiacute se observa que la energiacutea asociada a cada una de las
distribuciones es
EJθ = 702 EJϕ = 390 EMθ = 1379 EMϕ = 2244
Como puede apreciarse el peso de las corrientes magneacuteticas es mayor que el de las eleacutectricas De
hecho cuando el tamantildeo de la fuente es eleacutectricamente mayor la teoriacutea de imaacutegenes es aplicable y
entonces es suficiente ndashcomo se veraacute en el ejemplo siguientendash el recurso exclusivo a las corrientes
magneacuteticas para la generacioacuten del espacio E
2513 Distribucioacuten continua (esfeacuterica) de corrientes interiores
Finalmente en la figura 2-25 se recogen los resultados de la distribucioacuten continua de corrientes
sobre la esfera de 3 cm diaacutemetro y cuya funcioacuten de distribucioacuten de corrientes se describioacute
anteriormente De nuevo se observan unos resultados acordes con la dependencia del error de
proyeccioacuten respecto al exceso de ancho de banda de la tabla 2-1 (figura 2-24)
62 Capiacutetulo II
Figura 2-25 Distribucioacuten continua de corrientes sobre una esfera de 3 cm de diaacutemetro Distancia entre
veacutertices del icosaedro λ4 (χ=2) Error de proyeccioacuten sobre el dominio de observacioacuten
esfeacuterico (de radio 15 λ) 1
252 Campo radiado por una antena de agrupacioacuten de dipolos
Para este ejemplo vamos a considerar un tipo concreto de antena utilizada en los sistemas de Radar
Secundario (Secondary Surveillance Radar SSR) [27 28] cuya geometriacutea y dimensiones estaacuten
representadas en la figura 2-26 Desde esta antena se emiten pulsos a 1030 MHz con una duracioacuten
de aproximadamente un microsegundo y que por tanto su ancho de banda es lo suficientemente
pequentildeo como para considerar que la radiacioacuten es monocromaacutetica La antena consiste baacutesicamente
en una agrupacioacuten de 10x33 dipolos verticales que se ordenan en 33 columnas cuyas caracteriacutesticas
geomeacutetricas y eleacutectricas son ideacutenticas La alimentacioacuten de la antena se realiza mediante una red que
distribuye a cada columna una determinada intensidad de corriente seguida de otra red de
distribucioacuten perteneciente a cada columna e ideacutentica a la de las otras columnas que hace llegar la
intensidad deseada a cada dipolo Por tanto la distribucioacuten de corrientes es separable es decir la
corriente de un dipolo cualquiera [ i j ] puede determinarse como el producto de dos distribuciones
discretas
][][][ jfifjiI columnafila sdot= (2-102)
Con lo cual todas las filas o todas las columnas entre si tienen una misma relacioacuten de excitaciones
como puede observarse en la figura 2-26b Esto tiene como consecuencia que la observacioacuten del
campo sobre un dominio horizontal experimente variaciones debidas casi exclusivamente al
Problema electromagneacutetico directo 63
diagrama horizontal de excitaciones y en los dominios verticales a la distribucioacuten vertical de
corrientes
Figura 2-26 Geometriacutea y diagrama de excitacioacuten con fase constante de los dipolos de la antena SSR
2521 Formulacioacuten del problema
Puesto que se conoce la distribucioacuten de corrientes en el sistema radiante puede recurrirse a la
formulacioacuten directa basada en corrientes reales sect231 y a partir de eacutesta determinar los campos sobre
los dominios de intereacutes Seguacuten se justificoacute en sect242 una buena aproximacioacuten del problema real
consiste en considerar que los dipolos son puntuales lo cual nos permite reducir la formulacioacuten
integral a la formulacioacuten discreta (2-90)
1
yJ
yN
y
yJ
yJ
JJ
J
G
G
EE
sdot=
sdot
=
prime
prime
TM
η
ξ
η
ξ (2-103)
proporcionando unos resultados ideacutenticos para cualquier dominio de observacioacuten que no se
encuentre en la extricta vecindad de la antena (es decir donde prevalezca una considerable
proporcioacuten de modos evanescentes) De acuerdo con sect245 una determinada distribucioacuten de
corrientes tangenciales a una superficie plana que recubra frontalmente la antena generaraacute el mismo
campo que la conocida distribucioacuten interior Para comprobar esta identidad de distribuciones
espaciales podemos limitar nuestra observacioacuten en virtud de la separabilidad de las excitaciones
horizontal y vertical a dos dominios lineales de observacioacuten uno horizontal y otro vertical ndash
representados en la figura 2-27ndash Si en ambos dominios las distribuciones de campo son ideacutenticas
podemos concluir que lo seraacuten en cualquier dominio superficial (especialmente exterior al de los
dominios lineales de observacioacuten pero que en realidad puede extenderse interiormente hasta una
cierta distancia de la antena)
155 m8 m
a) Geometriacutea de la antena b) Diagrama de excitacioacuten de los dipolos
64 Capiacutetulo II
Figura 2-27 Dominios de observacioacuten del campo radiado por la antena de Radar Secundario
Podriacuteamos tratar de aplicar el teorema de equivalencia muestreando el campo generado por la
antena sobre la superficie plana que la recubre para despueacutes comparar sobre los dos dominios de
observacioacuten el campo engendrado por las corrientes originales y por la distribucioacuten de corrientes
equivalentes magneacuteticas que resulte de aplicar las condiciones de contorno (2-25) a las muestras
tangenciales del campo Puesto que en este caso la superfie de corrientes equivalentes es plana se
puede recurrir al equivalente conductor (2-25) que nos permite reducir las fuentes equivalentes a
solamente las magneacuteticas y mediante aplicacioacuten de la teoriacutea de imaacutegenes convertir el problema
inhomogeacuteneo con un hemiespacio conductor en su equivalente homogeacuteneo vaacutelido para todo el
hemiespacio vaciacuteo como ilustra la figura 2-28
Figura 2-28 Aplicacioacuten del principio de equivalencia y de la teoriacutea de imaacutegenes para la reduccioacuten del
problema equivalente
Para determinar el campo sobre el dominio horizontal a partir de las corrientes eleacutectricas interiores
podemos recurrir a las expresiones (2-28) (2-42) y (2-90) ndashobseacutervese que aunque el dominio
horizontal puede considerarse como un corte de un dominio ciliacutendrico en este caso la relacioacuten
entre las coordenadas cartesianas y las ciliacutendricas como se observa en la fig2-27 no es la usual pero
Ex
y
z
x
Dominio
vertical de
observacioacuten
Dominio
horizontal de
observacioacuten
ϕ Ey
Eϕ
Ey
My
Mx
MT=n x ET
JT=0
a) Problema real
ET
HT MT=n x ET
JT=n x HT
b) Teorema de equivalencia c) Equivalente conductor
MT=2(n x ET)
c) Teoriacutea de imagenes
Problema electromagneacutetico directo 65
cuya relacioacuten se obtiene inmediatamente a partir de (2-41) mediante un simple intercambio de las
variables cartesianas
sdot
minus
minus
=sdot=
sdot
=
prime
prime
prime
prime
prime
yJy
yJx
yJz
MMJyJ
yN
y
yJy
yJ
yM
y
M
G
G
G
I
JJ
J
G
G
E
EE
E
00
0cos
cos
sin
sin
donde
11
1
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
MMM
M
M
TT
(2-104)
Donde GJ estaacute definido en (2-28) A partir de las corrientes equivalentes magneacuteticas el campo que
eacutestas generan sobre el mismo dominio podraacute determinarse mediante
sdot
minus
minus
=sdot=
sdot
=
prime
prime
primeprime
prime
prime
0
0
00
0cos
cos
sin
sin
donde
11
1
1
1
1
xMy
yMx
yMzxMz
MMMyM
yN
y
xN
x
yMy
yM
yM
y
M
G
G
GG
I
J
M
M
M
M
G
G
E
EE
E
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
MM
M
M
M
M
TT
(2-105)
Donde GM estaacute definido en (2-32)
2522 Muestreo del campo muy proacuteximo a la antena
Los campos eleacutectricos tangenciales generados por la distribucioacuten de dipolos de Herz en la misma
posicioacuten que los dipolos reales sobre un plano muy proacuteximo a la antena (a 1cm cong λ30) se ilustran
en las figuras 2-29 a 2-31 Debido al alto contenido de modos evanescentes la frecuencia espacial
de estos campos es considerablemente elevada y asiacute un muestreo a cualquier frecuencia practicable
estaraacute afectado por el solapamiento de las frecuencias superiores a la mitad de la de muestreo
(aliasing) Esto tiene como consecuencia que parte de la energiacutea de la distribucioacuten quedaraacute perdida y
otra falseada por la contaminacioacuten de las altas frecuencias En estas figuras puede observarse este
fenoacutemeno a medida que aumenta la frecuencia de muestreo horizontal y vertical (χh representa el
aumento de frecuencia de muestreo horizontal respecto a λ2 y χv el aumento correspondiente a la
frecuencia de muestreo vertical) Seguacuten se aumenta la frecuencia de muestreo se observa que van
apareciendo especialmente en el campo horizontal nuevas componentes antes invisibles de tal
forma que inclusive la distribucioacuten espacial y cantidad de energiacutea van variando apreciablemente No
obstante seguacuten se observoacute en sect243 los modos evanescentes decaen raacutepidamente y en
consecuencia puede preverse una disminucioacuten importante del contenido frecuencial si nos
distanciamos por ejemplo λ2 La figura 2-32 presenta los resultados de muestrear el campo
tangencial aproximadamente a esa distancia y como puede observarse en relacioacuten a 2-31 el
contenido frecuencial ha disminuido considerablemente
66 Capiacutetulo II
Figura 2-29 Campos eleacutectricos tangenciales sobre la superficie que recubre frontalmente la antena SSR
obtenidos mediante muestreo con χh=1rsquo195 χv=1rsquo916 (95 x 29 puntos)
Figura 2-30 Campos eleacutectricos tangenciales sobre la superficie que recubre frontalmente la antena SSR
obtenidos mediante muestreo con χh=2rsquo39 χv=3rsquo83 (189 x 57 puntos)
Problema electromagneacutetico directo 67
Figura 2-31 Campos eleacutectricos tangenciales sobre la superficie que recubre frontalmente la antena SSR
obtenidos mediante muestreo con χh=4rsquo78 χv=7rsquo66 (377 x 113 puntos)
Figura 2-32 Campos eleacutectricos tangenciales sobre la superficie que recubre frontalmente la antena SSR y
distanciada λ2 obtenidos mediante muestreo con χh=4rsquo78 χv=7rsquo66 (377 x 113 puntos) Puede
apreciarse respecto a los campos a 1cm (de la figura 2-31) una disminucioacuten de las altas
frecuencias espaciales
Si a partir de estas distribuciones de campo aplicamos las condiciones de contorno para determinar
una distribucioacuten discreta de corrientes equivalentes y con eacutestas determinamos las distribuciones de
campo que generan en los dominios de observacioacuten antes citados se obtienen los resultados de las
figuras 2-33 y 2-34 En estas figuras se comparan las distribuciones de campo que proceden tanto
de las corrientes interiores (azul) como de las equivalentes (rojo) En cuanto al campo vertical soacutelo
68 Capiacutetulo II
debido a las corrientes magneacuteticas horizontales (y asiacute al campo eleacutectrico vertical sobre el plano de
corrientes equivalentes) puede apreciarse un considerable parecido que solamente se desviacutea de la
distribucioacuten original cuando la antena empieza a verse de canto Sin embargo el campo horizontal
debido en buena medida a las corrientes magneacuteticas verticales sufre una notable diferencia que se
mantiene incluso cuando se aumenta la frecuencia espacial Debe tenerse en cuenta que las
frecuencias de muestreo se han elegido de tal manera que las muestras coincidan frontalmente con
los dipolos reales (las frecuencias de muestreo superiores son el doble y el cuaacutedruple de la
frecuencia primera) por esta razoacuten incluso a la frecuencia de muestreo maacutes baja se obtiene una
buena aproximacioacuten de la componente horizontal de las corrientes magneacuteticas que es en definitiva
la que tiene un mayor efecto en los campos radiados cosa que no ocurre con la componente
vertical Asiacute la diferencia entre las figuras 2-33 y 2-34 no es muy notable en lo que respecta a su
parecido con la verdadera distribucioacuten de campo ya que en ambos casos el efecto del aliasing es
muy importante y falsea la verdadera distribucioacuten de corrientes tangenciales (para las corrientes
magneacuteticas correspondientes al muestreo de las figuras 2-31 y 2-32 se obtienen resultados que aun
siendo diferentes al igual que los de las figuras 2-33 y 2-34 no consiguen aproximar adecuadamente
el campo horizontal) En suma si no fuera por la evidencia analiacutetica del teorema de equivalencia y
porque ademaacutes puede verificarse con numerosos ejemplos podriacuteamos ponerlo en duda a tenor de
estos resultados que no obstante se explican ndashcomo se ha hechondash desde el punto de vista de las
frecuencias espaciales y de sus consecuencias en el muestreo
Figura 2-33 Comparacioacuten del campo observado horizontalmente a 30 m engendrado por la antena SSR
(azul) y por las corrientes equivalentes (rojo) obtenidas mediante muestreo con χh=1rsquo195
χv=1rsquo916
Problema electromagneacutetico directo 69
Figura 2-34 Comparacioacuten del campo observado horizontalmente a 30 m engendrado por la antena SSR
(azul) y por las corrientes equivalentes (rojo) obtenidas mediante muestreo con χh=2rsquo39
χv=3rsquo832
2523 Proyeccioacuten sobre el espacio E
Las diferencias antes observadas que de hecho ya se habiacutean anunciado desde un punto de vista
teoacuterico en sect242 no debiera invalidar la conclusioacuten alcanzada en sect245 seguacuten la cual una
agrupacioacuten de dipolos de Herz homogeacuteneamente distribuidos a distancias λ2χ sobre una
superficie que recubra las fuentes puede engendrar todas las posibles distribuciones de campo
debidas a cualquier agrupacioacuten interior de corrientes Si esto es cierto entonces debiera poderse
encontrar proyecciones adecuadas de las distribuciones de campo generadas por la antena SSR
sobre el espacio E engendrado por los mencionados dipolos hercianos que en nuestro caso ndashver
figura 2-28ndash se reduce a dipolos de corrientes magneacuteticas con componentes horizontal y vertical
Seguacuten el teorema de muestreo si distribuimos los dipolos equivalentes a distancias superiores a λ2
el campo que estos generan no puede dar cuenta de todas las distribuciones debidas a las corrientes
interiores Este es el caso de hacer coincidir los dipolos equivalentes justo en frente de los dipolos
reales (que corresponde a un submuestreo horizontal de 0rsquo6 y aproximadamente un muestreo
vertical a λ2 χv =0rsquo958) A tenor de la separabilidad de las excitaciones horizontal y vertical se
pueden buscar de forma separada las distribuciones horizontal y vertical de corrientes por medio de
la proyeccioacuten del campo radiado sobre el dominio de observacioacuten horizontal y vertical
respectivamente Para el caso en el que la separacioacuten horizontal sea igual que la de los dipolos de la
antena el teorema de muestreo nos augura una considerable diferencia entre la distribucioacuten
horizontal de campo original y la proyectada sobre el espacio E correspondiente Mientras que si
puede esperarse una buena aproximacioacuten en la distribucioacuten vertical del campo Las figuras 2-35 y 2-
36 corroboran estas dos previsiones No obstante la distribucioacuten de corrientes magneacuteticas sobre la
70 Capiacutetulo II
retiacutecula rectangular correspondiente a la proyeccioacuten de las distribuciones de campo horizontal y
vertical sobre el espacio E ndashrepresentada en la figura 2-37ndash presenta un considerable parecido con
la verdadera distribucioacuten de corrientes de la figura 2-26b Puede observarse donde termina la antena
y en caso de que nuestro intereacutes residiera en buscar fallos en alguno de sus elementos podriacutean llegar
a detectarse
Figura 2-35 Comparacioacuten del campo observado horizontalmente a 30 m engendrado por la antena SSR
(azul) y por las corrientes equivalentes de los dipolos de Hertz (rojo) sobre una retiacutecula con la
misma separacioacuten que los dipolos de la antena (h=0rsquo5975) Error cuadraacutetico medio para
Ey=6rsquo7 para Ex=10rsquo7
Figura 2-36 Comparacioacuten del campo observado verticalmente a 30 m generado por la antena (azul) y por
las corrientes magneacuteticas de los dipolos de Hertz (rojo) sobre una retiacutecula con la misma
Problema electromagneacutetico directo 71
separacioacuten que los dipolos de la antena (χv=0rsquo958) Error cuadraacutetico medio para Ey =0rsquo74
para Ex =11rsquo5
Figura 2-37 Corrientes magneacuteticas correspondientes a la proyeccioacuten de las distribuciones horizontal y
vertical de los campos eleacutectricos generados por la antena sobre el espacio E (generado por una
retiacutecula plana de 38x14 dipolos de Hertz con la misma separacioacuten que los dipolos de la antena
χh=0rsquo5975 χv=0rsquo958)
Si aumentamos la frecuencia de muestreo el error va disminuyendo especialmente cuando se
sobrepasa la frecuencia en que la separacioacuten entre muestras es λ2 y al igual que ocurriacutea en el
ejemplo del icosaedro se alcanza un umbral a partir del cual los vectores que definen el espacio E
dejan de ser independientes Cuando el factor de sobremuestreo horizontal es 1rsquo1 se llega a una
excelente aproximacioacuten en la distribucioacuten horizontal del campo como puede contemplarse en la
figura 2-38 Para la distribucioacuten vertical se alcanza un buen resultado cuando el sobremuestreo es
1rsquo5 seguacuten se observa en la figura 2-39 La dependencia del error de proyeccioacuten con respecto al
factor de sobremuestreo se ha recogido en la figura 2-40 En la evolucioacuten del error sobre el
dominio horizontal se observa un primer decrecimiento raacutepido hasta el punto en el que la posicioacuten
de los dipolos equivalentes y reales coincide despueacutes se estabiliza y cuando se supera el umbral de
la separacioacuten a λ2 se observa un importante declive que se prolonga hasta que se alcanza el liacutemite
de los errores numeacutericos A partir de aquiacute el operador de proyeccioacuten tiende a hacerse singular y para
χ gt118 ya no puede asegurarse la independencia de los vectores Ψ de E Para el dominio
vertical ocurre algo semejante pero la aproximada coincidencia del punto de inflexioacuten en λ2 con el
caso en el que la posicioacuten de los dipolos equivalentes y reales se iguala puede confundir estas dos
tendencias En un principio se experimenta una reduccioacuten del error hasta que se alcanza el caso de
la coincidencia espacial que de hecho corresponde con un miacutenimo local y despueacutes de superar el
muestreo a λ2 se experimenta nuevamente una reduccioacuten que se prolonga (con menor pendiente
que en el caso horizontal) hasta alcanzar el liacutemite de los errores numeacutericos La dependencia de los
errores sobre las componentes horizontales del campo tiene el mismo cariz aunque inevitablemente
se topa antes con los errores numeacutericos ya que su energiacutea con respecto al campo horizontal es
varios ordenes de magnitud inferior
72 Capiacutetulo II
Figura 2-38 Comparacioacuten del campo observado horizontalmente a 30 m generado por la antena SSR (azul)
y por las corrientes equivalentes de los dipolos de Hertz (rojo) sobre una retiacutecula con
separacioacuten horizontal λ2χh (χh=1rsquo1) Error cuadraacutetico medio para Ey =0rsquo019 para Eϕ
=0rsquo22
Figura 2-39 Comparacioacuten del campo observado verticalmente a 30 m generado por la antena SSR (azul) y
por las corrientes equivalentes de los dipolos de Hertz (rojo) sobre una retiacutecula con separacioacuten
vertical λ2χv (χv=1rsquo5) Error cuadraacutetico medio para Ey =0rsquo0164 para Ex =0rsquo46
Problema electromagneacutetico directo 73
Figura 2-40 Dependencia del error de proyeccioacuten con respecto al factor de sobremuestreo (azul para la
componente horizontal Mx verde para la componente vertical My)
Las distribuciones de corriente magneacutetica correspondientes a la proyeccioacuten del campo radiado por
la antena sobre el espacio E para una retiacutecula con χh=1rsquo1 χv=0rsquo958 pueden observarse en la
figura 2-40 y para una retiacutecula con χh=1rsquo1 χv=0rsquo958 en la figura 2-41 En ambos casos puede
intuirse la posicioacuten horizontal de los dipolos reales y soacutelo en el primero la distribucioacuten vertical de
excitaciones (no su posicioacuten ya que esto requeririacutea una precisioacuten de entorno a λ4 y para tal
separacioacuten los campos generados por los correspondientes dipolos de Hertz no son
independientes) Aunque en la figura 2-41 no pueda distinguirse la distribucioacuten vertical de
excitaciones debe sentildealarse que la posicioacuten de los dipolos equivalentes y reales no coincide en
ninguacuten caso y solamente dos se encuentran a una relativa proximidad
Figura 2-41 Corrientes magneacuteticas correspondientes a la proyeccioacuten de las distribuciones horizontal y
vertical de los campos eleacutectricos generados por la antena sobre el espacio E (generado por una
retiacutecula plana de 70 x 14 dipolos de Hertz con χh=1rsquo1 χv=0rsquo958) En las figuras 2-38 y 2-36 se
representan las distribuciones de campo debidas a este conjunto de corrientes sobre los
dominios horizontal y vertical respectivamente
a) Distribucioacuten horizontal a) Distribucioacuten vertical
74 Capiacutetulo II
Figura 2-42 Corrientes magneacuteticas correspondientes a la proyeccioacuten de las distribuciones horizontal y
vertical de los campos eleacutectricos generados por la antena sobre el espacio E (generado por una
retiacutecula plana de 70 x 20 dipolos de Hertz con χh=1rsquo1 χv=1rsquo5) En las figuras 2-38 y 2-39 se
representan las distribuciones de campo debidas a este conjunto de corrientes sobre los
dominios horizontal y vertical respectivamente
2524 Sobre la frecuencia espacial
En lo que respecta al ancho de banda de la distribucioacuten del campo eleacutectrico sobre el dominio de
medida el teorema 3 de muestreo (sect241) nos asegura que la miacutenima distancia entre intensidades de
campo independientes y observadas a una distancia d de las fuentes es λd2aχ donde ahora χ
dependeraacute de los modos evanescentes en el dominio de observacioacuten y del exceso de muestreo sobre
la superficie que recubra las fuentes Asiacute en caso de prescindir por completo de los modos
evanescentes sobre el dominio de observacioacuten (cosa que de hecho estaacute justificada a nuestra
distancia de observacioacuten 100λ seguacuten los resultados de la figura 2-9a) para el dominio horizontal χ
habraacute de ser 1rsquo1 y para el dominio vertical 1rsquo5 Por tanto la distancia angular a la que deben
separarse en un muestreo oacuteptimo las muestras horizontales seraacute ndashusando 275ndash
deg==sdot
===∆
deg==sdot
===∆
947 rad13805141
2913022
8961 rad016550118
2913022)2sin(
vv
hh
aarr
aarr
χλ
χλθ
χλ
χπλϕ
Con lo cual puesto que el rango angular de observacioacuten es 180deg se requeriraacuten horizontalmente 96
puntos y verticalmente 24
Cuando se muestrea al doble de estos requerimientos se obtienen los resultados recogidos en las
figuras 2-38 2-39 y 2-42 Usando exclusivamente el citado nuacutemero de muestras miacutenimas se obtiene
una distribucioacuten de corrientes que es praacutecticamente ideacutentica a la de la figura 2-42 con un ligero
Problema electromagneacutetico directo 75
aumento en los valores maacuteximos de las corrientes verticales que son las maacutes expuestas a los errores
numeacutericos como se justificoacute anteriormente Si llamamos error cuadraacutetico medio al de la
aproximacioacuten con respecto a la distribucioacuten de corrientes de la figura 2-42 (normalizando ambas a
sus respectivos valores maacuteximos) se obtiene para el muestreo citado un error en las corrientes
horizontales de 0rsquo03 y 0rsquo01 para las verticales Cuando se reduce la frecuencia de muestreo en un
10 entonces el error asciende a 0rsquo1 para las corrientes horizontales y a 1rsquo2 para las verticales
observaacutendose ahora ndashen la figura 2-43ndash una notable diferencia cualitativa en la distribucioacuten de
corrientes Submuestreando al 18 el error pasa a ser 06 y 0rsquo7 respectivamente siendo ahora
radical la disparidad cualitativa en las distribuciones espaciales (figura 2-44) Esta draacutestica variacioacuten
del error en el entorno del mencionado muestreo corrobora la existencia de un muestreo oacuteptimo
Figura 2-43 Distribucioacuten de corrientes sobre la misma retiacutecula de dipolos equivalentes de la figura 2-42
pero obtenidas mediante un submuestreo al 10 del campo observado
76 Capiacutetulo II
Figura 2-44 Distribucioacuten de corrientes sobre la misma retiacutecula de dipolos equivalentes de la figura 2-42
pero obtenidas mediante un submuestreo al 18 del campo observado
26 SUMARIO
Recapitulemos antes de empezar el camino de vuelta el itinerario seguido desde el planteamiento
del problema hasta el punto al que hemos llegado Primeramente acotamos nuestro problema al de
un conjunto de fuentes monocromaacuteticas circunscritas por una cierta superficie y rodeadas de un
espacio homogeacuteneo (sect21)
Utilizando las leyes de Maxwell (sect21) se llegoacute primero a las ecuaciones vectoriales de Helmholtz que deben
satisfacer los campos en el hemiespacio exterior a las fuentes y una vez definidos los potenciales
vectores(sect211) se alcanzaron las ecuaciones de DrsquoAlambert aplicables a todo el espacio incluidas las
fuentes Desde aquiacute se pudo derivar la solucioacuten general externa e interna en teacuterminos de las
funciones de Green
De acuerdo con el teorema de unicidad (sect22) se recordoacute que el campo exterior a una superficie cerrada
es uacutenico si sobre eacutesta se especifica alguno de los campos eleacutectrico o magneacutetico tangenciales y que
en teacuterminos del teorema de equivalencia se traduce a que una distribucioacuten superficial de corrientes
sobre una superficie cerrada genera un campo electromagneacutetico uacutenico en su exterior La conjuncioacuten
de estos teoremas reduce el problema electromagneacutetico en apariencia tridimensional ndashde las
corrientes distribuidas en un volumen y del campo en cualquier punto del espacio exteriorndash a un
problema en esencia bidimensional ndashdistribucioacuten superficial de corrientes y camposndash Esta
consecuencia se hizo notar al introducir la relacioacuten entre las transformadas de Fourier del campo la
funcioacuten de Green y las fuentes unida a la restriccioacuten sobre las frecuencias espaciales impuesta por la
ecuacioacuten de Helmholtz
Problema electromagneacutetico directo 77
A continuacioacuten (sect23) se particularizoacute la expresioacuten general para el caso de corrientes reales
ndasheleacutectricasndash (sect231) y para el de corrientes equivalentes magneacuteticas (sect232) que despueacutes se integroacute
en una formulacioacuten compacta para cualquier tipo de fuentes electromagneacuteticas (sect233) Se
especificoacute la solucioacuten sobre geometriacuteas canoacutenicas (sect234) y se generalizoacute para cualquier eleccioacuten de
coordenadas curviliacuteneas
Se revisaron las formulaciones modales (sect236) y se proboacute el isomorfismo sobre el hemiespacio
homogeacuteneo de eacutestas con la formulacioacuten en teacuterminos de fuentes electromagneacuteticas para lo que se
encontraron operadores de proyeccioacuten
Finalmente se discretizoacute el problema electromagneacutetico (sect24) en principio continuo y se demostroacute
que su dimensioacuten es finita y determinable (sect241) dependiendo exclusivamente del aacuterea de la
superficie que engloba las fuentes y de la frecuencia A partir de este resultado se establecieron las
distancias entre valores ortogonales tanto del campo sobre cualquier dominio de observacioacuten como
de las fuentes sobre la superficie que las engloba Se proboacute que una distribucioacuten superficial de
corrientes cualquiera puede representarse por medio de una agrupacioacuten de dipolos de Hertz
debidamente distribuidos (sect242) La distancia entre valores ortogonales del campo se matizoacute para
tener en cuenta las ondas evanescentes (sect243) en teacuterminos del ancho de banda observable sobre un
determinado dominio precisaacutendose eacuteste para un error de truncamiento tan pequentildeo como se desee
Finalmente se formuloacute el problema electromagneacutetico discretizado (sect244) en teacuterminos de un
conjunto finito de funciones de campo que a su vez constituyen una base generadora de todos los
campos electromagneacuteticos radiados por cualquier distribucioacuten de corrientes superficial o interior a
una superficie dada
III PROBLEMA ELECTRO-
MAGNEacuteTICO INVERSO
ldquoEl camino
hacia arriba
y el camino
hacia abajo
es uno y el
mismordquo
Heraacuteklitos
de Efesos
ldquoόδός άνω καί κάτο
microία καί ώυτήrdquo
Problema electromagneacutetico inverso 81
31 INTRODUCCIOacuteN
Una vez recorrido con detalle el camino que va desde las fuentes hasta el campo electromagneacutetico
sobre un dominio arbitrario de observacioacuten nos encontramos en mejores condiciones para
emprender el camino de vuelta Es decir conociendo el campo descubrir las fuentes que lo
ocasionaron De hecho el uacuteltimo de nuestros pasos en la resolucioacuten del problema directo es de
capital importancia para nuestro regreso el campo eleacutectrico sobre el dominio de intereacutes D quedoacute
expresado en teacuterminos de un espacio vectorial E sobre un cuerpo de nuacutemeros complejos
directamente vinculado con las fuentes (sect245) Si se define una base adecuada Ψ entonces las
coordenadas sobre dicho espacio constituyen las intensidades de corriente sobre la superficie de las
fuentes Aunque en realidad la distribucioacuten de corrientes que se obtendriacutea de esta manera seriacutea
discreta en virtud de la limitacioacuten espectral de dicha distribucioacuten (sect241) y de acuerdo al teorema
de muestreo podriacutea interpolarse a partir de eacutesta una distribucioacuten continua (sect242) En tales
teacuterminos el problema inverso parece trivial incluso en presencia de ruido Supongamos que nuestro
conocimiento del campo sobre el dominio de observacioacuten procede de medidas Es evidente que
junto con el propio campo apareceraacute inevitablemente una cierta cantidad de ruido que podemos
intentar reducirla pero nunca eliminarla Esta componente estocaacutestica no perteneceraacute al espacio
vectorial de distribuciones de campo vaacutelidas sobre el dominio de medida de modo que al antildeadirse
al campo radiado desde las fuentes que por definicioacuten pertenece al espacio E haraacute que la
distribucioacuten medida quede ahora estrictamente fuera de dicho espacio No obstante extendiendo la
meacutetrica del espacio E (2-81 y 2-82) a las distribuciones medidas podemos hablar de distancias entre
distribuciones de campo pertenezcan o no a tal espacio Esta distancia nos permitiraacute encontrar una
proyeccioacuten oacuteptima de acuerdo a una meacutetrica elegida (si la distancia es una forma cuadraacutetica
entonces esta proyeccioacuten seraacute miacutenimo cuadraacutetica y el error podremos referirlo en teacuterminos de una
cierta potencia de ruido)
Pero el problema puede aun complicarse maacutes cuando las frecuencias son altas la determinacioacuten de
la fase del campo se hace progresivamente maacutes difiacutecil y en general en muchos casos topamos con
la limitacioacuten tecnoloacutegica o praacutectica de soacutelo poder conocer el moacutedulo del campo Esta limitacioacuten es mucho
maacutes severa que la del ruido ya que extendiendo nuevamente la meacutetrica de E a la distribucioacuten
medida la distancia de eacutesta a cualquier elemento de E es considerablemente mayor No obstante
existen ciertas caracteriacutesticas analiacuteticas de las distribuciones de campo que pueden facilitarnos la
recuperacioacuten de la informacioacuten de fase En general para eliminar las posibles incertidumbres ndash
como demostroacute Hoenders en 1975 [65]ndash nos es menester saber algo maacutes acerca de las fuentes o
recabar informacioacuten sobre varias superficies
En algunas ocasiones podraacute tambieacuten ocurrir que sobre todo el dominio de observacioacuten soacutelo se haya
medido una parte Nuevamente nos ocurre que la distribucioacuten medida y las distribuciones vaacutelidas
82 Capiacutetulo III
del espacio E se encuentran a una cierta distancia Tambieacuten en este caso podemos utilizar
informacioacuten adicional para reconstruir las distribucioacuten de campo sobre la parte del dominio en que
la desconociacuteamos
En los casos en que nos falte alguna informacioacuten sobre la distribucioacuten de campos en todo el
dominio D podremos recurrir a procedimientos iterativos [143] en los que se utilice de forma secuencial
la informacioacuten que se conozca acerca de las fuentes y de la distribucioacuten de campo Este proceder
nos permitiraacute encontrar las funciones de distribucioacuten que perteneciendo al espacio E mejor se
adapten a nuestro conocimiento del campo y de las fuentes Ya hemos denominado T al operador
lineal que liga las fuentes con los campos podemos representar mediante T ndash 1 a su operador
inverso Llamemos ahora RE y Rf a los operadores que imponen restricciones sobre la distribucioacuten
del campo y sobre las fuentes respectivamente De modo que En=REEn-1 cumple las condiciones
de nuestro conocimiento adicional sobre la distribucioacuten del campo (por ejemplo un determinado
ancho de banda) y fn=Rffn-1 las condiciones de nuestro conocimiento sobre las fuentes (por
ejemplo un soporte finito) Si por otra parte llamamos M al operador que sustituye sobre una
distribucioacuten de campo cualquiera la informacioacuten que se haya medido (por ejemplo el moacutedulo sobre
todo el dominio de observacioacuten el campo complejo sobre soacutelo una parte etc) entonces la
distribucioacuten En= M En-1 contiene la informacioacuten medida siendo ideacutentica a En-1 en todo aquello
de lo que no se disponga de medidas es ideacutentico a En-1 Recurriendo pues a estos operadores
(inverso de la aplicacioacuten f rarr E T ndash 1 los de aplicacioacuten de restricciones RE y Rf y el de imposicioacuten
de medidas M) la ecuacioacuten baacutesica del procedimiento iterativo tendraacute la forma
11
1 minusminus == nE-
fnn EEE MRTRTI (3-1)
Donde I simboliza el operador de iteracioacuten Obviamente el esquema iterativo deberaacute empezar
desde alguna hipoacutetesis inicial y requiere de alguacuten criterio de convergencia para que concluya como
por ejemplo que la distancia entre las distribuciones En y En-1 sea inferior a una cierto valor que
podremos tratar como error de prediccioacuten La figura 3-1 ilustra este esquema
Figura 3-1 Esquema general de proceso iterativo aplicado al problema electromagneacutetico inverso
M E k
REE k f k
R f f k E k+1T
T -1
dE k E k-1ltε
E 0
E K f K
Problema electromagneacutetico inverso 83
311 Acerca del problema de soacutelo observar el campo eleacutectrico
Desde que se hizo mencioacuten del teorema de unicidad electromagneacutetico (sect22) el discurso se ha
restringido a referirnos al campo eleacutectrico Seguacuten aquel teorema soacutelo existe una solucioacuten al
problema electromagneacutetico externo al volumen de las fuentes si se conoce sobre una superficie que
las englobe el campo tangencial (ya sea eleacutectrico magneacutetico o una mezcla de ambos) Por esta razoacuten
limitamos entonces nuestra descripcioacuten a la del campo eleacutectrico Abordar la del campo magneacutetico
es directo a partir de la obtenida para el eleacutectrico habida cuenta la identidad formal de las
expresiones de ambos campos (2-22) en relacioacuten a las fuentes (aunque el papel de las corrientes
eleacutectricas y magneacuteticas esteacute cruzada) Usando dicha semejanza es faacutecil demostrar que si el campo
eleacutectrico lo describimos como
sd primeprimesdotprimeminus+primesdotprimeminus= intint )()()()( rMrrGrJrrGE βα (3-2a)
entonces el magneacutetico tendraacute la siguiente forma
sd primeprimesdotprimeminus+primesdotprimeminusminus= intint )()(1)()( 2 rMrrGrJrrGH αβ η (3-2b)
Discretizando el problema continuo que estas relaciones representan a la manera descrita en sect244
se llegariacutea a que tanto para el campo eleacutectrico como para el magneacutetico se requieren las mismas
funciones base Ψn (obtenidas a partir de la discretizacioacuten de G α y G β) Con lo cual asumiendo
que la dimensioacuten del problema electromagneacutetico sea N eacuteste seraacute el nuacutemero de funciones
elementales que necesitaremos para su descripcioacuten ya estemos hablando del campo eleacutectrico o del
magneacutetico Si a partir de dichas funciones la descripcioacuten del campo es completa (en el sentido de
que el espacio que eacutestas engendran incluye todas las posibles distribuciones de campo que pudiera
generar cualquier distribucioacuten de corrientes interior a S) entonces con soacutelo la observacioacuten del
campo eleacutectrico ndasho soacutelo la del magneacuteticondash seriacutea suficiente para poder colegir la distribucioacuten de
corrientes superficiales Pero iquestcoacutemo elegir las funciones Ψn Teniendo en cuenta la aplicabilidad
general de los principios de equivalencia y la restringida de la teoriacutea de imaacutegenes podemos
considerar tres posibilidades
1) En virtud del equivalente conductor eleacutectrico situar N dipolos elementales de Hertz de
corriente magneacutetica sobre la superficie que engloba las fuentes y aplicar a continuacioacuten la
teoriacutea de imaacutegenes Se tratariacutea por tanto de la aproximacioacuten de oacuteptica fiacutesica discretizada
2) Situar N2 dipolos elementales de Hertz que a la vez contengan corrientes eleacutectricas y
magneacuteticas con el doble de separacioacuten que en el caso anterior
3) Situar N2 dipolos elementales de Hertz de corriente eleacutectrica y N2 de corriente magneacutetica
intercaladas
84 Capiacutetulo III
La primera de las soluciones es evidente que seraacute tanto mejor cuanto mayor sea el tamantildeo eleacutectrico
del radiador De las dos uacuteltimas alternativas la maacutes juiciosa parece ser la tercera ya que cuando la
distancia de observacioacuten aumenta las distribuciones de campo de los elementos puntuales de
corriente eleacutectrica y magneacutetica tienden a igualarse (aunque su relacioacuten direccional sea cruzada como
se observaraacute en sect322) de modo que en zonas alejadas las correspondientes funciones Ψn iriacutean
hacieacutendose cada vez menos independientes (en el ejemplo del icosaedro sect251 se recurrioacute a la
solucioacuten segunda debido a su peculiaridad geomeacutetrica pero gracias a la ausencia de ruido la estricta
independencia fue alliacute suficiente para obtener resultados satisfactorios)
En lo sucesivo seguiremos refirieacutendonos fundamentalmente a la observacioacuten del campo eleacutectrico
aunque puntualmente hagamos tambieacuten alusioacuten a la del magneacutetico ndashen el problema inverso sin
fasendash No obstante de acuerdo con la mencionada identidad formal (2-22) y (3-2) la expresioacuten del
problema en teacuterminos del campo magneacutetico es directa a partir de la articulada en teacuterminos del
eleacutectrico Por otra parte puede faacutecilmente demostrarse ndashusando las formulaciones modalesndash que
para las geometriacuteas canoacutenicas existe una relacioacuten diaacutedica directa entre las distribuciones de campo
eleacutectrico y magneacutetico
312 Los problemas inversos
Al pluralizar el problema inverso pretende hacerse hincapieacute en la diferencia que plantea el disponer
de la informacioacuten completa de la distribucioacuten de campo eleacutectrico (es decir que eacutesta contenga fase y
que se extienda con suficiente nuacutemero de muestras sobre un dominio que circunscriba las fuentes)
o bien que de alguna manera la informacioacuten sea incompleta De entre los tipos de incompletitud
posible deben destacarse dos 1deg que la medida sobre el dominio D sea parcial que referiremos
como observacioacuten incompleta 2deg que carezcamos que informacioacuten de fase No obstante el estudio que
se presenta a continuacioacuten sobre el problema inverso quedaraacute dividido bajo la maacutes severa de las
condiciones contar o no con informacioacuten de fase Asiacute el problema de la observacioacuten incompleta se
abordaraacute dentro del problema con fase una vez analizado el caso de la informacioacuten completa
Tanto para el problema inverso con fase como para aquel en el que se carece de fase se comenzaraacute
estudiando la unicidad de solucioacuten para despueacutes investigar la manera de llegar a ella No obstante
mientras que en el caso con fase la prueba de unicidad es sencilla para el caso sin fase dicho estudio
ocupa una buena porcioacuten de este capiacutetulo y como el lector una vez recorrido el hilo de esas
paacuteginas podriacutea llegar a la conclusioacuten de que quizaacute lo dicho en cuarto lugar podriacutea haberse dicho
primero y en general cambiar el orden y el estilo me veo forzado a dar razoacuten de ambos El principal
motivo para ese orden se debe a que el anaacutelisis usual del problema de unicidad conduce
directamente a un callejoacuten sin salida en el que se ha permanecido durante mucho tiempo aunque
seguacuten una confusa interpretacioacuten se creyera estar fuera Este camino se ha querido recorrer ya que
de hecho se obtienen importantes consecuencias pero con intencioacuten se ha llegado hasta el
Problema electromagneacutetico inverso 85
mencionado embrollo para despueacutes intentar a tenor de las soluciones praacutecticas planteadas y
usadas un nuevo enfoque que nos permita salir del atolladero1
En lo que respecta a las soluciones para el problema inverso con informacioacuten completa primero se
ha buscado la solucioacuten directa con indiferencia del coste operativo y despueacutes se ha planteado la
manera de reducir eacuteste mediante procedimientos numeacutericos considerando aparte el caso de
observacioacuten plana y de la observacioacuten lejana a tenor de su sencillez operativa y por la especificidad
de sus problemas Consideracioacuten que da paso al problema de la observacioacuten incompleta Por
uacuteltimo las soluciones al problema sin fase se han estudiado seguacuten una categorizacioacuten propia que
discierne entre meacutetodos manipuladores de la distribucioacuten de campo y meacutetodos exclusivamente
observadores Intentando integrar la mayor parte de los meacutetodos planteados en diversas disciplinas
dentro del marco de nuestro discurso con lo que se obtiene una perspectiva coherente que facilita
en algunos casos su criacutetica y en otros llegar a meacutetodos maacutes generales
32 PROBLEMA INVERSO CON FASE
Cuando se introdujo el espacio vectorial E (sect245) de las distribuciones de campo sobre los
dominios de observacioacuten se hizo notar que eacuteste estaba definido sobre un cuerpo de escalares
complejos es decir tanto las coordenadas sobre la base Ψn (que no es sino la distribucioacuten
discretizada de corrientes que engloba las fuentes reales) como la distribucioacuten de campos sobre el
dominio de observacioacuten se pueden entender como dos arreglos de nuacutemeros complejos En
principio seguacuten las conclusiones alcanzadas en el estudio del problema directo el espacio generado
por los dipolos de Hertz ndashde dimensioacuten finitandash si estaacuten debidamente distanciados es completo con
respecto al conjunto de distribuciones de campos debidas a cualquier conjunto interior de
corrientes ndashque es un conjunto infinito numerable de dimensioacuten infinitandash Entonces el problema
de determinar las corrientes discretizadas sobre la superficie que engloba las fuentes se reduce a
encontrar la proyeccioacuten de la distribucioacuten medida del campo complejo sobre el denominado
espacio E para lo cual la definicioacuten del producto interno ndashcomo entontes se hizo notarndash es ahora
de capital importancia Este producto nos permite introducir una norma y una distancia y si cumple
unas ciertas condiciones entonces el problema de encontrar la proyeccioacuten tiene solucioacuten uacutenica
Si al formular el problema directo teniacuteamos licencia para hablar de una distancia praacutecticamente nula
entre el campo observado y el generado por una determinada distribucioacuten de corrientes sobre los
dipolos de Hertz de la superficie S discretizada ahora al hablar de campo medido tendremos que
1 Creo que esta manera de exponer el problema que no sigue el cauce ordinario de inferencia deductiva se
encuentra maacutes proacutexima a la verdadera investigacioacuten en la que se aborda el problema desde una cierta
perspectiva despueacutes se observan los errores se ensaya una nuevo punto de vista y asiacute sucesivamente
86 Capiacutetulo III
admitir una distancia irreductible ya que estrictamente no hay manera de eliminar por completo el
ruido y eacuteste siempre presentaraacute una cierta cantidad en nuestro espacio Aquiacute de nuevo observamos
el beneficio de reducir al maacuteximo la dimensioacuten de nuestro problema directo la proyeccioacuten del ruido
seraacute tanto maacutes pequentildea Por otra parte se revela el intereacutes de tener un mayor nuacutemero de muestras
sobre el espacio de observacioacuten aumenta la distancia entre las distribuciones de campo vaacutelidas No
obstante llegaraacute un momento a partir del cual el aumento de muestras de la distribucioacuten de intereacutes
y ruidosas resultaraacute igualmente redundante aumentando por igual la energiacutea de ambas sin obtener
por tanto provecho
321 Proyeccioacuten ortogonal sobre el espacio E
Seguacuten se argumentoacute al referirnos a la descripcioacuten modal (sect236) y a las formulaciones directas en
general las posibles distribuciones de campo sobre un determinado dominio de observacioacuten
constituyen un espacio de Hilbert que podemos llamar H dentro del cual se encuentra el espacio E
que a su vez es un conjunto cerrado Eacuteste es pues un subespacio de H que aproxima de forma
oacuteptima todas las posibles distribuciones de campo generadas por cualquier conjunto de corrientes
interiores a una superficie dada S Si llamamos EO al complemento ortogonal de E entonces H =
EO oplus E y de acuerdo con el teorema de la proyeccioacuten ortogonal existiraacute una proyeccioacuten uacutenica de los
elementos de H sobre E siempre que sobre eacuteste uacuteltimo se haya definido un producto interno en
base a una forma sesquilineal hermiacutetica cuyas formas hermiacuteticas asociadas sean positivas [106
p127] Una manera de generalizar la definicioacuten del producto interno dada en (2-84) es por medio
de unos factores arbitrarios de ponderacioacuten πm que habraacuten de ser reales y positivos que
modifiquen el peso relativo ndashen la meacutetrica del espacio Endash de los campos en cada uno de los puntos
de observacioacuten
mm
M
mmmm ππππ forall+isinsdot=sdot=sdot
sdot= realisinsum
=
lowast++ con diag )(1
21212121 CEEEEEEEE (3-3)
Donde la matriz diagonal de los factores de ponderacioacuten para simplificar la notacioacuten la
representaremos en adelante por medio de la matriz π A partir de esta definicioacuten la norma
generalizada de un elemento del espacio E y la distancia entre dos de sus elementos seraacute
( )
( ) +
+
=
lowast+
realisin=
realisin
=sdotsdot== sum
- d
2121
21
111
21
21
EEEE
EEEEEEEM
mmmmππ
(3-4a)
(3-4b)
Problema electromagneacutetico inverso 87
Gracias a la mencionada definicioacuten del producto interno la distancia entre una distribucioacuten de
campo determinada y cualquier otra es una forma hermiacutetica positiva2 que por tanto tiene un solo
miacutenimo Cuando la distribucioacuten en cuestioacuten pertenece al espacio E entonces tal miacutenimo supone
una distancia nula Sin embargo cuando el producto interno se extiende a distribuciones exteriores
al espacio E entonces el miacutenimo puede suponer una cierta separacioacuten que puede interpretarse en
teacuterminos de una distancia ortogonal al dicho espacio y que a su vez pertenece a su complemento
ortogonal EO A esa distancia existe una uacutenica distribucioacuten perteneciente al espacio E que
corresponde con la denominada proyeccioacuten ortogonal y cuya unicidad de solucioacuten depende
exclusivamente de la definicioacuten del producto interno [124 sect58 106 p127]
3211 Unicidad de solucioacuten
Llamemos Em al campo medido sobre el dominio de observacioacuten y Ef al generado por las corrientes
f sobre los dipolos de Hertz que engloban las fuentes y supongamos que la extensioacuten y
discretizacioacuten de ambos dominios sea adecuada siendo el nuacutemero de puntos del dominio de
observacioacuten M mayor o igual que el nuacutemero de dipolos de Hertz N
Teorema 1 Existe una uacutenica distribucioacuten de campo Efopt del espacio E asociada a una distribucioacuten
de corrientes f opt que presente miacutenima distancia a la distribucioacuten medida Em
Es evidente que la distancia entre la distribucioacuten de campo medida y una cualquiera del espacio E
es una funcioacuten de las fuentes f
( ) ( ) ( ) 21)(-)(-)(-)()( fffff fm
Tfmfmfmdd EEEEEEEE sdotsdot=== π (3-5)
Y la distancia cuadraacutetica seraacute una forma hermiacutetica pura
( ) ( )ffmffmmm
fmfmd
EEEEEEEE
EEEE
sdotsdot+sdotsdot+sdotsdotminussdotsdot=
sdotsdot=++++
+
πππππ
)(
--)(2 f
(3-6)
Considerando que Ef = T middot f Ef +
= f +middot T +
fTTfTffTf sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdotsdot= ++++++ ππππ )()(2mmmmd EEEE (3-7)
Llamando a
2 El equivalente sobre cuerpos de nuacutemeros reales seriacutea una forma cuadraacutetica positiva que intuitivamente
puede interpretarse como un paraboloide n-dimensional con un solo miacutenimo
88 Capiacutetulo III
=sdotsdot=rArr
isin=sdotsdot
isin=sdotsdot
realisin=sdotsdot+
+
++
+
mN
m
m
NxN
Nm
mm
bb
k
EΨ
EΨ
EE
EE
1
Mπππ
π
ζ
T
TT
T
C
C (3-8)
la distancia cuadraacutetica podraacute rescribirse como
fffff sdotsdot+sdot+sdotminus= +++ ζ)()(2 bbkd (3-9)
Obseacutervese que los elementos diagonales de la matriz ζ de (3-9) corresponden a la norma cuadraacutetica
de los vectores Ψn que forman la base del espacio E y pueden interpretarse como la energiacutea de
las distribuciones de campo sobre el dominio de medida engendradas por cada uno de los dipolos
unitarios de Hertz sobre la superficie S Mientras que los elementos no diagonales corresponden a
la correlacioacuten cruzada entre esas distribuciones Ri j ΨiΨj=ltΨiΨjgt=ltΨjΨigt lo que a su vez
hace evidente que la matriz ζ es hermiacutetica Por tanto y en virtud de que los vectores Ψn generan
un espacio de dimensioacuten N es entonces claro que la expresioacuten (3-9) es una forma hermiacutetica positiva y
en consecuencia con un uacutenico miacutenimo
En definitiva la unicidad de solucioacuten estaraacute a expensas de la no singularidad de ζ (o lo que es lo
mismo y como se veraacute maacutes adelante en (3-17) de su invertibilidad) es decir que los N vectores
Ψn formen un espacio de dimensioacuten N Para lo cual es evidente que el nuacutemero de componentes
de los vectores Ψn M (nuacutemero de muestras del dominio D) ha de ser necesariamente mayor o igual
que N Teniendo ademaacutes en cuenta los teorema 2 y 3 de muestreo (sect241) para disponer de
suficientes muestras independientes M que generen un espacio de dimensioacuten N (no superior a la
dimensioacuten esencial) seraacute ademaacutes necesario que el dominio de observacioacuten circunscriba las fuentes
que es a lo que aludiamos al principio al advertir que la extensioacuten y discretizacioacuten de ambos
dominios fuera adecuada Por tanto cumplidas estas condiciones podemos asegurar la unicidad de
solucioacuten que es lo que en un principio afirmamos
Esta caracteriacutestica de la expresioacuten (3-9) nos permite observar que el conjunto de los elementos del
espacio E definidos por una distancia a un campo medido menor o igual a un valor dado formen
un conjunto convexo [29] que (como se observa maacutes adelante en sect3213c) garantiza la unicidad de
solucioacuten en teacuterminos de minimizacioacuten de la distancia asiacute como la inexistencia de subconjuntos
localmente coacutencavos o de convexidad limitada al entorno de un miacutenimo local En virtud de esta
propiedad podraacute definirse como se haraacute maacutes adelante en sect3213c toda una familia de algoritmos
convergentes hacia la solucioacuten uacutenica
Problema electromagneacutetico inverso 89
3212 Solucioacuten analiacutetica
Pero veamos cual es ese miacutenimo de la forma hermiacutetica (3-9) que corresponde con la solucioacuten uacutenica
de nuestro problema inverso Para buscarlo supongamos primero que la distribucioacuten de corrientes f
sea real despueacutes que sea imaginaria y finalmente compleja
sdotsdot+sdotminus=
sdotsdot+sdot+sdotminus=realisin
+
++
fff
ffffff
ζ
ζ
Re2
)()( si
2
T
T
M
bk
bbkd (3-10)
Im2
)()( si
2
sdotsdot+sdot+=
sdotsdot+sdotminussdotminus=imageisin
+
++
fff
ffffff
ζ
ζT
T
M
bjk
bbkd (3-11)
El miacutenimo apareceraacute alliacute donde el gradiente de las formas hermiacutetica (3-10) se anulen
Im02Im2)( si
Re02Re2)( si 12
12
minus
minus
sdot=rArr=minus+=nablaimageisin
sdot=rArr=+minus=nablarealisin
ζζ
ζζTTTTM
TTTTM
bjbjd
bbd
ffff
ffff
(3-12)
(3-13)
Teniendo en cuenta las definiciones (3-8) es evidente la igualdad general de (3-12) y (3-13) como
f = ζ ndash1middotb Y en definitiva suponiendo una distribucioacuten de fuentes complejas podemos generalizar
el resultado anterior
ImRe si 111 bbbjb TTTM sdot=rArrsdot=sdot+=isin minusminusminus ζζζ fff C (3-14)
Es decir usando (3-8) la proyeccioacuten de una medida del campo eleacutectrico complejo sobre el dominio
de observacioacuten en el espacio E
mππ Esdotsdotsdotsdot= +minus+ TTTf 1proyeccioacuten
][ (3-15)
Resultado que es equivalente al de Harrington y Mautz [111] y que generaliza al de otros autores
[37 101 110 152] siendo ademaacutes ideacutentico al que se llegariacutea definiendo el producto interno como
lowastsdotsdot= 2121 EEEE πT (3-16)
Asiacute como en sect244 definimos el operador directo T la ecuacioacuten 3-14 podemos interpretarla como
una definicioacuten del operador inverso que podemos denotarlo como Tndash 1
ππ sdotsdotsdot= +minus+minus TTTT 11 ][ˆ y asiacute mEsdot= minus1
proyeccioacutenTf (3-17)
Este es de hecho el operador de proyeccioacuten que se utilizoacute en los ejemplos del capiacutetulo 2 y que en
caso de contar con toda la informacioacuten del campo complejo sobre el dominio de observacioacuten
supone una solucioacuten completa al problema electromagneacutetico inverso cuya complejidad depende
esencialmente del nuacutemero de fuentes (o en caso de que la discretizacioacuten haya sido efectiva de la
dimensioacuten esencial del problema directo) Pues como puede observarse en 3-17 el caacutelculo del
90 Capiacutetulo III
operador directo supone la inversioacuten de la matriz ζ arriba descrita de dimensioacuten NxN ndashsiendo N el
nuacutemero de fuentesndash 3 Donde nuevamente puede verse que la unicidad de solucioacuten depende de la
invertibilidad de ζ
En el caso de que el nuacutemero de fuentes (es decir el tamantildeo eleacutectrico de S) sea muy elevado como
ocurre en los sistemas radiantes de gran tamantildeo eleacutectrico la inversioacuten del operador directo puede
significar un coste numeacuterico inabordable En tales casos es menester recurrir a procedimientos
numeacutericos como por ejemplo el gradiente conjugado [139 24] para la minimizacioacuten de (3-9) o en
caso de que la geometriacutea lo permita utilizar transformadas discretas de Fourier
3213 Solucioacuten numeacuterica
a) Solucioacuten numeacuterica de la ecuacioacuten lineal
La complejidad computacional de obtener el operador inverso en realidad puede relajarse teniendo
en cuenta que la minimizacioacuten de (3-9) equivale a la resolucioacuten de la ecuacioacuten lineal ndashque procede
directamente de (3-14)ndash
mmfEbEd sdot=sdotsdotequiv=sdotrArrsdot ++ ππζ TfTTffT )(min (3-18)
Con lo que en definitiva nuestro problema consiste en la resolucioacuten de un conjunto cuadrado de
ecuaciones lineales (N ecuaciones y N incoacutegnitas) que podemos abordar por medio de un amplio
abanico de procedimientos numeacutericos4 Sin embargo aunque en principio cualquiera de ellos pueda
ser teoacutericamente aplicable de entre los compactos debe resaltarse el de Choleski en virtud de la
naturaleza hermiacutetica de la matriz ζ que no obstante deja de perder sus ventajas cuando el nuacutemero
de fuentes es superior a 100 siendo a partir de este punto cuando los meacutetodos iterativos presentan
su especial atractivo Estos procedimientos con los que soacutelo se alcanza una solucioacuten aproximada en
un nuacutemero finito de etapas son en suma los que presentan especial ventaja en detrimento del
caacutelculo de la inversa por dos razones por una parte porque soacutelo se suele recurrir a la resolucioacuten
numeacuterica de la ecuacioacuten lineal cuando el nuacutemero de fuentes es elevado (de lo contrario puede
abordarse la inversioacuten de ζ) y porque la matriz del sistema ζ es necesariamente dispersa (poco densa)
aunque no llegue a ser tridiagonal Obseacutervese como se hizo resaltar antes que la matriz del sistema
3 Obseacutervese que es por tanto independiente del nuacutemero de puntos del dominio de observacioacuten El efecto de
eacuteste nuacutemero M sobre el coste operacional se revela en el caacutelculo de la propia matriz ζ no de su inversa
presentando una relacioacuten lineal respecto al nuacutemero de operaciones
4 Eacutestos podraacuten ser directos como la eliminacioacuten de Gauss o los meacutetodos compactos de descomposicioacuten LU
como son los de Choleski Crout o Deolittle o bien iterativos Jacobi Gauss-Seidet o de Sobrerrelajaciones
Sucesivas (SRS) (un gran nuacutemero de manuales de meacutetodos numeacutericos y de aacutelgebra lineal contienen
discusiones sobre estos procedimientos [124 84 159])
Problema electromagneacutetico inverso 91
puede definirse en teacuterminos de la correlacioacuten cruzada -o del producto interno- de los campos
engendrados por los dipolos unitarios de Hertz cuya separacioacuten es de tal grado que sus respectivos
campos no sean linealmente dependientes Una discusioacuten detallada de estos procedimientos junto
con criterios analiacuteticos de su conveniencia asiacute como para evaluar su rapidez de convergencia puede
encontrarse en [124 sect96]
b) Reduccioacuten numeacuterica del residuo
Tambieacuten se puede abordar el problema de la minimizacioacuten de la distancia a los elementos del
espacio E y la distribucioacuten medida (3-18) por medio de toda una familia de procedimientos
iterativos que en general pueden entenderse como una reduccioacuten progresiva del residuo R=EmndashTmiddotf
Obseacutervese que a fin de cuentas el gradiente de la distancia cuadraacutetica puede expresarse (seguacuten 3-8
3-12 3-13) en teacuterminos del residuo
REd m πππ +++ minus=minussdot=nabla TTfTT)(2 f (3-19)
Podemos partir de una hipoacutetesis inicial e ir progresando hacia el miacutenimo por medio de una
cuidadosa eleccioacuten de la direccioacuten de cambio
)()()()1( iiii psdot+=+ λff (3-20)
Donde )( ip representa la direccioacuten de cambio y )( iλ es un paraacutemetro que podemos ajustar en cada
iteracioacuten para minimizar el residuo en esa precisa direccioacuten De entre todos los procedimientos que
pudieran plantearse derivados de la eleccioacuten de estos dos paraacutemetros ndashesencialmente la direccioacuten
de cambiondash dos gozan de especial intereacutes el de la miacutenima pendiente (o gradiente descendiente) y el de
gradiente conjugado En el primero se elige para cada iteracioacuten la direccioacuten opuesta a la del gradiente
(3-18)
)()(2)( )( iii Rd π sdotsdot=minusnabla= +Tfp (3-21)
Procedimiento cuya convergencia depende esencialmente de la forma hermiacutetica (3-9) y que por
tanto en nuestro caso es garantizable aunque la solucioacuten que nos provee es aproximada en un
nuacutemero finito de pasos El procedimiento del gradiente conjugado puede entenderse en teacuterminos
de una ortogonalizacioacuten secuencial del espacio E que permite alcanzar la solucioacuten uacutenica en un
nuacutemero finito de pasos aunque a expensas de un mayor coste operacional La eleccioacuten de las
direcciones se hace en este caso de modo que el gradiente de cada iteracioacuten sea ortogonal a todas
las anteriores direcciones de cambio elegidas Al realizar la N-esima iteracioacuten siendo N la
dimensioacuten del espacio E se habraacute conseguido el nuacutemero maacuteximo de direcciones ortogonales en E
Llegados a este punto el residuo seraacute necesariamente nulo en ausencia de ruido o en caso de
haberlo el remanente corresponderaacute con la proyeccioacuten de eacuteste sobre nuestro espacio con el que
sin maacutes remedio tendremos que aguantarnos
92 Capiacutetulo III
La mencionada condicioacuten de ortogonalidad que se iraacute imponiendo secuencialmente puede
expresarse en teacuterminos del producto interno (3-3)
0)()( )()1(2)()1(2 ijdd jiji leforallgt=sdotnablasdotgt=ltnablalt ++ pp TfTf (3-22)
Asiacute despueacutes de haber aplicado esta condicioacuten N veces (que guarda un estrecho parecido con la
ortogonalizacioacuten de Gramm-Smith) se habraacute conseguido un conjunto p de direcciones
ortogonales que seraacute de hecho una base ortogonal del espacio E como tambieacuten lo es el conjunto
de los gradientes de cada etapa
ij
d
ddji
ji
jiji
neforall
gt=nablalt
gt=nablanablalt
gt=sdotsdotgt=ltsdotsdotlt +
0)(
0)()(
0
)()(2
)(2)(2
)()()()(
p
pppp
f
ff
TTTT π (3-23)
Para materializar el algoritmo y elegir los paraacutemetros λ maacutes oportunos basta con partir de una
aproximacioacuten inicial cualquiera
sdot=sdotminus=nabla
sdotminus=rArr
+
+
)0()0(
)0()0(2
)0()0(
)0( )(R
RdR m
ππ
TTf
fTf
p
E (3-24)
Que como puede verse es en este primer paso equivalente al meacutetodo de la miacutenima pendiente pero
que a partir de aquiacute se continua por medio de la aplicacioacuten reiterada (N-1 veces) de las siguientes
operaciones [139 24 sect832 105 sect83]
)()()()1(
)()()1(1)()(1
2)(
2)1(
)(2)(
2)(
)(
kkkk
kkk)(kkk(k))(k
k
k
k
k
k
k
pRR
pRpp
R
R
p
R
sdotminus=
+sdot=+=
sdot
sdot=
sdot
sdot=
+
++++
+
+++
T
Tff
T
T
T
T
λ
βπλ
π
πβ
πλ
(3-25)
Obseacutervese que auacuten la semejanza con el meacutetodo de la miacutenima pendiente ya que la uacuteltima ecuacioacuten
de (3-25) podriacuteamos expresarla como
minusnablaminus +
iaconvergencla de
aceleradorfactor )( )1(2 kd f (3-26)
es decir la eleccioacuten de la direccioacuten de cambio puede entenderse como una aceleracioacuten de la
convergencia del meacutetodo primero Una exhaustiva exposicioacuten de este meacutetodo aplicado a distintos
problemas electromagneacuteticos asiacute como una justificacioacuten detallada de todo el algoritmo puede
encontrarse en [139] La aplicacioacuten de este procedimiento al problema inverso se encuentra
frecuentemente en la literatura (pej [45 139 98 16])
Problema electromagneacutetico inverso 93
c) Algoritmo iterativo basado en el Teorema Global de la Convergencia
Cuando anteriormente se encontroacute la forma hermeacutetica de la distancia a las distribuciones del
espacio E (3-9) se hizo notar que todo conjunto de puntos sobre el espacio E definidos por una
distancia a una distribucioacuten de campo oacuteptima menor que una dada forman un conjunto convexo
sobre todo el espacio E Esta caracteriacutestica puede servir para la definicioacuten de todo un conjunto de
algoritmos iterativos que convergen hacia la solucioacuten en virtud de la definicioacuten topoloacutegica de
conjunto convexo y del teorema global de la convergencia TGC [105] Seguacuten eacuteste si se define una cierta
operacioacuten de iteracioacuten I y se tiene en cuenta ndashcomo se ha demostradondash que soacutelo hay una
solucioacuten fopt al problema inverso entonces la sucesioacuten infin=0 kkf fk+1isin I fk converge a la
deseada solucioacuten si
4) Todos los puntos fk estaacuten contenidos en un conjunto compacto incluido en f
5) Existe ademaacutes una funcioacuten continua Z en f tal que
a) si f ne fopt entonces Zf rsquo ltZf forall f rsquo isin I f
b) si f = fopt entonces Zf rsquo =Zf forall f rsquo isin I f
6) Y por uacuteltimo la transformacioacuten I es cerrada en los puntos exteriores a la solucioacuten
Evidentemente en nuestro caso podemos hacer que esa funcioacuten Z sea precisamente la distancia
d antes definida Con lo cual la convergencia estaraacute absolutamente a expensas de la definicioacuten de
la aplicacioacuten de iteracioacuten I Que naturalmente habraacute de garantizar que dIf lt df si f no
es solucioacuten y dIf =df cuando f sea solucioacuten Si por otra parte fundamos las operaciones de
iteracioacuten en aplicaciones lineales e imposicioacuten de las condiciones uacutenicas entonces las condiciones
(1) y (2) del TGC se verificaraacuten automaacuteticamente (no apareceraacuten dominios inconexos y la frontera
de un dominio objeto se traduciraacute en la frontera del dominio imagen obtenido por la aplicacioacuten)
Teniendo en cuenta que de acuerdo a las condiciones de convergencia la transformacioacuten If de
un conjunto convexo cualquiera de distribuciones de fuentes f es tambieacuten convexo entonces
puede establecerse toda una familia de algoritmos iterativos basados en la definicioacuten de convexidad
topoloacutegica Es decir dadas dos distribuciones f1 y f2 del conjunto convexo la distribucioacuten definida
como λmiddotf1+(1-λ)middotf2 tambieacuten pertenece a ese conjunto siempre que λ se encuentre comprendido
entre 0 y 1 (0leλle1) [29 105 106]
Asiacute pues partiendo de una hipoacutetesis inicial de distribucioacuten de corriente f ( 0 ) el conjunto de
distribuciones obtenidas a partir de la aplicacioacuten reiterada de la operacioacuten I formaraacute un
subconjunto convexo y por tanto el proceso iterativo definido por la ecuacioacuten de iteracioacuten
kkk
kkk
fff
fff
minussdot+=
minus+sdot=+
)1(1
II
λ
λλ (3-27)
94 Capiacutetulo III
convergeraacute hacia la solucioacuten uacutenica para valores de λ comprendidos entre 0 y 1 0ltλle15
Si solamente existe un punto en el cual se verifiquen las restricciones impuestas en la operacioacuten de
iteracioacuten I es decir que f m=I f m entonces
mmmmkkfffff =minussdot+=
infinrarrlim λ (3-28)
Asiacute las condiciones matemaacuteticas que pueden garantizar la convexidad del subconjunto definido por
la operacioacuten I y en consecuencia la convergencia del algoritmo (3-27) deberaacuten abarcar el
conjunto de condiciones fiacutesicas que soacutelo pueden ser satisfechas por una solucioacuten De hecho antes
se ha visto que soacutelo existe una distribucioacuten de fuentes sobre todo el espacio E cuyo campo
engendrado se encuentre a una miacutenima distancia del medido6 Por tanto cualquier aplicacioacuten I
que trate de imponer al conjunto de dipolos de Hertz que el campo que eacutestos engendren sea lo maacutes
parecido posible al observado iraacute reduciendo la distancia hacia esa solucioacuten uacutenica7 Si bien no se
repara expliacutecitamente en ello el extenso estudio de Schaffer sobre algoritmos iterativos [143] y su
propuesta general de algoritmo convergente (definido en teacuterminos anaacutelogos a 3-27) depende en
uacuteltima instancia de la definicioacuten de conjuntos matemaacuteticos convergentes Asiacute la inclusioacuten de
condiciones adicionales para mejorar la convergencia consisten precisamente en la incorporacioacuten de
restricciones que aumente las garantiacuteas de unicidad haciendo que el conjunto de los resultados de
cada iteracioacuten sea convexo
322 Observacioacuten plana cercana y observacioacuten lejana
Para cierto tipo de radiadores de elevado tamantildeo eleacutectrico como es el caso de los grandes
radiotelescopios ya no soacutelo la operacioacuten inversa (3-17) sino incluso la operacioacuten directa T middotf puede
llegar a ser un problema que puede no obstante abordarse coacutemodamente cuando la geometriacutea de la
superficie de las fuentes es plana y el dominio de observacioacuten igualmente plano (paralelo al de las
fuentes) en la zona de Fresnel o bien se trata de una observacioacuten lejana Para tales geometriacuteas el
5 Noacutetese que para λ=1 se obtendriacutea una ecuacioacuten de iteracioacuten como la (3-1) sin embargo para λ=0 (que de
hecho se ha excluido) el proceso iterativo se estancariacutea obviamente en su punto de partida
6 Seguacuten el teorema de unicidad (sect22) la determinacioacuten del campo complejo tangencial sobre un dominio de
observacioacuten que circunscriba las fuentes es soacutelo compatible con una solucioacuten
7 En el extenso estudio de Schaffer sobre algoritmos iterativos [143] si bien no se repara expliacutecitamente en
ello su propuesta general de algoritmo convergente (definido en teacuterminos anaacutelogos a 3-27) depende en
uacuteltima instancia de la definicioacuten de conjuntos matemaacuteticos convergentes Asiacute la inclusioacuten de condiciones
adicionales para mejorar la convergencia consisten precisamente en la incorporacioacuten de restricciones que
aumente las garantiacuteas de unicidad haciendo que el conjunto de los resultados de cada iteracioacuten sea convexo
Problema electromagneacutetico inverso 95
recurso de las transformadas discretas de Fourier (especialmente las transformadas raacutepidas)
minimizan considerablemente el coste numeacuterico en perjuicio de la flexibilidad sobre los dominios
de fuentes y observacioacuten aplicables No obstante la utilizacioacuten de procedimientos numeacutericos como
las Transformadas de Hankel Quasiraacutepidas [147] han permitido la extensioacuten de estos meacutetodos a
geometriacuteas ciliacutendricas y esfeacutericas a partir de sus respectivas formulaciones modales (sect235)
El uso de las transformadas discretas de Fourier para la solucioacuten del problema inverso en
geometriacuteas planas se encuentra frecuentemente en la literatura Por ejemplo en oacuteptica y
microscopiacutea electroacutenica las elevadas frecuencias de radiacioacuten hacen que los campos en las zonas de
intereacutes esteacuten relacionados mediante transformadas de Fourier (ya que la distancia eleacutectrica entre
eacutestas es elevada) razoacuten que explica que sea en esta disciplina donde se encuentren las
contribuciones maacutes tempranas en el uso de las transformadas discretas especialmente desde los
antildeos 70 Saxton [142] expone exhaustivamente las teacutecnicas desarrolladas en estos dos aacutembitos asiacute
como referencias a las primeras y maacutes importantes aportaciones Yaghjian [168] hace una amplia
relacioacuten de contribuciones tempranas aplicadas a medidas en campo cercano Finalmente aplicado a
la reconstruccioacuten de fuentes electromagneacuteticas sobre antenas puede tambieacuten encontrarse un gran
nuacutemero de propuestas en las que se recurre de una u otra manera a los dominios transformados
Morris [118 119] Ramat-Samii [132] Anderson [7 8] Bucci [19] Toland [158] James [79]
Yaccarino [166] Isernia [76] Blanch [16] Leone [103] Las Heras [98] etc
En general las relaciones directas entre el campo y las fuentes transformadas en la observacioacuten de
radiadores planos (ya sea sobre dominios planos proacuteximos o esfeacutericos lejanos) hacen que la relacioacuten
inversa sea inmediata como pudo observarse en sect235 y sect2441 Esta manera particular de
resolver el problema inverso no es absolutamente diferente a la solucioacuten uacutenica encontrada en (3-
17) en teacuterminos del operador directo T La manera regular en que este operador muestrea la funcioacuten
de Green (cuando los dominios de fuente y de campo tienen las mismas coordenadas superficiales)
nos permite transformar los dominios espaciales en dominios discretos de Fourier de modo que la
matriz transformada se convierte en una matriz diagonal cuya inversioacuten es trivial Sin embargo
soacutelo cuando el aacutengulo de observacioacuten es lo suficientemente extenso el principio de unicidad nos
garantiza una buena reconstruccioacuten de la distribucioacuten de corrientes
Para el caso de una observacioacuten plana en las proximidades del sistema radiante (zona de Fresnel)
=rArrsdot= minus
oo DFT
ΨE
ΨE ~~
~~~ 1ff (3-29)
Donde puede apreciarse que la frecuencia espacial de la distribucioacuten de fuentes reconstruida se
encontraraacute limitada por la de la distribucioacuten de campo Pero aquiacute nos surge una dificultad
fundamental como hemos visto en sect241 la frecuencia espacial de la distribucioacuten de campo
depende esencialmente del tamantildeo eleacutectrico de las fuentes Sin embargo por ser limitado en su
96 Capiacutetulo III
ancho de banda espacial su extensioacuten sobre el plano seraacute ilimitada y en consecuencia cualquier
observacioacuten real ndashobviamente limitada en extensioacutenndash representaraacute un truncamiento de la
distribucioacuten real cuyo ancho de banda no es estrictamente finito Esto da un caraacutecter aproximado a
cualquier solucioacuten de problemas planos que se acercaraacute tanto mejor a la realidad cuanto menor sea
la energiacutea de la distribucioacuten de campo truncada No obstante para que la relacioacuten anterior (3-29)
tenga validez entre los dominios de fuente y observacioacuten ha de existir una relacioacuten de translacioacuten
con lo cual al aumentar la extensioacuten de la observacioacuten aumentaraacute a la vez el nuacutemero de fuentes y
con ello la frecuencia espacial de las distribuciones representables Por esta razoacuten al expandir
ambos dominios es cada vez maacutes necesario incluir ciertas restricciones que nos permitan
aproximarnos mejor a la realidad sobre el dominio de fuentes podremos incluir restricciones sobre
su extensioacuten efectiva y sobre el dominio de campo restricciones sobre su ancho de banda
En el caso de la observacioacuten sea lejana (en zona de Fraunhoffer) ndashaplicando en (2-50) el
equivalente conductor eleacutectrico para la superficie de las fuentesndash
ETMMTE 112222 ][ ~][ minusminus=rArrsdot= DFTxCLxCL (3-30)
Donde las transformadas son unidimensionales cuando pueden asiacute considerarse los dominios de las
fuentes y de observacioacuten pero cuando estos son planos las transformadas seraacuten bidimensionales ndash
para cuya definicioacuten puede extenderse la expresioacuten 2-39 a las transformadas discretasndash de modo
que E ψ f y M se manipulan comuacutenmente como matrices cuyos elementos corresponden a los
puntos de la retiacutecula plana Teacutengase en cuenta que la matriz de transformacioacuten TCL soacutelo afecta a las
componentes vectoriales no a las matriciales
Reviste un cierto intereacutes teoacuterico el hecho de que la aplicacioacuten del equivalente conductor eleacutectrico
(ECE) y magneacutetico (ECM) en (3-19) conduce a dos ecuaciones praacutecticamente ideacutenticas
( )zJM ˆ
~~
sincoscoscoscossin
)(ECM
~~
cossinsincoscoscos
)(ECE
timessdot=rArr
sdot
minusminus
sdot=
rarr
sdot
sdot=
rarr
η
ϕϑϕϑϕϕ
η
ϕϕϕϑϕϑ
ϕ
ϑ
ϕ
ϑ
y
x
y
x
JJ
rfEE
MM
rfEE
(3-31a)
Es decir si solamente contamos con la informacioacuten de campo lejano entonces las corrientes que
generan dicha distribucioacuten cumplen la relacioacuten de equivalencia (3-31) lo cual no implica que esa
distribucioacuten de corrientes engendre en todo el espacio una distribucioacuten de campos ideacutentica a la de la
verdadera relacioacuten de corrientes sobre la superficie que engloba las fuentes En definitiva en campo
lejano ndashque estrictamente se trata de una distribucioacuten ideal a la que se tiende asintoacuteticamentendash se
ha producido una peacuterdida de informacioacuten que limita la capacidad del proceso inverso Desde el
punto de vista numeacuterico habraacute en efecto un momento ndashque dependeraacute de la precisioacuten utilizadandash a
Problema electromagneacutetico inverso 97
partir del cual no pueda distinguirse entre las distribuciones equivalentes de corriente eleacutectrica y
magneacutetica
Si en el caso de observacioacuten plana cercana aplicamos alternativamente los principios de equivalencia
como hemos hecho para observacioacuten lejana usando (2-30) (2-33) es faacutecil demostrar que entre las
corrientes eleacutectricas y magneacuteticas existe una relacioacuten funcional
)~(~ 0110~~ ~~
~~~
1~~
~~
zJJMJJG
GM r timessdot=sdot
minus
sdot= rarrsdot
minusminus== infinrarr ηη
xyJxxJ
yyJxyJ
xyMM
J
GGGG
G
(3-31b)
Donde puede verse que la relacioacuten diaacutedica existente entre ambas distribuciones de campo al
aumentar la distancia tiende a convertirse en una relacioacuten vectorial simple e ideacutentica a la de la
relacioacuten (3-31a)
En lo que respecta al coste operacional resulta evidente que si hacemos coincidir el nuacutemero de
muestras con una potencia de 2 estos procedimientos presentaraacuten un mayor atractivo operativo ndash
tanto en (3-29) como en (3-30)ndash al poder calcular las transformadas discretas por medio de
transformadas raacutepidas de Fourier (FFT)
323 Observacioacuten incompleta
Si en lugar de hablar de medidas reales nos contentaacuteramos con hacerlo de unas utoacutepicas en las que
el ruido fuera despreciable y el aacutengulo de observacioacuten completo entonces podriacuteamos concluir
diciendo que la separacioacuten entre muestras que minimizan la complejidad del problema es λ(2χ)
ndashdonde χ puede determinarse como se indica en sect243ndash Sin embargo lo normal es tener que lidiar
con el ruido y que no gocemos de un aacutengulo de observacioacuten tan amplio como pudieacuteramos desear
En estas circunstancias ndashiexcltan habitualesndash se hace menester recurrir a toda la informacioacuten adicional
de que se disponga para eliminar aquello que no corresponda a las distribuciones de campo
generadas por una determinada clase de radiadores y reconstruir el campo en las zonas no medidas
La incorporacioacuten de esta informacioacuten adicional puede hacerse por medio de un procedimiento
iterativo como se indicoacute en sect31 (figura 3-1) Cuando realizamos la proyeccioacuten sobre el espacio E
estamos en realidad eliminando todas las componentes que no pertenezcan a dicho espacio y asiacute
haciendo que las distribuciones cumplan las restricciones sobre el ancho de banda mencionadas en
el capiacutetulo 2 y aun otras maacutes estrictas ya que como es obvio no todas las distribuciones con ancho
de banda igual o inferior al del campo son distribuciones de campo vaacutelidas De hecho mientras que
98 Capiacutetulo III
las primeras pueden considerarse de dimensioacuten infinita8 las segundas ndashcomo se demostroacute en el
capiacutetulo 2ndash son de dimensioacuten finita Sin embargo cuando usamos las atractivas relaciones de
Fourier entre las distribuciones planas de fuentes y campos ndash(3-29) y (3-30)ndash ya no estamos
realizando la proyeccioacuten sobre el espacio E en el que estaacute representado de forma miacutenima todas las
distribuciones de campo engendrables por cualquier conjunto acotado de fuentes En estos casos
debemos entonces recurrir a otras propiedades conocidas de las distribuciones sobre los dominios
de observacioacuten y de fuentes Esas propiedades podemos obtenerlas a partir de cualquier
conocimiento a priori sobre los dos dominios pero generalmente se reducen a la limitacioacuten espacial
sobre el dominio de las fuentes y a la limitacioacuten frecuencial sobre el de observacioacuten
Normalmente se conoce la superficie sobre la que se extienden las fuentes y asiacute la parte del dominio
plano en que eacutestas pueden considerarse nulas A esta restriccioacuten ndashmuy usada en diversas disciplinas
[143 45 46 47 61 62 70]ndash se la denomina soporte finito Para una limitacioacuten del ancho de banda
espacial independiente del tamantildeo del radiador puede usarse el teorema 1 de muestreo y para una
maacutexima limitacioacuten frecuencial en el dominio de observacioacuten puede recurrirse al teorema 3 (sect241)
Si bien desde el punto de vista operativo puede desearse una miacutenima cantidad de puntos de
muestreo la utilizacioacuten de un sobremuestreo ndashal margen de los beneficios frente al aliasingndash junto
con la imposicioacuten de la limitacioacuten espectral como demuestra Schaffer [143] mejora los resultados
obtenidos Asiacute pues las restricciones impuestas a las fuentes y al campo observado pueden
expresarse como
le+
== primeisin
== ++ resto0
~~~
resto0)(
222
11
δβββ yxkkEk
kkfk
S EEE
rrR
ffRf (3-32)
En general el uso de estas restricciones es necesario siempre que se utilicen las relaciones de
Fourier entre los dominios de las fuentes y del campo (con independencia de la extensioacuten de las
observacioacuten) de lo contrario el ruido agregado en las medidas de campo puede arruinar el proceso
inverso
En lo que respecta a la incorporacioacuten de las medidas del campo electromagneacutetico cuando soacutelo se
dispone de un aacutengulo de observacioacuten inferior al de intereacutes el operador que simboliza dicha
operacioacuten M puede representarse como
notinisin
==+mk
mkk D
DM
)( )(
medido1 rrE
rrEEE (3-33)
8 Soacutelo si se consideran dominios de observacioacuten de aacuterea ilimitada Cuando se utilizan dominios de aacuterea
acotada el conjunto de funciones de distribucioacuten limitadas en banda sobre dicho dominiondashcomo demostroacute
Shannon [146]ndash es de dimensioacuten finita
Problema electromagneacutetico inverso 99
Donde Dm representa el dominio de medida y el resto corresponde a la parte del dominio de intereacutes
no cubierto por las medidas (la figura 3-2a ilustra graacuteficamente esta operacioacuten)
Figura 3-2 Procedimiento iterativo para la aplicacioacuten de medidas sobre parte del dominio de intereacutes
Podriacuteamos llegados a este punto preguntarnos si la incorporacioacuten de las mencionadas restricciones
ndashsiendo beneficiosas cuando pueden usarse las relaciones de Fourierndash aportan o no beneficios al
proceso inverso cuando se estaacute aplicando la proyeccioacuten sobre el espacio E (sect32) Es evidente que
la restriccioacuten de soporte finito se incorpora impliacutecitamente al limitar el dominio de las fuentes
sobre el que se situacutean los dipolos equivalentes de Hertz a aquel sobre el que sabemos que se
extienden Y en lo que respecta a la restriccioacuten de ancho de banda como ya se sentildealoacute aparece de
forma natural al realizar la proyeccioacuten que puede interpretarse como un filtrado oacuteptimo sobre el
espacio de las distribuciones de campo vaacutelidas Se hace asiacute patente que la incorporacioacuten de tales
restricciones resultariacutea superflua cuando se recurre al procedimiento de proyeccioacuten ya que eacuteste es
de hecho maacutes restrictivo Por tanto en este caso el procedimiento iterativo que permitiriacutea la
reconstruccioacuten paulatina de la distribucioacuten de campo sobre el dominio completo de intereacutes podriacutea
obtenerse como particularizacioacuten del procedimiento geneacuterico de la figura 3-1 prescindiendo de las
restricciones sobre el campo y las fuentes9
9 En algunos casos la utilizacioacuten de una distribucioacuten plana extensa facilita la complejidad del problema directo
ndashe indirectamente el inversondash al permitir el uso de la teoriacutea de imaacutegenes Cuando eso ocurre entonces la
M E k
E K f K
kf
T 1+kE
εltminus 1kkd EE T ndash 1
M E k Medidas E k isin E
a) Operador de incorporacioacuten de las medidas
b) Procedimiento iterativo para la reconstruccioacuten sobre todo el dominio de intereacutes
100 Capiacutetulo III
3231 Observacioacuten incompleta sobre dominios planos o lejanos
Cuando se trabaja con dominios planos o en campo lejano entonces la relacioacuten entre fuentes y
campos puede establecerse por medio de transformadas en cuyo caso la utilizacioacuten de las
restricciones es de capital importancia ndashcomo se indicoacute en sect322 y se observaraacute en el capiacutetulo de
validacioacutenndash Las figuras 3-3 y 3-4 (en las que se simbolizan con F la transformada discreta oportuna
al dominio de observacioacuten) representan el procedimiento equivalente al de la figura 3-2 para los
casos de dominios planos en zona de Fresnel y en observacioacuten lejana respectivamente El algoritmo
de ampliacioacuten del dominio se hace aquiacute formalmente equivalente al propuesto por Gerchberg
Papoulis y otros [70 sect12] que seguacuten demostraron la sucesioacuten de distancias entre distribuciones
consecutivas dn es monoacutetonamente decreciente Por otra parte de acuerdo a los resultados
demostrados por Schaffer [143] cuando haya una sola distribucioacuten de campo y de fuentes que
satisfagan simultaacuteneamente las restricciones y las medidas entonces puede decirse que estos
procedimientos son consistentes y tienden hacia dicha solucioacuten Este es el caso en virtud del
teorema de unicidad de que el aacutengulo de observacioacuten sea lo suficientemente amplio y de que sean
posibles las medidas de campo complejo
Cuando se utilizan medidas planas y cercanas entonces la ecuacioacuten baacutesica de iteracioacuten (3-1)
representa matemaacuteticamente el proceso recursivo de la figura 3-3 desde el punto de vista del
campo o de las fuentes respectivamente
sdot
==
sdot
==
minus
minusminus
minus
minusminusminusminus
ψ
ψ
ψψ
~~
~~
11
11
1111
nEfnn
nEfnn
fDFTDFTDFTDFTff
EDFTDFTDFTDFTEE
MRR
MRR
I
I
(3-34)
(3-35)
incorporacioacuten de la restriccioacuten de soporte finito es beneficiosa tambieacuten cuando se usa el procedimiento de
proyeccioacuten sobre el espacio E
Problema electromagneacutetico inverso 101
Figura 3-3 Procedimiento iterativo para la aplicacioacuten de informacioacuten adicional en dominios planos para una
observacioacuten cercana (zona de Fresnel)
Cuando lo que se utilizan son medidas lejanas y se reconstruye sobre una superficie plana entonces
la ecuacioacuten de iteracioacuten del proceso recursivo represantado en la figura 3-4 se expresa desde el
punto de vista del campo o las fuentes como
1111
1 ][][ minusminusminusminus
minus sdotsdot== nECLfCLnn DFTDFTDFTDFT ETTEE MRRI
][][1
1111 minus
minusminusminus
minussdotsdot==
nCLECLfnnDFTDFTDFTDFT fMRRff TTI
(3-36)
(3-37)
Figura 3-4 Procedimiento iterativo para la aplicacioacuten de informacioacuten adicional para reconstruccioacuten sobre
dominios planos y observacioacuten lejana (zona de Fraunhoffer)
Si bien en los esquemas de las figuras 3-2 a 3-4 podriacutea echarse en falta un punto de partida la
ausencia es deliberada ya que en la praacutectica ndashcuando el algoritmo es absolutamente convergentendash
poco importa el punto de partida y puede empezarse con una hipoacutetesis arbitraria tanto sobre las
fuentes como sobre los campos (por ejemplo una distribucioacuten homogenea sobre cualquiera de los
dos dominios) Finalmente puede auacuten definirse en caso de que la informacioacuten sea suficiente para
garantizar la convexidad de las distribuciones respecto a las medidas toda una familia de algoritmos
iterativos como se haciacutea en sect3213c por medio de la ecuacioacuten de iteracioacuten (3-27) usando ahora los
operadores de iteracioacuten I definidos en 3-35 y 3-37
M E k
R f f k
E K f K
ψ~)(o kf~
F F ndash1
Fψ~)( sdoto
~ kE ER
1~
+kEF ndash1
εltminus ~~ 1kkd EE
F ndash1
F ndash1
M E k
R f f k
E K f K
kf~
F
F)(][ osdotCL
T
~ kE ER
1+kE
εltminus ~~ 1kkd EE )(][ 1 osdotminusCL
TF ndash1
102 Capiacutetulo III
33 PROBLEMA INVERSO SIN FASE
Como se dijo al principio es muy usual que en ciertas condiciones experimentales soacutelo nos resulte
accesible el conocimiento del moacutedulo del campo Es evidente que en tales circunstancias el teorema
de unicidad (sect22) no nos garantiza que la utilizacioacuten exclusiva de esta informacioacuten sea suficiente
para poder conocer el campo en otras zonas del espacio Con mayor motivo tampoco podriacuteamos
estar seguros de poder reconstruir una distribucioacuten de corrientes equivalentes que pueda engendrar
el mismo campo que el de las fuentes originales En principio si dejamos volar la imaginacioacuten
podriacutea llegar incluso a parecernos verosiacutemil que a esa distribucioacuten de moacutedulo del campo le
corresponda una distribucioacuten arbitraria de su fase Esto supondriacutea que el problema
electromagneacutetico inverso a partir del moacutedulo admitiriacutea un conjunto ilimitado de soluciones Aunque
claramente se tratariacutea de un imaginar irresponsable porque la extensibilidad analiacutetica de las funciones
de onda establece una solidaridad interna entre sus partes real e imaginaria y en consecuencia entre
su moacutedulo y fase No obstante el criterio de distribucioacuten analiacutetica puede auacuten no ser suficiente para
garantizarnos que soacutelo haya una distribucioacuten de fase compatible con la de moacutedulo (al margen de la
diferencia inesencial de una constante de fase) pero en cualquier caso parece ahora maacutes
responsablemente verosiacutemil que pueda establecerse una relacioacuten de dispersioacuten entre el moacutedulo y la
fase que limite nuestra ambiguumledad
Cuando el dominio de observacioacuten estaacute lo suficientemente alejado las distribuciones de campo
como se ha visto en sect235 estaacuten relacionados con las distribuciones de corriente sobre el dominio
de las fuentes por medio de transformadas de Fourier En este caso el conocido teorema de Paley-
Wiener [129] nos ofrece una garantiacutea esencial acerca de las distribuciones en el dominio de
observacioacuten ya que cuando la distribucioacuten de corrientes tiene un ldquosoporte finitordquo como es el
caso10 ldquosu transformada de Fourier se puede extender en una funcioacuten analiacutetica enterardquo11 En
consecuencia las partes real e imaginaria de dicha distribucioacuten deberaacuten estar ligadas por medio de
las condiciones de Cauchy-Riemann y lo que es maacutes puede establecerse una relacioacuten de dispersioacuten
que asocia mediante la transformada de Hilbert las partes real e imaginaria de forma maacutes directa
[64]
10 Caracteriacutestica que por otra parte pone liacutemites a la extensibilidad analitica de las distribuciones de corriente
[30 sect19]
11 Podriacutea tambieacuten antildeadirse a merced del teorema de Titchmarsch [157] que una distribucioacuten causal es
suficiente para garantizar la extensibilidad analiacutetica de su transformada Teniendo en cuenta que el origen de
coordenadas siempre puede desplazarse arbitrariamente bastaraacute por tanto para garantizar la extensibilidad
analiacutetica de la distribucioacuten de campo que las corrientes esteacuten limitadas por un solo lado
Problema electromagneacutetico inverso 103
intinfin
infinminus
primeprimeminusprime
minus=minus= xdxxxE
xExE)(Im1)(Im)(Re
πH (3-38)
Si por otra parte consideramos no soacutelo las distribuciones sobre dominios lejanos sino en general
sobre cualquier otro relativamente separado de las fuentes es decir sobre un dominio exento de
singularidades entonces las propiedades de las funciones de Green nos permiten llegar a
conclusiones anaacutelogas Para ello basta recordar que las funciones de Green fuera de las
singularidades son funciones armoacutenicas ([30 sect63 84 sect31])12 y por tanto extensibles a funciones
enteras sobre la prolongacioacuten compleja de los dominios de observacioacuten en un espacio C2 De esta
forma a tenor de la extensibilidad analiacutetica de las funciones armoacutenicas pueden ahora generalizarse
las relaciones entre las partes real e imaginaria de las distribuciones de campo sobre cualquier
dominio de observacioacuten antes referidas para los dominios de observacioacuten lejanos
No obstante si bien esta relacioacuten de dispersioacuten (3-36) puede llegar a tranquilizarnos acerca de la
coherencia interna de los valores complejos de la distribucioacuten y en definitiva de la reduccioacuten de la
ambiguumledad cuando soacutelo se cuenta con una parte de sus valores complejos en realidad no pone en
nuestras manos una pauta praacutectica para colegir la informacioacuten que nos falta Por limitaciones
tecnoloacutegicas obvias no se da el caso de conocer las partes real o imaginaria de las distribuciones de
campo sobre las cuales se podriacutea aplicar directamente la relacioacuten de dispersioacuten (3-36) sino que
cuando aparecen dificultades para obtener la distribucioacuten compleja lo que naturalmente se
consigue es su moacutedulo En estas condiciones podriacutea intentarse extender la relacioacuten de dispersioacuten a
la distribucioacuten logariacutetmica del campo con lo que al fin quedariacutean ligados los valores de moacutedulo y
fase lnE(r)=ln|E(r)|+jϕE(r) Si esta distribucioacuten admitiese una extensibilidad analiacutetica [64]
podemos ahora aplicar la relacioacuten (3-38)
|)(|)]([)]([|)(ln|
rErE
rErE
HH
=minus=
ϕϕ
(3-39)
Sin embargo topamos aquiacute con una limitacioacuten esencial la singularidad de la funcioacuten logariacutetmica en
los ceros de la distribucioacuten de campo sobre el eje real Es evidente que bajo estas condiciones no
podemos definir la transformada de Hilbert y en consecuencia la relacioacuten de dispersioacuten (3-39) no
puede sacarnos del atolladero Debemos pues buscar otra manera para estudiar si la distribucioacuten
del valor absoluto del campo tiene o no solucioacuten uacutenica Para ello consideraremos primero
distribuciones de campo lejano sobre dominios unidimensionales y una vez alcanzada una
12 Noacutetese que la definicioacuten de funciones armoacutenicas en teacuterminos de la ecuacioacuten de Laplace puede aquiacute
extenderse de forma directa como propusieron Minkowski y Sommerfeld considerando el tiempo como una
variable maacutes entre las espaciales De esta forma la ecuacioacuten de Helmoltz se convierte en una de Laplace
generalizada [151 sect119 161 sect283]
104 Capiacutetulo III
conclusioacuten soacutelida de este problema particular procuraremos extender los resultados a dominios
superficiales y a distancias proacuteximas
El objetivo consiste pues en descubrir el conjunto de condiciones que son necesarios para poder
asegurar la unicidad de solucioacuten Condiciones que pueden ser de dos tipos 1) iquestQueacute propiedades
deben cumplir las distribuciones 2) iquestQueacute cantidad de informacioacuten debe recabarse La buacutesqueda
de ambos tipos de condiciones se abordaraacute desde la factorizacioacuten de las extensiones analiacuteticas de las
distribuciones de campo Los procedimientos que procuren alcanzar dicha solucioacuten sect34 estaraacuten
evidentemente vinculados a los criterios de unicidad
331 Unicidad de solucioacuten
Seguacuten se ha argumentado anteriormente la distribucioacuten de campo puede extenderse en una
distribucioacuten analiacutetica sin maacutes que considerando la finitud del soporte de las fuentes Consideremos
por simplicidad que el dominio de observacioacuten es circular y lejano que las fuentes se reparten
sobre un dominio lineal y compacto siendo ademaacutes unidireccionales y de un uacutenico tipo (por
ejemplo corrientes magneacuteticas) Entonces a partir de (2-50) es evidente que el campo sobre el
dominio de observacioacuten seraacute unidireccional y estaraacute directamente ligado con la transformada de
Fourier de la distribucioacuten de fuentes Particularizando (2-50)
λλ
ϑ
λ ππβ
]11[ sin )(
)()()()( 22
abaa
uukx
xdexxdexkdxexkuE
nu
b
a
xujb
a
xujb
a
uxj
=prime=prime
minusisinrArr=isin=
=primeprime=primeprimesdot=sdot= intintintprime
prime
primeminusprime
prime
primeminusminus
Cf
fff n
F
Suponiendo de antemano que la
distribucioacuten de fuentes y las dimensiones
del soporte a y b estaacuten normalizadas la
notacioacuten se simplifica en adelante
dxexEuE xujb
a
sdotsdotminussdot=== int πϑ 2)(~)(sin)( ff
(3-40)
Donde [ab] es aquiacute el soporte finito de las fuentes La distribucioacuten E(u) u isin real en virtud del
mencionado teorema de Paley y Wiener se puede extender en una distribucioacuten analiacutetica E(z) z isin
C cuyo comportamiento asintoacutetico es exponencial y de orden uno E(z) rarr Oe b|z| Por tanto
aunque la extensioacuten analiacutetica de la distribucioacuten no sea un polinomio finito puede asegurarse que sea
trascendental [153] es decir que auacuten teniendo una cantidad ilimitada de ceros en cualquier disco
acotado |z|ltr soacutelo puede haber un nuacutemero finito de ellos Es ademaacutes evidente seguacuten (3-40) que
la distribucioacuten de campo es de ancho de banda finito e igual a |b-a| (que es lo que de hecho predice
el teorema 3 de muestreo sect241)
Si pretendieacuteramos apoyar la unicidad de solucioacuten exclusivamente en la analiticidad de las
distribuciones de campo nos topariacuteamos con una ambiguumledad elemental que fue sentildealada
Problema electromagneacutetico inverso 105
primeramente por Akutowicz en 1956 [2 3] y luego con maacutes detalle por Walter [160] y que consiste
en la posibilidad de ubicar arbitrariamente los ceros de la funcioacuten analiacutetica en posiciones simeacutetricas
respecto al eje real ya en la parte superior o en la inferior El fundamento de esta ambiguumledad
radica en dos propiedades elementales de las funciones enteras
a) si zk es uno de los ceros de E(z) entonces la distribucioacuten E(z)sdot(zndashzk)(zndashzk) es tambieacuten
entera13
b) el moacutedulo de una distribucioacuten entera sobre el eje real seguacuten el lema 44 de Titchmarsh [157]
puede determinarse como el producto del moacutedulo de los binomios definidos por sus ceros
]1[
11|)0(|1|)0(||)(|
21
21
21 infin=cup
empty=capminusprodsdotminusprodsdot=minusprodsdot= lowast=
infin
kk
kk
zu
zuE
zuEuE
kkkkkik
(3-41)
Esto supone que si E(z) es la extensioacuten analiacutetica de la verdadera distribucioacuten de campo entonces
prodsdot=
minusminus
prodsdot=Blaschke de factores
ceros de arbitrario conjunto
)(
donde )()()()(
1 zB
kzBzE
zzzzzEzE
kk
kk
k
k (3-42)
es otra funcioacuten entera cuyo ancho de banda es ademaacutes finito e igual al de E(z) [160 153] Por
tanto si nos fijamos exclusivamente en el moacutedulo de la funcioacuten de campo en su ancho de banda y
su extensibilidad analiacutetica entonces el problema inverso nos dejariacutea una ambiguumledad que
dependeriacutea del nuacutemero relevante de ceros14 N Puesto que la duda reside en situar cada uno de los
ceros arriba o abajo del eje real la ambiguumledad que plantea el problema de Walther es de orden 2N
Equiacutevoco que tambieacuten puede interpretarse en teacuterminos de la distribucioacuten del cuadrado del moacutedulo
del campo |E(x)|2= E(x)middotE(x) cuya extensioacuten analiacutetica es E(z)middotE(z) y que por tanto tiene sus
ceros simeacutetricamente distribuidos respecto al eje real Es evidente que si pudieran determinarse los
ceros de esta uacuteltima funcioacuten entera habriacutea auacuten que elegir si en la deseada distribucioacuten de campo sus
correspondientes ceros se encuentran por encima o por debajo del eje real con lo que aparece
nuevamente la ambiguumledad de orden 2N
13 La analiticidad de esta funcioacuten es trivial De hecho puede probarse directamente que si un conjunto de
funciones cumple las condiciones de Cauchy-Riemman cualquier producto de eacutestas tambieacuten las verifica [30
sect19]
14 El nuacutemero ldquorelevanterdquo de ceros depende de la extensioacuten del dominio de observacioacuten Como se observaraacute maacutes
adelante los ceros tienden a situarse asintoacuteticamente sobre una recta paralela al eje real distanciaacutendose
progresivamente Entonces de acuerdo con (3-42) los ceros demasiado alejados no tienen peso relevante
sobre el moacutedulo del campo tendiendo su contribucioacuten a confundirse con el ruido [23 44]
106 Capiacutetulo III
Por fortuna Hoenders en 1975 indicoacute la pauta para resolver este embrollo que naturalmente
procede de poner en juego el comportamiento de la distribucioacuten de fuentes ya que como hemos
visto las consideraciones sobre la distribucioacuten de campo conducen a una aporiacutea Pero digo pauta en
lugar de solucioacuten porque en realidad la conclusioacuten que derivoacute Hoenders de su anaacutelisis dejoacute oculto
un descuido que la invalida y que impide la practicidad de su correcto resultado matemaacutetico
Lamentablemente esto ha pasado inadvertido [44 153 6 137 70] y asiacute su conclusioacuten se ha
perpetuado en beneficio de la tranquilidad teoacuterica aunque a despecho de su practicidad No
obstante antes de discutir este asunto buscaremos una relacioacuten de dispersioacuten del estilo de la (3-39)
que ligue el moacutedulo y la fase de las funciones de campo pero que a diferencia de aquella sea de
validez general Se observaraacute que a tenor de la ubicacioacuten de los ceros de la distribucioacuten de campo la
ambiguumledad es de menor orden que la sugerida por el problema de Walter [65 44 70]
3311 Relacioacuten de dispersioacuten entre el moacutedulo y la fase
Si contemplamos el comportamiento asintoacutetico de (3-40) para urarrinfin puede faacutecilmente demostrarse
que eacuteste tiende a
Cisinminussdot=
minussdotminus
=sdotminussdotminus
rarr
minusminusminus
minusminusminus
minusminus
infinrarr
keez
ek
eab
zjeaeaeb
zjzE
abzjjazj
abzjzaj
zajzbj
z
1
1)()(
2)(
)()(2
1)(
)(222
)(22
22
ππγπ
ππ
ππ
ππ fff
ff (3-43)
Con lo cual los ceros estaraacuten asintoacuteticamente distribuidos sobre una recta paralela al eje real15
isin=
isin
minus+
rarrinfinrarr C
Z
)()(
2
abe
n
abnz jzk
ffπγ
γ (3-44)
Donde puede verse que si el rango de observacioacuten estaacute limitado el nuacutemero de ceros relevantes N (ver
nota 14) dependeraacute esencialmente de la distancia a la que eacutestos se situacuteen que como vemos estaacute en
relacioacuten inversa a la extensioacuten del dominio de fuentes a-b En definitiva N se encuentra en relacioacuten
directa con dicha extensioacuten Por otra parte observamos en (3-44) que si Imγgt0 (para lo cual
basta seguacuten 3-44 que el moacutedulo de la distribucioacuten de fuentes sea mayor en b que en a) entonces el
nuacutemero de ceros en el semiplano inferior SPI es finito e ilimitado en el superior SPS (diriacuteamos lo
opuesto si invirtieacuteramos la condicioacuten anterior) Denotando a este conjunto finito de ceros sobre el
SPS como z 1 z 2 z l podemos construir una funcioacuten auxiliar Ω(z) cuyos ceros esteacuten soacutelo
situados en el semiplano superior involucrando los oportunos factores de Blaschke
15 Este resultado es equivalente a la foacutermula asintoacutetica de Titchmarsch [157] y a la de Cartwright [26]
Problema electromagneacutetico inverso 107
minusminus
prodsdot=Ω= k
kl
k zzzzzEz
1)()( (3-45a)
No obstante aunque Ω(z) carezca de ceros finitos en el SPI su comportamiento asintoacutetico no estaacute
definido (como puede verse en 3-43) Sin embargo la funcioacuten
uzezzz
azj
minussdotsdotΩ
=Ξ)(ln
)(2π
(3-45b)
es analiacutetica en todo ese aacuterea (incluido el infinito) salvo acaso en puntos discretos del eje real y con
un polo en u Por tanto si se integra Ξ(z) sobre un contorno cerrado C como el representado en la
figura 34 que deje fuera todas las singularidades de Ξ(z) (con un semiciacuterculo junto al eje real en
torno a u de radio despreciable) el resultado tenderaacute a la mitad del residuo de Ξ(z) en z=u [1 sect53]
Asiacute seguacuten el contorno tienda a englobar todo el SPI es decir Rrarrinfin la integral puede separarse en
dos partes ndashcorrespondientes al eje real y al semiciacuterculondash que pueden definirse (usando el
comportamiento asintoacutetico de E(z) expresado en 3-43)
int
intint
intintint
infin
infinminus
prime
infin
infinminus
minus
minusinfinrarrinfinrarrinfinrarr
primeminusprime
sdotprimesdotprimeΩminussdot=sdotsdotΩsdot
=primeΞminussdot=
=
primeprimeΞ+
primeprimeΞ=
primeprimeΞ=Ξ
uduu
euuP
ia
ieuui
dvuPdjia
uduzdzzdzuz
uajauj
jj
R
RRRR
)(ln
2)(
ln)(ln
)(ReRe
2)(ln
)(lim)(lim )(lim)(Res21
22
0
Semiciculo
ππ
πϑ
ϑ
πππ
ϑπ
f
f
C
(3-46)
Figura 3-5 Contorno de integracioacuten para la obtencioacuten de la relacioacuten de dispersioacuten (3-47)
Donde P denota el valor principal de Cauchy Igualando en esta relacioacuten las partes real e imaginaria
y recurriendo a (3-45) se obtiene una interesante relacioacuten de dispersioacuten
auazuuduu
uuEPuEl
kk ππ
π2
2)(argarg2
)(ln)(arg
1
minusminus+minus+primeminusprime
primesdotprime= int sum
infin
infinminus =
f (3-47)
Donde el primer teacutermino depende exclusivamente de la distribucioacuten del moacutedulo del campo
observado el segundo de la posicioacuten de los ceros en el SPI el tercero y el cuarto por ser
constantes son inesenciales (ya que a partir del moacutedulo del campo debe necesariamente admitirse
en la distribucioacuten de su fase una constante arbitraria) y el uacuteltimo teacutermino refleja el hecho de que la
u
SPIC
-R RRez= u
Imz
108 Capiacutetulo III
funcioacuten E(x) es una funcioacuten entera de orden unidad [1 p208] Obseacutervese que de no haber
dependido de una informacioacuten tan sumamente inaccesible como es la posicioacuten de los ceros en uno
de los semiplanos podriacuteamos haber denominado a la expresioacuten (3-47) como la deseada relacioacuten de
dispersioacuten No obstante nos permite llegar a varias conclusiones interesantes
1) Si se pudiera asegurar que todos los ceros se encuentran por encima del eje real entonces la fase
estariacutea biuniacutevocamente determinada por su moacutedulo (resultado al que podriacuteamos haber llegado
antes ndashen la discusioacuten acerca del orden de la ambiguumledadndash y al que de hecho llegoacute Walther
[160])
2) Nuestra ambiguumledad ya no depende de la ubicacioacuten de los N ceros relevantes de E(z) sino soacutelo
de l que es menor que el nuacutemero de ceros relevantes aunque eacuteste sea un nuacutemero a priori
desconocido
3) Aunque auacuten no hayamos resuelto el problema de la ambiguumledad parece que eacuteste va a depender
de la disponibilidad de informacioacuten aprioriacutestica
3312 Clases de ambiguumledad
Antes de seguir conviene recordar cuales son las fuentes de ambiguumledad en teacuterminos de las
caracteriacutesticas analiacuteticas de las distribuciones de campo cuando de ellas solamente se tiene a
disposicioacuten su moacutedulo [142 sect42 y sect43] El mencionado teorema de Titchmarsh y la relacioacuten (3-41)
nos permiten llegar de forma directa a las tres clases de ambiguumledad cuya importancia y
consecuencia es diferente
1) En primer lugar existe una ambiguumledad obvia respecto a cualquier constante de fase que por el
hecho de carecer de consecuencias praacutecticas podemos tildar de inesencial
2) Cualquier variacioacuten lineal en la fase de la distribucioacuten de campo no tiene efecto sobre su
moacutedulo Esta variacioacuten estaacute representada por los factores endashjux que en el dominio de las fuentes
corresponden a desplazamientos de la distribucioacuten
3) La posibilidad de conmutar un cero de la distribucioacuten original con su complejo conjugado Eacutesta
es a la que baacutesicamente se refiere Walter [160] y a la que hemos venido atendiendo en teacuterminos
de los factores de Blaschke
Obseacutervese que si se consiguiera eliminar la incertidumbre causada por los factores de Blaschke
entonces la imposicioacuten de un determinado soporte finito impediriacutea la aparicioacuten de una variacioacuten
lineal y arbitraria de fase con lo que soacutelo quedariacutea la ambiguumledad inesencial y como eacutesta no nos
importa el problema inverso quedariacutea resuelto Por esta razoacuten Hoenders centra su anaacutelisis en la
ambiguumledad tercera
Problema electromagneacutetico inverso 109
3313 Teorema de Hoenders
Si bien en sect3311 se consiguioacute limitar la ambiguumledad puede auacuten reducirse maacutes si se consideran las
propiedades de las distribuciones de fuentes El teorema de Hoenders [65] demuestra que las
distribuciones de fuentes f(x) y f1(x) centildeidas a un soporte [a b ] y responsables respectivamente de
la verdadera distribucioacuten de campo E(u) y de la modificada por un nuacutemero arbitrario de factores de
Blaschke E1(x) estaacuten ligadas mediante la siguiente ecuacioacuten integral de Volterra16
xdxezzzz
zzi
xdxezzzz
zzixx
b
x
xxjz
nn
nn
n nnn
nn
x
a
xxjz
nn
nn
n nnn
nn
n
n
primeprimeminusminus
prodminus+
primeprimeminusminus
prodminusminus=
intsum
intsum
primeminus
ne
primeminus
ne
)()(
)()()()(
)(
2
2
2 2
22
)(
1
1
1 1
11
2
1
f
fff 1
(3-48)
donde n1 representa el conjunto de polos de los factores de Blaschke en el SPI n2 el de los
polos de estos factores en el SPS y n el conjunto de todas las posibles combinaciones de ceros
excluido el lsquonirsquo De forma esquemaacutetica las relaciones que ligan E1 E f1 y f
rarrrarr
rarrrarr
minusminus
prodsdot=
)()()(
)()()( )()(
1analiacutetica
extensioacuten
11
analiacuteticaextensioacuten
zEuEx
zEuEx
zzzz
zEzEn
n
nF
F
f
f1
(3-49)
Seguacuten la relacioacuten (3-48) en el caso general en el que los ceros zn contengan parte imaginaria (de lo
contrario el factor de Blaschke carece de sentido) los teacuterminos de la derecha son funciones que se
16 Aunque la teoriacutea de Hoenders esteacute formulada en el aacutembito de la microscopiacutea oacuteptica su aplicacioacuten a nuestro
problema es inmediata Una forma alternativa a la de Hoenders para derivar su relacioacuten de dispersioacuten a la vez
que maacutes sencilla es por medio de la transformada de Laplace que naturalmente pueden interpretarse como la
extensioacuten analiacutetica de la de Fourier La relacioacuten entre el dominio de Laplace s y el que hemos caracterizado
por z corresponde a una rotacioacuten de π2 Por tanto aplicando la transformada inversa de Laplace a un factor
de Blaschke sobre un cero del SPI y la relacioacuten entre z y s podemos obtener su efecto sobre el dominio
transformado
)()()()()()(11
xezzixxessxssss
ssss
zzzz xjz
kkjszxs
kkk
kk
k
kjsz
k
k kk-
Γminusminus rarrΓ++rarrminus+
+=minus+
rarrminusminus minuslowast=lowast= δδL
Donde Γ representa a la funcioacuten escaloacuten Recurriendo ahora al teorema de la convolucioacuten
intint primesdotprimesdot+=primesdotprimeminussdotminus=lowast= primeminusprimeminusx
a
xjzxjzk
x
a
xxjzkk xdexeyxxdexzzixsBxx kkk )(2)()()()()()()( )(
1 ffffff 1-L
Observamos que aparecen los teacuterminos integrales de la relacioacuten (3-48) Mediante la consideracioacuten del
producto de varios factores de Blaschke y separando los teacuterminos con polos sobre el SPI y el SPS se obtienen
los teacuterminos descritos por los sumatorios y productorios de (3-48)
110 Capiacutetulo III
extienden fuera del intervalo [ab] ilimitadamente hacia uno u otro extremo (como puede verse en
la nota 16 para ceros en el SPI aparecen teacuterminos que se extienden maacutes allaacute de x=b) De acuerdo
con el razonamiento de Hoenders si estos teacuterminos sin soporte finito vienen a modificar la funcioacuten
de distribucioacuten de las fuentes de forma aditiva entonces una distribucioacuten de fuentes
correspondiente a una distribucioacuten de campo modificada por factores de Blaschke no tendraacute
soporte finito No obstante existe un caso de reflexioacuten de ceros al que debe corresponder a todas
luces una distribucioacuten de soporte finito aquella en la que se reflejan todos Eacutesta distribucioacuten es
evidentemente E(z) cuya distribucioacuten de fuentes asociada es tan compacta como la original como
puede observarse mediante aplicacioacuten de las propiedades de las transformadas [65 126]
)()(
)()( xzE
xzE
minus rarrlarr
rarrlarrharr
harr
SD
SD
f
f
z
z
(3-50)
Por tanto concluye Hoenders que soacutelo caben dos distribuciones de fuentes compactas f(x) y f (-x)
que sean compatibles con una distribucioacuten de moacutedulo del campo dada Bastariacutea seguacuten eacutel saber a
priori queacute extremo de la distribucioacuten es mayor para poder romper esta uacuteltima ambiguumledad17
Obviamente podriacuteamos preguntarnos que ocurre con todos los teacuterminos de soporte no finito que
deberiacutea haber en la relacioacuten entre f(x) y f1(x) seguacuten (3-38) Ante esto ni Hoenders ni los que
recurren a su resultado hacen especial mencioacuten Podriacuteamos atajar el problema diciendo que
seguramente esos teacuterminos se cancelen unos a otros pero si decimos eso tendriacuteamos tambieacuten que
admitir otros casos en los que tales teacuterminos se cancelaran con lo cual la ambiguumledad tornariacutea a no
ser tan estrecha como supone Hoenders
El problema para poder discutir la divergencia de las distribuciones de fuente radica en que no
podemos expresarlas en funcioacuten de los ceros de las funciones de campo (es decir no podemos
determinar L -1(sndashsk)) La uacutenica manera de poder resolver el problema es considerando la
discretizabilidad del problema electromagneacutetico discutida en el capiacutetulo anterior y que se abordaraacute
maacutes adelante (sect3316) Alliacute la relacioacuten entre ceros de la distribucioacuten de campo y las distribuciones
de fuente es clara Y ademaacutes se observa que la ambiguumledad debida a los factores de Blaschke (tipo
3) y la de los teacuterminos de fase lineal (tipo 2) no pueden considerarse por separado como suponiacutea
Hoenders (sect3312) Por tanto no se trata de que el teorema de Hoenders sea erroacuteneo sino que
maacutes bien a partir de eacutel no podemos sacar conclusiones Y aquiacute se encuentra el error tanto de
Hoenders como el de los que a partir de eacutel repiten la misma conclusioacuten como puede verse en las
maacutes importantes revisiones del problema inverso sin fase Ferwerda [44] Taylor [153] Sali [137] o
17 Obseacutervese que si la distribucioacuten de fuentes fuese perfectamente simeacutetrica (moacutedulo par y fase constante)
entonces f (x) y f (-x) soacutelo se diferenciariacutean en una constante con lo cual resultariacutean indistinguibles y la
solucioacuten seriacutea uacutenica e igual a e j θ f (x) donde θ isin real representa la ambiguumledad inesencial
Problema electromagneacutetico inverso 111
Hurt [70] Aunque curiosamente en eacutestas una vez esgrimido como sosteacuten teoacuterico al final viene a
lamentarse su inviabilidad praacutectica Mientras que no seriacutea difiacutecil la definicioacuten de un operador que
aplicando de forma iterativa las condiciones de unicidad permitiera conducirnos a la solucioacuten ndashsi el
algoritmo cumpliera con las condiciones del teorema global de la convergenciandash
No obstante la consecuencia general de Hoenders siacute estaacute avalada por la praacutectica y nos dice que
debemos contar con alguna informacioacuten adicional sobre las fuentes (relativa a su extensioacuten y alguacuten otro
conocimiento sobre su distribucioacuten de moacutedulo) para garantizar la unicidad de solucioacuten del
problema inverso sin fase O lo que es lo mismo la distribucioacuten del moacutedulo del campo no es
suficiente para la resolucioacuten del problema inverso sino que es menester alguna informacioacuten
adicional Ahora bien iquestCuaacutenta y de queacute especie Desde luego algo maacutes de lo que supone Hoenders
Pero antes de analizar el problema discretizado para poder encontrar alguna evidencia de las
condiciones suficientes de unicidad echemos un vistazo a otras teoriacuteas sobre la ambiguumledad asiacute
como las soluciones encontradas al problema inverso a partir dos distribuciones observadas
3314 Criacutetica de algunas teoriacuteas sobre la ambiguumledad de la distribucioacuten de fase
En la discusioacuten del problema inverso sin fase desarrollado por Isernia ndashy colaboradoresndash [74 75
76] eacuteste alega que al conjugar las funciones modales se obtienen otras que no pertenecen al
conjunto de las funciones modales vaacutelidas y por tanto el problema teoacuterico de la ambiguumledad
quedariacutea resuelto Sin embargo de acuerdo a la discusioacuten anterior las distribuciones que se plantean
como ambiguas no son las conjugadas sino las conjugadas de argumento conjugado (que en
definitiva son la continuacioacuten analiacutetica de las funciones armoacutenicas conjugadas) y como puede
comprobarse faacutecilmente eacutestas siacute son funciones modales vaacutelidas18 Por tanto la unicidad de solucioacuten
discutida por Isernia no puede considerarse vaacutelida en esos teacuterminos y resulta sintomaacutetico el hecho
de que en todas sus contribuciones recurra al uso de al menos dos superficies de observacioacuten [72
73 74 75 76 103]
De distinto tipo es la discusioacuten de la ambiguumledad propuesta por Sali [6 137] en la que intenta
probarse que el orden de eacutesta depende del tamantildeo de las fuentes Para ello recurre a la relacioacuten
entre la distribucioacuten de campo y los valores en los liacutemites de su soporte de la funcioacuten de
distribucioacuten de fuentes y sus derivadas Si bien a tenor de (3-44) es claro que en efecto el orden de
la funcioacuten de campo depende del tamantildeo del soporte de las fuentes el planteamiento de Sali tiene
el inconveniente de que siendo los puntos extremos de la distribucioacuten de fuente discontinuos no
18 Curiosamente como puede verse en [73] la falta de analiticidad de la funcioacuten de intensidad E ( c ) middotE ( c ) ndash
donde c representa al conjunto de coeficientes de la expansioacuten modalndash es atajada impliacutecitamente en el
procedimiento de optimizacioacuten propuesto mediante el recurso al gradiente de la funcioacuten analiacutetica
E ( c )middotE ( c )
112 Capiacutetulo III
puede definirse aquiacute ni la funcioacuten ni sus derivadas Por otra parte la solucioacuten praacutectica propuesta por
Sali [137] que seriacutea una forma ingeniosa de imponer las condiciones a las que llega Hoenders (y que
naturalmente admite Sali) obtiene buenos resultados para algunas distribuciones mientras que se
estanca en una que seguacuten las conclusiones de Hoenders seriacutea inambiguumla19 Por una parte este
resultado podriacutea ser un indicio de la insuficiencia de las condiciones de unicidad pero ademaacutes una
vez probado el algoritmo propuesto por Sali partiendo de hipoacutetesis diferentes se ha constatado que
incluso las distribuciones declaradas por eacuteste como exitosas dependen en realidad de la estimacioacuten
inicial ya que se han alcanzado soluciones diferentes y compatibles con las condiciones impuestas
(con un error cuadraacutetico menor que 10-7)
En el aacutembito de la reconstruccioacuten de imaacutegenes a partir del moacutedulo de su transformada de Fourier
[61 62 87 78] se constata la posibilidad de conseguirlo solamente a partir del moacutedulo de la
transformada cuando se imponen ciertas condiciones sobre el dominio de la imagen Especialmente
los trabajos teoacutericos de Hayes suponen un esfuerzo riguroso y elegante para la determinacioacuten de las
condiciones necesarias de unicidad de solucioacuten cuando soacutelo se cuenta con las distribuciones de fase
o de moacutedulo de la transformada de Fourier (para un caso n-dimensionales y discretizado) Sin
embargo se trata de condiciones cuyo conocimiento no suele ser accesible y por tanto de difiacutecil
aplicacioacuten praacutectica De hecho si se comparan los teoremas de Hayes-Lim-Oppenheim [61] con las
conclusiones llegadas al hilo de las relacioacuten de dispersioacuten sect331a se observa que entre ellas existe
una estrecha relacioacuten No obstante estos estudios han fomentado la aparicioacuten de procedimientos
frecuentemente exitosos [62 39 sect71 143 46 47 169] pero que dada la dificultad de imponer las
condiciones necesarias indicadas por los enfoques teoacutericos suelen aparecer estancamientos cuya
explicacioacuten es difiacutecilmente abordable y en consecuencia evitable [46 47 78 62]
3315 Unicidad de solucioacuten con dos distribuciones de campo
Posiblemente el antecedente maacutes remoto del amparo a dos dominios de observacioacuten para la
recuperacioacuten de una funcioacuten compleja de onda cuando soacutelo se dispone de informacioacuten de moacutedulo
es el de Reichenbach en los antildeos cuarenta [133] Eacuteste estudia la posibilidad de obtener la funcioacuten de
onda mecaacutenico-cuaacutentica de una partiacutecula a partir de la distribucioacuten de probabilidad de un par
conjugado de observables como son su posicioacuten y su momento sin embargo abandona su intento
al sentildealar alguna de las ya mencionadas ambiguumledades Durante maacutes de veinticinco antildeos apenas es
tratada esta posibilidad hasta que Gerschberg [52] en 1971 plantea por primera vez la solucioacuten al
19 se trata de una distribucioacuten de fuentes rectangular y de fase constante Los ceros de su correspondiente
distribucioacuten de campo se situacutean equiespaciadamente sobre el eje real En consecuencia la ambiguumledad de la
pareja f(x) f(ndashx) carece evidentemente de sentido Es decir salvo una posible constante de fase la solucioacuten
es uacutenica
Problema electromagneacutetico inverso 113
problema inverso sin fase (inicialmente oacuteptico) por medio del recurso a la observacioacuten en dos
planos que se traduciriacutean en los teacuterminos de nuestro problema a un dominio de campo lejano y al
de las fuentes Inmediatamente y en colaboracioacuten con Saxton [53 54] se propone el primer
procedimiento praacutectico para la recuperacioacuten de la distribucioacuten de onda compleja a partir de
observaciones de moacutedulo en dos dominios (en teacuterminos del problema oacuteptico estos son el plano
imagen y el de difraccioacuten) Los buenos resultados obtenidos por el procedimiento que terminoacute
denominaacutendose de Geschberg-Saxton despertaron la atencioacuten sobre las posibilidades que este
planteamiento general presentaba Las variantes se suceden en pocos antildeos (en [142] se puede
contemplar una larga lista de contribuciones desde 1972 hasta 1977) pero en 1973 Misell [114 115
116] propone una solucioacuten inspirada en la de Geschberg-Saxton de la que han emergido una buena
parte de las soluciones al problema inverso sin fase [6 119 145 78 167 76 34] El procedimiento
de Misell consiste esencialmente en la utilizacioacuten de dos observaciones desenfocadas sobre el plano
imagen (naturalmente con distinto grado de desenfoque) que como Anderson propuso en 1985 [6]
puede extenderse directamente a la observacioacuten sobre dos dominios separados Esta solucioacuten es la
que puede aplicarse de forma general al aacutembito de nuestro problema
Sin embargo la evidencia teoacuterica de la unicidad de solucioacuten aunque soacutelo contrastada durante cierto
tiempo por la praacutectica fue aportada por Drenth et al [38 66] y casi simultaacuteneamente por Hoenders
[65] Eacuteste uacuteltimo demuestra [65 ec36 70 sect178] que si se aplica un nuacutemero arbitrario de factores
de Blaschke a las dos distribuciones de campo al introducir la relacioacuten que debe darse entre las
correspondientes distribuciones de fuentes (es decir en la pupila para el problema oacuteptico o en la
superficie de la apertura para un problema de antenas) eacutestas soacutelo son compactas si los factores de
Blaschke son unitarios De lo contrario las distribuciones de fuentes no pueden verificar una
relacioacuten que depende del factor de desenfoque y es naturalmente conocida de antemano
Aplicaacutendolo al procedimiento de Anderson [6] ocurriraacute que una y soacutelo una distribucioacuten de
corrientes es compatible con la distribucioacuten de moacutedulo observada sobre dos superficies
Como se observoacute al derivar la relacioacuten de dispersioacuten (sect3311) la unicidad de solucioacuten para el caso
de conocer el campo sobre una uacutenica superficie estaba a expensas de la ubicacioacuten de los ceros
relevantes que a su vez dependiacutean del soporte de las fuentes Por tanto si imponiendo el soporte se
dieran las condiciones de unicidad quedariacutea auacuten la ambiguumledad de una fase lineal Sin embargo
puesto que la unicidad de solucioacuten en el caso de observacioacuten sobre dos superficies no depende del
soporte seraacute aquiacute suficiente imponer la condicioacuten del soporte para eliminar la ambiguumledad debida a
una fase lineal arbitraria Por tanto la prueba Hoenders ahora siacute garantiza la unicidad de solucioacuten
3316 Extensioacuten al caso discreto
a) Extensioacuten analiacutetica en teacuterminos de la transformada Z
En la formulacioacuten discretizada del problema electromagneacutetico directo el dominio de las fuentes estaacute
constituido por un conjunto finito de dipolos de Hertz dispuestos sobre una retiacutecula regular y el de
114 Capiacutetulo III
observacioacuten por otra retiacutecula finita de puntos de medida Por tanto en lugar de basar nuestra
discusioacuten en teacuterminos de transformadas continuas de Fourier y su extensioacuten analiacutetica (cuya relacioacuten
con la transformada de Laplace es directa ndashbasta con hacer una rotacioacuten de los ejesndash) parece
conveniente centrar nuestra atencioacuten en los correspondientes dominios transformados discretos es
decir la transformada de Fourier discreta y su extensioacuten analiacutetica en teacuterminos de la transformada Z
Como es bien sabido si el muestreo ha sido adecuado (sect242) existe una identidad esencial entre
ambos casos y por tanto las consideraciones sobre el problema continuo podriacutean extenderse al
discreto y viceversa gracias a esa identidad esencial Siendo asiacute puede afortunadamente recurrirse a
ciertas evidencias matemaacuteticas que se han investigado directamente sobre los dominios discretos
De especial intereacutes para el problema que nos atantildee son los teoremas de Hayes [61 62] No obstante
podemos antes recordar ciertas propiedades elementales que son de radical importancia para el
problema inverso sin fase
Como se ha venido viendo el argumento central para la suficiencia del moacutedulo en el problema
inverso consiste en la analiticidad de las distribuciones de campo cuya evidencia nos la aporta el
teorema de Paley y Wiener [129] que a su vez se encuentra a expensas del soporte finito de las
fuentes Su correlato en el aacutembito de las distribuciones discretas es de evidente demostracioacuten ya
que aquiacute la extensioacuten analiacutetica de la transformada de Fourier no se trata de funciones
trascendentales sino de polinomios en z de orden finito y por tanto definibles por medio de un
nuacutemero restringido de ceros y quizaacute un polo en cero o infinito Precisamente a sazoacuten de esta
caracteriacutestica es como Oppenheim [126 sect102] llega a su tercera propiedad de las regiones de
convergencia ldquoSi x[n] tiene un soporte finito entonces la regioacuten de convergencia se extiende a todo
el plano Z excepto posiblemente el origen o infinitordquo Que equivale a decir que la extensioacuten
analiacutetica de la transformada de Fourier de x[n] es una distribucioacuten entera lo cual nos coloca en un
punto de partida semejante al del caso continuo y aun mejor ya que aquiacute no nos es necesario
esgrimir la condicioacuten de ldquoceros relevantesrdquo (ver sect331 nota 14)
b) Acerca de la ambiguumledad
Pero antes de recurrir a los teoremas de Hayes es interesante para la comprensioacuten de nuestro
problema la consideracioacuten de algunas propiedades fundamentales de las distribuciones discretas
que por simplicidad seguiremos de momento consideraacutendolas unidimensionales Como se ha
dicho en virtud de la finitud de las distribuciones su transformada puede describirse mediante un
numero finito de ceros de hecho tantos como puntos en el soporte de la distribucioacuten La
transformada de Fourier de espacio discreto corresponde aquiacute con el ciacuterculo de radio unidad (si en
nuestro problema la distribucioacuten discreta se refiere a la retiacutecula de fuentes la distribucioacuten sobre el
ciacuterculo |z|=1 seraacute la distribucioacuten continua en campo lejano) Naturalmente el valor de la
transformada en cualquier punto podraacute determinarse como el producto de los vectores entre el
punto y los ceros (veacutease la figura 3-6) Llamando F (z) a la transformada z de la distribucioacuten de
fuentes f [n] que a su vez corresponderaacute a la extensioacuten analiacutetica del campo lejano
Problema electromagneacutetico inverso 115
)1()()( y
)1()()( 2
1
221||
0
1
1
0 ujk
N
k
nujujzkk
N
k
n ezCeuEen
zCzzCzzzE o πππ minus
=
sdot=minus
=minusprod==rarr
isinisin
minusprod== FFZ
C (3-51)
De la observacioacuten de (3-51) pueden distinguirse las principales fuentes de ambiguumledad cuando soacutelo
se conoce el moacutedulo
a) Cualquier variacioacuten homogeacutenea en la fase de la distribucioacuten de fuentes no puede percibirse en
la distribucioacuten del moacutedulo del campo
b) El orden de los ceros (o polos) situados en el origen no tiene impacto en el moacutedulo de la
distribucioacuten de campo pero engendra sin embargo una fase continua
c) Un cero situado en zk genera la misma distribucioacuten de moacutedulo que otro dispuesto en 1zk es
decir su reciacuteproco conjugado (se trata de la misma ambiguumledad que nos planteaban en el caso
continuo los ceros conjugados)
minusminus=minus
minus=minusrarr
minus
minuslowastminus
lowastminus
=
lowastlowast
minus
1fase1fase
|1||1|
)1( 1 en cero
)1( en cero22
221||
1
ujk
ujk
ujk
ujkz
kk
kk
ezez
ezez
zzz
zzzππ
ππ
Figura 3-6 Ceros de la transformada Z de una distribucioacuten discreta de fuentes que equivale a la extensioacuten
analiacutetica de la distribucioacuten de campo lejano
Es faacutecil advertir coacutemo los teoremas de Hayes-Lim-Oppenheim [61] sobre la suficiencia del moacutedulo
son compatibles con estas ambiguumledades Particularizaacutendolos al caso que nos atantildee es decir de
inexistencia de polos (exceptuando el origen o infin) y ampliandolos para distribuciones complejas los
teoremas 7 y 8 pueden reunirse en uno soacutelo que diriacutea
Teorema H-L-O Siendo f1[n] e f2[n] dos distribuciones cuya transformada Z tiene todos los ceros bien
sea dentro o bien fuera del ciacuterculo unidad Si |Ff1[n]|= |Ff2[n]| entonces f1[n]=ejθsdot f2[n+m]
donde θ isinR y misinZ
La primera ambiguumledad que ya antes hemos tildado de inesencial (en los comentarios a la ec 3-47)
aparece en el teorema en teacuterminos de la constante ejθ Es evidente que esta ambiguumledad no tiene
consecuencias praacutecticas ya que incluso en la formulacioacuten reducida del problema (ec 3-40) hemos
zk
1zk
z2
z3
z5
z1
zN
|z|=1
Par reciacuteproco conjugado
116 Capiacutetulo III
prescindido de una constante compleja aunque se haya asumido en la normalizacioacuten de la
distribucioacuten En consecuencia puede definirse una relacioacuten de equivalencia entre distribuciones
realisinsdot=equiv ϑϑ ][][si ][][ 1221 nennn j ffff (3-52)
La segunda ambiguumledad aparece en la constante arbitraria m Y finalmente la uacuteltima fuente de
equiacutevoco es evadida en las condiciones del teorema al imponer que todos los ceros se encuentren a
un lado o al otro del ciacuterculo unidad Esta condicioacuten puede faacutecilmente compararse con la solucioacuten
que Walther [160] proponiacutea a la ambiguumledad introducida por los hipoteacuteticos factores de Blaschke
eacutesta evidentemente desaparece como se discutioacute antes (sect331a) si tenemos la certeza de que los
ceros se encuentren por encima o por debajo del eje real (su transposicioacuten al caso discreto es
directa) Es decir nos encontramos auacuten en una situacioacuten de incertidumbre semejante a la que
llegamos en las consideraciones a la relacioacuten de dispersioacuten (3-47) mientras que en el caso continuo
el teorema de Hoenders (sect331b) pretendiacutea llegar maacutes lejos
c) Discusioacuten de la unicidad para distribuciones de soporte finito
Recueacuterdese que el teorema de Hoenders asiacute como la reduccioacuten de la ambiguumledad debida a la
limitacioacuten del nuacutemero de ceros relevantes (sect3311) partiacutea de tomar en consideracioacuten la finitud de la
distribucioacuten de fuentes20 Intentemos pues buscar un conjunto de condiciones suficientes de
unicidad alternativas a las que nos impone el teorema H-L-O pero que a diferencia de aquellas esteacuten
al alcance de la observacioacuten y que podamos aplicar para cualquier tipo de distribucioacuten
i Mult ip l i c idad de so luc ioacuten a part ir de una uacutenica dis tr ibuc ioacuten de moacutedulo Consideremos las distribuciones asociadas a ceros reciacuteprocos conjugados cuya contribucioacuten sobre
el moacutedulo es ideacutentica En la figura 3-7 se ilustran dichas distribuciones Como puede observarse su
soporte es claramente discordante Caracteriacutestica que recurriendo al teorema de la convolucioacuten
[126 1055] puede faacutecilmente generalizarse para cualquier distribucioacuten en la que se alterna alguno
de sus ceros Seguacuten el teorema de la convolucioacuten la distribucioacuten de fuentes correspondiente a un
conjunto de ceros z k puede representarse mediante la convolucioacuten de las distribuciones
asociadas a cada cero
][][][][)( )1()()(21
10
01
1nfnfnfnnCxzzCzzzE
Nzzzk
N
k
n Z lowastlowastlowastlowastminussdot=rarrminusprod==minusminus
=LδfF (3-53)
20 En la formulacioacuten de Hoenders equivale al plano de la pupila
Problema electromagneacutetico inverso 117
Figura 3-7 Distribuciones correspondientes a dos ceros reciacuteprocos conjugados Su soporte es diferente
Teorema 2 Existen muacuteltiples distribuciones de fuente con el mismo soporte y compatibles con el
moacutedulo de una distribucioacuten de campo conocida
Es evidente que el soporte de la convolucioacuten de dos distribuciones f1[n] y fz1[n] es diferente que el
soporte de la convolucioacuten de la primera f1[n] con la reciacuteproca de la segunda f1z1[n]
][][soporte][][soporte1121 1
nfnfnfnfzz lowastlowastnelowast
(3-54)
Y de hecho si se conmuta alguno de los ceros por su reciacuteproco conjugado ocurriraacute que la
distribucioacuten total resultante tiene un soporte diferente pero la extensioacuten de dicho soporte seraacute
ideacutentica Si consideramos ahora la arbitraria aparicioacuten de ceros en el origen o en infinito entonces
][][1]-[nsoporte][][soporte1121 1
nfnfnfnfzz lowastlowastlowast=lowast δ
(3-55)
En definitiva si impusieacuteramos aquiacute factores de Blaschke arbitrarios
12 1arg221 )()1(
)1()(
minusminussdotminus=minus
lowast
= rarrminusminus
= zzjujk
ez
k
kk
kuj
eeBzzzz
zB ππ (3-56)
pero ninguacuten factor que refleje la ambiguumledad de los desplazamientos (fase lineal en la transformada)
entonces su soporte seraacute en efecto diferente Si como Hoenders forzaacuteramos la extensioacuten de la
distribucioacuten estrictamente dentro de los liacutemites del soporte a la vez que nos desentendieacuteramos de la
arbitraria aparicioacuten de ceros en el origen o infinito entonces tendriacuteamos que admitir que habriacutea una
uacutenica distribucioacuten de fuentes compatible con una distribucioacuten de moacutedulo del campo dada Sin
embargo si de acuerdo a las ambiguumledades intriacutensecas a nuestro problema se considera la arbitraria
aparicioacuten de teacuterminos de fase lineal (es decir ceros en el origen o infinito) resulta evidente que el
problema de Walter no estaacute auacuten resuelto y que por tanto existen muacuteltiples soluciones posibles tal
y como se habiacutea afirmado Se ve aquiacute con claridad la insuficiencia de la conclusioacuten de Hoenders
i i Unicidad de solucioacuten a part ir de dos dis t r ibuc iones de moacutedulo Para el anaacutelisis de las condiciones de unicidad consideremos primero un caso sencillo es decir una
distribucioacuten de orden moderado para despueacutes generalizarla En la figura 38 se ilustra el problema
de una distribucioacuten de orden 4 en la que pueden verse la distribucioacuten original y un par de variantes
con la misma distribucioacuten de moacutedulo del campo (si bien no se presentan las 8 posibilidades
-2 - 1 0 1 2 n
-2 - 1 0 1 2 n
-zk
-zk
1
1
rarrminus
rarrminusminus
minus
lowastlowast
minus
1
1
)1( 1 en cero
)1( en cero 1
Z
Z
zzz
zzz
kk
kk
118 Capiacutetulo III
existentes una de ellas es la simeacutetrica conjugada y las restantes son del tipo a las variantes
representadas) Como puede observarse la conmutacioacuten de cualquier cero se traduce en la variacioacuten
de la distribucioacuten de fuentes en todos sus punto a no ser que el cero en cuestioacuten esteacute situado en
z=plusmn1 En este caso es trivial que a su conmutacioacuten corresponden distribuciones equivalentes como
tambieacuten corresponderiacutean a las conmutaciones de cualquier cero sobre |z|=1
Figura 3-8 Distribuciones de fuentes de orden cuatro que generan una misma distribucioacuten de moacutedulo de
campo A la izquierda se representa la distribucioacuten original a la derecha dos variantes afectadas
por factores de Blaschke (conmutacioacuten de uno o dos ceros reciacuteprocos)
Seguacuten se ha visto la conmutacioacuten de cualquier cero que pueda ser fruto de ambiguumledad (|zk|ne1)
modifica todos los valores de la distribucioacuten maacutes concretamente su moacutedulo No obstante seriacutea
apresurado suponer que esta conclusioacuten nos ofrece una condicioacuten de unicidad ya que la alternancia
muacuteltiple puede conducir a resultados diferentes En efecto consideremos la posibilidad de que
|z 3 |= 1 |z 2 | si bien la alternancia de un solo cero modifica todos los valores de la distribucioacuten
cuando se conmutan simultaacuteneamente z 2 y z 3 el moacutedulo de los valores extremos permanece
inalterado a la vez que se modifica la fase de la distribucioacuten de campo si por otra parte se impone
que el moacutedulo de los elementos segundos sean iguales se llega a la conclusioacuten de que el argumento
de los ceros z 2 y z 3 debe ser simultaacuteneamente 0 o π es decir z 3 = 1 z 2 pero entonces al
intercambiarlos se llegariacutea a la situacioacuten original Es decir no hay dos distribuciones de fuentes cuyo
moacutedulo sea ideacutentico y generen una distribucioacuten de campo con el mismo moacutedulo y fase diferente
Pero por otra parte se ve que soacutelo la consideracioacuten de los valores extremos no es suficiente (y
menos como suponiacutea Hoenders la localizacioacuten del valor extremo maacuteximo) No obstante antes de
- 1 0 1 2 n
-z2 1 - 1 0 1 2 n
-z1 1
- 1 0 1 2 n
-z3 1 -1 0 1 2 3 n
-(z1+ z2+ z3)
1
-(z1+ z2)middotz3+ z1middotz2
-z1middotz2middotz3
f z2
f z1
f z3
Dis t r ibu c i oacuten Or i g ina l- 1 0 1 2 n
-z2 1
- 1 0 1 2 n
-z1 1
- 1 0 1 2 n
-z3 1 -2 -1 0 1 2 n
z2middotz3+z1middotz2+1
-z2
-(z1middotz2middotz3+z3+ z1)
z1 middotz3 f 1z2
f z1
f z3
Variant e 1
-3 -2 -1 -2 -3 n
z2middotz3+1+z2middotz1 z2middotz3
-(z1middotz2middotz3+z3+z2)
-z1
- 1 0 1 2 n
1 - 1 0 1 2 n
-z1 1
- 1 0 1 2 n
1
-z2
-z3
f 1z2
f z1
f 1z3
Variant e 2
][][][)(21
nfnfnfxNzzz lowastlowastlowast= Lf
Problema electromagneacutetico inverso 119
llegar a una conclusioacuten final respecto a las condiciones observables de unicidad21 a la vez que aplicables a
todos los casos consideremos una distribucioacuten arbitraria de N+1 elementos (con un soporte entre 0
y N) cuya transformada Z podraacute representarse como
NN
N
mnmnC
mnN
NN
N
zzzzzzzzzzz
zzzzzazazminus
neforall
minusminus
minusminusminusminus
sdotsdotminus+sdot+sdot+++minus=
=minustimestimesminus=+++=
sum )()1()(1
)1()1(1)(
21)(
2121
111
11
LLL
LLF
(3-57)
Cuando se invierte uno de los ceros z i la distribucioacuten correspondiente desplazada hasta n=0 seraacute
121111
)()1()(1)( minusminusminuslowast sdotsdot
minus++sdotminus++++minus= zz
zzzzzzzzzz
i
NNiNii
LLLF
(3-58)
Si de nuevo se invierte otro cero z j
121211 )()1()()( minusminusminuslowastlowastlowastlowastlowastlowast sdot
sdotminus++sdotminusminus++++minus= z
zzzzz
zzzzzzzzzzzzji
NNjiNjijiji
LLLF
(3-59)
Y en general para M conmutaciones de ceros por sus reciacuteprocos conjugados
121
11
)()1(
)()1(
)1()(
minusminus
minuslowastlowastlowastlowast
lowastlowast
sdotsdot
minus+
+sdotminusminusminus+++++minusminus
minus=
zzz
zzz
zzzzzzzzz
zzz
li
NMN
liNliliM
liM
L
LL
LLLL
LF (3-60)
Si a pesar de los cambios el moacutedulo del primer elemento de (3-60) fuera ideacutentico al de la
distribucioacuten original |z i sdot sdot z i | =1 el segundo soacutelo podraacute ser igual si la suma de los argumentos
de los ceros conmutados es nula Seguacuten vamos considerando maacutes elementos la coincidencia entre
las distribuciones introduce unas condiciones sobre los ceros cada vez maacutes inverosiacutemiles De hecho
en la mayor parte de los casos la imposicioacuten de la igualdad de moacutedulo sobre unos pocos puntos de
la distribucioacuten de fuentes podraacute ser suficiente para garantizar la unicidad de solucioacuten ya que la
ubicacioacuten real de los ceros no admite por lo general el cumplimiento de las condiciones
acumuladas No obstante en ninguacuten caso puede darse ndashcomo se vioacute con claridad en el problema de
orden 4ndash la igualdad del moacutedulo en todos los puntos
21 Es decir que puedan obtenerse mediante experimentacioacuten por ejemplo sobre la distribucioacuten de fuentes o
bien porque se trate de unas condiciones de la distribucioacuten de fuentes que se conozcan de antemano (como
puede ser el caso de unas excitaciones nominales) En general puesto que esta informacioacuten se usa para la
solucioacuten del problema inverso se denomina informacioacuten a priori
120 Capiacutetulo III
Corolario 1 Siendo f 1 [n] e f 2 [n] dos distribuciones con ideacutentico soporte finito 0lenleN Si
|E1 (u)|=|Ff 1 [n]|=|Ff 2 [n] |=|E2 (u|) y |f 1 [n]|=|f 2 [n]| entonces f 1 [n]equivf 2 [n]
3317 Extensioacuten a dominios superficiales
La extensioacuten al caso de dominios superficiales discretos describibles por medio de un par
coordenado n=(n1n2) no puede hacerse por consideracioacuten de los ceros en el espacio complejo
extendido z=(z1z2) sino que aquiacute deberaacute considerarse su factorizacioacuten polinoacutemica que en general
puede no llegar hasta los monomios que corresponden a un uacutenico cero La transformada Z para
una distribucioacuten superficial podraacute expresarse como [62 39]
isin=
isin=sdot== minussum C
Z
i
i
zzznnn
E )( )(
donde )()()(21
21
z
nznzz n
n
fF (3-61)
Donde la particularizacioacuten sobre la esfera |z|=1 se corresponde con la transformada de Fourier de
la distribucioacuten de fuentes es decir el campo lejano Con lo cual la transformada Z juega aquiacute el
papel de la extensioacuten analiacutetica de la distribucioacuten de campo lejano
De acuerdo con el teorema 1deg de Hayes [62] la factorizacioacuten de la transformada Z en teacuterminos de
polinomios irreductibles es uacutenica22
)()(1
0 zzz nk
k
p
FF=
minus prodsdot= α (3-62)
Donde evidentemente los p polinomios no triviales son los responsables de la forma de la
distribucioacuten y asiacute mientras sea conocido el soporte de la distribucioacuten la unicidad de solucioacuten
dependeraacute esencialmente de estos De la misma manera que en el caso unidimensional la
ambiguumledad que implica el desconocimiento de la fase del campo dependiacutea de la simetriacutea de los
monomios (es decir de si el cero asociado tiene o no moacutedulo unidad) el grado de ambiguumledad
dependeraacute ahora de la simetriacutea de los polinomios irreductibles Si en las distribuciones lineales los
ceros reciacuteprocos ocasionaban una misma distribucioacuten de moacutedulo pero no necesariamente de fase
seraacuten ahora los polinomios irreductibles simeacutetricos los que devengan esa misma ambiguumledad
)1()( lowastlowastminus= zzz Nkk FF
( (3-63)
Donde kF( representa el polinomio simeacutetrico a partir del cual podriacutean generalizarse los factores de
Blaschke como )()()( zzz kkkB FF(
= Si tanto la transformada de Fourier de un polinomio como la
22 Para lo que naturalmente es menester la definicioacuten de una clase de equivalencia polinoacutemica [62]
Problema electromagneacutetico inverso 121
de su simeacutetrico tienen el mismo moacutedulo es entonces evidente que una distribucioacuten de fuentes cuya
transformada Z pueda describirse seguacuten (3-63) generaraacute la misma distribucioacuten de moacutedulo de campo
que cualquier otra cuya transformada correspondiente sea [62 teorema 6deg]
2
y ]21[ )( )( )( Zisin=cupprodprodsdotplusmn= minus mzzzz m plk
lk
kl1 FFF(
α (3-64)
Consecuentemente podraacute asegurarse que si f 1 (n) tiene un soporte (00)(N1N2) y su
transformada Z estaacute compuesta
a) por factores que todos sean simeacutetricos
b) un uacutenico factor irreductible y asimeacutetrico
c) un solo factor irreductible asimeacutetrico y los restantes simeacutetricos
entonces cualquier distribucioacuten de fuentes f 2 (n) con ideacutentico soporte que pueda engendrar la
misma distribucioacuten de moacutedulo seraacute equivalente bien a f 1 (n) o bien a f 1 (-n) Es decir
|E1 (uv)|= |E2 (uv)| rArr f 2 (n) isin ejθsdot f 1 (n) ejθsdot f 1 (-n) θ isinreal (3-65)
Bastaraacute en los casos (b) y (c) ndashasimeacutetricosndash distinguir en queacute extremo la distribucioacuten de fuentes
tiene maacutes amplitud para poder romper la ambiguumledad (3-65)23
Figura 3-9 Ejemplo de polinomios irreductibles asimeacutetrico y simeacutetrico
23 Obseacutervese que eacutesta es la condicioacuten de suficiencia para la unicidad de solucioacuten seguacuten las conclusiones de
Hoenders [65 44 153 137 70] Las condiciones (b) y (c) se obtienen mediante generalizacioacuten para
distribuciones complejas de los teoremas 7 y 9 de Hayes [62]
n1
n2
a
b 1
1 n1
a
b
1
1
n2
zndash2Fk (1z)
Fk(z)=a+z1+z2+bz1z2 anebne1 ab isin real
a) Distribucioacuten asociada a un polinomio irreductible asimeacutetrico
b) Distribucioacuten asociada a un polinomio irreductible simeacutetrico
n1
n2
a
a 1
1 n1
a
a
1
1
n2
zndash2 Fk (1z)
Fk(z)=a+z1+z2+az1z2 ane1 a isin C
122 Capiacutetulo III
Desafortunadamente nuestro conocimiento de las distribuciones de fuentes no suele ir tan lejos
como para poder asegurar que pertenezca a una de las categoriacuteas mencionadas con lo cual nos
interesa encontrar un conjunto de condiciones observables que permitan garantizarnos la unicidad
de solucioacuten
En la figura 3-9 se representan dos ejemplos de distribuciones equivalentes a polinomios
irreductibles siendo uno de ellos simeacutetrico y el otro no Al igual que en el caso lineal la distribucioacuten
de fuentes original equivaldraacute aquiacute a la convolucioacuten de las distribuciones asociadas a cada uno de los
polinomios irreductibles en que se factoriza su transformada Z Es claro que cuando se sustituya
una de esas distribuciones por su simeacutetrica (3-63) el resultado de la convolucioacuten seraacute invariante
cuando el polinomio conmutado sea simeacutetrico y diferente para polinomios asimeacutetricos ndashcomo el de
la figura 3-9andash De hecho en el problema superficial las condiciones de simetriacutea son maacutes restrictivas
que en el lineal y al igual que alliacute habraacute una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo de fuentes compatible con
un moacutedulo de campo dado Pero por otra parte en relacioacuten a la dimensioacuten del problema el orden
de multiplicidad de las distribuciones de fuente compatibles con una de moacutedulo de campo dada es
menor para el caso superficial que para el lineal ya que el nuacutemero de factores irreductibles es ahora
menor que la dimensioacuten24 Con lo que en definitiva podemos generalizar el corolario al que se
llegoacute en el caso superficial
Corolario 2 Siendo f 1 [n] e f 2 [n] dos distribuciones con ideacutentico soporte finito (00)(N1N2) Si
|E1 (uv)|=|E2 (uv)| y |f 1 [n]|=|f 2 [n]| entonces f 1 [n]equivf 2 [n]
3318 Extensioacuten a las distribuciones de campo en zona de Fresnel
a) Multiplicidad de solucioacuten a partir de una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo del campo
Hasta el momento hemos limitado nuestro estudio del problema sin fase al caso de una observacioacuten
lejana expresada en la relacioacuten (3-40) Las conclusiones de este estudio compendiadas en el
teorema y corolarios anteriores nos dicen que conocida una distribucioacuten de moacutedulo del campo
lejano en general habraacute muacuteltiples distribuciones de fuente compatibles con aquella Mientras que la
condicioacuten suficiente de unicidad de solucioacuten supone que se debe conocer el moacutedulo de las
distribuciones sobre los dominios de fuente y campo Es ahora menester investigar queacute ocurre
cuando nuestro conocimiento es el del campo sobre un dominio cercano Para ello contamos con
dos propiedades de radical importancia el ancho de banda de la distribucioacuten de campo estaacute limitada
24 Por esta razoacuten Barakat [13] concluye que para distribuciones reales (lo cual supone traducido a nuestro
problema que se conoce la fase de la distribucioacuten de fuentes) la multiplicidad de soluciones en el caso
bidimensional es ldquopatoloacutegicamente rarordquo Sanz [138] en su teorema 7 generaliza este aserto para n
dimensiones
Problema electromagneacutetico inverso 123
(tanto maacutes cuanto maacutes pequentildeo sean las dimensiones de las fuentes ndashteorema 3 de muestreo) las
transformadas de las distribuciones de fuente y de campo estaacuten relacionadas por medio de
funciones diaacutedicas (2-30)
Teorema 3 Existen muacuteltiples distribuciones de fuente con el mismo soporte capaces de engendrar
una distribucioacuten de moacutedulo del campo proacuteximo conocida
Supongamos que la geometriacutea de los dominios nos permite expresar la relacioacuten entre el campo y las
fuentes a traveacutes de sus dominios transformados (sect23) f~~~ sdot=GE
Puesto que el campo en virtud de los teoremas de muestreo (sect241) tiene un ancho de banda
acotado entonces podemos decir que E~ es una distribucioacuten cuyo soporte es finito De acuerdo al
teorema 2 (sect3316) habraacute varias distribuciones con el mismo soporte cuya transformadas sea de
moacutedulo ideacutentico Las trasformadas de E~ corresponden aquiacute con las propias distribuciones de
campo Es decir conocido |E| seguacuten dicho teorema ||||||~~~ 2121 NN EEEEEE ===exist y en
consecuencia habraacute muacuteltiples distribuciones de fuente ~~11
21 minusminus sdot= GEFiN ffff capaces de
generar la misma distribucioacuten de moacutedulo del campo tal y como se habiacutea afirmado
b) Unicidad de solucioacuten a partir de varias distribuciones de moacutedulo del campo
Visto que no existe una uacutenica solucioacuten al problema de conocer el moacutedulo del campo sobre una sola
superficie a la vez que se conoce el soporte de las fuentes queda investigar si la solucioacuten seraacute uacutenica
cuando se conoce el campo sobre dos superficies Seguacuten se indicoacute anteriormente (sect33e) Hoenders
aportoacute una prueba teoacuterica a la unicidad de solucioacuten que seriacutea aplicable al caso de disponer del
moacutedulo del campo sobre dos superficies No obstante la unicidad de solucioacuten puede probarse de
una forma alternativa a la propuesta por Hoenders [65 70] y compatible con la formulacioacuten directa
planteada en sect23 cuya aplicabilidad es maacutes extensa que aquella
Supongamos que los dominios de campo y fuentes se han elegido de tal modo que pueda emplearse
la relacioacuten (2-36)
2
2
1
1
2
222
1
111
~~
~~
~~~~~~
~~~~~~
GE
GE
GE
GE
GE
GE
=
=rArrsdot=
=rArrsdot=
ff
ff (3-66)
Donde la tilde representa la transformada de Fourier bidimensional sobre dominios isocoordenados
(obseacutervese que en las geometriacuteas canoacutenicas podriacutean emplearse expresiones similares recurriendo a la
formulacioacuten modal sect236) Si se introducen ahora factores de Blaschke arbitrarios que preserven ndash
respetando el mencionado teorema de Titschmarsch [157]ndash el moacutedulo de cada una de las
124 Capiacutetulo III
distribuciones de campo puede determinarse a partir de eacutestas unas distribuciones de fuentes
modificadas por los respectivos factores de Blaschke
2
2222
1
1111
~~~~~
~~~~~
GE
BEE
GE
BEE
mm
mm
=rArrsdot=
=rArrsdot=
(2m)
(1m)
f
f
(3-67)
Existiriacutea ambiguumledad si hubiera una distribucioacuten de fuentes (2m)(1m) ff ~~ = que fuera compatible con
alguna combinacioacuten de factores de Blaschke Imponiendo pues la condicioacuten natural de igualdad de
las distribuciones de fuentes se llega a la conclusioacuten de que los factores de Blaschke deben ser
iguales
)()(~~
~~~~~
~~
~~~
212
663
1
22
2
2ambiguumledad de
hipoacutetesispor
1
663
1
11
1
1 zBzBBG
BEGE
BG
BEGE mm =rArr
sdot====sdot===gtminusltgt
ltgtminuslt
ffff (2m)(1m) (3-68)
Es decir
)()( 22
2
1
1
1 zB
zzzz
zzzz
zBn
n
nn
n
n=
minusminus
prod=minusminus
prod= (3-69)
donde z1n representa los ceros de la distribucioacuten de campo en la primera superficie y z2n los de la
distribucioacuten en la segunda Resulta evidente seguacuten el teorema de Titschmarsch y a tenor de la
diferencia existente entre las distribuciones del moacutedulo del campo sobre las dos superficies que sus
ceros son necesariamente diferentes Asiacute pues como los polos de los factores de Blaschke deben
coincidir exactamente sobre los ceros de las distribuciones respectivas que son diferentes para cada
superficie la condicioacuten (3-69) implica que estos han de ser necesariamente unitarios
=
=rArr==
22
1121 1)()(
EE
EEzBzB
m
m (3-70)
Como para el caso de las distribuciones superficiales la extensioacuten analiacutetica del campo no es
reducible a monomios sino a polinomios irreductibles los factores de Blaschke pueden
generalizarse como se indicoacute en sect3317 Pero como ocurre que las a distribuciones sobre diferentes
superficies corresponden polinomios irreductibles diferentes la conclusioacuten es ideacutentica Es decir
dadas dos distribuciones de moacutedulo de campo estas soacutelo son compatibles con sus distribuciones de
campo complejas y habraacute en definitiva una uacutenica distribucioacuten de fuentes asociada con la pareja de
distribuciones de moacutedulo
Aplicando el teorema de equivalencia este resultado puede extenderse para garantizar la unicidad de
solucioacuten de acuerdo con el planteamiento de Geschberg [52] o sea cuando se cuenta con las
distribuciones de moacutedulo del campo y de las fuentes Para ello bastariacutea con poder situar un dominio
Problema electromagneacutetico inverso 125
de fuentes equivalentes maacutes proacuteximo a las efectivas que el empleado para observarlas y recurrir en
este uacuteltimo al teorema de equivalencia
Conjugando estos resultados con los teoremas de unicidad y equivalencia (sect22) se llega
directamente a la conclusioacuten
Corolario 3 Sean D1 y D2 dos dominios de observacioacuten diferentes que engloban un sistema radiante
Si sobre D1 y D2 se conocen las distribuciones de moacutedulo del campo tangencial |E1| y |E2|
entonces existe una solucioacuten uacutenica al problema electromagneacutetico exterior a las fuentes E(r) forallrnotinVrsquo
Sobre una superficie S que englobe las fuentes habraacute una distribucioacuten uacutenica de corrientes
equivalentes
Si ademaacutes se tiene en cuenta que en la zona de Fresnel las distribuciones de campo eleacutectrico y de
campo magneacutetico sobre un determinado dominio debidas a unas mismas fuentes son siempre
diferentes se sigue que la factorizacioacuten de sus extensiones analiacuteticas es diferente Por tanto
anaacutelogamente a como se demostroacute antes los factores de Blaschke que afectariacutean a cada una de las
distribuciones deberaacuten ser unitarios y en consecuencia fijado el soporte de las fuentes habraacute una
uacutenica solucioacuten que satisfaga simultaacuteneamente las distribuciones de moacutedulo de campo eleacutectrico y
magneacutetico
Corolario 4 Sea D un dominio de observacioacuten que englobe un sistema radiante Si sobre D se
conocen las distribuciones de moacutedulo de los campos tangenciales |E| y |H| entonces existe una
solucioacuten uacutenica al problema electromagneacutetico exterior a las fuentes E(r) H(r) forallr notinVrsquo Sobre una
superficie S englobe las fuentes habraacute una distribucioacuten uacutenica de corrientes equivalentes
332 Soluciones al problema inverso sin fase
Si bien la solucioacuten al problema inverso sin fase depende esencialmente de que pueda garantizase su
unicidad queda auacuten por indicar el camino que a partir de los observables nos conduzca hasta la
solucioacuten deseada o al menos nos deje tan cerca de eacutesta como nos lo permita el ruido
Naturalmente las condiciones que se requieren para asegurar la unicidad de solucioacuten tan discutidas
en los paacuterrafos precedentes prefiguraraacuten los ensayos experimentales y constituyen la espina dorsal
de los meacutetodos inversos Por una parte hemos visto como hay una serie de propiedades analiacuteticas
sobre las que se sustenta la unicidad de solucioacuten que en general las hemos podido referir a la
posicioacuten de los ceros de la extensioacuten analiacutetica de las distribuciones de campo Cuando la ubicacioacuten
de esos ceros cumpliacutea ciertas condiciones entonces podiacutea asegurarse la unicidad de solucioacuten a partir
de una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo e incluso la aplicabilidad de alguna relacioacuten de dispersioacuten Sin
embargo puesto que en muchos casos praacutecticos no pueden ratificarse las condiciones a cerca de la
ubicacioacuten de los ceros se ha visto coacutemo el aumento de observables es suficiente para garantizar la
126 Capiacutetulo III
unicidad de solucioacuten en cualquier caso Asiacute podraacuten distinguirse dos grandes clases de
procedimientos 1) los que intentan modificar la distribucioacuten observada para que la ubicacioacuten de sus
ceros cumpla ciertas propiedades y 2) los que sin modificar la distribucioacuten de campo aumentan la
observacioacuten para procurar garantizar la unicidad de solucioacuten Para designarlos de forma concisa
llamaremos a los procedimientos de la primera especie manipuladores y a los segundos observadores
Normalmente en los meacutetodos manipuladores suele disponerse de alguna relacioacuten de dispersioacuten que
permite la reconstruccioacuten de la distribucioacuten compleja de campo mientras que en los meacutetodos
observadores debe recurrirse a procedimientos numeacutericos que imponen las condiciones que se consideran
suficientes para la unicidad de solucioacuten Sin embargo a los primeros pueden tambieacuten aplicarse
meacutetodos numeacutericos y a los segundos relaciones analiacuteticas o a veces una mezcla de ambos25
Como puede verse en los corolarios alcanzados en el estudio de la unicidad la absoluta garantiacutea de
unicidad cuando no se manipula la radiacioacuten implica la medicioacuten de dos distribuciones de moacutedulo
ya sean sobre el dominio de las fuentes y el campo sobre dos dominios diferentes de campo o bien
las distribuciones de campo eleacutectrico y magneacutetico sobre un solo dominio En general referiremos
estos conjuntos de medidas con independencia de su ubicacioacuten espacial como dominios de observacioacuten
diferentes
Desde la aparicioacuten del algoritmo de Geschberg-Saxton [52 53 54] que consistiacutea en la aplicacioacuten
alternada de las distribuciones de moacutedulo sobre dos dominios de observacioacuten se fueron sucediendo
los procedimientos que implicaban la proyeccioacuten de las soluciones encontradas en un dominio a las
distribuciones sobre el otro dominio Como soacutelo hay una pareja de distribuciones complejas
compatibles con las medidas estos meacutetodos que denominaremos de proyecciones sucesivas terminan
convergiendo hacia la solucioacuten26 No obstante la aplicacioacuten del conjunto de observaciones
suficientes puede hacerse de forma alternativa introduciendo todas las condiciones en un funcional
que debe minimizarse Generalmente este funcional es relativo a la distancia entre las
distribuciones reconstruidas y las medidas pero desafortunadamente estos funcionales no son
cuadraacuteticos como lo es el (3-5) y dependen de su condicionamiento para que los meacutetodos de
25 Como es el caso de la teacutecnica propuesta por Nakajima [120] en la que se usa una relacioacuten de dispersioacuten
como la (3-47) y una buacutesqueda iterativa de la posicioacuten de los ceros Por estas razones la clasificacioacuten que se
presenta aquiacute es discordante con la que suele encontrarse en la literatura [153 6 119 70] que distingue entre
meacutetodos directos (que recurren a relaciones y propiedades analiacuteticas [153]) y meacutetodos numeacutericos (o de reduccioacuten de
error [46 6])
26 Puesto que el operador de proyeccioacuten es lineal y las condiciones impuestas en cada iteracioacuten I no
pueden aumentar la distancia a la solucioacuten uacutenica el teorema general de la convergencia garantiza la unicidad
de solucioacuten [105]
Problema electromagneacutetico inverso 127
optimizacioacuten aplicados no se estanquen No obstante esta teacutecnica empezada a utilizar en oacuteptica y
microscopiacutea electroacutenica al poco tiempo de la propuesta de los algoritmos iterativos [142 45 46]
presenta ciertas ventajas que unido a la gran cantidad de variantes desarrolladas en el aacutembito
general de la teoriacutea de optimizacioacuten han hecho que el recurso a estos procedimientos se encuentre
frecuentemente en la literatura [169 78 19 20 73 74 75 76 103 48 98 99 100 140]
En suma podraacute distinguirse entre las siguientes categoriacuteas de meacutetodos
1) Manipuladores que a su vez podraacuten pretender modificar
a la distribucioacuten de campo (dominios causales holografiacutea y desplazamiento de ceros)
b la distribucioacuten de fuentes (apodizacioacuten propuesta de Greenaway antisimeacutetricos)
2) Observadores a los que puede aplicarse procedimientos
a directos (variantes no iterativas de los algoritmos de GS y Misell)
b de proyecciones sucesivas (Gerchberg-Saxton Misell Anderson)
c de optimizacioacuten
3321 Procedimientos manipuladores
Seguacuten se ha indicado antes consideramos aquiacute todos los procedimientos que por intervencioacuten
deliberada consiguen que la extensioacuten analiacutetica de la distribucioacuten de campo cumpla ciertas
propiedades27 De hecho al comenzar nuestra discusioacuten sobre el problema inverso y recordar la
relacioacuten que por medio de la transformada de Hilbert podiacutea establecerse entre las partes real e
imaginaria de las funciones cuadrado integrables (es decir L2) nos pareciacutea haber acariciado la
solucioacuten al problema inverso Especialmente al considerar la relacioacuten de dispersioacuten sobre las partes
real e imaginaria del logaritmo de la distribucioacuten de campo (ec 3-39) Sin embargo los posibles ceros
sobre el dominio de observacioacuten que evidentemente impiden la pertenencia al grupo L2 del
logaritmo de la distribucioacuten se presentaron ya en ese punto como una limitacioacuten esencial para la
utilizacioacuten de una sencilla relacioacuten de dispersioacuten que resolviera nuestro problema Pero si contamos
con la posibilidad de manipular la distribucioacuten de campo se podriacutea intentar evitar las dificultades
que impiden la utilizacioacuten de la relacioacuten (3-39) La solucioacuten inicialmente propuesta por Mehta y
Gamo [113 44] en el aacutembito de las funciones de coherencia es bien elemental nos bastariacutea impedir
que la distribucioacuten de campo se hiciera cero antildeadiendo sobre todo el dominio de observacioacuten una
radiacioacuten homogeacutenea y mayor que la procedente de las fuentes bajo estudio Este procedimiento
guarda estrecha relacioacuten con la famosa teacutecnica holograacutefica de adiccioacuten de un rayo de referencia
inicialmente desarrollada por Denis Gabor [50] y que tras el descubrimiento del Laacuteser cobroacute
27 Wolf y Walther fueron los primeros en sentildealar en los antildeos 60 que la posibilidad de calcular la fase de una
funcioacuten a partir de su moacutedulo dependiacutea esencialmente de la pertenencia de dicha funcioacuten a una cierta clase de
funciones complejas [165 160]
128 Capiacutetulo III
especial auge al emplear Leith y Upatnieks [102] la luz laseriana ndashcon su extraordinaria coherenciandash
como rayo de referencia Posiblemente el eacutexito de esta teacutecnica facilitoacute la raacutepida extensioacuten a muy
diversas aplicaciones [113 5 118 119]
Desde el punto de vista de los ceros del dominio complejo extendido la teacutecnica de adicioacuten de un
rayo de referencia supone el desplazamiento de todos los ceros al SPS De esta forma de acuerdo
con Walther [160] se ha eliminado la ambiguumledad Pero habraacute otras formas de impedir el equiacutevoco
a) Manipulacioacuten de la distribucioacuten de campo mediante una radiacioacuten de referencia
Una primera solucioacuten al problema de la recuperacioacuten de la funcioacuten completa de campo viene ya
prefigurada en los exhaustivos estudios sobre las transformadas de Fourier en el dominio complejo
realizados a principios del siglo XX por Paley y Wiener [129] asiacute como por Titchmarsh [157] que
en su aplicacioacuten al problema que nos atantildee podemos denominar meacutetodo de los dominios causales Pero
ha sido sobre todo en holografiacutea y en el intento de desplazar la posicioacuten de los ceros para aplicar la
relacioacuten de dispersioacuten sobre el logaritmo de la distribucioacuten de campo (3-39) donde se han obtenido
los resultados maacutes provechosos En general la teacutecnica consiste en antildeadir una radiacioacuten de
distribucioacuten conocida que modifique el campo observado de tal manera que eacuteste cumpla las
condiciones necesarias para el uso de alguna relacioacuten que nos permita reconstruir la funcioacuten de
distribucioacuten compleja
i Meacutetodo de los dominios causales Teniendo en cuenta que una distribucioacuten de campo podemos considerarla en el caso lineal como
una superposicioacuten de dos distribuciones causales (o cuatro en el superficial28) puede aplicarse a
cada una de ellas en virtud del teorema de Titchmarsh [157] la relacioacuten (3-38) ndashentre las
transformadas de Hilbert de las partes real e imaginariandash Es decir llamando Ei a cada una de las
distribuciones causales se deberaacute cumplir que ReEi (uv)=-HImEi (uv) Evidentemente y
como se argumentoacute al principio esta relacioacuten no resuelve de forma general nuestro problema pero
en ciertas condiciones de radiacioacuten como es el caso de estar compuesta por la superposicioacuten de una
radiacioacuten homogeacutenea y la que en realidad nos interesa siacute puede aplicarse En esta situacioacuten la
distribucioacuten de campo normalizada podremos describirla como
E(u)=1+Er(u) |Er(u)|lt1 forall u (3-71)
Supongamos que la radiacioacuten bajo estudio Er(u) fuera deacutebil es decir |Er(u)|laquo1 [129 141 142] Bajo
este supuesto el cuadrado del moacutedulo del campo seraacute
28 Estrictamente habriacutea que hablar de funciones causales y anticausales pero como se trata de distribuciones
espaciales la diferencia carece de importancia
Problema electromagneacutetico inverso 129
E(u)middotE(u) = 1+2sdotReEr(u)+ ReEr(u)2+ ImEr(u)2 asymp 1+2sdotReEr(u) (3-72)
Por tanto las medidas realizadas sobre el moacutedulo del campo pueden emplearse para aproximar la
parte real de la distribucioacuten que nos interesa Finalmente la transformada de Hilbert permite
recuperar el resto de la distribucioacuten compleja de campo29
Evidentemente cuanto mayor sea nuestro empentildeo de que la aproximacioacuten (3-71) sea buena el
ruido iraacute teniendo paulatinamente mayor peso Para evitar esta limitacioacuten Misell [117] propuso un
procedimiento iterativo que seriacutea vaacutelido para una radiacioacuten semideacutebil Eacuteste consiste en reconstruir
progresivamente el teacutermino cuadraacutetico en la primera iteracioacuten se aplica la aproximacioacuten (3-71) y se
reconstruye la parte real y la imaginaria en las iteraciones sucesivas se emplean los teacuterminos
cuadraacuteticos de la etapa anterior
uEuE
uEuE uEuE(u)En
rn
r
nr
nr
nr
)(Re)(Im
)]([Im])([Re1)()( frac12 Re)()(
2)1(2)1()(
Hminus=
minusminusminussdot= minusminuslowast
(3-73)
Para poder asegurar una radiacioacuten homogeacutenea sobre el dominio de observacioacuten lo normal es que
eacuteste se encuentre en la zona de campo lejano Aunque basta con que la observacioacuten sea lejana para
el radiador de referencia que si es de dimensioacuten pequentildea podraacute ser compatible con la zona de campo
cercano de un sistema radiante de mayor tamantildeo
i i Holograf iacutea En este caso no se trata de reconstruir primero la distribucioacuten compleja de campo para despueacutes
colegir las fuentes que lo ocasionaron sino que como su nombre indica centra su atencioacuten en
recuperar directamente la funcioacuten completa del objeto30 (que en nuestro caso corresponde a la
distribucioacuten compleja de fuentes) Teniendo en cuenta la relacioacuten existente entre la distribucioacuten de
fuentes y la de campo lejano por medio de transformadas de Fourier basta antildeadir una fuente
puntual de referencia para conseguir la deseada distribucioacuten homogeacutenea [81 82] Es decir
considerando dominios lineales y llamando f r (x) a la distribucioacuten de fuentes bajo estudio la
distribucioacuten total seraacute
020 )()()()( uxj
r eEuExxxx πδ minus+=rarrminus+= Frff (3-74)
29 Esta solucioacuten fue originalmente discutida por Hanszen y Morgenstern en 1969 posteriormente fue
extendida por Hoppe Misell y Greenaway [142 117]
30 El teacutermino acuntildeado por Gabor [50] hace alusioacuten a la recuperacioacuten de toda lsquoόλη la imagen γραφή
130 Capiacutetulo III
Con lo cual el cuadrado del moacutedulo del campo seraacute
1)()()()(
))(()()()(
00
00
22
222
+++=
=++==
minuslowastlowast
lowastminuslowast
uxjr
uxjrrr
uxjr
uxjr
euEeuEuEuE
eEeEuEuEuEππ
ππ
(3-75)
Y aplicando el teorema de la convolucioacuten
1)()()()()|(| 0021 +minusminus+++minuslowast= lowastlowastminus xxxxxxuE rrrr ffffF (3-76)
Puesto que la extensioacuten de f r (x)lowast f r (x) es el doble que la de las fuentes es evidente a partir de (3-
76) que si distanciamos la fuente puntual desde el borde de la distribucioacuten al menos una vez su
dimensioacuten maacutexima podremos distinguir la distribucioacuten compleja de fuentes bajo estudio f r (x)
mediante la transformada inversa de Fourier del cuadrado de la distribucioacuten de campo Es decir se
habraacute resuelto de un solo plumazo el problema inverso Desafortunadamente no siempre las
condiciones de ensayo nos permiten reproducir esta situacioacuten que implica la medicioacuten en campo
lejano y la disponibilidad de una fuente coherente y puntual No obstante la enorme extensioacuten de
esta teacutecnica ndashestrechamente emparentada con la interferometriacuteandash a radioastronomiacutea metrologiacutea de
alta frecuencia reconstruccioacuten de imaacutegenes microscopiacutea electroacutenica oacuteptica cristalografiacutea habla
por si sola de su intereacutes praacutectico [5 118 119 112 134 145]
i i i Desplazamiento de la pos i c ioacuten de los ceros Consideremos nuevamente la radiacioacuten resultante de haber antildeadido una fuente puntual expresada
en (3-74) y (3-75) pero supongamos que ahora la intensidad de la fuente de referencia tiene
amplitud A
)2)sin((Im2)2cos()(Re2)(
)()()()(
0022
2222200
uxuEAuxuEAAuE
AeuEAeuEAuEuE
rrr
uxjr
uxjrr
ππ
ππ
sdot+sdot++=
=+sdot+sdot+= minuslowast
(3-77)
Habida cuenta de que el ancho de banda espacial de la distribucioacuten de campo es igual al tamantildeo de
las fuentes (3-40) puede observarse en (3-77) que nuevamente la condicioacuten de que x0gtb+(b-a) es
necesaria para que a partir de (3-77) se pueda determinar la distribucioacuten compleja de campo
(podriacutean filtrarse las frecuencias inferiores a 2βu y utilizar las propiedades de ortogonalidad del seno
y el coseno para distinguir las partes real e imaginaria) Pero desde el punto de vista de la ubicacioacuten
de los ceros de la funcioacuten E(z)=Er(z)+Aendashj2πzx0 se observa faacutecilmente teniendo en cuenta el
comportamiento asintoacutetico de Er(z)simOf(b)endashj2πzb2πiz en el SPI que mientras |A|gt|Er(x)| forallx y
x0gtb entonces |Ae-j2πzx0|gt|Er(z)| forallz isin SPI con lo cual E(z) no podraacute tener ceros en el SPI Si
esto es asiacute seguacuten se discutioacute en sect3311 podraacute emplearse la relacioacuten de dispersioacuten (3-47) No
obstante las maneras de sortear las dificultades para la aplicacioacuten de eacutesta u otras relaciones de
Problema electromagneacutetico inverso 131
dispersioacuten similares son bastante maacutes amplias como probaron Burge et al [23 44] Veamos no
obstante primero la manera de utilizar la maacutes sencilla de las relaciones de dispersioacuten
Consideremos nuevamente la radiacioacuten de referencia homogeacutenea y constante E(u)=Er(u)+A
Teniendo en cuenta que Er(x) tiende asintoacuteticamente a cero
ln[Er(z)+A]A isin L2 sobre cualquier liacutenea en el SPI y paralela al eje real (3-78)
Con lo cual seguacuten el teorema de Titchmarsh [157] podraacute emplearse la transformada de Hilbert (3-
39) para determinar la fase de la distribucioacuten compleja E(u) Una vez conocida eacutesta bastaraacute con
utilizar
2122 ))(cos(arg)(2|)(||)(|
))(cos(arg|)(|
))(sin(arg|)(|))(tan(arg
uEuEAuEAuE
AuEuEuEuEuE
r
r
sdotminus+=
minussdotsdot
= (3-79)
Pero el desplazamiento de los ceros para que en el SPI no quede ninguno puede aun generalizarse
de acuerdo con el teorema de Rouche [1 sect52] para toda una clase de funciones de referencia [23]
Si llamamos R(u) a una funcioacuten de referencia que cumpla las condiciones
a) ser regular en el SPI
b) no tener ninguacuten cero en el SPI
c) |R(z)|gt|Er(z)| en el eje real y en cualquier semiciacuterculo del SPI de radio tendiente a
infinito
Entonces seguacuten el teorema de Rouche la funcioacuten lnE(z)=lnEr(z)+R(z) es regular en el SPI y
carece aquiacute de ceros Aplicando caacutelculo de residuos se llega a la relacioacuten de dispersioacuten [23 44]
sum intsum
=
infin
infinminus+
minus
= =+
=
primeminusprimeprime
partpartprime
minusprime
minus
partpart
=n
kn
n
k un
kk
n
un
kk
uduuu
uEuk
uuEPuuE
ukuuE
01
1
0 01
0 )(
)(lnRe
|)(|log)(lnIm
)(arg
π
(3-80)
Donde P es el valor principal de Cauchy y n es el grado del teacutermino asintoacutetico de E(z) Obseacutervese
que el primer teacutermino de la derecha soacutelo puede evaluarse si se conoce la fase de la funcioacuten de
campo En caso de que n sea 1 su eliminacioacuten solo repercutiriacutea en un teacutermino de fase lineal y como
hemos visto podriacutea corregirse si se conociera el soporte Por otra parte para ngt1 el segundo
teacutermino implicariacutea el caacutelculo numeacuterico de derivadas con su consabida imprecisioacuten Por estas
razones este procedimiento soacutelo suele aplicarse para n le1 Al igual que se deciacutea antes como estos
meacutetodos estaacuten a expensas de conseguir una oportuna radiacioacuten de referencia lo normal es que eacutesta
sea observada en zona lejana respecto al radiador de referencia que a su vez puede ser compatible
con el campo proacuteximo de la radiacioacuten bajo estudio
132 Capiacutetulo III
b) Manipulacioacuten de la distribucioacuten de fuentes
Hasta ahora todos los intentos considerados para doblegar la posicioacuten de los ceros de la
distribucioacuten de campo han consistido en manipular directamente el campo observado antildeadiendo
otro que conocemos bien Pero tambieacuten podriacutea pretenderse la manipulacioacuten de la distribucioacuten de
fuentes para conseguir efectos deseados sobre la colocacioacuten de los ceros
i Apodizacioacuten Como es de esperar uno de los objetivos maacutes recurrentes cuando se procura el desplazamiento de
los ceros es permitir el uso de la transformada logariacutetmica de Hilbert Cuando el intento consiste en
multiplicar la distribucioacuten original por una funcioacuten para lograr ese objetivo a esta teacutecnica se le
denomina con cierto humor apodizacioacuten (obseacutervese que si la distribucioacuten carece de ceros en el eje
real la representacioacuten graacutefica de su moacutedulo nunca tocariacutea el eje Es por tanto algo asiacute como quitarle
los pies)
Figura 3-10 Apodizacioacuten usando una sinc en el dominio de las fuentes Su efecto es eliminar los ceros en el
dominio del campo para poder usar la transformada logariacutetmica de Hilbert
Normalmente cuando nos hemos referido a la posicioacuten geneacuterica de los ceros hemos considerado
su distribucioacuten asintoacutetica y respecto a ella se han dilucidado no pocas cosas Pero Ross y cols [135
136] hicieron notar que si la distribucioacuten de fuentes se multiplica por una funcioacuten adecuada se
puede crear una zona libre de ceros en torno al origen Una de estas funciones ndashy la maacutes
comuacutenmente utilizadandash es la sinc (La figura 3-10 ofrece una idea intuitiva de coacutemo la apodizacioacuten
por una sinc actuacutea eliminando los ceros en el dominio de intereacutes) Pero obseacutervese que la verdadera
practicidad de esta teacutecnica radica en que no es necesario manipular las verdaderas distribuciones
sino que en realidad basta con controlar los dispositivos de medida Supongamos que el campo lo
percibimos por medio de una sonda puntual bastariacutea con aplicarle un filtro adecuado para obtener
el efecto deseado Pero lo que es maacutes en lugar de sondas ideales lo que en realidad se utiliza son
aperturas con una cierta extensioacuten que hacen que la convolucioacuten aparezca de forma natural (de
hecho si se tratara de aperturas de iluminacioacuten constante la observacioacuten a lo largo del dominio
equivaldriacutea a una convolucioacuten con una funcioacuten rectangular) Por tanto esta teacutecnica puede
considerarse hasta cierto punto emparentada con la correccioacuten de sonda [168]
f (x)sdotsinc(ksdotx)
E(u)
u u
Apodizacioacuten
f (x)
F
E(u)lowastprod(uk)
F
D
S
Problema electromagneacutetico inverso 133
Si la apodizacioacuten fuera exitosa entonces los ceros quedariacutean desplazados haciacutea uno de los
semiplanos y lo que obviamente nos deparariacutea la transformada logariacutetmica de Hilbert seriacutea la
distribucioacuten de fuentes modificada por la funcioacuten sinc El proceso concluiriacutea por tanto al
multiplicar por la inversa de la sinc la distribucioacuten modificada Sin embargo el hecho de que no
podamos garantizar en todos los casos que ese haya sido en efecto el destino de los ceros hace
que esta teacutecnica no sirva de solucioacuten general aunque sus beneficios como teacutecnica auxiliar sean de
intereacutes [88-92 168]
i i Propuesta de Greenaway En el marco de la discusioacuten sobre el efecto de la conmutacioacuten de los ceros de la distribucioacuten de
campo (sect3316) podriacutea haberse ilustrado coacutemo la aparicioacuten de una parte interior del dominio de
fuentes en el que su magnitud sea nula es incompatible con la conmutacioacuten de alguno de los ceros
por sus reciacuteprocos conjugados31 En muchos casos la consideracioacuten de esa zona interior nula es
suficiente pero como se discutioacute en (sect3316) pueden darse ciertas condiciones en la ubicacioacuten de
los ceros de modo que al conmutarse alguna combinacioacuten de ceros por reciacuteprocos conjugados
pueda satisfacerse la igualdad de moacutedulo en alguacuten subdominio de la distribucioacuten de fuentes aunque
eacutesta sea en general diferente sobre el dominio entero No obstante a tenor de las conclusiones
llegadas por Hoenders a raiacutez de su teorema podriacutea decirse que la inclusioacuten de una zona interior
nula asimeacutetrica seriacutea soacutelo compatible con una de las soluciones En esto consistiacutea la propuesta de
Greenaway [55] que seguacuten Ferwerda [44] y Taylor [153] tiene el meacuterito de no tener que recurrir al
conocimiento de la ubicacioacuten de los ceros pero que choca con dificultades para su aplicacioacuten
praacutectica Sin embargo a parte de la dificultad de realizar una buena pantalla interior (aunque en
ciertos aacutembitos como puede verse en [93] su realizacioacuten no es tan compleja) podriacutea aplicarse al
problema inverso mediante un algoritmo iterativo del estilo al de Geschberg-Saxton que impusiera
recurrentemente la condicioacuten de ldquooscuridad interiorrdquo (De hecho las teacutecnicas de reconstruccioacuten de
imagen propuestas por Fienup Hayes o Ivanov guardariacutean un estrecho parecido con esta teacutecnica
ya que las condiciones que se imponen sobre el dominio del objeto son soacutelo una parte de las que se
han considerado suficientes) Desde el punto de vista de la teoriacutea de unicidad expuesta en sect331 la
limitacioacuten de esta propuesta es clara no garantiza en todos los casos la unicidad de solucioacuten Sin
embargo en sect4242b se observaraacute la utilidad de este procedimiento para un problema superficial
31 Consideacuterese por ejemplo la distribucioacuten 132 0 0 0 0 1 Sus ceros estaacuten equidistribuidos sobre una
circunferencia de radio 2 Naturalmente cuando se considera que f = f z 1 lowast f z 2 lowast lowast f z 6 (donde f z i
representa la distribucioacuten correspondiente al cero i-esimo) aparece la zona interior nula Sin embargo puede
observarse faacutecilmente que cualquier combinacioacuten de una parte de los ceros originales con los restantes ceros
reciacuteprocos conjugados hace que el resultado de la convolucioacuten en la zona interior sea distinto de cero
134 Capiacutetulo III
i i i Manipulac ioacuten de la s imetriacutea De las ya comentadas conclusiones de Hoenders al hilo de su teorema (sect3313) se seguiacutea que en
caso de conocer la parte de la distribucioacuten de fuentes de mayor magnitud desapareceriacutea la
ambiguumledad Seguacuten afirmaba Hoenders [65] (pero tambieacuten Ferwerda [44] Taylor [153] y Sali [137])
soacutelo hay dos soluciones vaacutelidas ndashsimeacutetrico conjugadasndash En consecuencia bastariacutea con emplear un
procedimiento numeacuterico en el que el punto de partida se encontrara maacutes cerca de la solucioacuten
buscada cuya antisimetriacutea sabemos hacia queacute lado se inclina Inmediatamente este autor propone
un procedimiento manipulador que consiste en hacer que la distribucioacuten de fuentes sea mayor en
un lado que en otro (en el caso oacuteptico se logra mediante variacioacuten del aacutengulo de incidencia y en el
caso de metrologiacutea de antenas reflectoras eligiendo una fuente de radiacioacuten asimeacutetrica) Los
resultados sin embargo han tenido el mismo destino que su teoriacutea no han ido mucho maacutes allaacute de
ser comentados como una posible solucioacuten pero no hay manera de encontrar resultados
conclusivos en la literatura
No obstante Sali [137] propone un procedimiento ndashmaacutes emparentado con la propuesta de
Hoenders de lo que sus confusas explicaciones pueden dar a entenderndash que obtiene eventualmente
buenos resultados Este meacutetodo ya referido en sect3314 consiste en apantallar la mitad de la
distribucioacuten de fuentes (en el caso de antenas de apertura basta con poner una laacutemina conductora)
y reconstruir iterativamente cada una de las dos mitades en que se ha dividido la distribucioacuten de
corrientes La iteracioacuten es del estilo a la del algoritmo de Gerchberg-Saxton aunque imponiendo en
el dominio de las fuentes soacutelo la restriccioacuten de soporte finito Si se consideran las distribuciones que
seguacuten el autor se reconstruyen con eacutexito se observa que todas son simeacutetricas pero su moacutedulo es
maacuteximo en el medio Por tanto al dividirlas lo que se consigue son dos distribuciones cuya
antisimetriacutea se conoce De acuerdo a los resultados obtenidos mediante la implementacioacuten que el
autor ha realizado de este algoritmo lo que Sali no confiesa es la dependencia de la hipoacutetesis de
partida ya que se ha constatado no soacutelo la convergencia hacia la solucioacuten simeacutetrica cuando se parte
de una hipoacutetesis cuya antisimetriacutea es acusada en sentido contrario sino que ademaacutes el
procedimiento ha deparado soluciones distintas de la esperada cuando se parte de ciertas hipoacutetesis
aunque la antisimetriacutea corresponda con la original
En el aacutembito de la reconstruccioacuten de imaacutegenes a partir del moacutedulo de su trasformada Fienup [46
47] propone tambieacuten el recurso a la antisimetriacutea En este caso se trata de evitar los estancamientos
que se observan en el proceso de reconstruccioacuten al partir de una hipoacutetesis neutra Su solucioacuten
consiste en comenzar con una hipoacutetesis cuya antisimetriacutea coincida con la de la distribucioacuten original
No obstante las restricciones que pueden imponerse en el aacutembito de la reconstruccioacuten de imaacutegenes
(distribucioacuten de nuacutemeros reales) es mucho maacutes exigente y generalmente soacutelo hay dos soluciones
vaacutelidas la original y su simeacutetrica
Desde el punto de vista de la disposicioacuten de los ceros la antisimetriacutea estaacute de hecho relacionada
con el problema de la ambiguumledad de Walter [160] Si se observa la relacioacuten (3-62) puede deducirse
Problema electromagneacutetico inverso 135
que una distribucioacuten cuyos ceros asociados se encuentren fuera del ciacuterculo unidad es creciente en
moacutedulo mientras que si se encuentran en la parte interior la distribucioacuten correspondiente seraacute
decreciente Siguiendo a Walter si pudieacuteramos asegurar que los ceros se encuentren fuera o dentro
la ambiguumledad estariacutea asiacute resuelta Como por otra parte el tener todos los ceros a un lado u otro
supone una transformada de fase miacutenima para poder llegar a la solucioacuten podriacutea usarse un
procedimiento numeacuterico que partiera de una hipoacutetesis antisimeacutetrica (con la declinacioacuten conocida) y
cuya distribucioacuten de campo sea de fase miacutenima
No obstante para el caso que nos ocupa las condiciones que este meacutetodo impone y la
multiplicidad que puede esperarse en las distribuciones de fuentes hacen que al no garantizarnos la
unicidad de solucioacuten carezcan de practicidad aunque su consideracioacuten no deje de tener intereacutes
teoacuterico
3322 Procedimientos observadores
Como ya se indicoacute en la discusioacuten de la unicidad de solucioacuten si no se imponen condiciones sobre la
distribucioacuten de fuentes o sobre la de campo es menester observar el moacutedulo sobre dos dominios
diferentes (la uacutenica ambiguumledad que prevalece seriacutea la de una constante de fase que hemos tildado
de inesencial y que en realidad no nos importa) Si nos decantamos por esta opcioacuten podremos
dirigirnos hacia una mayor cantidad de problemas ya que por razones praacutecticas las condiciones
requeridas por los procedimientos manipuladores a menudo son inaccesibles mientras que en caso
de poder observar sobre un cierto dominio generalmente pueden adaptarse los instrumentos de
medida para observar sobre otro
La esencia de estos procedimientos es por tanto clara se debe observar el moacutedulo del campo
sobre dos dominios y buscar la solucioacuten que sea compatible con esa pareja de observaciones La
principal diferencia que existe entre los meacutetodos de este tipo radicaraacute en ir buscando soluciones en
cada uno de los dominios alternativamente o bien imponer las observaciones a un funcional y tratar
de minimizarlo Las propuestas maacutes tempranas pertenecen al primer tipo [52 53 54 114 115 116]
aunque no tardoacute mucho en emplearse meacutetodos de optimizacioacuten [142 45]32 asiacute como otros directos en los
que se plantea la relacioacuten integral ndashen teacuterminos de una suma de Riemannndash entre la distribucioacuten de
fuente ndashque desea sabersendash y las dos distribuciones de moacutedulo al cuadrado a modo de un conjunto
de ecuaciones algebraicas que se resuelven en conjunto No obstante la vulnerabilidad al ruido y a
32 De hecho en la primera formulacioacuten del algoritmo de Gerchberg-Saxton [52] ya se indica la posibilidad
aunque no se ponga en praacutectica de emplear el meacutetodo de la miacutenima pendiente sobre el conjunto de los datos
Tambieacuten en la formulacioacuten del algoritmo de Misell puede encontrarse delineada esta posibilidad [115]
136 Capiacutetulo III
la precisioacuten ha hecho que estos meacutetodos directos hayan quedado praacutecticamente desatendidos [38
67 68 69 44 11 121]33
a) Proyecciones sucesivas
Seguacuten se indicoacute en sect3315 el intento maacutes remoto de reconstruccioacuten de la funcioacuten completa de
onda a partir de dos observables fue el de Reichenbach pero despueacutes de que incluso eacutel mismo
abandonara la idea transcurrieron unos treinta antildeos hasta que Gerchberg y Saxton desarrollaran su
conocido y exitoso procedimiento
i Meacutetodo de Gerchberg-Saxton En eacuteste se adquieren las distribuciones de moacutedulo en el dominio del campo y en el de las fuentes y
las soluciones que se encuentran en uno de los dominios se propagan sobre el otro En muchos
campos de aplicacioacuten como es el caso de microscopiacutea oacuteptica y electroacutenica34 radioastronomiacutea y
metrologiacutea de alta frecuencia la relacioacuten que existe entre los dos dominios es una transformada de
Fourier que naturalmente puede calcularse numeacutericamente mediante su transformada raacutepida
(encontrada a mediados de los antildeos 60) Por tanto el paso de un dominio a otro es sencillo a la vez
que raacutepido En la figura 3-11 se representa el algoritmo que como puede observarse se trata de una
particularizacioacuten del esquema general planteado al principio de este capiacutetulo (fig 3-1) en el que la
restriccioacuten aplicada a las fuentes Rfο consiste en la imposicioacuten de la distribucioacuten de moacutedulo
medida sobre el dominio de las fuentes Los operadores de imposicioacuten de las medidas consisten
aquiacute en el mantenimiento de la fase y la modificacioacuten del moacutedulo es decir
arg
med1
argmed1
k
k
j
kfk
jkEk
e
ef
ffMf
M
sdot==
sdot==
+
+EEEE
(3-81)
Puesto que en tratamiento de imagen el hecho de que la distribucioacuten original sea real incluso positiva
junto con el soporte suele ser lo suficientemente restrictivo como para asegurar la unicidad de
solucioacuten al algoritmo que impone iterativamente el moacutedulo de la transformada y las restricciones
sobre el objeto se denomina tambieacuten de Gerchberg-Saxton
El eacutexito obtenido por este meacutetodo renovoacute el intereacutes de los meacutetodos geneacutericos de recuperacioacuten de la
fase de una distribucioacuten a partir de solamente medidas de moacutedulo No obstante el procedimiento
33 Curiosamente las propuestas de estos meacutetodos comienzan reprochando la falta de transparencia
matemaacutetica de los algoritmos de proyecciones sucesivas (tanto el de Gerchberg-Saxton como el de Misell) y
terminan llamando la atencioacuten sobre la vulnerabilidad numeacuterica de los directos que en general consiste en la
propagacioacuten de errores procedentes tanto del ruido de medida como del truncamiento numeacuterico
34 Aquiacute se habla de plano imagen y de difraccioacuten [52 142]
Problema electromagneacutetico inverso 137
aunque faacutecilmente aplicable a microscopiacutea (y otras disciplinas) no es muy atractivo para la
caracterizacioacuten de sistemas radiantes aunque se tratara de antenas de apertura debido a la inherente
imprecisioacuten de una exploracioacuten sobre el dominio de las fuentes (Auacuten asiacute este meacutetodo utilizando
restricciones conocidas en lugar de medidas sobre el dominio de las fuentes ha sido
recurrentemente empleado [7 8 137])
Figura 3-11 Algoritmo de Gerchberch-Saxton
i i Meacutetodo de Mise l l Afortunadamente en 1973 Misell propuso un procedimiento [114 115 116] inspirado en el de
Gergberg-Saxton que aunque fuera inicialmente formulado para microscopiacutea desde la deacutecada de
1980 pudo aplicarse con eacutexito a la caracterizacioacuten de antenas paraboacutelicas [41 119] Al igual que con
el procedimiento anterior su eacutexito praacutectico espoleoacute el intereacutes por la teacutecnica de Misell especialmente
una vez que las demostraciones de Hoenders y Drendth aportaron la evidencia matemaacutetica de su
unicidad de solucioacuten35 En este caso el par medidas de moacutedulo que se emplean son dos
distribuciones de campo lejano desenfocadas Naturalmente con distinto grado de desenfoque Si
estuvieacuteramos interesados en caracterizar una antena de relector entonces se tratariacutea de colocar en
dos posiciones el alimentador La relacioacuten que existe entre las dos distribuciones es nuevamente
sencilla si consideramos que la distribucioacuten de campo lejano para una distancia focal axial ∆d puede
determinarse como [115]
)()(2xj
ddexuE ∆sdot= fF (3-82)
Cuya inversioacuten es inmediata
35 Curiosamente se demostroacute antes la unicidad de solucioacuten del algoritmo de Misell ndashcasi simultaacuteneamente por
los dos investigadores mencionadosndash y un antildeo despueacutes el de Gerchberg-Saxton por Huiser [67 68]
MEE k
E N f N
kf
F1+kE
εltminus 1kkd EEF ndash1
Mfk
f
Hipoacutetesis inicial
Moacutedulo de las fuentes
Moacutedulo del campo
138 Capiacutetulo III
2
)()( xjd
deuEx ∆minussdot= -1Ff (3-83)
Asiacute pues llamando ∆1 ∆2 a las distancias focales de los desenfoques y ∆ = ∆2-ndash∆1 a la diferencia
entre ambas
)()()(
)()()(22
2
221
11
2
21
1
xj-xj
xj-xj
euEexuE
euEexuE∆∆
∆minus∆
sdot=sdot=
sdot=sdot=
FFF
FFF
f
f (3-84)
Donde de nuevo el recurso a las transformadas raacutepidas hacen que el procedimiento sea aacutegil36 No
obstante la aplicabilidad de este procedimiento a la caracterizacioacuten geneacuterica de sistemas radiantes es
naturalmente limitada aunque su generalizacioacuten al caso de observacioacuten en campo proacuteximo como
se demostroacute en sect3318 es bastante directa
Figura 3-12 Algoritmo de Misell
i i i Meacutetodo de Anderson general izado En 1985 Anderson propuso la mencionada generalizacioacuten del algoritmo de Misell a medidas en
campo proacuteximo [6] que posteriormente fue puesta en praacutectica por muchos investigadores [9 167
76 94 128] Aunque la formulacioacuten que eacuteste propone es para geometriacuteas planas puede faacutecilmente
generalizarse Supongamos que los dominios de medida se atienen a alguna de las geometriacuteas
canoacutenicas entonces seguacuten se vio en sect236 el campo puede describirse en teacutermino de unos modos
constantes y unas funciones modales que dependen de la posicioacuten del dominio Asiacute podraacute
generalizarse
36 Morris [118 119] estudia la vulnerabilidad al ruido llegando a la conclusioacuten de que el algoritmo de Misell
en el peor caso requiere una relacioacuten sentildeal a ruido aproximadamente igual al cuadrado (en escala natural) que
la requerida cuando se mide directamente la fase
M k1E
E N f N
11
+kE
εltminus 111kkd EE
F F ndash1ej∆x2
M k2E
Hipoacutetesis inicial Moacutedulo del campo con
desenfoque ∆1
12
+kE
F F ndash1endashj∆x2
Moacutedulo delcampo con
desenfoque ∆2
Problema electromagneacutetico inverso 139
i sobre DMsdot=ii HE (3-85)
Donde E representa un arreglo de vectores sobre el dominio de medida H una matriz de funciones
diaacutedicas modales particularizadas en los puntos del dominio y M un arreglo de todos los vectores
modales necesarios para la representacioacuten del campo
sdot=
sdot=
sdot=sdot=
sdot=sdot=
+minus+
+minus+minus
minus
minus
iiijij
iiii
HHHH
HHHH
EEHHE
EEHHE
1
11
11211
122
22121
211
][
][
donde
PP
P (3-86)
Asiacute definido el operador de proyeccioacuten Pi j (del dominio i al j) equivale a la aproximacioacuten miacutenimo
cuadraacutetica del campo Ei sobre el espacio modal y a su posterior propagacioacuten al dominio j
Teniendo en cuenta el isomorfismo entre la distribucioacuten superficial de corrientes y la representacioacuten
modal (sect236c) la generalizacioacuten a cualquier geometriacutea es inmediata cambiando funciones modales
por funciones de Green y modos por fuentes (corrientes) Por tanto empleando la terminologiacutea del
capiacutetulo 2deg (ver 2-91)
sdot=
sdot=
sdot=sdot=
sdot=sdot=
+minus+
+minus+minus
minus
minus
iiijij
iiii
TTTT
TTTT
TT
TT
1
11
11211
122
22121
211
][
][
donde
PP
P
EEE
EEE (3-87)
Puesto que tanto en (3-86) como en (3-87) hemos designado por Pi j al operador de proyeccioacuten la
figura 3-13 generaliza para cualquier tipo de geometriacutea el algoritmo de Anderson Naturalmente la
definicioacuten de los operadores inversos T minus 1 seriacutea distinta si sobre el espacio E se usara el producto
interno y la meacutetrica descrita en (3-3) y (3-4) Su definicioacuten por analogiacutea con (3-15) es directa
Figura 3-13 Algoritmo de Anderson generalizado
M k1E
E N f N
11
+kE
εltminus 111kkd EE
P12
M k2E
Hipoacutetesis inicial Moacutedulo del
campo sobre D1
12
+kE
P21
Moacutedulo delcampo
sobre D2
140 Capiacutetulo III
iv Meacutetodo general izado de proyecc iones suces ivas Supongamos que de las fuentes tenemos un cierto conocimiento como puede ser su soporte o
ciertas condiciones de su distribucioacuten de moacutedulo o fase En este caso podriacuteamos combinar el
meacutetodo de Gerchberg-Saxton con el de Anderson para obtener uno que fuera aun maacutes general37
En la figura 3-14 se representa graacuteficamente este algoritmo que podriacutea completarse al igual que los
de las figuras 3-11 a 3-13 con la aplicacioacuten de la restriccioacuten de ancho de banda sobre las
distribuciones de campo R E
Si finalmente se tiene en cuenta que un aumento de los dominios de observacioacuten conlleva una
mayor calidad en los resultados (es decir un menor ruido en la solucioacuten alcanzada) [78 75 77]
podriacutea auacuten considerarse un meacutetodo maacutes completo que podriacuteamos simplificar definiendo un
operador de restriccioacuten R Ei en cada dominio que englobara simultaacuteneamente la imposicioacuten de
medidas y la limitacioacuten de ancho de banda En la figura 3-15 se representa esta uacuteltima
generalizacioacuten
Figura 3-14 Algoritmo generalizado de proyecciones sucesivas
37 Aunque particularizado para geometriacuteas planas [166 163] Yaccarino y Rahmat-Samii aplicaron en 1995
precisamente este procedimiento [167]
M k1E
k2E
f N
E 1N
E 2N
1+kf
εltminus 1kkd ff
M k2E
Hipoacutetesis inicial
Moacutedulo del campo
sobre D1
T2-1
Moacutedulo del campo
sobre D2
Rf kf
k1E
T1-1
T2 T1
kisinP knotinP
Problema electromagneacutetico inverso 141
Figura 3-15 Algoritmo generalizado de proyecciones sucesivas para muacuteltiples dominios de medida
b) Meacutetodos de optimizacioacuten
Tanto Gerchberg y Saxton [52] como Misell [115] cuando formularon los procedimientos arriba
descritos propusieron la utilizacioacuten de meacutetodos de optimizacioacuten aunque en principio no los
pusieran en praacutectica38 En general los meacutetodos anteriores tienen la ventaja de que al utilizar
relaciones lineales para la propagacioacuten entre dominios y aplicar en cada uno condiciones que soacutelo
son satisfechas por una solucioacuten el teorema de la convergencia global [105] asegura que la sucesioacuten
de soluciones parciales converge hacia la solucioacuten uacutenica Sin embargo presentan la desventaja de
que su convergencia es lenta [46] Una manera de evitar esta lentitud de convergencia es recurrir a
meacutetodos numeacutericos aplicados sobre un funcional definido en teacuterminos de la distribucioacuten compleja
que pretende dilucidarse y de las medidas disponibles sobre las dos superficies simultaacuteneamente
Puesto que soacutelo se cuenta con informacioacuten de moacutedulo del campo cualquier funcional que pretenda
definirse para minimizar la distancia entre las predicciones y los datos seraacute naturalmente no
cuadraacutetico En consecuencia podraacuten aparecer miacutenimos locales que en la praacutectica se hacen patentes
en teacuterminos de distribuciones no oacuteptimas en las que se estancan los algoritmos Para evitar este
problema se puede recurrir a varias taacutecticas
1) Definir un funcional cuya alinealidad sea de miacutenimo orden ndashasiacute la diferencia de moacutedulos
supone un funcional de orden superior que la diferencia de cuadradosndash
2) Evitar los meacutetodos de optimizacioacuten que hagan inversiones directas de las aproximaciones
cuadraacuteticas (como ocurre con el meacutetodo de Newton)
38 Saxton en 1978 [142] y Fienup en 1982 [46] hacen una extensa comparacioacuten ndashaplicada a sus respectivos
objetos de investigacioacutenndash entre los meacutetodos de proyecciones sucesivas y los de optimizacioacuten lo cual
demuestra que en realidad ambos procedimientos se desarrollaron a la par
f N
E 1N
E NN
Hipoacutetesis inicial
T2-1 T1
-1
T2 T1
RE k1E
εltminus 1kkd ff
Rf kf RE k2E RE k
3E RE kNE
T3-1
T3
TN-1
TN
142 Capiacutetulo III
3) Observar en maacutes dominios lo que seguacuten Isernia [75 77] tiene la consecuencia matemaacutetica de
aumentar la convexidad del funcional y disminuir la posibilidad de miacutenimos locales
En virtud de la primera pauta parece razonable recurrir a alguacuten funcional relacionado con la
distancia media entre el cuadrado del moacutedulo de campo medido y el predicho [72 73 74 75 98 99 100
34]39 Una manera de esquivar la segunda dificultad consistiriacutea en recurrir al meacutetodo de la maacutexima
pendiente Sin embargo su relativa lentitud de convergencia en comparacioacuten con otros meacutetodos
posiblemente no compense el riesgo de haber hecho que nuestro problema no sea cuadraacutetico Con
lo cual estariacutea maacutes justificado el amparo a alguacuten meacutetodo que haga una buacutesqueda no demasiado fina
cuando se encuentre lejos del miacutenimo absoluto por ejemplo en la direccioacuten de la maacutexima
pendiente pero que se encauce maacutes directamente hacia el miacutenimo cuando detecte mayor curvatura
Este es el principio de los meacutetodos cuasi-Newton como el de Levenberg-Marquardt [131] pero
tambieacuten el meacutetodo del gradiente conjugado (sect3213b) presenta un comportamiento similar [105]
Usando como magnitud a optimizar el cuadrado del moacutedulo del campo puede definirse un funcional que
refleje la distancia cuadraacutetica entre la magnitud medida y la predicha sobre los muacuteltiples dominios
de observacioacuten (normalmente dos) Puesto que nuestro objetivo es el de determinar la distribucioacuten
de fuentes entonces un funcional apropiado seriacutea
ffff
ffmmmmmm
ffmmffmm
lllm
l
M
iilililm
EEEE
EEEEEEEE
EEEEEEEE
fEEfEfEEfk
sdotsdot+
sdotsdotminussdotsdot=
=sdotminussdotsdotminus=
=minus=sdotminus=
+
++
++
=
lowast sumsum sum
)(diag)(diag
)(diag)(diagRe2)(diag)(diag
)(diag)(diag)(diag)(diag
)()()()(
222
nobservacioacute dedominios 1
22ξ
(3-88)
Donde l representa el conjunto de los dominios de observacioacuten Em las medidas sobre los
dominios de observacioacuten yuxtapuestos y Ef el campo correspondiente a una distribucioacuten de
corrientes f sobre los mismos puntos Como puede observarse es evidente que ξ ( f ) no es una
forma cuadraacutetica en f sino de orden cuatro No obstante con objeto de utilizar un procedimiento
39 De hecho asiacute lo proponen Gerchberg Saxton y Misell en un primer momento [52 115] sin embargo
Fienup utiliza el moacutedulo [46] Isernia [74 75] invoca tres razones para la utilizacioacuten del cuadrado de la amplitud
de campo en lugar del moacutedulo 1) el cuadrado de la amplitud de campo es de espectro espacial limitado mientras que
no puede decirse lo mismo del moacutedulo (por tanto el cuadrado de la amplitud del campo puede representarse
mediante muestras pero no el moacutedulo) 2) la no linealidad del cuadrado de la amplitud es simple frente a la maacutes
compleja del moacutedulo 3) puede definirse un espacio vectorial para el cuadrado de la amplitud de campo que
permitiriacutea acotar el espacio de funciones vaacutelidas Dejando esto uacuteltimo de lado las otras dos razones son
bastante juiciosas
Problema electromagneacutetico inverso 143
de optimizacioacuten aacutegil resulta conveniente aproximarlo por una forma cuadraacutetica que estaraacute bien
adaptado a ξ ( f ) en las cercaniacuteas del miacutenimo
ffkf sdotsdot+sdot+sdotminusasymp +++ ζξ )()( bffb (3-89)
donde k es una constante b una matriz (M1+hellip+Mk) x1 y ζ la matriz de curvatura (es decir la
mitad del Hessiano de ξ) Como puede observarse la relacioacuten (3-89) se trata de la misma forma
matemaacutetica que (3-9) y como se vio alliacute su miacutenimo corresponde con ζ minus1middot b (veacutease 3-14) Sin
embargo esta solucioacuten soacutelo seraacute aquiacute apropiada si nos encontramos en las proximidades del
miacutenimo es decir alliacute donde la aproximacioacuten (3-89) sea aceptable En general puesto que para cada
distribucioacuten f la aproximacioacuten es diferente la manera de llegar hasta el miacutenimo seraacute mediante un
procedimiento iterativo [105]
)()()()()1( iiiii S ξλ nablasdot+=+ ff (3-90)
Donde S ( i ) es una matriz N xN que depende del meacutetodo elegido Asiacute si se tratara del meacutetodo de
Newton S seriacutea el inverso de la matriz de curvatura (aunque seguacuten hemos argumentado huimos de
este meacutetodo) o la matriz identidad en caso de emplear la miacutenima pendiente En cualquier caso es
menester definir el gradiente y si se emplean meacutetodos cuasi-Newton ndashcomo el mencionado de
Levenberg-Marquardt [131]ndash tambieacuten la matriz de curvatura Para ello deben definirse antes las
derivadas primeras y segundas
sumsum
sumsum
=
=
partpart
part
minusminus
part
part
part
partsdot=
partpart
part
part
partsdotminussdotminus=
part
part
1
2222
222
2
1
22
2)(
2)(
l
M
i jk
ilf
ilfilmj
ilf
k
ilf
jk
l k
ilfM
iilfilm
k
k
k
ff
EEE
f
E
f
E
fff
f
EEE
ff
ξ
ξ
(3-91)
Pero desafortunadamente puesto que |E( f ) |2 no es analiacutetico en f su derivada no existe con lo
que no podraacute definirse al gradiente Por tanto para poder acometer el problema debe utilizarse
alguna de las siguientes estrategias
1) Optimizar considerando independientes las partes real e imaginaria de las fuentes de modo
que el gradiente de ξ ( f ) quedaraacute definido por la yuxtaposicioacuten de los gradientes respecto a las
partes real e imaginaria de las fuentes
2) Recurrir a una funcioacuten analiacutetica ndashcomo es el caso de )()( lowastlowastsdot fEfE ndash que sea lo suficientemente
parecida a )()( fEfE lowastsdot como para poder intercambiarlas
144 Capiacutetulo III
3) Definir una derivada que corresponda con la de |E( f ) |2 cuando las fuentes sean reales o
imaginarias
La utilizacioacuten de la primera estrategia se ha experimentado numeacutericamente y soacutelo ha deparado
buenos resultados cuando las corrientes se encontraban sometidas a restricciones [34] En lo que
respecta a la segunda es evidente que E( f )middotE( f ) (es decir la continuidad analiacutetica de
E( f )middotE( f ) para fuentes reales) no puede servirnos y no se ha encontrado otra que cumpla las
citadas condiciones Con lo cual soacutelo queda la posibilidad de definir una derivada relacionada con
la de |E( f ) |2 Pueden encontrarse varias propuestas en [142 46 73 75 76 103] pero una
solucioacuten juiciosa para la definicioacuten del gradiente puede encontrarse sustituyendo (3-90) en (3-88)
Asiacute se obtiene como aproximacioacuten a la derivada
k
ilf
k
ilf
k
ilf
b
Ej
a
E
f
E
part
part+
part
partequiv
part
part222
(3-92)
Aplicando la definicioacuten del campo en teacuterminos de las funciones de onda baacutesicas debidas a los
dipolos de Hertz unitarios (2-92)
sdotΨ=part
part
sdotΨ=part
part
rArrsdot+sdotΨ=sdotΨ=
lowast
lowast
==sumsum
)(Im2)(
)(Re2)(
)()(2
2
11
ff
ff
ff i
Eb
E
Ea
E
bjaE
kk
kk
ii
N
ii
N
ii
(3-93)
Usando ahora la definicioacuten (3-92)
)(2)(
2
ff
fE
Ek
k
sdotΨsdot=part
partlowast (3-94)
Y finalmente aplicando las relaciones (3-91)
sumsumsumsum
sumsum
=
lowastlowast
=
lowast
=
sdotΨΨsdot=part
part
part
partsdotasymp
partpart
part
sdotΨsdotminussdotminus=part
part
1
2
1
222
1
22
)(82)(
)(4)(
l
M
iililjilk
l
M
i j
ilf
k
ilf
jk
lililk
M
iilfilm
k
fEf
E
f
E
fff
fEEEf
f
ξ
ξ
(3-95)
Donde en (3-91b) se ha despreciado la derivada segunda respecto al producto de las derivadas
primeras por dos razones 1) generalmente es menor 2) la derivada segunda estaacute ponderada por
|E|2m ndash |E|2( f ) y asiacute cuando la aproximacioacuten (3-89) es buena se confunde con el error aleatorio
Problema electromagneacutetico inverso 145
de medida que al estar incorrelado con el modelo numeacuterico tiende a cancelarse cuando se efectuacutea
la suma sobre todos los puntos del dominio
Usando (3-95) la definicioacuten del gradiente y de la matriz de curvatura es inmediato
2
diagdiag4)(
21)(
)(diag)(diagdiag4)(
TT
T
sdotsdotsdotsdot=partpart
part=
minussdotsdotsdotminus=nabla
+
+
ffjk
ffmmf
EEfff
f
EEEEEf
ξζ
ξ
(3-96)
A partir de estas definiciones puede aplicarse el meacutetodo del gradiente conjugado descrito en
sect3213b o bien ir maacutes directamente al miacutenimo cuando la curvatura sea aguda por medio del
meacutetodo de Levenberg-Marquardt ndashLMndash [131] En eacuteste se progresa siguiendo la direccioacuten de la miacutenima
pendiente cuando el miacutenimo estaacute alejado e invirtiendo el Hessiano en sus inmediaciones El
algoritmo adaptado a nuestro problema consiste en las siguientes etapas
1) Se hace una hipoacutetesis de partida respecto a la distribucioacuten de fuentes f ( 0 ) y se fija
λ( 0 ) =0001 2
2)0(2)0( |)(||| fEE m minus=ξ
2) Se calcula )(diag)(diagdiag2)(21
ffmmf EEEEEfb sdotminussdotsdotsdotsdot=nablaminus= +Tξ
3) Se calcula lowast+ sdotsdotsdotsdot= TT diagdiag4)( ff EEfζ
4) Se define ζζ =prime diagζ rsquo = diagζ ( 1 + λ )
5) Se resuelve b=sdotδζ (usando por ejemplo eliminacioacuten gaussiana)
Se calcula )( )( δ+sdot=prime nfE fT 2
2)(2 |)(||| nm fEE minus=γ
a Si γ ge ξ ( n ) λ( n+1) =10sdotλ( n ) f ( n+1) = f ( n)
b De lo contrario ξ ( n ) =γ λ( n+1) =λ( n )10 f ( n+1) = f ( n) +δ )1()1( ++ sdot= nnfE fT
c Mientras ξ ( n ) le ε volver a (2)
Faacutecilmente puede comprobarse que en efecto el algoritmo se comporta al modo de la miacutenima
pendiente cuando estamos lejos del miacutenimo λraquo1 (ζ es cuasi-diagonal) y como el de Newton en su
proximidad λlaquo1 (ζ asymp ζ )
De acuerdo a los corolarios de unicidad (sect3318) basta el conocimiento del moacutedulo del campo
sobre dos superficies para garantizar la unicidad de solucioacuten con lo cual lo normal seraacute que los
dominios de observacioacuten sean dos Asiacute la matriz que agrupa a las distribuciones de campo que
seguacuten se indicoacute antes se forman por yuxtaposicioacuten de los valores en los dos dominios
146 Capiacutetulo III
[ ]212
1 mmm
mm EEE
EE =
= (3-97)
De modo anaacutelogo los operadores lineales T
[ ]21
2
1 TTTT
T =
= (3-98)
Donde Ti es el operador directo sobre el dominio Di
En suma si bien la utilizacioacuten de los procedimientos de optimizacioacuten podriacutea conducirnos maacutes
raacutepidamente a la solucioacuten deben sentildealarse algunas limitaciones a) pueden aparecer miacutenimos locales
en los que el meacutetodo se estanque b) cada iteracioacuten es operativamente costosa ya que debe
calcularse el gradiente en cada etapa (incluso a veces ndashcomo en LMndash solucionar un sistema lineal en
cada iteracioacuten especialmente en las proximidades del oacuteptimo) c) no se ha podido definir
rigurosamente el gradiente del funcional a minimizar lo cual dificulta la transparencia matemaacutetica
del meacutetodo
c) Solucioacuten en el espacio del cuadrado del moacutedulo
Se trata de una solucioacuten propuesta por Isernia [74 75] (ver nota 39) consistente en ortogonalizar el
espacio del cuadrado del moacutedulo No obstante aquel no muestra resultados ni la mencioacuten de haber
sido intentado y como puede faacutecilmente comprobarse se trata de una posibilidad inviable En
efecto consideremos la expresioacuten del campo en teacuterminos del espacio E
D f f n )( )()(1
isinisinisinΨΨ= sum=
rrrr CCn
N
nnE (3-99)
Con lo cual el cuadrado del moacutedulo se expresa como
sumsumsumsum sum=
ne=
lowastlowast
== =
lowastlowastlowast ΨΨ+Ψ=ΨΨ=sdotN N
nn
N
n
N
n
N
mmnEE
1nnm1m
mn1n
nmn ff fff )()( ||)|(|)()()()( 22
1 1
rrrrrrr (3-100)
Que a su vez puede escribirse como
minus=isin=
isinΨΨ=Λ
realisin=
realisinΨ=Ω
sdotΛ+sdotΩ=sdot
lowast
lowast
+
+
prime
==
lowast sumsum
)(1
)()()(
||
|)(|)(
donde )( )()()(
2
2
2
NNk
EE
k
nn
n
n
N
nn
N
nn
C
C
mn
n
n
n
1n1n
ff
f
β
αβα
rrr
rr
rrrr (3-101)
Problema electromagneacutetico inverso 147
Expresioacuten a partir de la cual pudiera intentarse una ortogonalizacioacuten por medio de una conveniente
eleccioacuten de funciones base a partir del conjunto Ωn y Λn Puesto que el ancho de banda del
campo es limitado β rsquo el del moacutedulo al cuadrado seraacute el doble De modo que si la extensioacuten del
dominio es finita cabraacute esperarse una dimensioacuten [146] 2β rsquoS (donde S representa la extensioacuten) que
corresponderiacutea con el nuacutemero de funciones base ortogonales para la descripcioacuten del campo
Supongamos que a partir de Ω Λ se definiera un conjunto de funciones ortogonales Γ
Considerando un dominio discretizado (M puntos)
sum=
lowast =ΓsdotΓM
nijji nn
1
][][ δ
(3-102)
Con lo que el cuadrado del moacutedulo del campo se representaraacute como
sum=
sdotΓ=N
nnE1n
γ)()|(| 2 rr
(3-103)
Sin embargo cuando nos preguntamos queacute representa cada una de las funciones ortogonales se
observa que soacutelo una (acaso Ω1) puede representar una distribucioacuten vaacutelida ya que las restantes al
presentar valores positivos y negativos carecen de sentido fiacutesico Por otra parte si la primera
funcioacuten es definida positiva pero γ1lt0 tambieacuten carece de sentido fiacutesico Podriacuteamos decir que γ gt0
pero si Γ2 prop ltΩ1Ω2gt-βΓ1 fuese principalmente negativa entonces γsdotΓ2 tampoco tendriacutea sentido
fiacutesico para cualquier valor positivo de γ En general Γi tendraacute valores negativos y ocurriraacute en
suma que soacutelo ciertas distribuciones de γ corresponderaacuten con funciones (3-103) de cuadrado de
moacutedulo del campo vaacutelidas Podriacutea definirse quizaacute un cuerpo de nuacutemeros para γ que recogiera
precisamente esas distribuciones pero es evidente que no puede en general determinarse y que
carece de practicidad
Se ha intentado la aplicacioacuten de este espacio definido sobre un cuerpo de nuacutemeros reales con la
intencioacuten de eliminar ruido de medida Como era de esperar se obtienen distribuciones de campo
aun maacutes distantes de las deseadas que las directamente contaminadas con ruido Asiacute tanto por
evidencia teoacuterica como por los resultados praacutecticos se hace palpable la inviabilidad de esta solucioacuten
apuntada por Isernia [74 75]
34 SUMARIO
Como se ha visto el planteamiento del problema inverso en sus diferentes vertientes ha sido
iacutentegramente formulado en teacuterminos del espacio vectorial E (sect245) de modo que su solucioacuten nos
provee una distribucioacuten discretizada de fuentes (corrientes eleacutectricas y magneacuteticas) capaz de
engendrar con una precisioacuten dada el campo electromagneacutetico sobre cualquier punto exterior a las
fuentes y en particular sobre el dominio de observacioacuten
148 Capiacutetulo III
Puesto que en general se ha considerado que la observacioacuten se refiere al campo eleacutectrico tangencial
sobre una superficie que engloba a las fuentes la primera cuestioacuten que se ha abordado es la de la
suficiencia de dicha distribucioacuten para la resolucioacuten del problema electromagneacutetico completo
(sect311) Y a continuacioacuten se han distinguido tres grandes tipos de problemas inversos 1) el de la
observacioacuten completa es decir aquel en el que seguacuten el teorema de unicidad (sect22) se cuenta con toda
la informacioacuten necesaria para su resolucioacuten (sect321) 2) El de una observacioacuten incompleta de modo que
el dominio de medida no englobe completamente a las fuentes (sect323) 3) El problema inverso sin fase
en el que soacutelo se conoce el moacutedulo de la distribucioacuten de campo y como ha podido observarse es el
maacutes complejo de los tres (sect33)
Para el caso de la observacioacuten completa el teorema 1 nos prueba la unidad de solucioacuten (sect3211) que
puede alcanzarse analiacuteticamente (sect3212) o de forma numeacuterica (sect3213) mediante a) solucioacuten
numeacuterica de la ecuacioacuten lineal b) reduccioacuten numeacuterica del residuo o c) mediante toda una familia de
algoritmos iterativos cuyas propiedades se han impuesto bajo la perspectiva del teorema global de la
convergencia En sect322 se han atendido dos casos particularmente sencillos los de observacioacuten
plana cercana y observacioacuten lejana
Para la observacioacuten incompleta se ha propuesto una solucioacuten iterativa (sect323) en la que se recurre a la
informacioacuten adicional del soporte finito de las fuentes y del ancho de banda del campo que en
dominios lejanos (3231) se hace formalmente equivalente al algoritmo de Gerschberg-Papoulis
Una vez considerados los problemas en los que se dispone de fase el resto del capiacutetulo que es su
mayor parte se dedica al estudio del problema sin fase (sect33) cuya solucioacuten radica en la extensibilidad
analiacutetica de las distribuciones de campo Esta caracteriacutestica que puede garantizarse a tenor del ancho
de banda finito de las distribuciones de campo establece una coherencia interna entre su moacutedulo y
su fase (3-39) relacioacuten que por desgracia no es suficiente para la resolucioacuten del problema La
factorizacioacuten de la extensioacuten analiacutetica permite determinar una relacioacuten de dispersioacuten (sect3311) sin
los inconvenientes de la (3-39) a partir de la cual puede discutirse la ambiguumledad (sect3312) y las
condiciones que deben cumplir las distribuciones para que la solucioacuten sea uacutenica Pero para buscar
condiciones de unicidad independientes de las distribuciones bajo estudio se tuvo en consideracioacuten
el teorema de Hoenders (sect3313) y se mostroacute su incapacidad para sacar conclusiones Con lo cual
fue menester hacer criacutetica de diversas teoriacuteas sobre la ambiguumledad (sect3314 y sect3315) para despueacutes
plantear el problema de la unicidad desde una perspectiva diferente el problema discretizado
(sect3316) que a su vez corresponde a su expresioacuten en teacuterminos del espacio E
Los teoremas 2 y 3 muestran para los casos de campo lejano y cercano respectivamente la
multiplicidad de solucioacuten para observaciones de moacutedulo sobre una uacutenica distribucioacuten De acuerdo
con los corolarios 1 a 4 la solucioacuten es uacutenica cuando se cuenta con dos distribuciones ya sean de
campo y fuentes de campo sobre dos superficies o de campo eleacutectrico y de campo magneacutetico sobre
una uacutenica superficie
Problema electromagneacutetico inverso 149
Finalmente las soluciones que se proponen para el problema sin fase (sect332) se clasifican seguacuten se
trate de procedimientos manipuladores (sect3321) o procedimientos observadores (sect3322) En los primeros se
modifica la distribucioacuten de campo o de fuentes para que el campo cumpla ciertas condiciones
analiacuteticas que faciliten la aplicacioacuten de alguacuten tipo de relacioacuten entre el moacutedulo y la fase (dominios
causales holografiacutea desplazamiento de los ceros) o que sin maacutes faciliten la unicidad de solucioacuten
(apodizacioacuten propuesta de Greenaway imposicioacuten de simetriacutea) Dentro de los meacutetodos
observadores en los que el conjunto de la informacioacuten de que se dispone soacutelo es compatible con
una solucioacuten se distinguen a) Los de proyecciones sucesivas en los que la informacioacuten relativa a cada
dominio se incorpora secuencialmente y las soluciones se van proyectando de unos dominios a
otros (entre ellos se encuentran los meacutetodos de Gerchberg-Saxton Misell Anderson y los
generalizados) b) Los meacutetodos de optimizacioacuten en los que se intenta optimizar un funcional que
incorpora a la vez toda la informacioacuten sobre dos o maacutes dominios Para finalizar se muestra la
inviabilidad de una propuesta de solucioacuten sobre el espacio del cuadrado del moacutedulo
En suma se han probado las condiciones que garantizan la unicidad de solucioacuten de los tres tipos de
problema inverso mencionados y se han presentado diversas formas de alcanzar dicha solucioacuten
cuya pertinencia depende de las condiciones particulares de cada problema y en especial de su
dimensioacuten
IV VALIDACIOacuteN
EXPERIMENTAL
ldquoLa mejor demostracioacuten es
sin comparacioacuten la
experiencia siempre que se
atenga estrictamente a las
observacionesrdquo
Francis Bacon Libro
primero del ldquoNovum
Organumrdquo
Validacioacuten experimental 153
41 PRUEBAS EXPERIMENTALES
Una vez que se han recorrido los caminos teoacutericos que desde las fuentes van al campo
electromagneacutetico y desde eacuteste vuelven a las fuentes hagamos ahora ya no un trayecto teoacuterico sino
uno en efecto recorrido Naturalmente la cantidad de pormenores que entonces se estudiaron no
podraacuten considerarse en un nuacutemero moderado de ejemplos pero al menos siacute podraacuten probarse los
aspectos maacutes fundamentales Nos limitaremos a comprobar las virtudes del recorrido inverso ya
que en esencia eacutestas son inseparables de las del directo Es evidente que el problema directo se
encuentra impliacutecito en el inverso pero incluso en la praacutectica como se ha visto en el planteamiento
de los meacutetodos inversos los directos estaacuten activamente implicados en los procesos de
reconstruccioacuten interactiva
Para no extender en exceso el volumen de las pruebas eacutestas se restringiraacuten a tres problemas reales
considerablemente distintos Aunque en todos lo casos el sistema radiante bajo estudio es una
antena se cuenta tambieacuten con medidas de las componentes de campo no intencionadas (la
componente contrapolar) que nos permiten aproximarnos al caso de un radiador arbitrario Soacutelo el
primero de los problemas puede considerarse en esencia superficial ya que la distribucioacuten de
corrientes no es separable Se trata de una antena de apertura circular cuyo diaacutemetro es de unos 17λ
observada desde dominios planos con una interesante caracteriacutestica para la validacioacuten de alguna de
las consideraciones hechas a tenor de la unicidad de solucioacuten del problema sin fase tiene una parte
metaacutelica en medio de la apertura que nos permite considerar nula la distribucioacuten de corrientes
equivalentes en esta zona El segundo de los problemas ndashrelativo a una antena plana de sateacutelitendash
aunque en la praacutectica sea superficial en esencia debido a la separabilidad de la distribucioacuten de
corrientes puede considerarse como la superposicioacuten de dos problemas unidimensionales El
tamantildeo eleacutectrico es de nuevo parecido pero al poderse separar las distribuciones de fuentes la
dimensioacuten del problema analiacutetico es muy inferior El uacuteltimo de los problemas ya ha sido
considerado en los ejemplos del capiacutetulo segundo se trata de la antena de radar secundario sobre la
cual volveremos a hablar en el proacuteximo capiacutetulo al aplicar precisamente a esta antena la arquitectura
general de sistemas de medida adaptados que alliacute se propone En este caso la dimensioacuten del
radiador es de unos 28λ que aun ya empezando a ser considerable no es ni mucho menos la que
atantildee a los grandes radiotelescopios Para darle una mayor practicidad a este uacuteltimo problema uno
de los aspectos en los que se centraraacute es el de la capacidad de deteccioacuten de fallos en alguna de las
columnas de alimentacioacuten ya que esto a menudo ocurre y al degradarse la directividad de la
radiacioacuten se pone en riesgo la eficiencia del sistema de radar secundario en su asistencia al traacutefico
aeacutereo
154 Capiacutetulo IV
42 ANTENA DE APERTURA CIRCULAR
Como ya se ha dicho el primero de los casos experimentales consiste en la caracterizacioacuten de una
antena de apertura circular y polarizacioacuten lineal (horizontal) disentildeada para ser utilizada para ser
utilizada como terminal remoto de un sistema satelital de acceso muacuteltiple CDMA que opera a
14125 en transmisioacuten y 12rsquo625 GHz en recepcioacuten [32] En la figura 31 se representa la geometriacutea
esencial de la antena asiacute como la de los dominios de observacioacuten que ndashcomo puede verse-
consisten en retiacuteculas planas paralelas a la apertura cuya longitud y anchura es doble que a de la
antena
Figura 4-1 Geometriacutea de la antena y de los dominios de observacioacuten (distancias expresadas en metros)
Las medidas realizadas en el Laboratorio de Ensayos de la Secretariacutea General de Comunicaciones de
El Casar permitieron la adquisicioacuten del campo complejo a la frecuencia de recepcioacuten (12rsquo625 GHz) de
modo que podraacute observarse la capacidad de resolucioacuten del problema inverso sin fase cuando se
prescinda de ella Por otra parte la geometriacutea del problema facilita considerablemente el coste
operacional al admitir la aplicacioacuten directa de las transformadas raacutepidas de Fourier (sect322) de lo
01
088
y
z
x
x
10
04
088
04
D1
S
D2
Retiacuteculas de 89x89 Puntos ∆x=∆y=001
Validacioacuten experimental 155
contrario el gasto operacional del caacutelculo de los operadores directos T supone un coste excesivo1
Asiacute el planteamiento del problema directo se haraacute de acuerdo a sect2441
421 Frecuencia espacial sobre los dominios de observacioacuten
Una de las primeras cuestiones que deben abordarse para el acondicionamiento del problema con
objeto de distinguir la informacioacuten que sea esencial es el de la verdadera dimensioacuten del campo
sobre los dos dominios de observacioacuten ( o en general sobre el espacio que circunda la antena) Para
ello podemos recurrir al estudio que sobre este asunto se hizo en el capiacutetulo 2 Si el problema lo
abordaacuteramos en teacuterminos del operador directo T entonces el caacutelculo de la dimensioacuten esencial nos
proporcionariacutea el nuacutemero de dipolos de Hertz que debemos situar en la superficie que engloba las
fuentes En nuestro caso al recurrir al uso de las transformadas de Fourier no podemos limitar
directamente la dimensioacuten del problema pero mediante el uso de filtros podemos eliminar aquellas
componentes que no pertenezcan a su espacio espectral Es decir debemos considerar la frecuencia
espacial que en cada dominio cabe esperarse Para empezar vemos que el muestreo ha sido
respetuoso con el teorema 1 de muestreo que es el menos exigente ya que la distancia entre las
muestras 1 cm es menor que la distancia entre intensidades de campo independientes λ2 =
11881 cm En lo que respecta a los modos evanescentes ( sect243 fig2-11) es evidente que el
sobremuestreo (~12) es maacutes que suficiente para que el error de truncamiento sea insignificante No
obstante si se considera la dimensioacuten finita de la antena seguacuten se vio alliacute la frecuencia espacial que
cabe observarse puede limitarse auacuten maacutes
De acuerdo al teorema 3 la distancia entre puntos independientes es λd2aχ Donde d es la distancia
a las fuentes a es el radio de la esfera que engloba las fuentes y χ el factor de sobremuestreo sobre
la esfera que engloba las fuentes En sect243 se vio que una forma praacutectica de encontrar el
sobremuestreo necesario consistiacutea en la ampliacioacuten de la esfera miacutenima hasta encontrar la
dimensioacuten oacuteptima Los nomogramas de la figura 2-15 nos permiten encontrar estos valores
ndash exceso del radio δ ( a λ ) = δ ( 8 5 λ ) = 2 6 λ
1 Teniendo en cuenta las conclusiones llegadas en el estudio de los modos evanescentes si se pretende una
precisioacuten de 30 dB (ε tlt10-3) la esfera ampliada seraacute a rsquo = a + δ ( a λ ) = (8rsquo5+2rsquo6)middotλ y el factor de
sobremuestreo χ ( a λ ) = 1 rsquo 2 Por tanto puede tomarse por dimensioacuten del problema el nuacutemero de dipolos
de Hertz distribuidos sobre la apertura extendida de radio a rsquo con un sobremuestreo χ
N = π ( a rsquo )2( λ 2χ )2=2190 que en efecto en una dimensioacuten elevada para el uso de los meacutetodos inversos
directos Si ademaacutes se tiene en cuenta que en cada plano de observacioacuten hay 89x89 puntos entonces para el
caacutelculo del operador directo en campo cercano se requieren del orden de 1010 productos Que no obstante
podriacutean reducirse habida cuenta de las propiedades de simetriacutea de la funcioacuten de Green sobre D
156 Capiacutetulo IV
ndash radio ampliado arsquo = a + δ = 1 1 1 λ
ndash sobremuestreo χ ( a λ ) = χ ( 8 5 λ ) = 1 2
Noacutetese que al muestrearse cada centiacutemetro se estaacute realizando un sobremuestreo respecto a λ2 de
11881 cong 12 que praacutecticamente corresponde con el sobremuestreo necesario sobre la superficie
ampliada de las fuentes χ Por tanto la frecuencia espacial discreta2 k equivaldraacute a N2 para las
frecuencias espaciales 122λ (que seguacuten sabemos no puede corresponder al campo engendrado
por la antena) Aplicando el teorema 3 al dominio discreto de Fourier la frecuencia espacial maacutexima
que cabe esperarse sobre un dominio de observacioacuten que se encuentre a una distancia d de la
apertura seraacute
daNkprime
sdot=2max
Que particularizada sobre los dominios de observacioacuten (ver figura 4-3) seraacute
ndash En D1 6602max sdot=Nk ndash En D2 260
2max sdot=Nk
Asiacute una manera de eliminar informacioacuten que sea ajena al espacio del campo seraacute la de emplear un
filtrado en el dominio discreto de Fourier como el representado en la figura 4-2
Figura 4-2 Representacioacuten graacutefica del filtrado oacuteptimo para la intensidad de campo
422 Problema inverso con fase
Una primera aproximacioacuten al problema teniendo en cuenta que disponemos de las distribuciones
de campo complejas consistiriacutea en encontrar la distribucioacuten de fuentes que mejor aproxima las
distribuciones de campo medidas Si se aplica el equivalente conductor eleacutectrico sobre el plano de la
apertura la distribucioacuten de fuentes se reduce a soacutelo corrientes equivalentes magneacuteticas Por tanto
usando (2-32) y (2-94)
2 Puesto que el problema es bidimensional la frecuencia espacial tendraacute dos componentes (kxky) cuyo valor
maacuteximo es (NN) ndashsiendo N el nuacutemero de muestras horizontales y verticales- La frecuencia maacutexima
representable corresponderaacute a (N2N2) aunque en nuestro caso sabemos que kx2+ky
2ltN2
kmaxkmax ky kx
1
Filtro
Validacioacuten experimental 157
sdotΨminus=
sdotΨ==sdot=
xOy
yOxO
ME
ME~~~
~~~~~~ fΨE (4-1)
Seguacuten se discutioacute en sect32 definida una meacutetrica en E existe una uacutenica solucioacuten a partir de una
determinada distribucioacuten de campo complejo y en caso de que eacutesta corresponda con la
generalizacioacuten de la eucliacutedea entonces corresponde a la simple inversioacuten de (4-1) Si ademaacutes
recurrimos seguacuten hemos dicho antes a un filtro como el de la figura 4-2 que representaremos por
iH~ entonces la distribucioacuten de corriente que mejor aproxima el campo sobre el dominio D
~~~IFFT~IFFT
~~~IFFT~IFFT
Oiyxx
Oixyy
HEMM
HEMM
Ψsdotminus==
Ψsdot== (4-2)
Las figuras 4-3 y 4-4 recogen graacuteficamente los resultados obtenidos al aplicar (4-2) En la figura 4-5
se agrupan las corrientes reconstruidas a partir de las cuatro distribuciones de campo medidas
Figura 4-3 Distribuciones de campo horizontal y sus correspondientes distribuciones oacuteptimas de
corrientes equivalentes magneacuteticas sobre el plano de la apertura (obtenidas a partir de la
distribucioacuten compleja de campo)
158 Capiacutetulo IV
Figura 4-4 Distribuciones de campo vertical y sus correspondientes distribuciones oacuteptimas de corrientes
equivalentes magneacuteticas sobre el plano de la apertura (obtenidas a partir de la distribucioacuten
compleja de campo)
En los resultados obtenidos puede apreciarse
ndash En todos los casos se aprecia la extensioacuten real de la apertura (con nulos en el interior y fuera
de la circunferencia de radio 02 Veacutease la fotografiacutea de la figura 4-6)
ndash La cadencia intencionada acorde con el gaacutelibo de la figura 4-6 de la distribucioacuten de corrientes
magneacuteticas verticales para la generacioacuten de la radiacioacuten directiva
ndash Una estrecha correlacioacuten entre las distribuciones de corriente obtenidas a partir de las medidas
en las dos superficies aunque tambieacuten una relativa discrepancia
Para evaluar cuantitativamente la convergencia de los resultados a partir de cada conjunto de
medidas puede considerarse el campo engendrado en un dominio por las corrientes reconstruidas a
partir del campo sobre el otro dominio Por ejemplo la diferencia cuadraacutetica media entre el moacutedulo del
campo medido en la segunda superficie Ex(1) y el obtenido con las corrientes reconstruidas a partir
de las medidas en la primera MyEx(04) es de ndash15 dB Naturalmente puede haber una diferencia
constante de fase que es inesencial debida a la impracticidad de la sincronizacioacuten en las medidas
sobre ambas superficies Sin embargo si se corrige la distribucioacuten de corrientes con una constante
compleja para que el maacuteximo del campo generado coincida con el valor medio entonces el error
cuadraacutetico medio de la distribucioacuten compleja es de ndash115 dB (para lo cual se ha empleado una
constante c=0969e j 1944)
Validacioacuten experimental 159
Figura 4-5 Distribuciones de corrientes equivalentes reconstruidas directamente a partir de las
distribuciones de campo eleacutectrico horizontal y vertical en los dos dominios de observacioacuten
Para la explicacioacuten de las discrepancias debe tenerse en cuenta dos diferencias entre las
distribuciones de campo en los dos dominios de observacioacuten 1) el primer dominio tiene una mayor
visibilidad de la antena (plusmn45ordm frente a plusmn237ordm ver figura 4-7) 2) la frecuencia espacial del campo
sobre el segundo dominio es menor
En suma ocurre que la segunda superficie cuenta con menos informacioacuten que la primera para la
reconstruccioacuten de las fuentes que se traduce en distribuciones de corriente con menor ancho de
banda (obseacutervese coacutemo en la figura 4-5 los liacutemites de la apertura se rebasan en las distribuciones
obtenidas a partir de las medidas en el 2ordm dominio) Una manera para intentar reducir esta diferencia
es aumentar artificialmente el dominio de observacioacuten empleando el procedimiento descrito en
sect323
160 Capiacutetulo IV
Figura 4-6 Iluminacioacuten nominal de la antena seguacuten fue disentildeada y fotografiacutea frontal de eacutesta
Figura 4-7 Geometriacutea del problema de ampliacioacuten del dominio de observacioacuten
423 Aumento del dominio de observacioacuten
Seguacuten se indicoacute en sect323 una manera de extender el dominio de observacioacuten consiste en antildeadir
informacioacuten a priori de las fuentes aplicando alternativamente las medidas de campo eleacutectrico y la
informacioacuten disponible a cerca de las fuentes (que comuacutenmente y en nuestro caso se trata de la
extensioacuten efectiva de eacutestas) De esta forma puede reconstruirse parte de la radiacioacuten que quedaraacute
fuera del dominio de visibilidad Como puede observarse en las figuras 4-3 y 4-4 la porcioacuten de
radiacioacuten mutilada es maacutes importante en el campo vertical (no intencionado) ya que eacuteste es menos
5 10 15 20
0 dB
-5 dB
-10 dB
-15 dB
-20 dB
Distribucioacuten de campo intencionado en la apertura
r(cm)
0
D1
D2
S2
45deg
237deg
a acute=111middotλ
z
D1(ampliado)
D2(ampliado)
dominios de
observacioacuten
ampliados
d=16 8 middotλ
d=42 34middotλ
0 44 m0 88 m
Validacioacuten experimental 161
directivo siendo peor el caso del segundo dominio Sin embargo en el campo eleacutectrico horizontal
debido a la directividad de la antena la segunda superficie no parece dejar fuera demasiada
proporcioacuten de radiacioacuten
La aplicacioacuten del algoritmo de la figura 3-3 con una restriccioacuten de fuente que anula las corrientes alliacute
donde [x2+y2gt(0205)2]|[ x2+y2 lt (0045)2] condujo a las distribuciones ampliadas de la figura 4-8
con los siguientes resultados de convergencia (εconv diferencia cuadraacutetica media entre iteraciones)
Campo Eampl-Em2Em2 (dB) Ndeg de iteraciones εconvergencia ∆εconvergencia
Ex(04) -390 4 3010-4 9910-6 Ex(10) -287 4 3010-3 8810-6 Ey(04) -291 6 2410-3 7510-6 Ey(10) -182 5 3610-2 4710-6
Tabla 41
Figura 4-8 Dominios de observacioacuten ampliados artificialmente imponiendo reiteradamente las medidas y
la extensioacuten efectiva de la apertura
Las distribuciones de corrientes asociadas a los campos eleacutectricos extendidos empleando (4-2)se
representan en las figuras 4-9 y 4-10 Aquiacute puede apreciarse una mayor proximidad cualitativa entre
las distribuciones obtenidas a partir de cada uno de los dominios Sin embargo de nuevo se
constata una diferencia que ahora ndashcon maacutes claridad- parece radicar en una mayor suavidad de la
distribucioacuten obtenida a partir de las medidas en la segunda superficie que la obtenida a partir de las
162 Capiacutetulo IV
medidas de la primera Efecto que naturalmente estaacute en relacioacuten con la diferencia entre los
contenidos frecuenciales en Cada dominio de observacioacuten
Desde un punto de vista cuantitativo podemos de nuevo evaluar la convergencia de cada pareja de
distribuciones de fuentes en teacuterminos de la diferencia entre el campo medido en un dominio y el
generado por las corrientes reconstruidas a partir de las medidas en el otro dominio Para la misma
pareja considerada en sect422 se obtiene una aproximacioacuten en el moacutedulo del campo de ndash176 dB que
es un resultado notablemente mejor La tabla 42 contiene el resto de los resultados de
convergencia que ndashcomo puede observarse- es oacuteptimo en la prediccioacuten de la primera distribucioacuten
de campo seguacuten las fuentes reconstruidas a partir de la distribucioacuten de campo sobre el segundo
dominio ampliado
Campo Eampl-Em2Em2 (dB)
Ex10MxEx(04) -176 Ex04MxEx(10) -198 Ey10MxEx(04) -126 Ey04MxEx(10) -121
Tabla 42
Figura 4-9 Corrientes magneacuteticas reconstruidas sobre la superficie de la apertura a partir del campo
ampliado complejo (fig 4-8) sin imposicioacuten de restricciones Equivalente a la figura 4-10
Validacioacuten experimental 163
Figura 4-10 Corrientes magneacuteticas reconstruidas sobre la superficie de la apertura a partir del campo
ampliado complejo (fig 4-8) sin imposicioacuten de restricciones Equivalente a la figura 4-9
424 Problema inverso sin fase
Seguacuten se discutioacute en el capiacutetulo tercero la unicidad de solucioacuten a partir de distribuciones de moacutedulo
del campo soacutelo puede garantizarse bajo ciertas condiciones Veiacuteamos alliacute que a tenor de la posicioacuten
de los ceros cuando se trata de distribuciones unidimensionales o de la simetriacutea de los polinomios
irreductibles cuando se habla de distribuciones superficiales puede llegar a garantizarse la unicidad
de solucioacuten a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo del campo fijando un determinado soporte
No obstante como alliacute se argumentaba eso es algo que a no ser que manipulemos la distribucioacuten
de campo agregando otra conocida a priori no podemos garantizar Dicho de otra manera saber
eso de antemano es maacutes de lo que nuestro conocimiento empiacuterico puede aportarnos Se veiacutea en
suma que una condicioacuten suficiente para la unicidad de solucioacuten era el conocimiento sobre dos
superficies de la distribucioacuten de moacutedulo Aunque en muchos casos podriacutea bastar el moacutedulo sobre
un uacutenico dominio junto con alguna restriccioacuten adicional sobre otro teniendo que ser eacutesta ndashpor lo
general- maacutes restrictiva que la sola consideracioacuten del soporte exterior de las fuentes
Se demostroacute alliacute que aunque el teorema de Hoenders formalmente fuera correcto las conclusiones
a las que se habiacutea llegado por desgracia no lo eran (podriacutea decirse que fueron precipitadas) a pesar
de haber ejercido una considerable influencia sobre otros investigadores [44 153 6 137 74 75] Se
proboacute entonces que puede haber varias distribuciones del moacutedulo de fuentes compatibles con una
164 Capiacutetulo IV
cierta distribucioacuten de moacutedulo de campo (de hecho si la distribucioacuten es de extensioacuten N el nuacutemero
de eacutestas podriacutea llegar a ser 2N-1) y aquiacute veremos experimentalmente que en efecto es asiacute
Se emplearaacuten los procedimientos iterativos de proyecciones sucesivas descritos en sect3321a en los
que el criterio esencial de convergencia ha sido la distancia cuadraacutetica (definida en 2-98) entre las
distribuciones de campo ( o de fuentes3) de las dos uacuteltimas iteraciones normalizada respecto a la
norma cuadraacutetica de la uacuteltima distribucioacuten A este valor cuadraacutetico se le ha denominado error de
prediccioacuten aunque en realidad nos proporciona una medida de la coherencia entre la solucioacuten
obtenida y los datos empleados para alcanzarla Su evolucioacuten estaacute representada junto con los
resultados graacuteficos Adicionalmente para poner fin al proceso iterativo se ha impuesto un liacutemite
inferior a la variacioacuten de dicho error y uno superior par el nuacutemero de iteraciones No obstante para
valorar de forma cuantitativa la convergencia hacia la verdadera solucioacuten se ha evaluado el error
cuadraacutetico de las dos distribuciones de moacutedulo del campo predichas respecto a las medidas habida
cuenta que seguacuten se demostroacute en sect 331 soacutelo hay una solucioacuten compatible con dos distribuciones
de moacutedulo
Se consideraraacute primero el caso de una sola distribucioacuten de moacutedulo partiendo de varias hipoacutetesis y a
continuacioacuten se iraacute antildeadiendo maacutes informacioacuten hasta acabar en el procedimiento de proyecciones
sucesivas generalizado En los uacuteltimos casos se evaluaraacute ademaacutes la calidad de la reconstruccioacuten de la
distribucioacuten de fase sobre los tres dominios
4241 No unicidad de solucioacuten a partir de una distribucioacuten de moacutedulo
El procedimiento iterativo que aquiacute se usa consiste en una reduccioacuten extrema del generalizado en la
figura 3-15 considerando soacutelo medidas en un dominio | E(04)| ninguna restriccioacuten para las
fuentes y la restriccioacuten de ancho de banda antes descrita para el dominio del campo (sect421) Puesto
que seguacuten se argumentoacute en sect422 el primer dominio contiene maacutes informacioacuten acerca de las
fuentes se ha escogido eacuteste para realizar la inversioacuten
Si como se dijo en el capiacutetulo 3ordm este problema carece de solucioacuten uacutenica entonces la solucioacuten
alcanzada dependeraacute de la hipoacutetesis de partida y debiera ademaacutes conseguirse una buena coherencia
entre la distribucioacuten de moacutedulo predicha y la medida Las figuras 4-11 a 4-13 recogen los resultados
correspondientes a tres hipoacutetesis iniciales diferentes
- Distribucioacuten homogeacutenea sobre todo el dominio de fuentes |x|lt044cap|y|lt044
- Distribucioacuten homogeacutenea sobre la apertura de la antena x2+y2lt02052
- Distribucioacuten homogeacutenea sobre la apertura efectiva x2+y2lt02052capx2+y2gt00452
3 Obseacutervese que para distribuciones de campo lejano en virtud del teorema de Parseval las distancias
cuadraacuteticas en el dominio de las fuentes y en el dominio del campo deben ser ideacutenticas
Validacioacuten experimental 165
Figura 4-11 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo (|Ex(04)|)
sin aplicar restricciones sobre el dominio de la antena y partiendo de una hipoacutetesis de distribucioacuten
homogeacutenea sobre todo el dominio de la antena |x|lt044cap|y|lt044
Figura 4-12 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo (|Ex(04)|)
sin aplicar restricciones sobre el dominio de la antena y partiendo de una hipoacutetesis de distribucioacuten
homogeacutenea en la apertura x2+y2lt02052 y nula fuera
166 Capiacutetulo IV
Figura 4-13 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo (|Ex(04)|)
sin aplicar restricciones sobre el dominio de la antena y partiendo de una hipoacutetesis homogeacutenea en la
apertura efectiva x2+y2lt02052capx2+y2gt00452 y nula fuera
Desde un punto de vista cuantitativo los errores cuadraacutetico medios obtenidos en la aproximacioacuten
de la distribucioacuten de moacutedulo sobre ambos dominios
Hipoacutetesis de partida f0 ε2|Ex(04)| (dB) ε2|Ex(10)| (dB)
Homogeacutenea en S -410 -113 Homogeacutenea en la apertura -397 -95
Homogeacutenea en la apertura efectiva -400 -105
Tabla 43
Tanto si nos fijamos en estos resultados como si comparamos las figuras anteriores con las
distribuciones originales de la figura 4-3 resulta evidente que aunque la distribucioacuten sobre el primer
dominio es claramente discrepante y en los tres casos distinta Lo mismo ocurre con la distribucioacuten
de fuentes En definitiva es del todo evidente que se trata de soluciones diferentes para una misma
distribucioacuten de moacutedulo sobre una sola superficie Asiacute podremos hablar de toda una multiplicidad
de soluciones compatibles con una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo y no soacutelo dos como sosteniacutea
Hoenders4
4 Aunque Sanz [138] en su teorema 7ordm sostenga acertadamente que en el caso N-dimensional (Nge2)
praacutecticamente todas las distribuciones tienen solucioacuten uacutenica a partir del moacutedulo de su transformada Debe
Validacioacuten experimental 167
4242 Meacutetodos cuasi-Gerchberg-Saxton
En los siguientes ejemplos se consideran restricciones cada vez maacutes exigentes sobre el dominio de
las fuentes En lo que respecta al campo ademaacutes de la distribucioacuten de moacutedulo sobre el primer
dominio se sigue imponiendo la restriccioacuten de ancho de banda Si estuvieacuteramos aportando en el
proceso de reconstruccioacuten la distribucioacuten de moacutedulo de las fuentes entonces el algoritmo
corresponderiacutea con el de Gerchberg-Saxton En nuestro caso aportamos menos informacioacuten por esta
razoacuten se han denominado cuasi-Gerchberg-Saxton
Seguacuten se discutioacute en sect3315 un soporte de las fuentes finito y compacto no es suficiente para
garantiza la unicidad de solucioacuten sin embargo cuando el soporte en lugar de ser compacto tiene
una frontera interior (dentro de la cual la distribucioacuten es nula) entonces para la mayoriacutea de los casos
la solucioacuten es uacutenica (veacutease nota 31 de sect3) Precisamente en esta propiedad consistiacutea la propuesta de
Greenaway para la resolucioacuten del problema inverso (sect3321 [55])
a) Res t r i c c i oacuten de soport e f in i to exte r i o r
Al igual que deciacuteamos antes si en efecto la solucioacuten no fuera uacutenica cuando soacutelo se impone la
condicioacuten de un soporte finito compacto entonces partiendo de diferentes hipoacutetesis deberiacutea
llegarse a soluciones distintas En este caso partiremos de dos hipoacutetesis diferentes a) distribucioacuten
homogeacutenea sobre la apertura x2+y2lt02052 b) distribucioacuten homogeacutenea sobre la apertura
efectiva x2+y2lt02052capx2+y2lt00452
Hipoacutetesis de partida f0 ε2|Ex(04)| (dB) ε2|Ex(10)| (dB) Homogeacutenea en la apertura -245 -135
Homogeacutenea en la apertura efectiva -244 -150
Tabla 44
En las figuras 4-14 y 4-15 se representan los resultados obtenidos para estas dos hipoacutetesis iniciales
El error cuadraacutetico de convergencia de la solucioacuten obtenida con las medidas estaacute recogido en la
tabla 44 Si comparamos estos resultados con las distribuciones originales de la fig4-3 se observa
un mayor parecido que las obtenidas anteriormente El error en el primer dominio es mayor y en el
segundo menor con lo que el error neto es inferior pero desde un punto de vista cualitativo resulta
entenderse que ese ldquopraacutecticamenterdquo estaacute en relacioacuten con el grado maacuteximo de ambiguumledad que resultariacutea de la
extensioacuten al caso n-dimensional de la teoriacutea de Walter (sect331) que para distribuciones superficiales seriacutea
2M1+M2 donde M1xM2 es el orden de la distribucioacuten en nuestro caso 89x89 Es decir aun nos queda un gran
margen para no poder hablar en la praacutectica de solucioacuten uacutenica
168 Capiacutetulo IV
aun evidente que se trata de soluciones distintas a la buscada Lo cual nuevamente corrobora la no
unicidad de solucioacuten a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo
Figura 4-14 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo una
hipoacutetesis de distribucioacuten homogeacutenea en la apertura y nula fuera (|Ex(04)|) imponiendo la
restriccioacuten exterior de soporte finito f ne 0 x2+y2lt02052 A partir de
Validacioacuten experimental 169
Figura 4-15 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo (|Ex(04)|)
imponiendo la restriccioacuten exterior de soporte finito f(xy)ne0x2+y2lt02052 A partir de una hipoacutetesis
de distribucioacuten homogeacutenea en la apertura efectiva x2+y2lt02052capx2+y2gt00452 y nula fuera
b) Res t r i c c i oacuten de soport e f in i to ext e r i o r e in t e r io r (Greenaway)
Cuando el soporte de las fuentes no es compacto como es el caso entonces su conocimiento a
priori puede conducirnos a la solucioacuten en la mayor parte de los casos La figura 4-16 muestra el
resultado obtenido partiendo de una distribucioacuten homogeacutenea que es muy parecido al que se
alcanza con otros puntos de partida Cuantitativamente el error cometido sobre la primera
superficie es de ndash24 dB y sobre la segunda ndash16 dB que es mejor que los resultados anteriores Pero
es aun maacutes importante la diferencia cualitativa con estos que es observada entre las figuras 4-15 (y
anteriores) y 4-16 respecto a las distribuciones originales Se ve ahora que la solucioacuten obtenida
salvo errores siacute se corresponde con la deseada
Cuando la reconstruccioacuten se intenta sobre el campo vertical maacutes ruidoso y del que ndashpor ser menos
directivo- contamos con menos informacioacuten efectiva se obtienen los resultados de la figura 4-17 a
los que corresponden un error cuadraacutetico de ndash155 dB sobre la primera superficie ndash8 dB sobre la
segunda Tambieacuten en este caso a pesar de los malos resultados cuantitativos se observa coacutemo las
formas de la distribucioacuten asiacute de las corrientes como del campo sobre la segunda superficie (salvo en
los bordes) tienden a las originales (fig 4-4 y 4-5)
170 Capiacutetulo IV
Figura 4-16 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo (|Ex(04)|)
imponiendo la restriccioacuten de soporte finito sobre la apertura efectiva f(xy)ne0x2+y2lt02052 cap
x2+y2lt00452
Figura 4-17 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo
(|Ey(04)|) imponiendo la restriccioacuten exterior de soporte finito f(xy)ne0 x2+y2lt02052
Validacioacuten experimental 171
4243 Meacutetodos generalizados de Proyecciones Sucesivas
Finalmente cuando se usan dos distribuciones de moacutedulo del campo eleacutectrico la solucioacuten ha de ser
uacutenica seguacuten el corolario 3 de sect331 Se probaraacute primero la imposicioacuten de solamente las medidas de
moacutedulo para acabar imponiendo por antildeadidura la restriccioacuten del soporte compacto de las fuentes
completando asiacute el meacutetodo generalizado de proyecciones sucesivas (MPS)
Al igual que ocurriacutea en el uacuteltimo caso las hipoacutetesis iniciales deparan resultados casi ideacutenticos a los
representados variando fundamentalmente la evolucioacuten del error en las primeras iteraciones (por
esta razoacuten no se indica a pie de figura la hipoacutetesis de partida aunque en los casos representados se
haya partido de una distribucioacuten uniforme) Los errores cuadraacuteticos de las distribuciones de campo
alcanzados en cada caso se recogen en la tabla 45
Meacutetodo Campo ε2|Ex(04)| (dB) ε2|Ex(10)| (dB) ε2|M| (dB)
Sin restriccioacuten de fuentes Ex -428 -228 -148 Ey -325 -157 -40
Con restriccioacuten de fuentes Ex -223 -190 -205 Ey -133 -124 -80
Tabla 45
Si bien seguacuten los errores de las distribuciones de campo pudiera llegar a decirse que en balde o en
perjuicio hemos introducido la restriccioacuten de fuentes se observa por una parte que las diferencias
con las distribuciones reconstruidas a partir de moacutedulo y fase en sect423 son menores cuando se
imponen la restricciones por otra parte se veraacute que cualitativamente la solucioacuten es mejor en este
caso quedando de hecho sus liacutemites cuantitativos ajustados a los que cabe esperarse en la
convergencia entre las dos distribuciones (veacutease la tabla 42) La prueba de ello la encontramos
cuando se compara la distribucioacuten de fase predicha con la medida obtenieacutendose una mayor
proximidad cuando se aplican las restricciones que cuando no se hace (figuras 4-18 y 4-22) en otras
palabras la reconstruccioacuten de la fase ha sido mejor y con ella la de las distribuciones complejas
a) Sin r e s t r i c c i oacuten sobre las fuent e s (meacutetodo de Anderson)
A la luz de los resultados reunidos en las figuras 4-18 a 4-20 puede decirse sin ambages que las
distribuciones alcanzadas por este procedimiento tienden hacia la solucioacuten deseada El error de fase
representado en la figura 4-19 es moderado para las fuentes sobre su soporte (es decir alliacute donde es
significativo) y en el campo para un aacutengulo de observacioacuten de plusmn265ordm sobre el primer dominio y de
plusmn19ordm sobre el segundo
Inclusive en el campo vertical fig4-20 del cual no cabe esperarse una buena convergencia entre las
dos distribuciones se obtiene un resultado en el que pueden reconocerse las distribuciones
originales
172 Capiacutetulo IV
Figura 4-18 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo
eleacutectrico horizontal sin aplicar restriccioacuten de soporte finito
Figura 4-19 Error de fase correspondiente a la reconstruccioacuten de la figura 4-18 Donde la distribucioacuten de
corrientes se compara con las distribuciones de la figura 4-10 y la distribucioacuten de campo con
las medidas de campo complejo
Validacioacuten experimental 173
Figura 4-20 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo
eleacutectrico vertical sin aplicar restriccioacuten de soporte finito
b) Con re s t r i c c i oacuten sobre las fuent e s (MPS)
Cuando finalmente se imponen restricciones sobre el dominio de las fuentes se observa que las
distribuciones reconstruidas tienden de forma oacuteptima hacia la solucioacuten deseada ya que por una
parte las distribuciones de fase como puede observarse en las figuras 4-22 y 4-23 son ahora maacutes
parecidas y por otra parte las distribuciones de fuentes son maacutes parecidas a las que se
reconstruyeron a partir de moacutedulo y fase sect423
De nuevo se observa que el error de fase es pequentildeo dentro de la apertura efectiva (es decir alliacute
donde tiene importancia) siendo ahora menor que en el caso anterior con una desviacioacuten tiacutepica de
117ordm respecto a MyEx(04)(corrientes reconstruidas a partir del campo en la primera superficie) y
de 89ordm respecto a My Ex(1)(que seguacuten los resultados de la tabla 42 parece ser la mejor solucioacuten)
Para un aacutengulo de observacioacuten menor que plusmn265ordm en el primer dominio y plusmn19ordm en el segundo la
desviacioacuten tiacutepica del error de fase es ahora menor que 10ordm
174 Capiacutetulo IV
Figura 4-21 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo
eleacutectrico horizontal imponiendo la restriccioacuten exterior de soporte finito f(xy)ne0x2+y2lt02052
Figura 4-22 Error de fase correspondiente a la reconstruccioacuten de la figura 4-21 Donde la distribucioacuten de
corrientes se compara con las distribuciones de la figura 4-10 y la distribucioacuten de campo con
las medidas de campo complejo
Validacioacuten experimental 175
Figura 4-23 Error de fase de la figura 4-23 particularizado a lo largo de la recta y=ύ (diaacutemetro horizontal de
la antena)
Figura 4-24 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo
eleacutectrico horizontal imponiendo la restriccioacuten exterior de soporte finito f(xy) ne 0x2+y2lt02052
176 Capiacutetulo IV
43 ANTENA DE AGRUPACIOacuteN DE RANURAS
El segundo ejemplo consiste en la caracterizacioacuten de una antena de agrupacioacuten de denominada
ERS-1 disentildeada para operar a 5308 MHz en polarizacioacuten horizontal cuya geometriacutea estaacute
representada en la figura 4-25 a Como puede observarse estaacute constituida por tiras de ranuras
desplazadas entre filas consecutivas (de modo que al reconstruir las corrientes en sentido horizontal
no podraacuten distinguirse los espacios entre ranuras) Las medidas realizadas en los laboratorios del
Grupo de Radiacioacuten de la Universidad Politeacutecnica permitieron la adquisicioacuten esfeacuterica del campo
complejo (tanto polar como contrapolar) a 5380 MHz a una sola distancia y sobre dos direcciones
acimutales (ϕ=0ordm u horizontal ϕ=90ordm o vertical) tal y como se ilustra en la figura 4-25bGracias a
que la distribucioacuten de corrientes es separable en las dos direcciones de agrupacioacuten la utilizacioacuten de
esta pareja de medidas horizontal y vertical puede emplearse para reconstruir respectivamente la
distribucioacuten de corrientes horizontal y vertical para ambas componentes del campo (polar y
contrapolar)
La disponibilidad del diagrama de radiacioacuten lejano obtenido mediante expansioacuten de modos
esfeacutericos (usando el programa TICRA) nos permite por una parte comparar la prediccioacuten de eacuteste
cuando se usa la distribucioacuten de fuentes reconstruidas por otra emplearla como medida ficticia a
una distancia lejana para el uso de los algoritmos basados en medidas sobre dos dominios No
obstante al igual que en el ejemplo anterior primero se analizaraacute la dimensioacuten del problema
electromagneacutetico y a continuacioacuten se iraacuten probando los principales meacutetodos expuestos en el
capiacutetulo 3ordm primero usando la fase despueacutes una uacutenica medida de moacutedulo a continuacioacuten dos
medidas de moacutedulo sin restricciones y finalmente con restricciones
Figura 4-25 Geometriacutea del problema inverso para la antena de agrupacioacuten de ranuras
y
x1 m
1 m
xy
z
Eθ Eφ
Eθ
Eφ
Plano ϕ =0
Plano ϕ =90deg
54 m
a) Geometriacutea de la antena b) Geometriacutea de la adquisicioacuten de medidas
Validacioacuten experimental 177
431 Dimensioacuten del problema electromagneacutetico
Considerando que el problema es separable la dimensioacuten del problema electromagneacutetico dependeraacute
esencialmente de la maacutexima dimensioacuten eleacutectrica undimensional es decir 177λ Recurriendo a los
resultados de las figuras 2-15 y 2-16 si se pretende un error de truncamiento inferior a 10-4 (-40
dB) la esfera ampliada seraacute de radio arsquo=a+δ(a)=(1772+32)λ=12sdotλ y el factor de sobremuestreo
sobre la esfera ampliada (y para la aplicacioacuten del teorema 2) χ(a)=12
4311 Distribucioacuten de dipolos hercianos
Al aplicar el teorema de equivalencia sobre la superficie z=0 (conductor eleacutectrico) el problema
directo se reduce a la caracterizacioacuten sobre el hemiespacio zgt0 (que es el rango al que se restringen
las medias) y el inverso a la determinacioacuten de las corrientes equivalentes magneacuteticas Por tanto la
dimensioacuten de estos problemas unidimensionales seraacute (sect241-teoremas 2 y 3) πmiddot12middotλmiddotχ(λ2)cong91
que corresponde con el miacutenimo nuacutemero de muestras necesario para la caracterizacioacuten del como con
la precisioacuten prefijada Como en nuestro caso la geometriacutea es plana podemos plegar la distribucioacuten
de los 91 dipolos magneacuteticos de Hertz a la superficie z=0 que naturalmente habraacuten de
equiespaciarse y en virtud de la simetriacutea de la antena disponerse simeacutetricamente respecto al origen
sobre el eje x para el corte acimutal de 0ordm y sobre el eje y para el de 90ordm
4312 Frecuencia espacial del campo radiado
A tenor del primer teorema de muestreo la frecuencia espacial que cabe esperarse sobre los
dominios de muestreo habida cuenta que se encuentran a 955middotλ (donde los modos evanescentes
pueden darse por extinguidos fig 2-11) seraacute como maacuteximo β Es decir la distancia entre valores
independientes del campo seraacute como poco λ2 que corresponde con una separacioacuten angular de
λ(2middot541)=000523 rad= 0300ordm ( de modo que en una semivuelta bastariacutean 600 muestras) Como
en las medidas realizadas se recogieron 1000 muestras ahora se ve que es maacutes de lo necesario y que
por tanto conviene filtrarse de acuerdo a los liacutemites sugeridos por el teorema 3 ∆min = λd2 arsquoχ=
λmiddot955(2middot12middot12)= 0187 m|esfera equiv 00346rad =198ordm Con lo cual la frecuencia espacial discreta
(respecto al nuacutemero total de muestras 1000) de la distribucioacuten de campo procedente de la antena
kmax = (N2)(nordm muestras suficientes) = 500(180198)= 55
432 Problema inverso con fase
Seguacuten se indicoacute se comienza considerando el problema inverso a partir de las distribuciones de
campo complejo Dado el paralelismo de los dominios de observacioacuten actuales con los del ejemplo
segundo del capiacutetulo 2 la definicioacuten del operador directo es ideacutentica a la alliacute indicada El
procedimiento inverso se reduciraacute a la inversioacuten de dicho operador tal y como se expuso en sect32
178 Capiacutetulo IV
que de acuerdo con la dimensioacuten del problema (se han empleado 91 dipolos de Hertz con un
sobremuestreo χ=105) no es menester el recurso a los meacutetodos numeacutericos Los resultados
ilustrados en las figuras indican
ndash La distribucioacuten de corrientes reconstruidas (en azul y trazo continuo el moacutedulo en verde y
discontinuo la fase)
ndash Las distribuciones de campo proacuteximo (a 541m) medida en azul correspondiente a la
distribucioacuten de fuentes reconstruida en rojo lejano obtenido mediante expansioacuten modal en
cian y correspondiente a las fuentes en violeta
ndash Los errores cuadraacuteticos medios en dB del campo reconstruido respecto al medido y del
campo lejano respecto al obtenido por expansioacuten modal (usando el programa de Ticra [156])
En la reconstruccioacuten a partir de las medidas copolares fig 4-26 y 27 puede observarse el
decaimiento fuera de la superficie de la antena -0505 y en el caso horizontal pueden tambieacuten
apreciarse dos miacutenimos simeacutetricos respecto al origen antes del borde de la antena correspondientes
a las franjas verticales libres de ranuras (que pueden verse en la figura 4-25ordf) En el problema
vertical como era de esperar pueden distinguirse las posiciones de las ranuras
Para la radiacioacuten contrapolar fig 4-28 y 29 la relacioacuten sentildeal a ruido de las medidas es bastante
peor y naturalmente esto afecta a la calidad de las reconstrucciones efectuadas cuyo error
cuadraacutetico aumenta varios oacuterdenes de magnitud sobretodo en el corte horizontal En el vertical
puede distinguirse auacuten la extensioacuten de la antena real
Figura 4-26 Reconstruccioacuten a partir del campo complejo Εθ sobre ϕ =0
Validacioacuten experimental 179
Figura 4-27 Reconstruccioacuten a partir del campo complejo Εϕ sobre ϕ =90ordm
Figura 4-28 Reconstruccioacuten a partir del campo complejo Εϕ (componente contrapolar) sobre ϕ =0ordm
180 Capiacutetulo IV
Figura 4-29 Reconstruccioacuten a partir del campo complejo Εθ (componente contrapolar) sobre ϕ =90ordm
433 Problema inverso sin fase
Como en el caso de la antena de reflector consideraremos primero algunos casos de intento de
reconstruccioacuten a partir de una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo que alliacute se demostroacute en consonancia
con los resultados teoacutericos inviable y que aquiacute se ilustra de nuevo Es decir se veraacuten soluciones
compatibles con una distribucioacuten de moacutedulo y claramente no corresponden con la solucioacuten
deseada Se ve despueacutes la posibilidad de reconstruccioacuten vaacutelida usando dos distribuciones de
moacutedulo
4331 Acerca de la unicidad de solucioacuten
Al igual que se hizo en el problema anterior podraacute probarse la falta de unicidad de solucioacuten a partir
de una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo empleando una reduccioacuten del algoritmo de Gerchberg-Saxton
en el que en lugar de emplear medidas sobre el dominio de fuentes se impone aquiacute la restriccioacuten de
soporte finito A este meacutetodo seguacuten el criterio de sect4242 podemos denominarlo cuasi-Gerchberg-
Saxton Seguacuten puede observarse en las figuras 4-30 y 4-31 el algoritmo lega a soluciones que no
pueden darse por vaacutelidas a la vez que demuestran una estrecha coherencia con la distribucioacuten de
moacutedulo considerada Por una parte se observa que la radiacioacuten lejana es muy diferente y por otra se
advierte que la distribucioacuten de fuentes tanto en moacutedulo como en fase es muy distinta a la de las
figuras 4-26 y 4-27 Con lo que nuevamente se hace patente la falta de unicidad a partir de una uacutenica
distribucioacuten de moacutedulo
Validacioacuten experimental 181
Figura 4-30 Reconstruccioacuten a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo del campo Εθ sobre ϕ =0
Imponiendo la condicioacuten de soporte finito (cuasi-Gerchberg-Saxton)
Figura 4-31 Reconstruccioacuten partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo del campo Εϕ sobre ϕ =90ordm
Imponiendo la condicioacuten de soporte finito (meacutetodo cuasi-Gerchberg-Saxton)
182 Capiacutetulo IV
4332 Meacutetodos generalizados de Proyecciones Sucesivas
Seguacuten se indicoacute arriba se pueden considerar conocidas dos distribuciones de moacutedulo tomando las
distribuciones de campo lejano de las figuras 4-26 a 29 (obtenidas mediante expansioacuten modal
esfeacuterica) como si eacutestas se trataran de una medida maacutes Se demostraraacute de nuevo la capacidad de los
meacutetodos iterativos descritos en sect3321 primero sin restricciones sobre el dominio de fuentes
(meacutetodo generalizado de Anderson sect3321iii) despueacutes antildeadiendo la restriccioacuten de soporte finito
(MPS generalizado sect3321iv)
a) Sin r e s t r i c c i oacuten de fuent e s (meacutetodo de Anderson g enera l izado)
Como puede observarse en las figuras 4-32 a 35 se obtienen resultados que demuestran encontrarse
en las proximidades de la solucioacuten deseada evidenciaacutendose de nuevo la unicidad de solucioacuten
Especialmente interesante es el caso de las componentes contrapolares ya que aquiacute se observan
unos errores del mismo orden o incluso menores que en el caso de la reconstruccioacuten directa Debe
sentildealarse que en parte las discrepancias observadas entre las distribuciones reconstruidas actuales y
las obtenidas usando la fase de campo se deben a que se empleoacute alliacute un muestreo un poco maacutes fino
(105 frente a 10 en el problema sin fase)
Figura 4-32 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εθ sobre ϕ =0ordm Sin
imposicioacuten de condiciones sobre el dominio de las fuentes (MPS)
Validacioacuten experimental 183
Figura 4-33 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εϕ sobre ϕ =90ordm Sin
imposicioacuten de condiciones sobre el dominio de las fuentes (MPS)
Figura 4-34 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εϕ (componente
contrapolar) sobre φ=0ordm Sin imposicioacuten de condiciones sobre el dominio de las fuentes (MPS)
184 Capiacutetulo IV
Figura 4-35 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εθ (componente
contrapolar) sobre ϕ=90ordm Sin imposicioacuten de condiciones sobre el dominio de fuentes (MPS)
b) Con re s t r i c c i oacuten sobre las fuent e s (Meacutetodo de las Proye c c i ones Suce s i vas g enera l izado)
La imposicioacuten del soporte finito al aacuterea de la antena soacutelo se aplica a las componentes copolares ya
que para las otras no es tan niacutetido el descenso de la distribucioacuten de corrientes fuera de la antena Se
observa aquiacute respecto a la no imposicioacuten de restricciones un cierto parecido en el problema
horizontal y una notable mejora en el vertical
Validacioacuten experimental 185
Figura 4-36 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εθ sobre ϕ =0ordm
Aplicando la restriccioacuten de soporte finito sobre el dominio de las fuentes M(y) ne0 ylt05m
(MPS generalizado) con χ=1
Figura 4-37 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εϕ sobre ϕ =90ordm
Aplicando la restriccioacuten de soporte finito sobre el dominio de las fuentes M(y)ne0 ylt05m
(MPS generalizado) con χ=1
186 Capiacutetulo IV
44 ANTENA DE AGRUPACIOacuteN DE DIPOLOS PARA RADAR
SECUNDARIO
Vamos a considerar ahora un caso que reviste un notable intereacutes praacutectico Seguacuten se mencionoacute
arriba estaacute relacionado con la antena estudiada en el uacuteltimo ejemplo del capiacutetulo segundo (sect252
veacutease figura 2-26) Estas antenas como es bien sabido junto con el resto del sistema de Radar
Secundario cumplen una importante misioacuten en la seguridad del traacutefico aeacutereo Sin embargo puede
ocurrir que las caracteriacutesticas de radiacioacuten de la antena se degraden de manera que el sistema
aunque aparentemente operativo no pueda cumplir su funcioacuten En las antenas que aquiacute se
consideran ndashmuy frecuentes en los aeropuertos espantildeoles e hispanoamericanos- a menudo ocurre
que una de las columnas de agrupacioacuten de dipolos falla lo cual puede tener graves consecuencias en
la directividad de la antena y el nivel de los loacutebulos secundarios Si esto ocurre en el mejor de los
casos el sistema soacutelo pierde definicioacuten al determinar direcciones pero en otros puede llegar a
detectarse aeronaves ficticias Por tanto es menester hacer un mantenimiento para controlar las
prestaciones de la antena y en caso de degradacioacuten repararlo lo antes posible [87 35 36 37]
Mediante la aplicacioacuten de los meacutetodos inversos investigados aquiacute se probaraacute que a partir de unas
medidas sencillas puede resolverse de forma eficiente este grave problema Por una parte el giro
continuo de la antena junto con el determinismo de las sentildeales transmitidas permiten realizar una
adquisicioacuten praacutecticamente pasiva de un corte ciliacutendrico horizontal sin entorpecer el
funcionamiento del Radar Secundario Para ello basta con que el medidor se situacutee sobre el suelo y
en las proximidades de la antena Por otra parte la simplicidad de uso de los amplificadores
logariacutetmicos para la adquisicioacuten de moacutedulo hacen que el aparato de medida pueda ser
considerablemente sencillo En el siguiente capiacutetulo se trataraacute la arquitectura del sistema de medida
como un caso particular de sistema adaptado mientras que aquiacute se abordaraacute el problema
electromagneacutetico a partir de unas medidas sintetizadas donde el principal objetivo seraacute la capacidad
de deteccioacuten de fallos de las columnas
441 Siacutentesis de la distribucioacuten de campo
4411 Justificacioacuten del dominio de medida
En estas antenas ilustradas en la figura 4-38 la red de alimentacioacuten de los dipolos estaacute constituida
por una agrupacioacuten de distribuidores y liacuteneas de transmisioacuten que reparten la potencia hacia cada una
de las columnas de dipolos (distribucioacuten horizontal de corrientes) seguido de un circuito de
distribucioacuten compacto e impreso que hace llegar la corriente a cada uno de los dipolos (distribucioacuten
vertical de corrientes) Esta arquitectura hace que la distribucioacuten de corrientes dentro de las
columnas sea homogeacutenea e incierta entre ellas Por tanto cuando se desea saber si una de estas
Validacioacuten experimental 187
antenas estaacute radiando adecuadamente lo que estaacute en tela de juicio es en realidad la corriente que
llega a cada una de las columnas
Figura 4-38 Vista frontal de la antena bajo estudio principales dimensiones y detalle lateral de una
columna
Teniendo en cuenta la separabilidad de la distribucioacuten de corrientes (2-102) resulta evidente que las
distribuciones horizontales de campo sobre el dominio de medida ciliacutendrico no presentaraacuten
diferencias significativas entre cortes horizontales ( a parte de alguna constante compleja) de modo
que podemos considerar que eacutestas distribuciones han sido esencialmente causadas por la relacioacuten de
excitaciones horizontales Puesto que eacutesta es incierta entonces el conocimiento de la radiacioacuten
sobre dominios horizontales ciliacutendricos como los representados en la figura 4-39 puede proveernos
la informacioacuten necesaria para la averiguacioacuten de la relacioacuten efectiva de excitaciones horizontales
Como por otra parte las variaciones verticales del campo se deben fundamentalmente a la relacioacuten
de corrientes verticales que conocemos esta informacioacuten no nos aporta nada nuevo y en
consecuencia podemos restringir nuestro dominio de medida al mencionado
Figura 4-39 Dominio de medida de las antenas de Radar secundario (veacutease figura 1-26)
Columna 1 [-16] Columna 36 [+16] Columna 17 [0]
8m
16
m
Srsquo
x
y
z
ϕ
Superficie de la Antena
Punto de observacioacuten
ρ φ
y
ρ
Dominio de medida(-π2 a π2)
188 Capiacutetulo IV
4412 Particularizacioacuten del problema directo
Puesto que se conoce en detalle la antena puede determinarse con precisioacuten la radiacioacuten generada
por eacutesta sobre los mencionados dominios de medida La presencia de un plano de masa
(constituido por varillas verticales suficientemente cercanas fig 4-38) puede tenerse en cuenta
modelaacutendolo por medio de un plano infinito y aplicando teoriacutea de imaacutegenes tal y como ilustra la
figura 4-40a Para la distribucioacuten de estas corrientes se considera por una parte las excitaciones
nominales sobre las que se antildeadiraacuten fallos de columnas (graacuteficamente representadas en la figura 2-
26b) por otra la fluctuacioacuten tiacutepica obtenida a partir de medidas reales sobre la antena [27] De
modo que la distribuciones empleadas en la siacutentesis de las medidas son estocaacutesticas Para
determinar el campo engendrado por estas distribuciones se emplea la relacioacuten (2-104)
Evidentemente para representar el mismo problema podemos aplicar sobre un plano anterior a la
antena el principio de equivalencia (seguacuten se ilustra en la figura 2-28) de modo que eacuteste estriacutea
constituido por una retiacutecula regular de dipolos magneacuteticos de Hertz Teniendo en cuenta la
independencia de la distribucioacuten horizontal de campo respecto a la distribucioacuten vertical de
corrientes puede entonces simplificarse auacuten maacutes la distribucioacuten considerando todas las corrientes
verticales agrupadas en un mismo punto (como se representa en la figura 4-40) Por otra parte los
resultados de sect252 mostraban que la separacioacuten de los dipolos de Hertz de modo que queden
enfrentados con las columnas aunque insuficiente para una determinacioacuten precisa del campo era
suficiente para determinar la relacioacuten efectiva de excitaciones de la antena Por tanto la formulacioacuten
en teacuterminos de corrientes magneacuteticas podraacute reducirse a una retiacutecula lineal anterior a la antena y
coincidente con el punto medio de cada una de las columnas radiantes El campo a partir de estas
corrientes puede determinarse como particularizacioacuten trivial de (2-105) y naturalmente eacuteste soacutelo
podraacute ser de utilidad para su aplicacioacuten en el problema inverso
Figura 4-40 Formulacioacuten del problema a) mediante corrientes conductivas ndashgeometriacutea detallada de la
antenandash b) mediante corrientes equivalentes magneacuteticas ndashveacutease figura 2-28 aproximacioacuten
puntual de la columnandash
J1
J2
JN
hellip
J1
J2
JN
hellipequiv
Plan
o de t
ierra
a) Corrientes conductivas
Mequi equiv
b) Corrientes equivalentes magneacuteticas
Validacioacuten experimental 189
4413 Siacutentesis de medidas
Una vez determinado el campo seguacuten las consideraciones anteriores las medidas se ha sintetizado
de acuerdo con las caracteriacutesticas reales de los dispositivos de medida Para ello se dispone de
medidas parciales obtenidas con el sistema de deteccioacuten que se describe en el capiacutetulo siguiente que
han permitido determinar sus caracteriacutesticas maacutes relevantes en cuanto a errores de medida Se
observa que el ruido dominante es debido a los detectores logariacutetmicos y que finalmente eacuteste queda
subsumido por el proceso de conversioacuten numeacuterico haciendo que el error siga una distribucioacuten
uniforme de plusmn025 dB ( como se demostraraacute maacutes adelante) No obstante se ha considerado el
doble de este ruido para evaluar los meacutetodos inversos en condiciones aun maacutes severas al que se ha
antildeadido una distorsioacuten logariacutetmica de 002 dBdBv
Finalmente se considera el error debido a la determinacioacuten de la posicioacuten del punto de medida
respecto a la antena que tiene componente horizontal y vertical
En suma la siacutetesis de las medidas del campo radiado por la antena tiene en consideracioacuten
ndash la geometriacutea en detalle de la antena [27] y del dominio de medida
ndash fallos intencionados de alguna columna
ndash las excitaciones de la antena con sus fluctuaciones tiacutepicas (consideradas estocaacutesticas)
ndash errores en la determinacioacuten de la posicioacuten de medida
ndash el ruido captado por el sistema electroacutenico (predominantemente logariacutetmico) y la distorsioacuten
logariacutetmica
Las medidas que a continuacioacuten se emplean para evaluar la capacidad de reconocimiento de fallos
son siempre parejas de medidas tomadas a 30 y 80 metros de distancia respecto al eje de rotacioacuten de
la antena y 20 metros por debajo de su base en las siguientes condiciones
1 fallo en la columna 8 (oacute -9) con diferentes niveles de ruido de cuantificacioacuten
a)plusmn05 dB b) plusmn025 dB c) plusmn005 dB
2 fallo en la columna 8 (oacute ndash9) y la 17 (oacute 0 central) con un error de cuantificacioacuten de plusmn05 dB
Con el primer grupo de medidas sintetizadas puede probarse la sensibilidad de la deteccioacuten de fallos
respecto al ruido el segundo nos permite observar otra condicioacuten de fallo verificando asiacute la
eficiencia en su identificacioacuten (para una condicioacuten de ruido maacutes severa que la experimental)
442 Comparacioacuten de meacutetodos inversos sin fase
Para compara los meacutetodos se proponen dos formulaciones del problema y dos modos de
resolverlo En cuanto a la expresioacuten del problema se emplearaacuten las aproximaciones de corrientes
conductivas y de corrientes equivalentes magneacuteticas
190 Capiacutetulo IV
a) La formulacioacuten de corrientes conductivas considera la geometriacutea detallada de la antena (veacutease fig4-
40a) de modo que las fuentes queden expresadas como una distribucioacuten discreta de corrientes
puntuales situadas sobre la posicioacuten geomeacutetrica de cada uno de los dipolos reales y sus
imaacutegenes
sumsum sum= = =
minus+=
sdot=
minus=
minusprimeminusprimeminusprime=x yN
i kk
jiij
ijij
kj
N
ji
kijky
dzz
zzyyxxJ1
M-DiM
1
21
1 21)1(
donde )( γβα
αα
δα (4-3)
Siendo zMi la coordenada z del plano de masa y dD-M la distancia entre el plano de masa y los
dipolos reales
Si la componente de campo observada es la vertical aplicando la relacioacuten (2-28) y teniendo en
cuenta la separabilidad de la distribucioacuten de corriente es inmediata la expresioacuten del campo en
teacuterminos de los coeficientes de excitacioacuten horizontal y un conjunto de funciones de campo
Ψi en los que queda reflejado el campo generado por cada columna radiante
sumsum sum== =
Ψsdot=minus+minus=xx y N
iii
N
i
N
jijkjkijk
kiy yRGyyRGE
11 12
21 )( )()()()1()( ϕρββr
donde
minusminussdot+minus+minussdot=
+minussdot+minus+minussdot=
minus
minus
2
222
2
221
)cos()()sin(
)cos()()sin(
MDiMjiij
MDiMjiij
dzyyxR
dzyyxR
ϕρϕρ
ϕρϕρ
(4-4)
De esta forma el problema inverso se convierte en la indagacioacuten de los 33 coeficientes de
excitacioacuten horizontal
b) La formulacioacuten de corrientes equivalentes magneacuteticas a diferencia de la anterior no considera la
estructura particular de la antena (veacutease la figura 4-40) y toda la contribucioacuten correspondiente a
cada columna se asume que se encuentra concentrada en un solo punto Consideracioacuten que
hace acopio de la independencia entre la distribucioacuten vertical de corrientes y el campo
observado sobre el domino horizontal Usando (2-23) y teniendo en cuenta que soacutelo nos
fijamos en la componente vertical del campo seraacute suficiente la consideracioacuten de las corrientes
magneacuteticas horizontales
sum=
minusprimeminusprimeminusprime=xN
iijiijx zzyyxxMM
1
)(δ
sumsum==
Ψsdot=sdot=xx N
iii
N
iiiy yM)(RGME
113 )( )( ϕρr
(4-5)
Validacioacuten experimental 191
Es evidente que la utilizacioacuten de la primer formulacioacuten al incorporar un maacuteximo de informacioacuten
acerca del sistema radiante sea maacutes precisa en la descripcioacuten del campo sin embargo es maacutes
sensible a los posibles errores que se puedan cometer en la determinacioacuten de la posicioacuten relativa de
los puntos de observacioacuten Como se vio en sect252 la descripcioacuten del campo en teacuterminos de las
corrientes magneacuteticas situadas sobre un punto intermedio de cada columna y por tanto distanciadas
maacutes de λ2 es una solucioacuten relativamente imprecisa para la determinacioacuten del campo (fig 2-35)
Sin embargo como alliacute se observoacute es suficiente para identificar la verdadera distribucioacuten de
corrientes (fig 2-37) Por tanto seguacuten esta aproximacioacuten y a la luz de los resultados alcanzados en
sect252 podremos darnos por satisfechos si nos permite la identificacioacuten de los fallos que a fin de
cuentas es el objetivo de nuestro problema
Puesto que uno de los requisitos del sistema de medida es que eacuteste sea transparente a la operacioacuten
del Radar secundario para la solucioacuten del problema inverso sin fase no pueden emplearse
procedimientos manipuladores con lo que nuevamente estos quedan restringidos a los
observadores (sect3321) Pero dentro de estos se distinguiacutean los meacutetodos de proyecciones sucesivas
(MPS sect3321a) y los de optimizacioacuten de la distancia entre distribuciones del cuadrado de la amplitud de
campo eleacutectrico (MOCA sect3321b) Por tanto en cuanto a la manera de resolver el problema
planteado se utilizaraacuten estas dos soluciones
Para su comparacioacuten se consideran
ndash la capacidad de identificacioacuten de fallos que se observa a partir de las corrientes reconstruidas
ndash la capacidad de prediccioacuten del campo que se observa
o cualitativamente en la comparacioacuten entre medidas y campo predicho y
o cuantitativamente en teacuterminos del error de prediccioacuten que pondera los errores cuadraacuteticos
sobre los dos dominios de medida (incluida en los resultados graacuteficos y en la tabla 45)
ndash Por otra parte y al igual que en los problemas anteriores se representa la evolucioacuten del error de
prediccioacuten (como antes entre las distribuciones de campo de iteraciones sucesivas) que permite
evaluar la velocidad de convergencia y el coste operativo
La tabla 4-6 resume los resultados que a continuacioacuten se discutiraacuten pormenorizadamente de las
tres aproximaciones consideradas en lo que respecta al error de prediccioacuten alcanzado en la
reconstruccioacuten del campo y a la habilidad en la identificacioacuten de fallos (MB claramente SI
suficientemente NO incapaz de distinguir el fallo verdadero)
Meacutetodo Formulacioacuten Fallo C8 plusmn05 dB
Fallo C8 plusmn025 dB
Fallo C8 plusmn005 dB
Fallo C8 C17 plusmn05 dB
MPS C -315MB -333MB -388MB -251MB MOCA C -230NO -283SI -372MB -274MB
MPS M -150SI -156SI -155SI -157NO Tabla 45
192 Capiacutetulo IV
4421 Meacutetodo de Proyecciones Sucesivas con formulacioacuten de corrientes Conductivas
(MPS-C)
Las figuras 4-41 a 4-44 muestran los resultados obtenidos al aplicar el conjunto de 4 parejas de
medidas arriba descrito las tres primeras para los fallos en la columna ndash9 y diferentes niveles de
ruido y la uacuteltima para el fallo simultaacuteneo de las columnas 9 y 0 En todos los casos puede
observarse una buena capacidad de deteccioacuten de fallos e incluso una buena concordancia entre las
distribuciones de capo observadas y las predichas incluso a pesar del alto nivel de ruido de los
casos primero y uacuteltimo plusmn05 dB (figuras 4-41 y 4-44) En lo que respecta a la sensibilidad al ruido
puede apreciarse una maacutes niacutetida identificacioacuten de fallos y una considerable mejora en la prediccioacuten
del campo especialmente cuando el ruido de cuantificacioacuten pasa de plusmn05 dB a plusmn025 dB
Figura 4-41 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y=-20m
Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna ndash9 Meacutetodo de Proyecciones
Sucesivas (MPS-C) Error logariacutetmico de medida plusmn05 dB
Validacioacuten experimental 193
Figura 4-42 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y=-20m
Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna ndash9 Meacutetodo de Proyecciones
Sucesivas (MPS-C) Error logariacutetmico de medida plusmn025 dB
Figura 4-43 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna ndash9 Meacutetodo de Proyecciones
Sucesivas (MPS-C) Error logariacutetmico de medida plusmn005 dB
194 Capiacutetulo IV
Figura 4-44 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna ndash9 y 0 Meacutetodo de Proyecciones
Sucesivas (MPS-C) Error logariacutetmico de medida plusmn05 dB
4422 Meacutetodo de Optimizacioacuten sobre el Cuadrado de la Amplitud de campo eleacutectrico
(MOCA)
Si se aplica a la misma formulacioacuten del problema (corrientes conductivas) y para el mismo conjunto
de medidas un meacutetodo de optimizacioacuten como el descrito en sect3321b se obtienen los resultados
de las figuras 4-45 a 4-48 En general se observa una peor capacidad de deteccioacuten de fallos aunque
con menos nitidez y mejor en el caso de dos fallos simultaacuteneos que en el de uno Por otra parte el
efecto de la reduccioacuten del ruido en la identificacioacuten de fallos se hace aquiacute maacutes notable que en el
caso anterior (4-47) aunque en cualquier caso el error de prediccioacuten del campo es
considerablemente inferior al conseguido mediante la aplicacioacuten del MPS
En lo que respecta a la convergencia y el coste operativo se aprecia que en general es necesario un
menor nuacutemero de iteraciones aunque en la praacutectica esta aparente rapidez queda compensada por el
mayor coste operacional de los caacutelculos involucrados en cada iteracioacuten (determinacioacuten del
gradiente del Hessiano y la resolucioacuten de la correspondiente ecuacioacuten lineal) respecto a la
aplicacioacuten reiterada de los operadores de proyeccioacuten en el MPS
En suma a tenor de los resultados obtenidos puede afirmarse la mejor competencia del MPS en la
resolucioacuten del problema considerado
Validacioacuten experimental 195
Figura 4-45 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna ndash9 Meacutetodo de Optimizacioacuten
sobre el Cuadrado de la Amplitud de Campo (MOCA) Error logariacutetmico de medida plusmn05 dB
Figura 4-46 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna -9 Meacutetodo de Optimizacioacuten sobre
el Cuadrado de la Amplitud de Campo (MOCA) Error logariacutetmico de medida plusmn025 dB
196 Capiacutetulo IV
Figura 4-47 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna -9 Meacutetodo de Optimizacioacuten sobre
el Cuadrado de la Amplitud de Campo (MOCA) Error logariacutetmico de medida plusmn005 dB
Figura 4-48 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna ndash9 y 0 Meacutetodo de Optimizacioacuten
sobre el Cuadrado de la Amplitud de Campo (MOCA) Error logariacutetmico de medida plusmn05 dB
Validacioacuten experimental 197
4423 Meacutetodo de Proyecciones Sucesivas con formulacioacuten de corrientes Magneacuteticas
(MPS-M)
Una vez puestos en confrontacioacuten los meacutetodos para la buacutesqueda de la solucioacuten apliquemos el que
ha resultado superior para la evaluacioacuten de la formulacioacuten del problema en teacuterminos de las
corrientes magneacuteticas equivalentes reducidas a una uacutenica por columna Las figuras 4-49 a 4-52
recogen los resultados de la aplicacioacuten del MPS a esta formulacioacuten Por una parte se observa una
aceptable capacidad de identificacioacuten del fallo en los tres primeros casos que es incluso mejor que
la obtenida mediante el meacutetodo de optimizacioacuten anterior (MOCA-C)pero que se torna en
incapacidad para el fallo simultaacuteneo de dos columnas En lo que respecta a la habilidad de
prediccioacuten del campo se observa que a pesar de la reduccioacuten del ruido el error de prediccioacuten no
mejora mantenieacutendose en todos los casos mejor que ndash15 dB
La causa de las limitaciones observadas reside fundamentalmente en e incapacidad par representar
las variaciones verticales al considerar un uacutenico dipolo de Hertz por cada columna las variaciones
de radiacioacuten debidas al aacutengulo de observacioacuten desde cada una de las distancias de medida no puede
ser tenida en cuenta y en consecuencia existe una inadaptabilidad esencial entre las medidas y el
error infranqueable De hecho cuando el conjunto de medidas se hace a la altura de la antena las
mencionadas diferencias se reducen ( el diagrama vertical cambia con la distancia) y pueden
distinguirse maacutes faacutecilmente los fallos Otra manera de resolver el problema es considerar una
distribucioacuten de corrientes magneacuteticas tambieacuten vertical con una relacioacuten de intensidad como la de
los dipolos reales
Debe no obstante sentildealarse coacutemo a pesar de la poca informacioacuten sobre la antena que esta
aproximacioacuten considera se llega a identificar fallos de una sola columna (se han probado un gran
nuacutemero de situaciones al margen de las aquiacute representadas) que de hecho puede extenderse a maacutes
columnas si la distribucioacuten de corrientes magneacuteticas se extiende verticalmente (seguacuten se ha
sentildealado) Ademaacutes las distribuciones horizontales del campo pueden predecirse con un error de
entorno al 3
198 Capiacutetulo IV
Figura 4-49 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes equivalentes magneacuteticas Fallo de la columna ndash9 Meacutetodo de
Proyecciones sucesivas (MSP-M) Error logariacutetmico de medida plusmn05 dB
Figura 4-50 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes equivalentes magneacuteticas Fallo de la columna ndash9 Meacutetodo de
Proyecciones sucesivas (MSP-M) Error logariacutetmico de medida plusmn025 dB
Validacioacuten experimental 199
Figura 4-51 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes equivalentes magneacuteticas Fallo de la columna ndash9 Meacutetodo de
Proyecciones sucesivas (MSP-M) Error logariacutetmico de medida plusmn005 dB
Figura 4-52 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y = -
20m Formulacioacuten de corrientes equivalentes magneacuteticas Fallo de la columna ndash9 y 0 Meacutetodo
de Proyecciones sucesivas (MSP-M) Error logariacutetmico de medida plusmn025 dB
V SOBRE LA OBSERVACIOacuteN DEL
CAMPO ELECTROMAGNEacuteTICO
ldquoEl conocer es un viaje de
ida y vuelta Primero
tenemos que formarnos
ideas de las cosas que es lo
que se ha hecho hasta
ahora pero luego para de
verdad conocer es preciso
restar todo eso que se ha
pensado cayendo en la
cuenta de que la realidad es
siempre maacutes o menos
distinta de lo pensadordquo
Joseacute Ortega y Gasset
ldquoSobre la razoacuten histoacutericardquo
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 203
51 INTRODUCCIOacuteN
Llegados hasta este punto podriacutea darse por resuelto el problema que en un principio nos habiacuteamos
fijados es decir la identificacioacuten de las fuentes responsables de un campo electromagneacutetico
observado Primero hemos investigado la forma en que el campo puede ser descrito por medio de
un miacutenimo nuacutemero de fuentes equivalentes a continuacioacuten hemos visto coacutemo conocida la
distribucioacuten de campo puede colegirse la relacioacuten de corrientes para ese nuacutemero miacutenimo de fuentes
y al fin hemos valorado la eficiencia de esos meacutetodos Sin embargo si no decimos nada acerca de la
manera en que efectivamente puede observarse el campo la pretendida realidad perseguida al
principio se diluye en una solucioacuten hasta cierto punto ideal
Sin poner en tela de juicio la realidad del campo electromagneacutetico es evidente que no nos es dado a
priori su conocimiento y que de alguna manera debemos arreglaacuternoslas para estimar el campo que
en efecto se da sobre un determinado dominio Tenemos ademaacutes la certeza de que cualquier intento
de observacioacuten va a modificar intriacutensecamente el campo radiado seguacuten lo hemos definido en sect21
(entre otras cosas estamos traicionando la hipoacutetesis de homogeneidad circunstancial) tambieacuten
estamos seguros de que muy a pesar de nuestros esfuerzos las medidas siempre estaraacuten maacutes o
menos contaminadas por ruido y finalmente sabemos que cualquier dispositivo que utilicemos para
medir va a incorporar una cierta proporcioacuten de alinealidad que no podamos predecir Pero aun asiacute
es del todo evidente que las diferencias observadas en la excitacioacuten de cualquier dispositivo sensible
a la radiacioacuten en cuestioacuten seguacuten este se desplaza sobre el dominio de observacioacuten pueden
ofrecernos un cierto conocimiento de la verdadera distribucioacuten de campo electromagneacutetico
Nuestra aproximacioacuten a la realidad dependeraacute de las caracteriacutesticas del dispositivo empleado y muy
especialmente del conocimiento que dispongamos de ellas asiacute como de la circunstancia en que el
objeto radiante se encuentre inmerso y en especial de nuestra habilidad para eliminar todas aquellas
variaciones que no sean debidas a la radiacioacuten que en efecto desea observarse
Por este motivo la praacutectica usual en la medida de los sistemas radiantes consiste en controlar sus
condiciones ambientales y de operacioacuten generalmente desplazaacutendolos a entornos especiacuteficos y
aislados que intentan modificar lo menos posible las caracteriacutesticas de radiacioacuten del objeto inmerso
en un espacio idealmente homogeacuteneo e isotroacutepico Las ventajas de esta praacutectica son evidentes de
acuerdo con lo que hemos dicho y podriacuteamos considerarlas como una reduccioacuten de las variables
estocaacutesticas que afectan a las medidas Sin embargo hay muchos sistemas radiantes que bien por su
inaccesibilidad por su tamantildeo o por su funcioacuten estrateacutegica no pueden interrumpirse y trasladarse a
tales ambientes En ciertos casos el coste que suponen las medidas las excluye directamente de las
rutinas de mantenimiento aunque eacutestas pudieran ser de gran utilidad Para paliar estos problemas se
recurre frecuentemente a la utilizacioacuten de aparatos de medidas disentildeados para propoacutesitos generales
considerablemente complejos y costosos que se desplazan a lugares oportunos en los que las
condiciones ambientales no modifican excesivamente la radiacioacuten Esta praacutectica es costosa y el uso
204 Capiacutetulo V
de medidores de gran precisioacuten no remedia la inevitable aparicioacuten de errores frecuentemente
importantes Por otra parte para poder aplicar correctamente los aparatos de medida suele ser
necesario controlar las sentildeales radiadas con lo cual el sistema bajo medida debe interrumpir sus
funciones En las situaciones en que esta interrupcioacuten es problemaacutetica a veces se recurre a la
deteccioacuten de las sentildeales que la antena emite o recibe en condiciones normales
En suma las praacutecticas empleadas para la observacioacuten del campo radiado se agrupan en una de las
tres categoriacuteas siguientes
1) Medida en entornos cerrados (ya sean maacutes o menos anecoicos)
2) Entornos abiertos gobernando las sentildeales transmitidas o recibidas por el sistema radiante bajo
estudio
3) Entornos abiertos empleando las sentildeales que el propio sistema radiante transmite
Puesto que la mayoriacutea de las praacutecticas pertenece a las dos primeras categoriacuteas de las cuales puede
encontrarse una gran cantidad de bibliografiacutea [42 24 80 104] vamos a profundizar aquiacute en la
teacutecnica tercera
52 SISTEMAS OBSERVADORES DE MEDIDA
Extendiendo la terminologiacutea usada en el capiacutetulo tercero a propoacutesito de los meacutetodos inversos sin
fase podriacuteamos llamar a las dos primeras teacutecnicas de medida antes mencionadas como manipuladoras
y observadora la que nos va a ocupar La idea en efecto es la misma en lugar de intervenir sobre el
campo electromagneacutetico efectivo atenderemos a las condiciones de la observacioacuten para que esta
pueda dar cuenta del campo que verdaderamente radia el sistema bajo estudio
Si un sistema de este tipo se dedicara sin maacutes a la deteccioacuten de las sentildeales que emergen de una
antena (o que eacutesta capta y tenemos la posibilidad de observar) el problema de la identificacioacuten de la
radiacioacuten generada por el sistema radiante dependeriacutea de la informacioacuten que estas sentildeales puedan
portar Si en efecto llevan informacioacuten las variaciones que detecte el sistema de medida seguacuten se
desplace sobre el dominio de observacioacuten se deberaacuten tanto a la informacioacuten como a las variaciones
espaciales de radiacioacuten Sin embargo habida cuenta que todo sistema de radio ademaacutes de las
sentildeales que puedan llevar informacioacuten (maacutes o menos contingente) emite tambieacuten con cierta
periodicidad sentildeales determiniacutesticas podraacute atenderse precisamente a eacutestas En suma un sistema de
medida observador deberaacute dejar funcionar al sistema radiante en sus condiciones normales e iraacute
captando las sentildeales determiniacutesticas que eacuteste emita mientras el detector se desplaza a su alrededor o
bien mientras el radiador gira
Podriacutea arguumlirse que esto se trata de una praacutectica inveterada ya que los maacutes remotos ensayos
destinados a la observacioacuten del campo electromagneacutetico como tal es decir las experiencias de Hertz
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 205
[63] y las directamente inspiradas en eacutel (como es el caso de las de Lodge Fleming Popov Roghi
Marconi o Bose)1 eran propiamente observadoras y consistiacutean en el desplazamiento
geomeacutetricamente controlado en torno al objeto radiante Sin embargo desde que Marconi y CS
Franklin recurrieran en 1916 a un sistema rotatorio para la caracterizacioacuten de las antenas [108 109]
y se observaran los beneficios de haber controlado el entorno (en particular sobre el trayecto de
propagacioacuten) el sometimiento de eacuteste ha ido desde entonces en aumento especialmente desde la
fundacioacuten de los primeros laboratorios de radiacioacuten en la deacutecada de 19402 Evidentemente la
progresiva tendencia hacia los entornos cerrados ha ido acompasado con la creciente
contaminacioacuten electromagneacutetica en todas las zonas del espectro uacutetil Sin embargo el recurso a las
teacutecnicas de deteccioacuten desarrolladas en el aacutembito de la transmisioacuten digital como aquiacute se propone
pueden conducir a la eliminacioacuten de los efectos perturbadores de la polucioacuten electromagneacutetica para
un nivel de precisioacuten finito
Desde el punto de vista de la instrumentacioacuten la tendencia al desarrollo de herramientas de
propoacutesito general cuyos beneficios son indiscutibles unida a su creciente complejidad y a la falta de
transparencia de las praacutecticas industriales ha conducido hacia un progresivo distanciamiento del
experimentador respecto del experimento una dificultad de adaptacioacuten de la tecnologiacutea a
circunstancias especiacuteficas y el uso de instrumentacioacuten de muy elevado costo En circunstancias
como la mencionada en el tercer ejemplo del capiacutetulo anterior la imposibilidad de introducir los
sistemas radiantes de grandes dimensiones en entornos cerrados hacen que los experimentos se
vean materialmente complicados por el desplazamiento de los voluminosos aparatos de medida
mientras que la operacioacuten especiacutefica que estos realizan podriacutea ser faacutecilmente desempentildeada por
alguacuten dispositivo ligero econoacutemico y faacutecilmente controlable Es indiscutible que no seriacutea praacutectico la
construccioacuten de sistemas de medida especiacuteficos para cada uno de los experimentos de radiacioacuten Sin
embargo en ciertas circunstancias ndashcomo la mencionadandash en que eacutestos deben reiterarse para
realizar un mantenimiento de las caracteriacutesticas funcionales de los sistemas de radiacioacuten bajo
1 Aunque en cierta manera puede hablarse de experiencias maacutes remotas de deteccioacuten de la radiacioacuten
electromagneacutetica (naturalmente al margen de la humanamente visible) como es el caso de los experimentos
de Henry en 1842 o los de Loomis Edison Dolbear o Hughes en la segunda mitad del sXIX [56] (pero
anteriores a los resultados de Hertz e independientes de la teoriacutea Maxweliana) no puede decirse que estos
pretendieran la observacioacuten del campo electromagneacutetico ya que ni tan siquiera se contemplaba su existencia
Se puede decir que en tales experiencias la realidad electromagneacutetica participaba a modo de un actor invisible
De hecho la interpretacioacuten de los fenoacutemenos participantes era incompatible con la verdadera naturaleza del
electromagnetismo
2 En los propios artiacuteculos de Marconi [108 109] estaacute ilustrada de primera mano la transicioacuten de las estrategias
observadoras a las manipuladoras
206 Capiacutetulo V
estudio la disponibilidad de un sistema de medida especiacutefico puede convertirse en la solucioacuten maacutes
eficiente
Se propone a continuacioacuten un modelo de sistema observador para la caracterizacioacuten de los sistemas
radiantes que hemos convenido en llamar sistema adaptado de medida (por razones que se veraacuten maacutes
adelante) Su objetivo es soslayar los problemas mencionados y seraacuten de especial utilidad para el
control y mantenimiento de sistemas radiantes voluminosos Una vez planteada la arquitectura
general del sistema se particularizaraacute para el problema ya tratado en el capiacutetulo anterior de diagnosis
de antenas de Radar Secundario (sect44)
53 MODELO DE SISTEMA ADAPTADO DE MEDIDA
Si se pretende realizar un sistema de medida que permita observar las caracteriacutesticas de radiacioacuten de
un determinado objeto activo en todas las direcciones de intereacutes a la vez que no se estorbe su libre
funcionamiento no queda otra posibilidad maacutes que la de aprovechar las sentildeales que dicho objeto
transmita en circunstancias normales Sin embargo aquiacute puede llegarse a una dificultad esencial si
las sentildeales transmitidas estaacuten a merced del enviacuteo de informacioacuten es evidente que eacutestas constituyen
un proceso estocaacutestico que en consecuencia imposibilita el discernimiento de las variaciones
debidas a la orientacioacuten del sistema radiante Por fortuna esta dificultad puede evitarse gracias a que
todo sistema de comunicaciones debe incluir una cierta proporcioacuten de sentildeales determiniacutesticas
necesaria para el establecimiento sincronizacioacuten mantenimiento y cierre de las comunicaciones
Seraacuten por tanto estas sentildeales determiniacutesticas las que podraacuten emplearse para la caracterizacioacuten del
sistema radiante mediante el discernimiento de las diferencias observadas en cada una de las
direcciones de intereacutes (que podraacuten ajustarse de acuerdo con los teoremas de muestreo y el rango de
observacioacuten pretendido) En el caso en el que estas sentildeales sean continuas (como por ejemplo en
las modulaciones con portadora) o tengan una periodicidad suficiente podraacute llegar a dilucidarse a
partir de su recepcioacuten la distribucioacuten de campo compleja sobre el dominio de observacioacuten Sin
embargo en muchos casos la frecuencia de estas sentildeales hace inviable la deteccioacuten de la
distribucioacuten compleja y debemos contentarnos con la distribucioacuten del moacutedulo Como se vio en el
capiacutetulo tercero en tales condiciones se requiere
ndash bien la utilizacioacuten de la distribucioacuten de moacutedulo sobre dos dominios separados de observacioacuten
ndash o la deteccioacuten sobre el mismo dominio de las distribuciones de moacutedulo del campo eleacutectrico y
magneacutetico (empleando un par de antenas)
ndash o bien la incorporacioacuten de informacioacuten adicional de la distribucioacuten de fuentes (que como se
demostroacute no es suficiente con la geometriacutea de su soporte salvo que eacuteste sea no compacto)
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 207
531 Arquitectura baacutesica del sistema
Teniendo en cuenta que las sentildeales que proceden del sistema radiante bajo estudio estaraacuten
moduladas a la frecuencia de su correspondiente canal de radiofrecuencia la primera operacioacuten que
el sistema de medida deberaacute hacer es inmediata captar las sentildeales del canal de radio en cuestioacuten y
rechazar las extrantildeas Puesto que a continuacioacuten seguacuten se ha argumentado deben seleccionarse las
sentildeales determiniacutesticas ndashque denominaremos sentildealizacioacutenndash esto podriacutea hacerse de muacuteltiples maneras
pero aquiacute se propone hacerlo de forma oacuteptima Es decir deberaacute evitarse el ruido lo maacutes
eficientemente posible Afortunadamente esta solucioacuten nos la brindoacute de forma general Kotelrsquonikov
[83] en el marco de su teoriacutea de la inmunidad oacuteptima al ruido (1959) si conocemos las
caracteriacutesticas formales de la sentildeal a detectar debemos emplear un ldquofiltro cuya respuesta impulsional
sea la imagen especular de dicha forma retrasada un tiempo igual a la diferencia entre el inicio de la
sentildeal y el instante de muestreordquo
Supongamos que logramos con eacutexito este propoacutesito (cosa que se discutiraacute maacutes adelante) el
resultado seraacute una secuencia de valores que equivaldraacute a una reacuteplica escalada del campo
discretizado sobre el dominio de observacioacuten y que a su vez estaraacute ordenado a tenor de la
trayectoria del receptor relativa al sistema radiante Podraacute hablarse de un nuacutemero finito de puntos
de medida sobre el dominio de observacioacuten que denotaremos por M En caso de que el sistema
radiante rote de manera continua (como ocurre en algunos sistemas de radiodeterminacioacuten) la
trayectoria es evidentemente circular con centro en el eje de rotacioacuten y con una geometriacutea
faacutecilmente determinable Si ese no fuera el caso seraacute menester controlar geomeacutetrica y eleacutectricamente
la trayectoria3
Desde el punto de vista de la dimensioacuten finita del problema (sect24) habraacute de garantizarse que la
distancia entre puntos de medida respeta al menos el tercer teorema de muestreo Si fuera necesaria
la regularizacioacuten o el aumento artificial de muestras sobre el dominio de observacioacuten eacutesta puede
conseguirse mediante diversas teacutecnicas de interpolacioacuten (sect242 [18 21 22]) En caso de requerir la
observacioacuten (a tenor de las condiciones de unicidad discutidas en el capiacutetulo III) de varias
componentes del campo eleacutectrico de una combinacioacuten de campo eleacutectrico y magneacutetico o de uno
de ellos sobre dos dominios eacutestos podraacuten adquirirse de forma secuencial De esta forma la
observacioacuten puede considerarse ordenada en una secuencia de valores numeacutericos correspondiente a
las necesarias distribuciones de campo que podemos designar por E1 o |E1||E2| o bien
|E1||H1| Finalmente empleando las expresiones (2-90) o (2-91) y los procedimientos inversos
3 Es decir determinar con suficiente precisioacuten la posicioacuten relativa del emplazamiento de medida (podraacute
hablarse de M emplazamientos) a la vez que deberaacuten intentar mitigarse las diferencias relativas entre los
trayectos de propagacioacuten a cada uno de los emplazamientos
208 Capiacutetulo V
detallados en el capiacutetulo III podraacute llegarse a la caracterizacioacuten del sistema radiante bajo estudio en
teacuterminos de una distribucioacuten de corrientes equivalentes
De acuerdo a la anterior descripcioacuten en el sistema de medida adaptado pueden distinguirse tres niacutetidas
partes
1) la deteccioacuten de las sentildeales procedentes del radiador
2) la recepcioacuten oacuteptima de la sentildealizacioacuten cuyos niveles estaacuten soacutelo matizados por la posicioacuten relativa
entre radiador y medidor y la adquisicioacuten del nivel correspondiente
3) la agrupacioacuten de los datos en diagramas de radiacioacuten asociados a dominios de medida y la
aplicacioacuten de meacutetodos inversos para la reconstruccioacuten de corrientes sobre la estructura del
radiador
Donde la agrupacioacuten de los valores recibidos Em tendraacute una expresioacuten asociada en el espacio E
E = T middot f que podraacute determinarse con los meacutetodos descritos en sect32 o sect31 (seguacuten sea el caso)
La figura 5-1 esquematiza la arquitectura baacutesica descrita asiacute como el procedimiento de medida
Figura 5-1 Arquitectura baacutesica del sistema adaptado de medida
532 Deteccioacuten de sentildeales de radiofrecuencia
Como se indicoacute anteriormente el primer paso en la deteccioacuten consiste en el filtrado del radiocanal
empleado por el sistema radiante Pero en virtud de la posibilidad de sincronizacioacuten de la portadora
se presentan dos situaciones claramente diferentes Cuando la sincronizacioacuten no es posible
entonces debe detectarse la amplitud para lo cual ndashdado el gran margen dinaacutemico que cabe
S
J1
M1
z
x y Trayectoria de medida
Deteccioacuten de sentildeales de
radio Sonda
Recepcioacuten oacuteptima de
niveles relativos
Reconstruccioacuten de corrientes
sobre el radiador
Distribucioacuten de corrientes equivalentes
Diagramas de radiacioacuten en campo lejano
Sistema adaptado de medida
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 209
esperarse en el campo observadondash puede recurrirse a detectores logariacutetmicos4 Evidentemente en
estos casos ya soacutelo podraacute llegar a conocerse directamente la distribucioacuten de moacutedulo del campo Sin
embargo en las circunstancias en que pueda sincronizarse la portadora podraacute tambieacuten distinguirse
la fase y asiacute recoger la distribucioacuten compleja del campo Para ello y de acuerdo con la teoriacutea de
Kotelrsquonikov bastaraacute con reduplicar la estructura de recepcioacuten oacuteptima para las sentildeales recibidas
modulando una con la portadora en fase y otra con la portadora en cuadratura La figura 5-2
muestra la estructura que debiera tener el detector en la situacioacuten en que no sea posible la
sincronizacioacuten de la portadora Teniendo en cuenta la disponibilidad de detectores logariacutetmicos
integrados con suficiente margen dinaacutemico se trata de una estructura extremadamente sencilla
Para el caso en que si sea posible la sincronizacioacuten de portadora puede recurrirse a una deteccioacuten
seguacuten se ha descrito es decir mediante un detector de cuadratura o bien de acuerdo con la
propiedad de extensibilidad analiacutetica de la distribucioacuten de campo (discutida en sect33) usar la
transformada de Hilbert seguacuten (3-38) En la figura 5-3 se representan estas dos posibilidades
Figura 5-2 Deteccioacuten adaptada de la amplitud de las sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de distribuciones de
moacutedulo
4 En general la deteccioacuten logariacutetmica (por ejemplo mediante amplificadores logariacutetmicos) es un requisito
indispensable antes de realizar la cuantificacioacuten ya que de lo contrario el gran margen dinaacutemico a que debe
atender el sistema no podriacutea representarse adecuadamente
Deteccioacuten de RF
Sistema adaptado para la observacioacuten de la distribucioacuten de moacutedulo
Receptor
oacuteptimo Antena Reconstruccioacuten
de fuentes Detector
logariacutetmico
210 Capiacutetulo V
Figura 5-3 Deteccioacuten adaptada de las sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de distribuciones de campo
complejo
533 Recepcioacuten oacuteptima de las distribuciones de campo
Seguacuten puede verse en las figuras 5-2 y 5-3 tanto si es posible la deteccioacuten de la distribucioacuten
compleja como si debemos arreglaacuternoslas con la de moacutedulo en ambos casos se recurriraacute a una
estructura de recepcioacuten oacuteptima en el sentido de la teoriacutea de Kotelacutenikov (o de la recepcioacuten digital
[148 25]) que ndashcomo se indicoacute en sect521ndash dependeraacute esencialmente de las caracteriacutesticas formales
de la sentildealizacioacuten usadas por el sistema radiante
Si nos centildeimos a la solucioacuten de Kotelacutenikov para la realizacioacuten del receptor oacuteptimo surgen dos
nuevas dificultades 1) la realizacioacuten del filtro adaptado 2) elegir el instante de muestreo apropiado
El segundo problema al igual que en los receptores digitales puede resolverse mediante uno o dos
filtros adaptados seguidos de una comparacioacuten continua (o pseudo-continua) eligiendo como
instante de muestreo aquel en el que se cumplan ciertas condiciones en las sentildeales de los filtros
adaptados [148] La confrontacioacuten con la primera dificultad puede resultar compleja si se pretende
la realizacioacuten de un filtro continuo pero acudiendo al teorema de muestreo de Nyquist [125 146]
Deteccioacuten de RF
Sistema adaptado para la observacioacuten de la distribucioacuten de campo complejo
Receptor
oacuteptimo
Antena Reconstruccioacuten
de fuentes
Detector
logariacutetmico
Receptor
oacuteptimo
Detector
logariacutetmico
π2
ReE
ImE
a) Detector de cuadratura
Deteccioacuten de RF
Sistema adaptado para la observacioacuten de la distribucioacuten de campo complejo
Receptor
oacuteptimo Antena
Reconstruccioacuten de fuentes
Detector
logariacutetmico
ReE
H ImE
b) Utilizando la Transformada de Hilbert
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 211
puede emplearse una realizacioacuten discreta del receptor que seriacutea ideacutentico al primero para sentildeales de
banda limitada5
En la figura 54 se representa la estructura ideal de recepcioacuten seguacuten las condiciones anteriores
donde ξ(t) representa la forma de la sentildealizacioacuten (sentildeal baacutesica) T su periodo de repeticioacuten β la
distribucioacuten de amplitudes con que la sentildealizacioacuten es detectada desde cada punto del dominio de
observacioacuten que a su vez refleja la distribucioacuten de campo (en moacutedulo su componente en fase)
En caso de tratarse de una deteccioacuten de moacutedulo la secuencia emergente α seraacute proporcional a la
distribucioacuten de moacutedulo del campo a lo que podemos considerar antildeadido un cierto ruido n que
podraacute haber sido causado por el detector logariacutetmico por muacuteltiples fuentes de interferencia o por
razones teacutermicas
nEk +sdot= |ln|α (5-1)
Donde k representa una constante de proporcionalidad que podraacute ajustarse mediante calibrado (o
haciendo caso omiso de ella las distribuciones de corriente reconstruidas podraacuten aun determinarse
aunque su amplitud sea ambigua) Naturalmente la expresioacuten anterior podemos tambieacuten expresarla
de modo que la distribucioacuten decibeacutelica de amplitudes quede relacionada con la secuencia recibida
De esta forma en lugar de hablar de ruido podremos referirnos a una distribucioacuten de errores ε
respecto a la verdadera distribucioacuten decibeacutelica del campo radiado
εα +sdotprime= kdBE )(|| (5-2)
El ruido aunque podamos tomarlo en general como un variable estocaacutestica estacionaria sus
caracteriacutesticas dependeraacuten de la fuente que las haya causado No obstante siempre seraacute posible
encontrar un modelo conservador de ruido teacutermico cuyo efecto sea igual o peor que aquel que en
efecto sea el caso Por tanto podremos considerar el error como una variable gaussiana
caracterizada por una cierta varianza que dependeraacute esencialmente de la densidad espectral de
ruido
Si verdaderamente la recepcioacuten se ha realizado mediante filtrado adaptado (o mediante correlacioacuten
con la forma de la sentildealizacioacuten) y se ha muestreado en el instante oportuno entonces de acuerdo a
Kotelrsquonikov el error relativo ε2E(dB)2 seraacute miacutenimo
5 Como en realidad se asumen dos caracteriacutesticas en principio inconciliables ancho de banda finito y duracioacuten
finita y ademaacutes al cuantificar se rompe la identidad absoluta entre la sentildeal continua y la discreta estrictamente
podraacute decirse ndashparafraseando a Shannonndash que la solucioacuten numeacuterica y la continua son ideacutenticas ldquocon una
frecuencia de errores tan pequentildea como deseemosrdquo[146]
212 Capiacutetulo V
Figura 5-4 Recepcioacuten adaptada del nivel de las sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de distribuciones de moacutedulo
Muestreo y cuantificacioacuten
Habida cuenta que el instante oacuteptimo de muestreo es aquel en el que la salida del filtro adaptado sea
maacutexima la buacutesqueda de este instante podraacute hacerse mediante la indagacioacuten del maacuteximo de dicha
salida Proceso que evidentemente habraacute de ir acompantildeado de alguna comparacioacuten del nivel
absoluto de la salida para evitar el muestreo de sentildeales espurias (veacutease figura 5-4) Este nivel deberaacute
fijarse en funcioacuten de la varianza del ruido que a su vez estaacute en funcioacuten de la densidad espectral del
modelo de ruido teacutermico fijando un objetivo de probabilidad de error en la deteccioacuten de sentildeales
vaacutelidas habraacute un valor miacutenimo detectable Si el ruido puede considerarse gaussiano entonces
podremos tomar ese valor como intervalo de cuantificacioacuten que combinado con el margen
dinaacutemico a la salida del detector indica el nuacutemero de intervalos de cuantificacioacuten necesarios para el
muestreo (y asiacute el nuacutemero de bits para su codificacioacuten)
Supongamos que dadas las caracteriacutesticas formales de la sentildealizacioacuten sabemos que eacutesta tienen un
ancho de banda B De acuerdo con el teorema de muestreo [125 146] si esa sentildeal la muestreamos a
una frecuencia superior a 2B entonces la sentildeal original podraacute reconstruirse plenamente Por tanto
si en lugar de buscar una realizacioacuten continua del esquema de Kotelrsquonikov pretendieacuteramos una
discreta respetando los liacutemites del teorema de muestreo entonces el receptor oacuteptimo podraacute
efectuarse por medio de procesado numeacuterico que tenderaacute asintoacuteticamente al comportamiento del
proceso continuo a medida que se reducen los errores de cuantificacioacuten En la figura 5-5 se
representan estas dos realizaciones paralelas Donde Q representa la operacioacuten de cuantificacioacuten
+sdotminussdot+
+minussdot+
+sdot
M
M
)(
)(
)(
2
1
TMt
Tt
t
M ξβ
ξβ
ξβγsdotξ(Tm-t)
Comparacioacuten de nivel y buacutesqueda
del maacuteximo
M
M
Mα
α
α
2
1
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 213
Figura 5-5 Recepcioacuten adaptada del nivel de la sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de distribuciones de moacutedulo
Modelo de error
Si a la entrada del receptor el ruido puede modelizarse como gaussiano con una densidad espectral
de ruido unilateral η y la sentildeal baacutesica ξ(t) alcanza al receptor con una energiacutea E entonces puede
faacutecilmente demostrarse que la probabilidad de que eacutesta sea confundida con el ruido es [25 sectA-C]
(designando Q la funcioacuten de distribucioacuten normal complementaria)
=
η2EQPE (5-3)
A una probabilidad de error maacutexima le corresponderaacute seguacuten (5-3) una energiacutea miacutenima de la
sentildealizacioacuten o lo que es lo mismo un miacutenimo de amplitud que a su vez estaraacute directamente
relacionado con la intensidad de campo (eleacutectrico o magneacutetico dependiendo de la antena utilizada)
En caso de que pretendan distinguirse todos los niveles con la misma incertidumbre esa amplitud
miacutenima serviraacute para la definicioacuten de todos los umbrales de cuantificacioacuten Si el discernimiento de las
sentildeales vaacutelidas fuese criacutetico para una acertada ubicacioacuten de las medidas sobre el dominio entonces
deberiacutea imponerse un criterio para la identificacioacuten del nivel maacutes bajo y otro para valorar los errores
entre niveles consecutivos En algunas ocasiones como se veraacute en la medida del campo radiado por
el Radar Secundario podraacute usarse una parte de la sentildealizacioacuten para asegurar su validez y otra para
discernir niveles No obstante siempre podraacute estimarse a partir de (5-3) la probabilidad de que al
realizar la cuantificacioacuten eacutesta pueda confundirse en la asignacioacuten de un valor determinado Si eacutesta es
lo suficientemente pequentildea (por ejemplo el 1) estaacute justificado la utilizacioacuten de un modelo de error
cuya distribucioacuten probabiliacutestica sea uniforme y comprendida entre el valor de medio intervalo de
cuantificacioacuten y su inversa
)( kTtk minussdotξβ
Comparacioacuten de nivel y buacutesqueda
del maacuteximo
kαdt
T
sdotint0
)(o
ξ[n]
Q
)( kTtk minussdotξβ
Comparacioacuten de nivel y buacutesqueda
del maacuteximo
kα
00
][
21 LLL Pk
k kNn
ξξξβ
ξβ =minussdot sum=
P
i 1
)(o
Muestreo continuo a fmgt2B
ξ[n]
Q
a) Realizacioacuten continua del receptor oacuteptimo
b) Realizacioacuten discreta del receptor oacuteptimo
214 Capiacutetulo V
Si pudiera identificarse que en alguacuten punto o zona del dominio de observacioacuten las medidas carecen
de sentido fiacutesico por ejemplo por haber rebasado el umbral de sensibilidad del detector entonces
puede evitarse que estas medidas perjudiquen el proceso de caracterizacioacuten mediante la aplicacioacuten
de un factor de ponderacioacuten πi=0 (a dicha medida) en la matriz π que define el producto interno en
el espacio E (3-2)
54 SISTEMA DE DIAGNOSIS PARA ANTENAS DE RADAR
SECUNDARIO
Un problema especialmente apropiado para el tipo propuesto de observacioacuten es el que compete a la
caracterizacioacuten de las antenas rotatorias de los sistemas de radiodeterminacioacuten como es el caso de
los radares primarios o secundarios Atenderemos precisamente a este uacuteltimo caso ya considerado
en los capiacutetulos anteriores en el segundo capiacutetulo sect252 consideraacutebamos conocida la distribucioacuten
de fuentes y se observoacute el campo generado asiacute como la validez de la discretizacioacuten en los dominios
de fuentes y campo en el capiacutetulo anterior sect44 se valoroacute la posibilidad de detectar fallos sobre la
estructura radiante a partir de medidas corruptas por un ruido de cuantificacioacuten de plusmn05 dB (que a
su vez encubre los otros ruidos) y por las alinealidades del detector Veremos pues aquiacute la
posibilidad de hacer una observacioacuten del campo eleacutectrico vertical con tales caracteriacutesticas que a su
vez nos serviraacute para ejemplificar la arquitectura de sistema adaptado de medida antes descrita
Si la solucioacuten de sistema diagnosis que aquiacute se propone se pone en contrapunto con la rutina
empleada para el mantenimiento de las antenas las virtudes de esta propuesta aparecen
rotundamente resaltadas Veamos en primer lugar con objeto de controlar la directividad de las
antenas el experimentador suele detener la operacioacuten normal y controlar las sentildeales emitidas a
traveacutes de la antena a continuacioacuten debe alejarse hasta la zona de campo lejano (en torno a 500 m)
con un abultada y pesada instrumentacioacuten que evidentemente debe alimentar y protegerla de la
interperie Con los resultados obtenidos se comprueba si en efecto se ha producido alguna
degradacioacuten en las condiciones de radiacioacuten y valorar hasta queacute punto puede ser necesario tomar
alguna precaucioacuten adicional Hasta aquiacute la cosa no es del todo grave porque si se decidiera que
fuera necesario observar la antena en si entonces es menester detener la antena levantar un
andamio e ir midiendo con una sonda la radiacioacuten de cada columna una por una Es suficiente esta
breve descripcioacuten para imaginar el coste el tiempo y los perjuicios causados a la funcioacuten del radar
secundario que esta praacutectica supone En contraste aquiacute se propone el uso de un instrumento ligero
sencillo y econoacutemico que no requiere la interrupcioacuten del sistema y permite detectar fallos sobre la
antena a partir de las medidas de campo
Necesidades de observacioacuten para la identificacioacuten de fallos
Seguacuten se argumentoacute en sect44 la estructura de alimentacioacuten de las antenas de radar secundario SSR
ilustradas en las figuras 2-26 y 4-38 hace que la relacioacuten de corrientes verticales dentro de las
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 215
columnas permanezca estable mientras que la relacioacuten de corrientes horizontales entre columnas
resulte relativamente incierta El efecto de esta incertidumbre es no obstante de gran importancia
ya que de ello depende el diagrama de radiacioacuten acimutal y con eacutel la precisioacuten en la posicioacuten de las
aeronaves Como se indicoacute en sect44 ocurre a menudo el fallo completo de una de las columnas que
naturalmente urge identificar y cuya posibilidad ndasha partir del campo observadondash se discutioacute alliacute
En lo que respecta a los campos radiados sobre los dominios de medida este tipo de incertidumbre
en la relacioacuten de corrientes horizontales se traduce en una impredecibilidad sobre las variaciones del
campo en desplazamientos horizontales y en cambio una buena predeterminacioacuten de las variaciones
verticales Por esta razoacuten el dominio de medida debe proveer fundamentalmente variaciones
horizontales lo cual se consigue dejando al medidor fijo mientras la antena gira en condiciones
normales de operacioacuten que lo hace a razoacuten de 15 rpm [28] es decir 4 segundos por vuelta La
figura 5-6 ilustra la realizacioacuten de las medidas de acuerdo a estos presupuestos que evidentemente
corresponde a la observacioacuten sobre un dominio ideal de observacioacuten ciliacutendrica como muestra la
figura 4-39
Figura 5-6 Observacioacuten del campo radiado por la antena SSR mientras se encuentra operativa colocando
el sistema adaptado de medida en sus inmediaciones
De acuerdo con la arquitectura general de sistema adaptado para la observacioacuten del campo se
requiere un detector de radiofrecuencia y un receptor adaptado para la identificacioacuten oacuteptima de los
niveles con los que la sentildealizacioacuten es recibida Una vez que estos niveles han sido cuantificados
pueden emplearse como representantes del campo eleacutectrico sobre el dominio ciliacutendrico para su
ulterior proceso numeacuterico (en un ordenador) Por tanto externamente el sistema de diagnosis ndashcomo
muestra la figura 5-6ndash estaraacute constituido por un dispositivo de medida y un ordenador que ademaacutes
de controlar al medidor haraacute la reconstruccioacuten de corrientes sobre la antena A partir de eacutesta la
diagnosis es inminente
216 Capiacutetulo V
Sentildealizacioacuten del Radar Secundario (sentildeales de interrogacioacuten)
Como se discutioacute en sect53 una condicioacuten necesaria para la identificacioacuten del campo cuando no se
tiene control sobre las sentildeales radiadas es el uso de sentildeales determiniacutesticas cuyas caracteriacutesticas no
dependan del instante de observacioacuten sino solamente de la posicioacuten del punto de observacioacuten
relativo a la antena En el caso del Radar Secundario esto puede hacerse recurriendo a las sentildeales de
interrogacioacuten que emplea el sistema para ser captadas por las aeronaves y cuyas caracteriacutesticas
formales estaacuten representadas en la figura 5-7 Estas sentildeales consisten en raacutefagas de tres pulsos
separadas unos 22 ms que espectralmente suponen un ancho de banda de 125 MHz (veacuteanse los
tiempos de subida y bajada) Cada pulso tiene una duracioacuten de 800 ns manteniendo una separacioacuten
entre el primero P1 y el segundo P2 de 2 micros y entre el primero y el tercero P3 una separacioacuten que
variacutea dinaacutemicamente entre 8 y 22 micros Mientras que para la transmisioacuten de los pulsos P1 y P3 se
emplea la estructura de distribucioacuten antes descrita que involucra la radiacioacuten de todas las columnas
(generando un diagrama de radiacioacuten que se denomina suma) para el P2 se emplea una sola columna
frontal y otra trasera de la que hasta ahora nada hemos dicho y cuyos fallos al ser faacutecilmente
identificables no le prestaremos especial atencioacuten Puesto que las caracteriacutesticas de radiacioacuten de este
uacuteltimo par de columnas genera un diagrama de radiacioacuten denominado de Supresioacuten de Loacutebulos
Secundarios (SLS) cuyo nivel es superior al del suma fuera del loacutebulo principal la deteccioacuten de este
pulso si bien no nos sirve para la identificacioacuten de la radiacioacuten procedente del diagrama directivo
podraacute sin embargo ser de gran utilidad para la identificacioacuten de las raacutefagas de pulsos vaacutelidas
Figura 5-7 Caracteriacutesticas temporales de las sentildeales de interrogacioacuten SSR
Puesto que la observacioacuten del campo dependeraacute de las diferencias observadas en estas sentildeales las
anteriores caracteriacutesticas tendraacuten consecuencias capitales en la facultad de observacioacuten y en los
requisitos del receptor Veamos
1deg) Si se observan las diferencias en los niveles de los pulsos P1-P2-P3 la repeticioacuten de 22 ms a lo
largo de una vuelta completa de 4 s supone 1818 puntos de observacioacuten (que como puede
verse en sect252 es maacutes que suficiente no solo a tenor del teorema 3deg de muestreo sino
tambieacuten del primero)
90 V
50
10
01 micros 08 microS
01 micros
22 ms
2 microsP1
8-22 micros
P2
P3
a) Caracteriacutesticas de un pulso de interrogacioacuten b) Distancias entre los pulsos de interrogacioacuten
c) Distancia entre dos tramas de pulsos P1-P2-P3
0rsquo8 micros
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 217
2deg) Como consecuencia de la brevedad de los pulsos de interrogacioacuten y los largos intervalos de
silencio resulta tecnoloacutegicamente inviable la deteccioacuten de la fase6 y por tanto el sistema debe
centildeirse a la deteccioacuten en moacutedulo
3deg) La contingencia en la posicioacuten de P3 nos impide hacer una deteccioacuten oacuteptima de las raacutefagas P1-
P2-P3 Al no haber una forma estable en el conjunto P1-P2-P3 la deteccioacuten adaptada no puede
considerar el P3
4deg) La separacioacuten fija entre P1 y P2 y el hecho de que la suma de los niveles de ambos pulsos es
superior a un cierto valor puede emplearse para la identificacioacuten de raacutefagas vaacutelidas
5deg) Identificada una raacutefaga vaacutelida el nivel del pulso P1 estaacute en relacioacuten directa con el campo que
nos interesa conocer y por tanto seraacute el valor que se conserve para la identificacioacuten de la
distribucioacuten de moacutedulo del campo
541 Arquitectura del sistema
Como se indicoacute antes en el sistema de diagnosis pueden distinguirse tres etapas que aunque
relacionadas entre siacute tienen funciones bien definidas 1) deteccioacuten de las sentildeales de interrogacioacuten
(discutido de forma general en sect532) 2) recepcioacuten y muestreo de las sentildeales detectadas en una
vuelta completa de la antena (discutido de forma general en sect533) 3) Reconstruccioacuten de las
fuentes radiantes (ya considerado en detalle en sect442) La figura 5-8 ilustra esta arquitectura baacutesica
Figura 5-8 Arquitectura baacutesica del sistema de diagnosis para antenas de radar secundario
Dada la limitacioacuten de adquisicioacuten de soacutelo distribuciones de moacutedulo se requiere por tanto una
segunda distribucioacuten que podraacute obtenerse faacutecilmente colocando el medidor a otra distancia Asiacute la
6 Para ilustrar la dificultad teacutecnica del enganche de fase teacutengase en cuenta que una deriva de 20deg entre pulsos
separados 22 milisegundos exigiriacutea una estabilidad de 25 Hz que para una oscilacioacuten de 1030 MHz implica
un deriva de 0025 ciclos por milloacuten
Deteccioacuten de
las sentildeales SSRRecepcioacuten
oacuteptima
Reconstruccioacuten de
fuentes radiantes
Sentildeales de
Interrogacioacuten- SSR
Antena
SSR SISTEMA DE DIAGNOSIS DE ANTENA SndashSSR
Observacioacuten de la distribucioacuten de campo Reconstruccioacuten de
corrientes
218 Capiacutetulo V
operacioacuten del sistema de diagnosis esquematizada en la figura 5-9 consiste en la colocacioacuten del
medidor en las inmediaciones (por ejemplo a 30 m de la base de la antena) la adquisicioacuten de una
primera distribucioacuten de moacutedulo del campo a esa distancia la disposicioacuten del detector a una segunda
distancia (por ejemplo 100 m) y la subsiguiente adquisicioacuten de una segunda distribucioacuten de moacutedulo
del campo Una vez realizado este par de medidas el sistema procederiacutea a la reconstruccioacuten de la
distribucioacuten de fuentes (cuyos resultados se presentaron en sect44)
Figura 5-9 Operacioacuten del sistema de diagnosis
542 Circuito de deteccioacuten
Para la deteccioacuten de las sentildeales de interrogacioacuten de acuerdo con la arquitectura baacutesica esbozada en
sect532 se necesita una antena un filtro que permita el paso de las sentildeales de interrogacioacuten a 1030
MHz y un detector logariacutetmico que naturalmente habraacute de adaptarse al resto del circuito en la
frecuencia de intereacutes (como ilustra la figura 5-10) Con objeto de aumentar la portabilidad del
medidor el circuito de deteccioacuten se ha disentildeado con objeto de que pueda integrarse en una
estructura compacta Una forma de conseguirlo es hacer que la antena el filtro y el detector
logariacutetmico queden sumidos en una misma configuracioacuten biplaca como la que muestra la figura 5-
11 construida sobre un substrato de fibra de vidrio para el que se han buscado las soluciones
oacuteptimas de cada subcircuito Como puede apreciarse en la figura 5-11 esta arquitectura tiene la
ventaja adicional de aislar al circuito de deteccioacuten y proveer una cierta directividad a la antena que a
su vez ofrece un relativo rechazo a sentildeales no deseadas
Figura 5-10 Circuito de deteccioacuten de las sentildeales de interrogacioacuten
Medida en la posicioacuten 1
Medida en la posicioacuten 2
Posicioacuten relativa 1 Radiacioacuten en campo lejano
Reconstruccioacuten
de fuentes
Posicioacuten relativa 2 Diagrama de excitaciones
Filtrofc = 1030 MHzAB= 50 MHz
Adaptador Detector logariacutetmico
Recepcioacuten
oacuteptima Pulsos de
interrogacioacuten
SSR
Antenaadaptada a 1030 MHz
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 219
Figura 5-11 Configuracioacuten biplaca sobre fibra de vidrio del circuito de deteccioacuten
En la figura 5-12 se representan las caracteriacutesticas mecaacutenicas del circuito de deteccioacuten donde puede
distinguirse la configuracioacuten biplaca del circuito la posicioacuten de la antena y el ensamblaje del circuito
en la caja que lo contiene
Figura 5-12 Caracteriacutesticas mecaacutenicas del circuito de deteccioacuten
Antena y filtro
Para conseguir la integracioacuten de la antena con el resto del circuito de recepcioacuten eacutesta consiste
esencialmente en un parche y una ranura como puede verse en la figura 5-13 permitiendo esta
uacuteltima la transferencia de la sentildeal al resto del circuito Con objeto de lograr la adaptacioacuten a la
impedancia del circuito que se ha elegido de 50 Ω se han ajustado 1) la longitud de un pequentildeo
taloacuten de microtira (en circuito abierto) que excede la posicioacuten de la ranura en la placa del circuito y
2) la distancia de la ranura al borde del parche
Fibra de vidrioFibra de vidrio
Parche (antena) Circuito
Hombro para la sujecioacuten de la fibra de
vidrio
20 mm
2 times espesor de la fibra
285 mm 104 mm
Sujecioacuten de los circuitos a la caja
(dieleacutectrico)
Orificios para V+ GND y
Salida de sentildeal
Placa de antena (Fibra de vidrio y
Cobre)
Placa de circuito
220 Capiacutetulo V
Figura 5-13 Estructura de la antena e integracioacuten con el resto del circuito
Con la finalidad de conseguir que el filtro rechace lo suficiente las bandas laterales con un orden
miacutenimo para el substrato empleado (cuyas peacuterdidas son elevadas) eacuteste se hizo a base de liacuteneas
acopladas [130 sect97] En la figura 5-14 se representan sus dimensiones elegidas despueacutes de la
optimizacioacuten experimental La figura 5-15 recoge las caracteriacutesticas del filtro medidas
experimentalmente seguacuten indica la propia figura Puede observarse un ancho de banda a 10 dB de
50 MHz y a 20 dB de 133 MHz que supone un rechazo suficiente a las bandas adyacentes
Finalmente la figura 5-16 recoge los resultados experimentales de la respuesta conjunta de la antena y
el filtro para una configuracioacuten de ensayo en la que uno de los extremos estaacute constituido por una
bocina cuadrada y el otro por la antena unida al filtro Puede observarse una buena adaptacioacuten del
conjunto un rechazo a la polarizacioacuten cruzada mejor que ndash10dB y una pendiente de atenuacioacuten
fuera de banda de aproximadamente 1 dBMHz (teniendo en cuenta la respuesta del filtro fig 5-
15b es evidente que fuera de la banda de paso niacutetidamente distinguible en la figura 5-16b se
producen mecanismos de acoplo que no corresponden al trayecto investigado bocina-antena-filtro)
Figura 5-14 Filtro de liacuteneas acopladas en microtira
al resto del circuito
Parche
Ranura en la metalizacioacuten
Liacutenea del circuito de deteccioacuten (Cu) 50 Ω
Metal (Cu)Fibra de vidrio
50 Ω
50 Ω
s1
W1
s2
W2
Seccioacuten 1 Seccioacuten 2 Seccioacuten 3 Seccioacuten 4
L1
L1 = 397 mm
W1 = 355 mm s1 = 08 mm
W1 = 430 mm s1 = 49 mm
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 221
Analizador de redesEsquema de medida para
los ensayos del filtro
a) Reflexioacuten b) Transmisioacuten
Figura 5-15 Caracteriacutesticas experimentales del filtro de la fig 5-14
Esquema de medida para
los ensayos de la antena
a) Reflexioacuten b) Transmisioacuten
Figura 5-16 Caracteriacutesticas experimentales de la antena-filtro de las fig 5-13 y 5-14
Detector logariacutetmico
Una pieza clave en la observacioacuten del campo como se sentildealoacute en sect533 es el dispositivo empleado
para la conversioacuten de las sentildeales de radiofrecuencia (de las que cabe esperarse un gran margen
dinaacutemico) en sentildeales en banda base que posteriormente habraacute que muestrear y cuantificar Como
se argumentoacute entonces una solucioacuten a este problema consiste en la utilizacioacuten de detectores
logariacutetmicos como es el caso de los amplificadores logariacutetmicos [122] Uno de entre los
Analizador de redes
80 cm
20 d
B
133 MHz
1030 MHz 1030 MHz
20 d
B
85 MHz
1030 MHz1030 MHz
Componente copolar
222 Capiacutetulo V
comercialmente disponibles que responda de forma adecuada a 1030 MHz es el que se ha elegido
para la realizacioacuten del circuito de deteccioacuten Las caracteriacutesticas funcionales maacutes relevantes del
amplificador utilizado integrado en el circuito de montaje superficial AD8313 [4] estaacuten recogidas
en la figura 5-17 Como puede observarse este detector ofrece un margen dinaacutemico de conversioacuten
con un error de plusmn025 dB de unos 60 dB (seguacuten se hizo mencioacuten en sect441-Sintesis de medidas) error
que naturalmente puede reducirse (o ampliar su margen dinaacutemico hasta 65 dB) mediante calibracioacuten
de la respuesta global del circuito de deteccioacuten Como es loacutegico el amplificador para su
funcionamiento requiere de un circuito de polarizacioacuten y de otro de adaptacioacuten al filtro que se
consigue por medio de un taloacuten y un trozo de microtira Las conexiones y componentes
involucrados en el circuito de polarizacioacuten se representan en la figura 5-18 mientras que en la figura
5-19 expresa las caracteriacutesticas geomeacutetricas maacutes relevantes de todo el circuito de deteccioacuten
incluyendo por tanto la antena (parche y antena en planos diferentes) el filtro el adaptador al
amplificador y el propio amplificador (resaltado con un ciacuterculo) su circuito de polarizacioacuten y las
conexiones externas (veacutease tambieacuten fig 5-12)
Figura 5-17 Caracteriacutesticas teacutecnicas del Amplificador Logariacutetmico AD-8313
Figura 5-18 Circuito de polarizacioacuten del amplificador logariacutetmico
AMPLITUD DE ENTRADA - dBm AMPLITUD DE ENTRADA - dBm
Vs = +5 V ENTRADA ADAPTADA Vs = +5 V ENTRADA ADAPTADA
PENDIENTE Y PUNTO DE INTERCEPCIOacuteN
NORMALIZADO A +25degC
a) Caracteriacutestica de transferencia a varias frecuencias b) Transferencia y error de conversioacuten ~1 GHz
1
2
3
4
5
6
7
8
VPOS
INHI
INLO
VPOS
VOUT
VSET
COMM
PWDN
AD 8313GND
GND
GND GND
5 V
5 V
SALIDA
ENTRADA (Adaptador)
CONTROL (habilitacioacuten)
10 Ω
10 Ω 01 microF
01 microFAmplificador Logariacutetmico
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 223
Figura 5-19 Vista en planta del circuito completo de deteccioacuten
La figura 5-20 muestra los resultados de los ensayos de barrido de potencia y frecuencia seguacuten el
esquema de la propia figura Un barrido en potencia de una onda continua a 1030 MHz en el que el
nivel logariacutetmico de potencia de la sentildeal aumenta linealmente (funcioacuten que realiza el generador de
microondas) nos permite observar la caracteriacutestica de transferencia logariacutetmica y las desviaciones
respecto a la transferencia ideal Puesto que se ha ajustado el eje vertical para que la sentildeal de
sincronismo (en negro y de pendiente constante en el periodo de barrido) coincida con la salida del
detector (en rojo) la comparacioacuten de las dos sentildeales permite evaluar el error en la conversioacuten
logariacutetmica para el rango de medida Aunque en el caso representado la sensibilidad es de
258 mVdB en las condiciones de polarizacioacuten empleadas para la deteccioacuten de las sentildeales de
interrogacioacuten la sensibilidad es de 175 mVdB En cualquier caso el error de conversioacuten estaacute
acotado entre plusmn03 dB que naturalmente puede reducirse mediante calibrado Por otra parte el
barrido en frecuencia permite evaluar la selectividad espectral Tambieacuten aquiacute puede corroborarse la
pendiente de 1 dBMHz fuera de la banda 1000-1040 MHz mencionada a tenor de los
resultados antena-filtro
285 mm
104 mm
Filtro Adaptador ndash Plano de la antena
ndash Ranura ndash Plano del
circuito ndash Componentes
Amplificador logariacutetmico
SALIDA
224 Capiacutetulo V
Esquema de medida para los
ensayos del detector logariacutetmico
a) Barrido en potencia de 155 dB
b) Barrido en frecuencia de 980 a 1080 MHz
Figura 5-20 Medidas a la salida del circuito de deteccioacuten a) barrido de potencia caracteriacutestica logariacutetmica
de transferencia b) barrido en frecuencia selectividad
Respuesta global del circuito de deteccioacuten a la sentildealizacioacuten SSR
Usando el montaje de la figura 5-21 se pueden simular las condiciones de radiacioacuten frente a la
antena de Radar Secundario Una sentildeal perioacutedica constituida por pulsos con caracteriacutesticas como
los de interrogacioacuten del SSR y con periodos de silencio del orden a los que hay entre los pulsos P1
P2 y P3 modulan en amplitud la radiacioacuten que emerge del generador de onda De esta forma se
obtienen medidas como las que se muestran en la figura 5-21 En estas medidas se representan las
sentildeales procedentes del circuito de deteccioacuten (Canal 1) y las utilizadas para modular el generador de
microondas (Canal 2) Como puede observarse se produce un rizado en el flanco de subida que se
va atenuando al reducir la potencia Para evaluar la desviacioacuten de estas sentildeales con respecto a los
pulsos cuadrados empleados para el disentildeo del receptor oacuteptimo se ha discretizado un pulso con
rizado maacuteximo y se ha comparado la autocorrelacioacuten de esta sentildeal con la de un pulso perfectamente
cuadrado con el mismo nivel despueacutes de la estabilizacioacuten del rizado observaacutendose una diferencia de
un 3 De acuerdo con este resultado estaacute justificada la aproximacioacuten de los pulsos a la salida del
detector por medio de pulsos cuadrados que en el caso discreto se convierte en una simple suma de
muestras y que por tanto permite una notable simplificacioacuten praacutectica del receptor oacuteptimo
Finalmente la figura 5-22 recoge los resultados obtenidos haciendo medidas cada 10 dB seguacuten el
montaje de la figura 5-21 Puede aquiacute observarse la dependencia logariacutetmica de la salida respecto a
la entrada asiacute como pequentildeas desviaciones respecto a la transferencia ideal
Generador demicroondas
Osciloscopio
Fuente de alimentacioacuten
SINC
SINC 50 mVdiv 13 msdiv
SINC
1030990 1070
100 mVdiv 2 msdiv
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 225
Esquema de medida
para los ensayos del
circuito de deteccioacuten
a) PT = 10 dBm
c) PT = ndash30 dBm
b) PT = ndash10 dBm
d) PT = ndash40 dBm
Figura 5-21 Medidas a la salida del circuito de deteccioacuten Conjunto Transmisor (simulacioacuten de pulsos
SSR) ndash Bocina ndash Circuito de deteccioacuten Para varias potencias de transmisioacuten
0
05
1
15
2
-40 -30 -20 -10 0 10 20
Potencia RF transmitida (dBm)
Tens
ioacuten
de sa
lida
(V)
V estable V rizado
Figura 5-22 Caracteriacutestica de respuesta del circuito de deteccioacuten para la amplitud del rizado y para la
amplitud estabilizada tras el rizado
Simulacioacuten de sentildeales SSR
Generador de microondas Fuente de
alimentacioacuten
Osciloscopio Generador de onda cuadrada
80 cm
SINC
226 Capiacutetulo V
543 Recepcioacuten oacuteptima del moacutedulo de la distribucioacuten de campo
radiada por la antena SSR
Seguacuten se indicoacute en sect53 la manera de aprovechar de forma oacuteptima las sentildeales de interrogacioacuten
consiste ndashcomo mostroacute Kotelrsquonikovndash en adaptar la respuesta a la propia forma de las sentildeales por
medio de alguacuten procedimiento que remede la operacioacuten del circuito teoacuterico de la figura 5-4 En
nuestro caso como se observoacute al analizar las propiedades de las sentildeales de interrogacioacuten puede
usarse la sentildeal constituida por la combinacioacuten P1-P2 para identificar los pulsos vaacutelidos y el nivel del
P1 para poder determinar la amplitud del campo procedente del diagrama directivo de la antena
SSR Una forma de combinar estas dos operaciones teniendo en cuenta la ortogonalidad de las
sentildeales P1 y P2 consistiriacutea en la deteccioacuten adaptada a los pulsos P1 y P2 por separado junto con un
esquema de decisioacuten que considerariacutea la combinacioacuten de los dos (que sabemos garantiza unos
miacutenimos) para decidir su validez y que solamente digitalizariacutea P1 para la representacioacuten de la
amplitud de campo La figura 5-23 ilustra la estructura de este esquema continuo cuya realizacioacuten
praacutectica seriacutea evidentemente compleja pero que seguacuten se argumentoacute en sect535 puede aproximarse
mediante una realizacioacuten discreta como la de la figura 5-5b No obstante teniendo en cuenta la
equivalencia asintoacutetica de las dos realizaciones puede a partir de eacutesta y de las caracteriacutesticas del ruido
valorarse a) la probabilidad de detectar pulsos falsos y b) la probabilidad de confundir dos pulsos
P1 cuyos niveles se diferencien en 05 dB
Figura 5-23 Estructura de adquisicioacuten oacuteptima
Anaacutelisis del error de recepcioacuten de campo
Para la consideracioacuten del error se valoraraacute por una parte el hecho de no confundirnos en la
posicioacuten del dominio y por otra la probabilidad de confundir niveles separados 05 dB es decir de
que el error rebase los plusmn025 dB (en caso de que esta probabilidad sea pequentildea entonces estaraacute
justificado el uso de un modelo de error con distribucioacuten uniforme entre ndash025 dB y +025 dB)
Teniendo en cuenta las estabilidades de la direccioacuten del maacuteximo de radiacioacuten [87] de la rotacioacuten de
la antena y del periodo de repeticioacuten de pulsos una vez identificados los maacuteximos de radiacioacuten la
justa ubicacioacuten de los valores de amplitud recibidos estaraacuten a tenor de que soacutelo hayan sido
detectados pulsos vaacutelidos Por tanto un paraacutemetro para la valoracioacuten de la concordancia geomeacutetrica
de la distribucioacuten de campo detectada seraacute la probabilidad error en la identificacioacuten de pulsos
P1 normalizado
P2 normalizado
Decisor de pulsos vaacutelidos
10
Decisor de nivel del pulso P1
int sdotsmicro82
0)(
int sdotsmicro82
0)(
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 227
vaacutelidos En suma ambos errores podremos valorarlos a partir del modelo de la figura 5-23 (en
virtud de su equivalencia con la realizacioacuten discreta) el nivel de las sentildeales miacutenimas
(correspondientes a pulsos vaacutelidos) asiacute como las caracteriacutesticas del ruido (para el que se buscaraacute un
modelo gaussiano) Para ello los pulsos P1 y P2 normalizados en energiacutea pueden asumirse ndashen
primera aproximacioacutenndash como pulsos cuadrados de duracioacuten 08 micros y amplitud 1118 V al principio
o al final respectivamente de un intervalo de 28 micros (seguacuten se sentildealoacute antes la diferencia cuadraacutetica
entre los pulsos realmente detectados y esta aproximacioacuten es menor que el 3)
Seguacuten las especificaciones de ruido a la salida del amplificador logariacutetmico [4] su densidad espectral
es de 2 microVradicHz a 100 Hz y 13 microVradicHz a 10 MHz Se puede por tanto admitir un modelo
conservador de ruido a la entrada de nuestro receptor consistente en ruido gaussiano blanco de
nivel 2 microVradicHz Suponiendo un circuito normalizado (R=1) la densidad espectral de potencia del
ruido equivalente seriacutea No = 4 10-12 WHz
a) Probabilidad de detectar pulsos falsos
Consideremos por simplicidad que la falsedad de los pulsos (o raacutefagas falsas) la valoramos soacutelo a
tenor del pulso P2 en lugar de la suma de P1 y P2 La diferencia como se veraacute es insignificante ya
que el nivel de estos es suficiente para asegurar la veracidad del conjunto
Haciendo un balance de potencia que tenga en cuenta la potencia transmitida (2000 W) la ganancia
direccional de la antena (del diagrama suma para el P1 y del SLS para el P2) las peacuterdidas en el
trayecto entre antenas a una distancia inferior a 100 metros y las peacuterdidas del circuito de deteccioacuten
sabemos que puede esperarse un nivel miacutenimo del pulso P2 a la entrada del amplificador
logariacutetmico superior a -60 dBm Nivel que de acuerdo a las caracteriacutesticas de transferencia del
amplificador antes revisadas (ver figura 5-17) le corresponderaacute una salida de ~070 V mientras que
sin sentildeal la salida es de ~045 V
Usando como referencia el nivel de los pulsos normalizados P2 los anteriores valores de tensioacuten
corresponderaacuten a los niveles normalizados 0451118 = 4025 10-4 071118 = 6261 10-4 Que
equivalen respectivamente a los resultados de la convolucioacuten sin sentildeal y con un pulso P2 miacutenimo Si
todos los pulsos cuya convolucioacuten es superior a 6261 10-4 se pueden considerar vaacutelidos entonces el
umbral oacuteptimo de decisioacuten para precisar la validez o invalidez de los pulsos seraacute el punto
intermedio entre la salida sin sentildeal y con pulso P2 miacutenimo7 es decir frac12 Vs(-60 dBm) + Vs(sin
sentildeal) = 0575 V normalizando 5143 10-4 En la figura 5-24 se representa la constelacioacuten
correspondiente a las sentildeales vaacutelidas e invaacutelidas
7 Si se tiene en cuenta que la duracioacuten de los silencios (~22 ms) hace que la ausencia de pulsos sea unas mil
veces maacutes improbable la posicioacuten del umbral de decisioacuten oacuteptimo estaraacute un poco desplazado respecto al
mencionado Sin embargo al considerar las especificaciones de ruido este desplazamiento es despreciable
228 Capiacutetulo V
Figura 5-24 a) Constelacioacuten para la decisioacuten de sentildeales vaacutelidas b) Problema equivalente
En esta situacioacuten la probabilidad de interpretar por pulso vaacutelido el ruido es decir pulsos falsos es
equivalente al de error en la deteccioacuten de un pulso como el representado en la fig 418b que puede
calcularse usando la funcioacuten de probabilidad normal complementaria
0)79(1042
1080250()2
()22()2( 12
62
asymp=sdotsdot
sdotsdot==== minus
minus
QQNoEQ
NoEQdQP
oerr σ
(5-4)
Es decir podemos dar por vaacutelida la identificacioacuten de pulsos vaacutelidos con lo que en consecuencia los
errores en la concordancia geomeacutetrica de las medidas dependeraacuten exclusivamente de la
identificacioacuten del maacuteximo de radiacioacuten y de las inestabilidades antes mencionadas
b) Probabilidad de confundir dos pulsos P1 cuyos niveles se diferencien en 05 dB
Para estimar esta probabilidad podemos considerar que se trata de un problema equivalente al de
una transmisioacuten digital multinivel [148 25] en la que las sentildeales se corresponden con pulsos P1 de
niveles -70 -695 -69 -20dBm a la entrada del amplificador logariacutetmico y 055 056 057
155V a su salida La figura 419 muestra la constelacioacuten correspondiente a este caso en el que la
probabilidad de confusioacuten entre sentildeales adyacentes bajo el supuesto de ruido blanco gaussiano es
3
12
6
1081)153(2)1022
1080010(100992)2(12 minus
minus
minus
sdot=sdotasympsdotsdot
sdot=
minus= QQdQ
MMP
oerr σ
(5-5)
Figura 5-25 Constelacioacuten para la decisioacuten del nivel de los pulsos P1
En suma puede considerarse que el sistema detectaraacute solamente los pulsos vaacutelidos y la probabilidad
de confundirse 025 dB es inferior al 2 permil con lo cual estaacute justificada la admisioacuten de 025 dB como
cota superior del error en el conjunto de medidas (utilizado para la sintetizacioacuten de las medidas en
sect44)
Correlacioacuten con el P1 055 radicT 056 radicT
Umbral de decisioacuten
d2
057 radicT
Correlacioacuten con el P2
Pulsos vaacutelidos
4025 10-4 6261 10-4
Sentildeales no vaacutelidas
Umbral de decisioacuten
d2
a)
0micros 2micros 28micro
025 V P2
b)
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 229
Realizacioacuten numeacuterica del receptor oacuteptimo
Teniendo cuenta que el ancho de banda de las sentildeales de interrogacioacuten es limitado la estructura de
recepcioacuten oacuteptima para sentildeales continuas representada en la figura 5-23 podraacute remedarse
numeacutericamente si se toman muestras lo suficientemente raacutepidas Un circuito de computacioacuten de
rapidez adecuada deberaacute comparar la sentildeal muestreada con la esperada y en funcioacuten de los
resultados de esa comparacioacuten decidir si se trata de un pulso vaacutelido y de su nivel La realizacioacuten de
estas operaciones puede lograrse mediante un Procesador de Sentildeales Digitales (DSP) que ademaacutes
podraacute gobernar como muestra la figura 5-26 el proceso completo de deteccioacuten recepcioacuten
adquisicioacuten y transferencia de datos
Figura 5-26 Circuito de recepcioacuten oacuteptima y adquisicioacuten de datos
Una configuracioacuten usando dispositivos comerciales que responda a las necesidades de muestreo y
velocidad de proceso para la ejecucioacuten de las operaciones que han de realizarse es la que muestra la
figura 5-27 en la que la tarjeta conversora admite un muestreo de hasta 40 MHz [154] y el
procesador puede realizar 600 Millones de Instrucciones por segundo [155] No obstante teniendo
en cuenta que el ancho de banda de las sentildeales de interrogacioacuten es de 125 MHz seraacute suficiente un
muestreo a 25 MHz con lo que el procesador podraacute realizar 24 instrucciones entre dos muestras
consecutivas Empleando esta velocidad de muestreo se contariacutea con 18 muestras por cada pulso y
24 entre los pulsos P1 y P2 Por tanto si se almacenan las 60 uacuteltimas muestras y se hace una suma
parcial de las 18 primeras y de las 18 uacuteltimas los resultados de estas sumas parciales de acuerdo con
el modelo de pulsos cuadrados (arriba justificado) podraacuten considerarse como las convoluciones
con los pulsos P1 y P2 respectivamente A partir de estos resultados las operaciones que
completariacutean el esquema de recepcioacuten oacuteptima (figura 5-23) seraacuten
ndash Se decidiraacute que se trata de pulsos vaacutelidos cuando la convolucioacuten correspondiente al pulso P2
supere un valor umbral
ndash El momento en el que la convolucioacuten (P2) sea maacutexima se consideraraacute que es eacuteste el instante de
muestreo oacuteptimo
ndash En este instante se seleccionaraacute el resultado de la convolucioacuten correspondiente al P1 y este
valor se almacenaraacute en la memoria del procesador digital para transferirse al ordenador
despueacutes de una vuelta completa de la antena (unos 1818 valores)
Tarjeta Conversora AD raacutepida Detector de
sentildeales SSR
DSP
Convolucioacuten con pulso nominal
Nivel del pulso
(correccioacuten)
Almacena-miento en memoria
PC
25 MHz
230 Capiacutetulo V
Figura 5-27 Dispositivos empleados para la realizacioacuten del receptor oacuteptimo y esquema de conexiones
Algoritmo numeacuterico de recepcioacuten oacuteptima
Para realizar las sumas el Procesador deberaacute hacer uso de un registro de desplazamientos con 60
posiciones de memoria las posiciones de memoria 1 a la 18 (las maacutes nuevas) se consideran
correspondientes al pulso P2 y de la 43 a la 60 (las maacutes antiguas) al pulso P1 En la figura 5-28 se
representa este registro de desplazamientos y las posiciones que corresponden a cada pulso Por
tanto las operaciones que deben realizarse pueden reducirse a las especificadas en la tabla 5-1
1 Inicializar las sumas S1 S2 (resultados de la convolucioacuten) a cero cuenta = 0
2 Leer una nueva muestra e introducirla en el registro de desplazamientos
3 Actualizar las sumas S2[n] = S2[n-1] - m19 + entrada
S1[n] = S1[n-1] - salida + m43
4 Realizar las pruebas Pr1 = S2 ge Umbral2
Pr2 = S2[n] lt S2[n-1]
5 Si (Pr1= 1)y(Pr2= 1) Si (S1 ge Umbral1) almacenar S1[n-1] en la memoria de
niveles de pulsos vaacutelidos Pvaacutelido[m]
cuenta = 0 y volver a (2)
De lo contrario incrementar cuenta
6 Si (Cuenta gt 0) Si (cuenta gt 50) almacenar 0 en Pvaacutelido[m]
cuenta = 0 y volver a (2)
De lo contrario incrementarcuenta
7 Volver a (2)
Tabla 5-1
TLC 5540
D1-D8
Reloj
Habilitar
Tierra
TMS320c6711
D0-D7
Reloj
Ctrl
Tierra
+5 V GND +5 V GND
Circuito detector
(AmpLog)
+5 V GND
Circuito de muestreo y adquisicioacuten
Puerto paralelo
Conv
ersor
AD
DSP
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 231
Figura 5-28 Organizacioacuten de la memoria para la realizacioacuten de las operaciones del receptor oacuteptimo
Como se puede observar las doce operaciones por periodo de muestreo a que se reduce el esquema
anterior podraacuten realizarse con la configuracioacuten de la figura 5-27 ya que seguacuten se indicoacute el
procesador tiene la facultad de realizar hasta 24 instrucciones por muestra En lo que respecta al
resto de las operaciones la velocidad de proceso no es criacutetica siendo el ordenador central el que
gestiona por medio de interrupciones el inicio y fin del proceso de deteccioacuten oacuteptima (1) En un
primer momento es necesaria la inicializacioacuten del conversor AD definieacutendose los recursos de
memoria que se vayan a emplear a continuacioacuten (2) se inicia la recepcioacuten oacuteptima siguiendo el
esquema antes descrito (3) Cuando haya transcurrido el tiempo suficiente para que la antena de una
vuelta completa una interrupcioacuten detendraacute el proceso y a continuacioacuten (4) tendraacuten que transferirse
al ordenador los datos que hayan quedado almacenados en la memoria del procesador (DSP) (5)
Una vez se le haya aplicado a los datos la calibracioacuten del sistema de medida estos se almacenaraacuten en
un fichero A continuacioacuten se repetiraacute el mismo proceso a otra distancia para finalmente emplear
los resultados de la observacioacuten sobre los dos dominios en el proceso numeacuterico de reconstruccioacuten
de fuentes (particularizado al problema de diagnosis de las antenas de Radar Secundario en sect44)
544 Resultados del sistema de diagnosis
Los resultados experimentales mostrados en sect542 evidencian la eficacia del detector para ser
empleado en el proceso de diagnosis mientras que las conclusiones analiacuteticas de sect541 demuestran
que puede en efecto alcanzarse las calidades de medida supuestas para la sintetizacioacuten de las
medidas (sect441 donde se consideroacute un modelo de ruido superior al que cabe esperarse) Por otra
parte se ha probado la realizabilidad teacutecnica en virtud de las velocidades de procesado y mediante
un refinado del algoritmo numeacuterico Y finalmente se ha realizado una simulacioacuten completa y
detallada del sistema cuyos resultados ya han sido objeto de varias publicaciones [98 36 37 107]
que nuevamente evidencian la factibilidad del sistema de diagnosis
Por tanto y aunque por el momento el sistema completo no se haya concluido (entre otras cosas
motivado porque las instituciones a las que compete el mantenimiento de los radares secundarios
no se han mostrado activamente interesadas) es evidente su viabilidad En suma puesto que cabe
m1 m1 m18 m19 m42 m43 m44 m60 m20
P2 P1 Espacio entre pulsos
Entrada Salida
S1(n)
S2(n)
Posicioacuten de memoria donde se almacena la suma de las muestras correspondientes al P1
Posicioacuten de memoria donde se almacena la suma de las muestras correspondientes al P1
S1(n-1)
S2(n-1) Pvaacutelido[m-2] Pvaacutelido[m-1] Pvaacutelido[m]
Pvaacutelido[1]
232 Capiacutetulo V
esperarse medidas de distribuciones de moacutedulo con una calidad mejor que las que se sintetizaron
para evaluar los meacutetodos inversos los resultados recogidos y comentados en sect44 pueden
considerarse representativos para la valoracioacuten del sistema completo de diagnosis
VI CONCLUSIONES Y
LIacuteNEAS FUTURAS
ldquoTodo eso es verdad ndashdijo
a esa sazoacuten Don Quijotendash
pero no seacute a doacutende vas a
pararrdquo
Miguel de Cervantes
El ingenioso hidalgo Don
Quijote de la Mancha
Conclusiones y liacuteneas futuras 235
61 CONCLUSIONES
A lo largo del estudio de los problemas directo e inverso y el de la observacioacuten del campo
electromagneacutetico se ha llegado a numerosos y variados resultados que se han sentildealado alliacute donde
aparecieron y que aquiacute se recogen de forma condensada
1deg Se llegoacute a una formulacioacuten diaacutedica del campo en teacuterminos de las funciones de Green y de las
funciones modales
2deg Dicha expresioacuten diaacutedica permitioacute probar el isomorfismo entre las formulaciones modal y de
fuentes (corrientes)
3deg Se estudioacute el problema de la frecuencia espacial del campo engendrado por unas fuentes
acotadas lo que a su vez dio pie a la formulacioacuten de tres uacutetiles teoremas de muestreo
4deg Se acotoacute la dimensioacuten del problema electromagneacutetico por medio del segundo teorema
5deg Se estudioacute el problema de las ondas evanescentes que nos permitioacute definir para una precisioacuten
dada la separacioacuten miacutenima entre muestras independientes de las distribuciones de campo y
de corrientes
6deg Se llegoacute a una formulacioacuten discretizada y matricial del problema electromagneacutetico sobre un
espacio vectorial E de dimensioacuten miacutenima que permitioacute expresar las distribuciones de campo
engendradas por una distribucioacuten cualquiera de corrientes interior a una superficie dada Este
espacio relaciona directamente las distribuciones de campo con las corrientes sobre la retiacutecula
de dipolos de Hertz
7deg Definida una meacutetrica generalizada sobre el espacio E se encontroacute la proyeccioacuten en dicho
espacio de una distribucioacuten cualquiera de campo observado
8deg Se propusieron meacutetodos numeacutericos para abordar la solucioacuten cuando la dimensioacuten del
problema sea elevada
9deg Se definioacute un procedimiento iterativo general para la incorporacioacuten de informacioacuten adicional
que facilita la convergencia hacia la solucioacuten deseada
10deg En la discusioacuten del problema inverso sin fase se encontraron algunos errores sobre varias
teoriacuteas acerca de la ambiguumledad y unicidad de solucioacuten
11deg Se encontroacute una condicioacuten suficiente para la unicidad de solucioacuten del problema inverso sin
fase
12deg Se extendioacute el anaacutelisis del problema inverso sin fase al caso discreto y al de distribuciones
superficiales
236 Capiacutetulo VI
236
13deg Se generalizaron varios meacutetodos de reconstruccioacuten de las distribuciones complejas para su
aplicacioacuten a cualquier geometriacutea
14deg Se definioacute un meacutetodo de proyecciones sucesivas generalizado que permite incorporar todas
aquellas informaciones que facilitan la convergencia hacia la solucioacuten deseada
15deg Se definioacute un modelo de sistema adaptado de medida para la observacioacuten de sistemas radiantes
mientras se encuentran operativos
16deg Esta arquitectura junto con los meacutetodos inversos se emplearon para la configuracioacuten de un
sistemas de diagnosis de antenas de Radar Secundario cuya viabilidad ha sido demostrada
62 LIacuteNEAS FUTURAS
Una continuacioacuten inmediata del trabajo mostrado en la presente tesis consistiriacutea en la realizacioacuten
completa e integrada del sistema de diagnosis descrito en el capiacutetulo quinto (sect53) y validado en el
anterior cosa que de hecho se estaacute llevando a cabo No obstante sobre el resto de los puntos en los
que la tesis presenta especial aportacioacuten tienen cabida variadas continuaciones
ndash Una modificacioacuten draacutestica del problema consistiriacutea en la consideracioacuten de medios no
homogeacuteneos Para ello podriacutea recurrirse al sugerente planteamiento de Colton y Kress [31
sect9] permitiendo asiacute la extensioacuten a interesantes problemas electromagneacuteticos
ndash Podriacutea dedicarse maacutes detalle a la comparacioacuten de la teoriacutea de muestreo presentada y los
resultados de otros autores como son los de Bucci y colaboradores [18 21 22]
ndash La manera en que se ha considerado discretizados los dominios ha quedado abierta aunque
esta se haya definido con objeto de que cumpla ciertas caracteriacutesticas ideales Existe muy
diversa bibliografiacutea sobre este asunto cuya comparacioacuten y conveniencia cabe discutirse (pej
en [24] puede encontrarse una sucinta relacioacuten de meacutetodos y autores)
ndash Seriacutea interesante la consideracioacuten de un mayor nuacutemero de casos para el estudio de la
aplicabilidad de los criterios de sobremuestreo obtenidos en el estudio de las ondas
evanescentes asiacute como la comparacioacuten de eacutesta con los empleados por diversos autores (pej
[58 49])
ndash La cuestioacuten de la dimensioacuten esencial del problema cabe tambieacuten abordarse como propone
Barakat [14] desde el punto de vista del moacutedulo de los valores singulares del operador lineal
de transformacioacuten T
ndash En lo relativo a la reduccioacuten del coste operacional de problemas inversos superficiales una
draacutestica simplificacioacuten consiste en poder descomponerlo en dos problemas unidimensionales
Se ha mencionado el caso plano que es el maacutes trivial pero podriacutean considerarse otras
Conclusiones y liacuteneas futuras 237
geometriacuteas en las que la utilizacioacuten de aproximaciones o planteamientos iterativos permiten
un tratamiento unidimensional del problema superficial [95 96 97]
ndash En la resolucioacuten del problema inverso cabe estudiarse la velocidad en la obtencioacuten de la
solucioacuten de diversas teacutecnicas numeacutericas a la manera de los estudios de Fienup [46] Saxton
[142] Hayes [61] o Ivanov [78]
ndash Podriacutea buscarse una aplicabilidad de los teoremas de Hayes [62] Sanz [138] y Barakat [13]
para la buacutesqueda de condiciones alternativas para la unicidad de solucioacuten (es presumible que
estas presupongan una restriccioacuten de la fase sobre las distribuciones de fuentes)
ndash Puede faacutecilmente demostrarse que mediante la observacioacuten del campo utilizando dos antenas
suficientemente distintas se garantiza tambieacuten la unicidad de solucioacuten del problema inverso
sin fase (la demostracioacuten es similar a la sect3318) Este caso podriacutea considerarse en detalle y en
consecuencia proponer un meacutetodo consistente en la exploracioacuten del campo mediante una
antena de agrupacioacuten reconfigurable
ndash En lo relativo a la observacioacuten del campo electromagneacutetico la consideracioacuten de la correccioacuten
de sonda [168 88 89 17] puede resultar de gran intereacutes como asiacute lo prueban sus virtudes
teacutecnicas
ndash La aplicacioacuten del problema inverso a las medidas de compatibilidad electromagneacutetica es otro
asunto de gran intereacutes [33 96 100 140 85 86] al que atantildeen una serie de aspectos en los que
aun cabe ahondar como es el caso de los dominios de observacioacuten [33] del muestreo
temporal y frecuencial [22] o la compensacioacuten del entorno de medida [17]
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