Critérios de Paralelismo e Perpendicularidade. Reta paralela a um plano Se uma reta r é paralela a outra reta contida num plano , então a reta r é paralela.
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Critérios de Paralelismo e
Perpendicularidade
Reta paralela a um plano
Se uma reta r é paralela a outra reta contida num plano , então a reta r é paralela ao plano .
Reta paralela a um plano
r
sr // s e r
Então
s //
Paralelismos entre planos
r
s
Se um plano é paralelo a duas retas concorrentes de um plano , então e são paralelos.
Paralelismos entre planos
r
s
Se um plano é paralelo a duas retas concorrentes de um plano , então e são paralelos.
r e s são retas concorrentes do plano
r,s // , logo //
Planos paralelos a um terceiro
Dois planos distintos paralelos a um terceiro, logo os planos são paralelos entre si.
Planos paralelos a um terceiro
e são planos distintos
// e //
logo //
Perpendicularidade entre reta e plano
r
s
t
Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano então a reta é perpendicular ao plano
• s e t são retas concorrentes do plano .
• r s e r t
Então r
Perpendicularidade entre planos
rA
BC
DE• r ABC
• r AED
ABC AED
Se um plano contém uma reta perpendicular a outro plano então os planos são perpendiculares entre si.
Perpendicularidade entre planos
• t
• t
Intersecção de um plano com outros dois planos paralelos
entre si
s
r
Um plano corta planos paralelos segundo retas paralelas.
//
intersecta e segundo retas paralelas
r // s
ExercícioA figura junta representa um paralelepípedo retângulo. M e N são os pontos médios
dos segmentos [ AE ] e [ BF ], respetivamente.a) Determina todos os retângulos de vértices nos vértices do paralelepípedo, que não sejam faces do mesmo.b) Indica três arestas perpendiculares duas a duas.c) Indica três arestas não complanares duas a duas.Que posição relativa tem cada dessas arestas em relação às outras duas.d) Justifica que FG é ortogonal a EB.e) Mostra que MN é ortogonal ao plano ADE e ortogonal a BG.f) Mostra que os planos DHG e CBF são perpendiculares.Justifica que os planos EAB e HGC são paralelos.
H G
C
B A
E
D
F
M - -N
AS alíneas que se seguem referem-se ao cubo da figura.
a) Mostra que PS é ortogonal ao plano ao plano ORU
b) Mostra que QV é ortogonal a OR e RU. Investiga, em seguida, se QV e OU são ou não ortogonais.
Verdadeiro ou falso.
RS e PR são perpendiculares. O triângulo [ PRV ] é retângulo. As retas RT e SQ são secantes. As retas RT e SQ são ortogonais. Os planos OTV e UPR são paralelos.
Justifica as afirmações verdadeiras e corrige as falsas de modo a torná-las verdadeiras
O P
Q
UV
S T
R
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