Aula 6 Aula 6 Ótica geométrica (complementos) Ótica geométrica (complementos) Referência: E. Hecht, óptica, Fundação Calouste Gulbekian, segunda edição portuguesa (2002); Óptica moderna – Fundamentos e Aplicações S. C. Zílio (e-book) -Desenho e Fabricação Óptica – S. C. Zílio (e-book) -Internet -Artigos RBEF, The Physics Teacher, Physics Education, American Journal of Physics, European Journal of Physics, etc...
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Aula 6 Ótica geométrica (complementos)toni/otica6.pdf · A partícula entrando na lente paralela ao eixo ótico segue uma linha reta até o plano principal P 2, onde a trajetória
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Referência: E. Hecht, óptica, Fundação Calouste Gulbekian, segunda edição portuguesa (2002);Óptica moderna – Fundamentos e Aplicações S. C. Zílio (e-book)-Desenho e Fabricação Óptica – S. C. Zílio (e-book)-Internet-Artigos RBEF, The Physics Teacher, Physics Education, American Journal of Physics, European Journalof Physics, etc...
Na aula anterior estudamos a teoria paraxial aplicada a sistemas de lentes esféricas e delgadas. Duas aproximações foram realizadas:
1- todas as lentes eram delgadas;
2- A teoria de primeira ordem era suficiente para a sua análise;
Sistemas óticos reais que exigem precisão, no entanto, não são compatíveis com estes pressupostos.estes pressupostos.
LENTES ESPESSASLENTES ESPESSAS
Foco objeto
Planoprincipal objeto
Veremos que uma lente espessa pode ser encarada como um conjunto de lentes delgadas
Fo
H1
V1
LENTES ESPESSASLENTES ESPESSAS
Plano principal imagem
Foco imagem
Veremos que uma lente espessa pode ser encarada como um conjunto de lentes delgadas
H2
Fi
V2
OS SEIS PONTOS CARDINAIS (2 focais, 2 principais e 2 nodais)OS SEIS PONTOS CARDINAIS (2 focais, 2 principais e 2 nodais)
Pontos principais objeto e imagem
H2
Fi
H1
Fo
Pontos focais
PONTOS NODAIS PONTOS NODAIS
N2N1 O
Centro ótico
Numa lente imersa num meio único,
normalmente o ar, os pontos nodais
(N1 e N2 ) e os pontos principais (H1e H2 ) coincidem
Nas lentes simétricas, os planos principais se distribuem simetricamente
Regra útil: para lentes de vidro no ar, a
separação H1 H2 é aproximadamente igual
a um terço da espessura V1 V2
A lente plástica plana de um retroprojetor pode ser usada para figuras cômicas
Formulação MatricialFormulação Matricial
Ideal para descrever sistemas com muitos elementos óticos
Y
θeYYi
θiYe
Ye = S11 Yi + S12 θiθe = S21 Yi + S22 θi
ie
i
i
e
e
RSR
Y
SS
SSY
=
=
θθ 2221
1211
innn RSSSR 11....−=
Ex. Matriz S para uma lente positiva
s
s’
ffd
d’
s
objeto
imagem
Na aproximação paraxial, d e d’ são muito menores do que f
Para o raio 1: Yi = Ye = +d’ , θi ≈ d’/f, θe = 0Para o raio 2 :Yi = Ye = -d , θi =0, θe ≈ d’/f
s
s’
=
=
f
dd
SS
SSd
Y
SS
SSY
i
i
e
e
''
0
'
2221
1211
2221
1211
θθ
raio 1
raio 1
ffd
d’
s
objeto
imagem
θi
raio 2
−
=
−
0'
2221
1211 d
SS
SS
f
dd
raio 2
−= 11
01
f
S
Temos, então:
aberraçõesaberrações
−+−=!5!3
53 θθθθsen
Teoria de terceira ordem
Paraxial ou primeira ordem
Os desvios em relação à teoria de primeira ordem dão origem às aberrações primárias.
Aberração esféricaAberração esférica: consiste na dependência da distância focal com a abertura para raios não paraxiais.
hC F
R
Aberração esférica longitudinal
Foco paraxial
R
−+
++
−=+
2
2
2
121221 11
2
11
2 iiooio sRs
n
Rss
nh
R
nn
s
n
s
n
Termo adicional
Coma:Coma: aberração primária monocromática, que degrada a imagem de objetos pontuais não axiais. A origem do coma reside no fato de que os “planos” principais só são realmente planos na região paraxial, sendo de fato superfícies curvas.
Planoprincipal objeto
Fo
Foco objeto
H1
V1
A distância focal efetiva varia quando se consideram raios que atravessam a lente em posições não axiais. Quando a imagem se forma sobre o eixo ótico, esta situação é irrelevante; no entanto, para feixes de raios oblíquos e imagens não axiais, o coma torna-se bem visível.
Ótica da partículas carregadasÓtica da partículas carregadasRefração de um feixe de partículas
dE = 0 E = 0
θr
v2y = v1y
v2x
V1V1 V2 V2
θi
θr
E = (V2 –V1)/d
v1x
v1y
Supondo que o elétron foi acelerado a partir do repouso
q(V1 –Vo )= ½ mv12
senvsenv θθ =
dE = 0 E = 0
θi
θr
v2y = v1y
v2x
Quando cruza a superfície equipotencial, a componente tangencial de sua velocidade (vosenθi) não mudará, mas a componente normal (vocosθi) mudará para vocos(θr). Então
ri senvsenv θθ 21 =V1
V1 V2 V2
E = (V2 –V1)/d
v1x
v1y
2
1
2
1
2
1
)(
)(
n
n
VV
VV
v
v
sen
sen
o
o
r
i =−
−==
θθ
Analogia com lentes óticas
+
+
-
-
+
+ +
++
+
-
-
+
+ +
+
Ótica de partículas em campos axialmente simétricos Ótica de partículas em campos axialmente simétricos
Na ausência de campos magnéticos, a equação do movimento de uma partícula carregada e escrita como
xq
dt
xdm
∂∂
=φ
2
2
xq
dt
xdm
∂∂
=φ
2
2
xq
dt
xdm
∂∂
=φ
2
2
Na ausência de fontes, a equação de Lapace pode ser escrita como
02
2
2
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
zyx
φφφ
De modo geral, não há solução analítica para a maioria dos casos, mas pode-se resolver numericamente. A maioria das lentes eletrostáticas, sao feitas por campos elétricos com simetria axial, obtidas por tubos ou aberturas cilíndricas.
Lente eletrostática consistindo de dois tubos cilindricos. a) representação esquemática, b) o potencial e sua segunda derivada, c) analogia com a ótica geométrica.
Solução numérica: Método da relaxação
2 22
2 2U U U
x y
∂ ∂∇ = +
∂ ∂
∂ ∆ ( , ) ( , )2 2Ux y Ux xx y−+∆ ∆−UUx x
∂ ∆≈
∂ ∆
( , ) ( , )2 2Ux y Ux xx y
x
−=
+∆ ∆∆
−
Segunda derivada
2
2U
x
∂∂
( 2, ) ( 2, )U x x y U x x y
x x
∂ + ∆ − −∆ = ∂ ∆
Vamos calcular o primeiro termo da expressão acima:
1( 2, ) ( 2, )U x x y U x x y
x x x
∂ ∂ = + ∆ − −∆ ∆ ∂ ∂
( 2, )U x x yx
∂+ ∆
∂
Vamos calcular o primeiro termo da expressão acima:
1( , ) ( ( , ) ( , ) ( , ) ( , ))
4U x y U x y U x y U x y U x y= + ∆ + + ∆ + −∆ + −∆
(x,y+∆)
(x,y) (x+∆,y)(x-∆,y)
(x,y-∆)
Representação de uma lente espessa
F2
P
objeto
imagem
Plano de referência
P2P1
F2
P
objeto
imagem
Plano de referência
P2P1
Plano principal
F1
f1f2
F1 F2
Q
F1
f1f2
F1 F2
Q
Plano principal
A partícula entrando na lente paralela ao eixo ótico segue uma linha reta até o plano principal P2, onde a trajetória é refratada de tal modo que passa pelo ponto focal F2.
A partícula passando pelo ponto focal F1 segue uma linha reta até o plano principal P1e é então refratada de tal modo que deixa a lente paralela ao eixo ótico.
Trajetórias paralelas na entrada, se cruzam no ponto focal F2.
Algumas relações úteis podem ser obtidas a partir da lente espessa: