Cours systèmes asservis [Mode de compatibilité]
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1
Systèmes asservis
Philippe FEYEL
2
Plan du cours Systèmes asservis – Approche fréquentielle classique (continue)
Outils mathématiques et théorèmes TD1
Lien entre boucle ouverte et boucle fermée Précision de systèmes bouclés La correction série / la correction PID De l’influence du retard pur… Système à 2 intégrales TD2
Structure de commande Bouclages en cascade Correction par anticipation
TD3 (bilan du continu)
Commande numérique des systèmes à partir du continu TD4
Commande numérique des systèmes - Approche numérique polynomiale Structure R,S,T TD5
Bibliographie
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
Macro planning de référence
Séance 1 - Outils mathématiques, boucle ouverte et précision + TD1 - S0 --> S35 Séance 2 - La correction série + TD2 - S36 --> 60 Séance 3 - TD2 Séance 4 - Structure de boucle + TD3 - s61 --> s84 Séance 5 - Commande numérique à partir du continu + TD4 - s85 --> s117 Séance 6 - Commande numérique polynomiale + TD5 - s118 --> s147 Séance 7 - marges
Sconce 8 – EXAMEN ECRIT
3Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
4
Introduction
Module Systèmes AsservisApproche fréquentielle
Module Commande des systèmesApproche dans l’espace d’état
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5
Outils mathématiques et théorèmes
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
6
A quoi sert un bouclage ?
On emploie un bouclage pour : Stabiliser un système qu’on connaît potentiellement mal, Augmenter la précision d’un système, Augmenter la rapidité d’un système, Rejeter des perturbations.
Vocabulaire : Asservissement = suivi de trajectoire Régulation = maintien d’une grandeur constante
On ne peut être plus précis que le capteur de mesure !
CorrecteurSystème
incertain
Capteur
Perturbations
Consignes
Mesures
Régulateur
Commande Sortie
Actionneur
Ecart
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7
Transformée de Laplace Définition mathématique simplifiée :
A quoi ça sert ? les opérations « temporelles » s’expriment très simplement en Laplace
Linéarité
Retard
Translation sur s
Dérivation par rapport à t
Intégration par rapport à t
Convolution temporelle
0( ) ( ) , , 2stX s x t e dt s s j j f
∞ −= ∈ = σ + ω = σ + π∫ ℂ
)()()()( sBYsAXtBytAx +→+
( ) sesXtx τ−→τ− )(
)()( asXtxe at +→−
( ) ( )+−→ 0xssXdt
dx
s
sXduux
t )()(
0→∫
( ) )()()()()()()(0
sUsHsYdtuhthtutyt
=→θθ−θ=∗= ∫Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
8
Exemples de signaux usuels
);1/(1
);'('tf
:
+==
sH
ss
Matlab
));1/(1,'('
);'',0(poly
:
+==
scsyslinH
ss
Scilab
Notations de la variable de Laplace : - p pour les francophones,- s pour les anglosaxons.
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9
Représentation des systèmes linéaires et invariant (SLI)
Réponse impulsionnelle (convolution) :
Transmittance (ou fonction de transfert) :
Equations différentielles :
NB : La physique impose que m ≤ n
Réponse harmonique :
( ) ∫ θθ−θ=∗=t
dtuhthtuty0
)()()()(
( ) )()()()()( sUsHsYthtutyLaplace
=→∗=
)()(
)(
)(...)()(...)(......
0
0
0000
sH
sa
sb
sU
sY
sUsbsUbsYasYsadt
udbubya
dt
yda
n
j
jj
m
i
ii
mm
nn
Laplacem
m
mn
n
n
==
⇔
++=++→++=++
∑
∑
=
=
( ) ( )
( )ω=
ω=Φω=
Φ+ω=→ω=
js
jH
UjHY
tYtytUtusH
:TLlaetFTlaentrelien
)(arg
)(
sin)(sin)(
00
000
000)(
00
Zéros de H = racines du numérateur
Pôles de H = racines du dénominateur
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
10
Exemple inertie motorisée Composition des vitesses :
Equations de la mécanique :
Equations électromécanique :
Equations de couples :
Js
s
Js
sCsttCtJ mot
aLaplace
mota)()(
)()()()( secsec
Γ−=Ω⇒Γ−=Ω⋅
LsR
sKsUsItK
dt
diLtRitu re
Laplacere +
Ω−=⇒Ω++= )()()()()()(
)()()()( sIKsCtiKtC cmotLaplace
cmot =⇒=
)()()()()()( sssttt parLaplace
par Ω−Ω=Ω⇒Ω−Ω=Ω
LsR+1
cKJs
1
eK
U I motC
secΓ
pΩ
aΩ
rΩ
u
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11
Outils graphiques – exemple ordre 1
43121
4321
10 ,
1111
1
)( ddndd
dddd
n
ssss
s
HsH ω<ω<ω<ω<ω
ω−
ω+
ω+
ω+
ω+
=
1dω 2dω 1nω3dω 4dω
)1(−
)2(−
)1(−
)2(−
)3(−
°−180
°− 90
°0
0H
H
HΦ
ωlog
1dω 2dω 1nω3dω 4dω
)1(−
)2(−
)1(−
)2(−
)3(−
°−180
°− 90
°0
0H
H
HΦ
ωlog
Im(H)
Re(H)0-1
1dω
2dω
HΦ
H
Im(H)
Re(H)0-1
1dω
2dω
HΦ
H
Bode Black-Nichols Nyquist
)(bode
:
H
Matlab
)(nichols
:
H
Matlab
)(nyquist
:
H
Matlab
+/- 180°par signe -1 sur gain statique
+/- 90°× n en fonction du signe du pôle/zéro et de sa multiplicité n
HΦ
H1dω
2dω
1nω
3dω
4dω
0H
HΦ
H1dω
2dω
1nω
3dω
4dω
0H
-180° -90°
dB
dB
( )
π
ω=
=
−
2
log20
1.
10
sradHz
dB
f
HH
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Outils graphiques – exemple ordre 2
211
22
2
2
22
1
2
1
1
21
2
1
1
0 ,2
12
1
21
)( ddn
dd
d
dd
d
nn
n
ssss
ss
HsH ω<ω<ω
ω+
ωξ+
ω+
ωξ+
ω+
ωξ+
=
)(bode
:
H
Matlab
+/- 180°par signe -1 sur gain statique
+/- 180°× n en fonction du signe du pôle/zéro et de sa multiplicité n
2dω
)2(−
°−180
H
HΦ
ωlog
1dω 2dω
)(+
°−180
H
HΦ
ωlog
(0)
(-2)
ωn1
0°
180°
1<ξ1≥ξ
ω+
ω+=
ω+
ωξ+
212
211
21
ssssCf cas précédent
dBH0dB
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TD1 - Exercice 1
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Tracer (à la main) le diagramme de Bode des transferts suivants :
Indice : Commencer par le tracé asymptotique…
+
+
+
+−=
+
−=
++
=
+=
2001
5001
1001
101
)(
101
101
)(
1100
4.1
100
1)(
101
1)(
4
3
2
22
1
s
s
s
s
ssH
s
s
sH
ss
sH
ssH
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TD1 - Exercice 2
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On a mesuré la réponse fréquentielle d'un processus à différentes fréquences, etl’on a obtenu le diagramme de Bode représenté ci-dessous.1. Trouver une expression de la fonction de transfert du processus valabledans la gamme de fréquence considérée.2. Tracer le diagramme de Black-Nichols correspondant
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Grands théorèmes
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Grands théorèmes Théorème de la valeur finale Théorème de la valeur initiales
Théorème de stabilitéH(s) est stable ssi ses pôles sont toutes à partie réelles strictement négatives
Principe de superposition (pour les SL)
)(lim)(lim0
txssXts ∞→→
=
<⇔
<=⇒=
∑
∑
∑=
=
=
0 Re() àsont de pôles les
0Re()àtoutessont0deracinesles
)( 0
0
0
H
sa
sa
sb
sH
n
j
jj
n
j
jj
m
i
ii
e1
e2
s1
s2
λ1e1+ λ2e2 λ1s1+ λ2s2
H
H
H
)(lim)(lim0
ppXtxpt +∞→→
=+
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Lien entre la boucle ouverte et la boucle fermée
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Allure générale d’une BO
La boucle ouverte (BO) s’écrit :
La boucle fermée (BF) s’écrit :
β(s)
µ(s)E Yε
)()()(
)()( ss
s
sYsH m
BO βµ=ε
=
)(
)()(
)()(1
)()(
)(
)()(
sE
sYs
ss
ss
sE
sYsH m
BF β=βµ+
βµ==
Ym
)(1
)()(
sH
sHsH
BO
BOBF +
=
1)(si1)( >>≈ sHsH BOBF
1)(si)()( <<≈ sHsHsH BOBOBF
)(sHBO
)(sHBF
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Etude la stabilité par examen de la BO
Stabilité de la BF⇔
L’équation caractéristique 1 + H BO(s) = 0 n’a pas de racine à Re() ≥ 0
)(1
)()(
sH
sHsH
BO
BOBF +
=
Il existe des critères algébriques comme le critère de Routh pour analyser la stabilité de la BF mais :
- Ils sont complexes à mettre en œuvre, - Ne permettent pas d’apprécier le degré de robustesse vis-à-vis de
l’instabilité.
Critère graphique
)(isstable
:
H
Matlab
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20
Etude la stabilité par examen graphique de la BO
Issu du théorème de Cauchy :
Si un point M d’affixe s décrit dans le plan complexe un contour fermé C dans le sens des aiguilles d’une montre, entourant P pôles et Z zéros d’une fonction A(s) de la variable complexe s, alors l’image du point M par l’application A(s) entoure (Z – P) fois l’origine (contour orienté dans le même sens)
Application directe avec A(s) = 1 + H BO(s) et C = demi-plan droit
==
3
5
P
Z)(sA
Im
Re
C
Odeautour
tours2=− PZO
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21
Critère de Nyquist
La BF est stable si 1+HBO n’a pas de zéros instables⇔
Le lieu de Nyquist de la boucle ouverte HBO : - ne passe pas par -1, - fasse autour de -1 un nombre de tours égal au nombre de pôles de HBO à Re() > 0
(car on ne veut pas que 1 + HBO(s) ait des Z instables, ie Z = 0)
==
3
5
P
Z
)(1)( sHsA BO+=
Im
Re
C
Odeautour
tours2=− PZ
O
)(1 sHdeNyquistdeLieu BO+
)(deinstables)(pôles)(1deinstables)(zéros
)(deinstables)(pôles)(1deinstables)(pôles
sHsH
sHsH
BFBO
BOBO
=+=+
1-deautour
tours2=− PZ
-1
)(sHdeNyquistdeLieu BO
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Interprétation graphique Dans le cas où la boucle ouverte est stable ie P = 0, (hormis la présence
d’intégrateurs purs) le lieu de Nyquist laisse le point -1 à gauche quand les fréquences croissent.
Plan de Black-Nichols Plan de Bode
ImRe
-1
ImRe
-1
ω = 0
ω = ∞ ω = ∞
ω = 0
Instable en BFStable en BF
HBO HBO
| |dB
Φ
ω = 0
ω = ∞
(-180°, 0dB)
-180°
| |dB
Φ
ω
ω
HBO
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Marge de sécurité ou de stabilité Pour évaluer la robustesse (en stabilité) d’un bouclage, on quantifie la distance ou
l’éloignement par rapport au point -1 par : La marge de gain ∆G exprimée en dB La marge de phase ∆Φ en °
Plan de Black-Nichols Plan de Bode Plan de Nyquist
| |dB
Φ
ω = 0
ω = ∞
(-180°, 0dB)
-180°
| |dB
Φ
log ωHBO
dBG 6
45
>∆°>∆Φ
dBG∆
∆Φ
∆Φ
dBG∆
( )GsHesHsH j ∆= ∆Φ∆ )(,)()(pourstabilité
( ) ( )( )( )
dBc
dBH
bodBbo
j
jHGjH
G
bo
0
0
18010180
BOenpassantebande
180
log201
ω==ω
°+ωΦ=∆Φ
ω−=∆⇒ω
=∆ °−°−
généralen
Im
Re
ω = 0HBO
G∆1
∆Φ01−
)(margin
:
H
Matlab
Bande passante ωc
Bande passante ωc
Bande passante ωc
log ω
)(p_margin
)(g_margin
:
H
H
Scilab
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24
Spécification de réglage sur la BF Même pour les systèmes d’ordre élevé, on assimile souvent la BF à un deuxième
ordre de type :
Lien avec le temporel : relation temps de montée, amortissement, bande passante en BF, dépassement
Spécification temporelle en BF Spécification fréquentielle en BF Spécification fréquentielle en BO
2
200
1( )
21
BFH ss
s
=ξ+ +
ωω
21
20 ,1
ξ−
πξ−
=ξ−
π=×ω eDTm
0 à spécifieretξ ω
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25
Critères de réglage simplifiés sur la BO On voit que :
Relation marge de phase / amortissement
Relation bande passante en BO / temps de réponse
( )ss
K
τ+1
ω=ξτ
=ω
τ++=
K
K
sKK
ssHBF
2,
1
1)(
020
2
3≈×ω mc T
4,045
7,060
=ξ⇒°=∆Φ=ξ⇒°=∆Φ
( )7,04,0pour <ξ<Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
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Précision des systèmes bouclés
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Suivi de consigne / rejet de perturbations
1µ 2µ
β
E Y
Γ
ε
)()()( sss E Γε+ε=ε
BO
E
HE +=
βµµ+=ε
1
1
1
1
consignedesuivi
21BOH+
βµ−=βµµ+
βµ−=ΓεΓ
11
nspertubatioderejet
2
21
2
Principe de superposition
Pb indépendants
Classe de problèmes :
échelon (n=1), rampe (n=2),…
ens
EsE 0)( →
bnss 0)(
Γ→Γ
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Précision statique Le problème de précision statique consiste à s’assurer que :
01
lim1
0
0=
+
−
→ BO
n
s Hs
Ee
01
lim21
0
0=
+
βµΓ
−−
→ BO
n
s Hs b
0)(lim =ε∞→
tEt
0)(lim =ε Γ∞→t
t
Théorème de la valeur finale
0)(lim0
=ε Γ→ss
s0)(lim
0=ε
→ss E
s
Ne peut s’annuler que si… enBO
sH
1∝bb nBOn s
Hs
111 ∝⇒∝µ
C’est-à-dire que La BO doit disposer
d’un nombre d’intégrateurs au
moins égal à l’ordre de la consigne
La BO doit disposer d’un nombre d’intégrateurs au moins égal à l’ordre de la perturbation en amont de
celle-ci Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
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Précision dynamique – sinusoïde équivalente Problème : limiter l’erreur dynamique de suivi à εmax pour une consigne e(t)
telle que :
Il suffit de choisir un signal équivalent
( )
max
max0
max
2max
0
00
,
sin)(
v
vE
tEte
γ=ωγ
=
ω=
max2
2
max, γ≤≤dt
edv
dt
de
εγ=
ε≥⇒ε≤ε ω=
>>ω<<ω maxmax
2max
max
0
1
max00
vEH
jsBO
HBO
c
µ
β
E Yε
( )
01
sin)(
00
000
ω=+=ε
Φ+ωε=ε
jsBO
e
H
E
tt
0ω
maxmax
2max
εγv
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
30
Problème : Quelle est l’interprétation fréquentielle de « borner en absolue un signal ε(t) à εmax » ?
∫∫∞+
ω−∞+
ω−
ω−ω−
ω−−
ε≤ε
⇒
ε≤ε
⇔
>ω≥ε≤ε⇒≥ε≤ε
0max
0
max
maxproblèmesous
max
)(
)(
petit0,0,)(0,)(
dtedtet
eet
tettt
ttj
ttj
t
ωε=εε≤ε=ε ∫∫∫
∞+ω−
∞+ω−
∞+ω−
ω=max
0max
00
,)()()(
:Et
dtedtetdtets ttjtjjs
ωε≤ε
ω=max)(
jss
.sommable.. pas
Attention : cela donne une condition nécessaire pour ε(s) mais ne constitue pas un démonstration rigoureuse…
...petit0pour >ω
stabilitéde
hypothèse
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31
Précision dynamique – suivi de consigne : cas général
Problème : limiter l’erreur dynamique de suivi à εmax pour une consigne e(t) quelconque :
)(sE
)()( sEteLaplace⇒
µ
β
E Yε
)(1
)()(
sH
sEs
BOe +
=ε
ωε≤ωε⇒≥∀ε≤ε max
max )(0,)( jtt ee
)()()(1
)(
max1)(
max ωε
ω>>ω⇒ω
ε≤ω+
ω>>ω
jEjHjH
jEBO
jHBO BO
Rappel : il s’agit de l’erreur crête. Th de la valeur final pour annuler l’erreur statique
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32
Exemple : estimation de la BP pour le suivie de consigne
( )
=ω
=ω ω
aT
jH
c
jBOc
/1
1)(
( )
=+
+°=∆Φ=
=a
Ts
aTs
poura
aTs /11
1
455,4
ω=++
ωε→ω=
jsBO Ts
aTsjH
1
12)(:BPladevoisinageau2,npour
2max
aTc1
=ω
max
4/1 2
ε=ω ac
1
!)(,...3,2,1,0,)( +=⇒=≥=
nLaplace
n
s
nsEnttte
µ
β
E Yε
nBOn
jHωε
>>ωmax
!)(
maxε
tte =)(
Rappel : il s’agit de l’erreur crête. Th de la valeur final pour annuler l’erreur statique
cω
Attention : Cela n’est qu’une conséquence de la gabarisation, pas un objectif !
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33
La bande passante, un objectif de réglage ?
La bande passante atteinte n’est qu’une conséquence de la gabarisation de la BO en basse fréquence
Elle ne constitue donc pas à elle seule un objectif de réglage
Bandes passantes identiques mais performance et robustesse très différentes
Réglage très performant et peu robuste
Réglage peu performant et très robuste
|BO|
ω
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34
Précision dynamique – rejet de perturbation : cas général
ωε≤ωε⇒≥∀ε≤ε ΓΓ
maxmax )(0,)( jtt
ω=>>ωΓ
εβωµ>>ω⇒
ωε≤Γ
+βµ
jsBO
jHBOjH
H BO max
2
1)(
max2 )(1
1µ 2µ
β
Y
Γ
ε
)(1
)( 2 sH
sBO
Γ+
βµ−=εΓ
Rappel : il s’agit de l’erreur crête. Th de la valeur final pour annuler l’erreur statique
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
35
Exemple : estimation de la BP pour le rejet de frottements
ω=Γ ε
Γ>>ω⇒≥∀ε≤εjs
BOJs
jHtt2
max
secmax )(0,)(
)(sK2
1
Js
Y
ssecΓ=Γ
ε
)(1
)( 2 sH
sBO
Γ+
βµ−=εΓ
( )
=ω
=ω ω
aT
jH
c
jBOc
/1
1)(
( )
=+
+°=∆Φ=
=a
Ts
aTs
poura
aTs /11
1
455,4
ω=+
+ε
Γ→ω
js
BO Ts
aTs
JsjH
1
1)(:BPladevoisinageau
2max
sec
aTc1
=ω
max
sec4/1
εΓ=ω
Jac
Rappel : il s’agit de l’erreur crête. Th de la valeur final pour annuler l’erreur statique
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36
Un résumé en un graphique sur la BO…
ω
-1
-2
BP
ωc
∆Φ, ∆G
stabilité
rapidité
Gm
ω0
Erreur dynamique
Erreur statique
Compromis stabilité & robustesse versus rapidité & performance
filtrage des bruits
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37
La correction série
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38
Logique de correction série
Correcteur Système
Capteur
u yε
ym
e
But du correcteur : fournir un signal u de manière à préserver les exigences de performances et de stabilité sur la BO
( )[ ]tftu ε=)(
Pour f( ), on retiendra les 3 opérations de bases suivantes :
- L’action proportionnelle notée P :
- L’action intégrale notée I :
- L’action dérivée notée D :
)()( tktu ε=
( )∫ θθε=t
i
dT
tu0
1)(
dt
dTtu d
ε=)(Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
39
Actions combinéesTous les correcteurs peuvent être construits par combinaison (x ou +) des trois actions de bases.
sτ+1
1
aTs
Ts
aTsaTs
Ts
++
+=
++
11
1
1
1
Filtre passe-bas :
1−τs
1
Filtre avance/retard de phase :
Filtre passe-bas Dérivée x Filtre x Gain
Intégrateur x Gain
Action combinée …
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40
Méthode générale de correction
ω+
ω+
ω+
ω+
ω+
ω+
=
'21
21
1...11
1...11
)(
dmdd
nmnn
sss
sss
KsK
Modelage de la boucle ouverte avec un réseau correcteur de type :
cω
1dω 2dω0ω
mG
1nω3dω 4dω
)1(−
)2(−
)1(−
)2(−
)3(−
°−180
°− 90
∆Φ
G∆
°0
0KH
Exemple pour H(s) = H0
BOH
BOHΦBOHΦ
ωlog
BOH
G∆
∆Φ
1dω
cω
2dω
1nω
3dω
4dω
Faire tendre la BO si possible vers un intégrateur au voisinage de la BP
43121 ddndd ω<ω<ω<ω<ω
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
41
Le régulateur Proportionnel Intégrale Dérivée
ε+ττε+ε= ∫ dt
dTd
TtKtu d
t
i 0
)(1
)()(
Annule l’erreur statique… mais
déstabilise
Stabilise le système… mais amplifie les bruits
Augmente la précision dynamique et la rapidité…
mais déstabilise et amplifie les bruits
Très utilisé car : - Seulement 3 paramètres,- Très bon compromis : facilité de réglage vs performances atteignables,- Les 3 actions P I D forment un « méta-modèle » du comportement humain donc intuitif,- Souvent couplé avec d’autres réseaux (rejecteurs, etc…).Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
42
Méthode de réglage temporelle
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
43
Méthode de réglage empirique en BF (Ziegler-Nichols)
P.I.D ?u yεe
But : piloter un système dont la fonction de transfert est inconnue
- Annuler les actions intégrale (Ti = ∞) et dérivée du correcteur (Td = 0)
- Augmenter K jusqu’à l’apparition d’oscillations limite de stabilité, c’est une image de ∆G
- Relever la période d’oscillations T0 en s et le gain limite KM
426,0 0 i
diMT
TT
TKK ===
Attention : nécessite de pouvoir faire osciller le système en BF Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
44
Méthode de réglage empirique en BO ( Ziegler-Nichols)
?u y
422,1 i
duiu
a TTTT
T
T
s
uK ==
∆∆=
∫∞
ε=0
)( dttJ
- Relever la réponse indicielle du processus :
P.I.D ?
u
yεe
Attention : nécessite que le système soit stable e n BOPhilippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
45
Méthode de réglage fréquentielle
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
46
Aspects fréquentiels du PID ( )( )
)(11
)(1
)(1
1)( 212
ssT
sTsTKs
sT
sTTsTKssT
sTKsu
ii
idid
i
ε++=ε
++=ε
++=
)1(− )1(+
1
1
T 2
1
T
21
1
TT
dBK
ωlog
°− 90
°90
)(KΦ
°0
°45
°− 45
( )( )
( )( )
( )
sT
sTTsKsK
T
TTTTTT
sT
TsKsK
TTTTTT
sT
sTsTKsK
TTTTTT
sT
sTsTKsK
TTTTTTTT
i
d
ididi
i
idi
i
di
didi
i
didi
22
2
21
21
21
2121
21)(
4,:4
1)(
2:4
11)(
,:
11)(
111,:4
+ξ+=
=ξ=<
+=
====
++=
≈≈>>
++=
+=+=>
ωlog
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
47
Méthode de réglage fréquentielle – point de départ
)(1
)(1
1)(2
ssT
sTTsTKssT
sTKsu
i
idid
i
ε
++=ε
++=
Règles générales : 1) Action intégrale aux basses fréquences afin de compenser les
constante de temps du système 2) Action dérivée au voisinage de la bande passante escomptée3) Réglage de K afin d’avoir la bande passante souhaitée
Le réglage se fait par try and error dans le plan de Bode ou de Black et un bon point de départ consiste à « compenser » les constantes de temps du système ou à placer la dérivée sur la bande passante escomptée :
Mais cela ne constitue qu’un point de départ…
4i
dj
jiT
TT =τ=∑ dibp
d TTT 41 =
ω=
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
48
Exemple
ssssH
n−−− +++=
101
1...
101
1
101
1)(
21
4,10
1
id
n
j
ji
TTT ==∑
=
− Ajustement de la BP avec K
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
49
Réalisation de l’action dérivée
)(1
1)( ssTsT
Ksu di
ε
++=
Dérivée non réalisable physiquement (bruit)
sTsT
sTd
dd
α+
→1
)(1
11)( s
sTsT
sTKsu
d
d
i
ε
α+
++=
)1(− )1(+
1
1
T 2
1
T
21
1
TT
ωlog
dBK
ωlog
°− 90
°90
)(KΦ
°0
°45
°− 45
)0(
)0(
dT
α
10>α
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
50
Le PID comme combinaison de correcteurs élémentaires
)(1
11)( s
sTsT
sTKsu
d
d
i
ε
α+
++=
)1(− )1(+
1
1
T 2
1
T
21
1
TT
ωlog
dBK
ωlog
°− 90
°90
)(KΦ
°0
°45
°− 45
)0(
)0(
dT
α
1
( ) ( )1
dd
d
TT s
u s K sT
s
+ + α = ε + α
1( ) ( )i
i
T su s K s
T s
+= ε
Correcteur P.I Correcteur A.P
i jj
T ≈ τ∑ 1d bpT −≈ ω
4i dT T=
Si action intégrale non nécessaires (Ti ∞)
Si stabilisation supplémentaire non nécessaires (Td 0)
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
51
Le PI/PID est souvent couplé avec d’autres réseaux…
)()()( ssKsu ε=
[ ] )()(')()( ssKsKsu PID ε+= [ ] )()(')()( ssKsKsu PID ε×=
)(sKPID
)(' sK
)(sKPID )(' sK
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
52
La correction avance / retard de phase
aTs
TssK
++=
1
1)('
aTa
1surcentréphasedeavance1⇒<
aTa
1surcentréphasederetard1⇒>
aT
1
Maximum ou minimum de phase ϕm :
( ) 1sin
1ma
a
−ϕ =+
Permet de modifier la phase (au voisinage de la BP) … mais attention au gain qui amplifie les bruits et diminue la robustesse !
bpen générale
≈ ωPhilippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
53
Mise en œuvre de rejecteurs
20
2
0
2
20
2
0
1
21
21
)('
ω+
ωξ+
ω+
ωξ+
=s
s
ss
sK021 en centrérejecteur ω⇒ξ<<ξ
021 ωen centré amortimalzéro⇒ξ>>ξ
0ω
Permet de rejeter une fréquence en particulier sur l’erreur sur la commande… mais attention à la stabilité de la boucle
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
54
De l’influence du retard pur…
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
55
Ennemi de l’automaticien…
Le retard pur est une opération déstabilisante
Il ne peut être compensé que partiellement par de l’avance de phase à cause de l’augmentation de gain engendrée par cette dernière.
Il faut donc bannir les retards purs au plus possible
τω−=Φ
=ωω
XY
jX
jY
/
1)(
)(
purlfréquentiedéphasage
purtemporelretard
⇔
BOH
G∆
∆Φ
1dω
cω
2dω
1nω
3dω
4dω
( )1ωjHBO
( )2ωjHBO
( )3ωjHBO
( )4ωjHBO
( )5ωjHBO
stableLimite de stabilité
dB0
( )
( ) ( )
)()(
)(
)(
),()(retard
0
sXesY
dexsY
dexsY
ttxty
s
s
s
Laplace
τ−
∞+τ−θ−
∞+
τ
θ−
=⇒
θθ=⇒
θτ−θ=⇒
τ>τ−=⇒τ
∫
∫
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
Evolution des marges de stabilité en présence de retard pur
56
min')()()'(
)()()(
∆Φ>ω−∆Φ=∆Φ⇒=
∆Φ⇒=
−c
TsBO
BO
TsHsKesH
sHsKsH
Relation entre la bande passante objectif et la marge de phase minimale
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
57
Approximation de PadéBien qu’impossible à compenser totalement, on peut prendre en compte un retard approché dans la boucle ouverte par son approximation de Padé :
( )( ) ( )
)()(
)(!!!2
!!2)(
)(
)(
0
xPxQ
xknkn
nknxP
sQ
sPe
nn
n
k
kn
n
n
nordre
s
−=
−−
−=
ττ≈
∑=
τ−
Tse−( )( )
( ) ( )( ) ( )⋮
32
32
2
2
1260120
1260120
612
6122
2
sTsTsT
sTsTsT
sTsT
sTsTsT
sT
+++−+−
+++−
+−
ordre)pade(T,
:Matlab
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
58
Compensation partiel du retard purIdée : le retard pur ne peut être compensé que partiellement par de l’avance de phase dans le correcteur à cause de l’amplification du gain
)(sK ses τ−µ )(
β
e
ym
y
s
ssK
sse
DLDL
s
'1
1)(
1
11
τ+τ+=⇒
τ+≈τ−≈τ−
Φ
ωlog
ωlog)(sK
se τ−Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
59
Régulation des systèmes à retard - Prédicteur de SmithIdée : Rejeter le retard pur en dehors de la boucle pour qu’il ne déstabilise plus
Le retard reste cependant toujours présent même hors de la boucle (traînage)
)(sK
)(' sK
ses τ−µ )(
β
)(sK )(sµ
β
se τ−
e
e
ym
ym
y
y
( )sesK τ−−µβ= 1)('
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
TD2 - Exercice 1
60
On a mesuré la réponse fréquentielle d'un processus à différentes fréquences, etl’on a obtenu le diagramme de Bode représenté ci-dessous.1. Donner la marge de gain, la marge de phase, la bande passante du processus
non corrigé.2. Trouver une expression de la fonction de transfert du processus valabledans la gamme de fréquence considérée.3. On fait un bouclage à retour unitaire (β = K = 1) sur ce processus. Évaluer l'erreurstatique en réponse à un échelon et estimer le dépassement en %.4. Calculer l’erreur statique en réponse à un échelon de perturbation en entrée demodèle
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
TD2 - Exercice 2
61
Soit le système :
1. Tracer le diagramme de Bode de H.2. Calculer un régulateur assurant un suivi de consigne (échelon) sans erreurstatique, un dépassement de 20%, un temps de réponse d’environ 6 s environ.3. Quelle est l’erreur statique en réponse à une perturbation en entrée de modèle detype échelon unitaire4. Calculer un régulateur assurant 2. et rejetant en plus asymptotiquement un échelonde perturbation en entrée.5. Quel est l’ordre de grandeur du retard de boucle maximum déstabilisant ?6. Sachant que pour un échantillonnage à Te, le retard induit vaut 3/2Te, proposer unchoix minimum de fréquence d’échantillonnage diminuant la marge de phase d’unmaximum de 10%.
( ) )2(1
1)(
++=
ssssH
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
62
Outils numériques
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
Matlab/Simulink
63
Logiciel de calcul numérique commercial Edité et vendu par Mathworks Nombreuses toolbox développées (payantes) dont certaines utiles à
l’automaticien, pour faciliter la réglage des correcteurs et la simulationnotamment : Control ToolBox Robust Control ToolBox Simulink
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
Scilab/Xcos
64
Logiciel de calcul numérique libre donc gratuit Edité par l’INRIA Ecrit par des automaticien « pour des automaticiens », interface et langage
très proche de Matlab alternative intéressante pour l’automaticien Solver graphique Xcos (anciennement Scicos) intégré avec de nombreuses
fonctionnalités et modèles Maintenu par un consortium d’industriels
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
Travaux pratiques 1
65
1. Vérifier le réglage de l’exercice 4 avec Maltab ou Scilab (définition du système, ducorrecteur, tracé des diagrammes de bode du système, du correcteur, de la boucleouverte, mesure des marges sur le tracé des black-nichols, tracé de la réponse àl’échelon, etc…) et si nécessaire affiner le réglage vis-à-vis du CdC.
2. Simuler le bouclage obtenu (suivi de consigne et rejet de perturbations) à l’aide deSimulink ou Scicos
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
TD2 - Exercice 3
66
Soit le système :
1. A correction unitaire, quelle est l’erreur statique de suivi de consigne lorsque celle-ciest un échelon ? une rampe ? une parabole ? Quelle est la particularité de cebouclage ?2. Déterminer un régulateur K(s) assurant un suivi de consigne (échelon) sans erreurstatique, un rejet de perturbation de type échelon en entrée de modèle, undépassement de 15%, un temps de réponse d’environ 10 ms environ. Evaluer le rejetde perturbation.3. En plus de 1. et 2., une perturbation de type sinusoïdale pure (amplitude de 100 etfréquence de 40 Hz) apparait en sortie de modèle : quel faut il faire pour insensibiliserla sortie régulée ?4. Même question que 3 mais cette fois ci on choisit d’insensibiliser la commande.
2
1)(
ssH =
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
67
Système à 2 intégrateurs
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
C’est un cas très fréquent…
68
....1×ss
1εe yu
0...
1.
11
1.
lim)(.lim)(lim)(
0
00
0 =×+
==⇒=→→∞→
ss
ss
E
ssustus
EsE
sst
Théorème de la valeur finale :
0)(lim0
=ττε∫∞→
t
td
E0
y
t
A1
A2
21 AireAire AA =
stabilité/rapiditéCompromis
bouclage de typece de exempleun donner :Exercice
liberté...dedegrés2àsolutionuneVers
!forcément dépasse indicielle réponse La
⇒
⇒
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69
Structures de commande -Bouclages en cascade
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
70
Asservissements cascades
)(1 sK )(2 sK )(2 sH )(1 sHyy2
u2u1e
vε ε2
On boucle en cascade pour : Accélérer le régime transitoire de la sortie y vis-à-vis de l’entrée e L’effet des perturbations v est d’autant plus réduit que la dynamique
de la boucle secondaire est rapide vis-à-vis de la bouclage primaire
Insensibiliser le bouclage primaire vis-à-vis des variations de H2(s)
)(2 sM
)(1 sM
dynamique
robustesse
)(1 sK )(2 sH )(1 sHy
ue
v
ε
)(1 sM
)(sH
∆
∆
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
71
Accélérer le régime transitoire de la sortie y vis-à-vis de l’entrée e
)(1 sK )(2 sK )(2 sH )(1 sHyy2u2
u1e
ε ε2
)(2 sM
)(1 sM
eKHKMMKH
MKHe
HMK cascade 211222
222
11 1
1
1
1
+++−=ε→
+−=ε
( )e
KHKKsHs
KHsse
HKs
s
cascade 20102022
202
10 +++−=ε→
+−=ε
e
ε
)1(+
)0()2(+
)1(+
1,
1,
220
2
110
1
=→
=→
Ms
KK
Ms
KK
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
72
Améliorer le rejet de perturbations
)(1 sK )(2 sK )(2 sH )(1 sHyy2
u2u1
v
ε ε2
)(2 sM
)(1 sM
vKHKMMKH
HMv
HMK
HM
cascade 211222
1
11
1
11 ++−=ε→
+−=ε
1,
1,
220
2
110
1
=→
=→
Ms
KK
Ms
KK
e
ε)0(
)2(+
)1(+
vKHKKsHs
Hsv
HKs
sH
cascade 20102022
2
10 ++−=ε→
+−=ε
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
73
Améliorer la robustesse
)(1 sK )(2 sK )(2 sH )(1 sHy
y2
u2u1e
ε ε2
)(2 sM
)(1 sM
∆
∆+∆=
+=
→∆+∆=
222
222
1121
121
1121
121
1'
'1
'
1MHK
HKH
eMHHK
HHKy
eMHHK
HHKy
cascade
222
2222 1'
MHK
HKHH
cascade ∆+∆=→∆
Bouclage primaire plus robuste à ∆ Besoin en marge de phase et de gain moins contraignant sur bouclage
primaire
=∆=
→∆=11212
22211121 ' MHHKH
MHKHMHHKH
bo
bo
cascadebo
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
74
Méthodologie
11
'222
222 →
+=
MKH
HKH
)(2 sK )(2 sHu2ε2
)(2 sM
7,0secondaire
primairesecondaire
≈ξ
ω>>ω cc
)(1 sK )(1 sHu1ε1
)(1 sM
ye
PID
PID
)(1 sK )(2 sK )(2 sH )(1 sHyy2
u2u1
ε ε2
)(2 sM
)(1 sM
Post-examen de la boucle « ouverte vraie »
Ret
ouch
e si
néc
essa
ire
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
75
Exemple inertie motorisée – Dimensionnement simplifié
LsR+1
cKJs
1
eK
U I motC
secΓ
pΩ
aΩ
rΩ
( ) ecKKLsRJs
Js
++ cK s
1I motC
secΓ
aθ
'extΓ
( ))()(' secext sJssK pe Ω+Γ=Γ
u)(sK I)(sKθ
)(sH gyro
)(sHcapt
s
1 aθ
Js
1aΩ
u
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76
Simplification
( ) ecKKLsRJs
Js
++ cK2
1
Js
I motC
secΓ
aθ
( ))()(sec sJssK pe Ω+Γ
u)(sK I)(sKθ
)(sH gyro
)(sHcapt
petitquand par Ω−Ω=Ω
LsR+1
cKI motC
secΓ
aθu)(sK I)(sKθ
)(sH gyro
)(sHcapt
sec 1eet K Γ <<
2
1
Js
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
77
Dimensionnement boucle interne
LsR+1 Iu
)(sK I
PI
( )seli
ipIbo sT
sTKRsH
τ++
= −
1
11)( 1
_
( )sT
sTKsK
i
ipI
+=
1)(
IcIcipIcIbo
i
pIboeli
LRTKjH
sT
KRsH
R
LT
____
1_
1)(
)(
ω=ω=⇒=ω
=⇒=τ=τ= −∑
Ic
Ic
Ic
Ibf s
s
ssH
_
_
_
_1
1
1
)(
ω+
=ω+
ω
=
1
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
78
Dimensionnement boucle externe
cK2
1
Js
motC
secΓ
aθ)(sKθ
PID
( )sT
sTTsTKsK
i
didp21
)(++
=θ
°>∆ΦεΓ=ω θ 60,
max
sec4/1_ J
ac
121
2
2
+ωξ
+ω
ss
g
g
g
aTa
aTs
Ts
JsjH
c
js
bo
θ
ω=θ
ω==
++
εΓ
>ω
_
2max
sec_
1,5.4
1
1)(
)2(−
)4(−J
Kc
gω
°− 90
°0
°−180
°− 270
°− 360
θω _c
)2(− )3(−
( )
+
ωξ
+ω
++=θ
12
1)(
2
23
2
_
g
g
gi
didpbo
ssJT
sTTsTKsH
)3(−
)1(−
∆Φ4i
d
i
TT
TT
=
=
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
79
Structures de commande -Correction par anticipation (feedfoward)
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
80
Principe
2K HE
Y
ε
M'1K1K
Γ
2K HE
Y
ε
M
ΓCompenser ou anticiper des perturbations mesurables
( ) ( )2
1
2
1
1
'
1
1
HK
HKM
HK
HKE
++Γ−
+−=ε
HKHK
101 11 =⇔=−
H
MKHKM −=⇔=+ '0' 11
Intérêt : relaxer la contrainte de robustesse (marges de stabilité) sur la BO en cas de bande passante interne trop grande.Inconvénient : H-1 n’est pas physiquement réalisable (zéro instable pôle instable, passe-bas pas haut,…) si bien qu’une approximation doit être réalisée
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
81
Exemple : balayage
cK2
1
Js
motC
secΓ
aθ)(sKθ
)(sHg
)(sA
Dédié au balayage
Dédié au rejet de frottements et à la stabilité
c
gc
gc
ca
KsK
sHKsKJssA
sHKsKJs
KsKsA
e )(
)()()(
)()(
)()(2
2θ
θ
θ
θ +→⇒
+=θ
e
)()(
12
sec sHKsKJs gc
a
θ+−=
Γθ
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
TD 3 (bilan de la partie continue)
82
Un système de transport utilisé pour décharger les navires est représenté ci-dessous
Il est constitué d’un portique comprenant :- Un chariot mobile de masse M repéré par son abscisse x et se déplaçant sous l’action d’une
force F(t) développée par un moteur électrique. Le chariot est de plus soumis à des forces defrottement visqueux dont le coefficient α est proportionnel à la vitesse du chariot
- Une charge de masse m suspendue à l’extrémité d’un câble de longueur l. La position de lacharge est repérée par l'angle θ d’inclinaison du câble par rapport à la verticale
- Le but est de travailler sur l’asservissement de la position x du chariot permettant ladéplacement de la charge vers une consigne xc, en minimisant les mouvements pendulaires
x
FM
θ
l
m
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
I/ Etude du système
83
La mise en équation de ce processus complexe conduit au système d’équation différentiellesuivant :
I.1/ Linéariser le système précédent au premier ordre en considérant des petites variations desdifférents grandeurs autour du point d’équilibre θ0 = 0.
I.2/ A partir du système linéarisé obtenu, déterminer la fonction de transfert H2(p) = θ(p)/F(p) etH1(p) = X(p)/θ(p). On supposera toutes les conditions initiales nulles et on exprimera H1 et H2 enfonction des données M, m, g, l et α.
I.3/ A.N : g = 10, l = 35, α = 0.04, M = 1.05, m = 10.15
Montrer que :
( ) ( ) ( )( ) ( )
2cos sin ( )
cos sin
M m x ml ml x F t
l x g
+ − θ θ + θ θ + α =
− θ + θ = θ
ɺɺ ɺɺɺ ɺ
ɺɺ ɺɺ
2
1 22 2
( ) 35 10 ( ) 2.5( ) , ( )
( ) ( )(1 280 ) 1
85 3
X p p p pH p H p
p F pp p pp
+ θ= = = =θ
+ + +
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
84
On utilise dans un premier temps la structure de commande suivante à une seule boucle sur laposition x du charriot.
II.1/ Pour une correction unitaire, tracer la boucle ouverte dans le plan de bode (asymptotiquepuis réel) et préciser la valeur des résonances.
II.2/ Déterminer un correcteur C(p) assurant au système un temps de réponse de 15 s et undépassement de 20 % en régime indicielle. Justifier de la structure de C(p). Tracer dans le plande bode la boucle ouverte corrigée. Relever les marges.
II.3/ Compléter la correction précédente afin d’assurer en plus un rejet de perturbation en entréede H2 le plus rapide possible. Tracer dans le plan de bode la boucle ouverte corrigée. Relever lesmarges. Tracer la réponse temporelle indicielle et le rejet d’un perturbation unitaire.
II.4/ Vérifier avec Matlab tous ces réglages notamment les tracés temporels
C(p) H2(p) H1(p)F(p) Θ(p) X(p)Xc(p)
II/ Structure de commande à une boucle
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
85
On utilise maintenant une structure de commande à 2 boucles sur la position du charriot et l’angle.
Justifier de l’intérêt de la structure ?III.1/ Boucle (interne) sur l’angleOn suppose que la mesure angulaire est effectuée par un capteur de fonction de transfert égale à20.a) Pour une correction angulaire unitaire, tracer dans la plan de bode la boucle ouverte (tracé
asymptotique puis réel). Relevé des marges de stabilitéb) Déterminer un correcteur C2(p) assurant au système un temps de réponse de 150 ms (justifier
?) et un dépassement de 20% en régime indicielle. Tracé de la BO et relevé des marges.c) Modifier C2(p) afin d’assurer le rejet de perturbation (en entrée de H2) le plus rapide possible.
Justifier de la structure de C2(p).III.2/ Boucle (externe) sur la positiona) Donner une expression approchée de la fonction de transfert Θ/U valable dans la zone de
fréquences (ie bande passante et en dessous) correspondant au cahier des charges du I.2/.b) Déterminer C1(p) suivant le cahier des charges du I.2/. Tracé des BO et des marges. Conclure
de l’intérêt de l’approche cascade.
III/ Structure de commande à deux boucles
C1(p) H2(p) H1(p)F(p) Θ(p)
X(p)Xc(p)C2(p)
20
U(p)
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
86
Commande numérique des systèmes à partir du continu
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
87
Implémentation numérique du correcteur continu
Correcteur
Capteur
Processuse(t) ε(t) y(t)
ym(t)
Algorithme de calcul
Bloqueur
Te
Te
Capteur
FLS(s)
Actionneur +
Processus
CN/A
CA/N
Correcteur numérique
e(t) ε(t) ε(k) u(k) u(t) y(t)
ym(t)FAR(s)
Actionneur
A prendre en compte à priori (si possible) lors du réglage du correcteur continu !
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
88
L’échantillonnage
L’échantillonnage doit être précédé d’un filtre anti-repliement à Fe/2 (Shannon) d’ordre 2 pour éviter tout risque de repliement de spectre.
A prendre en compte à priori dans le réglage du correcteur car déphasant (sauf si Te suffisamment petit au regard de la BP objectif)
( )1
4.1
1)(
2
2
+π
+π
=s
FF
ssF
ee
AR
( ) ∑∑∞+
−∞= ν=ν=
∞+
−∞=
−=ν→−δ=→→
n fT
feeke
T ee
e T
nfX
TXkTttxkxtxfX
1)()(][)()(
f
|X(ν)|
ν12
12
-
e
1
|X(f)| 1
f f
max f 2 e -f max f
2 e -
repliement
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
89
Le blocage
Le bloqueur doit être suivi d’un filtre lisseur à Fe/2 pour éviter la distorsion de commande due aux « marche d’escalier » du bloqueur.
A prendre en compte à priori dans le réglage du correcteur car déphasant (sauf si Te suffisamment petit au regard de la BP objectif)
22
22sin
)(2
21
e
ejf
Tj
e Tf
Tf
eTfBe
π
π=
π−
Te
u(t)u[n]
( ) ( ) )()(')(*][)(][)( 111 fBf
fXfXtbkTtxkTtbkxtxkxX
ee
ne
Tblocage e
=υ=→==−=→→υ ∑
+∞
−∞=
f
|X(ν)|
ν12
12
-
e
1
|X(f)|
f
fe2
fe2
- fe
2Te
Distorsion due aux lobs secondaires
1
1)(
+π
=
e
LIS
F
ssF
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
90
Impact de l’échantillonnage sur la stabilité
Le choix de la fréquence d’échantillonnage n’est pas anodin à cause :
- De l’impact du retard engendré par l’opération de blocage (CN/A) :
- De l’impact du retard dû au temps de calcul (majoré par Te)
sT
CNA
e
esH 23
)(−
≈
enT ( ) eTn 1+ ( ) eTn 2+
)(nε )1( +ε n )2( +ε n
cT cT cT
)(nu )1( +nu )2( +nu
t
2
Tmoyenretard e
ec TT ≤
s
se
r
r
sr
21
21
τ+
τ−≈τ−
Approximations
de Padé :
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
91
• Méthode conservative pour le choix de la période d’échantillonnage
- Régler la boucle ouverte continue K(s)H(s),- Choisir une fréquence d’échantillonnage à postériori suffisamment grande au
regard de la bande passante (ou du paysage modale de H ou du spectre des perturbations),
- ∆Φ et ∆G peu modifiés avec ceF ω≈100
)()()( sHsFsF CNALIAR
• Méthode « plus exacte » pour le choix de la période d’échantillonnage
Régler directement la boucle ouverte continue suivante :
Fe devient un paramètre de réglage comme le correcteur
[ ] )()()()()()( sHsHsFsKsFsH CNALSARBO =
• Méthode numérique directe (voir plus loin)Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
92
La quantificationLa discrétisation n’est pas seulement que temporelle, elle l’est aussi en amplitude.
)(nx
)(nxq
q
q2
q
q2
bitsenrésolution,2
minmax =−= nxx
qn
Bruit de quantification : -q/2 < εq(n)=xq(n)-x(n) < q/2
Modélisé par une variable aléatoire de densité de probabilité constante égale à 1/q entre –q/2 et q/2 )(p qε
2/q2/q−
q/1
qε1)dεp(ε
2/
2/ qq =∫−q
q
!bouclagele
pourrequiseprécisionla
decompatibleêtredoitq
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
93
De l’influence du bruit de quantification dans la boucle
DSP du bruit de quantification (supposé blanc) :
Impact sur la précision et le bruit consommant pour le dimensionnement :
qx
qε
∫−εε =εε=ε=σ=Γ2/
2/
2222
12
1)(
q
q qqqq
dq
Eqq
)(1
)(),(1
1)( s
HK
Ksus
HKs qq ε
+=ε
+=ε
12)()()(,
12)()()(
22 qsHsHs
qsHsHs uuu qqqq
−=Γ−=Γ →ε→εε→εε→εε
∫∫∞
∞−
∞
∞− εε Γ=σΓ=σj
j uuj
jdssdss )(,)( 22
)(sK )(sH
x
uε
)(tx
CAN tt
][ kxq
][ kxq)(tx
eT
eT
)(][ eTkxkx ⋅=
[ ]kxq
[ ]kxCapteur
eT
Codage Système
)(ty )(tx
][)(][ kkxkx qq ε+=
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
94
Transformation en z
94
Définition mathématique simplifiée :
Opérations usuelles :
Linéarité :
Décalage :
Convolution temporelle :
Connaissant H(z), on peut donc en déduire l’équation de récurrence du filtre numérique
∑∞
=
−=0
][)(k
kzkxzX
)()(][][ zBYzAXkBykAx +→+
nzzXnkx −→− )(][
)()()(][][][][][0
zUzHzYnkunhkhkukyk
n
=→−=∗= ∑=
0 0 0 0
0
0
[ ] ... [ ] [ ] ... [ ] ( ) ... ( ) ( ) ... ( )
( )( )
( )
n mn m n m
TZ
mi
iin
jj
j
a y k n a y k b u k b u k m a z Y z a Y z b U z b z U z
b zY z
H zU y
a z
− −
−
=
−
=
− + + = + + − → + + = + +
⇔
= =∑
∑Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
95
Système continu piloté par calculateur
1( ) ( )( ) (1 ) Z
( )
Y z H sG z z
U z s− = = −
• Modèle discret de l’ensemble CNA + Processus continu + CAN
abus d’écriture
Processus
continu H(s)
[ ]ku [ ]ky)(tu )(ty eT
C.N.A.
eT
C.A.N.
Modèle
discret H(z) ?
[ ]ku [ ]ky
( )U z ( )Y z
Démo
Z ( H(s) / s) = TZ ( Laplace-1 ( H(s) / s) )
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
96
Système continu piloté par calculateur - démonstration
[ ]
( )
1
1 1 1
( )( ) (1 ) ( )
( )
( )(1 ) ( ) (1 )Z
t kT
Y zH z z TZ g k
U z
H sz TZ L G s z
s
−
− − −
=
= = −
= − = −
u(k)=δ(k)
CNA
Tu(t)
1
0
1
0
t
T
k
Impulsion discrète u(t) = γ(t) - γ(t - T)γ(t) : échelon unitaire
u(t)
1
0
t
Tu(t) = γ(t) - γ(t - T)γ(t) : échelon unitaire
G(s)
y(t)
0
t
y(t) = g(t) - g(t - T)g(t) : réponse indicielle
y(t)
0
t
y(t) = g(t) - g(t – T)
CAN
T
y(k)
0
k
y(k) = g(kT) - g((k-1)T)
Réponse impulsionnelle H(z)
δ yPhilippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
97
TZ usuelles et correspondance avec Laplace
97
Correspondance pôles/zéros en s pôles/zéros en z
00 0
eT pp z e→ =Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
98
TZ de signaux usuels
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
99
Application à une structure bouclée
99
C(z) CNA H(p)
CNA M(p)
y(t) y(k)
TT
T
u(k) u(t)
ym(k)
ε(k)e(k)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )m mY z TZ y k Y z TZ y k U z TZ u k E z TZ e k= = = =
( ) ( ) ( )1 1( ) ( ) ( )( ) 1 Z ( ), ( ) 1 Z ( ), ( ) ( ) ( ) ( )m m
H s H s M sY z z U z Y z z U z U z C z E z Y z
s s− − = − = − = −
( )( )
1
1
( ) ( ) ( )
( ) 1 ( ) ( )
( )( ) 1
( ) ( )( ) 1
m
m
Y z C z H z
E z C z H z
H sH z z Z
s
H s M sH z z Z
s
−
−
=+
= −
= −
Boucle fermée Numérique :
Boucle ouverte Numérique :
( ) ( ) ( )BO mH z C z H z=
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
100
Grand théorèmes – versions numériques
100
Stabilité
Théorème de la valeur finale :
Principe de superposition (inchangé) Précision des systèmes bouclés : résultats similaire en discret Examen de la stabilité de la BF à partir de la BO :
méthode identique dans le plan de Nyquist en prenant pour contour le cercle unité résultat similaire cette fois-ci sur la présence ou non de pôle dans le cercle unité.
On remplace pôle/zéro dans le demi-plan droit par pôle/zéro en dehors du cercle unité.
0
0
( )( ), stablesi les pôles sont 1
( )
mi
iin
jj
j
b zY z
H z zU y
a z
−
=
−
=
= = <∑
∑
( ) ( )1
1 1lim ( ) lim 1 ( ) lim 1 ( )k z z
x k z X z z X z−→∞ → →
= − = −
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
101
• Principe
• But : calculer un correcteur numérique ayant une réponse
fréquentielle « proche » de celle du correcteur analogique :
• Méthodes de discrétisation
a. Invariance impulsionnelle
b. « Matched Transform » ou adaptation des pôles et des zéros
c. Méthode d’Euler ou des rectangles
d. Transformée bilinéaire ou homographique (anglais: Tustin’s approximation)
)(tu)(sCa
)(tε ][ku)(zCn
][kεdiscrétisation
ωω jsaezn sCzC eTj ==≈ )()(
équations
intégro-
différentielles
équations aux
différences
Transposition continu discret des correcteurs
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
102
On approxime numériquement la dérivée ou l’intégrale d’une fonction continue
par la méthode des rectangles
Dérivation :
soit :
Intégration :
soit :
[ ] [ ] )(1)()(0 eet
kTsTkykydsty +−≈→= ∫ ττ
t
)(ts
ekT eTk )1( −
t
)(ty
[ ] ( )e
ee
T
TkykTyks
dt
tydts
)1()()()(
−−≈→=
eTk )1( + ekT eTk )1( − eT
zs
11 −−→
11
1−−
→z
T
se
Transformation d’Euler
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
103
On approxime numériquement l’intégrale par la méthode des trapèzes
soit :
Calcul du correcteur :
∫=t
dsty0
)()( ττ
t
)(ts
eTk )1( + ekT eTk )1( −
[ ] [ ] ( ))( )1()(2
1 eee TkskTs
Tkyky −++−=
1
1
1
1
2
1−
−
−+→
z
zT
se
1
1
1
12)()(−
−
+−=
=z
z
Tsan
e
sCzC
Transformation bilinéaire (ou Tustin)
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
104
Transformation d'Euler Transformation Homographique
11(1 )s z
T−→ −
1
1
2 (1 )
(1 )
zs
T z
−
−
−→ ⋅+
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Transformation
homographique
Transformation
d’Euler
Dérivation
idéale
Tπ ω (rad/s)
Module
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Transformation
homographique
Transformation
d'Euler
Dérivation
idéale
ω (rad/s)
Phase
(degré
Tπ
Distorsion fréquentielle induite par Euler/Tustin
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
105
Transformation d'Euler Transformation Homographique
11(1 )s z
T−→ −
1
1
2 (1 )
(1 )
zs
T z
−
−
−→ ⋅+
Non conservation des pôles par ces approximations :
Transformation
d'Euler
Transformation
Homographique
Par rapport à la relation exacte
approximation
d’ordre 1
approximation
d’ordre 2
Non conservation de la position des pôles et des zéros induite par Euler/Tustin
Attention aux rejecteurs réglés en continu !! Notion de préwarping avec Tustin Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
106
Principe : Décomposition de C(s) sous la forme de produits de pôles et de zéros
( )( )
( )j
j
s rC s
s
−=
−∏∏ ρ
Transformation : Association à chaque terme élémentaire dans le plan s d'un
terme élémentaire dans le plan z
11( ) (1 )ks T
ks s e zT
−− → −
Transformation par conservation des pôles et des zéros (Matched Transform)
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
107
Continu Euler Homographique « Matched »
1 2,45( )
1 0,408
sC s
s
+=+
1
1
3,8821 3,4585
1 0,5764
z
z
−
−−
−
1
1
4,6565 4,1191
1 0,4626
z
z
−
−−
−
1
1
4,5147 3,9943
1 0,4796
z
z
−
−−
−
10 −1
10 0
10 1
10 2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Euler
« Matched »
continu
(rad/s)ω
homographique
Mod
ule
(dB
)
10 −1
10 0
10 1
10 2 0
10
20
30
40
50
Euler
« Matched »
continu
homographique
(rad/s)ω
Pha
se (
degr
és)
Exemple 1. Correcteur à avance de phase
)'',,(c2d
:
methodTeH
Matlab
),(cls2dls
:)(
TeH
tustinScilabPhilippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
108
Exemple 2. Oscillateur
2( ) 0,6 s
1
sC s T
s= =
+
0
10
20
30
40
50
60
70
80
10 0
−10
Euler
Matched
continu
homographique
(rad/s)ω 2x10 0
Module (dB)
10 −1
10 0
10 1
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
Euler
Matched
continu
homographique
homographique
(rad/s)ω
)'',,(c2d
:
methodTeH
Matlab
),(cls2dls
:)(
TeH
tustinScilabPhilippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
109
Exemple 3. PID
)'',,(c2d
:
methodTeH
Matlab
),(cls2dls
:)(
TeH
tustinScilabPhilippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
110
Exemple - Implémentation numérique du PID
Algorithme de calcul
Bloqueur
Te
Te
Capteur
FLS(s)
Actionneur +
Processus
CN/A
CA/N
Correcteur numérique
e(t) ε(t) ε(k) u(k) u(t) y(t)
ym(t)
)()1()( kT
TKkuku
i
eii ε+−=
K
[ ])1()()( −ε−ε= kkT
TKku
e
dd
)(ku)(kε
FAR(s)
)(kup
)(kui
)(kud
enTt T
nyny
dt
dy
e
)1()( −−≈=
( )
)()1()(
)(0
neTnsns
dets
e
t
+−≈⇒
ττ= ∫
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
111
Conditionnement par gel de l’intégrale
)()()( nynen m−=ε
)()( nKnup ε=
[ ])1()()( −ε−ε= nnT
TKnu
i
dd
)1()()()( −++= nunununu idpc max
?)( unu =
)1()( −= nunu ii)()1()( nT
TKnunu
i
eii ε+−=
[ ][ ]minmax ,),(maxmin)( uununu c −−= Conditionnement par gel de l’action intégrale
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
112
Conditionnement par anti-windup
K
iT
K
s
1
tT
1
e(t)
ym(t)
ε(t)
ui(t)
u(t)uc(t)
up(t)
Rétroaction pour annuler ∆u(t) lorsque u(t) ≠ uc(t) et éviter ainsi les charges intempestive de l’intégrateur en cas de saturation pour ε(t) grand
∆u(t)
sT
sKT
d
d
α+1 ud(t)
Dérivée sur la mesure en cas de variation brutale de consigne
ε++=
++
+=
ipdPID
tt
tPIDc
T
Kuuu
sT
u
sT
sTuu
11
it Tz
T
1correcteurdudominantéro
1 ≈≈Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
113
Conditionnement par rétroaction positive
K
sTi+1
1
e(t) u(t)uc(t)
sT
sT
sK
Ti
i
i
+=
+−
= 1
1
11
1
s
sTd
τ+1
Régime linéaire
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
TD4 Exercice 1
114
Exercice 2
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
TD4Exercice 3
115
Exercice 4
CNA s+1
1
Te=0,4 s u[k] y[k]
G(z)
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
116
( )twT
+ −C.N.A.
( )kε ( )u k ( )u t +
+
T
C.A.N.
TD4 – Exercice 5
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
117
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Magnitude (
dB
)
100 101 102 103
-270
-225
-180
-135
-90
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
118
( )twT
+( )cy k
−C.N.A. 1( )G s
y t( )2( )G s( )C z
( )kε ( )u k ( )u t +
+
T
TD4 - Exercice 6
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
119
Commande numérique des systèmes – Approche polynomiale
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
120
Généralités
120
Au niveau de la correction numérique, 2 grandes méthodes :
Transposition continue discret à partir de la synthèse d’un correcteur à temps continu (cf partie précédente)
Inc : - Ne tient pas compte de la période d’échantillonnage lors de la synthèse,- N’exploite pas les potentiels des méthodes numériquesAv : - Conserve un sens physique aux paramètres du correcteurs
Méthode polynomialeInc : - interprétation physique des paramètres du correcteur difficileAv : - Exploitation des méthodes numériques- Synthèse algébrique facile à implémenter- Couplage facile avec les méthode d’identification expérimentales- Intègre explicitement la période d’échantillonnage (pas de pertes de
performance)
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
121
Structure R,S,T – cas du PID
121
( )U z( )cY z ( )Y z
( )V z ( )W z
+
−
+
+
+
+
1( )R z−
1
1
( )S z−
1
1
( )
( )
B z
A z
−
−1( )T z−
Système
échantillonnéCorrecteur
Une mise en forme particulière du régulateur
Exemple du PID (Euler) :
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
122
Système
échantillonnéCorrecteur
( )U z( )cY z ( )Y z
( )V z ( )W z
+
−
+
+
+
+1( )T z−
1( )R z−
1
1
( )S z−
1
1
( )
( )
B z
A z
−
−
Correcteur à deux
« degrés de liberté »
Permet de dissocier les performances de
régulation (ie de stabilisation) des performances de
poursuite
Structure R,S,T – cas général
( ) 10 1
10 1
...
( ) ...
mm
nn
B z b b z b z
A z a a z a z
− −
− −
= + + +
= + + +
10 1
10 1
10 1
( ) ...
( ) ...
( ) ...
pp
ll
R z R R z R z
S z S S z S z
T z T T z T z
− −
− −
− −
= + + +
= + + +
= + + +Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
123
Structure R,S,T – équations du système bouclé
• Commande :
• Sortie :
• Ecriture allégée :
• Par élimination :
1 1
1 1
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )c
T z R zU z Y z Y z
S z S z
− −
− −= −
1 1
1 1
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
B z B zY z U z V z W z
A z A z
− −
− −= + +
cSU T Y RY= −AY BU BV AW= + +
cAT BR AR
U Y V WAS BR AS BR AS BR
= − −+ + +
cBT BS AS
Y Y V WAS BR AS BR AS BR
= + ++ + +
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
124
Structure R,S,T – synthèse de lois de commande R,S,T
1
1
( )( )( )
( ) ( )m
mc m
B zY zF z
Y z A z
−
−= =
( )( )
( )c
Y z BTY z
Y z AS BR= =
+
( 0)v w= =
m
m
BBT
AS BR A=
+Souvent, ordre du système > ordre de la fonction de transfert objectifSoit augmentation « artificielle » de l’ordre de la FT objectif (par des pôles très
rapides)Soit compensation de pôles/zéros (stables) dans la FT du premier membre
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
125
Synthèse d’une loi de commande R,S,T – approche sans compensation de pôles/zéros
m
m
AS BR A
BT B
+ = =
m
m
BBT
AS BR A=
+Il faut donc réaliser :
Remarque 1 –
Remarque 2 – équation à résoudre = équation diophantienne :
A, B, C = polynômes donnés ; X, Y = polynômes inconnus
A X B Y C+ =
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
'm mB BB=Bm
sera forcément de la forme , Bm’ à spécifier T = Bm
’
: volet dynamique de boucle
: volet anticipation
(1)(1)
(1)mA
TB
=
126
Equation Diophantine
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
127
• Résolution de l’équation diophantienne
– Algorithme de résolution matricielle
1 10 1 0 1
1 1 10 1 0 1 0 1
( )( )
( )( ) ( )
n pn p
m qm q l
a a z a z x x z x z
b b z b z y y z y z c c z c z
− − − −
− − − − − −
+ + + + + + +
+ + + + + + + = + + + ℓ
⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯
1 1 1
1 1
deg ( ) ; deg ( ) ; deg ( )
deg ( ) ; deg ( )
A z n B z m C z
X z p Y z q
− − −
− −
= = =
= =
ℓ
A X B Y C+ =
Equation Diophantine - résolution
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128
0 0
1 0 1 00
2 1 2 1
2 2
0
10
2 0
1
2
0 0 0 0
0
0 0
0 0
0
0
0 0 0 0
mp
n m
n
qn
m
a b
a a b bx
a a b b
a b
a bx
a a by
a a b
b
by
a
b
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋱ ⋮ ⋱ ⋮
⋱ ⋱ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮⋮
⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮⋮
⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮
⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱
⋮ ⋱ ⋱ ⋱⋮
⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱⋮
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱
⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
0
0
0
1 1
l
c
c
p q
=
+ +
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
max ,
1
n p
m q
+
+ +
( )( )
0 0
0
... | ...
... | 0...0
Tp q
Tl
x x y y
c c
Φ =ΑΦ = Ε Ε =
( ) 1T T T T−ΑΦ = Ε⇒ Α ΑΦ = Α Ε⇒ Φ = Α Α Α Ε
Equation Diophantine - résolution
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129
Eléments de réglages vis-à-vis des perturbations (1/3)
0
0
0
,'m m m m
m
'm m
B BB A A A
AS BR A A
BT BB T A B
= = + = ′= ⇒ =
m
m
BBT
AS BR A=
+On rappelle qu’il faut réaliser :
Rajout d’un filtrage A0(z) avec Am(z) et pris en compte dans T(z) de sorte que :
Mais :
A0(z) pourra permettre de rejeter des perturbations sur la sortie sans modifier Y/Yc
grâce à T(z) découplage des fonctions rejet de perturbations / suivi de consigne.
0
0
m m m
c m m m
BA B BB BY BT
Y AS BR A A A A
′ ′= = = =
+
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
0 00
cY mV
Y AS AS
W AS BR A A==
= =+
130
Eléments de réglages vis-à-vis des perturbations (2/3)
• Choix du polynôme
• Peut servir à modifier la réponse du système bouclé aux perturbations,
sans influencer son comportement vis-à-vis de la consigne
• Exemple : filtrage par une fonction du premier ordre
• Cas général : si effet précédent non recherché, prendre simplement
10( ) 1A z− =
10( )A z−
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131
Eléments de réglages vis-à-vis des perturbations (3/3)
11(1 )S z S−= −
11
0(1 ) mA S Rz B A A−− + =
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132
11
1
( )( )
( )m
mm
B zF z
A z
−−
−=
1 1 11 2( ) ( ) ( )mA z P z P z− − −=Cas général où l’ordre du système est > à 1 ou 2 :
En effet : AS + BR = Am deg(A) = n deg(A
m) = m
Comportement dominant
Eléments de réglages vis-à-vis de la boucle fermée (1/3)
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Bm et Am à spécifier
133
Eléments de réglages vis-à-vis de la boucle fermée (2/3)
1 1 11 2( ) ( ) ( )mA z P z P z− − −=
1 1 21 1 2( ) 1P z p z p z− − −= + +
0
0
21 0
22
2 cos 1e
e
Te
T
p e T
p e
ζω
ζω
ω ζ−
−
= − − =
0 2 21 1 0 0, (cos 1 sin 1 )eT
e ez z e T j Tζω ω ζ ω ζ−= − ± −
0,1kz ≤ 3 0nz z= = =⋯ou
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
134
Eléments de réglages vis-à-vis de la boucle fermée (2/3)
1 1 1( ) ( ) '( )m mB z B z B z− − −=
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m
m
AS BR A
BT B
+ = =
• Choix du numérateur Bm(z)
ne peux être choisi quelconque ; en effet :
Comme B, T et Bm sont 3 polynômes, on retrouvera nécessairement B dans Bm.
Bm aura donc la forme suivante :
Bm(z)’ doit alors être spécifié, par défaut Bm(z)’ Bm’
Et (pour une boucle fermée de gain statique 1) :
(1) '(1) (1)1 '(1) (1)
(1) (1)m m
mm
B B AB T
A B= ⇒ = =
135
( ) ( ) ( )ck y k y kε = −
Annulation de l’erreur statique vis-à-vis de la consigne (1/3)
( )( )1(1) (1)
1 (1) '(1)1 (1)
mm
c m
AY BT B TT B
Y AS BR A B= ⇒ = ⇒ = =
+
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
136
( ) ( )ncy k k k= ϒ
[ ]( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )mc m c c
m
Bz Y z Y z F z Y z Y z
Aε
= − = − = −
11 1
( )(1 )
cc n
YY z
z− +=−
11 1
( )(1 )
m m cn
m
A B Yz
A zε − +
−= ⋅−
1 111 1
lim ( ) lim (1 ) ( ) lim(1 )
m m cnk z z m
A B Yk z z
A zε ε−
−→ ∞ → →
− = − = ⋅ − 1 1 1(1 ) ( )n
m mA B z L z− + −− = −lim ( ) 0k
kε→ ∞
=
1( )L L z−=où1 1(1 )n m mz L B A− +− + =
Annulation de l’erreur statique vis-à-vis de la consigne (2/3)
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
137
1 1(1 )n m mz L B A− +− + = 1 1(1 )n m mz L BB A− + ′− + =
10( ) mT z A B− ′=
1 1
1(1) (1) (1 ) 0n
m mz
A B z L− +=
− = − =
Annulation de l’erreur statique vis-à-vis de la consigne (3/3)
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
138
( ) ( )ncy k k k= ϒ
0
( ) ( ) k
k
z k zεε∞
−
== ∑
1 111
11
( ) ( )( ) ( )
( )c m m
cmm
L z Y z A Bz Y z
AA z
− −−
− −= =
ε
( ) ( ) ( )ck y k y kε = −
Annulation de l’erreur en un temps fini (1/2)
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
139
Annulation de l’erreur en un temps fini (2/2)
1mA =
mA
( )m m mF z B BB′= =
11 0 1
0 1
r rr r
m r r
f z f z fF f f z f z
z
−− − + + += + + + = ⋯⋯
1z−mF
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
140
• Correcteur série (ZDAN)
• Dans la structure RST, fixons :
• On retrouve la structure « classique » du correcteur série :
• Fonction de transfert du correcteur :
1 1( ) ( )T z R z− −=
1
1
( )( )
( )
R zC z
S z
−
−=
cY +−
R
S
U+
+
+
WV
B
A
Y+
Correction série
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
141
Synthèse d’une loi de commande R,S,T – approche avec compensation de pôles/zéros
• Objectif (rappel) : calculer une loi de commande de type RST qui confère
au système bouclé une fonction de transfert « modèle » :
• Hypothèse :
réaliser :
Ordre du système > ordre du modèle (habituellement)
compensation de pôles / zéros dans fonction de transfert du premier
membre pour simplifier la résolution
1
1
( )( )
( )m
mm
B zF z
A z
−
−=
( ) ( )cBT
Y z Y zAS BR
=+
0v w= =
m
m
BBT
AS BR A=
+
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142
• Factorisation de la fonction de transfert du procédé
où :
contient tous les pôles de que l’on ne veut pas compenser
contient tous les zéros de que l’on ne veut pas compenser
… à savoir :
• obligatoirement, les pôles et les zéros extérieurs au (ou sur le) cercle unité ie
instables ;
• facultativement, certains autres termes (cf. plus loin) ;
et contiennent tous les autres termes ; ces termes seront
compensés par le régulateur RST
N.B.: coefficient constant et retard éventuel inclus dans
tous les polynômes sont moniques, sauf
1( )B z+ −
1( )B z− −
1( )A z+ −
1( )A z− − ( )G z( )G z
zK dz− 1( )B z− −
1( )B z− −
1 1 1
1 1 1
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
B z B z B zG z
A z A z A z
− + − − −
− + − − −= =
Analyse en cas de compensations
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
143
• Compensation des pôles et/ou des zéros « stables » du procédé
pourra être un facteur de
pourra être un facteur de
B+ AS BR+ S B S+ ′=
0
0
m
m
A S B R A A
T A A B
− −
+
′ ′+ =
′=
A+AS BR+ R A R+ ′=
boB R
HA S
=
Analyse en cas de compensations
( )' '' 'm
m
BBT B B T B B T B T
AS BR AA A S B B R A A B S B B A R A A S B R
+ − + − −
+ − + − + − + + − + + − −= = = =
+ + + +
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
Bm(z) sera forcément de la forme : , Bm’(z) à spécifier( ) ( ) ( ) 'm mB z B z B z−=
(1) '(1) (1)1 '
(1) (1)m m
mm
B B AB
A B
−
−= ⇒ =
144
Analyse en cas de compensations
1 1
1 1 1 1 1 1c
B B A R A A A RA A TU Y V W
A A B S B B A R A A B S B B A R A A B S B B A R
+ − + + − ++ −
+ − + + − + + − + + − + + − + + − += − −+ + +
1 1
1 1 1 1 1 1c
B B B S A A B SB B TY Y V W
A A B S B B A R A A B S B B A R A A B S B B A R
+ − + + − ++ −
+ − + + − + + − + + − + + − + + − += + ++ + +
( ) ( )1 1
1 11 1 1 1c
B R A A RA TU Y V W
A S B RB A S B R B A S B R
− + −−
− −+ − − + − −= − −
++ +
( ) ( )1 1
1 11 1 1 1c
B B S A SB TY Y V W
A S B RA A S B R A A S B R
− + −−
− −+ − − + − −= + +
++ +
Tout zéro de B compensé devient pôle de U/Yc et U/W
Tout pôle de A compensé devient pôle de Y/Yc et Y/V Interdiction de compenser des pôles/zéros instables
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
145
Importance du signe des pôles/zéros compensés
1
( ) 1( ) ( ) ( 1)
( ) 1i
i
S zs n e n z s n
E z z z−= ⇒ = ± −±
( ) ( ) ( 1)
(0) 1
(1) (0) (0)
(2) (1) (1)
...
i
i
i
s n e n z s n
s
s z s s
s z s s
= + −== <= <
Impulsion discrète e(0) = 1, e(n) = 0, n > 0
s
n0
( ) ( ) ( 1)
(0) 1
(1) (0) 0
(2) (1) 0
...
i
i
i
s n e n z s n
s
s z s
s z s
= − −== − <= − >
s
n00
Re(z)
Im(z)1
Lorsque le pôle/zéro compensé est négatif, il peut se produi re une réponsepseudo-oscillante pas forcément compatible du cahier des c harges et du système. Même stables, les pôles/zéros négatifs ne sont pas systémat iquement compensables
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Pôle négatif
Pôle positif
146
TD5Exercice 1
( )U z( )cY z ( )Y z+
−1( )T z−
1( )R z−
1
1
( )S z−
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
147
TD5Exercice 2
Régulation de puissance fournie par une éolienne
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
Te = 50 ms
148
Cahier des charges
1) Etablir le modèle discret et le simplifier au vue du cahier des charges2) Donner la méthode permettant l’obtention d’un régulateur R,S,T correspondant en justifiant de la
structure des polynômes3) Evaluer l’erreur statique pour une phase de montée en puissance en rampe en prenant :
4) Comment modifier le régulateur précédent afin d’annuler l’erreur statique en réponse à une consigne en rampe
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )
1 1
1 4 1 2 1
1 5 1 1
1
8,415.10 1 2,0876 1,103 1 0.9048
7.239.10 1 0.9048 1 0.8187
S z z
R z z z z
T z z z
− −
− − − − −
− − − −
= −
= − + −
= − −
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149
Bibliographie
Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis
Ouvrages de référence
150
E. Godoy et al. – Régulation industrielle – Dunod – 2007
J. Gille, P. Decaulne, M. Pélegrin – Théorie et calcul des asservissements linéaires – Dunod - 1993
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