Correction des systèmes asservis D. Bareille 2007
Correction des systèmes asservis
D. Bareille
2007
Correction
pX pY+ - H(p)
K(p)
BF
pp
p p
HT1 H K
p p pT H KFonction de transfert en boucle ouverte :
Fonction de transfert en boucle fermée :
Correction
• Précision :
• Stabilité :
comportement en basses fréquences
comportement à des fréquences
voisines de T. (marge de phase M
Fonction de transfert
Précision statique relative
Marge de phase
Correction
35T p1 1 p 100 1 p 2500
1000T p2 1 p 100 1 p 2500
0 0
1X 1 T
2,8 % 0,1 %
M
M
Peu précis Peu stable
Rapidité
Peu précis Peu stable
Correction pX pY
+ - H(p)
K(p)
C(p)
Il faut modifier la fonction de transfert du système :
p1T p2T
introduire un correcteur
augmenter le gain en basse fréquence
ne pas agir en basse fréquence
ne pas agir autour de T augmenter la phase autour de T
Problème de précision
Correcteur Proportionnel Intégral
augmenter le gain en basse fréquence ne pas agir autour de T
i
1C p K 1
i i p
1 p iC p Ki i p i
avec 1i i
Diagramme de Bode d’un PI K=0,966 w3=100rds-1
Pulsation (rd/sec)
Arg
um
en
t (d
eg
); G
ain
(d
B)
Diagramme de Bode
-10
0
10
20
30
40
10-4
10-3
10-2
10-1
-100
-80
-60
-40
-20
0
To: Y
(1)
Correcteur PI Bode k=0,966 w3=100
Pulsation (rad/sec)
Arg
um
en
t (d
eg
); G
ain
(d
B)
Diagrammes de Bode
-40
-20
0
20
40
60
80
100
101
102
103
104
-200
-150
-100
-50
0
Correcteur PI Nyquist k=0,966 w3=100
Axe réel
Ax
e i
ma
gin
air
eDiagrammes de Nyquist
-5 0 5 10 15 20 25 30 35-25
-20
-15
-10
-5
0
Correcteur PI réponses indicielles k=0,966 w3=100
Temps (s)
Am
plitu
de
Réponses indicielles
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0120
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
To: Y
(1)
Correcteur PI réponses indicielles k=1 w3=50
Temps (s)
Am
plit
ud
e
Réponses indicielles
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030
0.5
1
1.5
Correcteur PI Nyquist K=1, w3=50
Axe réel
Axe
im
ag
ina
ire
Diagrammes de Nyquist
-5 0 5 10 15 20 25 30 35
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Problème de précision
Correcteur à retard de phase
augmenter le gain en basse fréquence ne pas agir autour de T
1 p 3C p Ki i 1 p 4
Limiter l’amplification en continu
Bodes T1(p) Co NC et C
Pulsation (rd/sec)
Arg
um
en
t (d
eg
); G
ain
(d
B)
Diagrammes de Bode
-40
-20
0
20
40
60Gm = Inf, Pm=35.227 deg. (at 3652.4 rad/sec)
10-1
100
101
102
103
104
-200
-150
-100
-50
0
35T p1 1 p 100 1 p 2500
28,2 1 p 50C pi 1 p 3,3
Nyquist T1(p) Co NC et C
Axe réel
Ax
e i
ma
gin
air
eDiagrammes de Nyquist
-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
35T p1 1 p 100 1 p 2500
28,2 1 p 50C pi 1 p 3,3
T1(p) réponses indicielles C et NC
Temps (s)
Am
pli
tud
eRéponses indicielles
0
0.5
1
1.5
2
2.5
35T p1 1 p 100 1 p 2500
28,2 1 p 50C pi 1 p 3,3
Problème de stabilité
Correcteur Proportionnel Dérivé
augmenter la phase autour de T
ne pas agir en basse fréquence
dC p K 1 pd d
C p K 1 p dd d avec 1 dd
Correcteur dérivé Kd=1 wd=15000
Pulsation (rad/sec)
Arg
um
en
t (d
eg
); G
ain
(d
B)
Diagramme de Bode
0
5
10
15
20
103
104
105
0
20
40
60
80
100
To: Y
(1)
Correcteur dérivé Kd=1 wd=15000 Bode
Pulsation (rad/sec)
Arg
um
en
t (d
eg
); G
ain
(d
B)
Diagrammes de Bode
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
101
102
103
104
105
-200
-150
-100
-50
0
50
100
To: Y
(1)
Correcteur dérivé Kd=1 wd=15000 Nyquist
Axe réel
Ax
e i
ma
gin
air
eDiagrammes de Nyquist
-20 -15 -10 -5 0 5 10-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0T
o: Y
(1)
Correcteur dérivé Kd=1 wd=15000 Réponse indicielle
Temps (s)
Am
pli
tud
eRéponses indicielles
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x 10-3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Problème de stabilité
Correcteur Proportionnel Dérivé
augmenter la phase autour de T
ne pas agir en basse fréquence
3
4
1 pC p K
d d 1 p
Limiter l’amplification en hautes fréquences
Bode 1000
Pulsation (rad/sec)
Arg
um
en
t (d
eg
); G
ain
(d
B)
Diagrammes de Bode
-60
-40
-20
0
20
40
60Gm = Inf, Pm=-180 deg. (at 0.00017263 rad/sec)
101
102
103
104
105
106
-200
-150
-100
-50
0
50
1 1 p 15000
C pD 1 p 75000
1000T p2 1 p 100 1 p 2500
Nyquist 1000
Axe réel
Ax
e i
ma
gin
air
eDiagrammes de Nyquist
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0From: U(1)
To: Y
(1)
1 1 p 15000
C pD 1 p 75000
1000T p2 1 p 100 1 p 2500
Time (sec.)
Am
plit
ud
eRéponses indicielles
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x 10-3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
1 1 p 15000
C pD 1 p 75000
1000T p2 1 p 100 1 p 2500
Correcteur PID
Correcteur Proportionnel Intégral Dérivé
augmente le gain en basse fréquence “apporte de la phase” autour de T
d
di
1 pC p K 1
p 1 p
PID
Pulsation (rad/sec)
Arg
um
en
t (d
eg
) ;
Ga
in (
dB
)Diagrammes de Bode
100
101
102
103
104
105
106
-90
-60
-30
0
30
60
90
0
10
20
30
40
50
Correcteur PID
améliore la stabilité, permet une augmentation de la rapidité
• à degré de stabilité constant elle diminue le temps de réponse,• à temps de réponse constant, elle augmente la marge de phase
L’action dérivée
L’action intégrale
élimine l’erreur statique,• vis à vis de la consigne• vis à vis d’une perturbation.
PID + T1(p) P=10 I=1000 D=3,8e-3 N=100000
Pulsation (rad/sec)
Arg
um
en
t (d
eg
) ;
Ga
in (
dB
) Diagrammes de Bode
101
102
103
104
105
-200
-150
-100
-50
0
50
100
-100
-50
0
50
100
K=10 i=100rds d= 2600rds
Rose
20
2000
7,69e-3
1e6
vert Rouge bleu
P 1 5 10
I=100*P 100 500 1000
D=P 2600 3,846e-4
N 26000 1e5 1e5
Réponses indicielles PID + T1(p)
Time (sec.)
Am
pli
tud
eRéponses indicielles
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10-3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Kp=1
tr5%=0,871ms
Kp=5tr5%=0,152ms
Kp=10tr5%=0,0638ms
Kp=20tr5%=0,0422ms
Amélioration du temps de réponse par un PID
Pulsation (rad/sec)
Arg
um
en
t (d
eg
); G
ain
(d
B)
Diagrammes de Bode
102
103
104
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
To: sort
ie
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
M
35T p1 1 p 100 1 p 2500
Rapidité
Time (sec.)
Am
plit
ude
Réponse indicielle
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 10-3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Sortie
Erreur
0,962
35T p1 1 p 100 1 p 2500
Time (sec.)
Am
plit
ude
Temps de réponse
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 10-3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
tr5%=1,74ms
35T p1 1 p 100 1 p 2500
Pulsation (rad/sec)
Arg
um
en
t (d
eg
); G
ain
(d
B)
Diagrammes de Bode
-40
-20
0
20
40
60Gm = Inf, Pm=9.405 deg. (at 15713 rad/sec)
10-1
100
101
102
103
104
105
-200
-150
-100
-50
0
M
rds
1000T p2 1 p 100 1 p 2500
Rapidité
Time (sec.)
Am
plit
ude
Réponse indicielle
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 10-3
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Sortie
Erreur
0,999
1000T p2 1 p 100 1 p 2500
Time (sec.)
Am
plit
ude
Temps de réponse
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 10-3
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
tr5%=2,22ms
1000T p2 1 p 100 1 p 2500
Axe réelDiagrammes de nyquist
-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Axe imaginaire
A
M
M
35T p1 1 p 100 1 p 2500
1000T p2 1 p 100 1 p 2500
Axe réelDiagrammes de nyquist
-200 0 200 400 600 800 1000-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
Axe imaginaire
Axe réelDiagrammes de nyquist
-200 0 200 400 600 800 1000-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
Axe imaginaire
35T p1 1 p 100 1 p 2500
1000T p2 1 p 100 1 p 2500
Correcteur PI
Frequency (rad/sec)
Phase (
deg);
Magnitude (
dB
)
Diagrammes de Bode
10-1
100
101
102
103
104
-200
-150
-100
-50
0
To: O
utp
ut P
oin
t
-50
0
50
100
35T p1 1 p 100 1 p 2500