CORSO DI MATEMATICA - hoepli.it · 2.3 Disequazioni equivalenti e principi di equivalenza delle disequazioni 278 2.4 Grado di una disequazione 279 2.5 Ricerca delle soluzioni di una
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CORSODI MATEMATICA
Per il primo biennio
Algebra 2
MARIOLINA CAPPADONNA
EDITORE ULRICO HOEPLI MILANO
Frazioni algebriche 2
1.1 Monomi frazionari 2
1.2 Elevamento a potenza, avente per
esponente un numero relativo,
di un monomio 3
1.3 Frazioni algebriche 5
Operazioni con le frazionialgebriche 8
2.1 Minimo comune multiplo
di più monomi interi 8
2.2 Minimo comune multiplo
di più polinomi 9
2.3 Operazioni con le frazioni
algebriche 10
2.4 Espressioni contenenti frazioni
algebriche 14
2
1
ESERCIZI
INDICE
Sapere 15
Saper fare 17
Riepilogativi 29
ESERCIZI
Radicali 44
1.1 Radicali numerici e letterali 44
1.2 Condizioni di esistenza di un
radicale letterale 44
1.3 Operazioni con i radicali 45
1.4 Espressioni irrazionali 56
1.5 Razionalizzazione del
denominatore di una frazione 56
1.6 Radicali quadratici doppi 59
Semplici equazioni numerichedi primo grado contenenticoefficienti irrazionali 60
Semplici sistemi di equazioninumeriche di primo gradocontenenti coefficienti irrazionali 60
3
2
1
I radicali2Calcolo letterale(2ª parte)1
Presentazione IX
RECUPERO 32 RECUPERO 99
Sapere 62
Saper fare 63
Riepilogativi 89
Sapere 212
Saper fare 213
Riepilogativi 222
INDICE
IV
Equazioni numeriche interedi secondo grado 124
1.1 Equazioni numeriche intere
di secondo grado monomie 125
1.2 Equazioni numeriche intere
di secondo grado pure 125
1.3 Equazioni numeriche intere
di secondo grado spurie 127
1.4 Equazioni numeriche intere
di secondo grado complete 128
1.5 Formula risolutiva ridotta
di un’equazione numerica intera
completa di secondo grado 131
1.6 Relazioni tra i coefficienti e le
soluzioni di un’equazione
numerica intera di secondo
grado determinata in R 132
1.7 Scomposizione di un trinomio
completo di secondo grado 133
Problemi di secondo grado in una sola incognita 135
Regola di Cartesio 1363
2
1
ESERCIZI
Sapere 140
Saper fare 143
Riepilogativi 161
Equazioni di secondo gradoin una sola incognita3
Equazioni di gradosuperiore al secondo 180
1.1 Equazioni numeriche intere
di grado superiore al secondo 180
1.2 Equazioni numeriche intere
di grado superiore al secondo
riconducibili a più equazioni
di grado inferiore mediante
scomposizione 180
1
1.3 Equazioni numeriche intere
monomie 182
1.4 Equazioni numeriche intere
binomie 182
1.5 Equazioni numeriche intere
trinomie 184
1.6 Equazioni reciproche 185
Sapere 187
Saper fare 188
Riepilogativi 197
Equazioni di gradosuperiore al secondo4
RECUPERO 168
ESERCIZI
ESERCIZI
RECUPERO 199
RECUPERO 224
Equazioni numeriche frazionarie 206
1.1 Principi di equivalenza e loro
conseguenze 206
1.2 Risoluzione di un’equazione
numerica frazionaria 207
Equazioni di quarto grado reciproche di prima specie 209
2
1
Equazioni frazionarie5
Sistemi di equazioni di secondo grado 230
1.1 Sistemi numerici interi
di secondo grado in
due incognite 230
1.2 Sistemi simmetrici 233
Sistemi numerici interi di grado superiore al secondo 234
2
1
Sistemi di equazioni6
INDICE
V
Disequazioni numeriche interedi secondo grado 304
Disequazioni di grado superioreal primo risolvibili con ilmetodo della scomposizione 311
2
1
Disequazioni numeriche interedi grado superiore al primo8
Disuguaglianze e loroproprietà 276
Disequazioni 277
2.1 Classificazione delle
disequazioni 277
2.2 Risoluzione di una
disequazione 278
2.3 Disequazioni equivalenti e
principi di equivalenza delle
disequazioni 278
2.4 Grado di una disequazione 279
2.5 Ricerca delle soluzioni di una
disequazione numerica intera
di primo grado in una sola
incognita 280
2
1
Disequazioni numericheintere di primo grado7
ESERCIZI
ESERCIZI
RECUPERO 298
RECUPERO 327
RECUPERO 266
Disequazioni numeriche frazionarie 336
1
Disequazioni frazionarie9
Sistemi di disequazioninella stessa incognita 354
1
Sistemi di disequazioni10
Sistemi numerici frazionari 2373
Sapere 239
Saper fare 240
Riepilogativi 257
Sapere 286
Saper fare 288
Riepilogativi 297
Sapere 314
Saper fare 315
Riepilogativi 324
Sapere 340
Saper fare 341
Riepilogativi 347
Sapere 359
Saper fare 359
Riepilogativi 368
ESERCIZI
Equazioni con valore assolutoin una sola incognita 376
Disequazioni con valoreassoluto in una sola incognita 377
2
1
Semplici equazioni e disequazioni con valore assoluto11
ESERCIZI
RECUPERO 348
ESERCIZI
RECUPERO 371
ESERCIZI
Sapere 379
Saper fare 379
Riepilogativi 381
INDICE
VI
Esercizi per le prove PISA 443
Sapere 393
Saper fare 394
Riepilogativi 405
ESERCIZI
ESERCIZI
Cenni di calcolodelle probabilità 410
1.1 Introduzione 410
1.2 Operazioni logiche fra eventi 410
1.3 Frequenza di un evento 413
1.4 Probabilità di un evento 414
1.5 Differenza tra frequenza e
probabilità 415
1.6 Teoremi sul calcolo delle
probabilità 416
Cenni di statistica 419
2.1 Introduzione 419
2.2 Rappresentazioni grafiche 419
2
1
Cenni di probabilità e statistica13
Sapere 425
Saper fare 427
Riepilogativi 437
Equazioni letterali 384
1.1 Equazioni letterali in una
sola incognita 384
1.2 Risoluzione di un’equazione
letterale intera di primo grado
in una sola incognita 384
1.3 Risoluzione di un’equazione
letterale intera di secondo grado
in una sola incognita 386
1.4 Risoluzione di un’equazione
letterale frazionaria
in una sola incognita 390
Disequazioni letterali 391
2.1 Disequazioni letterali in una
sola incognita 391
2.2 Risoluzione di una disequazione
letterale intera di primo grado
in una sola incognita 391
2
1
Semplici equazioni e disequazioni letterali12
VII
Il libro di testo è uno strumento didattico principalmente rivolto agli studenti ma, contem-
poraneamente, deve rispondere in modo completo alle richieste di tipo metodologico del
docente che intende usarlo.
Questo Corso di matematica tiene conto sia delle segnalazioni e delle informazioni perve-
nute nel corso degli anni da studenti e docenti di matematica, sia dell’esperienza didattica
maturata nella quotidianità dell’insegnamento.
L’impostazione metodologica dell’opera presenta sfaccettature particolari e innovative.
Aspetti originali sono ravvisabili nell’anticipazione, rispetto alla loro trattazione approfon-
dita, di alcuni concetti o temi, sia perché utilizzati come strumenti propedeutici di quelli suc-
cessivi, sia al fine di facilitare il loro apprendimento (come, per esempio, risolvere semplici
equazioni di primo grado già dal capitolo dei numeri naturali), nel ricorso a schemi, grafici,
figure geometriche o tabelle per risolvere esercizi proposti, nell’utilizzo dei numeri “sotto il
segno di radice” sin dal primo capitolo sui numeri, nell’utilizzo di concetti e nelle trattazio-
ni di temi spesso dimenticati dai libri della scuola media superiore (per esempio le operazio-
ni con i numeri decimali, i problemi contenenti cambiamenti di unità di misura, le percen-
tuali, gli sconti, le formule inverse).
Tutto questo tenendo sempre ben presente che è lo studente il soggetto al centro del lavo-
ro di tutti i giorni e che l’obiettivo principale e costante deve essere il creare successi
didattici.
Il Corso di matematica è suddiviso in tre volumi: Algebra 1, Algebra 2 e Geometria ed è
rivolto agli studenti del primo biennio dei licei e degli istituti tecnici. I tre volumi percor-
rono infatti tutti i temi di matematica previsti dalle linee ministeriali per i primi due anni.
Le nozioni sono presentate con linguaggio chiaro e conciso, tuttavia rigoroso come richie-
de la disciplina, e sono sempre accompagnate da esempi esplicativi.
PRESENTAZIONE
PRESENTAZIONE
VIII
Nei due volumi di algebra, dopo la trattazione di
alcuni argomenti già noti agli studenti, viene dato
ampio spazio agli insiemi numerici, al linguaggio
algebrico, alle applicazioni in ambito algebrico, non
solo prettamente orientate in ambito matematico, ma
anche verso contesti più generali. All’interno dei due
volumi vengono infatti proposti problemi di
Matematica pratica, problemi e compiti che ogni
studente può incontrare nella vita di tutti i giorni e in
cui è necessario applicare principi e ragionamenti
matematici. Essi hanno l’obiettivo di disabituare i
giovani a risolvere solo problemi di tipologia classi-
ca (dato x, calcola y) e puntano a sviluppare la capa-
cità degli studenti di utilizzare le loro conoscenze per
affrontare compiti e prove di vita quotidiana. VIII
1Richiami diinsiemistica
CAPITOLO
ESERCIZI
unpo’ diaiuto
Marco ha ricevuto un sacchetto con 495 caramelle, 110 al limone e 385
all’arancia. Marco non riesce a dividere le caramelle in più sacchetti in modo
che tutti i sacchetti contengano la stessa composizione di caramelle al limone e
all’arancia e, inoltre, che tutte le caramelle vengano utilizzate. Qual è la soluzione del
problema di Marco?
Il problema è risolvibile mediante l’applicazione del MCD.
Il numero di sacchetti deve essere un divisore comune di 110 e di 385:
110 = 2 · 5 · 11 385 = 5 · 7 · 11
per cui MCD(110, 385) = 5 · 11 = 55.
Ciascuno dei 55 sacchetti dovrà contenere 495 : 55 = 9 caramelle in tutto.
Il dirigente scolastico e i suoi stretti collaboratori si riuniscono ogni 14 giorni, i docen-
ti ogni 16 giorni e il personale non docente ogni 24 giorni. Se oggi le tre categorie si
sono riunite, tra quanto si riuniranno nello stesso giorno?
Il problema si risolve con l’aiuto del mcm infatti, la risposta al quesito è il più picco-
lo multiplo comune tra 14, 16 e 24, ossia:
mcm(14, 16, 24) = 336
Risolvere i seguenti problemi con l’ausilio del MCD e del mcm
Una lavanderia possiede tre lavabiancheria. Una deve essere revisionata tra 30 gior-
ni, un’altra tra 15 giorni e la terza tra 20 giorni. Oggi sono state revisionate tutte e
tre. Tra quanto tempo ricapiterà la revisione contemporanea?
Quattro colleghi di lavoro si recano nella filiale della loro azienda con le seguenti
modalità:
• il primo ogni cinque giorni;
• il secondo ogni quindici giorni;
• il terzo ogni venti giorni;
• il quarto ogni venticinque giorni.
Oggi si sono ritrovati tutti insieme nella filiale. Tra quanto tempo si ritroveranno
ancora tutti e quattro nella filiale?
Una parte di corridoio cieco della casa di Giulia è un quadrilatero avente i lati lun-
ghi rispettivamente 200 cm, 120 cm, 130 cm, 150 cm. Giulia vuole illuminarlo con
dei faretti, in modo che all’inizio e alla fine di ogni lato del corridoio ce ne sia sem-
pre uno e che, inoltre, la distanza tra due faretti consecutivi sia costante sui quattro
lati e la più grande fra tutte le possibilità. A quale distanza deve installare i faretti?
Quanti faretti saranno necessari?
[10 cm; 60]
Paolo deve riporre in una cassettiera 15 paia di calzini neri, 25 paia di calzini grigi
e 20 paia blu. Se li vuole riporre in modo da occupare il maggior numero possibile
di cassetti e che in ognuno di essi vi siano tre tipi diversi di calzini e lo stesso nume-
ro di paia per colore, di quanti cassetti deve disporre? Quante paia di calzini di cia-
scun colore saranno riposti in ogni cassetto?
[5; 3, 5, azioni elementari in N
265
264
263
262Matematica
PRATICA
In fondo ai volumi di algebra è
presente la sezione Esercizi per le
prove PISA, esercizi strutturati e
costruiti secondo i criteri di indagi-
ne e valutazione su cui si basano le
prove OCSE-PISA che hanno l’obiet-
tivo di sviluppare la capacità degli stu-
denti di misurare le proprie scelte e di
prendere decisioni mediante l’applica-
zione, a contesti extrascolastici, di quan-
to viene da loro appreso a scuola.
Il primo volume di algebra contiene anche
una panoramica sull’evoluzione storica
dei numeri, dall’antichità fino ai giorni
nostri.
La storiadei numeri
n Gli uomini preistoriciconoscevano i numeri?
n I sistemi di numerazione
nell’antichitàn Curiosità sui numeri
n I nomi dei grandi numeri
in Europan Una conquista numerica
dei nostri giorni
Esercizi per
le prove PISA
n I sette ponti di Könisberg
n Il tuono
n Il segnale luminoso
n Il cambio
n La scala
n La TV
n Il compleanno di Andrea
n Il mago matematico
n Il dado
n La classifica
n I fusi orari
n Il cioccolatino
n La multa
n I poligoni
n Il tempo libero
n Le zampe
n I piccioni
n L’età
n La verifica di matematica
n Le caramelle
1Costruzioni geo-
metriche
CAPITOLO
TEORIA
VIII
1 Poligoni inscritti in una circonferenza
1.1 Poligoni inscritti in una circonferenza
DEFINIZIONE
Un poligono avente tutti i vertici su una circonferenza prende il nome di poligono inscritto nella cir-
conferenza.
Una circonferenza che contiene un poligono in essa inscritto prende il nome di circonferenza circo-
scritta al poligono.
DEFINIZIONE
Un poligono è inscrittibile in una circonferenza quando esiste una circonferenza passante per tutti i
suoi vertici.
Se tutti i vertici di un poligono sono punti di una semicirconferenza e uno dei lati del poligono è il diametro
della semicirconferenza, il poligono si dice inscritto nella semicirconferenza.
■ Un triangolo qualsiasi è sempre inscrittibile.
■ Se gli assi dei lati di un poligono si intersecano in uno stesso punto allora il poligono è inscrittibile
in una circonferenza.
Il punto di intersezione degli assi dei lati di un poligono inscritto in una circonferenza è il centro della cir-
conferenza circoscritta.
Sia ABC un triangolo qualsiasi.
Ipotesi: ABC è un triangolo qualsiasi.
Tesi: ABC è inscrittibile.
Dimostrazione:
Il circocentro di un triangolo qualsiasi è equidistante dai tre vertici quindi la circonferenza avente per rag-
gio tale distanza è circoscritta al triangolo. Tale circonferenza è unica poiché per tre punti non allineati (i
1.2 Poligoni inscrittibili
ABCD è un poligono (trapezio) inscrittoin una semicirconferenza di diametro AB.A B
D C
O
ABCDEF è unpoligono (esagono)inscritto nellacirconferenza.A
B
D
C
E
F
O
Il poligono ABCD
(quadrilatero)non è inscritto nellacirconferenza.
D
A
C
B
O
Il volume di geometria fornisce la trattazione com-
pleta della geometria euclidea (piana e solida) ed è
corredato di molte figure esemplificative nonché di
dimostrazioni guidate, al fine di accompagnare lo
studente nell’applicazione dei teoremi appresi a
casi concreti. Le dimostrazioni di teoremi presenti
nel volume solo in forma enunciata sono fornite
nella guida per il docente.
PRESENTAZIONE
IX
Ogni volume è suddiviso in capitoli a loro volta strut-turati in paragrafi e sottoparagrafi.Nella pagina di apertura sono elencate le conoscenze(sapere) e le competenze (saper fare) che lo studiodegli argomenti permetterà di acquisire.In basso sono indicate le attività di laboratorio e diesercizi e/o approfondimenti disponibili online,collegate al capitolo stesso.
Ogni nuovo concetto e ciascuna delle proprietà introdotte sono inoltre corredati di una seriedi esempi chiarificatori nei quali ogni passaggio è spiegato in modo articolato e puntuale.All’interno di molti paragrafi dei volumi di algebra sono presenti i Casi particolari cheaccompagnano gli studenti nell’immediata applicazione a casi specifici, spesso a loro giànoti, delle nozioni teoriche apprese.
SAPERE
Al termine di questo capitolo, avrai appreso:
n le definizioni di quoziente di due monomi
n la definizione di elevamento a potenza
di un monomio
n la definizione di monomio frazionario
n il significato di valore numerico
di un monomio frazionario
n la definizione di frazione algebrica
n il significato di valore numerico
di una frazione algebrica
n la definizione di frazione algebrica
irriducibile
n la definizione di mcm di più monomi
n la definizione di mcm di più polinomi
n la definizione delle operazioni tra frazioni
algebriche
SAPER FARE
Al termine di questo capitolo, sarai in grado di:
n riconoscere un monomio frazionario
n distinguere un monomio frazionario da una
frazione algebrica
n determinare il dominio di una frazione
algebrica
n calcolare il valore numerico di una frazione
algebrica per particolari valori numerici
attribuiti alle sue lettere
n semplificare una frazione algebrica
n ridurre ai minimi termini una frazione
algebrica
n determinare il mcm di più monomi
n determinare il mcm di più polinomi
n ridurre più frazioni algebriche allo stesso
denominatore
n addizionare algebricamente più frazioni
algebriche
n moltiplicare più frazioni algebriche
n dividere due frazioni algebriche
n elevare a potenza una frazione algebrica
n calcolare espressioni contenenti frazioni
algebriche
Calcolo letterale
(2ª parte) 1CAPITOLO
Risorse online
Laboratorio con
EXCEL
Laboratorio con
DERIVEESERCIZI
CLILMath
1Richiami di
insiemistica
CAPITOLO
TEORIA
IX
Gli insiemi
1.1 Il concetto di insieme
Non è possibile dare una definizione di insieme perché per farlo sarebbe necessario far uso di
suoi sinonimi. Il concetto di insieme è quindi intuitivo e per assimilarlo è sufficiente pensare
a una collezione di elementi, a una raccolta di oggetti ben definiti, a un elenco di nomi ecc.
1.2 Gli insiemi e i simboli
Gli insiemi si indicano solitamente con lettere maiuscole dell’alfabeto (A, B, C, ...) e i loro
elementi con lettere minuscole (a, b, c, ...).
Per indicare che x è uno degli elementi di un certo insieme Y, si scrive: x ∈Y e si legge: x
appartiene all’insieme Y; per indicare che x non è un elemento di Y, si scrive: x ∉Y e si
legge: x non appartiene all’insieme Y. Non tutti gli insiemi contengono elementi. L’in-
sieme dei voti insufficienti della pagella di fine anno di uno studente ammesso alla classe
successiva, per esempio, è un insieme privo di elementi.
esempio
Sono insiemi: gli alunni di una stessa classe, gli abiti contenuti in un armadio, i numeri
naturali, gli oggetti contenuti in un astuccio, i nomi degli studenti di una classe.
esempio
• L’insieme dei numeri pari è sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri naturali.
• L’insieme degli studenti della classe I A è un sottoinsieme proprio dell’insieme degli
alunni della scuola frequentata dalla I A.
DEFINIZIONE
• Un insieme che non possiede elementi si dice vuoto e si indica con il simbolo ∅.
• Se gli elementi di un insieme si possono contare e il conteggio ha termine, l’insieme
si dice finito; altrimenti, si dice infinito.
• Se tutti gli elementi di un insieme A sono anche elementi di un insieme B e, vicever-
sa, tutti gli elementi di B sono anche elementi di A, allora A e B si dicono uguali. In
simboli: A = B. Se due insiemi A e B non sono uguali, si scrive: A ≠ B.
• Dati due insiemi A e B, se ogni elemento di A è anche elemento di B e B contiene
almeno un elemento (ne può contenere più di uno) che non appartiene ad A, allora si
dice che A è un sottoinsieme proprio dell’insieme B. In simboli: A ⊂ B e si legge: A
è incluso in B, A è contenuto in B.
Con A ⊆ B si intende che A è un sottoinsieme improprio di B, ossia che A può esse-
re un sottoinsieme di B o coincidere con B.
È possibile scrivere la relazione A ⊂ B anche nella forma: B A che si legge: B contiene A.
Il simbolo ⊂ deve essere sempre preceduto e seguito da insiemi o da simboli che indicano
insiemi. Scrivere x ⊂ Y o 1 ⊂ N è errato. Scrivere X ⊂ Y o {x, y, z} ⊂ Y è corretto.
Se gli elementi di un insieme sono solo numeri, l’insieme prende il nome di insieme
numerico. Con la lettera N si indica l’insieme dei numeri naturali; con Z l’insieme dei
numeri interi relativi, con Q l’insieme dei numeri razionali e con R l’insieme dei numeri
reali. N0, Z0, Q0 e R0 indicano gli stessi insiemi numerici, ma privati dello zero. Gli insie-
mi numerici saranno studiati nei capitoli successivi.
Scrivere x ⊂ Y o 1 ⊂ N è errato. Scrivere X ⊂ Y o {x, y, z} ⊂ Y è corretto.
⊂
1Richiami diinsiemistica
CAPITOLO
TEORIA
IX
1.3 Rappresentazione di un insieme
Un insieme può essere rappresentato mediante:
• elencazione, scrivendo uno di seguito all’altro i suoi elementi tra due parentesi graffe:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5};• proprietà caratteristica, specificando tra due parentesi graffe la proprietà che caratteriz-
za i suoi elementi: X = {n ∈N 0 ≤ n ≤ 50}, per esempio, rappresenta l’insieme dei nume-
ri naturali minori o uguali a 50 (dove la barra si legge tale che);
• rappresentazione grafica, con i diagrammi di Eulero-Venn ovvero con linee chiuse entro
le quali si racchiudono gli elementi dell’insieme.
CASIPARTICOLARIn Per rappresentare, mediante i diagrammi di Eulero-Venn, che un insieme è con-
tenuto in un altro, si devono:
• disegnare le due linee chiuse, corrispondenti ai due insiemi, l’una interna
all’altra; • distribuire nella parte comune (quella “più interna”), gli elementi che apparten-
gono a entrambi gli insiemi;
• distribuire gli elementi che appartengono solo all’insieme, ma non al sottoin-
sieme, al di fuori della linea del sottoinsieme.
gommamatita
penna
esempio
Se A = {matita, penna} ⊂ B = {matita, penna, gomma, pennarello}, la rappresentazione
sarà:
CASIPARTICOLARIn L’insieme vuoto è considerato sottoinsieme proprio di qualsiasi altro insieme non
vuoto: ∅ ⊂ A, ∀A ≠ ∅ (dove il simbolo ∀, che prende il nome di quantificatore
universale e il cui significato sarà studiato nel prossimo capitolo, si legge per
ogni, per tutti).n Ogni insieme è sottoinsieme improprio di se stesso: A ⊆ A.
pennarello
matita
penna
gomma
A
B
PRESENTAZIONE
X
I testi propongono un elevato numero di eserci-
zi, articolati secondo la scansione dei capitoli,
dei paragrafi e dei sottoparagrafi. Gli esercizi
sono suddivisi in tre tipologie: Sapere, Saper
fare e Riepilogativi.
Gli esercizi del Sapere (completa, rispondi,
vero/falso, scelta multipla) sono prove di tipo
cognitivo e possono essere svolti in classe, con
la guida del docente, o in modo autonomo a
casa. In entrambi i casi permettono allo stu-
dente di gestire attivamente il processo di
apprendimento e l’acquisizione delle cono-
scenze, di memorizzare quanto appreso
durante la spiegazione, di utilizzare corretta-
mente il linguaggio matematico.
Gli esercizi del Saper fare (completa, scelta multipla, vero/falso, domande aperte) consento-
no di applicare le conoscenze acquisite nonché di verificare l’avanzamento del proprio pro-
cesso formativo. Ogni gruppo di esercizi è introdotto da Un po’ di aiuto, una raccolta di
esempi risolti e commentati, creata al fine di aiutare lo studente a gestire autonomamente la
propria capacità risolutiva.
Gli esercizi Riepilogativi sono collocati in fondo a ogni capitolo e offrono un concreto aiuto
nel processo di consolidamento e di rafforzamento delle conoscenze nonché nell’acquisi-
zione di una preparazione adeguata prima di una verifica sommativa.
X
1Richiami di
insiemistica
CAPITOLO
ESERCIZI
Esprimere i seguenti numeri nei sistemi di base n di seguito indicati
(228)10
n = 2, 16[(11100100)2; (E4)16]
(437)10
n = 2, 8, 16[(110110101)2; (665)8; (1B5)16]
(11111)2
n = 10, 16
[(31)10; (1F)16]
(52)10
n = 2, 3, 4[(110100)2; (1221)3; (310)4]
(8C)16
n = 2, 10[(10001100)2; (140)10]
(11111101)2n = 5, 10, 16
[(2003)5; (253)10; (FD)16]
(13000)5
n = 2, 3, 4, 10, 16
[(1111101000)2; (1101001)3; (33220)4; (1000)10; (3E8)16]
(125)6
n = 2, 10, 16[(110101)2; (53)10; (35)16]
(437)10
n = 4, 5[(12311)4; (3222)5]
(10111)2
n = 10, 16
[(23)10; (17)16]
(581)10
n = 2, 3, 5[(1001000101)2; (210112)3; (4311)5]
(7BC)16
n = 2, 10 [(11110111100)2; (1980)16]
(19260)10
n = 2, 3, 16
[(100101100111100)2; (4B3C)16; (222102100)3]
318
317
316
315
314
313
312
311
310
309
308
307
306
Stabilire se il risultato delle seguenti espressioni è un numero naturale
89 – 43
43 – 89
32 + 13 – 44
12 : 4 – 2
2 – 10 : 2
4 · 2 – 7
2 · 3 – 6
5 – 3 · 2
[10 – 10 : 10 – 9] : (1 – 1)[4 · 5 – (12 – 7)] : 3 · 5 – 1
Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false
01 = 0
V F
00 = 1
V F
218 : 29 = 218:9 = 22
V F
(12 + 3) – 5 è la somma di dodici con tre e cinque.V F
34 – (2 · 3 + 1) è la sottrazione tra il quadruplo di tre
e il precedente del doppio di tre.
V F
4 : 2 + 23 è l’addizione tra la metà di quattro e il cubo di due.V F
21 non è divisibile per 2 perché 21 : 2 = 10 con resto non nullo. V F
19
18
17
16
15
14
13
8 53 +12
27 163 +11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
ESERCIZI RIEPILOGATIVI
X
1Richiami diinsiemistica
CAPITOLO
ESERCIZI
Qualsiasi siano gli insiemi A e B: A ∪ B = B ∪ A. V F
Qualsiasi siano gli insiemi A e B: A × B = B × A. V F
Qualsiasi siano gli insiemi A e B: A – B = B – A. V F
Qualsiasi siano gli insiemi A, B e C: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). V F
SCELTA MULTIPLA
Se A ⊂ B ∧ A ≠ ∅ ⇒
a) A ∩ B = B b) A ∩ B = A
c) A ∩ B ≠ ∅ d) A ∪ B = ∅
Dati tre insiemi A, B e C, allora A ∩ (B ∪ C) è uguale a:
a) (A ∪ B) ∪ (A ∪ C) b) (A ∪ B) ∪ (A ∪ C)
c) (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) d) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Dato un insieme universo U, il complementare del complementare di un insieme A
è uguale:
a) all’insieme A b) all’insieme vuoto
c) all’intersezione tra A e U d) all’unione tra A e U
30
29
28
27
26
25
24
1.2 Gli insiemi e i simboli
SAPER FARE
unpo’ diaiutoInserire il simbolo mancante < , > o = tra le seguenti coppie di numeri:
45…65; 909…901; 488…478; 20…52; 10…2 ⋅ 5
I simboli < e >, da sinistra verso destra, si leggono minore e maggiore, per cui:
45 < 65; 909 > 901; 488 > 478; 20 < 52; 10 = 2 · 5
Inserire il simbolo mancante
–1 … N
12 … N
{0, 1, 2} … N
{0, 1, 2} … {n ∈N ⎢0 ≤ n ≤ 4}
{n ∈N ⎢n < 6} … {0}
{n ∈N ⎢n < 5} … {0, 1, 2, 3, 4}
Individuare la risposta giusta tra quelle proposte
Quattro è compreso tra uno e venti.
Il triplo della somma di due con il suo successivo è minore del cubo di tre e mag-
giore del doppio di 5.
80
79
6
5
4
3
2
1
SAPERE
COMPLETA
Un insieme è ……………………………..
Un insieme si dice finito se ……………………………..
Un insieme si dice infinito se ……………………………..
Due insiemi si dicono uguali se ……………………………..
Un insieme è sottoinsieme di un altro insieme se ……………………………..
I sottoinsiemi si distinguono in sottoinsiemi ……………………………. e ……………………………..
L’intersezione tra due insiemi è l’insieme costituito ……………………………..
L’unione tra due insiemi è l’insieme costituito ……………………………..
La differenza tra due insiemi è l’insieme costituito ……………………………..
Il complementare di un insieme A è l’insieme costituito ……………………………..
Il prodotto cartesiano di due insiemi è l’insieme costituito ……………………………..
Due insiemi si dicono disgiunti se ……………………………..
RISPONDI
Come si può rappresentare il prodotto cartesiano tra due insiemi?
La differenza tra due insiemi può essere uguale all’insieme vuoto?
A – B ⊆ A?
Come si possono rappresentare gli insiemi?
Un insieme finito può essere rappresentato con un diagramma di Eulero-Venn?
Che cos’è la proprietà caratteristica di un insieme?
Come si rappresentano, mediante i diagrammi di Eulero-Venn, due insiemi di cui
uno sottoinsieme dell’altro?
VERO/FALSO
L’insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme.V F
L’insieme unione tra due insiemi non è mai uguale all’insieme vuoto. V F
Il prodotto cartesiano tra due insiemi è uguale all’insieme vuoto
solo se ciascuno degli insiemi coinvolti nel prodotto è uguale
all’insieme vuoto.
V F
Se almeno uno dei due insiemi è uguale all’insieme vuoto, allora
l’insieme intersezione è uguale all’insieme vuoto.V F
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
ESERCIZI
PRESENTAZIONE
XI
Algebra 1 e Algebra 2 contengono, alla fine dialcuni capitoli, delle sezioni di recupero.Ogni sezione di recupero segue la struttura deicapitoli cui si riferisce. È infatti corredata di unripasso teorico, di esercizi del Sapere, del Saper
fare e Riepilogativi e costituisce un valido stru-mento per colmare le lacune eventualmente crea-tesi nella preparazione di base degli studenti.Le sezioni di recupero possono essere di gran-de aiuto anche per consolidare e rafforzarequanto già appreso.
Nelle pagine web:www.hoeplieditore.it/4432-0 (per i volumi di algebra) e www.hoeplieditore.it/4431-3
(per il volume di geometria) i contenuti dei volumi sono integrati da:• laboratorio di matematica con Excel e con Derive per i capitoli di algebra;• due capitoli di geometria analitica di base, con laboratorio Excel-Derive;• ulteriori esercizi per ogni capitolo;• lezioni di ripasso di argomenti di Algebra 1, propedeutici al programma di Algebra 2;• esercizi di matematica in lingua inglese basati sull’approccio metodologico CLIL;• laboratorio di geometria con GeoGebra per i capitoli di geometria;• un excursus dei momenti significativi del pensiero matematico fino ai giorni nostri.
In una sezione riservata al docente sono disponibili online per ogni capitolo ulteriori veri-fiche da somministrare in classe, con la possibilità di avere, tramite software di riordino,una ventina di prove differenti per ciascuna batteria di esercizi, nonché la traduzione deiquesiti e delle letture in inglese proposti nella sezione CLIL Math.
Ciascuno dei tre volumi del Corso di matematica è corredato di una Guida per il docente
contenente al suo interno tutti i risultati degli esercizi e dei problemi proposti nel testo.Nella guida relativa al volume di geometria sono fornite anche le dimostrazioni della mag-gior parte dei teoremi dei quali è presente nel testo solo la forma enunciata. Nelle guiderelative ai volumi di algebra il docente avrà a disposizione ulteriori verifiche di algebra perdiversi capitoli. Alcune pagine descrivono le modalità di svolgimento e il tipo di prepara-zione richiesto per le prove OCSE-PISA.
MARIOLINA CAPPADONNA
XI
7Equazioni
numeriche intere
di primogrado
CAPITOLO
RECUPERO
RECU
PERO
unpo’ diaiutoPer scomporre 225 in fattori primi, si traccia una linea verticaleimmediatamente alla destra del numero e, a destra della linea,si scrive il suo più piccolo divisore primo ovvero 3: 225 3Si divide 225 per 3 e si scrive il quoziente sotto il dividendo: 225 3
75Il procedimento si itera fino a quando il resto non diventa nullo:225 3
75 325 55 51 Per cui: 225 = 32 · 52
3.1 Numeri primi e numeri composti - 3.2 Criteri di divisibilità3.3 Scomposizione di un numero in fattori primiScomporre in fattori primi i seguenti numeri125, 236, 825 2222, 242, 4356 4840, 1100, 660 36360
5958
57
unpo’ diaiuto24, 48, 20Si scompone ogni numero in fattori primi:
24 = 23 · 3; 48 = 24 · 3; 20 = 22 · 5Per calcolare il MCD, si devono moltiplicare i fattori primi comuni ai numeri, ciascu-
no preso una sola volta e col minor esponente:MCD(24, 48, 20) = 22 = 4Per calcolare il mcm, si devono moltiplicare i fattori primi comuni e non comuni ai
numeri, ciascuno preso una sola volta e col maggior esponente:mcm(24, 48, 20) = 24 · 3 · 5 = 240
480252
3780132
1250900
346530 030
2401800
5401350
20 79048 510
3.4-3.5 MCD e mcmCalcolare il MCD e il mcm dei seguenti gruppi di numeri
7473
7271
7069
6867
6665
6463
6261
25, 35, 1514, 22, 28
12, 18, 4825, 45, 60
16, 8, 12818, 24, 36
12, 8, 2410, 25, 55
38, 19, 11420, 12, 36, 60
12, 48, 144, 1440 21, 42, 49, 7715, 30, 60, 45, 50 18, 9, 45, 27, 36
8887 86
8584 83
8281 80
7978 77
7675
Risorse online
Laboratorio con
EXCELLaboratorio con
DERIVE ESERCIZI CLILMath
Laboratorio con
GEOGEBRA
SAPERE
Al termine di questo capitolo, avrai appreso:
la definizione di disequazione frazionaria
i diversi tipi di disequazioni
SAPER FARE
Al termine di questo capitolo, sarai in grado di:
distinguere un’equazione da una disequazione
distinguere una disuguaglianza numerica da
una disequazione
riconoscere e risolvere una disequazione
numerica frazionaria
Disequazioni frazionarie
9CAPITOLO
Risorse online
Laboratorio con
EXCELLaboratorio con
DERIVE ESERCIZI CLILMath
9Disequazioni
frazionarie
CAPITOLO
TEORIA
336
Disequazioni numeriche frazionarie
Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se l’incognita compa-
re in almeno uno dei denominatori presenti nella disequazione.
Una disequazione frazionaria, dopo aver individuato il suo dominio, aver eseguito le eventua-
li operazioni in essa contenute, nel rispetto dei tre principi di equivalenza, e ridotto entrambi
entrambi i membri allo stesso denominatore, può essere ricondotta alla forma: o
.
Risolvere una disequazione di questo tipo significa studiare il segno della frazione algebrica
e questo, com’è noto, è dato dal prodotto del segno del numeratore per il segno del
denominatore.
Per far ciò, è necessario seguire la seguente procedura:
1. studiare separatamente il segno del numeratore e il segno del denominatore;
2. schematizzare entrambi i segni e precisamente:
• rappresentare sulla retta reale tutti i valori di x che annullano sia il numeratore, sia il
denominatore; se nella disequazione è presente anche il simbolo di uguaglianza, si
traccia un cerchio pieno in corrispondenza del valore che annulla il numeratore; in
tutti gli altri casi, si traccia un cerchio vuoto;
• tracciare due linee parallele alla retta reale, una corrispondente al segno del numera-
tore e l’altra a quello del denominatore, che sarà un tratto continuo, negli intervalli in
cui ciascun termine della frazione assume segno positivo, e non continuo, negli inter-
valli in cui assume segno negativo;
3. applicare la regola del segno di un prodotto (procedendo con la moltiplicazione in “ver-
ticale”, rispetto al lettore), individuando così l’insieme S delle soluzioni.
Se la disequazione di partenza assume la forma , allora S è costituito dai valori
reali corrispondenti agli intervalli in cui nella schematizzazione del segno del prodotto è
presente il segno “+”; altrimenti è costituito da quelli corrispondenti agli intervalli in cui
nella schematizzazione è presente il segno “−”.
CASIPARTICOLARI
Se una disequazione assume la forma e nella schematizzazione dei
segni è presente solo il segno negativo o, viceversa, se la disequazione assume la
forma e nella schematizzazione dei segni è presente solo il segno posi-
tivo, evidentemente l’insieme delle soluzioni è vuoto: S = ∅.
Se nella schematizzazione dei segni è presente solo il segno indicato dal testo,
nessun valore reale escluso, allora S = R.
A prescindere dal verso della disequazione di partenza, quando si studiano separatamente
il segno del numeratore e il segno del denominatore, al fine di utilizzare una procedura
comune, si è soliti studiare solo il segno positivo, ponendo maggiore di 0 sia il numerato-
P x
Q x
( )
( )< 0
P x
Q x
( )
( )> 0
P x
Q x
( )
( )> 0
P x
Q x
( )
( )
P x
Q x
( )
( )< 0
P x
Q x
( )
( )> 0
1
9Disequazionifrazionarie
CAPITOLO
TEORIA
337
re, sia il denominatore. Se il verso della disequazione contiene anche il simbolo di ugua-
glianza, si pone maggiore o uguale a 0 solo il numeratore (il denominatore non può assu-
mere valore nullo).
Gli esempi che seguono esemplificano le considerazioni operate nel presente paragrafo.
esempioRisolvere le seguenti disequazioni frazionarie:
•
Il dominio della frazione algebrica è D = {∀ x ∈R | 6x − 2 ≠ 0} = {∀ x ∈R | x ≠ }.
Non ci sono operazioni da eseguire. Il segno della frazione dipende dal segno del suo
numeratore e dal segno del suo denominatore, per cui è necessario studiarli separata-
mente. Si indichi con N il numeratore e con D il denominatore:
Studio del segno di N.
4x − 8 > 0 ⇒ x > 2. N assume segno positivo se a x si attribuiscono valori maggiori
di 2; N assume segno negativo se a x si attribuiscono valori minori di 2; N si annulla
se x = 2.
Studio del segno di D.
6x − 2 > 0 ⇒ x > .
Schematizzazione dei segni:
Se si esamina la schematizzazione dei segni, si deduce che l’insieme delle soluzioni
della disequazione di partenza è: .
•
Il dominio della frazione algebrica è l’insieme:
D = {∀ x ∈R | x2 − 25 ≠ 0} = {∀ x ∈R | x ≠ ± 5}Non ci sono operazioni da eseguire.
Studio del segno di N.
5x − 1 ≥ 0 ⇒
Studio del segno di D.
x2 − 25 > 0 ⇒ x < −5 ∨ x > 5
x ≥1
5
5 1
250
2
x
x
−
−≤
S x R x x= ∀ ∈ < ∨ >⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
∪ +1
32
1
32 , ( , ∞ ∞∞)
2
+ +–
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
13
Il cerchio è vuoto perché la disequazione iniziale non contiene il simbolo di uguaglianza
1
3
1
3
4 8
6 20
x
x
−−
>
9Disequazioni
frazionarie
CAPITOLO
TEORIA
338
Schematizzazione dei segni:
L’insieme delle soluzioni è quindi dato da:
S = {∀ x ∈R | x < −5 ∨ ≤ x < 5} =
(la parentesi è tonda in corrispondenza dei valori esclusi dal dominio; è quadra in cor-rispondenza del valore che annulla il numeratore e che non è escluso dal dominio).
•
Il dominio della frazione algebrica è l’insieme:
D = {∀ x ∈R | 3x2 − 5x + 2 ≠ 0} = {∀ x ∈R | x ≠ , x ≠ 1}.
Non ci sono operazioni da eseguire.
Studio del segno di N.
2x2 − 3x + 1 > 0 ⇒
Studio del segno di D.
3x2 − 5x + 2 > 0 ⇒
Schematizzazione dei segni:
•
È necessario ricondurre la disequazione alla forma . Se si scompongono idenominatori, si ottiene:
P x
Q x
( )
( )≤ 0
3 3
2 10
2 2
+
++
−
− +≤
x
x x
x
x x
S x R x x x= ∀ ∈ < ∨ < < ∨ >⎧⎨⎩
⎫⎬
⎭= −
⎛⎝⎜
1
2
2
31 1
1
2 , ∞
⎞⎞⎠⎟
∪⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
∪ + , ( , )2
31 1 ∞
1
+ + +–
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
12
23
x x< ∨ >2
31
x x< ∨ >1
21
2
3
2 3 1
3 5 20
2
2
x x
x x
− +
− +>
( , ) , − − ∪⎡
⎣⎢
⎞⎠⎟
∞ 51
55
1
5
5–5
– – ++
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
15
9Disequazionifrazionarie
CAPITOLO
TEORIA
339
. D = {∀ x ∈R | x ≠ 0, x ≠ −1, x ≠ 1}.
Studio del segno di N.
3x2 − 2x + 3 ≥ 0. ∆ < 0. Il trinomio non si annulla mai ed è positivo ∀ x ∈R.
Studio del segno di D.
x(x + 1)(x − 1)2 > 0. Per studiare il segno del polinomio, non conviene eseguire le mol-
tiplicazioni, ma avvalersi della scomposizione già presente studiando il segno di cia-
scun fattore:
1° fattore: x > 0
2° fattore: x + 1 > 0 ⇒ x > −1
3° fattore: (x − 1)2 > 0 ⇒ ∀ x ∈R | x ≠ 1 (per x = 1 il binomio x − 1 si annulla).
Il denominatore è quindi positivo ∀ x ∈R | x < −1 ∨ 0 < x < 1 ∨ x > 1, mentre è negativo
∀ x ∈R | −1 < x < 0.
Ora è possibile schematizzare il segno di N e di D per individuare il segno della fra-
zione e trovare, così, l’insieme delle soluzioni della disequazione di partenza:
S = {∀ x ∈R | −1 < x < 0} = (−1, 0).
1–1 0
+ + +–
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
1–1 0
+ + +–
Segno di x
Segno di x + 1
Segno di (x – 1)2
Segno del denominatore
( )( ) ( )( )
( )( ) .
3 1 1 3
1 10
2
2
+ − + + −
+ −≤ ⇒
x x x x x
x x x
... ( )( )
⇒− +
+ −≤
3 2 3
1 10
2
2
x x
x x x
3
1
3
10
2
+
++
−
−≤
x
x x
x
x( ) ( )
COMPLETA
Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se ………………………..
Risolvere la disequazione significa ……………………………..
L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria, se nella schematizzazio-
ne del prodotto dei segni è presente solo il segno indicato dal testo, nessun valore
reale escluso, è uguale a ……………………………..
SCELTA MULTIPLA
Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se:
a) l’incognita compare in tutti i denominatori presenti nella disequazione
b) l’incognita compare in almeno uno dei denominatori presenti nella disequazione
c) l’incognita non compare in nessun denominatore presente nella disequazione
d) l’incognita compare in almeno uno dei numeratori presenti nella disequazione
L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria verificata da tutti i valo-
ri reali è:
a) (−∞, +∞) b) (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
c) (−∞, 1) ∪ (1, +∞) d) (−∞, 2) ∪ (2, +∞)
L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria verificata da nessun valo-
re reale è:
a) (−∞, +∞) b) (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
c) ∅ d) R
L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria verificata da tutti i valori
reali escluso il numero 1 è:
a) [−∞, 1] ∪ [1, +∞] b) [−∞, 1) ∪ (1, +∞]
c) (−∞, 1) ∪ (1, +∞) d) (−∞, 1] ∪ [1, +∞)
VERO/FALSO
Il segno di coincide con il segno di P(x). V F
Nella schematizzazione dei segni, un tratto continuo corrisponde
al segno negativo. V F
Se nella schematizzazione dei segni è presente solo il segno opposto
a quello indicato dal testo allora S = ∅. V F
10
9
P x
Q x
( )
( )8
7
6
5
4
3
P x
Q x
( )
( )> 02
1
340
Esercizi
SAPERE
341
9Disequazionifrazionarie
CAPITOLO
ESERCIZI
Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni frazionarie (la cui risoluzio-
ne è riconducibile alla risoluzione di disequazioni di primo grado)
[x > 0] [x < 0]
[x > 0] [x > 0]
[x < 3 ∨ x > 4] [−6 < x < −5]
[−2 ≤ x < 0] [x ≤ 0 ∨ x > 7]
[x < 2 ∨ x > 3]
[S = ∅] [0 < x < 1]
[1 < x < 3]
x x< − ∨ ≥⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥2
1
2
5
21
x
x +≥22x x≤ − ∨ >
⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥1
72
5 25
6 122
x
x
−
−≤21
x x< − ∨ >⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥6
1
3
5 8
2 61
x
x
−
−> −20
10
36≤ <
⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥x
x
x
+
−≥
2
6219
x x≤ ∨ >⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥3
22
x
x
−
−≤
1
2118− < <
⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥3
50x
x
x
−>
3617
− < < −⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥1
1
2x
2
12
x
x +< −16
2
11
x −>15
01
5< ≤
⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥x
15
x≥14− < <
⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥1
20x
12
x< −13
11
x>12
9 18
20
x
x
−
−≤11
5 10
7 210
x
x
−
−>10
1
2
3
2< <
⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥x
2 3
14 70
x
x
−
−<9
x
x −≥
70 8
x
x
+≤
207
x
x
+
+<
5
606
x
x
−
−>
3
405
100
x≥40
5<x
3
− >3
0x
21
0x
>1
unpo’ diaiuto
Studio del segno del numeratore N (si ricorda che si è stabilito di porre sia N, sia D
maggiori di 0): x − 1 > 0 ⇒ x > 1
Studio del segno del denominatore D: x + 2 > 0 ⇒ x > −2
Schematizzazione dei segni:
Dalla schematizzazione dei segni, si deduce che l’insieme delle soluzioni della dise-
quazione di partenza è uguale all’insieme: S = {∀ x ∈R | −2 < x < 1} = (−2, 1).
1–2
+ +–
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
x
x
−
+<
1
20
SAPER FARE
342
9Disequazioni
frazionarie
CAPITOLO
ESERCIZI
unpo’ diaiuto
Studio del segno di N: x − 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4.
Studio del segno di D: x2 − 1 > 0 ⇒ x < −1 ∨ x > 1.
x
x
−
−≤
4
10
2
[x < 1 ∨ x > 2]
[x < 0 ∨ x > 1]
[−1 < x < 8] [x < 2]
[x > 3]
[−5 ≤ x < −3]
[3 ≤ x < 5]
[ −4 ≤ x < −2]
[x < −6 ∨ x > 2]
− < <⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
221
8x
( ) ( )( ) ( )x
x
x x
x
x
x
x x−+
−− +
++
++
>−1
2 4
2 2
4 8
3
12 24
12 2
33 6x+41
− < <⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
11
31x
( ) ( ) ( )( ) ( )x
x
x x
x
x x
x
x
x
+−
−−
−<
− +−
−+1
1
2 1
1
2 2
1
2 32 2
−−140
x
x
x
x
x
x
x
x
+−
−−
−>
−−
−+−
10
2
2 1
2
3
2
6
3 639
x x< − ∨ >⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
1
30
x
x
x
x
x
x6 23
15 5
3
3 1++ > −
++
−+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
38
x x< ∨ ≥⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
1
4
4
3
2
16 4
3
4 11
4
8 2
x
x
x
x x−−
−−
≤ −−
37
2
2 41
5 10
3 64
x
x
x
x+− ≤
−+
−36
x
x
x
x−≤
−−
−5
1
2 10135
4
2 6
1
32
x
x
x
x+≥
−+
+34
x x< − ∨ > −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
423
12
1 2
43
2 1
2 8
−+
− <++
x
x
x
x
33
x x< ∨ >⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
211
2
x
x
x
x
+−
<+−
4
2
5 1
3 632
x x< ∨ >⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
3
73
3 4
31
2 3
3
−−
− <+−
x
x
x
x
31
x
x
x
x−+ <
+−3
12 3
330
x x< ∨ ≥⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
1
21
x
x
x
x
−−
−+−
− ≤3
2 4
1 2
1 24 029
2 3
2
3
21
x
x
x
x
−−
≥−−
−28x
x
x
x
−+
<−+
+5
1
1 2
1227
x
x
x
x1
2
1−<
−26− < < −
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
1
2
5
11x
x
x2 15 0
++ <25
42
10−
−>
x
x
24x x< − ∨ > −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
13
4 −
+<
x
x 1323
Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni frazionarie (la cui risoluzione è
riconducibile alla risoluzione di disequazioni di primo o secondo grado)
[x ≠ 0] [R]
[x > 0] [x < −2 ∨ 0 < x < 2]
[x = 0] [−3 ≤ x < 0 ∨ x ≥ 3]
[x < −1 ∨ x > 1] [x ≤ −1 ∨ x ≥ 1]
[∅] [x ≠ 2 ∧ x ≠ 0]
x x x< ∨ > ∧ ≠⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥1
4
2
51
4 5 1
5 7 20
2
2
x x
x x
− +
− +>54
− ≤ ≤ ∨ < <⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥1
2
1
21 2x x
4 1
3 20
2
2
x
x x
−
− +≤53
x x x< − ∨ − < < − ∨ >⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥3
2
3
21 1
4 12 9
10
2
2
x x
x
+ +
−>52
x x
x
2
2
4 40
− +>51
x x
x
2
2
2 10
− +<50
x
x
2
2
10
−≥49
x
x
2
2 10
−>48
x
x
2 9
30
−≥47
x
x
2
2 10
+≤46
x
x2 4
0−
<456 12
02x
x
+>44
1
10
2x +
>431
02x
>42
343
9Disequazionifrazionarie
CAPITOLO
ESERCIZI
Schematizzazione dei segni:
S = {∀ x ∈R | x < −1 ∨ 1 < x ≤ 4} = (−∞, −1) ∪ (1, 4]
Studio del segno di N: 4 − x2 ≥ 0 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2.
Studio del segno di D: x2 − 3x + 2 > 0 ⇒ x < 1 ∨ x > 2.
Schematizzazione dei segni:
S = {∀ x ∈R | −2 ≤ x < 1} = [−2, 1).
21–2
– – –+
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
4
3 20
2
2
−
− +≥
x
x x
41–1
– – ++
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
[−12 ≤ x ≤ 1]
[−4 ≤ x < −1]
− < <⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥7
2
1
3x
6 17 5
4 4 350
2
2
x x
x x
− +
+ −<71
x x< − ∨ >⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥3
21
8 15 7
16 10 210
2
2
x x
x x
− +
+ −>70
− < ≤ ∧ ≠⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥5
3
3
2
1
4x x
8 14 3
12 17 50
2
2
x x
x x
− +
+ −≤69
x x< − ∨ ≥⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥5
2
7
3
15 41 14
10 21 100
2
2
x x
x x
− +
+ −≥68
x x x< ∨ > ∧ ≠ −⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥2
32
1
2
2 3 2
6 20
2
2
x x
x x
− −
− −>67
6
53< <
⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥x
5 4 12
60
2
2
x x
x x
+ −
− −<66
x x< − ∨ >⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥2
31
9 7 2
27 24 40
2
2
x x
x x
− −
+ +>65
3 6 24
20
2
2
x x
x x
+ −
− −≤64
1
3
5
2< ≤
⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥x
2 10
3 5 20
2
2
x x
x x
− −
+ −≤63
x x< − ∨ >⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥1
3
2
2 3
2 10
2
2
x x
x x
− −
+ +>62
x x≠ ∧ ≠ −⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥2
3
5
2
36 180 225
9 12 40
2
2
x x
x x
+ +
− +>61
x x
x x
2
2
+ −
− +≤
11 12
16 40 25060
x x x≤ − ∨ − < < − ∨ ≥⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥5 1
5
70
20 100
7 12 50
x x
x x
2
2
+
+ +≥59
− < < −⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥5
3
4
11x
33 4
9 12 50
x x
x x
2
2
+ −
+ −<58
1
7
1
3≤ <
⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥x
12
2
4 9 1
6 5 10
x x
x x
− +
− + −≥57
− < < − ∨ − ≤ ≤⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥10 6 1
2
5x x
5 3 2
3
2
2
x x
x x
+ −
+ +≤
48 180056
− < < − ∨ < <⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥6
1
3
1
21x x
2 11 6
3 1
2
2
x x
x x
+ −
− −<
2055
344
9Disequazioni
frazionarie
CAPITOLO
ESERCIZI
345
9Disequazionifrazionarie
CAPITOLO
ESERCIZI
unpo’ diaiuto
Studio del segno di N: 16 − x4 ≥ 0 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2.
Studio del segno di D: 3x3 + 5x2 + 2x > 0 ⇒ x(3x2 + 5x + 2) > 0 ⇒ … ⇒
⇒
Schematizzazione dei segni:
S = {∀ x ∈R | x ≤ −2 ∨ −1 < x < ∨ 0 < x ≤ 2} = ( , ] , ( , ]− − ∪ − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
∪∞ 2 12
30 2−
2
3
20–1–2
+ + – + ––
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
23
–
− < < − ∨ >12
30x x
16
3 5 20
4
3 2
−
+ +≥
x
x x x
[x < −1 ∨ 0 < x < 1 ∨ x > 1]
[−1 < x < 1]
[−10 < x < −5 ∨ 0 < x < 5]
[x < −3 ∨ x > −2 ∧ x ≠ 2]
[x ≤ −3 ∨ x ≥ 5]
[∅]
[x ≠ −4]
[∅]
[−1 < x < 1]2 1
1
3 5
1
4
1
3
12
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−>
++
−−−
+−+
81
3
4 2
2
3 6
1
5 10 4 42
++
−+
≤++
++ +
x
x x
x
x
x
x x
80
x
x
x
x x
x
x+−
+ +≤
++4 8 16
2 1
2 8
2
279
x
x
x
x x
x
x
++
−+ +
≤++
−3
2 4 4 4
1
22
278
x
x x
x
x
x x
x
2
2 2
16
2 1
2 1
1
3 2
1
−
− +−
+−
≥−
−
( )
( )77
x
x
x
x
x
x
−−
++
<−
3
2 2 4
2
276
x
x
x
x
x
x+>
−+
−5 5 25
2
275
x x≠ ∧ − < <⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
1
2
1
41
2
2 1
1
4 4 12
x
x
x
x x−<
+
− +74
x
x
x
x
−−
−−+
>2
1
2 3
1073
x
x
x
x x
−−
−
+>
1
3
2 1
3 30
2
( )72
Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni frazionarie (la cui risoluzio-
ne è riconducibile alla risoluzione di disequazioni di primo grado, di secondo grado o di grado
superiore)
[x > −1] [x < 1]
[x < 0 ∨ x > 1] [x > 2]
[x > −2 ∧ x ≠ 0] [−3 ≤ x < 0 ∨ x ≥ 3]
[x = 0 ∨ x < −2 ∨ x > 2] [x < 2 ∧ x ≠ 0]
[−2 < x ≤ −1 ∨ x ≥ 1] [x < 1]
[x ≥ −1]
[x < −1 ∨ x > 1 ∧ x ≠ ± 2]
[−1 < x < 0]
[−1 < x < 0 ∨ x > 1]
[x < 0 ∧ x ≠ −2]
[−15 ≤ x ≤ 0 ∨ x > 1]
[x > −1 ∧ x ≠ 1]
[x ≤ −1 ∨ 1 < x ≤ 2]
[x < 0]x
x
x
x x x
x
x x
x
x3
3
2 2
2
21 1 1 2 1 1−+
− + +>
− +−
−( ) ( )102
x
x
x
x
x
x x
2
3
2
21
2
1 1−≤
−
−+
+ +101
x
x
x
x
x
x x x2 21 1 1
2
2 1−+
+<
−+
− +100
1
115
16
13
47
3x
x
x
x−≤ − −
+
−99
4 34 2
23 2−
+ < −x
x
x x98
x x
x x
6 3
5
2 1
3 30
− +
−≥97
x x x x
x x
4 3 2
4
2 3 4 40
+ − − +
+<96
x x
x x
4 2
4 2
4
5 40
−
− +>95
x x≤ − ∨ ≤ <⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥2
5
2
5
5
2
625 16
8 1250
4
3
x
x
−
−≤94
x x< − ∨ < <⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥1
2
1
23
16 1
3 810
4
3
x
x
−
−<93
x
x
3
6
1
10
+
+≥92
x
x
4
3
1
10
+
−≤91
x
x
2
3
1
80
−
+≥90
x
x
2
3 80
−<89
x
x
6
2 40
−≥88
90
2
7
−≤
x
x
87x
x
2
3 80
+>86
x
x
2
3 80
−>85
x
x3 1
0−
>84
1
10
5x −
<831
10
3x +
>82
346
9Disequazioni
frazionarie
CAPITOLO
ESERCIZI
Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni
[1 < x ≤ 6 ∨ −3 < x ≤ −2]
[x ≠ 0 ∧ −1 < x < 1 ∨ x > 2]
[x < −2 ∨ x > 2]
[x ≠ 2]x x
x x
16 8
2
3 2
4 40
+ +
− +>10
x x x< − ∨ − < < ∨ >⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥4
31 1
4
3
x x
x
8 4
2
2
9 160
+ −
−>9
− < < − ∨ − < <⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥11 1
1
2
1
2
3x x
x x
x
6 3
2
12 11
4 10
+ +
−<8
3 7 4
40
6 2
2
x x
x
+ +
−≥7
x x= ∨ <⎡⎣ ⎤⎦2 1 x x
x
4 2
3
4 4
10
− +
−≤6
x
x
x
x
x
x
x
x x
2 3
2
2 2
2
1
2
2
1
1
1
1
3 2
−
−−
−
−<
−
−+
−
− +
( )5
x x x< − ∨ < < ∨ >⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥2 1 2
11
2
( ) ( )( )x
x
x x
x
x
x
−
+−
+ −
+<
−
−
1
3 6
1 1
2 4
1
6 24
2 3
4
( ) ( )( )x
x
x x
x
x
x x
+
+−
− +
−+
+
+ −≥
2
3 9
2 2
2 2
8
6 12 180
2 3
23
− ≤ < − ∨ < ≤⎡⎣ ⎤⎦2 1 1 2x x x
x x
x
x
x x
x x2 2 22 1
2 1
1
3 2
1
1
1− +−
−
−≤
−
−+
−
( )
( )2
x x≠ ∧ − ≤ ≤⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥0
1
21
( ) ( )( )( )x
x
x x x x
x
x x
x
x−−
+ − − +≥
− ++
−1 1 1 1
3
2 1
2
2 2
2
2 2 11
6 2x
1
347
9Disequazionifrazionarie
CAPITOLO
ESERCIZI
ESERCIZI RIEPILOGATIVI
L’ESSENZIALE
Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se l’incognita com-
pare in almeno uno dei denominatori presenti nella disequazione.
Per risolvere una disequazione frazionaria della forma o (assume
tale forma dopo aver eseguito le eventuali operazioni in essa contenute e ridotto entram-
bi i membri allo stesso denominatore, tutto nel rispetto dei tre principi di equivalenza)
è necessario seguire la seguente procedura:
1. studiare separatamente il segno del numeratore e il segno del denominatore;
2. schematizzare entrambi i segni e precisamente:
• rappresentare sulla retta reale tutti i valori di x che annullano sia il numeratore,
sia il denominatore; se nella disequazione è presente anche il simbolo di ugua-
glianza, si traccia un cerchio pieno in corrispondenza del valore che annulla il
numeratore; in tutti gli altri casi, si traccia un cerchio vuoto;
• tracciare due linee parallele alla retta reale, una corrispondente al segno del nume-
ratore e l’altra a quello del denominatore, che sarà un tratto continuo, negli inter-
valli in cui ciascun termine della frazione assume segno positivo, e non continuo,
negli intervalli in cui assume segno negativo;
3. applicare la regola del segno di un prodotto (procedendo con la moltiplicazione in
“verticale”, rispetto al lettore), individuando così l’insieme S delle soluzioni.
è verificata dai valori reali corrispondenti agli intervalli in cui nella sche-
matizzazione del segno del prodotto è presente il segno “+”; altrimenti, da quelli cor-
rispondenti agli intervalli in cui nella schematizzazione è presente il segno “−”.
Se una disequazione assume la forma e nella schematizzazione dei segni è
presente solo il segno negativo o, viceversa, se la disequazione assume la forma
e nella schematizzazione dei segni è presente solo il segno positivo, eviden-
temente l’insieme delle soluzioni è vuoto: S = ∅. Se nella schematizzazione dei segni è
presente solo il segno indicato dal testo, nessun valore reale escluso, allora S = R.
P x
Q x
( )
( )< 0
P x
Q x
( )
( )> 0
P x
Q x
( )
( )> 0
P x
Q x
( )
( )< 0
P x
Q x
( )
( )> 0
348
9Disequazioni
frazionarie
CAPITOLO
RECUPERO
RECU
PER
O
SAPERE
COMPLETA
Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se ………………………..
Risolvere la disequazione significa ……………………………..P x
Q x
( )
( )< 02
1
Recupero
L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria, se nella schematizzazio-
ne del prodotto dei segni è presente solo il segno opposto di quello indicato dal testo,
nessun valore reale escluso, è uguale a ……………………………..
SCELTA MULTIPLA
Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se:
a) l’incognita compare in almeno uno dei denominatori presenti nella disequazione
b) l’incognita compare in tutti i denominatori presenti nella disequazione
c) l’incognita compare in almeno uno dei numeratori presenti nella disequazione
d) l’incognita non compare in nessun denominatore presente nella disequazione
L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria non verificata da alcun
valore reale è:
a) (−∞, +∞) b) (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
c) (−∞, 1) ∪ (1, +∞) d) ∅
L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria verificata da tutti i valori
reali escluso il numero 0 è:
a) (−∞, 0) ∪ (0, +∞) b) (−∞, 0] ∪ [0, +∞)
c) [−∞, 0] ∪ [0, +∞] d) [−∞, 0) ∪ (0, +∞]
VERO/FALSO
Il segno di coincide con il segno di Q(x). V F
Nella schematizzazione dei segni, un tratto non continuo corrisponde
al segno negativo. V F
Se nella schematizzazione dei segni è presente solo il segno indicato
dal testo allora S = ∅. V F
9
8
P x
Q x
( )
( )7
6
5
4
3
349
RECU
PER
O
9Disequazionifrazionarie
CAPITOLO
RECUPERO
unpo’ diaiuto
Il segno del numeratore e il segno del denominatore devono essere studiati separata-
mente. Poiché il verso della disequazione contiene anche il simbolo di uguaglianza, il
numeratore si pone maggiore o uguale a 0 e il denominatore maggiore di 0 (data una
frazione: se si annulla il suo numeratore, si annulla anche la frazione; se si annulla il
suo denominatore, la frazione perde significato in R).
Studio del segno del numeratore N: x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ −5.
Studio del segno del denominatore D: x − 4 > 0 ⇒ x > 4.
x
x
+
−≤
5
40
SAPER FARE
Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni frazionarie (la cui risoluzio-
ne è riconducibile alla risoluzione di disequazioni di primo grado)
3
4 8
2
7 14
1
8 16
2 1
15 30
23
840
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−−
−− −
−− +
−≤ −
(xx − 2)16
x
x
x
x x8 8 4 4
1
2 2−≥ −
−−
−15
10
3 6
8
2
6
2 40
x
x
x
x x+−
+−
+<14
2
1
3
4 45
x
x
x
x+−
+> −13
2
31
3
x
x
x
x−+ <
−12
−−
<2
12 60
x
x11
4
16 80
x
x +≥10
x
x
−−
>409
10 5
50
x
x
+−
≤83
20
−+
<x
x7
x
x
−+
<2
606
10
+ ≥x
x50
1>x
4
− <40
x3− >2
0x
21
0x
>1
350
9Disequazioni
frazionarie
CAPITOLO
RECUPERO
RECU
PER
OSchematizzazione dei segni:
Dalla schematizzazione dei segni, si deduce che l’insieme delle soluzioni della dise-
quazione di partenza è: S = {∀x ∈R | −5 ≤ x < 4} = [−5, 4).
4–5
+ +–
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
unpo’ diaiuto
Studio del segno di N: x2 − 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ −1 ∨ x ≥ 1.
Studio del segno di D: 2x − 5 > 0 ⇒ x > .
Schematizzazione dei segni:
L’insieme delle soluzioni è: .S x R x x= ∀ ∈ − ≤ ≤ ∨ >⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
= − ∪ +⎛⎝⎜
1 15
21 1
5
2 [ , ] , ∞
⎞⎞⎠⎟
1–1
– – ++
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
52
5
2
x
x
2 1
2 50
−−
≥
351
RECU
PER
O
9Disequazionifrazionarie
CAPITOLO
RECUPEROStudio del segno di N: x2 > 0 ⇒ ∀ x ∈R | x ≠ 0.
Studio del segno di D: x2 − 5x + 6 > 0 ⇒ x < 2 ∨ x > 3.
Schematizzazione dei segni:
S = {∀ x ∈R | 2 < x < 3} = (2, 3).
20 3
–+ ++
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
x
x x
2
2 5 60
− +<
unpo’ diaiuto
Studio del segno di N: 81 − x4 ≥ 0 ⇒ −3 ≤ x ≤ 3.
Studio del segno di D: 6x3 + 5x2 + x > 0.
x(6x2 + 5x + 1) > 0 ⇒ … ⇒
Schematizzazione dei segni:
S x R x x x= ∀ ∈ ≤ − ∨ − < < − ∨ < ≤⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
= − −31
2
1
30 3 ( , ∞ 33
1
2
1
30 3] , ( , ]∪ − −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
∪
30–3
+ + – + ––
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
13
–12
–
− < < − ∨ >1
2
1
30x x
81
6 50
4
3 2
−
+ +≥x
x x x
Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni frazionarie (la cui risoluzione è ricon-
ducibile alla risoluzione di disequazioni di primo o secondo grado)
x x
x x
2
2
5 21
2 5 30
+ +
− +≤31
2 5 3
7 4 30
2
2
x x
x x
+ +
− +>30
4 60 225
9 12 40
2
2
x x
x x
+ +
+ +>29
x x
x x
2
2
30 225
9 4 190
+ +
− +≥28
x x
x x
2
2
5 32
6 90
+ +
− +<27
6 7 2
4 40
2
2
x x
x x
− +
− +>26
6 5 1
4 140
2
2
x x
x x
− +
− +<25
x x
x x
2
2
3 2
4 30
− +
− +>24
2 3 1
90
2
2
x x
x
+ +
−<23
9 6 1
40
2
2
x x
x
+ +
−>22
9 1
4 10
2
2
x
x
−
+≤21
x
x
2
2
10
− ≤20
x
x
2 40
− <19x
x2 1
0−
>186
02x
<17
Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni frazionarie (la cui risoluzio-
ne è riconducibile alla risoluzione di disequazioni di primo grado, di secondo grado o di grado
superiore)
4 13 90
6 4 2x x x
x
− +>41
x x x
x x x x
7 5 3
8 7 6 5
5 4
3 6
0− +
+ − −
≤40
x x
x x x
4 2
3 2
3 4
5 6
0− −
− +
≥39
x x
x x x
4 2
3 2
9
6 9
0−
− +
<38
x x
x
4
4
8
1
0−
−
≤37
x
x
3
4
1
1
0−
+
>36
x
x
3
38
0
+
<35
x
x
2
31
0
+
≥34
x
x
2
38
0
−
<33
x
x27 8
03
−
>32
352
9Disequazioni
frazionarie
CAPITOLO
RECUPERO
RECU
PER
O
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