Le disequazioni di secondo grado Metodo di risoluzione 1
Le disequazioni di secondo grado Metodo di risoluzione
1
Le disequazioni di secondo grado
ESEMPI
2
Metodo di risoluzione
Calcoliamo il discriminante e, se è positivo o nullo, troviamo le radici dell’equazione associata:
9 8 1
x 1 x 2
x 312
Disegniamo la parabola corrispondente:
Scegliamo l’intervallo delle soluzioni (stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è positivo):
x 1 x 2
x2 3x 2 01.
Le disequazioni di secondo grado
3
Metodo di risoluzione
Calcoliamo il discriminante:
4
4 5 1
Poiché Δ < 0, la parabola non interseca l’asse delle ascisse. II trinomio è sempre positivo e quindi, poiché stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è negativo, la disequazione non è mai verificata:
S
x2 4x 5 02.
Le disequazioni di secondo grado
4
Metodo di risoluzione
30x 9x2 25 03.
Cambiamo i segni e il verso:
9x2 30x 25 0
Calcoliamo il discriminante:
4
225 225 0
x 53
La parabola interseca l’asse x in un solo punto (corrispondente al vertice) dove assume valore zero ed è positiva in tutti gli altri punti. Poiché stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è positivo (abbiamo cambiato segni e verso), la disequazione è verificata
35Rx
Le disequazioni di secondo grado Disequazioni frazionarie
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Ricordiamo che in una disequazione frazionaria non si devono mai eliminare i denominatori dei quali non si conosce il segno.
Una volta scritta la disequazione nella forma
A x B x 0 oppure
A x B x 0 :
• studiamo i segni dei fattori che si trovano al numeratore e al denominatore
• costruiamo la tabella dei segni
• deduciamo il segno finale della frazione in base alle regole sul prodotto dei segni
• individuiamo l’insieme delle soluzioni.
Le disequazioni di secondo grado
ESEMPIO
Disequazioni frazionarie
6
x2 3
x2 2x 0 deve essere x ≠ 0 ∧ x ≠ 2
Il dominio della disequazione è R − {0, 2}. Studiamo il segno dei polinomi al numeratore e al denominatore:
x2 3 0
Poiché Δ < 0, la disequazione è verificata
x R
x2 2x 0
L’equazione associata ha soluzioni x = 0 ∨ x = 2, quindi la disequazione è verificata se x < 0 ∨ x > 2
continua
Le disequazioni di secondo grado Disequazioni frazionarie
7
Costruiamo la tabella dei segni:
L’insieme delle soluzioni è quindi l’intervallo 0 < x < 2
0 2 R
+ + +
+
+
−
−
+
+
segno di x2 + 3
segno di x2 − 2x
frazione
S
Le disequazioni di secondo grado
ESEMPIO
Disequazioni di gradosuperiore al secondo
8
Qualunque disequazione di grado superiore al secondo nella forma E(x) ≥ 0 oppure E(x) ≤ 0 si risolve scomponendo in fattori al più di secondo grado l’espressione E(x) e studiando poi il segno di ciascuno di tali fattori; se E(x) non è scomponibile, la disequazione non può essere risolta per via algebrica.
x3 3x2 x 3 0
Scomponiamo il polinomio al primo membro:
x2 x 3 x 3 0
x2 1 x 3 0
Studiamo il segno di ogni fattore del prodotto:
x2 1 0
x R
x 3 0
x 3
3 R
+ +
−
−
+
+
segno di x2 + 1
segno di x − 3
prodotto
S
x 3
Le disequazioni di secondo grado
ESEMPIO
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Un sistema di disequazioni è verificato nell’insieme intersezione delle soluzioni di ciascuna disequazione; conviene quindi:
Sistemi di disequazioni
• risolvere ciascuna disequazione
• costruire la tabella delle soluzioni in modo da mettere in evidenza le eventuali intersezioni.
08012
2
2
xxxx
Risolviamo la prima disequazione:
x2 2x 1 0
x 1 2 0
x R 1 S1
Risolviamo la seconda disequazione:
x2 8x 0
0 x 8 S2
Il sistema è verificato se 0 ≤ x ≤ 8
−1 8 R
S1
S2
S
0Tabella delle soluzioni: