Conceitos básicos: Variável Aleatória 2009-2010... · Carla Henriques e Manuel Reis Probabilidades e Estatística ... Relacionando cada valor da variável aleatória discreta X
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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Conceitos básicos
Carla Henriques e Manuel Reis Probabilidades e Estatística – Engenharia do Ambiente
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Conceitos básicos: Variável Aleatória
Variável aleatória (v.a.) valor numérico que é resultado de uma experiência
aleatória.
Podemos ter variáveis aleatórias contínuas ou discretas.
Exemplo 1: Suponha que lança duas moedas e regista a face voltada para
cima. Esta experiência aleatória tem 4 resultados possíveis:
Cara-Cara; Cara-Coroa; Coroa-Cara e Coroa-Coroa.
Seja X a variável aleatória que representa o número de caras obtidas.
Esta variável pode tomar os valores 0, 1, ou 2; é uma variável aleatória discreta.
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Exemplo 2: O Departamento de Recursos Humanos de uma determinada
empresa está a fazer um estudo no qual interessa analisar o rendimento mensal
per capita do agregado familiar dos seus empregados.
O rendimento mensal per capita do agregado familiar de um empregado
escolhido ao acaso, X, é uma v.a. contínua.
Outros exemplos:
peso de um indivíduo, em kg v.a. contínua.
nº de vezes que um indivíduo vai ao cinema mensalmente v.a. discreta
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Distribuição de Frequências vs. Distribuição de Probabilidades
Distribuição de Frequências
No contexto do Exemplo 1, suponha que se lançaram 100 vezes as duas
moedas, tendo-se obtido os seguintes resultados:
Número de caras
Frequência absoluta
Frequência relativa
Freq. relativa
acumulada 0 26 0.26 0.26
1 50 0.50 0.76
2 24 0.24 1
A tabela anterior descreve a distribuição de frequências do nº de caras obtidas
por cada lançamento de duas moedas, em 100 lançamentos.
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Podemos calcular a média, x , e a variância, s2, do nº de caras obtidas por
lançamento:
98.0224.015.0026.0x =×+×+×=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−= ∑
=
2n
1i
2ii
2 xnxn1n
1s ( ) 505.098.0100224150026991 2222 =×−×+×+×=
Considere-se agora o Exemplo 2 e suponhamos que foram seleccionados ao
acaso 100 empregados que constituem a amostra em estudo. Os dados
recolhidos relativamente ao rendimento mensal per capita do agregado familiar
desses 100 empregados estão sumariados na tabela seguinte.
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Rendimento (em Euros)
Frequência absoluta
Frequência relativa
Freq. relativa
acumulada [100, 300[ 15 0.15 0.15
[300, 600[ 40 0.4 0.55
[600, 900[ 32 0.32 0.87
[900, 2000[ 13 0.13 1
A tabela anterior descreve a distribuição de frequências do rendimento mensal
per capita do agregado familiar dos 100 empregados.
Calcule-se a média e o desvio padrão desta amostra:
5.638100
131450327504045015200x =×+×+×+×
=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −∑
−=
=
2n
1i
2ii xnxn
1n1s ( ) 04.3665.63810013145015200
991 222 =×−×++×= L
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Distribuição de Probabilidades
Nos exemplos anteriores, foram registadas as frequências observadas num
estudo onde a v.a. em causa é observada um nº finito, n, de vezes (no caso
n=100).
A distribuição de probabilidades da v.a. X descreve o que se esperaria
encontrar se fosse possível observar a v.a. um nº infinito de vezes.
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Distribuição de probabilidades discreta
Relacionando cada valor da variável aleatória discreta X com a probabilidade de
ocorrência desse valor, estamos a descrever a distribuição de probabilidades da
v.a. discreta X. A função de probabilidade de X é uma função Xf que associa a
cada valor possível x de X a sua probabilidade: )()( xXPxf X == . Tem-se que
1)( =∑ix
iX xf .
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Exemplo 1: Distribuição de probabilidades da v.a. nº de caras obtidas no
lançamento de duas moedas
Númerode caras
xi
ProbabilidadeP(X=xi)
0 0.25
1 0.50
2 0.25
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Neste caso, a média e a variância são usualmente representados por µ e σ2 e
são calculados usando as probabilidades, da seguinte maneira:
1225.015.0025.0)()( =×+×+×=== ∑ iXi
i xfxXEµ
=2σ 5.01225.0150.0025.0))(()())(()( 2222222 =−×+×+×=−=−= XEXEXEXVar Xµ
A distribuição de probabilidades pode ainda ser descrita através da chamada
função de distribuição cumulativa F(x), que, para cada x, nos dá a
probabilidade da v.a. assumir um valor inferior ou igual a x:
F(x)=P(X≤x) probabilidade acumulada até x
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Para a v.a. do Exemplo 1, podemos completar a tabela introduzindo os valores
das probabilidades acumuladas até 0, 1 e 2, isto é, apresentando os valores de
F(x1), F(x2) e F(x3).
Númerode caras
xi
Probabilidade P(X=xi)
F(xi)
0 0.25 0.25
1 0.50 0.75
2 0.25 1
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Para outros valores de x ∈ R:
Se x<0, tem-se ( ) 0)( =≤= xXPxFX ;
Se 0≤x<1, tem-se ( ) ( ) 25.0)0(0)( ====≤= XX fXPxXPxF ;
Se 1≤x<2, tem-se ( ) ( ) 75.05.025.0)1()0()1(0)( =+=+==+==≤= XXX ffXPXPxXPxF ;
Se x≥2, ( ) ( ) 125.05.025.0)2()1()0()2()1(0)( =++=++==+=+==≤= XXXX fffXPXPXPxXPxF .
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Resumindo,
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥<≤<≤
<
=
2 x12x1 0.751x0 25.0
0x0
)(
sesesese
xFX .
Na figura seguinte representa-se XF graficamente.
0
0,25
0,5
0,75
1
-1 0 1 2 3
Funç
ão d
e D
istr
ibui
ção
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Distribuição de probabilidades contínua
A probabilidade de uma variável aleatória continua tomar um valor particular é
zero (recorde que teoricamente uma v.a. contínua pode tomar um nº infinito de valores
num intervalo de nº reais, logo, é evidente que a probabilidade de ela assumir um valor
particular entre um nº infinito será zero).
Consequentemente, uma variável aleatória contínua não pode ser expressa na
forma tabular; usa-se então uma função para a exprimir.
Uma função muito usada para descrever a distribuição de probabilidades é a
função densidade de probabilidade (representada por )(xf X ), abreviadamente fdp.
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Também podemos descrever a distribuição de probabilidades através da função
de distribuição cumulativa dttfxXPxFx
X )()()( ∫∞−
=≤= donde )()(' xfxF XX =
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Vamos recorrer ao Exemplo 2 para ilustrar a utilidade destas funções.
Exemplo 2:
Suponhamos que a função densidade de probabilidade da v.a. X - rendimento
mensal per capita do agregado familiar de um empregado escolhido ao acaso – é
representada graficamente da seguinte maneira:
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A probabilidade do rendimento familiar per capita de um empregado
(escolhido ao acaso) ser inferior ou igual a a corresponde à área limitada
(superiormente) pela função densidade, (inferiormente) pelo eixo das abcissas e
por a (à direita) [área sombreada].
[área sombreada]=P(X≤a)=F(a)
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A probabilidade do rendimento familiar per capita de um empregado
(escolhido ao acaso) estar compreendido entre dois valores, a e b, corresponde à
área limitada (superiormente) pela função densidade, (inferiormente) pelo eixo
das abcissas, (à esquerda) por a e (à direita) por b [área sombreada].
[área sombreada]=P(a<X<b)=F(b)-F(a)
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Obviamente, a área limitada superiormente pela função densidade e
inferiormente pelo eixo das abcissas é igual a 1, pois corresponde à probabilidade
de se observar qualquer valor para o rendimento familiar per capita de um
empregado (escolhido ao acaso).
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Exemplo 3 :
O director de compras da empresa “Baratinho” pretende definir uma política de
aquisição de matéria-prima para o próximo ano. As necessidades de matéria-
prima por dia (em toneladas) são uma variável contínua com função densidade
de probabilidade:
⎩⎨⎧ ≤≤−
= valores,0
20,2/1)(
outrosxx
xf X
[ ]326/2/2/)2/1()()( 2
032
2
0
22
0
=−=−=−=====
+∞
∞−∫∫ ∫
xxX xxdxxxdxxxdxxxfXEµ
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[ ]92
328/3/
32)2/1(
32)(
))(()())(()(2
20
432
0
22
22
2222
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
=−=−==
==
∞+
∞−∫ ∫
xxX
X
xxdxxxdxxfx
XEXEXEXVar µσ
Função de distribuição cumulativa de X: Se x<0, vem:
0dt0dt)t(f)xX(P)x(Fxx
XX ===≤= ∫∫∞−∞−
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Se 0≤x<2, vem:
∫∫∫ +==≤=∞−∞−
x
0X
0
X
x
XX dt)t(fdt)t(fdt)t(f)xX(P)x(F
440
210
2
0
2
0
0 xxttdttdtxx
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+= ∫∫
∞−
Se x≥2 vem:
∫∫∫∫ ++==∞−∞−
x
XXX
x
XX dttfdttfdttfdttfxF2
2
0
0
)()()()()(
1042200
210
2
2
2
0
0
=+−+=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+= ∫∫∫
∞−
x
dtdtxdt
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Resumindo,
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
<≤−
<
=
2 x1
2x0 4
0x0
)(2
se
sexxxFX
Na figura seguinte representa-se XF graficamente.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-1 0 1 2 3
FX
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Em estudos de inferência estatística, em geral, estuda-se uma característica
numa dada população, que é representada por uma v.a., digamos X. Contudo, é
através de uma amostra que esta característica é estudada (recorde o Exemplo
2).
A distribuição de probabilidades de X é usualmente designada por distribuição
populacional. A média e variância desta variável aleatória, µ e σ2, dizem-se
parâmetros populacionais, pois são os valores que se encontrariam se fosse
possível observar todos os elementos da população.
Ao observar uma amostra, temos acesso apenas a uma distribuição de
frequências, e à média e variância amostrais, que nos dão uma ideia,
respectivamente, da distribuição populacional e da média e variância
populacional.
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Propriedades da Esperança e da Variância: Sejam X e Y variáveis aleatórias e a, b e c constantes reais. Então:
• E(c)=c
• E(cX)=cE(X)
• E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
• Var(c)=0
• Var(aX+b)=a2Var(X)
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