Dep. Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Conceitos básicos Carla Henriques e Manuel Reis Probabilidades e Estatística – Engenharia do Ambiente 1 Conceitos básicos: Variável Aleatória Variável aleatória (v.a.) valor numérico que é resultado de uma experiência aleatória. Podemos ter variáveis aleatórias contínuas ou discretas . Exemplo 1 : Suponha que lança duas moedas e regista a face voltada para cima. Esta experiência aleatória tem 4 resultados possíveis: Cara-Cara; Cara-Coroa; Coroa-Cara e Coroa-Coroa. Seja X a variável aleatória que representa o número de caras obtidas . Esta variável pode tomar os valores 0, 1, ou 2 ; é uma variável aleatória discreta.
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Conceitos básicos: Variável Aleatória 2009-2010... · Carla Henriques e Manuel Reis Probabilidades e Estatística ... Relacionando cada valor da variável aleatória discreta X
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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Conceitos básicos
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Conceitos básicos: Variável Aleatória
Variável aleatória (v.a.) valor numérico que é resultado de uma experiência
aleatória.
Podemos ter variáveis aleatórias contínuas ou discretas.
Exemplo 1: Suponha que lança duas moedas e regista a face voltada para
cima. Esta experiência aleatória tem 4 resultados possíveis:
Cara-Cara; Cara-Coroa; Coroa-Cara e Coroa-Coroa.
Seja X a variável aleatória que representa o número de caras obtidas.
Esta variável pode tomar os valores 0, 1, ou 2; é uma variável aleatória discreta.
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Exemplo 2: O Departamento de Recursos Humanos de uma determinada
empresa está a fazer um estudo no qual interessa analisar o rendimento mensal
per capita do agregado familiar dos seus empregados.
O rendimento mensal per capita do agregado familiar de um empregado
escolhido ao acaso, X, é uma v.a. contínua.
Outros exemplos:
peso de um indivíduo, em kg v.a. contínua.
nº de vezes que um indivíduo vai ao cinema mensalmente v.a. discreta
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Distribuição de Frequências vs. Distribuição de Probabilidades
Distribuição de Frequências
No contexto do Exemplo 1, suponha que se lançaram 100 vezes as duas
moedas, tendo-se obtido os seguintes resultados:
Número de caras
Frequência absoluta
Frequência relativa
Freq. relativa
acumulada 0 26 0.26 0.26
1 50 0.50 0.76
2 24 0.24 1
A tabela anterior descreve a distribuição de frequências do nº de caras obtidas
por cada lançamento de duas moedas, em 100 lançamentos.
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Podemos calcular a média, x , e a variância, s2, do nº de caras obtidas por
lançamento:
98.0224.015.0026.0x =×+×+×=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−= ∑
=
2n
1i
2ii
2 xnxn1n
1s ( ) 505.098.0100224150026991 2222 =×−×+×+×=
Considere-se agora o Exemplo 2 e suponhamos que foram seleccionados ao
acaso 100 empregados que constituem a amostra em estudo. Os dados
recolhidos relativamente ao rendimento mensal per capita do agregado familiar
desses 100 empregados estão sumariados na tabela seguinte.
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Rendimento (em Euros)
Frequência absoluta
Frequência relativa
Freq. relativa
acumulada [100, 300[ 15 0.15 0.15
[300, 600[ 40 0.4 0.55
[600, 900[ 32 0.32 0.87
[900, 2000[ 13 0.13 1
A tabela anterior descreve a distribuição de frequências do rendimento mensal
per capita do agregado familiar dos 100 empregados.
Calcule-se a média e o desvio padrão desta amostra:
5.638100
131450327504045015200x =×+×+×+×
=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −∑
−=
=
2n
1i
2ii xnxn
1n1s ( ) 04.3665.63810013145015200
991 222 =×−×++×= L
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Distribuição de Probabilidades
Nos exemplos anteriores, foram registadas as frequências observadas num
estudo onde a v.a. em causa é observada um nº finito, n, de vezes (no caso
n=100).
A distribuição de probabilidades da v.a. X descreve o que se esperaria
encontrar se fosse possível observar a v.a. um nº infinito de vezes.
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Distribuição de probabilidades discreta
Relacionando cada valor da variável aleatória discreta X com a probabilidade de
ocorrência desse valor, estamos a descrever a distribuição de probabilidades da
v.a. discreta X. A função de probabilidade de X é uma função Xf que associa a
cada valor possível x de X a sua probabilidade: )()( xXPxf X == . Tem-se que
1)( =∑ix
iX xf .
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Exemplo 1: Distribuição de probabilidades da v.a. nº de caras obtidas no
lançamento de duas moedas
Númerode caras
xi
ProbabilidadeP(X=xi)
0 0.25
1 0.50
2 0.25
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Neste caso, a média e a variância são usualmente representados por µ e σ2 e
são calculados usando as probabilidades, da seguinte maneira: