CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG · Web viewBảng giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt. Các hằng đẳng thức lượng giác Quan hệ
Post on 03-Jan-2020
2 Views
Preview:
Transcript
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG
Tên chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn
Giáo viên Trường THPT Đội Cấn
Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh lớp 11 và 12
Số tiết bồi dưỡng: 12 tiết
NỘI DUNG
Chương I. Kiến thức cơ sởCông thức biến đổi lượng giác
Bảng giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt. Các hằng đẳng thức lượng giác Quan hệ các giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt Công thức biến đổi
Chương II.Các bài toán cơ bản (số tiết 12)
Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản.Dạng 2. Phương trình bậc 2, bậc 3,với một hàm số lượng giác.Dạng 3. Phương trình bậc nhất với sinx và cosx.Dạng 4. Phương trình đẳng cấp với sinx và cosxDạng 5. Phương trình đối xứng theo sinx và cox.Dang 6. Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực
Trang số 1
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcChương I. Kiến thức cơ sở
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
A. Bảng giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt.
0
sin 0 1 0
cos 1 0 - - - -1
tan 0 1 - -1 0
cot 1 0 - -1 -
B. Các hằng đẳng thức lượng giác
C. Quan hệ các giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt
sin sinx -sinx sinx cosx -sinx cosx
cos cosx cosx cosx sinx -cosx -sinx
tan tanx tanx -tanx -tanx cotx tanx -cotx
cot cotx cotx -cotx -cotx tanx cotx -tanx
D. Công thức biến đổi
1. Công thức cộng:
Trang số 2
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc2. Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
3. Công thức nhân ba:
sin3x = 3sinx – 4sin3x
cos3x = 4cos3x – 3cosx
4. Công thức hạ bậc:
Mở rộng (Phải chứng minh khi sử dụng)
5. Công thức biến tích thành tổng:
6. Công thức biến tổng thành tích:
Trang số 3
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
7. Công thức biểu diễn các giá trị lượng giác của a theo
8. Một số công thức thường dùng khác
Trang số 4
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Chương II.
CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG THƯỜNG GẶP
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN.
A. Kiến thức cần nhớ.
1. Phương trình sinx = sin
a/
b/
c/
d/
e/
* Các trường hợp đặc biệt:
2. Phương trình cosx = cosa/
b/
c/
d/
e/
Các trường hợp đặc biệt:
3. Phương trình tanx = tan a/ b/
Trang số 5
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc c/
d/
e/
* Các trường hợp đặc biệt:
4. Phương trình cotx = cot
Các trường hợp đặc biệt:
5. Một số điều cần chú ý:a/Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc
chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
* Phương trình chứa tanx thì điều kiện:
* Phương trình chứa cotx thì điều kiện:
* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện
* Phương trình có mẫu số: (Mẫu số khác 0)
b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện:1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.2. Dùng đường tròn lượng giác.3. Giải các phương trình vô định.
Ví dụ 1.1.
Giải phương trình lượng giác: (1)
Giải.
Trang số 6
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcVậy phương trình có 1 họ nghiệm x = k2.
Ví dụ 1.2.
Giải phương trình: (2)
Giải
Vậy phương trình có nghiệm là: .
Ví dụ 1.3. (KD – 2002)
Tìm nghiệm đúng phương trình: cos3x – 4.cos2x +3 cosx – 4 = 0 (3)
Giải
Ta có:
Ta có:
Mà:
Ví dụ 1.4. (KD – 2004)
Giải phương trình: (4)
Giải. Ta có:
Trang số 7
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Ví dụ 1.5.
Giải phương trình: .
Giải
Phương trình đã cho tương đương với:
Ví dụ 1.6. (KA – 2009)
Giaûi phöông trình: .
Giải.
ĐK: , sinx ≠ 1
Trang số 8
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Vậy phương trình có nghiệm là:
Ví dụ 1.7. (KD – 2011)
Giải phương trình:
Giải
ĐK : tan ; cosx 0
Pt sin2x + 2cosx sinx 1 = 0 2sinxcosx + 2cosx (sinx + 1) = 0
2cosx (sinx + 1) (sinx + 1)= 0 (2cosx 1)(sinx + 1) = 0
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của pt :
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 1.
Giải các phương trình lượng giác sau:
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6. 2
1.7.
1.8.
Trang số 9
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc1.9. tan2x + cotx = 8cos2x
1.10.
1.11.
1.12.
1.13. (KB – 02)
1.14. (KB – 05)
1.15. (KD -03)
1.16. Cho phương trình:
a. Giải phương trình khi m=1.
b. Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm trên
1.17. Tìm m để phương trình: có nghiệm
Dạng 2.
Phương trình bậc 2, bậc 3 với một hàm số lượng giác.
* Cần nhớ:
Daïng Ñaët Ñieàu kieänt = sinxt = cosxt = tanxt = cotx
Ví dụ 2.1. (KB – 2011)
Giải phương trình:
Giải
Phương trình đã cho tương đương :Trang số 10
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc2sinxcos2x + sinxcosx = 2cos2x – 1 + sinx + cosx
sinxcosx (2cosx + 1) = cosx (2cosx + 1) – 1 + sinx
cosx(2cosx + 1)(sinx – 1) – sinx + 1 = 0
sinx = 1 hoặc cosx(2cosx + 1) – 1 = 0
x = hoặc 2cos2x + cosx – 1 = 0
x = hoặc
x = hoặc
Ví dụ 2.2.
Giải phương trình lượng giác:
Giải
+) ĐK:
+) Giải pt được cos24x = 1 hoặc cos24x = -1/2 (loại)
cos24x = 1 cos8x = 1
+) Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là
Ví dụ 2.3. Giải phương trình: .
Giải
Trang số 11
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Ví dụ 2.4.
Giải phương trình:
Giải.
ĐK:
PT
Ví dụ 2.5.
Giải phương trình
Giải
Biến đổi phương trình đã cho tương đương với:
Giải được: và (loại)
*Giải được nghiệm và
BÀI TẬP TỰ LUYỆNTrang số 12
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcBài tập 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
2. 1.
2.2.
2.3. 4cosx + 2cos2x + cos4x = -1
2.4. (KA – 05)
2.5. (KD _ 05)
2.6. (KB – 04)
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18. (KA – 02) Tìm các nghiệm thuộc (0; 2π) của phương trình:
2.19 Cho phương trình:
Trang số 13
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
a. Giải phương trinh khi
b. Tìm m để phương trình có nghiệm trên
2.20. Cho phương trình:
a. Giải phương trình khi m = -2.
b. Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm trên .
Dạng 3. Phương trình bậc nhất với sinx và cosx.
Cần nhớ:
Dạng: asinx + bcosx = c (a2 + b2 ≠ 0)
Cách 1:
Chia hai vế phương trình cho ta được:
(1)
Đặt:
phương trình trở thành:
Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
(2)
Cách 2:
a/ Xét có là nghiệm hay không?
Trang số 14
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
b/ Xét
Đặt: ta được phương trình bậc hai theo t:
Vì nên (3) có nghiệm khi:
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình:
Ghi chú:
1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:
3/ Bất đẳng thức B.C.S:
Ví dụ 3.1. Giải phương trình: (*)
Giải
Chia hai vế của phương trình cho 2 ta được:
(*)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm :
Ví dụ 3.2.
Giải phương trình:
Giải
Trang số 15
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcPhương trình đã cho tương đương với:
Ví dụ 3.3.
Giải phương trình:
Giải
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm:
Ví dụ 3.4.
Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
Giải
PT 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8
6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0
6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0
(1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0
Trang số 16
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Ví dụ 3. 5.Tìm thoả mãn phương trình: cotx – 1 = .Giải ®K:
PT
tanx = 1 (tm®k) Do Ví dụ 3.6. Giải phương trình:
Giải
Ta có:
Trang số 17
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
,
Kết luận: PT có nghiệm ;
Ví dụ 3.7. (KA – 2011)
Giải phương trình :
Giải
(ĐK : sinx ≠ 0)
cosx = 0 hoặc cosx + sinx =
cosx = 0 hoặc
x = hoặc x = (k Z)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 3. Giải các phương trình sau:
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3. 8.
Trang số 18
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
3.9.
3.10.
3.11. sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0 (KD – 2010).
3.12. (sin2x + cos2x).cosx + 2cos2x – sinx = 0 (KB. 2010).
3.13.
3.14.
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp
Cần nhớ:
Dạng: a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d
asin3x + bsin2x.cosx + ccosx.sin2x + dcos3x = 0 Caùch 1: Kieåm tra cosx = 0 coù phải là nghiệm phương trình khoâng?
Löu yù: cosx = 0
Khi , chia hai veá phöông trình (1) cho ta ñöôïc:
Ñaët: t = tanx, ñöa veà phöông trình baäc hai theo t:
Caùch 2: Duøng coâng thöùc haï baäc
(ñaây laø phöông trình baäc nhaát ñoái vôùi sin2x vaø cos2x)
Ví dụ 4.1.
Trang số 19
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcGiải phương trình:
Giải
+ cosx = 0 là nghiêm của phương trình
+ cosx ≠0 chia hai vế của phương trình cho cos2x ta có:
Vậy phương trình có nghiệm là:
Ví dụ 4. 2.
Giải phương trình:
Giải
+ cosx = 0 không là nghiệm của phương trình.
+ cosx ≠ 0 chia hai vế của phương trình cho cos3x ta có:
Vậy phương trình có nghiệm là:
Ví dụ 4.3.
Giải phương trình:
Giải
+ cosx = 0. không là nghiệm của phương trình.
+ cosx ≠ 0 chia hai vế của phương trình cho cos3x ta có:
Trang số 20
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
+
+
Vậy phương trình có nghiệm là:
Ví dụ 4.4. (KA – 03)
Giải phương trình:
Giải
+ ĐK sin2x ≠0, tan2x ≠ -1. Ta có:
Vậy phương trình có nghiệm là:
Ví dụ 4.5.
Giải phương trình:
Giải
+ ĐK: cosx ≠ 0.
Chia hai vế phương trình cho cos2x.
Trang số 21
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Vậy phương trình có nghiệm là:
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 4. Giải các phương trình sau:
4.1. sin3x = cosxcos2x(tan2x + tan2x)
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14. Cho phương trình: .
Tìm m để phương trình có nghiệm.
4.15. Cho phương trình:
.
Tìm m để phương trình có nghiệm trên
Trang số 22
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Dạng 5. Phương trình đối xứng theo sinx và cosx.
Cần nhớ:
Dạng : a.(sinx cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
Ñaët:
Thay vaøo phöông trình ñaõ cho, ta ñöôïc phöông trình baäc hai theo t.
Giaûi phöông trình naøy tìm t thoûa Suy ra x.Löu yù daáu:
.
Ví dụ 5.1.
Giải phương trình: 2cos3x – sinx – 2cos2x +1 = 0. (1)
Giải
(1) 2. (1 – sin2x) cosx + 1 – sinx – 2(1 – sin2x) = 0
(1 – sinx) (2cosx – 2sinx + 2sinxcosx -1 ) = 0
TH : sinx = 1 x = , k
TH : 2(cosx – sinx) + 2sinxcosx – 1 = 0 (1)
Trang số 23
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc đặt t = cosx – sinx , t 2sinxcosx = 1 – t2
(1) 2t – t2 = 0
cosx – sinx = 0 cos(x + = 0 x =
KL: Phương trình có 2 họ nghiệm là: x =
Ví dụ 5.2.
Giải phương trình: .
Giải
+ Giải (1):
+ Giải (2): Đặt ta có phương trình: .
Với ta có:
Với ta có:
KL: Vậy phương trình có 4 họ nghiệm: , ,
, .
Ví dụ 5.3.
Giải phương trình: Trang số 24
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcGiải
+
+ Xét (2): Đặt ĐK:
Vậy (2)
Ta có:
Ví dụ 5.4.
Giải phương trình : (*)
Giải
ĐK :
Khi đó (*)
Giải (2). Đặt t = sinx + cosx
Vậy
Ví dụ 5.5. Giải phương trình : Trang số 25
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcGiải.
ĐK :
+
+ Xét (2) Đặt
Vậy :
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 5. Giải các phương trình sau:
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
Trang số 26
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
Dang 6.
Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực
*1 Tổng hai số không âm
Áp dụng: Nếu
Ví dụ 6.1
Giải phương trình:
Giải
Vậy phương trình có nghiệm là:
Ví dụ 6.2.
Giải phương trình:
Giải
Ta có phương trình đã cho tương đương với:
Trang số 27
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Vậy phương trình có nghiệm là:
Ví dụ 6.3.
Giải phương trình:
Giải
Ta có phương trình đã cho tương đương với:
*
Thay vào (1) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
*2. Phương pháp đối lập (Chặn trên và chặn dưới hai vế)
Nếu
Ví dụ 6.4. Giải phương trình:
Giải
Trang số 28
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcVậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 6.5. Giải phương trình:
Giải
Ta có phương trình đã cho tương đương với:
Vậy phương trình có nghiệm là:
*3 Phương pháp phản chứng:
Áp dụng: Nếu
Tương tự các trường hợp:
Ví dụ 6.6.
Giải phương trình:
Giải
Ta có phương trình đã cho tương đương với:
Xét hai khả năng xảy ra cho (2):
Trang số 29
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
* TH1:
* TH2:
Xét:
Lúc đó: ( Vô lý với (3))
Vậy (*) vô nghiệm, nên ;phương trình đã cho có nghiệm:
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 6.
Giải các phương trình sau:
6.1. sin2x.cos8x=1
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6. sin4x.cos16x=1
6.7.
6.8.
6.9.
Trang số 30
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
6.10.
6.11.
6.12.
Bài tập 7 - Bài tập luyện tập tổng hợp.
Giải các phương trình sau:
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ.
1.1.
1.2.
1.3.
Trang số 31
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8. ;
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16. 1.17.
2. 1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
Trang số 32
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16. 2.17.
2.18.
2.19
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3. 8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
4.1.
Trang số 33
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8. Vô nghiệm
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15. hoặc
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
Trang số 34
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
5.10.
5.11.
5.13.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11. 6.12.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
Trang số 35
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcKẾT LUẬN
Như vậy trong thời gian không được nhiều tôi đã trình bày với các em chuyên đề “ Phương trình lượng giác” tuy chưa thật sâu sắc và có tính khái quát cao nhưng tôi hy vọng với tài liệu này sẽ giúp các em học tập có hiệu quả hơn. Rất mong được sự góp ý của các em, chúc các emthi đạt kết quả cao.
Tác giả
Nguyễn Ngọc Tuấn
Trang số 36
top related