CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG · Web viewBảng giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt. Các hằng đẳng thức lượng giác Quan hệ

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG

Tên chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn

Giáo viên Trường THPT Đội Cấn

Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh lớp 11 và 12

Số tiết bồi dưỡng: 12 tiết

NỘI DUNG

Chương I. Kiến thức cơ sởCông thức biến đổi lượng giác

Bảng giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt. Các hằng đẳng thức lượng giác Quan hệ các giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt Công thức biến đổi

Chương II.Các bài toán cơ bản (số tiết 12)

Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản.Dạng 2. Phương trình bậc 2, bậc 3,với một hàm số lượng giác.Dạng 3. Phương trình bậc nhất với sinx và cosx.Dạng 4. Phương trình đẳng cấp với sinx và cosxDạng 5. Phương trình đối xứng theo sinx và cox.Dang 6. Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực

Trang số 1

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcChương I. Kiến thức cơ sở

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

A. Bảng giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt.

0

sin 0 1 0

cos 1 0 - - - -1

tan 0 1 - -1 0

cot 1 0 - -1 -

B. Các hằng đẳng thức lượng giác

C. Quan hệ các giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt

sin sinx -sinx sinx cosx -sinx cosx

cos cosx cosx cosx sinx -cosx -sinx

tan tanx tanx -tanx -tanx cotx tanx -cotx

cot cotx cotx -cotx -cotx tanx cotx -tanx

D. Công thức biến đổi

1. Công thức cộng:

Trang số 2

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc2. Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sina.cosa

3. Công thức nhân ba:

sin3x = 3sinx – 4sin3x

cos3x = 4cos3x – 3cosx

4. Công thức hạ bậc:

Mở rộng (Phải chứng minh khi sử dụng)

5. Công thức biến tích thành tổng:

6. Công thức biến tổng thành tích:

Trang số 3


7. Công thức biểu diễn các giá trị lượng giác của a theo

8. Một số công thức thường dùng khác

Trang số 4


Chương II.

CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG THƯỜNG GẶP

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN.

A. Kiến thức cần nhớ.

1. Phương trình sinx = sin

a/

b/

c/

d/

e/

* Các trường hợp đặc biệt:

2. Phương trình cosx = cosa/

b/

c/

d/

e/

Các trường hợp đặc biệt:

3. Phương trình tanx = tan a/ b/

Trang số 5

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc c/

d/

e/

* Các trường hợp đặc biệt:

4. Phương trình cotx = cot

Các trường hợp đặc biệt:

5. Một số điều cần chú ý:a/Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc

chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.

* Phương trình chứa tanx thì điều kiện:

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện:

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện

* Phương trình có mẫu số: (Mẫu số khác 0)

b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện:1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.2. Dùng đường tròn lượng giác.3. Giải các phương trình vô định.

Ví dụ 1.1.

Giải phương trình lượng giác: (1)

Giải.

Trang số 6

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcVậy phương trình có 1 họ nghiệm x = k2.

Ví dụ 1.2.

Giải phương trình: (2)

Giải

Vậy phương trình có nghiệm là: .

Ví dụ 1.3. (KD – 2002)

Tìm nghiệm đúng phương trình: cos3x – 4.cos2x +3 cosx – 4 = 0 (3)

Giải

Ta có:

Ta có:

Mà:

Ví dụ 1.4. (KD – 2004)

Giải phương trình: (4)

Giải. Ta có:

Trang số 7


Ví dụ 1.5.

Giải phương trình: .

Giải

Phương trình đã cho tương đương với:

Ví dụ 1.6. (KA – 2009)

Giaûi phöông trình: .

Giải.

ĐK: , sinx ≠ 1

Trang số 8


Vậy phương trình có nghiệm là:

Ví dụ 1.7. (KD – 2011)

Giải phương trình:

Giải

ĐK : tan ; cosx 0

Pt sin2x + 2cosx sinx 1 = 0 2sinxcosx + 2cosx (sinx + 1) = 0

2cosx (sinx + 1) (sinx + 1)= 0 (2cosx 1)(sinx + 1) = 0

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của pt :

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 1.

Giải các phương trình lượng giác sau:

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6. 2

1.7.

1.8.

Trang số 9

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc1.9. tan2x + cotx = 8cos2x

1.10.

1.11.

1.12.

1.13. (KB – 02)

1.14. (KB – 05)

1.15. (KD -03)

1.16. Cho phương trình:

a. Giải phương trình khi m=1.

b. Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm trên

1.17. Tìm m để phương trình: có nghiệm

Dạng 2.

Phương trình bậc 2, bậc 3 với một hàm số lượng giác.

* Cần nhớ:

Daïng Ñaët Ñieàu kieänt = sinxt = cosxt = tanxt = cotx

Ví dụ 2.1. (KB – 2011)


Giải

Phương trình đã cho tương đương :Trang số 10

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc2sinxcos2x + sinxcosx = 2cos2x – 1 + sinx + cosx

sinxcosx (2cosx + 1) = cosx (2cosx + 1) – 1 + sinx

cosx(2cosx + 1)(sinx – 1) – sinx + 1 = 0

sinx = 1 hoặc cosx(2cosx + 1) – 1 = 0

x = hoặc 2cos2x + cosx – 1 = 0

x = hoặc

x = hoặc

Ví dụ 2.2.

Giải phương trình lượng giác:

Giải

+) ĐK:

+) Giải pt được cos24x = 1 hoặc cos24x = -1/2 (loại)

cos24x = 1 cos8x = 1

+) Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là

Ví dụ 2.3. Giải phương trình: .

Giải

Trang số 11


Ví dụ 2.4.


Giải.

ĐK:

PT

Ví dụ 2.5.

Giải phương trình

Giải

Biến đổi phương trình đã cho tương đương với:

Giải được: và (loại)

*Giải được nghiệm và

BÀI TẬP TỰ LUYỆNTrang số 12

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcBài tập 2. Giải các phương trình lượng giác sau:

2. 1.

2.2.

2.3. 4cosx + 2cos2x + cos4x = -1

2.4. (KA – 05)

2.5. (KD _ 05)

2.6. (KB – 04)

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

2.17.

2.18. (KA – 02) Tìm các nghiệm thuộc (0; 2π) của phương trình:

2.19 Cho phương trình:

Trang số 13


a. Giải phương trinh khi

b. Tìm m để phương trình có nghiệm trên


a. Giải phương trình khi m = -2.

b. Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm trên .

Dạng 3. Phương trình bậc nhất với sinx và cosx.

Cần nhớ:

Dạng: asinx + bcosx = c (a2 + b2 ≠ 0)

Cách 1:

Chia hai vế phương trình cho ta được:

(1)

Đặt:

phương trình trở thành:

Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

(2)

Cách 2:

a/ Xét có là nghiệm hay không?

Trang số 14


b/ Xét

Đặt: ta được phương trình bậc hai theo t:

Vì nên (3) có nghiệm khi:

Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình:

Ghi chú:

1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:

3/ Bất đẳng thức B.C.S:

Ví dụ 3.1. Giải phương trình: (*)

Giải

Chia hai vế của phương trình cho 2 ta được:

(*)

Vậy phương trình có hai họ nghiệm :

Ví dụ 3.2.


Giải

Trang số 15

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcPhương trình đã cho tương đương với:

Ví dụ 3.3.


Giải

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm:

Ví dụ 3.4.

Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8

Giải

PT 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8

6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0

6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0

(1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0

Trang số 16


Ví dụ 3. 5.Tìm thoả mãn phương trình: cotx – 1 = .Giải ®K:

PT

tanx = 1 (tm®k) Do Ví dụ 3.6. Giải phương trình:

Giải

Ta có:

Trang số 17


,

Kết luận: PT có nghiệm ;

Ví dụ 3.7. (KA – 2011)

Giải phương trình :

Giải

(ĐK : sinx ≠ 0)

cosx = 0 hoặc cosx + sinx =

cosx = 0 hoặc

x = hoặc x = (k Z)


Bài tập 3. Giải các phương trình sau:

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3. 8.

Trang số 18


3.9.

3.10.

3.11. sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0 (KD – 2010).

3.12. (sin2x + cos2x).cosx + 2cos2x – sinx = 0 (KB. 2010).

3.13.

3.14.

Dạng 4. Phương trình đẳng cấp

Cần nhớ:

Dạng: a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d

asin3x + bsin2x.cosx + ccosx.sin2x + dcos3x = 0 Caùch 1: Kieåm tra cosx = 0 coù phải là nghiệm phương trình khoâng?

Löu yù: cosx = 0

Khi , chia hai veá phöông trình (1) cho ta ñöôïc:

Ñaët: t = tanx, ñöa veà phöông trình baäc hai theo t:

Caùch 2: Duøng coâng thöùc haï baäc

(ñaây laø phöông trình baäc nhaát ñoái vôùi sin2x vaø cos2x)

Ví dụ 4.1.

Trang số 19

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcGiải phương trình:

Giải

+ cosx = 0 là nghiêm của phương trình

+ cosx ≠0 chia hai vế của phương trình cho cos2x ta có:


Ví dụ 4. 2.


Giải

+ cosx = 0 không là nghiệm của phương trình.

+ cosx ≠ 0 chia hai vế của phương trình cho cos3x ta có:


Ví dụ 4.3.


Giải

+ cosx = 0. không là nghiệm của phương trình.

+ cosx ≠ 0 chia hai vế của phương trình cho cos3x ta có:

Trang số 20


+

+


Ví dụ 4.4. (KA – 03)


Giải

+ ĐK sin2x ≠0, tan2x ≠ -1. Ta có:


Ví dụ 4.5.


Giải

+ ĐK: cosx ≠ 0.

Chia hai vế phương trình cho cos2x.

Trang số 21





4.1. sin3x = cosxcos2x(tan2x + tan2x)

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14. Cho phương trình: .

Tìm m để phương trình có nghiệm.


.

Tìm m để phương trình có nghiệm trên

Trang số 22


Dạng 5. Phương trình đối xứng theo sinx và cosx.

Cần nhớ:

Dạng : a.(sinx cosx) + b.sinx.cosx + c = 0

Ñaët:

Thay vaøo phöông trình ñaõ cho, ta ñöôïc phöông trình baäc hai theo t.

Giaûi phöông trình naøy tìm t thoûa Suy ra x.Löu yù daáu:

.

Ví dụ 5.1.

Giải phương trình: 2cos3x – sinx – 2cos2x +1 = 0. (1)

Giải

(1) 2. (1 – sin2x) cosx + 1 – sinx – 2(1 – sin2x) = 0

(1 – sinx) (2cosx – 2sinx + 2sinxcosx -1 ) = 0

TH : sinx = 1 x = , k

TH : 2(cosx – sinx) + 2sinxcosx – 1 = 0 (1)

Trang số 23

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc đặt t = cosx – sinx , t 2sinxcosx = 1 – t2

(1) 2t – t2 = 0

cosx – sinx = 0 cos(x + = 0 x =

KL: Phương trình có 2 họ nghiệm là: x =

Ví dụ 5.2.

Giải phương trình: .

Giải

+ Giải (1):

+ Giải (2): Đặt ta có phương trình: .

Với ta có:

Với ta có:

KL: Vậy phương trình có 4 họ nghiệm: , ,

, .

Ví dụ 5.3.

Giải phương trình: Trang số 24

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcGiải

+

+ Xét (2): Đặt ĐK:

Vậy (2)

Ta có:

Ví dụ 5.4.

Giải phương trình : (*)

Giải

ĐK :

Khi đó (*)

Giải (2). Đặt t = sinx + cosx

Vậy

Ví dụ 5.5. Giải phương trình : Trang số 25

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcGiải.

ĐK :

+

+ Xét (2) Đặt

Vậy :



5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

Trang số 26


5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.

Dang 6.

Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực

*1 Tổng hai số không âm

Áp dụng: Nếu

Ví dụ 6.1


Giải


Ví dụ 6.2.


Giải

Ta có phương trình đã cho tương đương với:

Trang số 27



Ví dụ 6.3.


Giải


*

Thay vào (1) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

*2. Phương pháp đối lập (Chặn trên và chặn dưới hai vế)

Nếu

Ví dụ 6.4. Giải phương trình:

Giải

Trang số 28

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcVậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 6.5. Giải phương trình:

Giải



*3 Phương pháp phản chứng:

Áp dụng: Nếu

Tương tự các trường hợp:

Ví dụ 6.6.


Giải


Xét hai khả năng xảy ra cho (2):

Trang số 29


* TH1:

* TH2:

Xét:

Lúc đó: ( Vô lý với (3))

Vậy (*) vô nghiệm, nên ;phương trình đã cho có nghiệm:


Bài tập 6.

Giải các phương trình sau:

6.1. sin2x.cos8x=1

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6. sin4x.cos16x=1

6.7.

6.8.

6.9.

Trang số 30


6.10.

6.11.

6.12.

Bài tập 7 - Bài tập luyện tập tổng hợp.

Giải các phương trình sau:

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

7.6.

7.7.

7.8.

7.9.

7.10.

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ.

1.1.

1.2.

1.3.

Trang số 31


1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8. ;

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

1.15.

1.16. 1.17.

2. 1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

Trang số 32


2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16. 2.17.

2.18.

2.19

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3. 8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

4.1.

Trang số 33


4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8. Vô nghiệm

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15. hoặc

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

Trang số 34


5.10.

5.11.

5.13.

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

6.10.

6.11. 6.12.

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

7.6.

7.7.

7.8.

7.9.

7.10.

Trang số 35

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh PhúcKẾT LUẬN

Như vậy trong thời gian không được nhiều tôi đã trình bày với các em chuyên đề “ Phương trình lượng giác” tuy chưa thật sâu sắc và có tính khái quát cao nhưng tôi hy vọng với tài liệu này sẽ giúp các em học tập có hiệu quả hơn. Rất mong được sự góp ý của các em, chúc các emthi đạt kết quả cao.

Tác giả

Nguyễn Ngọc Tuấn

Trang số 36

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG · Web viewBảng giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt. Các hằng đẳng thức lượng giác Quan hệ

Documents