BAB 2. DETERMINAN MATRIKS - … · DETERMINAN MATRIKS Orde 3x3 1. Metode Sarrus 2. Row Reduction Method 3. Metode Ekspansi Kofaktor DETERMINAN MATRIKS Orde >3x3 …

BAB 2.DETERMINAN

MATRIKS

DETERMINAN MATRIKS

Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matrikssedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian hasilnya dijumlahkan.

A =

2221

1211

aa

aaDet(A) = a11 a22 – a12 a21

Bagaimana menentukan tanda + dan – tiap suku ?

1. Definisi DETERMINAN

DETERMINAN MATRIKS Orde 2x2

DETERMINAN MATRIKS Orde 3x3

1. Metode Sarrus

2. Row Reduction Method3. Metode Ekspansi Kofaktor

DETERMINAN MATRIKS Orde >3x3

1. Row Reduction Method

2. Metode Ekspansi Kofaktor

Metode Sarrus

Metode Sarrus

Row Reduction Method

Row Reduction Method dapat dilakukan untuk menghitungdeterminan dengan memperhatikan sifat-sifat determinan.

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

1. Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama; |AT| = |A|

|A| = 24

37= 26 |AT| =

23

47= 26

Akibatnya : semua sifat determinan berlaku secara baris / dan secara kolom.

2. Matriks persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, determinannya nol (0).

det(B) =

567

000

312

= 0 det(C) =

087

056

022

= 0

3. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom) dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A

|A| = 43

12

|A| = 5

Jika baris kedua dikalikan dengan 7 2821

12= 35 = 7 |A|

Akibat sifat ini :2821

12= 7

43

12 = 7 (5) = 35

Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyaifaktor yang sama, maka sudah dapat difaktorkan.

211

121

1269

= 3

211

121

423

2121

183

142

= 4

231

123

112

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

4. Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah menjadi negatip determinan semula.

kedua barisditukar pertama Baris 3132

57

57

32= – 31

5. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama adalah sama dengan 0 (nol).

27

27= 0

303

232

111

= 0

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya)merupakankelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan 0 (nol).

|B| =

1121

3161

2241

1121

Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, |B| = 0

7. Determinan dari matriks persegi A = (aij) berdimensi n yang baris ke -i (kolom ke-j)terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, makadeterminannya sama dengan determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengansuku binomium yang pertama ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j)diganti dengan suku yang kedua.

69

58

69

1435 =69

45+

69

13

645

535 =

65

55+

64

53

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

8. Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris (kolom)ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain.

1141

32

1111

92 3k1 k2 Jika

1141

13 b2– b1 Jika

Sifat ke 8 ini sering dipakai untuk menyederhanakan baris (kolom), sebelum menghitung nilai determinan

9. Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali)elemen-elemen diagonalnya.

500

310

273

= (3)(-1)(5) = - 15

1300

0411

0020

0003

= (-3)(-2)(4)(1) = 24

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

Row Reduction Method

Contoh :Gunakan sifat determinan untuk menghitung :

112

453

221

b2 + 3b1

112

210

221b3 – 2 b1

330

210

221

b3 + 3 b2

300

210

221

= (1)(-1)(3) = - 3

Petunjuk umum : Gunakan sifat ke 8, untuk mereduksi matriks menjadi matriks segitiga; kemudian gunakan sifat ke 9

Row Reduction Method

Row Reduction Method

Hitunglah Determinan matriks berikut dengan metode Sarrusdan Row Reduction Method……

Metode EKSPANSI KOFAKTOR

19

Misalkan

Beberapa definisi yang perlu diketahui :• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan

menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A.Contoh :

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

:::

...

...

21

22221

11211

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A 1

1 0

2 1

maka 13M

Metode EKSPANSI KOFAKTOR

Metode EKSPANSI KOFAKTOR

21

• Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij

Contoh :

maka

= (– 1)3 .2

= – 2

2 1

0 1 1

12

21C

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

Metode EKSPANSI KOFAKTOR

22

Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang

baris ke-idet (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjangkolom ke-j

det (A) = aij C1j + a2j C2j + . . . + anj Cjn

Contoh 6 :Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

23

Jawab :Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansikofaktor sepanjang baris ke-3

= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33

= 0 – 2 + 6

= 4

3

1

33)det(

j

jjcaA

23)1(101 1

0 2 33)1(22 1

1 2

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

24

Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjangkolom ke-3

= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33

= 0 – 2 + 6

= 4

3

1

33)det(i

ii caA

32)1(101 0

1 2 33)1(22 1

1 2

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

25

Sehingga matriks kofaktor dari A :

Maka matriks Adjoin dari A adalah :

1- 1 1

2- 1 2

2 1- 1-

C

1- 2- 2

1 1 1-

1 2 1-

)( TCAadj

Adjoin Matriks

Adjoin Matriks

Strategi menghitung determinan :

1. Gunakan kombinasi beberapa metode (definisi, sifat, ekspansi

kofaktor).

2. Pilih ekspansi melalui baris atau kolom yang paling sederhana.

3. Gunakan sifat ke 8 untuk membuat unsur-unsur pada

baris/kolom yang dipilih sebanyak mungkin menjadi nol.

4. Ulangai langkah 1, dan seterusnya

Hitung determinan dari : E =

245

111

312

Dikerjakan dengan ekspansi melalui baris ke dua :

|E| =

245

111

312K2 + K1

295

101

332K3 – K1

795

001

532

|E| = e21 C21 + e22 C22 + e23 C23

|E| = e21 C21 + 0 + 0

|E| = (1) (-24) = - 24

C21 = - M21 = - {(3)(-7) – (-5)(9)} = - 24

Berapakah determinan dari F =

211

540

231

Dipilih ekspansi melalui kolom pertama :

|F| =

211

540

231B3 + B1

420

540

231

Det(F) = f11 C11 = (1) (6) = 6

Berapakah determinan dari G =

1023

1121

4132

3112

Dipilih ekspansi melalui kolom ke tiga :

Det(G) =

1023

1121

4132

3112

B2 + B1

1023

1121

7040

3112B3+B1

1023

4033

7040

3112

Det(G) = g13 C13 = g13 M13 = (-1)

123

433

740 B3 – B2

550

433

740(-1)

Det(G) = (-1) g21 C21 = (-1) g21 (- M21) = g21 M21 = (3) {(4)(-5) – (7)(-5)}

Det(G) = (3) (15) = 45.

Jika A adalah sebarang matriks nxn dan Cij adalah kofaktor dari aij, maka matriks

C11 C12 ... C1n

C21 C22 ... C2n

. . .

. . .

Cn1 Cn2 ... Cnn

Dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adj(A)

Matriks Kofaktor A & Matriks AdjA

• Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka

A-1 = adj (A) / det (A)

Matriks Invers & Matriks Adjoin

Hitung (a) adjoint dari matriks A, (b) determinan matriks A

A =

201

112

321 C11 = M11 = 2

C12 = -M12 = - 5

C13 = M13 = - 1

C21 = -M21 = 4

C22 = M22 = -1

C23 = -M23 = -2

C31 = M31 = -1

C32 = -M32 = 7

C33 = M33 = 5

(a) adj(A) = KT =

T

CCC

CCC

CCC

333231

232221

131211

=

332313

322212

312111

CCC

CCC

CCC

=

521

715

142

(b) Det(A) = a11 C11 + a12 C12 + a13 c13 = (1)(2) + (-2)(-5) + (3)(-1) = 9

A adj(A) = ?

201

112

321

521

715

142

=

900

090

009= |A| I= 9

100

010

001

Adj(A) A = ?

521

715

142

201

112

321=

900

090

009= 9

100

010

001

= |A| I

Sifat :1. A adj(A) = adj(A) A = det(A) I

2. adj(AB) = adj(B) adj(A)

• Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari npersamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehinggaIAI ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai jawab tunggal.Jawabnya adalah :

A

nA

n .,.......... , A

2A

2, A

1A

1 x x x

Metode Crammer

Dimana Aj adalah matriks yangdiperoleh dengan menggantikanunsur-unsur dalam kolom ke j dariA dengan unsur-unsur dalammatriks:

n

2

1

b

b

b

B

Contoh

{2,-1}adalah solusinya Jadi

19

9-ydan 2

9

18 x: Sehingga

901

92)det(A

;1820

59)det(A ; 9

21

5-2det(A)

maka 0

9

21

5-2

:adalah matriksnyaBentuk

02

952: Diketahui

2

1

y

x

yx

yx

Metode Crammer