Matriks dan Determinan 1 3. MATRIKS dan DETERMINAN Matriks Determinan Invers Matriks Nilai Eigen dan Vektor Eigen Terapan 3.1. Matriks Definisi 1: Matriks adalah suatu susunan persegi-panjang elemen- elemen. Elemen yang dimaksud di dalam definisi 1 dapat berupa bilangan, fungsi atau anggota suatu himpunan. Pada bahasan selanjutnya hanya ditinjau matriks-matriks dengan elemen bilangan real. Suatu matriks disimbolkan dengan huruf besar sedangkan elemen suatu matriks disimbolkan dengan huruf kecil. Definisi 2: Matriks A ukuran m×n, disimbolkan Am×n=(aij)m×n adalah matriks dengan banyaknya baris m dan banyak kolom n, ditulis : ( ) R a , a a a a a a a a a a A ij mn 2 m 1 m n 2 22 21 n 1 12 11 n m ij n m ∈ = = × × L M M M L L Elemen aij suatu matriks adalah elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Matriks dan Determinan 1
3. MATRIKS dan DETERMINAN Matriks
Determinan Invers Matriks
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Terapan
3.1. Matriks
Definisi 1:
Matriks adalah suatu susunan persegi-panjang elemen-
elemen.
Elemen yang dimaksud di dalam definisi 1 dapat berupa
bilangan, fungsi atau anggota suatu himpunan.
Pada bahasan selanjutnya hanya ditinjau matriks-matriks
dengan elemen bilangan real.
Suatu matriks disimbolkan dengan huruf besar sedangkan
elemen suatu matriks disimbolkan dengan huruf kecil.
Definisi 2:
Matriks A ukuran m×n, disimbolkan Am×n=(aij)m×n adalah
matriks dengan banyaknya baris m dan banyak kolom n,
ditulis :
( ) Ra,
aaa
aaaaaa
aA ij
mn2m1m
n22221
n11211
nmijnm ∈
==××
L
MMM
L
L
Elemen aij suatu matriks adalah elemen pada baris ke-i dan
kolom ke-j.
Matriks dan Determinan 2
Matriks An×n=(aij)n×n disebut matriks bujur-sangkar ukuran n×n.
Diagonal utama matriks An×n adalah elemen-elemen akk ,
k=1,2, ... ,n.
Matriks Identitas, disimbolkan I, adalah suatu matriks bujur-
sangkar dengan elemen-elemen diagonal utama 1 dan elemen-
elemen selain diagonal utama 0.
Matriks Nol, disimbolkan O, adalah matriks yang semua
elemennya 0.
Matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut matriks
kolom, sedangkan matriks yang hanya mempunyai satu baris
disebut matriks baris
Kesamaan Dua Matriks
Diketahui matriks-matriks Am×n=(aij)m×n dan Bm×n=(aij)m×n maka
A=B hanya bila aij=bij , ∀i=1,2,...,m dan j=1,2,...,n.
Operasi-Operasi Matriks
1. Penjumlahan Matriks
Diketahui matriks Am×n dan Bm×n , maka A+B=(aij+bij)m×n
Contoh :
=
232221
131211aaaaaa
A dan
=
232221
131211bbbbbb
B
++++++
=+232322222121
131312121111babababababa
BA
2. Pergandaan Skalar Matriks
Diketahui matriks Am×n dan skalar k, maka kA=(kaij)m×n
Contoh :
Matriks dan Determinan 3
=
232221
131211aaaaaa
A maka
=
232221
131211kakakakakaka
kA
3. Perkalian Matriks
Diketahui matriks-matriks Am×p dan Bp×n maka perkalian
matriks A dan B adalah ( ) ∑=
×=αα=
p
1kkjikijnmij ba,AB
Contoh :
=
232221
131211aaaaaa
A dan
=
3231
2221
1211
bbbbbb
B maka
++++++++
=
=
∑∑∑∑
==
==
322322221221312321221121
321322121211311321121111
31k 2kk2
31k 1kk2
31k 2kk1
31k 1kk1
babababababababababababa
baba
babaAB
Perlu dinyatakan bahwa perkalian matriks tidak komutatif,
artinya AB≠BA
4. Transpose Matriks
Diketahui A=(aij)m×n maka transpose A adalah AT=(aji)n×m
Contoh :
=
232221
131211aaaaaa
A maka
=
3213
2212
2111T
baaaaa
A
Berikut adalah teorema-teorema yang terkait dengan operasi-
operasi matriks di atas.
Matriks dan Determinan 4
Teorema 1
Jika matriks-matriks Am×n, Bm×n dan Cm×n dan skalar k, maka
berlakulah :
1. Sifat Komutatif : A+B=B+A
2. Sifat Assosiatif : A+(B+C)=(A+B)+C
3. Sifat Distributuf : k(A+B)=kA+kB
4. (AT)T=A
5. (A+B)T=AT+BT
6. (kA)T=kAT
Teorema 2
Jika matriks-matriks Am×p, Bp×q dan Cq×n , maka berlakulah :
1. (AB)T=BTAT
2. (AB)C=A(BC)
3.2. Determinan
Determinan, ditulis Det(.) atau |.| adalah suatu fungsi
dengan domain koleksi matriks bujur-sangkar dan kodomain
bilangan real. Jadi, jika A suatu matriks bujur-sangkar, maka
Det(A)=|A| adalah suatu bilangan real. Matriks yang
determinannya tidak nol disebut matriks nonsingular.
Definisi berikut akan menjelaskan tentang nilai determinan
suatu matriks. Definisi dibedakan menjadi determinan matriks
bujur sangkar A1x1 dan matriks Anxn untuk nilai n>1.
Definisi 3:
Diketahui matriks bujur-sangkar A=(a11), maka Det(A)=a11.
Matriks dan Determinan 5
Definisi 4:
Diketahui matriks bujur-sangkar A=(aij)n×n. n≥2.
(a). Minor (Minor) elemen aij disimbolkan Mij didefinisikan
sebagai determinan matriks yang diperoleh dengan
menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks