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Variáveis aleatórias
Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes
Aula 7
Variável aleatória
• Agora vamos formalizar, com a ajuda da Teoria das
probabilidades, o comportamento de variáveis na
população.
• Uma variável aleatória é uma quantidade X, associada a
cada possível resultado do espaço amostral.
a b c d e f
x1 x2 x3 x4
X
Ω
Variável aleatória
• Variável aleatória discreta se assume valores
num conjunto enumerável, com certa
probabilidade.
Ex: Número de filhos em famílias.
• Variável aleatória contínua se seu conjunto de
valores é qualquer intervalo dos números reais,
o que seria um conjunto não enumerável.
Ex: Peso e altura dos filhos.
Variável aleatória discreta
Função de probabilidade discreta
• Chama-se função de probabilidade da variável
aleatória discreta X, que assume os valores x1, x2, ..., xx,
..., a função p(xi) que a cada valor de xi associa a sua
probabilidade de ocorrência, isto é,
• Ou ainda,
,...2,1,)()( ipxXPxp iii
...
...
321
321
pppp
xxxX
i
Satisfaz as
propriedades:
i
i
i
p
p
1
10
Exemplo
• Para as famílias de uma região, 20% não tem filhos, 30% tem um filho, 35% tem dois e as restantes se dividem igualmente entre três, quatro ou cinco filhos. (Informações retiradas do último censo).
• Definimos por N a variável aleatória número de filhos.
• Os valores que a variável N pode assumir são:
0,1,2,3,4 e 5 filhos
• Qual é a função de probabilidade dessa
variável?
• Segue das informações disponíveis:
20% das famílias não tem filhos, então a
probabilidade de uma família sorteada ao
acaso não ter filhos é P(N=0) = 0,20.
• De forma semelhante, temos que:
P(N=1) = 0,30
P(N=2) = 0,35
• Falta descrever as probabilidades P(N=3),
P(N=4) e P(N=5).
• Sabemos que são iguais e digamos que tenham
valor p. Utilizando a definição de função de
probabilidade discreta, temos:
05,03
15,0
1385,0
135,030,020,0
1)5(...)2()1()0(
p
p
ppp
NPNPNPNP
• Logo a função de probabilidade para N é dada
pela tabela a seguir:
05,005,005,035,030,020,0
543210
ip
N
ni
P(N=ni)
0 1 2 3 4 5
0,35
0,30
0,20
0,05
Gráfico da função de probabilidade discreta ou
função massa de probabilidade
Função de distribuição de
probabilidade
• A função de distribuição ou função
acumulada de probabilidade de uma variável
aleatória discreta X é definida, para qualquer
número real x, por:
)()( xXPxF
• Considere o exemplo anterior, cuja função massa de
probabilidade é dada por:
• A função de distribuição ou função acumulada é dada
por:
05,005,005,035,030,020,0
543210
ip
N
51
5495,0
4390,0
3285,0
2150,0
1020,0
00
)(
nse
nse
nse
nse
nse
nse
nse
nF
)()( nNPnF
Gráfico da função acumulada
51
5495,0
4390,0
3285,0
2150,0
1020,0
00
)(
nse
nse
nse
nse
nse
nse
nse
nF
ni
F(n)
0 1 2 3 4 5
1
0,95
0,90
0,85
0,50
0,20
Exercício• Um jogador paga 5 fichas para participar de um jogo de
dados, disputando com a banca quem tem o ponto maior. O jogador e a banca lançam cada um o seu dado e a seguinte regra de premiação é estabelecida:
• Se o ponto do jogador é maior, ele ganha 2 vezes a diferença entre o seu ponto (j) e o obtido pela banca (b);
• Se o ponto do jogador é menor ou igual ao da banca, ele não ganha nada.
• O jogo é mais favorável para quem?
bjse
bjsebjG
,0
),(2Variável aleatória G: ganho
bruto do jogador em uma
jogada, isto é, valor
arrecadado sem descontar
as fichas inicias pagas para
participar do jogo.
Resposta• Para cada par sorteado (b,j), a premiação é baseada
nos seus valores. Dessa forma, se o jogador tira 3 e a
banca 1, o valor do ganho bruto do jogador será
G=2*(1-3)=4.
• Se o jogador tira 5 e a banca 6, temos G=0 pois j<b.
• O espaço amostral, correspondente a uma jogada, é
apresentado a seguir:
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
Resposta• O valor G=0 acontecerá quando o ponto do jogador for
menor ou igual ao da banca. Isso corresponde ao
subconjunto do espaço amostral:
• Esses 21 pares tem todos a mesma probabilidade de
ocorrência e, portanto, teremos P(G=0) = 21/36
5,5
5,6
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3,3
3,4
3,5
3,6
4,4
4,5
4,6 6,6
Resposta• De modo análogo, calculamos os demais valores e
obtemos a função de probabilidade:
Conclusão:
Tendo em vista as 5 fichas pagas no início, o jogador só
não terá prejuízo nos casos em que obtiver 6, 8 ou 10
fichas de retorno, o que acontece com probabilidade
3/36+2/36+1/36 = 6/36. Portanto, o jogo é altamente
favorável à banca e, somente com muita sorte (1/36), o
jogador ganhará o dobro do que apostou.
36/136/236/336/436/536/21
1086420
ip
G
Valor esperado
• Dada a variável aleatória X discreta, assumindo
os valores x1, x2, ..., xn, chamamos de valor
médio ou esperança matemática de X ao valor:
n
i
ii
n
i
ii pxxXPxXE11
)()(
n
i
ii frxx1
Valor teórico de probabilidade
Valor frequentista de probabilidade
Medida para a população
Medida para a amostra
Variância
• A variância da variável aleatória discreta X
é definida por:
• O desvio padrão ( ) de X é definido como
a raiz quadrada da variância.
i
n
i
i pXExX 2
1
2 ])([)var(
Mediana e Moda
• A mediana de uma variável aleatória discreta X
é o valor que satisfaz às seguintes condições:
• A moda é o valor da variável que tem maior
probabilidade de ocorrência
2
1)(
2
1)( MdXPeMdXP
),...,,max()( 21 npppMoXP
Desvio padrão
Variância
Mo= valor com maior
probabilidade
mo= valor com maior
frequência
Moda
md=valor centralMediana
Média
Valores
Variável aleatória discretaConjunto de dados
n
n
frfrfrfreq
xxxX
....
...
21
21
ni
n
pppp
xxxX
...
...
21
21
n
i
ii frxx1
n
i
ii pxXE1
)(
2
1)(
2
1)(: MdXPeMdXPMd
i
n
i
i px 2
1
2 )(
i
n
i
i frxxx 2
1
)()var(
)var()( xxdp 2
Principais modelos discretos
• Algumas variáveis aleatórias aparecem com frequência em situações práticas. Em geral nesses casos, a distribuição de probabilidade pode ser escrita de uma maneira mais compacta, isto é, existe uma lei para atribuir as probabilidades.
• Ex: Uma rifa de 100 números, qual a probabilidade de sair um número ao acaso? Como escrever a função de probabilidade discreta?
• A probabilidade de sair um número
qualquer ao acaso é 1/100.
• A função de probabilidade é dada por:
100,...,1,100
1)( ixXP i
1001...
1001
1001
100...21
ip
X
Modelo uniforme discreto
• Seja X uma v. a. cujos possíveis valores são
representados por x1, x2, ...,xk. Dizemos que X segue o
modelo Uniforme Discreto se atribui a mesma
probabilidade 1/k a cada um desses k valores, isto é,
sua função de probabilidade é dada por:
.,...,2,1,1
)()( kik
xpxXP ii
k
i
i
iik
xx
kXx
kXE
1
2
22 1)var(,
1)(
Modelo Uniforme Discreto
• Função de probabilidade e função de
distribuição
xi
P(X=xi)
x1 x2 x3 xk
1/k
xi
1/k
x1 x2 x3 xk
2/k
1 F(x)
Bernoulli
• Experimentos que apresentam ou não uma determinada característica. Situações que podem ser representadas por respostas do tipo sucesso-fracasso.
• Exemplos
• Uma moeda é lançada: o resultado ou é cara, ou não (ocorrendo, coroa).
• Uma peça é escolhida ao acaso de um lote de 500 peças: essa peça é defeituosa ou não.
• Uma pessoa é escolhida ao acaso entre os moradores de uma cidade e verifica-se se ela é favorável ou não a um projeto municipal.
• Dizemos que uma v.a. X segue o modelo
Bernoulli se atribui 0 ou 1 a ocorrência de
fracasso ou sucesso, respectivamente. Com p
representando a probabilidade de sucesso, sua
função de probabilidade é dada por:
pXP
pXP
sejaou
xppxXP xx
)1(
1)0(
,
1,0,)1()( 1
)1()(;)( ppXVarpXE
Distribuição Bernoulli
xi
P(X=xi)
0 1
p
1-p
xi
1
F(x)
0 1
1-p
•Função de probabilidade e função de
distribuição
Binomial• Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli
independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p.
• Exemplos:
• Uma moeda é lançada é três vezes, qual é a probabilidade de se obter duas caras?
• Dez peças são extraídas, ao acaso, com reposição, de um lote contendo 500 peças, qual é a probabilidade de que todas sejam defeituosas, sabendo-se que 10% das peças do lote são defeituosas?
• Sabe-se que 90% das pessoas de uma cidade são favoráveis a um projeto municipal. Escolhendo-se 100 pessoas ao acaso entre os moradores, qual é a probabilidade de que pelo menos 80 sejam favoráveis ao projeto?
• A v.a. que conta o número total de sucessos é
denominada Binomial com parâmetros n e p e
sua função de probabilidade é dada por:
• Com representando o coeficiente binomial
calculado por:
nxppx
nxXP xnx ...,,2,1,0,)1()(
)!(!
!
xnx
n
x
n
x
n
)1()()( pnpXVarnpxE
Exemplo
• Dez peças são extraídas, ao acaso, com reposição, de
um lote contendo 500 peças, qual é a probabilidade de
que todas sejam defeituosas, sabendo-se que 10% das
peças do lote são defeituosas?
• Temos n=10 ensaios de Bernoulli, cada um com
P(S)=P(peça defeituosa)=p=0,1.
• Se X indicar o número de peças defeituosas na amostra,
queremos calcular P(X=10). X ~ Bin(10; 0,1)
10101010 1,0)1,01(1,010
10)10(
XP
• Qual o valor esperado e a variância?
• Qual é a interpretação deste resultado?
95,09,0)(
9,0)1,01(*1,0*10)(
11,0*10)(
Xdp
XVar
XE
Poisson
• O modelo Poisson é bastante utilizado quando se deseja contar o número de eventos de certo tipo que ocorrem num intervalo de tempo. Exemplos:
• Número de chamadas telefônicas recebidas por um Call Center em 5 min;
• Número de falhas de um computador em um dia de operação;
• Número de vendas diárias de um funcionário de uma loja de automóveis.
• Uma v.a. X tem distribuição de Poisson com
parâmetro >0 se sua função de probabilidade é
dada por:
,....2,1,0,!
)(
xx
exXP
x
)()( XVarXE
Exemplo
• Sabe-se que um Call center recebe, em média, 5
chamadas por minuto. Supondo que a distribuição de
Poisson seja adequada nessa situação, obter a
probabilidade de que o Call center não receba
chamadas durante um intervalo de 1 minuto.
0067,0!0
5)0( 5
05
ee
XP
5)(5)( XVarXE
Geométrica
• Número de ensaios de Bernoulli que precedem o primeiro sucesso.
• Ex: Uma linha de produção está sendo analisada para efeito de controle de qualidade das peças produzidas. A produção é interrompida para regulagem toda vez que uma peça defeituosa é encontrada.
• Uma v.a. X tem distribuição Geométrica
de parâmetro p (probabilidade de
sucesso) se sua função de probabilidade
é dada por:
,....2,1,0,10,)1()( xpppxXP x
2
1)(,
1)(
p
pXVar
p
pXE
Hipergeométrica
• É adequada quando consideramos extrações casuais feitas sem reposição de uma população dividida segundo dois atributos.
• Ex: Em problemas de controle de qualidade, lotes com N itens são examinados e divididos em dois grupos: defeituosos e não defeituosos.
• Considere um conj. de n objetos dos quais m são do
tipo I e n-m são do tipo II. Para um sorteio de r objetos
(r<n) ao acaso e sem reposição, defina X com o número
de objetos do tipo I.
• Uma v.a. X tem distribuição hipergeométrica se sua
função de probabilidade é dada por:
),min(,...,1,0,)( mrx
r
n
xr
mn
x
m
xXP
)1(
))(()(,)(
2
nn
rnmnrmXVar
n
rmXE
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