Estatística II UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS FACULDADE DE ECONOMIA Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos
Estatística II
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁINSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS
FACULDADE DE ECONOMIA
Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
CONTÍNUAS
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Definição: Uma função X definida pelo espaço amostral e
assumindo valores num intervalo de ´números reais, é dita uma
variável aleatória contínua.
A principal característica de uma v.a. contínua é que, sendo
resultado de uma mensuração, o seu valor pode ser pensado como
pertencendo a um intervalo ao redor do valor efetivamente
observado (sempre nosso valor efetivamente observado será a
média).
Podemos então destacar as diferenças da v.a. discreta e contínua
como sendo:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Exemplos de v.a. contínuas:
- Tempo de resposta de um sistema computacional
- Tempo de vida de uma máquina
- Resistência de um material
- Oscilação diária em um índice na bolsa de valores
Além destas podemos também destacar:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
De forma semelhante àquela desenvolvida para variáveis discretas,precisamos estabelecer para as contínuas a atribuição de probabilidades àssuas diversas realizações que, neste caso, podem assumir um númeroinfinito de valores diferentes. Abordamos esta questão através do próximoexemplo.
Exemplo: Estudos anteriores revelam a existência de um grande lençolde água no subsolo de uma grande região. No entanto, sua profundidadeainda não foi determinada, sabendo-se apenas que o lençol pode estarsituado em qualquer ponto, entre 20 e 100 metros.
Vamos supor que escolhemos, ao acaso, um ponto nessa região edispomos de uma sonda que, ao fazer a perfuração, detecta com precisão àprofundidade do reservatório de água. Denotamos por X a variávelaleatória representando a profundidade.
Notemos que, apesar de X poder ser qualquer número entre 20 e 100metros, o instrumento, com que trabalhamos, pode não ser tão precisocomo gostaríamos. Por exemplo, uma profundidade de 32,571 metrospoderia ser medida por 32,6 metros.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Vamos assumir que temos um instrumento ideal que não faz
aproximações. Nessas condições, podemos supor a sonda acoplada a
um instrumento indicador da profundidade e um dispositivo que,
quando a sonda encontrar água, provoque a imediata interrupção da
perfuração.
Uma vez não que temos informações adicionais a respeito da
profundidade do lençol, é razoável assumirmos que a sonda pode
parar em qualquer ponto entre 20 e 100 metros, sem que tenhamos
motivos para privilegiar essa ou aquela profundidade. Assim,
consideraremos todos os pontos como igualmente prováveis. Se
utilizarmos a mesma idéia de atribuir a cada possível ponto uma
probabilidade, teremos uma dificuldade extra, pois eles pertencem a
um intervalo de [20; 100], em que existem infinitos números reais.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Assim, se cada um deles tiver, individualmente, probabilidade
maior que 0, a soma das probabilidades será igual a infinito e não 1,
como requer a definição da função de probabilidades. Em geral, em
situações como esta, não é interessante considerar um único valor
para a variável aleatória, mas intervalos de valores na atribuição de
probabilidades. Neste caso, sabemos que o espaço amostral
corresponde ao intervalo [20; 100] e as profundidades são
igualmente prováveis.
Suponha por um momento, que dividimos o espaço amostral em 8
intervalos de comprimento 10. Logo, é razoável atribuir aos
intervalos a probabilidade 1/8, correspondendo à relação entre o
comprimento de cada um deles e o comprimento do espaço amostral.
Isto é, 10 para 80 ou 1/8.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - IntroduçãoAssim, como dividimos em 8 faixas de igual comprimento e sem
intersecção entre elas, teremos os intervalos [20; 30), [30; 40), ...,
[90; 100] todos com a mesma probabilidade de 1/8, pois todos tem o
mesmo tamanho.
Para construirmos um histograma, podemos supor que 1/8 é a
frequência relativa da ocorrência de cada um dos intervalos. As
ordenadas do gráfico são as densidades, calculadas de modo que a
área de cada retângulo seja a frequência relativa (probabilidade) do
intervalo.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Note que, dada as características do problema, a divisão em 8 intervalosproduziu o mesmo valor de densidade de 1/80 pra todos eles. Se dividirmoso intervalo [20; 100] em 16 faixas iguais, utilizando o mesmo argumentoanterior, temos que os intervalos [20; 25), [25; 30), ..., [95; 100] terão todosa mesma probabilidade 1/16. O histograma correspondente será:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
O histograma mostra que apesar de termos diferentes intervalos, adensidade permanece a mesma, igual a 1/80.
Podemos continuar esse procedimento aumentando cada vez mais aquantidade de faixas, com a consequente diminuição de suas amplitudes detal forma que, em uma situação teórica com infinitos intervalos, temos oseguinte histograma:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - IntroduçãoEstamos agora em condições de caracterizar, completamente a
atribuição de probabilidade para o caso contínuo. Ela será definida
pela área abaixo de uma função positiva, denominada de função de
densidade de probabilidade (fdp). Observe que a densidade em si não
é uma probabilidade, mas uma função matemática que nos auxilia na
atribuição de probabilidades. Assim, para a variável aleatória
contínua X representando a profundidade do lençol de água, a fdp f é
dada por:
.100200
;1002080/1)(
xouxpara
xparaxf
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - IntroduçãoTendo em vista que, nesse exemplo a função de densidade é
bastante simples, a probabilidade de que a profundidade do lençol
esteja em um dado intervalo pode ser calculada com o uso de área de
figuras planas. Assim, para obter a probabilidade de uma
profundidade entre 25 e 29, calculamos a área do retângulo:
e, portanto, P(25 ≤ X < 29) =80
4
80
14
80
1)2529(
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.2 – A função de densidade
probabilidade (fdp)Dizemos que f(x) é uma função contínua de probabilidade ou
função de densidade de probabilidade para uma variável aleatória
contínua X, se satisfaz duas condições:
i) 𝑓(𝑥) ≥ 0, para todo 𝑥 ∈ (−∞,+∞)
ii) A área definida por f(x) é igual a 1.
Com auxílio do cálculo diferencial e integral, podemos
caracterizar a condição ii) através de
Da mesma forma, para calcular probabilidades, temos que para
𝑎 ≤ 𝑏, , a integral indica a área sob f(x) definida
pelo intervalo [a; b].
.1)( dxxf
b
adxxfbXaP ;)()(
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.2 – A função de densidade
probabilidade (fdp)Note que, pela forma como a atribuímos as probabilidades nocaso contínuo, teremos área zero sob qualquer valor individual, istoé, P(X = k) = 0 para qualquer k. Portanto, em se tratando de variáveisaleatórias contínuas, a probabilidade de ocorrência de um valorisolado é sempre zero e, consequentemente, as probabilidadescalculadas sobre os intervalos [a; b], [a; b), (a; b] e (a; b) são asmesmas, para qualquer valor de a e b.
Exemplo: Num teste intelectual com alunos de um colégio Y, otempo para realização de uma bateria de questões de raciocíniológico é medido e anotado para ser comparado com um modeloteórico. Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento dacapacidade de raciocínio lógico e auxiliar a aplicação de medidascorretivas. O modelo teórico considera T, tempo de teste em minutos,como uma variável aleatória contínua com função de densidade deprobabilidade dada por:
O gráfico da fdp é apresentado a seguir (construiremos ele no
software R). Deve ser notado que, pela definição de f(x), ela se
anula para t < 8 ou t >15.
Vamos verificar agora se a função f(t) satisfaz a definição de
densidade. Para calcular P(9 < T 12), vamos obter a área sob f(t)
no intervalo (9; 12]:
contráriocaso
tse
tset
tf
0
151020
3
;108)4(40
1
)(
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.2 – A função de densidade
probabilidade (fdp)
Assim P(9< T 12) = 7/16 valor esse obtido pela soma do
trapézio definido no intervalo (9, 10) com o retângulo determinado
pelo intervalo [10,12] (veja a figura).
6 8 10 12 14 16 18
0.00
0.05
0.10
0.15
t
f(t)
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.2 – A função de densidade
probabilidade (fdp)
Através do uso de integral, essa mesma probabilidade seria
calculada da seguinte forma:
12 10 12
9 9 10
10 12210 12
9 10109
(9 12) ( ) ( ) ( )
1 3 1 3( 4) 4
40 20 40 2 20
11 6 70,4375
80 20 16
P T f t dt f t dt f t dt
tt dt dt t t
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.2 – A função de densidade
probabilidade (fdp)
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.3 – Valor Médio de uma Variável
Aleatória ContínuaO valor esperado ou média da variável aleatória contínua X, com
fdp dada por 𝑓(𝑥), é dada pela expressão:
Já a sua variância é dada por:
Como no caso discreto, a variância é a medida de dispersão mais
utilizada na prática. Aqui podemos, também, utilizar a expressão
alternativa 𝜎2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2, com 𝐸 𝑋2 sendo calculada como:
.)()( dxxxfXE
.)()( 22 dxxfx
.)()( 22 dxxfxXE
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e, como já
mencionado anteriormente, tem a mesma unidade de medida da
variável original, o que facilita a interpretação dos seus valores.
Vamos a um exemplo:
Investidores estudaram uma certa carteira de ações e
estabeleceram um modelo teórico para a variável R, rendimento das
ações (em mil R$). Suponha que R é uma variável aleatória contínua
com a seguinte função de densidade:
Vamos aplicar no Software R
11 , 0 20
( ) 40 10
0,
rse r
f r
caso contrário
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.3 – Valor Médio de uma Variável
Aleatória Contínua
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.3 – Medidas de Posição para Variáveis Aleatórias
ContínuasVamos determinar a média e a variância de R. Temos,
Para variância, calculamos primeiro E(R2):
Assim:
Portanto o desvio padrão será:
Qual seria a probabilidade de conseguirem um rendimento entre 8
e 10 mil? Vamos fazer no R
20 203 2
20
00 0
1 1 1 20 351 5 $ .
40 10 400 3 40 2 3 3
r r rr dr R mil
20 204 3
202 2
00 0
1 1 1 200 500( ) 1 100 $ .
40 10 400 4 40 3 3 3
r r rE R r dc R mil
2
2 2 2 2500 35 275( ) $30,56 mil
3 3 9E R R
30,56 $5,53 milR R
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição NormalA distribuição normal é uma das mais essenciais e importantes
distribuições da estatística, conhecida também como Distribuição de Gaussou Gaussiana. Foi primeiramente introduzida pelo matemático Abraham deMoivre.
Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros,possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita porseus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estesconsegue-se determinar qualquer probabilidade em uma distribuiçãoNormal.
Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve deaproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número deobservações fica grande. Essa importante propriedade provém do Teoremado Limite Central que diz que "toda soma de variáveis aleatóriasindependentes de média finita e variância limitada é aproximadamenteNormal, desde que o número de termos da soma seja suficientementegrande" (Ou seja, que a amostra seja maior que 30 observações).
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Diz-se que X tem Distribuição Normal com média e variância
2 se sua função de densidade de probabilidade (fdp) é:
E(X) =
Var(X) = 2
Pode-se ainda verificar que os parâmetros e 2 representam,
respectivamente, a média e a variância da distribuição. A
demonstração requer algumas manipulações de integral. O que não
vai ser demonstrado aqui. Assim quando indicarmos que X ~ N (;
2), segue imediatamente que E(X) = e Var(X) = 2.
xexf
x
iX 2
2
2
)(
2
1)(
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Graficamente a curva normal comporta-se da seguinte maneira:
30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000
0e
+0
01
e-0
52
e-0
53
e-0
54
e-0
5
Distribuição Nomal(60.000,8.300)
x
f(x)
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Algumas propriedades da densidade da Normal podem ser,
facilmente, observadas de seu gráfico:
fX(xi) é simétrica em relação à ;
fX(xi) 0 quando x ;
o valor máximo de fX(xi) se dá para x = e 𝜇 − 𝜎 e 𝜇 + 𝜎 são
pontos de inflexão de f(xi)
Quando temos 𝜇 = 0 e 𝜎2 = 1, temos uma distribuição padrão
ou reduzida, ou brevemente N(0,1). Para essa a função de densidade
reduz-se a2
21
( ) ( )2
z
z if z z e x
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Assim, o gráfico da normal padrão pode ser representado por:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Vamos partir de um exemplo prático:
Vamos trabalhar com uma série dos fundos de investimentos da
Petrobrás gerenciado pelo Bando do Brasil. Observou-se que o
comportamento dos fundos entre 02/01/2012 a 13/03/2012 tiveram
um comportamento muito aproximado a uma curva normal como
pode ser observado no gráfico abaixo:A média ficou em torno de R$ 7,27
a cota do fundo e o desvio padrão
foi de R$ 0,295.
Vamos construir a fdp desta
variável aleatória no software R.
Os limites de intervalo serão R$ 6 e
R$ 8,25
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
No cálculo de probabilidades para variáveis contínuas, devemos
resolver a integral da fdp no intervalo de interesse, isto é,
P(a X b) =
Entretanto, a integral acima só pode ser resolvida de modo
aproximado e por métodos numéricos. Por essa razão, as
probabilidades para o modelo Normal são calculadas com auxílio de
software estatísticos ou por tabelas.
A partir do exemplo anterior, vamos visualizar algumas
possibilidades e informações probabilísticas que podem ser tiradas a
partir da curva da normal criada para o fundo de ações da Petrobrás.
2
2
( )
21
2
xb
a
e
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Cálculo da probabilidade de um modelo Normal usando o R
Levando em consideração as informações do exemplo anterior,
pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de obtermos lucro se na época do resgaste o
valor da ação for de R$ 7,18.
Para realizar tal tarefa vamos usar o comando pnormal que faz o
cálculo da probabilidade. Além disso, vamos fazer também a
representação gráfica na curva da normal.
b) Qual deveria ser o preço máximo (em R$) para que o investidor
tenha uma probabilidade de lucro pequena, de cerca de 10%?
Vamos verificar essa possibilidade com o auxílio do R.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Aplicações da v.a. reduzida.
A transformação da normal para a sua correspondente reduzida
z~N(0,1). Para determinar a probabilidade de X [a,b], procedemos
com o seguinte cálculo:
P(a X b) = P(a - X - b - ) =
e, portanto, quaisquer que sejam os valores de e , utilizamos a
Normal Padrão para obter probabilidades com a distribuição Normal.
bZ
aP
bXaP
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Os valores para P(0 Z z), z>0 são apresentados na seguinte
tabela.
Com a simetria da densidade Normal podemos calcular valores de
probabilidades em outros intervalos. Note que a simetria também
implica que a probabilidade de estar acima (ou abaixo) de zero é 0,5.
Como probabilidade é sempre um número entre 0 e 1, a tabela
contém apenas a parte decimal.
Por exemplo, para X~N(2,9), teremos:
Agora como foi localizado o valor 0,3413 na tabela normal?
3413,0)10(9
25
9
2
9
22)52(
ZP
XPXP
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Para obter P(0 X 2), usamos a assimetria da Normal:
Podemos ainda calcular as probabilidades de intervalos com
extremos negativos, utilizando os correspondentes intervalos na parte
positiva. Um outro recurso importante no uso da tabela é a utilização
do complementar. Por exemplo,
0 2 2 2 2 2(0 2) ( 0) (0 )3 39 9
(0 0,6666) 0,2486
P X P Z P Z P Z
P Z
3707,01293,05,03
105,03
13
23)3(
ZPZPZPXP
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
A tabela também pode ser utilizada no sentido inverso, isto é,
dado uma certa probabilidade, desejamos obter o valor que a
originou. Por exemplo, quanto vale c tal que P(0 Z c) = 0,4?
Procurando no corpo da tabela, a probabilidade que mais se
aproxima de 0,4 é 0,3997; correspondendo a 1,28 que será o valor de
c.
Suponha, agora, que queremos encontrar d tal que P(Z > d) = 0,8.
Observamos que d precisa ser negativo, pois a probabilidade
desejada é maior que ½, que é o valor de P(Z > 0). Assim, o
intervalo (0; d) precisa ter probabilidade 0,3. Pela simetria da
Normal, o intervalo (-d, 0) também tem probabilidade 0,3. Da tabela,
segue que –d = 0,84 e portanto d = -0,84.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Vamos finalizar essa seção utilizando o exemplo anterior para o
fundo de ações da Petrobrás/BB.
a) Qual a probabilidade de obtermos lucro se na época do resgaste o
valor da ação for de R$ 7,18?
b) Qual deveria ser o preço máximo (em R$) para que o investidor
tenha uma probabilidade de lucro pequena, de cerca de 10%?
Assim, precisamos obter um valor em R$ tal que: P(X < R$) = 0,1.
Então,
7,27 7,18 7,27( 7,18) ( 0,31) 0,5 0,1179 0,3821
0,295 0,295
XP X P P Z
7,27 $ 7,27 $ 7,27( ) 0,1
0,295 0,295 0,295
X R RP P Z
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.5 – A distribuição t de studentA distribuição t de Student é importante no que se refere a
inferências sobre médias populacionais.
Diz-se que uma variável aleatória contínua T tem distribuição t deStudent se sua função de densidade é dada por:
𝑓 𝑡; 𝑣 =
𝑣 + 12
𝑣2
𝜋𝑣1 +
𝑡2
𝑣
−𝑣+12
, −∞ < 𝑡 < ∞
Essa expressão, certamente, é assustadora! Mas eis uma boanotícia: não precisaremos dela para calcular probabilidades! Noentanto, é interessante notar duas características básicas dessaexpressão: o argumento t da função aparece elevado ao quadrado e fT
depende apenas do número de graus de liberdade da qui-quadrado e,portanto, o parâmetro desta distribuição é, também, o número degraus de liberdade.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.5 – A distribuição t de student
Em termos de média e variância a distribuição t de Student, (com
v graus de liberdade) que será indicada por t(v), será:
𝐸 𝑡 = 0 𝑉𝑎𝑟 𝑡 =𝑣
𝑣 − 2Quanto maior o valor de v mais t aproxima-se de uma normal
N~(0,1), isso pode ser verificado no gráfico abaixo:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.5 – A distribuição t de student
Assim como no caso da normal, seria necessária uma tabela para
cada valor de v. Os programas computacionais de estatística
calculam probabilidades associadas a qualquer distribuição t. Mas
nos livros didáticos é comum apresentar uma tabela da distribuição t
que envolve os valores críticos, ou seja, valores que deixam
determinada probabilidade acima deles. Mais precisamente, o valor
crítico da t(v) associado à probabilidade α é o valor tv;α tal que
𝑃 𝑡 𝑣 > 𝑡𝑣;𝛼 = 𝛼
Para encontrar o valor tabelado basta pegarmos o grau de
liberdade v e compararmos com a nossa probabilidade de cometer o
erro tipo I (isso será visto mais adiante).
Suponha que tenhamos v=6 e queiramos um erro de 5% para uma
distribuição uni caudal, então teríamos:
Tabela Bicaudal
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição Qui-Quadrado
A distribuição qui-quadrado é um caso específico da distribuição
Gama.
Como definição temos:
Uma variável aleatória contínua Y tem distribuição qui-quadrado
com v graus de liberdade (denotada por 2(𝑣) ) se sua função
densidade for dada por:
1
𝑣
22𝑣2
𝑦𝑣
2−1𝑒−
𝑦
2 , 𝑦 > 0
𝑓 𝑦; 𝑣 = 0, 𝑦 < 0
A média e variância para a qui-quadrado são:
E(Y)=v Var(Y)=2v
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição Qui-QuadradoGraficamente a distribuição qui-quadrado se comporta da seguinte
forma:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição Qui-QuadradoUsando a tabela qui-quadrado para v=10, observe que
P(Y>2,558)=0,99; ao passo que P(Y>18,307)=0,05.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição F de SnedecorSejam U e V duas v.a. independentes, cada uma com distribuição
qui-quadrado, com v1 e v2 graus de liberdade, respectivamente.
Então, a v.a.
Tem densidade dada por:
𝑔 𝑤, 𝑣1, 𝑣2 = (𝑣1+𝑣2) 2
(𝑣1/2)(𝑣2/2)
𝑣1𝑣2
𝑣12 𝑤(𝑣1−2)/2
(1 + 𝑣1𝑓/𝑣2)(𝑣1+𝑣2)/2
,
𝑤 > 0
Diremos que W tem distribuição F de Snedecor, com 𝑣1 e 𝑣2graus de liberdade, e usaremos a notação W~F(𝑣1, 𝑣2). Podemos
mostrar que:
1
2
U vW
V v
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição F de Snedecor
𝐸 𝑊 =𝑣2
𝑣2−2𝑉𝑎𝑟 𝑊 =
2𝑣22(𝑣1+𝑣2−2)
𝑣1(𝑣2−2)2(𝑣2−4)
O gráfico típico de uma distribuição F varia conforme seu grau de
liberdade como pode ser verificado abaixo:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição F de SnedecorVamos considerar que nossa distribuição F tenha comportamento
de média e variância com a seguinte característica W~F(5,7).
Consultando a Tabela F teremos: P(F > 3,97) = 0,05, ou P (F 3,97)
= 0,95.
Agora se quisermos encontrar:
0,05 = P{F(5,7) < f0}=P{1/F(7,5) < f0}=P{F(7,5) > 1/ f0},
Procurando na Tabela F, para F(7,5), obtemos 1/ f0=4,88 e,
portanto, f0=0,205.