ARCHIWUM BUDOWY MASZYN - bcpw.bg.pw.edu.plbcpw.bg.pw.edu.pl/Content/970/Archiwum_Budowy_Maszyn_1957_n2_str... · gu tairczy dodano odpowiedni dodatkowy stan naprężeń ... a —
Post on 01-Mar-2019
220 Views
Preview:
Transcript
BIB Li-: S K A G Ł Ó W N AMLITEWUKI WARSZAWSKIEJ
Warszawa»| * -»śoi Robotnlciei
P O L S K A A K A D E M I A N A U KK O M I T E T B U D O W Y M A S Z Y N
ARCHIWUMBUDOWY MASZYN
KWARTALNIK
TOM IV • ZESZYT 2
W A R S Z A W A 1 9 5 7P A Ń S T W O W E W Y D A W N I C T W O N A U K O W E
A R C H I W U M B U D O W Y M A S Z Y N
TOM I V 1957 Z E S Z Y T 2
WITOLD NOWACKIWanszawa
STAN NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANY DZIAŁANIEMŹRÓDEŁ CIEPŁA
Równania przemi-eszczeniowe teorii sprężystości dla płaskiego stanunaprężenia d ustalonego pola temperatur, przedstawione jednym TÓwna-niem różniczkowym (1), i równanie różniczkowe opisujące pole tempe-ratur (2) zastąpiono jednym równaniem (3). Funkcji <J> w tym równaniunarzucono warunki brzegowe <? = 0 i I72!? = 0, które prowadzą dostwierdzenia, że na brzegu tarczy temperatura T = 0 or-az naprężenianormalne a — 0. W celu zniesienia również naprążeń stycznych na brze-gu tairczy dodano odpowiedni dodatkowy stan naprężeń (a, ?) .
Ponieważ równanie różniczkowe (3) przy warunkach brzegowych# = 0 i Fa<5 = 0 wykazuje pełną analogię z równaniem różniczkowymugięcia płyty (8) na brzegu swobodnie podpartej (w = 0, V2w = 0),w którym źródłom ciepła odpowiadają siły skupione-, wykorzystanowięc w rozpatrywanym zagadnieniu do wyznaczania funkcji <T> i na-prężeń air znane rozwiązanie torii płyt. Dodatkowy stan napręże-nia (CT, T) wyznaczono- przy pomocy funkcji Airy'ego.
W sposób szczegółowy, doprowadzony do wyznaczenia składowychstanu naprężenia {a, x), opracowano przypadki: pasma tarczowego nie-skończenie długiego z jednym źródłem ciepła oraz z rozmieszczonymiw równych odstępach wieloma jednakowymi źródłami ciepła, półpasmatarczowego z jednym źródłem >eiepła i tarczy prostokątnej z. jednymźródłem ciepła,
1. Ogólne ujęcie zagadnienia
Równania przemieszczeniowe teorii sprężystości dla płaskiego1 stanunaprężenia i ustalonego pola temperatury można, jak wiadomo-, przed-stawić równaniem różniczkowym1'(1) V*V*&=(l + v)aV2T,gdzie:
0 — tak zwany cieplny potencjał przemieszczeniowy,T(x, y) — temperatura,v — liczba Poissona,a — współczynnik rozszerzalności liniowej.
[121]
122 w - NOWACKI
Rozkład temperatury w tarczy opisany jest równaniem różniczko-wym
(2) jńr + ^ - o .
gdzie:W— intensywność źródła cieplnego,k — współczynnik przewodnictwa cieplnego,h — grubość' tarczy.
Zależności (1) i (2) zastąpić możemy jednym równaniem
(3)
Warunki brzegowe zagadnienia kształtują się na brzegu prostolinio-wym w sposób następujący:
Na brzegu tarczy temperatura ma wartość stałą; nie umniejszającogólności rozwiązania przyjmiemy przy tym, że wartość ta jest równazeru (T == 0). Warunek ten pociąga za sobą zależność p20 = 0 wzdłużbrzegu tarczy. Naprężenia wywołane polem temperatury związane sąz funkcją <P zależnościami1'
(4) 5, = - 2G 4 T - » ó„ = - 2G ~ i xxy = 2G-f~ .
Drugi warunek brzegowy powinien określić znikanie naprężeń nor-malnych lub stycznych na brzegach tarczy. Przyjmując, że $ = 0 nabrzegu tarczy, doprowadzimy do zniknięcia naprężeń normalnych wzdłużlinii brzegowej. W celu zniesienia naprężeń tnących na brzegu tarczynależy do naprężeń (4) dodać, odpowiednio, naprężenia
Funkcja F powinna przy tym spełnić równanie różniczkowe
(6) F V F = 0 .Pr-zy rozwiązywaniu równania (5) zakładamy, że na brzegu tarczy
znikają naprężenia normalne, zaś naprężenia tnące spełniają warunekbrzegowy rxv = — T O •
Naprężenia wywołane działaniem temperatury określają wzory
(7) ff* = OX - f OX , Gy = Oj -\~ Cfy 1 T'X„ = XXy "f" XXy .
Zauważmy, że równanie różniczkowe (3) z warunkami brzegowymi0 = 0 i P2<P = 0 wykazuje pełną .analogię z równaniem różniczkowym
131 NAPRĘŻENIA W TABCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 123
powierzchni ugięcia płyty na brzegach swobodnie podpartej. Mamytu równanie
(8) pV™ = "Irprzy warunkach brzegowych tu = 0 i J72iu = 0.
W równaniu (3) W oznacza intensywność źródła ciepła; należy za-tem wielkość tę traktować jako taką funkcję, która poza otoczeniempunktu przyłożenia źródła ciepła ma wartość równą zeru. W równa-niu (8) funkcja Q powinna mieć analogiczny charakter jak W. Należyzatem uważać, że funkcja Q wyraża intensywność obciążenia zewnętrz-nego płyty, które poza otoczeniem punktu przyłożenia ma wartość rów-ną zeru. Możemy więc Q uważać za siłę skupioną.
W przedstawionej pracy wykorzystamy analogię między równania-mi (3) i (8). Wyznaczanie funkcji <X> oprzemy na znanych wynikachteorii zginania płyt; punkt ciężkości spoczywać będzie1 na wyznaczeniufunkcji naprężeń F.
Ograniczymy się do rozpatrzenia stanu naprężenia wywołanego' źró-dłami ciepła w paśmie i w półpasmie tarczowym oraz w tarczy pro-stokątnej.
2. Pasmo tarczowe
Niech dane będzie pasmo tarczowe o szerokości a ze źródłem ciepłaumieszczonym w punkcie (f, 0). Pasmo to zastąpimy pasmem płyty o sze-rokości a na brzegach swobodnie podpartej i obciążonej siłą skupioną Qw punkcie (f, 0). Ugięcie płyty wyraża wzór2)
(9)2Q cos
gdzie a„ = rmfa, a N jest sztywnością płyty na zginanie.y
W
x.x'
y'
Eys. 1.
Z analogii równań różniczkowych (3) i (8) oraz z analogicznych wa-runków brzegowych wynika, że
1 2 4 w - NOWACKI [4]
2K ^ , . r cos BydB(10) 0 = j : V sma„£sina„x / 7~2~_i J\2 »
™—x o
gdzie
( l+v)aWk
Korzystając z wzorów (4) i biorąc pod uwagę, że wyrażenie (10)można przedstawić szeregiem
(11) (P = jT-Tfr- V j — (1 -f- any) sin an^ sin anx dla y > 0,71=1
obliczymy kolejno
(12) ay = - 2G - = - -£ £ -^ (1 + any) sin a„| sin anx,
n = l
Wzory (12) są słuszne dla y ^ 0. Ponieważ sumy występujące wewzorach (12) są wolnozbieżne, a dla y = 0 i a ; = f — rozbieżne, wygod-nie będzie przedstawić je w postaci zamkniętej
- _ *^L / d(fi \ • K G l d<p \ - K G
gdzie
(13a) p = -^-ln.Tl
Widoczne jest, że na brzegach tarczy znikają naprężenia ax i av,a dla y —»- oo znikają wszystkie naprężenia. W otoczeniu źródła ciepłanaprężenia rosną nieograniczenie1 w sposób logarytmiczny.
Dla dalszych rozważań najwygodniej będzie przedstawić naprężei-nia xxy w postaci wypływającej bezpośrednio z wzoru (10)
IS? NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 125
Zważywszy, że
gdzie:
(15a)
n = l " '
/Sf sinhAcoshflf — AcoshAsinhflf— — F i ^ r
otrzymamy a)
KGa'C-3
(16a)
_ KGa2 r
Działanie1 źródła ciepła znajdującegosię w punkcie (f, 0) zastąpić możemydziałaniem źródeł ciepła umieszczonychsymetrycznie względnie antysymetrycz-nie względem osi y (rys. 2).
Dla symetrycznie ułożonych wzglę-Rys. 2.
( a '
/rIV
b)
2 '
2 "
-^M i l
x,x'y
y y y g ędem osi y' źródeł ciepła o intensywności W/2 (rys. 2a) otrzymamyw układzie współrzędnych x', y wzór
t'=a/2
KGa !
2?rh - f j ] sin
albo
(16b)KGa'
sin
126 \V. NOWACKI [6]
gdzie:
(») / t'\ — P s i n h ^ c o s h P? ~ P? c o s h f1 s i n
e ii*>*>-- p*cosh*IT
Dla antysymetrycznie wzglądem osi j / umieszczonych źródeł ciepłao intensywności W/2 (rys. 2b) otrzymamy
/i K* T +albo
/,« v -r , K G a 2
(1 6 c>. * & — r a ri'=a/a
gdzie
Rozpatrzmy najpierw przypadek symetrycznego układu źródeł cie-pła. W celu zniesienia naprężeń tnących T ^ , na prostych x' — ± a/2
należy dobrać taki stan naprężeń a$, o^ i i%>, który by spełniał rów-nanie różniczkowe
(17) V2V2F^ = 0
z warunkami brzegowymi
(18)
dla a'-i-l
Ze względu na symetrię źródeł ciepła w stosunku do osi y' wystarczyograniczyć się do warunków brzegowych na brzegu xr = a/2.
Funkcję F ( s ) przyjmujemy w postaci
(19) F<s> = i - f^- (A<s> cosh fix1 + B<" /Ja:' sinh fix') cos
[71 NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE 2HODŁAMI CIEPŁA 127
Z warunków brzegowych (18) otrzymamy
A(s> cosh fjL + B(s) n sinh [i = 0 ,
(A<*> + B<s>) sinh/* + B's' fi cosh p
skąd
47r cosh [j, s inh /z -f- fj,
B ( s ) as -
Wyznaczamy naprężenia z wzorów (5)
=!* KGa
o
u sinh u cosh 8 x — /3x smh Bx cosh MX M ^ ^ K- rx.—i— c o s
r cosh sinh ja +/ł
X u KJZ c ^^—zj-r r^ r-^ cosr cosh /t smh /j, 4- /ł
if« KGa
(/i sinh,« — cosh /i) sinh /3JC' - |8x' cosh Bx' cosh ^X U i :—i r ' S i n p y CLp .
^ cosh fx smh /J, -\- {/,
Rozpatrzmy przypadek źródeł ciepła o intensywności W/2 umiesz-czonych w sposób antysymetryczny w stosunku do osi y'. W celu znie-sienia naprężeń tnących na prostych x' = a/2 dobieramy naprężenia
bp a$ i r%', w ten sposób, aby spełniły równanie różniczkowe
(21) |7ap2F<o) = 0
wraz z warunkami brzegowymi:
--(a)
dla x = ± a.
1 2 8 W. NOWACKI [8]
Funkcję Fm przyjmujemy w postaci
1 /* 1(23) F{a) = — / — (Am sinh to' + B(a) Bx' cosh to') cos By dB.
' h J B* "o
Z warunków (22) otrzymamy układ dwóch równań1 sinh fi + B(a> n cosh p = 0 ,
(AO + B«-)) cosh ^ + B<-> /, sinh ^ = -
skąd
4?i cosh /i sinh ^ — /.<
B = Ajtł COSh M
Z wzorów (5) wyznaczymy naprężenia
J S W>* >
u cosh M sin Bx' — /?x' cosh (5a;' sinh u , ,X u T-—^V cos By' dB ,
(24)(u cosh u — 2 sinh u) sinh to' — to' cosh Bx' sinh u „ , , n
X « — ^~- ~r " cos By'dB,r cosh /i sinh /« — /j, ' '
(w cosh « — sinh «) cosh to — to sinh 8x sinh u .X U - ^ C-4r r-T" — Sin
r cosh ji sinh /« — ^Zauważmy, że dla symetrycznie umieszczonych źródeł ciepła o in-
tensywności W/2 znikają naprężenia i% , na prostych y = 0 oraza:' = 0; otrzymamy symetryczny wziględem osi x' i y rozkład naprężeńnormalnych, a antysymetryczny względem tych osi rozkład naprężeńtnących. Przeciwnie, dla antysymetrycznie umieszczonych źródeł ciepła
19] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 129
o intensywności W/2 otrzymamy antysymetryczny rozkład naprężeńnormalnych względem osi y, a symetryczny rozkład naprężeń tnącychwzględem tejże osi.
Dla źródła ciepłą W umieszczonego w początku układu współrzęd-, i . t ., . ~(o) "=(al . "(a)
nych x i y znikają naprężenia ox> , av i xx>v> •Dla źródła ciepła W umieszczonego w sposób niesymetryczny na-
prężenia cieplne wyrazimy wzorami— 5 - 1 - =<s) 4 - =(o) = a 4- cłs) 4- a^
(25)
Podane rozwiązanie dla przypadku źródła ciepła znajdującego sięw punkcie (|, 0) posłużyć może do wyznaczenia naprężeń wywołanychźródłem ciepła rozłożonym w sposób dowolny na odcinku I2—£1 osi :r.Jeśli przez Ui(£) oznaczyć intensywność tego źródła ciepła na jednostkę•długości, to funkcja cieplnego potencjału przemieszczeń przyjmie postać
00
Va sina x f—^Ź^Łn - l o
gdzie:
r _ (l+v)a a „ = Tl
W przypadku źródła ciepła o intensywności w{C, ij), odniesionej dojednostki powierzchni tarczy, rozmieszczonego na obszarze Q tarczy,przedstawimy funkcję (I> w postaci
D2\2
(27)X jjw (i,i-j) sin an£ cos /3 (y — •>?) df cfydjS -
Analogicznie, jeśli przez a(a:, y; f, ??) =<r (a;, y; £,»?) + a{x, y; f, ł?) ozna-czyć naprężenie wywołane1 w punkcie (x, y) dzdiałaniem źródła ciepłaskupionego W = 1 umieszczonego w punkcie (f, rj), to naprężenie a*(x,y)wywołane działaniem źródła ciepła o intensywności u?(f, i]) rozłożonym'na obszarze Q wyrazimy całką
(28) a*{x,y) = f f w ^,v)o{x,y,
130 W. NOWACKI [10/
Rozpatrzmy jeszcze tarczę nieograniczoną, w której rozmieszczonesą źródła ciepła o jednakowej intensywności W (rys. 3) w sposób okre-sowy (w jednakowych odstępach 2b).
i 1Wa|cM
2b
W
2b
x,x'
y'•
Rys. 3.
Rozwiązanie równania (3) najwygodniej będzie podać w postaci po-dwójnego szeregu trygonometrycznego. Wyrazimy prawą stronę tego-równania w postaci
JK (1 + v) a W _ 2KT ~
(29)hk
4K
sm a*Ł S l n a»x +
sinajsinanxcospmy,
gdzie:
a funkcję 0 szeregiem
(30) 0 = V An sin anx -f V BnUi sin ana; cos /3my •n = l n,m
Szeregi te spełniają wszelkie warunki brzegowe wzdłuż prostych.x = 0, a? = a oraz y = ± b. Wstawiając (29) i (30) do równania (3)otrzymamy
,gi\ <* 2K ^-| sina„f sina„a: AK ^ sin anf sin a„cc cos /5my
n = l n.m v ~ '
Funkcję tę przedstawić można również w postaci pojedynczego sze-regu trygonometrycznego
< 3 2 >n = l
[11] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 1 3 1
gdzie:
C o s h
&n = a„b.Naprężenia ax, dv i xxy wyznaczamy z wzorów (4)
KG I—r
(33). b ^ sina,,,
n = l
Tutaj funkcja cp jest identyczna z funkcją wyrażoną wzorem (13a),a funkcja 0 dana jest szybkobieżnym szeregiem
1 ^ , sin ctnf sin anx cosh any
Widoczne jest, że nieciągłość typu logarytmicznego mieści się w funk-cji <p, funkcja & zaś nie ma żadnych osobliwości. Dla b -*• co i 6> ->- 0wzory (33) również przechodzą do postaci (13).
Do dalszych rozważań będzie dogodnie wyznaczyć xxy bezpośrednio7. wzoru (31). Otrzymamy stąd
- >,r d2<p 8KG
Korzystając ze związków (15) znajdziemy
2KGa2 ^1 = 0 m = l
2 K G a 2 £ , „ . . : „ . .
m = l
gdzie funkcje ?/i i y\<i bierzemy z wzorów (15a) wstawiając do nich za-miast yS i X = fta odpowiednio /3m i Xm — fima.
Postępując analogicznie jak w przypadku pasma tarczowego z jed-nym źródłem ciepła, rozważać będziemy przypadek działania dwóch
132 W. NOWACKI [12J.
źródeł ciepła o intensywności W/2, działających raz w sposób syme-tryczny, zaś raz w sposób antysymetryczny w stosunku do osi y'. Stądotrzymamy dla źródeł ciepła o intensywności W/2 ułożonych względemosi y':
symetrycznie
(36) x%= - - ^ V /W(s) W ) sin pay',*'-«/a m==1
antysymetrycznie
(37) r ( & = ^ V ^ ' ° > ( f t „ r ) sin fimy>,
gdzie Q{S) i e l a ) bierzemy z wzorów (16b) i (16c), zaś
Dla symetrycznego układu źródeł ciepła względem osi y przyjmiemy
(38) F<*> = - [ y i (Alf cosh pmx' + Bft p„x' sinh pmx>) cos y ' ,
gdzie.
w _ KGa ^ " ' ( ^ . i Q s i n h ^ (s) w ctgh^,2b cosh ^ s i n h A * m + ^ ' ' " " '" ^ , •
Naprężenia dodatkowe wyliczymy z wzorów
=(,,_ KGa ^
m = l
(39) /!« sinh ^ cosh /?„.»' - flmx' cosh ^ąg ' sinh /xms\ • COo PU; ;
cosh/ims
(/t,, sinh Mm - 2 cosh M_n) ^cosh f$mx' - 0mx' sinh pmx' cosh ^oshT^LTh r ^ ; ; — c o s
V
m = l
cosJi um) s int i Bm<x —
[13] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 133
W przypadku działania źródeł ciepła o intensywności W/2 umiesz-czonych w sposób antysymetryczny w stosunku do osi y' przyjmiemydla wyznaczenia naprężeń o? , a„a i r^j następującą funkcję Airy'ego
(40) F<«> = ~ V i ( ^ s i n h fS,,x' + B%§mx> coshpmx') cos f}„y',
przy czym:
A2b cosh iim sinh i»m-/t^'
„(a) _ >,(o) t g h j t ł ^
Naprężenia wyznaczymy z wzorów (5), a mianowicie
flma'-/?wa'cosh ft^'sinh ft„J ^ Jcosh Jm sinh ^ - Jm
vx
m = l
2 sinh /j,m) sinh pmx' — fimx' cosh/?ma:' s inh,
( ^ cosh m - sinh m) cosh a ' - jg a:' sinh fimx' sinh^^, •X : r •—T" — — o m pmy •
cosh ^ sinh ^ - ^ ' Hm*Dla źródeł ciepła W rozłożonych w sposób okresowy na paśmie tar-
czowym (rys. 3) naprężenie cieplne otrzymamy na podstawie super-pozycji
a, = 5. + o? + ?xa) Wd.
Zauważmy, że dla b -> oo wzory (39) i (41) przechodzą we wzory (20)i (24). Podane tu rozwiązania dla przypadku źródeł ciepła W rozmiesz-czonych w jednakowych odstępach 2b traktować można jafco funkcjęGreena. Może ona posłużyć do wyznaczenia naprężeń wywołanych źró-dłami ciepła liniowymi lub powierzchniowymi, rozmieszczonymi w obrę-bie tarczy w sposób periodyczny.
134 W. NOWACKI 1141
3. Półpasmo tarczowe
Przypadek półpasma tarczowego traktować można jako przypadekpasma nieograniczonego, w którym działa źródło ciepła w punkcie (f, 1?)i odpływ ciepła w punkcie (f,—rj). W tym bowiem przypadku otrzy-mamy na brzegu (y = 0) T = 0.
-W w
x,x
Rys, 4.
Korzystając z wzoru (10) wyrażamy funkcję <2> związkiem
2TC
' /cos (y - rj) - cos (y + v)
albo
<43) 4K
Punkcję ^ wyrazić można również pojedynczym szeregiem trygonome-trycznym,3'(44)
j 2 " ^ ~ K1 + a"y%l s i n h a" - "^c o s h an7?] s i n a»£sin "^ •71 = 1
Wzór ten jest słuszny dla rj<y<oo. Dla przedziału 0 < y < r; należywe wzorze (42) zastąpić y przez f j i n a odwrót.
Na podstawie wzorów (4) obliczymy naprężenia óy a, i T ^ otrzy-mując
KG
115] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 135
gdzie:
cosh ^-{y ~rj) — cos iL (x — !)(46) Vl = * In fl_ _a ,
cosh — {y — rj) — cos — (ar + I)
cosh — (y + rj) — cos ?L(x—•L i CC CL
cosh — (y + rj) ~ cos — (a: — f)
Łatwo sprawdzić, że na brzegach x = 0 i x — a mamy ax = 0, a nabrzegu y = 0 jest ay = 0. Na wymienionych brzegach różnymi od zerabędą jedynie naprężenia tnące T W .
Do dalszych rozważań dogodnie będzie przedstawić naprężenia tną-ce Trj, wzorem
a sinafcosa* f ^ s i n ^
Zważywszy, że
22 y a r t ( - I2 " {al +
oraz
J («0
możemy wyrazić naprężenia xxu na brzegach półpasma tarczowego wzo-rami
F - /(/?sm/??7)»ji( |8)cos1 = 0 "
o
(48)0
2KG 2 * (" J ? ? ) s i n a" cos a"» = 1
2 Archiwum Budowy Maszyn
136 W. NOWACKI [16]
gdzie
-~
W celu wyznaczenia naprężeń dodatkowych wygodnie będzie i w tymprzypadku zastąpić działanie źródła ciepła o intensywności W w punk-cie (£, rj) działaniem dwóch źródeł o intensywności W/2 umieszczonychraz symetrycznie, a raz antysymetrycznie w stosunku do osi y .
a) y
b)
a [CM
y'
x,x'
Hys. 5.
Rozpatrzmy najpierw działanie źródeł ciepła W/2 symetrycznie uło-żonych względem osi y'. W układzie współrzędnych x', y' (rys. 5a) otrzy-mamy
x'=afiA/? sin fa')
Jcos
(49)2KG
v'=an,fj') cos anC' sin anx'.
Przynależne temu stanowi naprężenia aP , o$ i %%' , otrzymamy z roz-wiązania równania różniczkowego Airy'ego
(50)z warunkami brzegowymi
V'V'F™ = 0
[17] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 137
3? = - ^ r = 0 dlax' = a/2,
(51) ^ - ^ - - 0 dlay' = O,
Tym warunkom zadość uczynimy przyjmując funkcję F< s ) w postaci
T J " 4 ( A " s ) + ^ an3/) e ~°y cos anX'+
n=1.3. • - •
(52)
4- i - f A . (A<s> cosh /9x' + B<s) /?a;' sinh jgas') sin /Sy'd^ .
o
Warunki brzegowe (51) prowadzą do związków
(53a) Af = 0 ,
(53b) A(s» cosh /j, + B<s> ^ sinh ^ = 0 , gdzie ^ = -^- ,
do
JT Bi!) sin anx' - f[(A^ + B<s») sinh #c ' +n = i , 3 . . - . /
(53c)2KG- °°
+ B« /3x' cosh fix'} d/S = ^ — £ & (a„,r}') cos an£'sin anx',
n - l0
(53d) + B(s)) sinh ^ + B« / cosh ^J cos fiy'dfi =oo
KGa2
f tfśin pt,')ev (?,£') cos py'
o
Jeśli wykorzystać z,wiązki (53a, b) ox;az wstawić do równań (53c, d)zależności
sinh fix' = V En? sin anx', fix' cosh fix' = V E n ? sin anx',n>=l n - l
2*
138 "W. NOWACKI [18]
n/3 COS0
to otrzymamy układ dwióch równań
(54) B ^ - f A<s> [r(u) Eng — g (u) FnjS] d/? = - ^ ^ - # («„,«') cos a„f ,o "
gdzie:jx sinh ^ — cosh p
" ~ jttsinh/ł
_! cosh,H sinh ^ ' " ' ~ ^ sinł
Zważywszy, że
cosh sin -
sin-
•Fns = p usinhw + » T 09 c o s h / *
477: (a* + (Py
możemy doprowadzić równania (54) do postaci
J sii2 . .J smh
2KGe cos
a(55)
Je sin——-
u , 0 ) „ .1 ,8,5, . . .
[19] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 139
Wyeliminujemy z tego układu funkcję A(,«). Otrzymamy wówczas nie-skończony układ równań
512 „ . nn ^ —M. . k,nBk ksin—- x
X i -
-s- V B^ksin—I Z-i 2
fc-
cosh2
[n2 4 ^— i | Je2 4—~-i (sinh u cosh\ f } \ «' /
(56)/ «2cosh2«lsin
= 4f-GK sin-^ In 2 -| Ł - (M -|- sinh M cosh u)
o
KGcos , n = 1, 3, 5 , . . .
Po wyznaczeniu całek niewłaściwych w sposób numeryczny otrzy-mamy układ równań zawierający nieznane współczynniki B^. Z dru-giego równania układu (55) wyznaczymy parametr A(ju). W ten sposóbWszelkie wartości występujące w funkcji F ( S ) są określone. Naprężeniewyznaczymy z wzorów:
Rozpatrzmy teraz działanie dwóch źródeł ciepła o intensywności W/2umieszczonych antysymetrycznie w stosunku do osi y' (rys. 5b). W ukła-dzie współrzędnych x', y otrzymamy
KGa= j -T- / (/3sm- / (/S sin jSł?') Qm (/*,!') cos fiy'dfi,
(58) ™ /
»'=o n=2,4.
Przynależne do tego stanu naprężenia ap, o^ i x% wyznaczymy roz-wiązując równanie różniczkowe
(59) • vY'F^ = 0
z warunkami brzegowymi:
1 4 0 W. NOWACKI [20]
^ = • ^ - = 0 dla a : '= a/2,
(60) ^ = ^ = 0 d l a y ' = 0 ,
Funkcję Airy'ego przyjmujemy w postaci
F<*> = - i V - 1 ( ^ + Bla)«„y')n J—J an
(61)
ann=2,i,.
1 p 1±. / J _ (^w Sinh /?;r' + B'a) ^x' cosh Bxr) sin ^i/'ft J P
Warunki brzegowe (51) prowadzą do układu równań
(61a) ^ a > = 0 ,
(61b) A<a) sinh ^ + B™ p cosh p = 0 ,
(61c) -f J [(.A<a> + B<a>) cosh Bx' + B'a» Bx' sinh ^x'] d^ =
^ & {an,rf) sin an$' cos a n x ' ,n=2.4..
B^eV(l~a„y')cos
l . . . .
(61d) + j[(Am + B(a)) cosh /t -f B<") ^ sinh cos By'dB =
'- [(BsinBT]') ew (ft,?) cos By'dB .0
Wykorzystując związek (61b) oraz wyrażając szeregami funkcje
cosh Bx' = V Gn? cos a„x', Bx' sinh /5a;' = V Hnfj cos anx'
[21] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 14]
gdzie:,. nn
2pansm-^-45 cosh,
otrzymamy układ dwóch równań
BCa) / A W Tr* ( \ f~* A / \ U T A O
n — I SX ^C ^ J \jrnp — Cl yjX) Xi„^J Cip0
(62) j r Bfcos^
gdzie:, . u cosh u — sinh u, , , . sinh
s i n an
/i cosh t
COSh [J. — [A.
; cosh ^
Ponieważ dla TC = 2, 4, . . . wielkości Gn/J i Hrt/J są równe zeru, za-tem w pierwszym równaniu grupy (62) znika całka. W drugim z tychrównań dla parzystych wartości k znika suma. Uikład równań (62) moż-na wi-ęc doprowadzić do> postaci
&(an,rj') sin aJ' , n = 2, 4, • • • ,
7 c 2 c o s - ^Am
V \ 2 " " h ^ c o s h <
KGa
Widoczne jest, że współczynniki B„ i A(s) otrzymamy tu w sposóbbezpośredni.
Naprężenia dodatkowe otrzymamy z wzorów
142 W. NOWACKI [22]
Naprężenia wywołane działaniem źródła ciepła W umieszczonego w punk-cie (J, rj) otrzymamy przez dodanie naprężeń uzyskanych z wzorów (45),(57 i (64).
4. Tarcza prostokątna
Niech źródło ciepła o intensywności W (rys. 6) znajduje się w punk-cie (f, 17). Korzystając ze znanego rozwiązania dla ugięcia płyty prosto-kątnej poddanej działaniu siły skupionej w punkcie (f, r])2) możemy przed-stawić funkcję <P w postaci
(65)
gdzie:
4K ^ sin OL£ sin Br.ri .
abh ZJ (at + $,'mm
an
N
nna ' A.
b
, T
Rys
*x'. 6
m
In)
y'
Funkcję tę przedstawić można również pojedynczym szeregiem trygo-nometrycznym3 5
Ka?0 ^ 1 . sinh an(b -\ s m a | sin a -c " vZ ; n3 " b " smh a„bJih Z ;
+ anb ctgh a^b — an (b — ?j) ctgh a„ (b - łj)] sinh any +
— any cosh any \ dla 0 ^ y < TJ .
Korzystając z wzorów (4) wyznaczymy ze związku (66) naprężeniaax,av i Tx„. Do dalszych rozważań wygodnie będzie przedstawić naprę-żenie rxy w postaci wynikającej bezpośrednio z wzoru (65)
[23] .NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 143
(67) vxv = 2G my---marł K + ^ F C O S ^ c o s ^•Łatwo stwierdzić, że na 'brzegu tarczy nie znikają naprężenia tnące.
W celu wyznaczenia naprężeń dodatkowych óx, ay i xzv zastąpimy dzia-łanie jednego źródła ciepła o intensywności W działaniem czterech źró-deł o intensywności W/4, umieszczonych raz symetrycznie, a raz anty-symetrycznie względem osi x i y' (rys. 7a-d).
b)
w4
W4 ,
o)
w4
W
4\JU
4
W
x'
W4
W4M
y
w_"4
d)
4
Rys. 7.
Rozpatrzmy najpierw przypadek źródeł ciepła umieszczonych sy-metrycznie względem osi x' i y'.
W przypadku źródła ciepła o intensywności W w punkcie (f, rj) otrzy-mamy z wzoru (67)
8KG a n ( - l ) " s i n a n |
m—l
(68) ^ c o s ^sin z3
m = l
144 w - NOWACKI [24]
2KGb2
o?T " f C 0 S ""
gdzie i?2 bierzemy z wzoru (15a).Dla czterech źródeł ciepła W/4, umieszczonych tak, jak to przedsta-
wiono na rysunku 6a, otrzymamy w układzie współrzędnych x'', y
KGa? X, r la
imlir + V'l
(69) f,y = -
Y - i'aA\Isina»(T + ') + s i n a » ( y ~ f )] c o s a »(y + ^
Po prostych przekształceniach otrzymamy
w - ^ F ^ » e W (-Mm)l') c o s / 5 m ? ? ' s i n /
<s'-s/a(70)
W = ^ J 1 «ne(s) a.'?') cos aj' sin ana;',
n, m — 1, 3, 5, • • • ,gdzie:
m . j , /*„, sinh ^ cosh ^ „ ^ - pj' cosh A „ sinh pj'
n cosh anV' — anV' cosh <5„ sinh an)?';:
W celu wyznaczenia naprężeń 5,', 5,' i rxy, należy rozwiązać równanieAiry'ego
(71) FV 2 F = 0
z warunkami brzegowymi
[25] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 145
- d2F = d2Fd*'-= 'W''=Q> ~Xz'*' * "" ~**W = " i ł V d l a x'= a / 2 '
(72)- d2F ~ d2F^ = - ^ - = 0 ' **V = - ^ P a 7 = - * V dla y' = b/2.
Funkcję F obieramy w postaci szeregu
F = T 2 J r ( A m cosh + B"'P'-X'sinh ^^c o s P"y +
m = l
(73)1 °° 1+ -r- V --J- (Cn cosh any' + Dna„y' sinh any') cos anx .II' I i ^ •'• II
n—1
Warunki brzegowe (72) prowadzą do układu równańAm cosh pm + Bmftm sinh fxm = 0 ,
C n cosh dn -|- D A sinh <5„ = 0 ,
£ [(An + Bm) sinh Ju,„ + Bm/tłm cosh ^ J sin 0my' +m = l
+ ^ Vcn + D„) sinh any' + D„a„y' cosh a„iy'] sin -y- =--
m - 1
£ [(A,„ + Bm) sinhp„x' + B ^ / cosh |3,„x'] sinm=l
n + D n ) s i n h d n + D n d n c o s h ó n l s i n a ' i a : ' =
COS
Wyrażając szeregami trygonometrycznymi funkcje
sinh uny' = £ Enm sin A„y', «„y' cosh any' = £ Fnm sin /3mi/' ,m = l »>—1
sin ;3mx' = £ Gnm sin ana;' , 0mx' cosh /3ma:' = £ Unm sin anx' ,
] 46 W. NOWACKI [261
gdzie:nn . .
sin —s- cosh <5n
b o
. nns m ~9~
p = i|» — (3„sinh<5„ - °; ^" cosh Ą,Z Ctjj -{— p , t t \ Ctn - j - pt'n
doprowadzimy układ (74) do układu dwóch równań
nn , „ „an sin-^ij— cosh" o„
(75)
n, m = 1, 3, 5, • • • ,gdzie:
_ P™ + s i n h i " ^ 0 8 1 1 /*» +r& \ _ ^ + s i n h ^
Otrzymaliśmy tu nieskończony układ równań. Ograniczając się do czło-nów szeregów (70) ustawimy 2r równań (75). Rozwiązanie ich dajewspółczynnik Am i Cn, które wstawione do funkcji (73) -pozwolą na
przybliżone wyznaczenie .wyrażeń dodatkowych oy, av- i T«'V'.W przypadku szczególnym tarczy kwadratowej oraz źródła ciepła W
umieszczonego1 na początku układu współrzędnych otrzymamy przyAm — Cm układ równań
. . nn , , nn. , . „ „ ~ A„ s m —s— cosh —=-—
. swhmn + mn 16 „ . m^ v-i n 2 2A • -i m 2 s in ~ij >
m - i . a , . . . ^ _[_ m 2 ) 2 S l n h 2 —^
(76)
g hK G g h ~ 2 ~» m = 1, 3, 5, . . .
127] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 147
Dla czterech źródeł ciepła o intensywności W/4, umieszczonych tak,jak to pokazano' na rysunku 6b, należy rozwiązać równanie (71) wrazz warunkami brzegowymi (72), przy czym mamy
KG& ^ ; m , > n
/ PwQ (/*,»»£ ) C O S Pm7) S l n @mV !(77)
%x, , = -•- - V1 a,tp(s) (<5„,ł?r) s in a £' cos arex' ,
gdzie,. /3,„|' s inh pm cosh (3mf' — /in cosh ^ s inh /?m | '
Funkc ję Airy'ego- przy jmujemy w postaci
1 ^ 1 , , * , ' , , „ *=— ~T~ y 'rpr \"~m s m n />m«x. -j— Dmpm*L c u b n pm^ ) cu& ^
m = l . 3 . • • •
(78)+ i- V \ (CB cosh any' + D , ^ ' sinh a„y') sin an
n=2,4.- • •
Z warunków brzegowych (72) otrzymamy układ równań:
co.-
(79) = 4- ,„e'a» ( ^ f 0 cos /?„,',
n = 2, 4, 6, . . . , m = 1, 3, 5, . . . ,gdzie
s i n h [j,m cosh /«m — [im
~ Pm C O s h t*m
Z tego układu wyznaczymy wartości Am i Cn, a pozostałe współczynrniki, Bm i Dn, ze związków:
R A s i nA%_ D - - C
148 W. NOWACKI [281
Dla czterech źródeł ciepła o intensywności W/4, umieszczonych tak,jak to> przedstawiono na rysunku 6c, przyjmiemy funkcję Airy'egow postaci
£•_.__ y _ [A„ COSh f$mX' -)- BirfimX' S^nn PmX>) S^n PmV' +h ^ 2 . 4 . . . . ^
(80)
-J--T- V ~T (C„ sinh a„y' -|- Dna„y' cosh aBj/') cos anx'.n-I.8.... °"
Warunki brzegowe (72) prowadzą w tym przypadku do' układu równań
1„Q(S) (u%,!;') sin fimri',
-ie °° A... COSh- M„, COS — p —('81') C s(ł) \ -!- — 2 ' n y r V „
a% n 2 ^2.4,../ K + $0
n = l, 3, 5, . . . , m = 2, 4, 6, . . .
Stałe Bm i D„ wyznaczymy ze związków
B - A c o s h ^ " D - r S i n h < 3 "
Wreszcie w przypadku czterech źródeł ciepła o intensywności W/4 umie-szczonych antysymetrycznie względem osi x i y' (rys. 6d) należy przy-jąć funkcję Airy'ego w postaci
1 °° 1F = -j- V ^ r (A,„ sinh /?mx' + B ^ x ' cosh a:') sin pmy' +
^ 2 . 4 . . . . P " '(83)
^ i i S ~tfr(Cn s i n h a ' i ? / ' + D A y / c o s h a » y ' ) s i n a ( i : r ' •71-2.4 "
W tym przypadku warunki brzegowe opiewają: '
d2Ft*'* = - ^ P a y 7 = " i t V d l a x> = a / ' 2 i y ' = b ^ 2 '
(84)ff,' = 0 dla x' = a/2 , ay. = 0 dla y' = b/2,
t29] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 149
gdzie:KGa? £ ,
rxy — TT-j— y @mQ {f^mtS ) sin fimrj c o s / ? m y ' ,
(85)KGb2KGb2 °°
T*y== --cCfo- y anQ{a) {dn,rj')sinaj'cosa„x'.
Z warunków (84) można wyznaczyć bezpośrednio wszelkie współczyn-niki Am, .. ., Dn. Otrzymamy mianowicie
5mgca» (^„„r) sin pnfi', m = 2 ,4 , . . . ,
(86) Cn8(<5n) = - ^ - ane<a) (Ą,,^) sin aj', n = 2 , 4, . . . ,
B - 4 ^ ^ n - r t g h ó "
'" ~ " m " ^ T ' n — n ~"^T"Dodając do siebie naprężenia wywołane stanami przedstawionymi
na rysunkach 6a-d otrzymamy naprężenia dodatkowe ax, .. . , które wrazz naprężeniami 0X, . . . określają stan naprężenia tarczy wywołany dzia-łaniem źródła ciepła o intensywności W umieszczonego w punkcie (f,»?).
Podane w przedstawionej pracy rozwiązania można, przenieść od razudo zagadnienia płaskiego stanu odkształcenia. Zamiast źródeł ciepła nagrubości h tarczy, będziemy mieli do czynienia z liniowymi źródłamiciepła rozpościerającymi sdę nieskończenie daleko w kierunku osi z.I tak dla przykładu, układ przedstawiony na rysunku 3 można sobiew płaskim stanie odkształcenia wyobrazić jako nieograniczoną płytęstropową o- grubości a, w której w jednakowych odstępach 2b umiesz-czone są liniowe źródła ciepła (np. rury grzewcze centralnego ogrze-wania).
W przypadku płaskiego stanu odkształcenia równanie różniczkowepotencjału przemieszczeniowego termicznego przyjmie postać1'
Naprężenia air wyrażone są związkami
150 w - NOWACKI [30]
(88)a, = - 2G P 0 , i x , = 0 , t w = 0
D o d a t k o w y stan naprężenia air otrzymamy po rozwiązaniu równaniaróżniczkowego Airy'ego z zależności
d*F
(89)5, = t„ = 0 , f„ = 0 .
Tak więc mnożąc wyniki uzyskane dla płaskiego stanu naprężenia przezh/(l—v) i dodatkowo wyznaczając wielkości as i az z wzorów (88) i (89)otrzymamy pełne1 rozwiązanie dla zagadnień płaskiego stanu odkształ-cenia.
Praca wpłynęła do redakcji 10.08.1956 r.
LITERATURA
1. E. M e l a n i H. P a r c u s : Waenmespannungen Stationaerer Temperatur-felder. Wiedeń 1953.
2. K. G i x k m a n n : Flaechentragwerke. Wiedeń 1954.3. A. N a d a i : Elastische Platfcen. Berlin 1935.
Pacnpe^ejieHHe HanpKJKeHHH B .nacKax, B&i3BaHHbix B03 ;eHCTBHeMHCTO^HHKOB TeilJia
K p a T K o e c o f l e p j K a H M e
nepeMemeHMJi Teopiror yaipyrocTM flJiH miocKoroHanpnaceiKMH u ycTaHOBMBuieroca nojia
HanHcaTŁ B BMfle 0'flraoro i3M(p(p6pieHn;ii.ajii>HX)ro ypaBHemiiH (1)B KOTopoM <$> oGosHaHaeT T. H. TemiOBoił noTeHXCMaji nepeMememia, T —nojie TeMnepaTyp, v — ^WCJIO IlyaoooiHa a — KoadpdpimiieHT Tenjionpo-BO^HOCTJI. n o n e TeMnepaTyp cooTBeaiCTByeT ypaBHeHTno (2), B KOTOPOMW — o6o3HaHaer MHreHCMBHOcTŁ MCTOiHMKa Tenjra (Ha eflMHMiry TOJI-
K — KoadpcpiiiJiMeiHT TanjionpoBOWHOcnH h —
[31] NAPRĘŻENIA W TABCZACH WYWOŁANE 2EÓDŁAMI CIEPŁA 151
C'MCTeMy ypaiBHeHHM MOHCHO (1) H (2) M02KH0 3aMeHMTb OflfiMM(3).
<3>yHKHHK) <J> Mbl OBH3bDBaeiM rpELHiMHHBIMM yCJIOBJTHMM <£> = 0
V2<J> = 0. O6o3HaHaer STO, HTO Ha Konne #HCKa TeromepaTypa T —
0 M HTO Mcqe3aioT BopMajitHBie HanpHateHMH a . T a x Kax Ha Kpaio
He floJiatHŁi BMCTynaTŁ Taitsce H KacaTejibHŁie HanpnaceHiWH,
K HanpaHteHMHM (5, T) ,ąo6aBMTb HarapHJKeHMH (CT, T )ypaBHeHmo (6), npw KOTopoM Ha KOirąe AMCKa KacaTejiŁHŁiepaBHHJTMCŁ 6bl HyJIH).
J^M4)CpepeHu;Majib'Hoe ypaBHeHMe (3) n p w rpaHKHHbix ycjiOBMHX <J> = 0M v2cj> = 0 HBJiHeTCH aHaJioTOTHHbiM K ^jMcpcpepeHmiajibHOMyH3rM6a nJiaCTHHbl (8) CO CBOSoflHO OOepTŁIMM KpaHMM (W === 0). B 9Toii aHajroromM jpojib MCTOHHMKa T e r m a MrpaeT
cjwia. IIosTOMy n p w onpe^ejieHicM cpyHKiiiiiH cf> H HanpasceHMił CT H T M O S C -H O ncnoJib3OBaTŁ M3©ecTHoe p e m e n n e TeopKM njiacTMHOK, a ^oSaaoHHbie
(a, r) onpefflejiMrrb npM IIOMOIUM 4>ymKU)MM 3pon. OSpamaewHH TO, HTO pemeHMe 6yffier cocTO«Tb M3 naicroi peryjiflpHOił
M HacTM ocoSeHHoił rrpiM neat acoSeHHocTb iBbicTynMT TOJIŁKO B cpymcuMM «f>M HanpHHceHnHX (a, T) .
penieHue cjie^ywmMx 3a^aH Aosefleno K
a) 6e3KoraeHHO fljumaibiM n o « c ffiwcKa c OVTCHJHM MCTOHHMKOM
6) 6e3KOHeHHO ,D;JIMHHBIM nO-nC fflMOKa CTenjia, HaxoflnmuMMtCH B oflMHaKOBbix
B ) i ioj iyiroac flMCKa c O ^ H H M MCTOHHMKOM
r) upaMoyroJibHbiM AMCK C O ^ H H M MCTOHHHKOM
The State of Stress in a Thin Plate Due to the Action of Sources of Heat
S u m m a r y
Displacement equations of the theory of elasticity for a plane stresscondition and a fixed temperature field can te represented by one dif-ferential equation (1) in which * denotes the so called displacementheat potential, T — the temperature field, v — the Poisson number,
a _ the coefficient of thermal expansion. The temperature field ds descri-bed by the differential equation (2) in which W derotes the heat sourceintensity (per unit of thickness of he plate), k — ti-e heat conductivity
3 Archiwum Budowy Maszyn
152 w - NOWACKI [321
coefficient, h — the thickness of he plate. The system of equations (1)and (2) can be replaced by one equation (3),
We impose upon the function the boundary conditions <Z> = 0 andV2<5 = 0. They lead to the conclusion that in the edge of the plate the.temperature is T = 0 and. the normal stresses a vanish. Since the edgeof the plate should be1 free from tangent stresses as well, we mustand to tlhe stress condition (a, r) such a stress condition (a, x) satisfyingequation (6), as* would make the1 tangent stresses on the edge of theplate equal to zero.
The differential condition (3) with the boundary conditions 0 = 0and V23> = 0 is fully analogous to the differential equation of deflec-tion (8) of a plate freely supported at the edge (w — 0 and V2to = 0).In this analogy the part of heat source is played by the concentratedforce. That is why in determining the function & and the stresses a, rwe can make use of the known solution from the theory of plates and.determine the additional stress condition a, r by means of the Airyfunction. It should be mentioned that the solution will consist of a re-gular and a singular part, the singularity appearing only in the functionand in the stress condition (a, r),
The following problems have been worked out in a detailed man^ner, the components of the stress condition (<r, T) being determined:
a) an infinitely long strip of plate with one heat source,b) an infinitely long strip of plate with identical heat sources evenly
spaced,c) a semi-infinite strip of plate with one heat source,d) a rectangular plate with one heat source.'
top related