ANALISIS VARIANSI ( ANOVA ) - · PDF fileContoh Soal : 2. Selama satu semester seorang siswa ... KLASIFIKASI DUA ARAH : ... e.Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
Post on 06-Feb-2018
253 Views
Preview:
Transcript
8/29/2012
1
ANALISIS VARIANSI/
ANALYSIS OF VARIANCE
( ANOVA )
Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri
Universitas Kristen Maranatha Bandung
LT Sarvia
ANOVA
• Dasar perhitungan ANOVA ditetapkan oleh Ronald A. Fisher.
• Distribusi teoritis yang digunakan adalah Distribusi F.
• adalah suatu teknik untuk menguji kesamaan beberapa rata-
rata secara sekaligus. Uji yang dipergunakan dalam ANOVA
adalah uji F karena dipakai untuk pengujian lebih dan 2
sampel.
• Makin menyebar suatu data makin besar nilai variansinya.
• Makin tidak menyebar suatu data makin kecil nilai
variansinya
• Pada data seragam atau data yang tidak menyebar, variansi
adalah nol
LT Sarvia
8/29/2012
2
ANALISIS VARIANSI ( ANOVA )
• Jadi ANOVA merupakan suatu prosedur
hipotesis yang membandingkan k populasi
untuk menguji :
Kesamaan Variansi
Ada / Tidak ada efek treatment
Kesamaan rata-rata
• Analisis Variansi sering juga disebut
Analisis Ragam
8/29/2012 3 LT Sarvia
ANALISIS VARIANSI ( ANOVA )
• Uji Anova ini didasarkan pada perbandingan
antara variansi yang disebabkan oleh error
percobaan dan variansi yg disebabkan oleh
error percobaan + perbedaan populasi,
dengan menggunakan Distribusi F.
8/29/2012 4 LT Sarvia
8/29/2012
3
Asumsi pengujian ANOVA :
1. Populasi yang akan diuji berdistribusi normal
2. Varians/ragam dan populasi yang diuji sama
3. Sampel tidak berhubungan satu dengan
yang lain
LT Sarvia
Tujuan Pengujian ANOVA :
• Untuk mengetahui apakah ada pengaruh dan
berbagai kriteria yang diuji terhadap hasil
yang diinginkan.
• Contoh : seorang manajer produksi menguji
apakah ada pengaruh kebisingan yang
ditimbulkan oleh mesin-mesin produksi di
pabrik pada hasil perakitan sebuah
komponen yang cukup kecil dan sebuah
sirkuit yang memerlukan konsentrasi yang
tinggi dari seorang operator rakit.
LT Sarvia
8/29/2012
4
ANALISIS VARIANSI ( ANOVA )
• Cara pengujian dalam ANOVA dapat
diklasifikasikan menjadi 3 jenis, yaitu :
8/29/2012 7
1. Klasifikasi 1 Arah
2. Klasifikasi 2 Arah
3. Klasifikasi 2 Arah dengan Interaksi
4. Klasifikasi 3 Arah dengan Interaksi
LT Sarvia
KLASIFIKASI SATU ARAH:
• ANOVA klasifikasi 1 arah merupakan
ANOVA yang didasarkan pada
pengamatan 1 kriteria.
• Sampel dibagi menjadi beberapa
kategori dan ulangan
kolom = kategori
baris = ulangan/replika
8/29/2012 8
LT Sarvia
8/29/2012
5
Prosedur Pengujian ANOVA 1 Arah :
a. Struktur Hipotesis :
8/29/2012 9
b. Taraf nyata a
c. Statistik Uji : ANOVA 1 arah
H0 : m1 = m2 = ......... = mk
H1 : sekurang-kurangnya terdapat dua nilai tengah tidak sama
LT Sarvia
Statistik Uji : ANOVA 1 ARAH
• Untuk ukuran sampel (n) untuk tiap kolom sama :
8/29/2012 10
kn
T - X SST JKT
2
..k
1 i
n
1 j
2
ij
kn
T -
n
T
SSR JKK 2
..
k
1 i
2i.
JKG = SSE = JKT – JKK
dimana :
n : jumlah data tiap kolom
k : jumlah kolom data
LT Sarvia
Sumber
Variansi
Sum of
Squar
e
Derajat
Kebebasan
( v )
Mean Square
( MS ) Stat. Uji
Nilai Tengah
Kolom JKK k - 1
Galat atau Error JKG k ( n – 1 )
Total JKT ( n k ) – 1
1 -k
JKK S
2
1
) 1 -n (k
JKG S
22
22
21
S
S f
SST = Sum of Square Total / Jumlah Kuadrat Total
SSR = Sum of Square Regression / Jumlah Kuadrat
Regresi
SSE = Sum of Square Error / Jumlah Kuadrat Galat
8/29/2012
6
Statistik Uji : ANOVA 1 ARAH
• Untuk ukuran sampel (n) untuk tiap kolom Berbeda :
8/29/2012 11
dimana :
ni : Jumlah data tiap kolom
k : Jumlah kolom data
N : Jumlah Total Sampel
LT Sarvia
Sumber
Variansi
Sum of
Squar
e
Derajat
Kebebasan
( v )
Mean Square
( MS ) Stat. Uji
Nilai Tengah
Kolom JKK k - 1
Galat atau Error JKG N - k
Total JKT N – 1
1 -k
JKK S
2
1
k - N
JKG S
2
2 2
2
21
S
S f
N
T - X SST JKT
2..
k
1 i
n
1 j
2ij
N
T -
n
T SSR JKK
2..
k
1 i i
2i.
JKG = SSE = JKT – JKK
d. Wilayah Kritis : f > f a ( v1 ; v2 ) Tolak Ho
8/29/2012 12
Dimana :
a = .........
v1 = derajat kebebasan JKK atau SSR = k – 1 = .......
v2 = derajat kebebasan Galat atau Error = ........ f a = .........
f a
Wilayah Kritis : f > f a
e.Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis.
LT Sarvia
Prosedur Pengujian ANOVA 1 Arah :
8/29/2012
7
Keputusan : TERIMA Ho
LT Sarvia
k3210 μμμμ:H
sama μ T:H i1 seluruhidak
321 μμμ
Semua mean bernilai sama
Hipotesis nol adalah benar
(Tak ada efek treatment)
Keputusan : TOLAK Ho
LT Sarvia
Chap 11-14
321 μμμ 321 μμμ
or
k3210 μμμμ:H
sama μ T:H iA semuaidak Minimal ada 1 mean yg berbeda
Hipotesis nol tidak benar
(Terdapat efek treatment)
8/29/2012
8
Contoh Soal :
1. Tiga buah mesin hendak dibandingkan. Mesin-mesin ini menghasilkan keluaran (output) perjamnya dengan berfluktuasi karena pengaruh acak, suatu sampel acak 5 waktu yang berbeda diambil dari masing-masing mesin tersebut dan hasilnya sbb :
8/29/2012 15
Apakah nilai tengah output
perjam ketiga mesin itu
sesungguhnya berbeda?
Gunakan taraf nyata 5 %.
Sampel Output dari 3 buah
Mesin
Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3
47 55 54
53 54 50
49 58 51
50 61 51
46 52 49
LT Sarvia
Jawab :
8/29/2012 16
a. Struktur Hipotesis :
H0: m 1 = m 2 = m 3
H1: sekurang-kurangnya terdapat
dua nilai tengah tidak sama
LT Sarvia
Sampel Output dari 3 buah Mesin
Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3
47 55 54
53 54 50
49 58 51
50 61 51
46 52 49
245 280 255
245+280+255 = 780
n
=
5
k= 3
b. Taraf nyata : a = 0,05
c. Statistik Uji : ANOVA 1 Arah
Utk ukuran sampel (n) untuk tiap kolom sama :
Total
224 JKT
40.560 - 40.784 JKT
3 * 5
780 - 49 ..... 55 47 JKT
kn
T - X SST JKT
2222
2
..k
1 i
n
1 j
2
ij
8/29/2012
9
Sumber Variansi Sum of
Square
Derajat
Kebebasan
( v )
Mean Square
( MS ) Stat. Uji
Nilai Tengah Kolom 40 3– 1 = 2 20 f = 1,304
Galat atau Error 184 3 ( 5 – 1 ) = 12 15,33
Total 224 ( 3 * 5 ) – 1 = 14
8/29/2012 17 LT Sarvia
40 JKK
40.650 - 40.690 JKK
3 * 5
780 -
5
255 280 245 JKK
kn
T -
n
T
SSR JKK
2222
2
..
k
1 i
2
i.
JKG = SSE = JKT – JKK = 224 – 40= 184
d. Wilayah Kritis : f > f a ( v1 ; v2 ) Tolak Ho
8/29/2012 18
Dimana :a = 0,05 v1 = k – 1 = 3 – 1 = 2
v2 = k ( n – 1 ) = 3 ( 5 – 1 ) = 12 f 0,05 (2,12) = 3,89
3,89
1,304
LT Sarvia
e. Keputusan : Terima Ho
f. Kesimpulan : bahwa nilai tengah
output ketiga mesin adalah sama
pada taraf nyata 0,05.
8/29/2012
10
Contoh Soal :
2. Selama satu semester seorang siswa menerima nilai Quiz pada berbagai Mata Kuliah seperti tabel di bawah ini. Tentukan apakah terdapat perbedaan antara kemampuan tersebut untuk Mata Kuliah yang berbeda pada taraf nyata 0,05
LT Sarvia 8/29/2012 19
Ektek Matvek APK Statistik
72 81 88 74
80 74 82 71
83 77 90 77
75 87 70
80
Jawab :
b. Taraf nyata : a = 0,05
c. Statistik Uji : ANOVA 1 arah
8/29/2012 20
a. Struktur Hipotesis :
H0: m Ektek = m Matvek = m APK = m Statistik
H1: sekurang-kurangnya terdapat dua
nilai tengah tidak sama
N = n1 + n2 + n3 + n 4 = 4 + 3 + 5 + 4 = 16
564,437 JKT
99.382,565 - 99.947 JKT
16
1.261 - 70 ..... 80 72 JKT
N
T - X SST JKT
2222
2..
k
1 i
n
1 j
2ij
LT Sarvia
Utk ukuran sampel (n) tiap kolom BERBEDA:
Ektek Matvek APK Statistik
72 81 88 74
80 74 82 71
83 77 90 77
75 87 70
80
310 232 427 292
310+232+427+292 = 1.261
8/29/2012
11
Jawab :
Sumber Variansi Sum of
Square
Derajat
Kebebasan
( v )
Mean Square
( MS ) Stat. Uji
Nilai Tengah Kolom 365,5675 4 – 1 = 3 121,856 f = 7,353
Galat atau Error 198,8695 16 – 4 = 12 16,572
Total 564,437 16 – 1 = 15
8/29/2012 21
365,5675 JKK
99.382,565 - 99748,13 JKK
16
1.261 -
4
292
5
427
3
232
4
310 JKK
N
T -
n
T SSR JKK
22222
2
..k
1 i i
2
i.
JKG = SSE = JKT – JKK = 564,437 – 365,5675 = 198,8695
LT Sarvia
d. Wilayah Kritis : f > f a ( v1 ; v2 ) Tolak Ho
8/29/2012 22
Dimana :a = 0,05 v1 = k – 1 = 4 – 1 = 3
v2 = N – k = 16 – 4 = 12 f 0,05 (3,12) = 3,49
3,49
7,353
LT Sarvia
e. Keputusan : Tolak Ho
f. Kesimpulan :
bahwa terdapat perbedaan nilai
tengah kemampuan quiz untuk
keempat Mata Kuliah pada taraf
nyata 0,05
8/29/2012
12
KLASIFIKASI DUA ARAH :
• ANOVA klasifikasi 2 arah merupakan ANOVA
yang didasarkan pada pengamatan 2 kriteria
( baris & kolom ).
• Dalam kategori, terdapat blok/sub-kelompok
kolom : kategori-1;
baris : blok, kategori-2
• Setiap sel berisi satu data
8/29/2012 23 LT Sarvia
8/29/2012 24
a. Struktur Hipotesis :
b. Taraf nyata a
c. Statistik Uji : ANOVA
H0’: a1 = a2 = ......... = ar = 0 ( pengaruh baris adalah nol )
H1’: sekurang-kurangnya satu ai tidak sama dengan nol
H0”: b1 = b2 = ......... = bc = 0 ( pengaruh kolom adalah nol )
H1”: sekurang-kurangnya satu bj tidak sama dengan nol
cr
T - X SST JKT
2..
r
1 i
c
1 j
2ij
LT Sarvia
Prosedur Pengujian ANOVA 2 Arah :
cr
T -
c
T
SSA JKB2
..
r
1 i
2i.
Dimana :
r = row = baris
c = column = kolom
8/29/2012
13
8/29/2012 25
1 -r
SSA S
21
23
21
1S
S f
1 - c
SSB S
22 2
3
22
2S
S f
) 1 - c ( ) 1 -r (
SSE S
23
Sumber
Variansi
Sum of
Square
Derajat
Kebebasan ( v )
Mean Square
( MS ) Statistik Uji
Nilai Tengah
Baris SSA r – 1
Nilai Tengah
Kolom SSB c – 1
Galat atau
Error SSE ( r – 1 ) ( c – 1 )
Total SST ( r c ) – 1
LT Sarvia
cr
T -
r
T
SSB JKK
2
..
c
1 j
2
.j
JKG = JKT – JKB – JKK ; atau :
SSE = SST – SSA – SSB
Dimana :
r = row = baris
c = column = kolom
Prosedur Pengujian ANOVA 2 Arah :
d. Wilayah Kritis :
8/29/2012 26
f a
f1 > f a ( v1 ; v2 ) Tolak Ho
v1 : derajat kebebasan Baris
v3 : derajat kebebasan Error
f2 > f a ( v1 ; v2 ) Tolak Ho
v2 : derajat kebebasan Kolom
v3 : derajat kebebasan Error
e.Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
ada 2 buah keputusan dan kesimpulan
LT Sarvia
Prosedur Pengujian ANOVA 2 Arah :
8/29/2012
14
Contoh Soal :
3. Tiga buah mesin hendak dibandingkan mengenai keluaran / output perjamnya berfluktuasi karena pengaruh acak, suatu sampel acak 5 waktu yang berbeda diambil dari masing-masing mesin tersebut yang berasal dari lima operator yang berbeda yang menghasilkan satu pengamatan sampel dari setiap mesin dan hasilnya sbb :
8/29/2012 27
Output dari 3 buah Mesin
Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3
1 47 55 54
2 53 54 50
3 49 58 51
4 50 61 51
5 46 52 49
LT Sarvia
Ujilah hipotesis pada taraf nyata
0,05 bahwa :
a. Tidak ada beda rata-rata
ouput perjam untuk kelima
operator tersebut
b. Tidak ada beda rata-rata
ouput perjam untuk ketiga
jenis mesin tersebut
Jawab :
a. Struktur Hipotesis :
8/29/2012 28
H0’: a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 0 ( pengaruh baris adalah nol ) r = operator
H1’: sekurang-kurangnya satu ai tidak sama dengan nol
H0”: b 1= b2 = b3 = 0 ( pengaruh kolom adalah nol ) c = mesin
H1”: sekurang-kurangnya satu bj tidak sama dengan nol
b. Taraf nyata : α= 0,05
LT Sarvia
c. Statistik Uji : ANOVA
224 JKT
40.560 - 40.784 JKT
3 * 5
780 - 49 ..... 55 47 JKT
rc
T - X SST JKT
2222
2
..r
1 i
c
1 j
2
ij
8/29/2012
15
8/29/2012 29
40,667 40.560 - 40.600,667 JKB
3*5
780 -
3
147162 158 157 156 JKB
cr
T -
c
T
SSA JKB
222222
2
..
r
1 i
2
i.
JKG = JKT – JKB – JKK = 224 – 40,667– 40 = 143,333
LT Sarvia
Jawab :
Output dari 3 buah Mesin
Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Total (Ti)
1 47 55 54 156
2 53 54 50 157
3 49 58 51 158
4 50 61 51 162
5 46 52 49 147
Total (Tj) 245 280 255 780
40 JKK
40.650 - 40.690 JKK
3 * 5
780 -
5
255 280 245 JKK
cr
T -
r
T
SSR JKK
2222
2
..
c
1 i
2
j
Sumber Variansi Sum of
Square
Derajat Kebebasan
( v )
Mean Square
( MS ) Statistik Uji
Nilai Tengah Baris 40,667 5 – 1 = 4 10,16675 f1 = 0,5674
Nilai Tengah Kolom 40 3 – 1 = 2 20 f2 = 1,1163
Galat atau Error 143,333 (5 – 1) (3 – 1) = 8 17,916625
Total 224 ( 5 * 3 ) – 1 = 14
8/29/2012 30 LT Sarvia
Jawab :
d. Wilayah Kritis : f1 > f a ( v1 ; v3 ) Terima Ho
v1 : derajat kebebasan Kolom
f a,v1,v3 = 3,84 v2 : derajat kebebasan Error
3,84
a = 0,05 v1 = 4
v3 = 8 O,5674
Wilayah Kritis : f1 < 3,84
8/29/2012
16
Jawab :
d. Wilayah Kritis :
8/29/2012 31
f2 > f a ( v2 ; v3 ) Terima Ho Wilayah Kritis : f2 < 4,46
LT Sarvia
f a,v2,v23 = 4,46 4,46
a = 0,05 v2 = 2
v3 = 8
1,1163
e. Keputusan dan Kesimpulan ada 2 buah 1. Terima Ho kesimpulan : bahwa tidak ada beda rata-rata ouput
perjam dari kelima operator pada taraf nyata 0,05.
2. Terima Ho kesimpulan : bahwa tidak ada beda rata-rata output
perjam dari ketiga jenis mesin tersebut, pada taraf nyata 0,05
KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN INTERAKSI :
• Prosedur pengujian ANOVA dalam Klasifikasi Dua Arah Dengan Interaksi :
8/29/2012 32
a.Struktur Hipotesis : H0’: a1 = a2 = ......... = ar ( pengaruh baris nol )
H1’: sekurang-kurangnya satu ai tidak sama dengan nol
H0”: b1 = b2 = ......... = bc ( pengaruh kolom nol )
H1”: sekurang-kurangnya satu bj tidak sama dengan nol
H0’’’ : ( ab )11 = ( ab )12 = ......... = ( ab )rc ( pengaruh interaksi nol )
H1’’’ : sekurang-kurangnya satu ( ab )ij tidak sama dengan nol
LT Sarvia
b. Tentukan nilai a
8/29/2012
17
r = row = baris
c = column = kolom
n = jumlah sampel/replikasi
c. Statistik Uji : ANOVA
8/29/2012 33
n cr
T - X SST JKT
2
...r
1 i
c
1 j
n
1 k
2
ijk
n cr
T -
n c
T
SSA JKB
2...
r
1 i
2i..
n cr
T -
nr
T
SSB JKK
2...
c
1 j
2.j.
LT Sarvia
n cr
T
nr
T
- n c
T
- n
T
SS(AB) JK(BK)2
...
c
1 j
2.j.
r
1 i
2i..
r
1 i
c
1 j
2ij
JKG = JKT – JKB – JKK – JK(BK) ; atau :
SSE = SST – SSA – SSB – SS(AB)
KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN INTERAKSI :
LT Sarvia
SSBSSArcn
T
n
T
ABJK
a
i
b
j
ij
....
21 1
..2
)(
Pembuktian Rumus
rcn
T
n
T
ABJK
a
i
b
j
ij
....2
1 1
..2
)(
rcn
T
cn
T
a
i
i
....2
1
...2
rcn
T
rn
T
b
j
j
....2
1
...2
SSB
SSA Jadi
rcn
T
rn
T
cn
T
n
T
ABJK
b
j
j
a
i
i
a
i
b
j
ij
....2
1
...2
1
...2
1 1
..2
)(
Rumus di buku
Walpole
8/29/2012
18
8/29/2012 35
1 -r
SSA S
21 2
4
21
1S
S f
1 - c
SSB S
22 2
4
22
2S
S f
) 1 - c ( ) 1 -r (
SS(AB) S
23 2
4
23
3S
S f
) 1 -n ( ) cr (
SSE S
2
4
Sumber
Variansi
Sum of
Square
Derajat
Kebebasan ( v )
Mean Square
( MS ) Statistik Uji
Nilai Tengah
Baris SSA r – 1
Nilai Tengah
Kolom SSB c – 1
Interaksi SS(AB) ( r – 1 ) ( c – 1 )
Galat atau Error SSE ( r c ) ( n – 1 )
Total SST ( r c n ) – 1
LT Sarvia
KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN INTERAKSI :
d. Wilayah Kritis :
8/29/2012 36
f1 > f a ( v1 ; v4 ) Tolak Ho
v1 = derajat kebebasan Baris
v2 = derajat kebebasan Error
f2 > f a ( v2 ; v4 ) Tolak Ho
v1 = derajat kebebasan Kolom
v2 = derajat kebebasan Error
f3 > f a ( v3 ; v4 ) Tolak Ho
v1 = derajat kebebasan Interaksi
v2 = derajat kebebasan Error
f a
LT Sarvia
KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN INTERAKSI :
e. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis ada 3 buah!!!
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis untuk Baris
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis untuk Kolom
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis untuk Interaksi
8/29/2012
19
Contoh Soal :
4. Data dibawah ini menunjukkan output perjam dari 3 Mesin dan 5 Operator yang berbeda dengan 3 kali pengulangan untuk masing-masing percobaannya :
8/29/2012 37 LT Sarvia
Output dari 3 buah Mesin
Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3
1
47 55 54
30 55 44
45 78 50
2
53 54 50
33 32 50
56 54 50
3
49 58 51
66 34 54
70 34 65
4
50 61 51
21 20 65
32 30 54
5
46 52 80
47 23 98
55 70 62
Ujilah hipotesis pada taraf nyata
0,05 bahwa :
a. Tidak ada beda rata-rata
ouput perjam untuk kelima
operator tersebut
b. Tidak ada beda rata-rata
ouput perjam untuk ketiga
jenis mesin tersebut
c. Tidak ada interaksi antara
operator dengan jenis mesin
Jawab :
a. Struktur Hipotesis :
• H0’ : a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 0 ( pengaruh baris adalah nol ) r = Operator
H1’ : sekurang-kurangnya satu ai tidak sama dengan nol
• H0” : b1 = b2 = b3 = 0 ( pengaruh kolom adalah nol ) c = Mesin
H1” : sekurang-kurangnya satu bj tidak sama dengan nol
• H0’’’ : ( ab ) 11 = ( ab ) 12 = ......... = ( ab ) 53 ( pengaruh interaksi nol )
H1’’’ : sekurang-kurangnya satu ( ab )ij tidak sama dengan nol
dimana :
r= baris = 5 ; c= kolom= 3; n= jumlah sampel/replikasi = 3
b. Taraf nyata : a = 0,05
8/29/2012 38 LT Sarvia
8/29/2012
20
Jawab :
LT Sarvia
Output dari 3 buah Mesin
Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Total (Ti)
1
47 55 54
458
30 55 44
45 78 50
2
53 54 50
432
33 32 50
56 54 50
3
49 58 51
481
66 34 54
70 34 65
4
50 61 51
384
21 20 65
32 30 54
5
46 52 80
533
47 23 98
55 70 62
Total (Tj) 700 710 878 2288
10.812 116.332 -127.144 JKT
3*3*5
2882. - 6298 ..... 30 47 JKT
n cr
T - X SST JKT
22222
2
...r
1 i
c
1 j
n
1 k
2
ijk
Jawab :
C. Statistik Uji : ANOVA
8/29/2012 40 LT Sarvia
1.367 116.332 - 117.699 3*3*5
2.288-
3*3
1.059.294 JKB
3*3*5
2.288 -
3 * 3
533 384481 432 458
n cr
T -
n c
T
SSA JKB
2
2222222...
r
1 i
2i..
Output dari 3 buah Mesin
Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Total (Ti)
OP 1 122 188 148 458
OP 2 142 140 150 432
OP 3 185 126 170 481
OP 4 103 111 170 384
OP 5 148 145 240 533
Total (Tj) 700 710 878 2288
1.334 116.332 - 117.6663*3*5
2.288-
3*5
1.764.984 JKK
3*3*5
2.288 -
3 * 5
878 710 700
n cr
T -
nr
T
SSB JKK
2
22222...
c
1 j
2.j.
8/29/2012
21
Jawab :
8/29/2012 41
n cr
T
nr
T
- n c
T
- n
T
SS(AB) JK(BK)
2...
c
1 j
2.j.
r
1 i
2i..
r
1 i
c
1 j
2ij
JKG = JKT – JKB – JKK – JK(BK) = 10.812 – 1.367 – 1.334 – 2885
JKG = 5.226
LT Sarvia
2.885 JK(BK)
116.332 1334 - 1367 - 121.918 JK(BK)
116.332 1344 - 1367 - 3
240 ..... 142 122 JK(BK)
222
n cr
T SSB-SA -
n
T
SS(AB) JK(BK)
2...
r
1 i
c
1 j
2ij
S
Rumus di buku
Walpole
Rumus yang lebih
Sederhana
Jawab :
8/29/2012 42
n cr
T
nr
T
- n c
T
- n
T
SS(AB) JK(BK)
2...
c
1 j
2.j.
r
1 i
2i..
r
1 i
c
1 j
2ij
LT Sarvia
2885 JK(BK)
116.332 117.666-117.699 - 121.918 JK(BK)
116.332 3*5
1.764.984 -
3*3
1.059.294 -
3
240 ..... 142 122 JK(BK)
222
Rumus di buku
Walpole
Idem hasilnya dengan rumus yg
lebih sederhana
8/29/2012
22
Jawab :
8/29/2012 43 LT Sarvia
Sumber Variansi Sum of
Square
Derajat Kebebasan
( v )
Mean Square
( MS ) Statistik Uji
JKB 1.367 5 – 1 = 4 341,75 f1 = 1,96
JKK 1.334 3 – 1 = 2 667 f2 = 3,83
JK(BK) 2.885 (5 – 1) (3 – 1) = 8 360,625 f3 = 2,07
Galat atau Error 5.226 (5 * 3) (3 – 1) = 30 174,2
Total 10.812 (5 * 3 * 3) – 1 = 44
d. Wilayah Kritis : f1 > f a ( v1 ; v4 ) Terima Ho
v1 : derajat kebebasan Baris
v4 : derajat kebebasan Erro r
a = 0,05
v1 = 4 f a = 2,69
v4 = 30
f2 > f a ( v2 ; v4 ) Tolak Ho
v2 : derajat kebebasan Kolom
v4 : derajat kebebasan Error
a = 0,05
v2 = 2 f a = 3,32
v4 = 30
8/29/2012 44
2,69
1,96
3,32
3,83
LT Sarvia
8/29/2012
23
f3 > f a ( v3 ; v4 ) Terima Ho
v3 : derajat kebebasan Interaksi
v4 : derajat kebebasan Error
a = 0,05
v3 = 8 f a = 2,27
v4 = 30
e. Keputusan dan Kesimpulan
Hipotesis ada 3 buah
• Terima Ho kesimpulan : bahwa
tidak ada beda rata-rata ouput
perjam dari kelima operator pada
taraf nyata 0,05.
• Tolak Ho kesimpulan : bahwa
ada beda rata-rata output perjam
dari ketiga jenis mesin tersebut,
pada taraf nyata 0,05
• Terima Ho kesimpulan : bahwa
tidak ada interaksi antara kelima
operator yang mengoperasikan
dengan ke-3 jenis mesin tersebut,
pada taraf nyata 0,05
8/29/2012 45
2,27
2,07
LT Sarvia
SOAL – SOAL
1. Disebuah Universitas di AS,
Professor Pria dan Wanita
diambil secara bebas (tidak
saling terikat) yang
memberikan hasil pendapatan
tahunan mereka berikut
(dalam jutaan rupiah) :
Apakah terdapat perbedaan
rata-rata pendapatan yang
signifikan antara pria dengan
Wanita Professor? ( a = 0,05 )
8/29/2012 46
Jenis Kelamin
Pria Wanita
12 9
11 12
19 8
16 10
22 16
LT Sarvia
8/29/2012
24
SOAL – SOAL
2. Tabel di bawah ini menunjukkan hasil perhektar dari 4 jenis
tanaman pertanian yang diberikan 3 jenis perlakuan penyubur
tanah yang berbeda. Dengan menggunakan taraf nyata 0,01 :
a) Apakah terdapat perbedaan hasil perhektar karena perbedaan
penyubur tanah?
b) Apakah terdapat perbedaan hasil perhektar karena perbedaan
jenis tanaman pertanian?
8/29/2012 47 LT Sarvia
Jenis I Jenis II Jenis III Jenis IV
Penyubur A 4,5 6,4 7,2 6,7
Penyubur B 8,8 7,8 9,6 7
Penyubur C 5,9 6,8 5,7 5,2
SOAL – SOAL
3. Tabel berikut menunjukkan jarak (dalam mil) yang ditempuh oleh
kendaraan yang serupa pada setiap galon dari lima merk bahan bakar
yang berbeda. Tentukan apakah terdapat perbedaan antara merk bahan
bakar pada taraf nyata 0,01.
LT Sarvia
Merk A 12 15 14 11 15
Merk B 14 12 15
Merk C 11 12 10 14
Merk D 15 18 16 17 14
Merk E 10 12 14 12
8/29/2012
25
SOAL – SOAL
4. Sebuah pabrik ingin menentukan efektivitas dari 4 jenis mesin (A,B,C,D)
dalam memproduksi sekrup. Untuk itu jumlah baut rusak yang diproduksi
oleh mesin setiap mesin pada suatu hari-hari yang ditentukan, diamati
untuk setiap shift kerja. Tiap hari terdapat 2 shift kerja. Hasilnya
ditunjukkan pada tabel dibawah ini. Lakukan analisis varians untuk
menentukan apakah terdapat perbedaan antar mesin dan antar shift
pada taraf nyata 0,05
LT Sarvia
Mesin Shift Pertama Shift kedua
Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Senin Selasa Rabu Kamis Jumat
A 6 4 5 5 4 5 7 4 6 8
B 10 8 7 7 9 7 9 12 8 8
C 7 5 6 5 9 9 7 5 4 6
D 8 4 6 5 5 5 7 9 7 10
LT Sarvia
8/29/2012
26
ANALISIS VARIANSI/
ANALYSIS OF VARIANCE
( ANOVA )
Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri
Universitas Kristen Maranatha Bandung
LT Sarvia
KLASIFIKASI 3 ARAH :
• ANOVA klasifikasi 3 arah merupakan ANOVA
yang didasarkan pada pengamatan 3 kriteria.
8/29/2012 52 LT Sarvia
8/29/2012
27
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
8/29/2012 53
a.Struktur Hipotesis :
1. H0 : α1 = α2 =.....αi H1 : sekurang-kurangnya ada 1 αi yang tidak sama dengan nol.
2. H0 : β1 = β2 =......βj H1 : sekurangk-kurangnya ada 1 βj yang tidak sama dengan nol.
3. H0 : γ1 = γ2 = ....... γk H1 : sekurang-kurangnya ada 1 γk yang tidak sama dengan nol. 4. H0 : (αβ)11 = (αβ)12 = .... = (αβ)ij H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αβ)ij yang tidak sama dengan nol.
5. H0 : (αγ)11 = (αγ)12 = .... = (αγ)ik H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αγ)ik yang tidak sama dengan nol. 6. H0 : (βγ)11 = (βγ)12 = .... = (βγ)jk H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (βγ)jk yang tidak sama dengan nol.
7. H0 : (αβγ)111 = (αβγ)112 = .... = (αβγ)ijk H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αβγ)ijk yang tidak sama dengan nol
LT Sarvia
b. Tentukan nilai
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
• Jumlah kuadrat dihitung dengan mengganti jumlah yang sesuai ke dalam
rumus perhitungan berikut :
a
i
b
j
c
k
n
l
ijklabcn
TyJKT
1 1
....2
1 1
2
abcn
T
bcn
T
JKA
a
i
i
....2
1
...2
abcn
T
acn
T
JKB
b
j
j
....2
1
...2
abcn
T
abn
T
JKC
c
k
k
....2
1
...2
LT Sarvia
c. Statistik Uji : ANOVA TriFaktor
8/29/2012
28
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
abcn
T
acn
T
bcn
T
cn
T
ABJK
b
j
j
a
i
i
a
i
b
j
ij
....2
1
...2
1
...2
1 1
..2
)(
abcn
T
abn
T
bcn
T
bn
T
ACJK
c
k
k
a
i
i
a
i
c
k
ki
....2
1
...2
1
...2
1 1
..2
)(
abcn
T
abn
T
acn
T
an
T
BCJK
c
k
k
b
j
j
b
j
c
k
jk
....2
1
...2
1
...2
1 1
..2
)(
abcn
T
abn
T
acn
T
bcn
T
an
T
bn
T
cn
T
n
T
ABCJK
c
k
k
b
j
j
a
i
i
b
j
c
k
jk
a
i
c
k
ki
a
i
b
j
ij
a
i
b
j
c
k
ijk
....2
1
...2
1
...2
1
...2
1 1
...2
1 1
..2
1 1
..2
1 1 1
.2
)(
JKG = SSE = JKT – JKA – JKB – JKC – JKAB – JKBC – JKAC - JKABC
LT Sarvia
Rumus Yang Sederhana
SSBSSAabcn
T
cn
T
ABJK
a
i
b
j
ij
....
21 1
..2
)(
SSCSSAabcn
T
bn
T
ACJK
a
i
c
k
ki
....2
1 1
..2
)(
SSCSSBabcn
T
an
T
BCJK
b
j
c
k
jk
....
21 1
..2
)(
abcn
TSSBCSSACSSABSSCSSBSSA
n
T
ABCJK
a
i
b
j
c
k
ijk
....2
1 1 1
.2
)(
LT Sarvia
8/29/2012
29
LT Sarvia
SSBSSAabcn
T
cn
T
ABJK
a
i
b
j
ij
....
21 1
..2
)(
Pembuktian Rumus
abcn
T
cn
T
ABJK
a
i
b
j
ij
....2
1 1
..2
)(
abcn
T
bcn
T
a
i
i
....2
1
...2
abcn
T
acn
T
b
j
j
....2
1
...2
SSB
SSA Jadi
abcn
T
acn
T
bcn
T
cn
T
ABJK
b
j
j
a
i
i
a
i
b
j
ij
....2
1
...2
1
...2
1 1
..2
)(
Rumus di buku
Walpole
SSAB
Pembuktian Rumus
abcn
T
abn
T
abcn
T
acn
T
abcn
T
bcn
T
n
T
ABCJK
c
k
k
b
j
j
a
i
i
a
i
b
j
c
k
ijk
....2
1
...2
....2
1
...2
....2
1
...2
1 1 1
.2
)(
LT Sarvia
abcn
TSSBCSSACSSABSSCSSBSSA
n
T
ABCJK
a
i
b
j
c
k
ijk
....2
1 1 1
.2
)(
abcn
T
abn
T
acn
T
an
Tc
k
k
b
j
j
b
j
c
k
jk
....2
1
...2
1
...2
1 1
..2
Jadi
abcn
T
abn
T
bcn
T
bn
T
c
k
k
a
i
i
a
i
c
k
ki
....2
1
...2
1
...2
1 1
..2
abcn
T
acn
T
bcn
T
cn
T
b
j
j
a
i
i
a
i
b
j
ij
....2
1
...2
1
...2
1 1
..2
SSA
SSAC
SSBC
abcn
T ....2
8/29/2012
30
LT Sarvia
n
T
ABCJK
a
i
b
j
c
k
ijk
1 1 1
.2
)(cn
T
a
i
b
j
ij
1 1
..2
bcn
T
bn
T
a
i
i
a
i
c
k
ki 1
...2
1 1
..2
abn
T
acn
T
an
Tc
k
k
b
j
j
b
j
c
k
jk
1
...2
1
...2
1 1
..2
abcn
T ....2
abcn
TSSBCSSACSSABSSCSSBSSA
n
T
ABCJK
a
i
b
j
c
k
ijk
....2
1 1 1
.2
)(
Idem dengan rumus dibawah ini :
Cara perhitungan pengujian tiga arah dan lambangnya sebagai berikut
• T… = jumlah seluruh abcn pengamatan.
• Ti… = jumlah pengamatan taraf ke i faktor A
• T.j.. = jumlah pengamatan taraf ke j faktor B
• T..k. = jumlah pengamatan taraf ke k faktor C
• Tij.. = jumlah pengamatan taraf ke i faktor A dan taraf ke j faktor B
• Ti.k. = jumlah pengamatan taraf ke i faktor A dan taraf ke k faktor C
• Tj.k. = jumlah pengamatan taraf ke j faktor B dan taraf ke k faktor C
• Tijk. = jumlah pengamatan pada kombinasi perlakuan ke (ijk)
LT Sarvia
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
8/29/2012
31
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
A B
Jumlah 1 2 … b
1 T11.. T12.. … T1b.. T1...
2 T21.. T22.. … T2b.. T2...
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
a Ta1.. Ta2.. … Tab.. Ta...
Jumlah T.1.. T.2.. … T.b.. T….
k = 1,2,3, …, c
LT Sarvia
Tabel 1 Dua arah A-B
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
A C
Jumlah 1 2 … c
1 T1.1. T1.2. … T1.c. T1...
2 T2.1. T2.2. … T2.c. T2...
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
a Ta.1. Ta.2. … Ta.c. Ta...
Jumlah T..1. T..2. … T..c. T….
k = 1,2,3, …, c
LT Sarvia
Tabel 2 Dua arah A-C
8/29/2012
32
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
B C
Jumlah 1 2 … c
1 T.11. T.12. … T.1c. T.1..
2 T.21. T.22. … T.2c. T.2..
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
b T.a1. T.b2. … T.ac. T.b..
Jumlah T..1. T..2. … T..c. T….
k = 1,2,3, …, c
LT Sarvia
Tabel 3 Dua arah B-C
Tabel 5. Analisis variansi untuk percobaan trifaktor dengan n replikasi
Sumber
variansi
Jumlah
kuadrat
Derajat
kebebasan
Rataan
Kuadrat
f
hitungan
Pengaruh utama
A JKA a - 1 S12 f 1 = S1
2/S2
B JKB b - 1 S22 f 2 = S2
2/S2
C JKC c – 1 S32 f 3 = S3
2/S2
Interaksi dwifaktor
AB JK(AB) (a-1) (b-1) S42 f 4 = S4
2/S2
AC JK(AC) (a-1) (c-1) S52 f 5 = S5
2/S2
BC JK(BC) (b-1) (c-1) S62 f 6 = S6
2/S2
Interaksi trifaktor
ABC JK(ABC) (a-1) (b-1)(c-1) S72 f 7 = S7
2/S2
Galat JKG abc(n-1) S2
Jumlah JKT abcn-1 LT Sarvia
8/29/2012
33
Contoh Soal
5. Dalam pembuatan sejenis barang ada tiga faktor yang perlu diperhatikan:
• A = pengaruh petugas (tiga orang)
• B= katalis yang dipakai dalam percobaan (tiga katalis)
• C= Waktu pencucian barang sesudah proses pendinginan (15 menit dan 20 menit).
• Tiga replikasi diambil pada tiap kombinasi faktor. Diputuskan bahwa semua interaksi antara faktor perlu diselidiki. Hasilnya adalah sbb :
LT Sarvia
• Buatlah analisis variansi untuk menguji
keberartian pengaruh
Pengaruh
Petugas
(A)
Waktu Pencucian (C)
15 menit 20 menit
Katalis (B) Katalis (B)
1 2 3 1 2 3
10,7 10,3 11,2 10,9 10,5 12,2
10,8 10,2 11,6 12,1 11,1 11,7
Ana 11,3 10,5 12 11,5 10,3 11
Susi
11,4 10,2 10,7 9,8 12,6 10,8
11,8 10,9 10,5 11,3 7,5 10,2
11,5 10,5 10,2 10,9 9,9 11,5
13,6 12 11,1 10,7 10,2 11,9
14,1 11,6 11 11,7 11,5 11,6
Frans 14,5 11,5 11,5 12,7 10,9 12,2
LT Sarvia
8/29/2012
34
Jawab
Struktur Hipotesis
1. H0 : α1 = α2 =α3
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 αi yang tidak sama dengan nol.
2. H0 : β1 = β2 =β3
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 βj yang tidak sama dengan nol.
3. H0 : γ1 = γ2
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 γk yang tidak sama dengan nol.
4. H0 : (αβ)11 = (αβ)12 = .... = (αβ)33
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αβ)ij yang tidak sama dengan nol.
5. H0 : (αγ)11 = (αγ)12 = .... = (αγ)32
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αγ)ik yang tidak sama dengan nol.
6. H0 : (βγ)11 = (βγ)12 = .... = (βγ)32
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (βγ)jk yang tidak sama dengan nol.
7. H0 : (αβγ)111 = (αβγ)112 = .... = (αβγ)332
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αβγ)ijk yang tidak sama dengan nol
LT Sarvia
Jawab :
• Buat tabel :
Pengaruh Petugas
(A)
Katalis (B) Total
1 2 3
Ana 67,3 62,9 69,7 199,9
Susi 66,7 61,6 63,9 192,2
Frans 77,3 67,7 69,3 214,3
Total 211,3 192,5 202,9 606,7
LT Sarvia
8/29/2012
35
Jawab:
Pengaruh Petugas
(A)
Waktu Pencucian (C) Total
15 menit 20 menit
Ana 98,6 101,3 199,9
Susi 97,7 94,5 192,2
Frans 110,9 103,4 214,3
Total 307,2 299,2 606,4
LT Sarvia
Jawab :
Katalis (B) Waktu Pencucian (C)
Total 15 menit 20 menit
1 109,7 101,6 211,3
2 97,7 94,5 192,2
3 99,8 103,1 202,9
Total 307,2 299,2 606,4
LT Sarvia
8/29/2012
36
Jawab :
LT Sarvia
Pengaruh
Petugas
(A)
Waktu Pencucian (C)
15 menit 20 menit
Katalis (B) Katalis (B)
1 2 3 1 2 3
Ana 32,8 31 34,8 34,5 31,9 34,9
Susi 34,7 31,6 31,4 32 30 32,5
Frans 42,2 35,1 33,6 35,1 32,6 35,7
Jawab :
• Hitung
19.6354
4.6062.12......8.107.10
2222
1 1
....2
1 1
2
JKT
abcn
TyJKT
a
i
b
j
c
k
n
l
ijkl
98.1354
4.606
3*2*3
3.2142.1929.199 2222
....2
1
...2
JKA
abcn
T
bcn
T
JKA
a
i
i
18.1054
4.606
3*2*3
9.2022.1923.211 2222
....2
1
...2
JKB
abcn
T
acn
T
JKB
b
j
j
LT Sarvia
8/29/2012
37
Jawab :
18.154
4.606
3*3*3
2.2992.307 222
....2
1
...2
JKC
abcn
T
abn
T
JKC
c
k
k
78.465.680983.681963.68236
3.69.........7.663.67)(
)(
222
....2
1
...2
1
...2
1 1
..2
ABJK
abcn
T
acn
T
bcn
T
cn
T
ABJK
b
j
j
a
i
i
a
i
b
j
ij
92.265.680993.681063.68239
4.103........7.976.98)(
)(
222
....2
1
...2
1
...2
1 1
..2
ACJK
abcn
T
abn
T
bcn
T
bn
T
ACJK
c
k
k
a
i
i
a
i
c
k
ki
LT Sarvia
Jawab :
64.365.680983.681083.68199
1.103......7.977.109)(
)(
222
....2
1
...2
1
...2
1 1
..2
BCJK
abcn
T
abn
T
acn
T
an
T
BCJK
c
k
k
b
j
j
b
j
c
k
jk
89.4)(
65.680983.681093.681963.682365.682473.682759.68383
7.35.........7.348.32)(
)(
222
....2
1
...2
1
...2
1
...2
1 1
...2
1 1
..2
1 1
..2
1 1 1
.2
ABCJK
ABCJK
abcn
T
abn
T
acn
T
bcn
T
an
T
bn
T
cn
T
n
T
ABCJK
c
k
k
b
j
j
a
i
i
b
j
c
k
jk
a
i
c
k
ki
a
i
b
j
ij
a
i
b
j
c
k
ijk
JKG = SSE = JKT – JKA – JKB – JKC – JKAB – JKBC – JKAC - JKABC
JKG = 63.19 - 13.98 - 10.18 - 1.18 - 4.78 - 2.92 - 3.64 - 4.89
JKG = 21.62
LT Sarvia
8/29/2012
38
Analisis variansi untuk percobaan trifaktor dengan n replikasi
Sumber
variansi
Jumlah
kuadrat
Derajat
kebebasan
Rataan
Kuadrat
f
hitungan
Pengaruh
utama
A(Petugas) 13.98 2 6.99 11.65
B(Katalis) 10.18 2 5.09 8.48
C(Waktu cuci) 1.18 1 1.18 1.97
Interaksi
dwifaktor
AB 4.78 4 1.2 2
AC 2.92 2 1.46 2.43
BC 3.64 2 1.82 3.03
Interksi
trifaktor
ABC 4.89 4 1.22 2.03
Galat 21.62 36 0.6
Jumlah 63.19 53 LT Sarvia
Wilayah Kritis :f > f a ( v1 ; v2 ) Tolak Ho
8/29/2012 76
Dimana :a = 0,05 v1 = 2
v2 = 36 Interpolasi f a =3,278
3,278
11.65
Wilayah Kritis : f > 3,278
Keputusan : Tolak Ho
Kesimpulan :bahwa sekurang-kurangnya ada 1 aj yang tidak sama dengan nol pada taraf nyata 0.05
atau Ada pengaruh petugas dalam pembuatan barang
pada taraf nyata 0.05
LT Sarvia
8/29/2012
39
• Keputusan : Pengaruh utama A : Tolak Ho
(11,65>3,278)
Pengaruh utama B : Tolak Ho (8,48>3,278)
Pengaruh utama C : Terima Ho (1.97<2.651)
Interaksi Dua Arah AB : Terima Ho (2<2,651)
Interaksi Dua Arah AC : Terima Ho (2,43<3,278)
Interaksi Dua Arah BC : Terima Ho (3,03<3,278)
Interaksi Tiga Arah ABC : Terima Ho (2,03<2,651)
• Kesimpulan : Ada pengaruh petugas dalam pembuatan
barang pada taraf nyata 0.05
Ada pengaruh katalis yang digunakan dalam pembuatan barang pada taraf nyata 0.05
Tidak Ada perbedaan waktu mencuci barang sesudah proses pada taraf nyata 0.05
Interaksi Dua Arah AB : Tidak ada perbedaan interaksi petugas dengan katalis yang digunakan pada taraf nyata 0.05
Interaksi Dua Arah AC : Tidak ada perbedaan interaksi petugas dengan waktu pencucian pada taraf nyata 0.05
Interaksi Dua Arah BC : Tidak ada perbedaan interaksi katalis dengan waktu pencucian pada taraf nyata 0.05
Interaksi Tiga Arah ABC : Tidak ada perbedaan interaksi petugas, katalis dan waktu pencucian pada taraf nyata 0.05
LT Sarvia
Teknik Mengingat
Grouping
Visualisasi Mengingat
kata kunci
Gunakan singkatan
Gunakan irama
LT Sarvia
8/29/2012
40
7 Area Soft Skills : Winning Characteristics
* Menurut Patrick
O’Brien dalam bukunya
“Making College Count”
LT Sarvia
top related