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ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIA
A análise combinatória é a parte da matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento.
COMBINAÇÃO SIMPLESCOMBINAÇÃO SIMPLES
Combinação simplesCombinação simples é o tipo de é o tipo de agrupamento sem repetição em que um agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro apenas pela grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes.natureza dos elementos componentes.
Exemplo: Quantas comissões de dois podem ser formados com 5 alunos ( A, B, C, D e E) de uma classe?Exemplo: Quantas comissões de dois podem ser formados com 5 alunos ( A, B, C, D e E) de uma classe? 1° aluno1° aluno 2ª aluno2ª aluno n° de comissõesn° de comissões( 5 possibilidades)( 5 possibilidades) ( 4 possibilidades)( 4 possibilidades) (10 comissões)(10 comissões)
AA BB ABABCC ACACDD ADADEE AEAE
BB AA BA = ABBA = ABCC BCBCDD BDBDEE BEBE
CC AA CA = ACCA = ACBB CB = BCCB = BCDD CDCDEE CECE
DD AA DA = ADDA = ADBB DB = BDDB = BDCC DC = CDDC = CDEE DEDE
EE AA EA = AEEA = AEBB EB = BEEB = BECC EC = CEEC = CEDD ED = DEED = DE
FÓRMULA DA COMBINAÇÃO SIMPLES:FÓRMULA DA COMBINAÇÃO SIMPLES:
No exemplo anterior, para descobrirmos o número de combinações, basta No exemplo anterior, para descobrirmos o número de combinações, basta calcular o número de arranjos e dividir o resultado por 2 ( 20 : 2 = 10 ), calcular o número de arranjos e dividir o resultado por 2 ( 20 : 2 = 10 ), que é o que é o fatorial do número de elementos que compõe cada comissão ( 2).fatorial do número de elementos que compõe cada comissão ( 2).
O número de combinações de n elementos de grupos de p elementos é igual O número de combinações de n elementos de grupos de p elementos é igual ao número de arranjos de n elementos tomados p a p divididos por p!, isto é:ao número de arranjos de n elementos tomados p a p divididos por p!, isto é:
C n, pC n, p = = n ! n ! p! ( n – p)!p! ( n – p)!
C C 5, 25, 2 = 5 ! 5 ! = 5. 4. 3. 2. 15. 4. 3. 2. 1
2! ( 5 – 2) !2! ( 5 – 2) ! 2! 3! 2! 3!
CC 5, 2 5, 2 = 120 120 = 120 120 = 1010
2.1.3.2.1 12
n= elementos distintos, quantidades de coisas n= elementos distintos, quantidades de coisas ex: 5 alunos (A, B, C, D e E)ex: 5 alunos (A, B, C, D e E)
p= agrupamentos possíveis p= agrupamentos possíveis ex: duplas ou tomados dois a dois.ex: duplas ou tomados dois a dois.
PERMUTAÇÃO SIMPLESPERMUTAÇÃO SIMPLES
Permutações simples de Permutações simples de nn elementos elementos distintos são os agrupamentos formados com distintos são os agrupamentos formados com todos os todos os nn elementos e que diferem uns dos elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. outros pela ordem de seus elementos.
PPn n = n! = n!
Ex.:Ex.:Quantos são os anagramas da palavra AMOR?Quantos são os anagramas da palavra AMOR?
AMORAMORAMROAMRO
AA AORMAORMAOMRAOMRARMOARMOAROMAROM
MORAMORAMOARMOARMROAMROA
MM MRAOMRAOMAORMAORMAROMARO
OAMROAMROARMOARM
OO OMAROMAROMRAOMRAORMAORMAORAMORAM
R O M AR O M AR O A MR O A MR A O MR A O M
RR R A M OR A M OR M A OR M A OR M O AR M O A
P 4 = 4!
P = 4. 3. 2. 1 = 24
Temos 24 possibilidades de escrever a palavra amor.
Com a 1ª letra da palavra amor, (A) , consigo obter 6 possibilidades
Ex 2 - Quantos são os anagramas da palavra Ex 2 - Quantos são os anagramas da palavra OSSOOSSO??
OSSOOSSO
OSOSOSOSSOSOSOSOOOSSOOSSSSOOSSOOSOOSSOOS
P P 44
2, 2 2, 2 = 6 permutações ou anagramas= 6 permutações ou anagramas
ARRANJOS SIMPLESARRANJOS SIMPLES
Arranjos simplesArranjos simples é o tipo de é o tipo de agrupamento em que um grupo é agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.natureza dos elementos componentes.
1) Quatro clubes Juventude, Palmeiras e Esperança e Fluminense disputam as finais de um torneio de futebol. Ao final do certame as classificações possíveis desses clubes são os arranjos simples dos quatro elementos Juventude, Palmeiras, Esperança e Fluminense tomados quatro a quatro.
a) Quais são as possibilidades que podemos a) Quais são as possibilidades que podemos encontrar?encontrar?
1° lugar1° lugar 2° lugar2° lugar 3° lugar3° lugar 4° lugar4° lugar
PalmeirasPalmeiras EsperançaEsperança Fluminense Fluminense JuventudeJuventude PalmeirasPalmeiras FluminenseFluminense EsperançaEsperança
FluminenseFluminense PalmeirasPalmeiras Esperança Esperança FluminenseFluminense EsperançaEsperança PalmeirasPalmeirasEsperançaEsperança PalmeirasPalmeiras FluminenseFluminenseEsperançaEsperança FluminenseFluminense PalmeirasPalmeiras
JuventudeJuventude EsperançaEsperança Fluminense Fluminense JuventudeJuventude FluminenseFluminense EsperançaEsperançaFluminenseFluminense JuventudeJuventude Esperança Esperança FluminenseFluminense EsperançaEsperança JuventudeJuventudeEsperançaEsperança JuventudeJuventude FluminenseFluminenseEsperançaEsperança FluminenseFluminense JuventudeJuventude
Juventude Juventude PalmeirasPalmeiras Fluminense Fluminense JuventudeJuventude FluminenseFluminense PalmeirasPalmeirasFluminenseFluminense JuventudeJuventude PalmeirasPalmeirasFluminenseFluminense PalmeirasPalmeiras JuventudeJuventudePalmeirasPalmeiras JuventudeJuventude FluminenseFluminensePalmeirasPalmeiras FluminenseFluminense PalmeirasPalmeiras
JuventudeJuventude PalmeirasPalmeiras Esperança Esperança JuventudeJuventude EsperançaEsperança PalmeirasPalmeirasEsperançaEsperança JuventudeJuventude PalmeirasPalmeirasEsperançaEsperança PalmeirasPalmeiras JuventudeJuventudePalmeirasPalmeiras JuventudeJuventude EsperançaEsperançaPalmeirasPalmeiras EsperançaEsperança JuventudeJuventude
Palmeiras
Esperança
Fluminense
b) Quantas possibilidades existem?b) Quantas possibilidades existem?
Existem 24 possibilidades. Existem 24 possibilidades.
O número de arranjos simples tomados O número de arranjos simples tomados quatro a quatro ( A quatro a quatro ( A
4, 4 4, 4 ) também pode ser ) também pode ser calculado pelo princípio fundamental da calculado pelo princípio fundamental da contagem:contagem:
A A 4, 4 4, 4 = 4. 3. 2. 1 = 24= 4. 3. 2. 1 = 24
c) Quantas possibilidades há do Flamengo ficar c) Quantas possibilidades há do Flamengo ficar em 1° lugar?em 1° lugar?
Existem 6 possibilidades do Flamengo Existem 6 possibilidades do Flamengo ficar em primeiro lugar, assim como os ficar em primeiro lugar, assim como os demais times também possuem 6 demais times também possuem 6 possibilidades de ficar em primeiro lugar.possibilidades de ficar em primeiro lugar.
2) Quantos números de dois algarismos (elementos) distintos podem ser forma-dos, usando os algarismos 2) Quantos números de dois algarismos (elementos) distintos podem ser forma-dos, usando os algarismos (elementos) 2, 3, 4 e 5?(elementos) 2, 3, 4 e 5?
1 ° algarismo 1 ° algarismo 2° algarismo 2° algarismo números formadosnúmeros formados(4 possibilidades)(4 possibilidades) (3 possibitidades)(3 possibitidades) ( 12 números)( 12 números)
33 232322 44 2424
55 2525
22 323233 44 3434
55 3535
22 424244 33 4343
55 4545
22 525255 33 5353
4 4 5454
Pode-se observar que os grupos (números ou elementos) obtidos diferem entre si:
* pela ordem dos elementos (23 e 32, por exemplo)
Os grupos assim obtidos são denominados
arranjos simples dos 4 elementos tomados 2 a 2 e são indicados A 4, 2 = 4. 3 = 12
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